250

Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������

��������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� � ���� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����

��� � ������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � �������� ���������������� � ������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � ���������� ���������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � ������� ��������� � ������������� ���������������� � � � � � � ���

��� � �� ��� ������ ������� � ����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � ���� ��� �� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � !����� ����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � "���� ������ ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

��� � ���������� �� ���� ������������ ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

Page 2: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������

� ������ � ���� ��!��"���#� $���!

�% !% ��&'�� (�� )* +% �% ��,��-��* .% �/(

������0 1 /��,�/ �����0( �� 2���� )���2' �3( 4 ���5,26 ��(&�� �/�/,� ����3((67 /�� )(67 ��/��* � ���8 �5�'8/( 4 �28(67 ��������% ���,�/��&�( 9���( �,/'40 2 �5��9�2: � ��9/% � �� �/(6 (�57�/ 26 ���/,( �; ���9/% � < �59�� �9',-����� �� ����3((62 ��/�2* ���9�((67 � ��(�� �2 ��(& �/�� ����3((�&� ��/�; � ��9/% = �� ��/ ��� �� 2���� )��� �3( ���5,26��(&�� �/�%

#$ ���%������� �����������

>�9 En �5�9(�) 2 n?2�(� 2�� )��� �������(���� (�/ GF @�A � 2�� ��1�B22 (&�% �B22 (&��� �������( d@x� yA 28/' ������2 x� y � En ���/,������� ) �,� ����/ (��* � �����67 ��9, )�4��� B� �����6% !� �B22 (&� w@xA ���? 9��,-(�&� ������ x � En ���( ) �,' ((',�67 ����/ (�� x* �% % w@xA C d@x�&A*&/ & < (',��1 �����% D'��- # < / ( )(61 �����% D�� 9��,-(� ��/2(�8���� 9En (�96����� /�� )(62 ��/�2% !����6 ��/� 5'/2 (�96���- ��/��62 �,���2 %$�/��� �������( ���(� 2 ( 2�,-(�2' �������( 4 28/' ��9, )(62 ��/��62 �,���2 /�((�&� ��/�% ����������� ������ ���� /, (6 n (�96����� ������/2(�8���� C 9 En* )�� ,45�1 ����� 9 En (�7�/ ��� (� �������( ( 5�,-3*)2 � �� (������&� ������ 9 C�����3� 9���(�* )�� ����3((6 /�� )(6 ��/6/, (6 n � �������( 2 = �'0���'4� ��,-�� /,� n C �m � ��m � �% ��� Ker@CA��/� C (�96����� �����'�(���- &� ������* �% % ��/��67 �,�� x � C ��� 7* )��x E C C C� ��92�(���- �/�� �5�9(�) 2 )�9 k C k@CA� ��92�(���- r C r@CA, (1(�1 �5�,�)� ��/� C (�96����� &� ������% � 8 ����2��� ��4��� ��,-������3((6 /�� )(6 ��/6* 2('26 ����3((62 %

'$ (%��� ������ � ��) ���*+���� ������ � ����

D��6 ��5��6* �����0((6 ��,/���( 4 ��(&�� �/� ����3((67 ��/��*�� (�/,8�� �% F�'B�'* F% ��(��' +% ��&��'* �2% G�* ��H% D���� ���9- 28/'��(&�2 ��92�(���-4 �/�� ��� 9��,-(�&� ����3((�&� ��/� C 56,� '���(��,(�+% ��&���2 � ���= &%:

������� #$ @G��H%A��� ������ ������������ ������� ��� C ��� n C �m � ������������ � E n� r@CA � k@CA�

�,/����,-(�* �, ��92�(���- �/�� ��/� ���(� �* �� ��(& ���( n� �% % �����?/�� � ��92�(���-4 En%

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<��&'�� (�� ) ��&1 !,�/ 2 ��� )* ��,��-�� +� (� ���(��(�*�(�� �'� 2��2�� � 2% �% J% ��5�,�� �� ���*��% $���4&�* �* ����� 5 ���* �=����* ���� �;�,%: �?=�=�?==?=�?��* e?mail: avgustLmath%nsc%ru; solLmath%nsc%ru%

�/( .,�M* $���,��� 1 �7(�,�& )�� 1 (�� �'�* ����� ����&�,-2* "�� ��,%: ��?�?��=����* e?mail: olohedLmath%kth%se%

Page 3: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

.% �/( G�H ������ , ����3((6 ��/6 /, (6 � � �/��2 ��92�� �* � =%����,-9'� �� �) (& i?��2��((� � ��/ �B22 (&�* � ���� &% N% O�� �( �% !��/ G�H �� ��, ����� ��7 /��'�� 267 ��(&��* � 2((�* /���9�, �,/'40'4 ���2'%

������� '$ @G�H%A��� ������ m � � ���������� ��������� ����������� �������� ��� n C �m�� � ������ r� ��� ������ ��� r � fn�mE�� n�mE�� � � � � ng�

����,-9'� �' 8 /4 �� �) (&�� i?��2��((� � ��/ �B22 (&�* � ��� &% $% N%+,�� P% J!�( G��H �� ��, ����� ��92�(���1 �/� ����3((67 ��/��%

������� ,$ @G��H%A��� ������ m � � ���������� ��������� ����������� ������� �� ��� n C �m� �� ������� ���� ��� ���������� k� ��� ������ ���k � f�� �� � � � � n�m� �g�

! ���� &% N% O�� �( �% !��/ G�H ��/,�8 , �6��( �-* ��� ���6 @r� kA��,�4��� ��, 9'262 � ��)��� ��(&� r ��92�(��� �/�� k ����&�?, 5� ����?3((�&� ��/� /, (6 n C �m � �� O�' ���5,2' 26 (�96��2 ��������� ������ ���%

�5�9(�) 2 )�9 �@rA ���� (� 2(-3 �,� ) �,�* )�� ���r�� �@rA� � � r�nElog@nE �A� !, ) (' n� log@nE�A� �@rA �5�9(�) 2 )�9 U@n� rA� ! G�H N% O�� �(�2 �% !��/ /,� ��/�� ��,(�&� ��(&�* � � G��H $% N% +,���2 P% ! ,,�('��1 � ���,-9���( 2 ��1 8 �7( � /,� ��� 9��,-(67 ����3((67 ��/��* 56,� /���9�(�

������� -$ @G�H* G��H%A����� n C �m � �� m � =� ��� �� ��!��� ��������������� ��� n ����� r ����������� k@CA � U@n� rA�

N% O�� �( �% !��/ @�2% G�HA* /���9�, * )�� ��7(�� ��(�� /��� 8 2� /,���/�� ��,(�&� ��(&� /,� ��8/�&� n � ��� � �� � $% N% +,�� P% ! ,,�('�� @�2%G��HA < /��� 8 2���- B��1 ��(� /,� ��/�� ��� 9��,-(�&� (��,(�&� ��(&� r � n/,� ,4567 n C �m � ��m � =� �5�9(�) 2 )�9 L@n� rA �,/'40'4 �, ) (':

L@n� rA C

��n�r � �, r � n � log@n E �A E ��

�n�r � �� �, r � n� log@nE �A E ��

������� .$ @G��H%A����� n C �m � �� m � =� ��� �� ��!��� ������������ ������ n ����� r ����������� k@CA � L@n� rA�

D��,/(�� ���2� ���2��(� � ���2�1 = /�4� /��� 8 2���- ( 8(1 ��(� /,� ,45�&� ��(&�% ! ��5�� G��H $% N% +,�� P% ! ,,�('�� ��/,�8 , ��(?���'�� 4 ����3((67 ��/�� /, (6 n ��(&� r � ��92�(���-4 �/�� k /,� ��8/�1/��'�� 2�1 ���6 @r� kA* &/ k � n� � log@nE �A� r � n�

$�25 ( ����( �����/(�&� ��/7�/� �� �� �) (&��62 ��9��, ,� @�2% G=HA ������? �- ����3((6 ��/6 /, (6 n � � /,� ��7 ��92�8(67 ��� @r� kA� &/ r � n�

������� /$ @G=H%A��� ������ n � � �� ���" �����!��" ��� @r� kA� �� r � n����������� ����������� ��� ��� n�

! ��5���7 G�* H � ���,-9���( 2 �� �) (&���&� ��/7�/� 9 G�H ������(6 ����?3((6 ��/6 ��,(�&� ��(&� � �/��2 5�,-3 7 ��92�(���1%

Page 4: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

������� 0$ @G�* H%A��� ������ n � ��� � � ���������� ����������� ��� ���n ������� ����� � ���� ��!�� ���������� k � f@n � �A��� ���� U@nAg; �� =� �n � ����� ���������� ����������� ��� ��� n ������� ����� � ���� ��!������������ k � f@n� �A��� ���� U@nA� �g�

�,� ��/�� /, (6 n C � � �'�� � ��,/���(� ��,(���-4* 9� ��,4)( 2 / (?���((�1 ���6 @�� �A* /,� ������1 ������ � �'0������( ���������'40 7 ��/��������� ����6�62 @�2% G�* �=* �HA; /,� k � � ����3((6 ��/6 ��,(�&� ��(&� (�'0���'4� G�* ��H% $% N% +,���2 G�H /,� r � � �5(��'8(6 ����3((6 ��/6/, (6 � /,� ��7 ��92�8(67 ��� @r� kA%

,$ 1���� � ������ ��2���� ���%���� ������ � ����

D'��- U@n� rA L@n� rA �5�9(�)�4�* ��� � ��9/, �* ��7(44 * ���������((�*( 8(44 ��(� ��92�(��� �/�� ��� 9��,-(�&� ����3((�&� ��/� /, (6 n ��(&�r% ��31 �,-4 ��,���� �� ��( ��(���'�� ����3((67 ��/��* ��9��,�401��,') �- /���9��,-���� �,/'40&� M����%

������� 3$ ����� ����������� n r ������� ��� n C �m � �� m � ��� r �n� log@nE�A� ��� �� ������� ������������ k ������� ��� L@n� rA � k � U@n� rA�������� ����������� �� ��� n ����� r � ���� ���������� k�

$�� �56)(� )�9 Hn �5�9(�) 2 ��/ �B22 (&� ����/�� n% J (1(� ��/���?����(���� R�

i ��/� Hn ���/,���� ��� , (1(�� �5�,�)�� ��7 &� ������� ��� =

� / ( )(�1 i?1 ����/ (���1 (�96����� �� �/((�1 i?��2��((��1% �,� ��� 9?��,-(�&� v � Hn 2(�8���� Rv

i C R�i E v (�96����� i?��2��((��1 � ��/���� �?

,2 v� ����2��� 2 �21���� ��� F C f@u�� i�A� @u�� i�A� ���� @ul� ilAg* &/ ut � Hn� � it?(�����6 (�2�� ����/ (��* it � f�� �� ���� ng�

�21���� F (�9��2 �������* �, /,� (&� �6��,(�4��� '�,�� �:�% 2(�8���� ������� /, (6 log@n E �A* ���������'40 7 /�� )(�2' ��/���?

�,( 4 ) �, i�� i�� ���� il* , (1(� (9�� � 2� (�/ GF @�A;�% & �� Rut

it ;=% /,� ��7 t �C s �6��,(���� Rut

it �Rusis C ��

> �,� l ��� � �2��� F (�9��2 &� ��92��2% ��/, 2� �21���� F (�9�?�2 ���������� ������� �����* �, l C log@n E �A% D'��- M C fL�� L�� � � � � Llg <2(�8���� ��� 9��,-(67 , (1(67 ��/�������(��� ��/� Hn% �21���� F (�9��2M��������* �, * ���2 '�,�� 1 � �* �6��,(���� '�,��

=�% /,� ��7 t �C s �6��,(���� @Rutit E LtA � @Rus

is E LsA C ��! �7 �,')��7* ��&/� �� �������(���� Li � 2(�8���M �����/�4� � (�����62

�������(����2 L* 5'/2 ( �&���� ��� ���5� M ?��/, 2� �21���� F (�96���-L��������% F'/2 &���� �-* )�� 2(�8���� M C fL�� L�� � � � � Llg , (1(67 ��/?�������(��� ��/� Hn ��!������ 2(�8����M � C fL��� L

��� � � � � L

�lg� �, L

�t � Lt /,�

,45�&� t C �� � � � � l���2� 2 59 /���9��,-���� �,/'40 �)� /(� ���1����%

����������� #$ ����� F �������� M�������� ���������� ��� M ��!������� M �# ��� F �������� M ��������� ���������� ���#

�5�9(�) 2 P @F�MA CTlt��@R

�it � LtA�

Page 5: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

����������� '$ ����� ���!����� M ��!������ ���!����� M � F ��������M�������� ���������� ���# ��� P @F�M �A � P @F�MA#

$�8/�2' ��/, 2�2' �21���' F 2�8(� ������ �- � ��������� 2(�8����

C@F A C @Hn nl�

t��

Rutit A

l�t��

@Rutit � eitA�

&/ eit < ����� � / (���((�1 / ( )(�1 ����/ (���1 � (�2��2 it% ! G��H M��� )?�� 56,� /���9�(� ���2�* ������� �� ��/((67 ��2 (�7 M��2', �'��� �,/'4?0 2 �5��9�2

������� 4$ ����� F $ ������� ��������� ������� l# ��� ���!����� C@F A�������� ����������� ���� ����� n� log@nE�AE l � ���� P @F�LA� �� L C f&�#g#

����2��� 2 2(�8����

C@F�MA C Hn nl�

t��

@Rutit � LtA

l�t��

@Rutit � Lt � eitA�

����,-9'� ����'8/( �* �(�,�& )(6 �� 2(�262 � G��H* 2�8(� /���9��- �,?/'40 1 M���%

������� #&$ ����� F �������� M�������� ���������� ������� l# ��� ����!����� C@F�MA �������� ����������� ���� ����� n � log@n E �A E l � ����P @F�MA#

��((�� ���2� ����96���* )�� /,� /���9��,-���� ���26 � (�57�/ 2� (�?') �-�� ���� �- L?��/, 26 �21���� ��� �� ��/7�/�0 7 ��/�������(����7 L%F�9 ��2 ���������'401 ��(���'�� ��,�4��� �,/'40 '���8/( �%

����������� ,$ ��� ���" �������" n � � ���������� ������� ������������ ������� �����#

����������� -$ ����� F �������� ������� ���������� ��� ������� �������� H�n����� v � H�n����� n

Slt��R

utit � v �� f&�#g� ��� ��������� F � C F @v� nA

�������� R�

n�������� ���������� ��� ������� ����� ��� Hn�

���� ���� ��$ P6 /��'���2 (�����'4 ��,-(���-* �) ���* )�� H�n����� �Hn% �� ��2�2 /, ���� ��,4)( ��92�8(� , 3- ���, '/, (( � ��8/�&� ����?�� 9 H�n����� (� @nE �A�� ��9 � 1 9���,(( � 7 (',�2 % �2� � � /' ���9�((�*2�8(� 9�� ���- Hn C H�n����� � R�

n% ������� 9�2� �-* )�� �, �������(����L� L� ����&�(�,-(6* � ��/2(�8���� S S� �������(���� L� ( �����4���* ��2(�8���� S�L� S��L� ( 5'/'� ������-�� � �������(��� L��L�� ���'/(�� /�-* )�� �2���� F � ��,���� �21����2 ��� ��,(�&� ��(&� ��/� Hn�

N��- /,� /���9��,-���� ���26 � ������� �������� �- ���2' �� ��/?,�8( � �<�% D�/,�8( � = � �5��) ��4� �'0������( ����3((67 ��/����,(�&� ��(&� � 2 ( 2�,-(62 �/��2 * ���������((�* �/��2 ��92�(��� ( 2(-?3 @n��A��� D�/,�8( � � � �5��) ��4� ��92�8(���- (���6�(�&� @�� / ( �(� ��8/�2 3�&A 92(( � ��92�(��� �/�� �� 2 ( 2�,-(�&� /� 2��� 2�,-(�&�%

Page 6: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

�0 ��9 (���2( 2* )�� �,')�1 (��,(�&� ��(&� 56, ��,(���-4 ����2���( �G=H* � �,')�1 ��,(�&� ��(&� � �/��2 ��92�(��� 5�,-3 @n� �A�� < � G�* H% N�� 2�5��9�2 �� 2���� )��� �3( ����2��� ��2�1 ���5,26 ��,')(� ��/ (( 2���9' =?7 ��9, )(67 ��(���'�� 1% �����6 (�/4���* )�� 9,�8((61 9/�- ��/7�/��9��, � ��9��5����- / ('4 ��(���'�� 4 /,� ��7 �,')��%

!��������

���,/���( ��(&�� �/� ����3((67 ��/�� ��/����,�� (��� /,� 9�/�) �,��� M ��� ����3((67 ��/��% ���� 2�* (�,�8(� ����9��-* )�� �, ��(&����3((�&� ��/� /, (6 n C �m�� ���( n�mE�� �� ��/ ��,���� ��/�2 !�� ,-��G�H* ������((62 � ���,-9���( 2 ��/� �B22 (&� /, (6 @n� �A��� �����/, ��

������� ##$ %&# '���� ())(#* +���� ����������� �� ��� n ����� ������ n,���������� ��� -������ � G��H%

�,� ����3((67 ��/�� /, (6 n ��(&� n � m E � 9�/�)� ���/ ��� � �� ��( 4MDS?��/�� � �������( 2 � (�/ �,M�� ��2 9 )�6�7 � 2��,��% �% �% $����� !% �% D������* �2% G��H* /���9�, * )�� ) �,� ��� 7 MDS?��/�� /, (6 n �� 2���� ?)�� ���(� =n����

n��� ���4/� 9 ���,/(1 N��26 (��'/(� ��,') �- �� 2���?� )��'4 ��(�' /,� ) �,� ����3((67 ��/�� ��(&� n�mE ��

��5��� �6��,((� �� ��//�8� "�/���&� �(�� �'��% ���,/���( �% !% ��?&'�� (�� )� �6��,((� �� M (�(����1 ��//�8� ���� 1���&� M�(/� M'(/�2(?��,-(67 ��,/���( 1 @����� ��?��?�����A* +% �% ��,��-��1 < �� M (�(����1 ��/?/�8� ���� 1���&� M�(/� M'(/�2(��,-(67 ��,/���( 1 @����� ��?��?�����A%

J�N���N.��

G�H .������ /# +# � (&�'����67 �,��(� '������((67 ��/�7 TT D��5,26 � 5�?(� � % P: + 92��& 9* ����% !6�% �% �% ==�<==�%

G�H Avgustinovich S# V#� Heden O#� Solov0eva F# I# The classiVcation of some perfectcodes* Stockholm: Royal Inst% of Technology* ����% @Preprint T Trita?mat%?����?�A%

G=H Avgustinovich S# V#� Heden O#� Solov0eva F# I# On ranks and kernels of perfect codes*Stockholm: Royal Inst% of Technology* ����% @Preprint T Trita?mat%?����?�=A%

G�H 1��������� �# .#� ��������� 2# 3#� '��� &# ����3((6 ��/6 ��,(�&���(&� � �/��2 5�,-3 7 ��92�(���1 TT � ����(% �(�, 9 ��,/% ����� 1%��% �% ����% N% �% N �% �% =<�%

GH Avgustinovich S# V#� Heden O#� Solov0eva F# I# On full rank perfect codes withbig kernels TT Proc of Intern% conference devoted to annivesary of A%A%Lyapunov*October* ����* Novosibirsk* Russia* http:TTwww%ict%nsc%ruTwsT

G�H Bauer H#� Ganter B#� Hergert F# Algebraic techniques for nonlinear codes TTCombinatorica% ���=% V% =% N �% P% ��<==%

G�H Etzion T#� Vardy A#� Perfect binary codes: constructions* properties and enumerationTT IEEE Trans% Inform% Theory% ����% V% ��% N =% P% ��<��=%

Page 7: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

G�H Etzion T#� Vardy A#� On perfect codes and tilings: problems and solutions TT SIAMJ% Discrete Math% ����% V% ��% N �% P% ��<��=%

G�H Heden O# A binary perfect code of length � and codimension � TT Des% CodesCryptogr% ����% V% �% N =% P% ��=<���%

G��H Hergert F# Algebraische Methoden fxur Nichtlineare Codes% Thesis Darmstadt* ���%

G��H -����� ��# $�25 ( ����((�� ��(���'�� � /,� ����3((67 /�� )(67 ��/��TT D��5,26 ��/�) (M��2�� % ����% N% =�% �6�% �% �% ��<��%

G��H Krotov D# S#� Potapov V# N#On the reconstruction of n?quasigroups of order � andthe upper bounds on their number* Proc% of Intern% Conf% devoted to ��th annivesaryof A% A% Lyapunov% �?�� October* ����% P% =�=<=��%

G�=H N4aslund M# Steiner triple systems and perfect codes% Master of Sci% thesis TT RoyalInstitute of Technology* Stockholm* Sweden* ���=%

G��H Phelps K# T#� LeVan M# J# Kernels of nonlinear Hamming codes TT Des%* Codes andCryptogr%* ���% V% �* N =% P% ���<��%

G�H Phelps K# T# An enumeration of �?perfect binary codes of length � TT Australas% J%Combin% ����% V% ��% P% ���<���%

G��H Phelps K#T#� Villanueva M# On perfect codes: rank and kernel TT Des% CodesCryptogr% to appear%

G��H Vardy A# >���(� ���50( %

Page 8: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

�J����NP# � $���N��N�#P� �{��$�P� N�>���N� �J P�N��>��$�� |���> ��|P�}��� : �F|�� ��|.J~N�N�!

�% �% �&�

|�/�)' ��920( � (�96��4� 2�� )���1* �, �������( � 28/' ��)��2 ����?�� ��� 9��/���� ����8/�4��� 2�� ��1* 9�/�((�1 (� 2(�8��� ��7 ��)�% P�� ?)�� 1 �,')�1 �����((62 �5��9�2 ��9( ��� � 5�,-3 (��� ����� )�� 7 �� ,�?8( 1 ����2' ��&/� ��/����,�, ���561 (��� /,� ��� �, ����% ��2���� (�B�� /� ��2�&� (/��(&� ��2( ������ � �'0������( �,&�� �2�� � ��(���(�(62 ��(��2 ��)(��� /,� �3( � /�8 �,��� )���1 2�� )���1 9�/�) ��920( ���/�� �� 1 � (�&��( )((62 2�0(����2 ������,�� ����6�62% D���6�* ��'0?���,((61 � ���� &�/' � ��5�� Shmoys* Tardos � Aardal G��H � ��(�3( B��1 9�/�?) * �69��, ���)���5��9(61 ���� ��,/����,-���1 ��� �(��� � B��1 �5,��� * )��9� ���,/'40 (���,-�� ,� �� �,� � ���/ (�,-(�2' ���/� 8( 4 � ������( �(�, 9 �,&�� �2�� � ��(���(�(62 ��(��2 ��)(��� /,� �,�&� ��/� 2�� ?)�� 7 9�/�) ��920( �% {,-4 (�3&� /��,�/� ��,���� ��,���� �59�� (� 5�,��8(67 �9',-�����* ��,')((67 � B��2 (�����,( %

! � /' 9(�) �,-(�&� ) �,� �9',-����� 8��� 7 �&��( )( 1 (� �5-2 /�(?(�&� 9,�8( � 26 �6('8/(6 �&��( ) �-�� M��2', �����2 9�/�) ����� 2 7������ �� ��2 ��,')((67 �9',-�����%

�������* )�� �,&�� �2 �3�� 9�/�)' ��920( � � ��)(���-4 � @ , ��,�����?�� 5, 8((62A* �, ��� 2���- (�1/((�&� 2 �3( � ��, )���� �� ��� 2��� ��� 2�,-(�&� ( 5�, )2 � � ��9% �,&�� �2 2� ��(���(�('4 ��(�' ��)(��� @ , ��,���� ��(���(�(62A* �, � < �5��,4�(�� ��(���(�� @( 9�� � � �� �7�/(67/�((67 ��(���(�1 9�/�) A%

!����� �����+���� �������� �� � ��������������� ��+��� ��� 5�%67����� ��������� ��8$ �� 5�, 9���(�1 9�/�)1 ��920( � ��,���� 9�/�?)� ��920( � ��/�� �� 1 � (�&��( )((62 2�0(����2 @uncapacitated facilitylocation problem* /�, UFLPA% ! 2�� )���1 UFLP 9�/�(6 2(�8���� D �'(���������� 2(�8���� F ��/�� �� 1 @ , * (�)* �'(���� ��92�8(�&� ��920( ���/�� �� 1A% �,� ��8/�&� ��/�� �� � i � F 9���(� (��� ���,-(�� ��� ?2���- &� ����6� � fi% �,� ,45�1 ���6 �'(���� i � F j � D 9�/�(� �������( cij 28/' ( 2 * ����8/�2� (������1 2�� ��1 (� 2(�8��� F D% N�5'�?�� (�1� ��/2(�8���� X � F @����6��267 , ��920�267A ��/�� �� 1 M'(�� 4 � : D X* (�9(�)�40'4 ��8/�2' �'(��' ������ �5�,'8 ��40 &���/�� �� * �����6 2 ( 2 9 �'4� �'22��(6 9�����6 (� ����6� /������'P

i�X fi EP

j�D c��j�j%�9���(�* )�� 2�� )���� UFLP MAX SNP?��'/(�; 5�, ��&�* Guha � Khuller

G��H ����9�, * )�� �'0������( �,&�� �2� � ��(��1 ��)(��� ����= /,� B��1 9�/�)

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<�&� �,���(/� �,���(/��� )*�(�� �'� 2��2�� � 2% �%J%��5�,�� �� ���*��% $���4&� �* ����� 5 ���* �=����* ���� �*�,% @�?=�=?�A ==?��?��* M��� @�?=�=?�A =�?�?��* e?mail: ageevLmath%nsc%ru

Page 9: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

�,)� NP � DTIMEGnO�log lognH% P% �� � /(�� @'��(� ���50( A 9�2� ,* )��(� ��2�2 /, ���4/� �,/'� PCNP%

D�,')((6 /,� 2�� )���1 UFLP �,&�� �2 )�� �9',-���6 ��/����,(6� � / ��5, �6 @����(( � �,/'4� ( 8A:

������ ������� �� ������� �����

���� LP rounding Shmoys et al����� �������� LP rounding�local search Guha � Khuller �� � ��������� LP rounding Chudak � Shmoys �� � ���� primal!dual Jain � Vazirani ���� ����

" � � local search Korupolu et al� �� � ��������" local search Charikar � Guha ���� �"����� LP rounding�primal!dual�local search Charikar � Guha ���� �"��� �� greedy Mahdian et al� �##� ����� � � local search Arya et al� �#�� ������� greedy Jain et al� �#�� ��"���" � LP rounding Sviridenko �#�� ������"� greedy� greedy augmentation Mahdian$ Ye � Zhang �#�� ��#�

��2� 2 ���5� �,4)�6 /��� 8( �%D��61 ��(���(�(61 �,&�� �2 � ��(��1 ��)(��� =��� /,� �3( � 2�� )���1

UFLP 56, ��'5, ����( � ���� &% � ��5�� Shmoys* Tardos � Aardal G��H% �( ��(�?��( (� �7( � ���'&,( � , (1(�1 �,����� @LP roundingA ��/����,�� ��5�1��9� � ��/7�/�* ��/,�8((�&� ��( � ��5���7 Lin � Vitter G��* ��H /,� �3( �9�/�) � p?2/ �(% ����/(�� ��/ ��'5, ����((67 ��(�� ����* �� (�/,8�0��Sviridenko G�=H* ��,')(� ���8 � ���,-9���( 2 B��1 �7( � %

��2� 2* )�� �,&�� �26* ���,-9'40 �5��0( � � ����/'��2 �3( � 9�/�), (1(�&� ���&��22 ����( �* ��(���� � ��9��/' (��25 (����(67% ! )���(��� * ��?���62 ��,�4��� �� 2��/6* ��(���((6 (� ���'&,( �7 ��� 2�,-((�&� �3( �, (1(�1 �,����� % �'0������( 7���3&� (��25 (����(�&� �,&�� �2� ��/?����,�� ���� ���� )�� 1 (���; /,� ����� )�� 7 �� 2(( 1 5�, �� ?&�/(6 ��25 (����(6 �,&�� �26* � � )(62 ��/���� �,�2 �����67 ��,�4����,&�� �26 � �� ,���,-(�&� �� ���* 8�/(6 ���2�?/��1���((6%

Korupolu* Plaxton � Rajaraman G��H '���(�� , * )�� �����13 1 �,&�� �2 ,�?��,-(�&� �� ��� @local searchA �3�� UFLP � ��(���(�(�1 ��(��1 ��)(��� @E �A%Guha � Khuller G��H ���,-9'� 5�, �,�8(� ���/,( �����(��� * (�3, 0�/ ( ������1 =?�� 5, 8((61 �,&�� �2 ,���,-(�&� �� ���% �( ���8 ����9�, *)�� �� 2(( �7( � 2��3��5 ����( �* �� ��/ � � ',')3( 4 B��1 ��(� /�����%

D��2�?/��1���((61 @primal?dualA 2��/ ����6 � '��7�2 56, �� 2(( Jain� Vazirani G��H* ��9��5����3 2 B,&�(�(61 2�,���'/�2� 1 �,&�� �2 � ��(��1��)(��� =%

Mahdian* Markakis* Saberi � Vazirani G��H ����9�, * )�� ������1 56���61 8�/?(61 @greedyA �,&�� �2* ��/,�8((61 Hochbaum 0 � (�)�, ��?7* 2� ��(���(�?('4 ��(�' ��)(��� @�����A% Jain* Mahdian � Saberi G�H /,� �����((�1 2�/ M ��?� B��&� �,&�� �2� ��,') , 0 5�, � ,-('4 ��(�' ����% ��,-(13 ��9� � B��&� ��/7�/� ��/�� (��� � G��H* &/ 9���,(� (� ,')3�� (� ��'0 1 2�2(� ��(�����%

Page 10: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �=

����2��� 2 ���- (� 5�, (���(6 �5�50( � 2�� )���1 UFLP* /,� ��?���67 '/�,��- ������ �- �,&�� �26 � ��(���(�(62 ��(��2 ��)(��� @�����,-?�' 26 ����2��� ��2 ��,-�� 2�� )�� 9�/�) * /�, �,��� �2�� )�� 1� 5'/���'����-��A%

9����+���� �������� �� � ������������� ��+��� ���$ ����2��� ��, �-/�� ��� �(�� B��&� �5�50( �:

�% ���� �&��( )( � (� 2�0(���- @hard capacitiesA* ��&/� ��8/� ��/�� �?� i � F 2�8� �5�,'8 ���- ( 5�,* )2 Ui �'(���� ������%

D��61 �,&�� �2 � �� ,���,-(�&� �� ��� /,� �/(���/(�&� @uniformA �,')�� Ui �U � ��(���(�(�1 ��(��1 ��)(��� 56, ������( Korupolu* Plaxton � Rajamaran G��H%�2 '/�,��- ����9��-* )�� �,&�� �2 (�7�/ � �3( � ��)(���-4 � E �% Chudak �Williamson G��H ����/����2 5�, ��(��&� �(�, 9� '���(�� , * )�� B��� �,&�� �2 (���2�2 /, /�� ,')3'4 ��(�' �E �% ! ��5�� Pal* Tardos � Wexler G��H /,� �50&��,')�� @��� 9��,-(67 UiA ��/,�8( �,&�� �2 � �� ,���,-(�&� �� ��� � ��(��1� E �%

�% �8��� �&��( )( � (� 2�0(���- @soft capacitiesA: � �'(�� i � F 2�8�56�- ��920(� ( �/(�* � (�&��( )((� ) �,� ��� 1 /�((�&� ��/�� �� �* ��8/�� 9 �����67 �����5(� �5�,'8 �- ( 5�,* )2 Ui �'(���� ������%

D��6 �9',-���6 ���8 56, ��,')(6 /,� �,')�� ���(67 Ui% �,&�� �2 c��(���(�(�1 ��(��1 ��)(��� � ������( '8 � � �(����1 ��5�� Shmoys* Tardos� Aardal G��H ��(���( (� ���'&,( , (1(�1 �,����� % D���/����2 ��1 8�7( � B��� �9',-��� 56, ',')3( /� = � ��5�� Chudak � Shmoys G��H% ��2� 2���8 �9',-��� Chudak � Williamson G��H: 9�/�)� � �/ (����62 Ui* � ������12�8(� ����6���- ( 5�, /�'7 ��� 1 ��/�� �� � � ��8/�2 �'(�� 2�8� 56�-�3(� � ��)(���-4 %

$,4)�� ���/� 8( � /�,-(132 56,� �/,�(� Jain � Vazirani G��H* �����6/,� �50&� �,')�� ����/����2 ������&� ��/( z � UFLP � ���,-9���( 2 ���5�?&� ���1���� @Lagrangean Multipliers Preserving* /�, LMPA 7 ���2�?/��1���((�&��,&�� �2� ��,') , 2�,���'/�2� 1 �,&�� �2 � ��(��1 ��)(��� �% ����,-9'� B��8 ��/( ��� �,-(61 LMP �?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,� UFLP* Jain* Mahdian� Saberi G�H ',')3 , B�' ��(�' /� =% ��2� 2 ���8* )�� 9�/�)� 2�8� 56�-�3(� �?�� 5, 8((62 �,&�� �2�2 ,���,-(�&� �� ��� @Arya et al% G=HA%

(���������e �� ����� �����+����� �������� ��$ ! B��1 �����(��� ) �,���920�267 ��/�� �� 1 ( �����7�/ � 9�/�((� ) �,� p @uncapacitated p?facilitylocation problem* /�, UpFLPA% ! )���(�2 �,')�* ��&/� ��� 2���- ����6� � ��?8/�&� ��/�� �� � ���(� (',4* /�((�� 9�/�)� B�� ��,(�(� 9�/�) o p?2/ �( @�������1 /�,8(� 56�- ����6�� � ��)(��� p?��/�� �� 1A%

D��61 �9',-��� 56, ��,')( /,� 9�/�) � p?2/ �(: Charikar* Guha* Tardos �Shmoys G�H ���,-9'� �7( �' ���'&,( � , (1(�1 �,����� Lin � Vitter ������ ?, �,&�� �2 � ��(��1 ��)(��� ��� % Jain � Vazirani G��H /,� UpFLP* ���,-9'� �7( ?�' ,�&��(8�67 �,����� 1 ���1 �,&�� �2 /,� UFLP ��� ����/'�'* ��9��5���, �,&�� �2 � ��(��1 ��)(��� �% +��� )�� * G��H ��/�8 � ��/( UpFLP � UFLP*��9��,�40 �� ,45�2' �?�� 5, 8((�2' �,&�� �2' /,� UFLP* �5,�/�402' LPM���1����2* ������ �- ��?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,� UpFLP% � ��2�0-4 B��&� ��?/( � Jain* Mahdian � Saberi G�H* ���,-9'� ���1 LMP �?�� 5, 8((61 �,&�� �2

Page 11: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

��,') , �?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,� UpFLP% ! B��1 8 ��5�� '���(��,(� ( 8?(�� ��(�� /,� 2�� )���1 9�/�) � p?2/ �(: '���(��,(�* )�� �, B�� 9�/�)�2�8� 56�- �3(� � ��)(���-4* 2(-31* )2 � E �

e* �� NP � DTIMEGnO�log lognH%

�,� 2�� )���1 9�/�) � p?2/ �( ����/(�� (� ��'0 1 2�2(� ��(�� = E �/��� &���� �,&�� �2�2 ,���,-(�&� �� ��� Arya et al% G=H%

�������������� ������ �����+����$ ! B��1 9�/�) 2(�8���� ��/�� �� 1F 9�/�(� � � / �5�/ (( � (�����40 7�� 2(�8��� F� � � � Fk% P(�8����Fl ����� � 9 ��/�� �� 1* (�7�/�0 7�� (� l?�2 '���(% $�8/�2' �'(��' ����?�� ��5'��� �������� �- �5�,'8 ��40 1 �'�-* ���7�/�0 1 ���,/����,-(� ��'���( * (�) (�� � ����&�* 9���() ��40 1�� (�����62 ��/�� �� 2 '���(� k ��2* )��56 2 ( 2 9 �����- �'22' ��� 2���1 ����6�67 ��/�� �� 1 ��� 2���1/������ �� ��/�� �� � ��7(&� '���(� /� �'(��� ������ �/�,- �5�,'8 ��40?&� �'� @��/�� �� �* )�9 �����6 ���7�/ � 7��� 56 �/ ( 9 �65��((67 �'�1�) ��4��� ����6�62 A% D� k C � B�� 9�/�)� �����/�� � UFLP%

! �,')� k C � �,&�� �2 � ��(��1 ��)(��� =��� (� ��(�� ���'&,( � , (1(�1�,����� ������( 0 � ����1 ��5�� Shmoys* Tardos � Aardal G��H% ! �,/'4?01 ��5�� Aardal* Chudak � Shmoys G�H ��/,�8 , =?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,��,')�� ��� 9��,-(�&� k* ���8 5�9 �'40 1�� (� ���'&,( ��� 2�,-(�&� �3( �, (1(�1 �,����� * �� )2 ���,/(�� 2�8� 56�- �3(� ��,-�� 2��/�2 B,, ?��� /��* �����,-�' 2� B����((� �,-(� ) �,� ��2((67% �� ��'0 1 2�2(���(�� = ��,���� ����/(�1* 7��� �,&�� �2 ���/ , 2�8(� �) ���- ����� )�� BMM�� �(62%

D��61 ��25 (����(61 �,&�� �2 � ��(��1 ��)(��� � ��/,�8( Bumb � KernG�H% �( ��(�� ��� � ��9��/' ���2�?/��1���((67 5�9 �'��� (� /�7 Jain �Vazirani G��H @(� ( ��,���� ���262 �5�50( 2 7 �,&�� �2�A% �9 B��&� �9',-����Bumb � Kern* ���,-9'� ��/( 9 G��H* ��,') , ��?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,�2(�&�'���(��1 9�/�) � (8��� 2 �&��( )( �2 (� 2�0(��� ��/�� �� 1% ��?��2 (/��(� B� �9',-���6 56, ',')3(6 � ��5�� Ageev G�H* &/ ����9�(�* )�� ��,45�2' �?�� 5, 8((�2' �,&�� �2' /,� UFLP 2�8(� ������ �- =�?�� 5, 8((61�,&�� �2 /,� 2(�&�'���(��1 9�/�) % ! )���(��� * 9 ����?�� 5, 8((�&� �,&�?� �2� � G�H* ��,')���� ��25 (����(61 =��=?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,� 2(�&�?'���(��1 9�/�) % .���(��,(� ���8* )�� ��25 (�� � B��&� ��/( � � LMP �?�� 5, 8((62 �,&�� �2�2 9 G�H /�� �?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,� 2(�&�'���?(��1 9�/�) � (8��� 2 �&��( )( �2 %

!����� � �������� ������ �������� ������$ ! UFLP ��8/�2' �'(��' ����?�� /�,8(� 56�- (�9(�)(� (������ ��/�� �� % ����2��� ��, �- /�� ��� �(?�� ��,�5,( � B��&� '�,�� � ? ���61* ��&/� 9� ('/��,����( ������ �'(���j � D �9 2���� 3���M p@jA @9�/�)� ��920( � �� 3���M�2 * facility locationwith penaltiesA �����1* ��&/� ��5'��� �5�,'8 �- ( 2( 9�/�((�&� ) �,� �'(�?��� ������ @9�/�)� ��920( � � &���(� ����((62 �5�,'8 ��( 2* robust facilitylocationA%

�,� �5 7 9�/�) ���6 ��(���(�(6 �� 5, 8((6 �,&�� �26 � �/ (�����1��(��1 ��)(��� = 56, ������(6 � ��5�� Charikar et al% G�H ����/����2 �/�?���� ���2�/��1���((�1 �7( � Jain � Vazirani G��H% D�9/( /,� 9�/�) ��

Page 12: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

3���M�2 Mahdian et al% G��H ����9�, * )�� (9(�) �,-(�� 2�/ M ��� 7 8�/?(�&� �,&�� �2� /,� UFLP �3�� � ��)(���-4 �% � ���,-9���( 2 /1 G�H ���&� 8�/(�&� �,&�� �2� �2��� �,&�� �2� Jain � Vazirani �( ���8 ������ , �?�� 5, 8((61 �,&�� �2 /,� �����1 9�/�) %

( ����� ������� �����+����$ |�/�)� ��, )���� �� UFLP �2* )�� ��8/����)�� ������ j � D �5�,'8 ����� rj ��/�� �� �2 �2��� �/(�&� @fault tolerantfacility locationA%

D��6 ��(���(�(6 �,&�� �26 ��,')(6 � ��5�� Guha* Meyerson � MunagalaG�=H% ! (�)�, �( �� �6��4� �?�� 5, 8((61 �,&�� �2* ��(���((61 (� �7( ����'&,( � , (1(�1 �,����� * 9��2 ',')3�4� B��� �9',-��� /� =��� ����/?����2 ��(/�2 9�� /�, /� ���� � ���,-9���( 2 �7( � ,���,-(�&� �� ���%

D'�2 ��25 ( ����( � '��9�((67 �63 �5�50( 1 2�8(� ��,')��- (��6 9�/�?) * /,� 5�,-3 (���� 9 �����67 ������ � �'0������( �� 5, 8((67 �,&�� �2��� ��(���(�(62 ��(��2 ��)(��� ������� ����6�62%

��5��� �6��,((� �� ��//�8� &��(��� �++� ��?��?�����* ��?��?���=* &��(��.�%��%��%��� D��&��226 P� �+ �.( ��� ��6 ���� � &��(�� INTAS ��?���%

J�N���N.��

��� K� I� Aardal� F� Chudak and D� B� Shmoys� �A ��approximation algorithm for the k�level uncapac�itated facility location problem�� Information Processing Letters� ��� ���� �� ��

��� A� A� Ageev� Improved approximation algorithms for multilevel facility location problems� to appearin Operations Research Letters�

��� V� Arya� N� Garg� R� Khandekar� A� Meyerson� K� Munagala� and V� Pandit� �Local search heuristicsfor k�median and facility location problems�� in� Proceedings of the ��rd ACM Symposium on Theoryof Computing� ACM Press� ����� pp� ��� �

��� A� F� Bumb and W� Kern� �A simple dual ascent algorithm for the multilevel facility location prob�lem�� in� Proceedings of the �th International Workshop on Approximation Algorithms for Combi�natorial Optimization Problems �APPROX������� Lecture Notes in Computer Science� Vol� ��� �Springer� Berlin� pp� ���� �����

��� M� Charikar and S� Guha� �Improved combinatorial algorithms for facility location and k�medianproblems�� in� Proceedings of the ��th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Sci�ence� IEEE Computer Society� pp� ������� � �

�� M� Charikar� S� Guha� E� Tardos� and D� B� Shmoys� A constant�factor approximation algorithmfor the k�median problem� in Proceedings of STOC� � ����

��� M� Charikar� S� Khuller� D� Mount� and G� Narasimhan� �Facility location with outliers�� in� Pro�ceedings of the ��th Annual ACM�SIAM Symposium on Discrete Algorithms� Washington DC� pp������ �����

��� F� A� Chudak� �Improved approximation algorithms for uncapacited facility location�� in� Proceed�ings of the �th Integer Programming and Combinatorial Optimization Conference� Lecture Notes inComputer Science� Vol� ����� Springer� Berlin� ���� �� � ��

� � F� A� Chudak and D� B Shmoys� �Improved approximation algorithms for the uncapacitated facilitylocation problem�� unpublished manuscript �� ���

���� F� A� Chudak and D� B Shmoys� Improved approximation algorithms for the capacitated facilitylocation problem� in Proceedings of SODA� � � �

���� F� A� Chudak and D� P� Williamson� Improved approximation algorithms for capacitated facilitylocation problems� in Proceedings of IPCO� �� ��

Page 13: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

���� S� Guha and S� Khuller� �Greedy strikes back� Improved facility location algorithms�� J of Algo�rithms� ��� ������ �� ��

���� S� Guha� A� Meyerson� and K� Munagala� Improved algorithms for fault tolerant facility location� inProceedings of SODA������ ��� �������

���� K� Jain and V� V� Vazirani� �Primal�dual approximation algorithms for metric facility locationand k� median problems�� in� Proceedings of the ��th Annual IEEE Symposium on Foundations ofComputer Science� IEEE Computer Society� � � pp� ����

���� K� Jain� M� Mahdian� and A� Saberi� �A new greedy approach for facility location problems�� toappear in Proceedings of the ��th ACM Symposium on Theory of Computing Montreal� Quebec�Canada� May � ���� �������

��� M� R� Korupolu� C� G� Plaxton� and R� Rajaraman� �Analysis of a local search heuristic for fa�cility location problems�� in� Proceedings of the th Annual ACM�SIAM Symposium on DiscreteAlgorithms �SODA���� ACM Press� � �� pp� ����

���� J��H� Lin and J� S� Vitter� Approximations algorithms for geometric median problems� Inform� Proc�Lett� ��� ����� �� ���

���� J��H� Lin and J� S� Vitter� ��approximations with minimum packing constraint violation� in Pro�ceeedings of STOC� �� ������� � ��

�� � M� Mahdian� E� Markakis� A� Saberi� and V� Vazirani� A greedy facility location algorithm analyzedusing dual �tting� to appear in Combinatorica�

���� M� Mahdian� Y� Ye� and J� Zhang� �A �����approximation algorithm for the uncapacitated facilitylocation problem�� manuscript �������http���www�math�mit�edu��mahdian�floc����ps

���� M� Pal� E� Tardos� and T� Wexler� Facility Location with nonuniform hard capacities� in Proceedingsof FOCS����� �������

���� D� Shmoys� E� Tardos� and K�I� Aardal� �Approximation algorithms for facility location problems��in� Proceedings of the �th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing �STOC ����ACM Press� � �� pp� ������

���� M� Sviridenko� �An ������approximation algorithm for the metric uncapacitated facility locationproblem�� to appear in Proceedings of the th Conference on Integer Programming and Combina�torial Optimization� May ��� � Cambridge� MA� �����

���� M� Thorup� �Quick k�median� k�center� and facility location for sparse graphs�� in� Automata Lan�guages and Programming ��th International Colloquium �ICALP������� Lecture Notes in ComputerScience� Vol� ���� �� ��� �����

Page 14: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

|���>� P�$��P�|�{�� �.PP������ D�N�$� P��F��$�!�$��DJ�N���� � ����J�P#P� DJ�N���#P� D��.>��� P�

O% �% � 2�/ * �% �% �,5��

:�������

! ���,/( /��� ,� (� ��� ��� ���� ��� 5�,-0'4 ���'�,-(���- ��?,') , ��,/����,-���?����� �((6 9�/�) * (�����,((6 (� ����/( M (�(?���67 �������52((67 ����� 1% �,��(62 �5��9�2 B�� 56,� ���9�(�* ��?���67*� ��9( �(��( 2 �6����&� '���(� �9� 2(67 (�,��81 /�,&�� 28/' ��9, )(6?2 ��/�� �� �2 * * ��?����67* � (7�����1 �5����(67 ��/���% �( 8( 4 (�?���8((��� M (�(����?B��(�2 )���1 � ��26 �����5������, 2��/6 ����/( ��9� 2�9�)�(67 �������52((67 ����� 1* ��9��5���((6 � ���,-9���( 2 2�?�2�� )���1 2�/, 9�/�) � � ��',�� 2 ( 2�,-(�1 ��� 2��� % F6,� ����9�(�*)�� (� ��(�� B��1 2��2�� )���1 2�/, 2�&'� 56�- �M��2', ����(6 �3(62(�& ��,-(� ��9( ��40 (� ����� � 9�/�) * ��� ���

� 9�/�)� 2��� 2�,-(�&� ��&�3( � /�,&�� 2��/�2 7 �,���5��9(�&� ���������������� @� ')��2 ��8(��� /�,&��A;

� 9�/�)� 2��� 2�,-(�&� 59/(8(�&� ��&�3( � /�,&�� 2��/�2 5������" 9�?)���;

� 9�/�)� ��� 2�,-(�&� ���,-9���( � �������6�������" ��'����* �6/,�?267 � (����7 ��'0���,( � 2��� 2�,-(� ��92�8(�&� �9� 2�9�)��% ����/' ��&��( )( 2 (� �50 ��, )���� ���,-9'267 ��/ �(67 ��'���� 2�&'� 56�-9�/�(6 ��/,-(6 ��92�6 ��/ ��� /,� ��8/�&� ��/�� �� �% ���'������ ���8�,�� ��/ ����( ��/,-(67 ��/�� �� 1%

� 9�/�)� �� ��� �,���5��9(67 �������������" ����� 1* �� �����67 ��/?�� �� � 2�&'� ��,') �- ��5'26 � ������ ��� 9��/���� ��'��6 @� ��/,�7�5�2�� ������A ��, 9����- ��� 9��/ 2'4 2 ���/'�� 4 @� ��/,�7 ������?���'40 7 �5�2�� ��� 9��/����A;

� 9�/�)� ����/( � 2��� 2�,-(�&� �9� 2�9�)�� /�,&�� � ���,-9���( 2 �,?���5��9(67 ������" �������������" ����� 1 @� ��2 ) �, � ')��2 ���(�?����(67 9�����A;

� ����/( �9� 2�9�)�(67 �������52((67 ����� 1* �� ������2 ') �6?����� ��� M (�(���61 BMM�� �� �6��,(( � ��8/�1 ��(���(�1 ����� * ��� �� �� �� @)�� 2�8� ���9��-�� ��8(62* (��� 2�* � ��)� 9�( � (�,�&��67�,'85A;

� ����/( ��������" �����5� @�, � (& I � ��2� 59(�, )(67 ���)���9� �����6* '�,'& * �((6 5'2�& * �� (�,�&��62 /�'& 2 �,��8�2* ��(���((�� (�9�)� �9� 2(67 ��5���( 1A%

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<� 2�/ O/'��/ ��1�'�/ (�� )* �,5�� � ��,�1 ���(�� )*�(�� �'� 2��2�� � 2% �% J% ��5�,�� �� ���*��% ���/2 �� $���4&�* �* ����� 5 ���* �=����* ���� �*�,%: @�?=�=?�A ==?��?��* e?mail: gimadiLmath%nsc%ru * niglebLmath%nsc%ru

Page 15: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

P��/6 �3( � B� 7 ��,/����,-���?����� �((67 9�/�) 5�,-31 )���-4 (�?����,(6 (� ���/�,( ��� (�96��267 (�� �'� �(�,-(67 ,��'3�* ��/ �����6?2 ��( 2�4� (BMM�� �(6 '���1) �6 (��26 ���/( � G�<�H: 5�����* (�,��?81* '7�/� �� (�,�&�� ����'�� * �� ��/�0 7 � (BMM�� �(62 M��2�2 ��&�( ?9�� ��/�� �� 1 M (�(����1 � ��26 � (�31 ����(% ���,/���( �2 �7 , (67 ������� ��) �,((67 ���5,2 �����0(6 ��5��6 G�<��H* � �����67 ��/?,�&�4��� 2��/6* ( ��9��,�40 � /������)(� ��,(�2 �5�2 ')��- ���5((��� ����2��� ��267 9�/�)% �� 5�, BMM�� �(62 /,� B� 7 �,1 ���9�,��- ���,-9�?��( �M��2', ����((�1 0 +��/�2 +�,����(�2 G�H 9�/�) � � ��',�� 2 ( ?2�,-(�1 ��� 2��� @|{P�A G=<H% �53 �(61 2��� �,* �����0((61 ���5((����2��, 9�� BMM�� �(67 @��, (�2 �,-(67A 2��/�� �3( � |{P� ����( �,-?(�2' �(�, 9' ��9, )(67 �,&�� �2��* ��/�8 ���* (��� 2�* � G��<��H%

D'��- G C @V�UA I �� (� ����((61 2',-� &��M � 2(�8����2 ��3 ( V 2(�8����2 /'& U %

�,� ,45�1 M'(�� w* ���/,((�1 (� 2(�8��� /'& &��M�* �5�9(�) 2 )�9divw@xA / ��&(� 4 M'(�� w � ��3 ( x � V * �6) �,�2'4 �� M��2',:

divw@xA CX

u�U��x�

w@uA�X

u�U��x�

w@uA �

&/ U�@xA� U�@xA I 2(�8���� /'& � &��M G* �67�/�0 7 9 ��3 (6 x �7�/�0 7� ��3 (' x ���������((�%

+'(�� 4 f * ���/,(('4 (� /'&�7 &��M� G C @V�UA* (�96��4� � ��',�� �((62������2 , 5�����5��* �, divf@vA C � /,� �����&� v � V %

! /�((�2 /��,�/ ����2��� ����� 9�/�)� ��9��9� 285�(����� 7 (�,��81�� '�,�� * )�� ( /��'������ �/��5(�� �5�,'8 ��( �,��8(67 ���')( 1* �%%�,��8 ��'0���,���� , 5� ��,(���-4* , 5� ( ��� 9��/ ��� ����2% D� B��2 /,���8/�&� 5�(�� ��/��,�&�4��� 9�/�((62 (�, )(6 �'226 �5����(67 /(8(67��/���% ! ��, ) �� �,')�� /��5(67 �,��81 ����2��� ��2�� 9�/�)� ��,����NP?��'/(�1* /,� �3( � ��/,�&���� �� 5, 8((61 �,&�� �2 ��, (�2 �,-?(�1 �,�8(��� %

#$ !����� �������� �� �� �� ���%������� ��� ����� ���������� ��� ������ �����������

� ��2� 285�(����� 7 ����� 1 �� �6����� �� (� ����((62 2',-� &��M�2G C @V�UA* &/ V C f�� ���� ng I 2(�8���� ��3 ( @5�(���A* U I 2(�8���� �� (?� ����((67 �5� @/'&A% $�8/�2' �,��8(�2' ���')( 4 u �� ����/' 9�/�((�1�'226 pu /(& 9 5�(�� i � 5�(� j � 2',-� &��M G C @V�UA ���������'� /'&�*�/'0�� 9 ��3 (6 i � ��3 (' j� |�/�(6 54/8�(6 �'226 /(& Bi* 240 ��(� �)�' 5�(��� i C �� ���� n%

7���� �������5 ������ ��!��������" �����!�� � ������� �����!���� ��������� 9��,4)���� � �65�� ����&� ��/2(�8���� eU U �,��8(67���')( 1* /,� ������&� /��� &���� 2��� 2�,-(61 �'22��(61 �5�2 �,��81X

u�eU pu maxeU�U @�A

Page 16: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

�� '�,�� * )�� /,� ��8/�&� 5�(�� i ��9(���- 28/' �5�2�2 �67�/�0 7 @�6?5��((67A �,��8(67 ���')( 1 �7�/�0 7 @�65��((67A �,��8(67 ���')( 1 (���63�� 54/8�(�1 �'226 Bi:

divep@iA � Bi� i � V� @�A

&/ ep I M'(�� �* �����/�40�� � p (� 2(�8��� eU ���(�� � � ����,-(67 �,')��7%�M��2', ����((�� 9�/�)� NP ?��'/(� @� (1 ��, (�2 �,-(� ���/ ��� 9�/�)�

=?��|F�����A%�5�9(�) � )�9 fu �,��8(61 ����� �� /'& u* 9�� 32 (���6�(61 @�/��5?

(61�A �(�,�& 9�/�) @�A<@�A: Xu�U

fu maxf

@=A

�� �6��,(( �,/'40 7 '�,�� 1

divf @iA � Bi� i � V� @�A

� � fu � pu� u � U� @A

|�/�)� @=A<@A ��, (�2 �,-(� ��9�3 2� �'�2 ��/( � � |{P� @/�5��,( 2 �&��M' G �/(�1 M �� �(�1 ��3 (6 �n M �� �(67 /'&A% D�(��(�* )�� �, ) (���� 2�,-(�&� �'22��(�&� ������ 9�/�) @=A<@A ��( ��� ���7' 9(�)( �,��1M'(�� 9�/�) @�A<@�A%

'$ ���%�������� �� ��� ��2���������� � ���������� ��� �����

������((�� /� ������( � �� 5, 8((�&� �,&�� �2� �3( � 9�/�) @�A<@�A����� � � ���5��9���( �2 , (62 �����5�2 ��� 2�,-(�&� �/��5(�&�� �3?( � B��1 9�/�) @��,')((�&�* (��� 2�* �'�2 ��/( � � |{P�A � �,�) �,((�@�� 5, 8((�A �3( %

! ��5�� �% F% F'�-�(� G�=H ���5��9���( ��� 2�,-(�&� /��5(�&� �3( � ��� 5, 8((� (/��5(� ��'0���,���� �'�2 �3( � �����'�(��� �/(�2�(679�/�) � ��(� � ��2((62 �� � (� 2(�8��� �,��8(67 ���')( 1 @28/' ��8/�1����1 5�(��� i� j� � i� j � n� i �C jA* ���������'40 7 ����,,,-(62 /'&�2* ��3/?3 2 � /��5(� �3( % ! ��)��� �2�� 2��� ��(��* ���������'40&� ��� i� j*5���� �'22� �,��81 9 5�(�� i � 5�(� j � ��� 2�,-(�2 /��5(�2 �3( % �'0?���((62 (/�������2 ����&� ��/7�/� ��,���� ��* )�� ��8/�� ����� 9�/�)� 2�8��5��9����- �,��8(61 / �5�,�(� �/(�&� 9 5�(��� i , j* ����( 261 � ��92��2�/(�&� �,��8(�&� ���')( �* * ��� 2 �5��9�2* �50 1 / �5�,�(� ,45�&� 5�(�� 2�?8� '�, ) �-�� � ) �,� ��9* ����( 2� � ) �,�2 �28(67 5�(��� @/��� &�40 2�, ) (6 O@nAA% ! � ,' B��&� ��,')((61 ���, �3( � 9�/�) � ��(� (�5�� /'& eU2�8� ���9��-�� (/��'�� 262* ������ �� 7�/ ��� ��������- ��9 �� ��9' 9�(������, ��,4)( � 9 /��5(�&� �3( � �,��8(67 ���')( 1 (� 5�,-3&� ��92?��% D� B��2* ��� ��2)���� � G�=H* ( ��,4)(�* )�� ��,')((� � �9',-���2(�8���� eU 2�8� ���9��-�� �'��62%

� 8 26 �� 32 �� 5, 8((61 ��, (�2 �,-(61 �,&�� �2 �3( � ��� 9�/�?) @�A<@�A* ��� 9�/�) * � ������1 � ����62 )����2 �&��( )( � @=A /��'������/�5��,( ��� (�96��267 /���,( �,-(67 54/8�(67 ��/���,( 1 5�(���%

Page 17: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

! ��(�� �,&�� �2� ,8�� �,/'40 M���6* ��/����,((6 P% �% �� � /(��(� �2 (�� � �P �� ���%

�% |� ��, (�2 �,-(� ��2� 2�8� 56�- ��,')(� ���� ��� 2�,-(� �3( @f�uA 9�/�) @=A<@A* )�� ��/&��M* (/'� ����((61 2(�8����2 �/��5(67� �5�*��,���� ,��2 @59 ')�� �� (��� �5�A% D� B��2 ��/ ������ ��( 2���� �?5��* /,� ������&� � � f�u � pu* � ���� �(�2 �,')� �5�� 5'/2 (�96���- ��������%

�% ���5(6 ��2��((�6 �3( � @f�uA* ���������'40 �5��2 (������&� ,?��* 2�&'� 56�- 59 '2(-3( � 7 �'22��(�&� ��� ���5��9���(6 9� ��, (�2 ?�,-(� ��2� � (/��5(6 ���* )�� 5�,�(� @/ ��&(� �A � ,45�1 ��3 ( i 92?( ��� ( 5�, )2 (� �, ) (' 2��� 2�,-(�&� �,��8(�&� ���')( � i?&� 5�(��bi C maxfpu j u � U�

i U�i g%

�9 B� 7 M����� �,/'� ��92�8(���- ������( � ��, (�2 �,-(�&� �,&�� �2���6���( � �3( � @fuA 9�/�) @�A<@�A* &/ fu C pu /,� u � eU fu C � � ���?� �(�2 �,')�* �� 9(�)( 2 �,��1 M'(�� * ( 2(-3 2 �, ) (6 ��� 2'2�*�� /��'0( '�, )( � 54/8�(67 �'22 5�(��� Bi (� �, ) (6* ( ���63�4?0 ��92�� bi 2��� 2�,-(�&� �,��8(�&� ���')( � 5�(�� i% ���4/�* � )���(��� *�,/'�* )�� � �,')� �7�/(67 /�((67* '/��,�����40 7 '�,�� �2

bi � Bi� i C �� � � � � n� @�A

2�8(� ������ �- �3( 9�/�) @�A<@�A �� 9(�)( 2 �,��1 M'(�� * ( 2(-3 2*)2 ��� 2'2 /��5(�&� ��,�5,( � B��1 9�/�) � ����62 )����2 � �&��( )( @�A*���(62 B�

i C Bi � bi� i C �� � � � � n% D� B��2 �7�/(6 54/8�(6 �'226 5�(���/���,( �,-(� '�, ) ���- '8 ( ����5'���%

! �,')� (�6��,(( � '�,�� 1 @�A* /,� '2(-3( � ��92��� /���,( �,-(67��/���,( 1 5�(��� ��9��5���(6 ����/'�6 ,���,-(�1 ������ ���� ��,')((�?&� (/��5(�&� �3( � @fuA* 2�8� 56�- 9� �)� (������&� '2(-3( � �'22��(�&��5�2� ����/((67 �,��81% ! (�)�, �� 5�(� ��920�2 � '9,�7 � ��2 /�,-(�?&� /���* � ���(��1 ��3 ( ������&� (�7�/ ��� 5�(� i � 2��� 2�,-(62 9(�)( 2divf@iA� ��5��� ��8/�1 9 ����/'� ���������� /� �7 ���* ���� �, ) (' divf@iA/,� 5�(�� � ���(��1 ��3 ( '/���� '2(-3 �-%

D���/'�� � ����2��� ��� �� /'& u 9 2(�8���� U�i � fu C pu 9 2(�8����

U�i c fu C �� ��/ /'& ����&� 2(�8���� �65�2 /'&' u* /,� ������1 /��� &��2 ( 2'2� �, ) (� maxfdivf @iA�pu� divf@jAEpug* � ��/ /'& �����&� I /'&' u* (�������1 2 ( 2�,-(� �, ) (� maxfdivf @iAEpu� divf @jA�pug% ��, 2(-3�� 9 /�'7��,')((67 �, ) ( ���������'� /'& 9 2(�8���� �67�/�0 7 /'&* �� ��,�&�2fu C �* � ���� �(�2 �,')� ��,�&�2 fu C pu% D��, B��&� ���) �6��2 9(�)( �M'(�� 1 divf @iA divf@jA ������ ��2 � ��2 /�,-(� /���%

D���/'�� � ����2��� ��� �� ��� ���1� 5�(��� i� k� j @� 5�(��2 i I � ���(?��1 ��3 (A ��� /'& u� � U�

k �U�i � u

� � U�i �U

�j � u

� � U�k �U

�j * )�� fu� � fu�

fu� C �� !65 ��2 ���'4 ���' k� j ���1�' @u�� u�� u�A* )�� �� fu� C pu� � fu� C � fu� C � / ��&(� � ������� ����((�&� ������ � ���(��1 ��3 ( ������((�&�� ��2 /�,-(�&� /��� 56,� 56 2 ( 2�,-(�1%

�,� �3( � 9�/�) @�A<@�A ��9��5���(� ���&��22(� �5��)( % N����6���)�6 (� �7�/(67 /�((67 � ) �,�2 5�(��� ���<�� ) �,�2 �,��8(67 ���'?)( 1 /� ��� �� ��/ , � �� 5, 8((�2' �3( 4 � �'22��(62 �5�2�2 ������

Page 18: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

285�(����� 7 �,��81 � (/, 262 �,��8(62 ���')( �2 * ��, )�402'?�� �� ��� 2�,-(�&� /��5(�&� �3( � ( 5�, )2 (� ����(��� �� ��5'267��92��7 54/8�(67 5�(����� 7 �'22 � ��/,�7 ��&� , 3- �/(�&� ����(�� ���5�2� �,��81%

�����6 �6��8�4� �� 9(��,-(���- P% �% �� � /(�� 9� �((6 ����6* ��,'?)((6 �� ��9��5��� 2��/� �3( � 9�/�) %

��5��� �6��,((� �� M (�(����1 ��//�8� &��(��� ���+ @����� ��?��?�����aA �++� @����� ��?��?���=A%

J�N���N.��

�% D�,���� ) !% P% 3�����5�������� ������ ,���������� ��6���� TTO��(�2 �� 2��2�� )�� 2��/6* ����* =* �6�%�%�% P������ !% J%* $,1(� �% F% 8����� � 9���: �����5�������� ,��� TT!�����6 B��(�2 � * ����* � � * �% ��? ���%=% � 2�/ O% �% ;������� ������� �������� TT ����-� � &�9� F 9(�?(����� @Moscow?newsA* � /��5�� ����%�% � 2�/ O% �%* �,5�� �% �%* |�,45���� 1 !% !% < ��������" �����" ��������������" ����� �������� TT � ����(61 �(�, 9 ��,/���( ����� 1* ����*��2 �* �� � �* � �* �% =�<=�%% � 2�/ O% �%* �,5�� �% �%* |�,45���� 1 !% !% < �����" 5�������������� ������������� TT � ����(61 �(�, 9 ��,/���( ����� 1* ����* ��2 * �� � �* � �*�% =<��%�% Ford L% R%* and Fulkerson D% R% Flows in Networks# Princeton University Press*Princeton* N% J%* ����%�% $�, �� ( �% �% <��������� ���������� ����� �������� TT P��2�� ?)��� 2�/, ����( % ���% N% �* � �% �% ��<��%�% $�, �� ( �% �% 7���� ������ ������" ����� �������� TT ���,�/6 ��%���% N% =�=* � �% �% ��<��%�% $�, �� ( �% �%* $'9-2 (� J% !% < ������ ������" ����� �������� TT P�?�2�� )��� 2�/, ����( % ���% N% �* � �% �% ��<��%��% $�, �� ( �% �%* P 7�1,�� �% D% 3������� ������ ���� ������ ������"����� TT P��2�� )��� 2�/, ����( % ���% N% �* � �% �% ���<���%��% { � �3� , �% "% 9����� ���� � ������� ������" ����� TT ��,-(?�����)(61 2��2�� )�� 1 �5��( �% ���% � �% �% ���<�=�%��% �( ��(�� �% �%* { � �3� , �% "% .������ ����������������� ���5��������������� ����� TT O��(�2 �� 2��% 2��/6% ����% N% =�* � =% �% =�<��%�=% F'�-�( �% F% ����!����� ������� �� ������� ��!��������" ��������!�� TT O��(�2 �� 2��% 2��/6% ����% N% =�* � �% �% ��<��%��% Goldberg A% V%* Tarjan R% E% Finding mimimum�cost circulations by cancellingnegative cycles TT J% Assoc% Comput% Mach% ����% V%=�* � �% P% ��=?���%�% Goldberg A% V%* Tarjan R% E% Finding mimimum�cost circulations by successiveapproximation TT Math% of Oper% Res% ����% V%�* � =% P% �=�<���%��% Johnson D% S%* McGeoch C% C% @eds%A Network =ows and matching: >rst DIMACSimplementation challenge @DIMACS series in discrete mathematics and theoretical com?puter scien�e* V% ��A% AMS* ���=%

Page 19: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

� ��|��"�P��N� �DN�P�|�{����#� |���>����#P �J����NP�P

�%�% �,5��

����2��� ��4��� �9',-���6* ����40 �� '�,�� 1 ��9�3 2��� (�����67 9�?/�) �,�) �,((�&� ���&��22 ����( � @��25 (����(�1 ��� 2 9�� A ����/����2�,&�� �2� ������/ (��(�&� ��/�2� @8�/(�&� �,&�� �2�A%

|�/�)� �,�) �,((�&� ���&��22 ����( � 7������ 9'��� ��()(62 2(�8��?��2 eQ /��'�� 267 �3( 1* B,2(�6 ������&� ��,�4��� (��� ���,-(62 �,�?) �,((62 ������2 * �,��1 M'(�� 1 f� �� (�/,8�01 ���/,((�2' �,���'�� �)- 5'/� /� � 9�/�)�7 2��� 2 9�� %

! �,')� ���,-9���( � 8�/(�&� �,&�� �2� (���/' � 2(�8����2 /��'�� 267�3( 1 eQ 9�/���� ���8 (������ 2(�8���� Q� ��,4)�40 � �5� eQ� B,2(�6������&� 2�&'� �����2��� ���-��� 8�/(62 �,&�� �2�2 � ������ �� ��� ��� ?2�,-(�&� /��'�� 2�&� �3( �%

��&,��(� ����2��� ��2�1 ��� �,&�� �2� ������/ (��(�&� ��/�2� �������6) �,( 1 (�) (���� � ��)� �% @D�/��,�&����* )�� (�)�,� ����/ (�� �� (�/?,8 �QA% D� /��� 8( (������1 ��)� x � Q (� �)�/(�2 3�& ������� ��� �?7�/ � ��7�/ � ����1 ��)� x� � Q� �� ������2 ��,-�� �/(� 9 ����/ (�� ������ x 92(����* '�, ) ����- (� �* �� ��0( M'(�� f@xA ���96����� 2��� 2�,-?(62 @� � �,')� x � eQ I ��,�8 �,-(62A% D����� �6) �,( 1 9���() ����� @���,/(��A /��� &('��� ��)�� �5���,���� �9',-����2 ��5��6 �,&�� �2�* �, ��'0��� �- 9 ( ��7�/ � /�'&'4 ��)�' � ��5,4/( 2 ��) �,((67 �63'�,�� 1 (��92�8(�%

>�� ������� 2(�8��� Q eQ� ��* M��� )�� * ��,/���, �- /�� �,')��: � �/?(�2 9 ( 7 Q C eQ� � � /�'&�2 I eQ ��/����,�� ��5�1 2(�8���� 2��� 2�,-(67��(�� �,-(� )��� )(�&� ����/�� � ��)� 2(�8���� Q�

D� ����/' �,���� � �,�67 M'(�� 1 f 2�8(� ��2� �-* )�� (� 5�,-3 �( ?2�( ��,/����,1 56,� '/,(� �,����2 , (1(67 ��&('�67 �����5,-(67M'(�� 1% |����('� 56, ���8 �,��� M'(�� 1* ��,�40 7�� �'����9 � 1 ��&('?�67 �����5,-(67 , (1(67 M'(�� 1%

����/' � �63'��9�((�1 ��� 1 �,&�� �2� ����2��� ��, �- ���8 (�����6 2�/ M ��� % ��, � ��(��(�2 ��� �(� ����2��� ��2�&� �,&�� �2� 2(�8?���� /��'�� 267 (�����,( 1 ��7�/� 9 ��'01 ��)� � �,/'40'4 ���/,������,-�� '�,�� 2 �� (�/,8(��� ���,/(1 2(�8���' Q� �� � 2�/ M � ����((67��� �7 B�� 2(�8���� �2 , (62 �5��9�2 �'8����%

�,/'� ���8 '��2�('�-* )�� ����2��� ��, �- '�,�� � ��9�3 2��� 8�/(62�,&�� �2�2 ��� �,-(�1 9�/�) � /, ((132 �'� � �� �, )���2 &��M* ���������/����,�� ��5�1 �5�50( �63'��2�('�67 9�/�) �,�) �,((�&� ���&��22 ?����( � � ��2 �,')�* ��&/� Q ��,���� 2(�8����2 5',�67 �������%

��5��� ��//�8�(� &��(��2 �++� ��<��<���= &��(��2 .( ��� ��6 ���� .�%��%��%���%IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<�,5�� � ��,�1 ���(�� )*����� 5 ��� 1 &��'/�����((61 '( ��� ��*',% D ��&��� �* ����� 5 ���* �=����* ���� �; e?mail: niglebLmath%nsc%ru

Page 20: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �=

J�N���N.��

G�H �,5�� �%�%* <� ���� ������ ���� ��������� 5������������ ��������������� TT .����,�26 � ��26: �5% (�')% ��% ����� 5 ���: �(�� �'� P��2�� ?� �� �� ����% ���=% !6�% ##% �% =�?��%

G�H �,5�� �%�%* < ��������� ����� ������������� ������ � ��������������� ��������� 5������������ �������������� TT .����,�26 � ��?26: �5% (�')% ��% ����� 5 ���: �(�� �'� 2��2�� � �� �� ����% ����%!6�% #0% �% �?�%

G=H �,5�� �%�%* - ������ ����� ������ ����� ��������" ��������� �������������� ��?��� TT � ����(61 �(�, 9 ��,/���( ����� 1% �� � �*����* N%�* �=* �<�

G�H �,5�� �% �%* "(2�1� !% !%* < ��������� �������� �������������� ��?��� � ������ 5������������ �������������� TT � ����% �(�, 9 ��,/% ����� 1% ����% ��% #* N% 0* N �% �% =�?��%

GH �,5�� �% �%* "(2�1� !% !%*@���� ������� � ����� � �������� ���TT P��� �,6 P8/'(���/(�1 $�(M�(� �D��5,26 ��� 2 9�� B��(�?2 )�� �� ,�8( ��* �2��* ����%

G�H $�,26)����� �% !%* Q�������� �������� �������� ������������� ������� �� ������ TT .����,�26 � ��26: �5% (�')% ��% ����� 5 ���: �(�� ?�'� 2��2�� � �� �� ����% ����% !6�% '#% �% �=?��%

G�H ��) (( ��� !% �%* <� ���� ����� 5������������ ������������� TT $ 5�?(� ��% ����% N #% �%�=�?�=%

G�H "(2�1� !% !%*;������5� ������� 5������ 6���5 � ������� !������������� TT � ����% �(�, 9 ��,/% ����� 1% ����% ��% #* N% /* N �% �% ���?���%

G�H Bixbi R% E%* Cunningham W% H%* Matroid optimization and algorithms TT in: Hand?book of combinatorics% Eds% R% Graham* M% Grotchel* and L% Lovasz% Amsterdam:Elsevier% ���% P% �?���%

G��H Bjorner A%* On matroids� groups� and exchange languages TT in: Matroid Theory%Eds% L% Lovasz and A% Recski% Amsterdam and Budapest: North Holland% ���%P% �?��% @Colloq% Math% Soc% J% Bolyai% Vol% -&A%

G��H Edmonds J%* Submodular functions� matroids and certain polyhedra TT in: Combina?torial Structures and their Applications% Eds% R% K% Guy* H% Hanani* N% Sauer* andJ% Schonheim% New York: Gordon and Breach% ����% P% ��?��%

G��H Edmonds J%*Matroids and the greedy algorithm TT Math% Programming% ����% Vol% #*N �% P% ���?�=�%

G�=H Goecke O%* A greedy algorithm for hereditary set systems and a generalization of theRado�Edmonds characterization of matroids TT Discrete Appl% Math% ����% Vol% '&%P% =�?��%

Page 21: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

G��H Goecke O%* Korte B%* Lov�asz L%* Examples and algorithmic properties of greedoidsTT in: Combinatorial Optimization% Ed% B% Simeone% Berlin: Springer?Verlag% ����%P% ��=?���% @Lecture Notes in Math% Vol% #-&,A%

G�H Goetchel R%* Linear objective functions on certain classes of greedoids TT DiscreteAppl% Math% ����% Vol% #-* N �% P% ��?��%

G��H Korte B%* Lov�asz L%*Mathematical structures underlying greedy algorithm TT in: Fun?damentals of Computation Theory% Ed% F% Gesceg% Berlin and New York: Springer%����% P% ��?���% @Lecture Notes in Computer Sciences% Vol% ##0A%

G��H Korte B%* Lov�asz L%* Greedoids and linear objective functions TT SIAM J% Algebraicand Discrete Math% ����% Vol% .* N% �% P% ���?�=�%

G��H Korte B%* Lov�asz L%* Schrader* R%* Greedoids# Algorithms and Combinatorics TTBerlin: -% Springer?Verlag% ����%

G��H Kruskal J% B%* On the shortest spanning subtree of a graph and the travelling salesmanproblem TT Proc% Amer% Math% Soc% ���% Vol% 0* N �% P% ��?�%

G��H Prim R% C%* Shortest connection networks and some generalizations TT Bell SystemTehn% J% ���% P% �=��?����%

G��H Rado R%* A theorem on independence relations TT Quart% J% Math% Oxford% ����%Vol% #,% P% �=?��%

G��H Rado R%* Note on independence functions TT Proc% London Math% Soc% ���% Vol% 0*N =% P% =��?=��%

Page 22: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

�<���P�N�>��$�� ��F����?$��N�>��$�����.J ��#� ���+# � !#��$�� �! |���N~�

�% �% ��5�6( (* J% �% P,-( ���* �% !% D��� (

#$ :�������$ D'��- G C @V�EA I �56�(��((61 &p�M 59 ��,- ����?(67 �5�% !�-2� ��8(62 /,� 9')( � 7��2�� )���&� ) �,� &��M� ��,������(�� �5�(�?�� � )���&� k<7��2�� )���&� &��M�* ��/((�&� � ����2% ��, k<7��2�� )�� 1 &��M G ���, '/�,( � ,45�&� �5�� ���(�� ��� @k � �A<7��2�?� )�� 2* �� G (�96����� ���������������� &��M�2% �,� 2�,67 k �� ��� &��M6 9���(6* �/(���* (�) (�� � k C �* ���'��'�� �5�(�?�� � )�� 7 &��M�����(�� ��� /������)(� 5�&���1% ��) (�� � ��?7 &�/��* ���� , �- ��9, )(6 & ���?96* �����62 �����0(6 2(�&�) �,((6 ����- * / ������ �( & G��* ��H% ��& ���96 O�/3� � ���� ����2���(6 ������2 /��,�/�%

! ���� &% O�/3 G�H ��/��,�8 , �'0������( r<�&',��(67 �5�(�?�� � ?)�� 7 �<7��2�� )�� 7 &��M�� /,� ��7 r � =% N�2 8 �( ��2� ,* )�� 2' ( 9���(6 ��� &��M6 /,� r � �% ! ���� &% � ��� G* �H �M��2', ����, & ���9' ��'0������( ��3 ((� r<���9(67 �5�(�?�� � )�� 7 �<7��2�� )�� 7 &��M��/,� ��7 r � �% ��2� 2* )�� /,� r C = �'0���'� / (���((61 ����1 �� 2� I��,(61 &��M K�* )�� ,&�� �,/'� 9 �,��� )���1 ���26 F�'��� G=H% F'/2 (�?96���- &��M6* '/��,�����40 '��9�((62 & ���9�2 O�/3� � ����* ���6��U���� ����� ���������((�% ��)(2 ��) �,( 9���(67 �<�&',��(67�5�(�?�� � )�� 7 �<7��2�� )�� 7 &��M�� � ������((�1 ��,,� ��(���'�� G�H% ���M6 B��1 ��(���'�� ( ��,�4��� ��3 ((� ���(9 � �(62 % ��'&�� ��-2�(�8 /�((�� ��(���'�� � �,��� 7 �<�&',��(67 �5�(�?�� � )�� 7 �<7��2�� ?)�� 7 &��M�� �� (�/,8 � $����'* ���� �3&� ��� ���,-(� (� & ���96 ��,?,� � ���� � ��2* )�� �,��� �5�(�?�� � )�� �<7��2�� )�� &��M6 �n ��3 (�2 24� ( 5�, �n � = �5� G�=* ��H% $� � )�� &��M6 $��������8 ( ��,�4��� ��3 ((� ���(9 � �(62 % �/(��� ����1 ( �,��� 1 ��3 (?(� ���(9 � �(61 &��M �'0���'� 9���( � ��?7 &�/�� I B�� ��� (�96��2615������� C@�=; �� A% O��� &��M ����)���� � ��5���7 �(�(� ��1,� G��H* >��G�H* ��5,- ��1�,- G�H% ��'& ��(���'�� �<�&',��(67 �5�(�?�� � )�� 7�<7��2�� )�� 7 &��M�� 2�8(� (�1� ' ���� &(�� P,-( ���� G�H* � ���8 ' (&�� G��H%

��9��2 &��M G C C@n; a�� a�� ���� ak��A 5���������* �, 2(�8���� &� ��?3 ( V @GA C f�� �� �� � � � � n � �g 2(�8���� &� �5� E@GA C f@i� jA : ji � jj �fa�� a�� � � � � ak��g @mod nAg* &/ � � a� � a� � � � � � ak�� � n��% ��, ak�� � n��*�� � ��',�(� G 5'/� �k<�&',��(62 &��M�2* �, ak�� C n��* �� � ��',�(� GI @�k � �A<�&',��(61 &��M% !� � ��',�(�6 ��,�4��� ��3 ((� ���(9 � �(6?2 % $�(���'�� � <�&',��(67 �5�(�?�� � )�� 7 �<7��2�� )�� 7 &��M�� 56?,� ��/,�8(� �(�(�2 � / ������ � ���� &% G��H% O� &��M6 24� �k* k � =*��3 ( ���(� /� ��5 �6* �% % ���8 ( ��,�4��� ��3 ((� ���(9 � �(62 %IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<��5�6( ( �(/�1 �,��� )* P,-( ��� J�( / ��&� )*D��� ( �p�2 !�,p-� )* �(�� �'� 2��2�� � 2% �% J% ��5�,�� �� ��H*�p% ��% $���4&�* �* H���� 5 p��* �=����* ���� �*�,% @=�=?�A?==?��?��* @=�=?�A?==?=�?��* M��� @=�=?�A?==?�?��*email: dobrLmath%nsc%ru* omelnLmath%nsc%ru* artemLmath%nsc%ru

Page 23: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

D��61 �� 2� �<�&',��(�&� &��M� O�/3� ������( D��� (62 � ���� &% G��H%O�� � ��',�(� C@��; �� �� ��A% �)� /(�* B��� &��M ��,���� ��3 ((� ���(9 � �?(62 �<�&',��(62* (� ����2 ( �)� /(�* )�� �( �5�(�?�� � )�� 1 �<7��2�� ?)�� 1% N�2 8 D��� ( ������ , & ���9' � ��2* )�� � ��',�(� C@����; �� �� ��� =��A��,���� �<�&',��(62 �5�(�?�� � )�� 2 �<7��2�� )�� 2 &��M�2% P,-( ?��� ��5�6( ( � ���� &% ���/�,8 , 9')( =<��������� � ��',�(��� /���9�, *)�� 2(�& �21���� � ��',�(��� ��,�4��� =<7��2�� )�� 2 @�% % �� �/((6�63 �� 2�6 � ��',�(��� ��,�4��� � ��,4) �,-(62 �A* � ���8 ������&, & ?���9' D��� (�* ����9��* )�� � ��',�(� C@����; �� �� ��� =��A I =<7��2�� )�� 1%

��(��(�� �,- (�3 7 ��,/���( 1 I (�1� ��3 ((� ���(9 � �(6 r<�&',��?(6 �5�(�?�� � )�� �<7��2�� )�� &��M6 /,� r � �%

'$ ��� ���� ����� �� ,;������� ���������� ������ ��$ { ��'?,�(� C@n; a�� a�� � � � � ak��A /��'���� (�/(�9(�)(���- ��/����,( �* (��� 2�* � �?�',�(� D��� (� 2� �� ��9, )(67 ��/����,( �

C@��; �� �� ��A �C C@��; �� �� ��A �C C@��; �� �=� �A�

���,/( /�� 9 �����67 (�9��2 ������� ����&� ��/����,( �% �(�&/� (?��� � ����(�)�,-(�&� ��/����,( � � ��',�(�� 2� � 8 ����2��6* )�� ���? �7�/ �* (��� 2�* /,� C@�=; �� A%

D'��- a� C � A C fa�� � � � � ak��g C Ae Ao* &/ Ae ��- 2(�8���� )�(67 ai* �Ao I 2(�8���� ()�(67 ai% �,� M �� ����((�&� a � A ,45�&� b � @A a�A n fag���/, 2 ����2��6 (��� ��(�� �,-(� a �,/'40 2 �5��9�2

n�a@bA C minfr � � j r � a � �b @mod nAg�

��9��2 � ��',�(� C@n; a�� a�� � � � � ak��A ����������* �, n ()�(�* @n� aiA C�� n � � @mod =A* a� C �* ai � � @mod =A /,� i � f�� �� � � � � k � �g /,� ��7 a � A ,45�&� b � @A a�A n fag �����/, �� ����(�3(

n�a@bA � � @mod =A�

+��� )�� /,� (�7�8/( � (��2�,-(67 � ��',�(��� ('8(� �3��- � ��26/ �M�(���67 '���(( 1% $ ��8�,( 4* �� 5�,-3 7 k ) �,� ��� 7 � ��2 ���?(�� ��� (����,-�� 5�,-3 2* )�� /�8 /,� k � � (�1� (��2�,-(6 � ��',�(�6��-2� �,�8(�% �/� 9')( � (��2�,-(67 � ��',�(��� �� (�/,8 � D��� (' *��� ����96��� �,/'40�� ,22�* ������ � �5�(�1 �� � )(��� B� 7 � ��',�(����3���� ����2�� )�� %

����� #$ W�� G X ���������� 5�������� �� �� ������ ����� e � E@GA"����������� ���� @G n eA C =#

�,� /���9��,-���� �<7��2�� )(��� ('8(� 5�, ��/��5(� 9')��- ���1����=<��������� � ��',�(���% J45�� =<��������� � 2�8� 56�- ��/����,(� ��� � ?�, )��� �,���* ������,((� 9 ��7 � 2��,��* (��� 2�:

� � � �� Y � �� =� Z � �� �� �� �� ( � =� �� =� �� =� �� Y � �� =� Z � �� �� ( � Y � Z � �� � � � @�A

��, ��8/� 2��� 2�,-(� �<���(� ��/�,��� ����� � 9 )�(�&� ) �,� � 2��?,��* �� (�9��2 ���'4 =<��������' � ����������% ! � �, )���2 �,�� ��()?(6 � 2��,6 2��� 2�,-(�&� �<���(�&� ��/�,��� (�96��4��� ������ ����,-?(6 � 2��,6 I ��������� @(��� 2�* � �,�� @�A �(3( � 2��,6 �6/,(6

Page 24: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

�'�� ��2A% ! �� �/ )���1 =<�������� ��/�,���* ������0 9 ���,/����,-(67�(3( 7 � 2��,�� @c�� c�� � � � � ckA 59 ')�� �('��(( 7 � 2��,��* ��/����,�� ��5�1�� �/ )��� �,��� � �� �/�2 @�� �� =A% D�/�,���* ������0 9 ���,/����,-(67�('��(( 7 � 2��,�� 28/' ci ci��* ��&/� ����� � 9 )�(�&� ) �,� � 2��,���li @��92�8(�* ���(�&� (',4A% ��, �� li � f�� �g* �� (�9��2 =<��������' ������ ����������% ��9��2 =<7��2�� )�� 1 � ��',�(� G ��������� @��������������A* �, ,45�� &� =<��������� � ��,���� �� �/ )���1 @� ,-(� �?� �/ )���1A% N�� ��� ��/�,���* ������0 9 ���,/����,-(67 �(3( 7 � 2��,��*@c�� c�� � � � � ckA* 59 ')�� �('��(( 7 � 2��,�� ��/����,�� ��5�1 �� �/ )��� �,�?�� � /, (�1 �� �/� �� �50 ) �,� ��3 ( � (��2�,-(�2 � ��',�(� ()�(�* ��k C �t E =% .) �6��� �('��(( � 2��,6* 2�8(� ��/�) ���- �50 ) �,� ��3 (� (��2�,-(�2 � ��',�(�:

n C �tE = E �t��Xi��

li �

,$ ��� ���� ����� �� ������������ ������ ��$ $ (�����02' ��?2( ��,')(6 (���,-�� �� �� � �� �/ )(��� � ��',�(���* '��9�((6 � �,?/'401 ,22%

����� '$ ����� G C C@n; a�� a�� � � � � ak��A ���� Y$"���������� ����������5�������# ���

�A ��� ���������� ����������� p q ����� ��� ap C aq E =� �� 5�������G X ����� ���������[

�A ��� ���������� ����������� q ������ ��� n C �aq E =� �� 5������� G X����� ���������[

=A ��� ���������� ����������� p� q r ����� ��� apEaq�� C ar %�����!��p C q*� �� 5������� G X ���������#

��, ����2��6 � ��',�(���* '/��,�����40 ,22 �* 5'/'� �6/,��-�� 8 �?(62 3� M��2%

D'��- li�j C li E li�� E � � � E lj /,� i � j% �5�9(�) 2 )�9 Ia@mA ,�& )���9(�)( (���(���� li�m�i � @a��m�=A��E� /,� a � Ao (���(���� li�m�i�� �@a��m��A��E� /,� a � Ae% �(�,�& )(� �5�9(�) 2 )�9 Ja@mA 9(�)( (���(����lj�m�j�� � @a� �m� =A��� � /,� a � Ao (���(���� lj�m�j� � @a� �m� �A��� �/,� a � Ae%

����� ,$ ����� G X ���������� ��������� Y$"���������� 5������� A C fa�� � � � � ak��g C Ae Ao# ���

�A �� ������ ������������ i ������ a � Ae ����������� li�i�� � a�� � �[

�A �� ����" ����������" i� j� �� ������ ��o��5��������� m ������ a � A����� Ia@mA � Ja@mA#

<���� ��� #$ ��� a � Ao ����������� Ia�a��

�� � �� a � Ae ���������

Ia�a��

�#

Page 25: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

����� -$ ����� GX ���������� ��������� Y$"���������� 5��������A C fa�� ���� ak��g C Ae Ao# ��� ���������� �����5�������� 5���� t ���������

�A �� ������ a � Ao ���������� �����5�������� 5���� ma �a�������� ���

n � �atE =a� �man � �n[

�A �� ������ a � Ae ���������� �����5�������� 5���� ma �a�������� ���

�n � �atE =a� �man � �n#

�,� (��2�,-(67 � ,-(� �� �/ )�� 7 =<7��2�� )�� 7 � ��',�(��� �����/?, �� ��(�� ma � da����

e /,� ()�(�&� a ma � da�����e /,� )�(�&� a%

-$ (������� ������ � � � ������ "���2�$ D�/,�8(� (��� 5�, ���?��� /���9��,-���� �9',-���� D��� (� G��H

������� #$ \�������

C@��; ��3�#-A �C C@��; �� ��� �A �C C@��; �� �=� �A

�������� ���������� ]$"���������� � ������������� ^$���������� ���6��U����#

D�����( 0 �/ ( �<�&',��(61 &��M O�/3� � 2(-3 2 ) �,�2 ��3 (%

������� '$ \�������

C@��; ��',�--A �C C@��; �� ��� =�A �C C@��; �� �=� =�A

�������� ���������� ]$"����������� ������������� ^$���������� ���6��U����#

D�����(6 /���- ( 9�2��M(67 �<�&',��(67 &��M�� O�/3� � ) �,�2 ��3 (�� ��� /� ��%

������� ,$ \��������

C@���; �� =�� ���� �=�A C@,,0; �� =� ���#/0A* C@=��; �� ��#0,�#0/A*C@��=; ��#,0�#-&� ���A* C@���; �� ����#0&�#0,A* C@���; ��#&-� ����'&/A*C@��; ��#-�'/� ���A* C@��; ��3,�#/-� ���A* C@��; ��-0�4'� ��A*C@��; ��-0�4'� ���A

�������� ���������� ]$"���������� � ������������� _$���������� ����6�� U����#

N��8 (�1/(6 )�6� ( 9�2��M(67 ��<�&',��(67 &��M�� O�/3� � ) �,�2��3 ( �� ���= /� ����%

������� -$ \��������

C@���=; �� ���',/� =���-0&A* C@�=��; ��43�#4-� �=�� ��A�C@���=; ��',,� =���-/-� ��=A* C@����; ��/.�/3� ��=� ���A

�������� ���������� ]$"���������� � ������������� Z)$���������� ����6�� U����#

Page 26: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

.$ (������� ������ � � � ������ ����$ ��(��6����- (� ��5�� ��7��� ��3 ( ���2 P(&��* >�� G�H /���9�, ��3 (('4 �<���9(���- � ��',�(��C@�=; �� A% �&� ��/7�/ ����� )�� (��92�8(� �� 2( �- � ������((62 �63&��M�2 O�/3�% D�B��2' 26 ���,-9'2 /�� /�'& 7 ��/7�/�* ���61 9 �����67�� (�/,8 � F�3' N (/,,'* /���9��3 7 �,/'40'4 ���2' G�H:

������� .$ \������� G C C@n; a�� a�� � � � � ak��A ���� ��������� ����������@GA ������� ��� ������ �@GA ���� ������ ����� ���� ���� n ��������� ���������� ����������� ������ m� mjn� ������ ��� ���� �������" �����!������" �������� �� ����� ���� a�� a�� � � � � ak��� n� a�� n� a�� � � � � n� ak���� m ������ ������ minfm� ���m�ng#

> �,� ��3 ( �� ��7 � ��',�(��7 9 ���2 �<� , 5� ������* , 5� ��9,�&����(� ���' �����67 2(�8 �,1% N�&/� �� ���2 7 ��3 ((6 ���9(��� �@GA���(6 7 ���(�2 �@GA%

!����1 ��/7�/ �� ����� (� �,/'40 1 �9',-��� P�/�� !��� (��* ��(���(?(61 (� 9')( ��� 9��,-(67 ��3 ((� ���(9 � �(67 &��M�� G�* ��* ��* ��H:

������� /$ W�� ������� ������� ���������� ���6 G �� ����!� K���� �������� ��������� �@GA ����� ��� ������ �@GA#

N�� ��� �� �63��) �,((6 � ��',�(�6 ( ��/�8�� /�8 K�* �� ��3 (?(�� ���9(���- �@GA ���(� 7 ���(�2 �@GA% N�� 2 �5��9�2* 26 /�'2� �����5�2 /���9�, * )�� �� ����2���((6 � ��',�(�6 ��,�4��� &��M�2 � ����%

��5��� �6��,((� �� M (�(����1 ��//p8� �++� @��/6 ������� ��?��?���=� ��?��?���=�A% N�� 1 ����� 5,�&�/�� � +�(/ ��/1��� � ��)���((�1 (�'�%

J�N���N.��

�% ���� &(� !% �%* P,-( ��� J% �% @����A 7��� ����!���� �� �������6�� �����������# ��.* ����� 5 ���%

�% Boesch F%* Tindell R% @����A Circulants and their connectivities# J% Graph Theory3* ���<���%

=% Brooks R% L% @����A On coloring the nodes of a network# Proc% Cambridge Phil%Soc% ,0* ���<���%

�% Chao Chong<Yun @����A A critically chromatic graph# Discrete Math% #0'* =<�%

% Dirac G% A% @����A ]$chrome Graphen Trennende und vollst4andige ]$Graphen#Math% Nachr% ''* �<��%

�% Dirac G% A% @����A In abstrakten Graphen vorhandene vollst4andige ]$Graphen undihre Unterteilungen# Math% Nachr% ''* ��<�%

�% Erdxos P% @����A On some aspects of my work with Gabriel Dirac# In: L%D% Andersen*I%T% Jakobsen* C% Tomassen* B% Toft and P%D% Vestergaard* eds%* Graph Theory inMemory of G%A% Dirac* North?Holland* Annals of Discrete Mathematics% -#* ���<���%

Page 27: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

=� ��������� ������

�% Gallai T% @���=A Kritische Graphen I# Publ% Math% Inst% Hungar% Acad% Sci% 3*��<���%

�% Gxobel F%* Neutel E% A% @����A Cyclic graphs# Discrete Appl% Math% 44 =<��%

��% Jensen T% R% @����A Structure of critical graphs# Ph%D% Thesis% Odense University%

��% Jensen T% R%* Royle G% F% @���A Small graphs of chromatic number q: a computersearch# J% Graph Theory #4* ���<���%

��% Jensen T% R%* Toft B% @���A Graph coloring problems# John Wiley � Sons* USA%

�=% Koester G% @���A Note to a problem of T# Gallai and G# A# Dirac# Combinatorica. ���<���%

��% Koester G% @����A ]�critical ]�valent planar graphs constructed with crowns# Math%Scand% /0* �<��%

�% Mader W% @����A 4Uber den Zusammenh 4ang symmetrischer Graphen# Arch% Math%@BaselA '#* ==�<==�%

��% Mader W% @����A Eine Eigenschaft der Atome endlisher Graphen# Arch% Math%@BaselA '' ===<==�%

��% Pyatkin A% V% @����A ^$regular ]$critical graph J% Graph Theory* @to appearA%

��% Watkins M% E% @����A Some classes of hypoconnected vertex�transitive graphs# Re?cent Progress in Combinatorics% Academic Press% New?York* =�=<=��%

��% Watkins M% E% @����A Connectivity of transitive graphs# J% Combin% Theory 3*�=<��%

��% Youngs D% A% @����A Gallai0s problem on Dirac0s construction# Discrete Math% #&#*=�=<=�%

Page 28: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ =�

$�PF���N���$� � !�|.�J�|�{� P�N�P�N�>��$�� �����N�>��$�� ��P!�J~�#� D��J���!�N�J~���N��

�%�% ��/�� 2��* �%�% J� (

�,� 2(�& 7 9�/�) ��25 (���� � � 2��,-(67 ���,/����,-(���1 ���96���?�� ��,9(62 9')( �9� 2����91 ���1��� ���,/����,-(���1 ��9, )(�&� � �����'��'�* ���/,�267 (� 2(�8����7 M��&2(��� @��/�,��A B� 7 ���,/����,-?(���1% !6��,( ��� 7 ���'��'� ��,/���( / (�2 � 7 92(( � � �����2/, (6 M��&2(��� '�, )( 2 /, (6 ��2�1 ���,/����,-(��� 2�8� /��- �(?('4 (M��2�� 4 � ��25 (����(67 ���� �� )�� 7 ���1����7 ���,/����,-(�?��1* � ����(( ���'��'� � 9���(62 28/' ��5�1 ��2�&�� (�7�/ �- ��/7�/6� �� ��( 4 ��� ��/,-(67 ���,/����,-(���1* ��� 7 �,�����%

$ ��� 2 ���'��'��2 ��(������* � )���(��� * &��M6 ����6� � �,��* ��/((6/ F��1(�2 � ���� &�/' ���- (�96��26 &� 2(2 G�H% !�3 (�2 &��M� /F��1(� Bn

m ��92�(��� n ��,�4��� ����92�8(6 �,��� /, (6 n � �,M�� � A 9 m5'��% �� ��3 (6 � C @��� ���� �nA C @ �� ���� nA ��/ ((6 /'&�1* �� (� ����(?(�1 �� � � * ��&/� ��,-�� ��&/�* ��&/� �� C �* �� C �* ��� * �n C n��* �%% ��&/��,��� � ����6��4��� �� n� � 5'���2% ���M Bn

m 2� m ��,- � ��3 (�7*���������'40 7 �,���2 < ��(���(��2 xn* x � A* ������0 2 9 / (���((�1 5'��6x% �( ���9(* �/(���/(* ��,'���(- �7�/� �67�/� ��8/�1 &� ��3 (6 ���(� m%�,� �,�8( 1 � �,������- &��M�� Bn

m /,� n C �� �� =� ��� 2�8(� ���,-9����- ����/'?�' 7 ������( � (/'�� 1 �� ��92�(��� n* ��(���(('4 (� ��7�/ � �5�(62&��M�2%@���M Bn��

m ��,���� ��5�(62 &��M�2 /,� Bnm G�H%A O�� ��9��,�� / (�?

�5��9(� ��,')��- �,��� ��/����,( � &��M�� Bnm �� '�, )( 7 ��92�(���

9')��- ���'��'�' 2(�8���� ��/�,�� � 2��,-(�1 ���,/����,-(��� %D�� 9��,-(�1 @5���()(�1 , ��()(�1 /, (6 � n A ���,/����,-(��� X C

x�� x�� x�� ��� 5'�� m?�,M�� �� A ��������,���� �'�- � &��M Bnm* �����61 (�) (�?

��� � ��3 ( @x�� ���� xnA ���,/����,-(� ���7�/ � ��3 (6 @xi� ���� xi�n��A �� i C �� =� ��� % |�2��261 B� 2 �'�2 ��/&��M &��M� Bn

m (�96����� &��M�2 ��/�,�����,/����,-(��� X , M�����(62 &��M�2@factors graphA ��92�(��� n �5�?9(�)���� Gn@XA% N�� 2 �5��9�2* 2(�8����2 ��3 ( V n@XA &��M� Gn@XA ��,����2(�8���� ��7 ��/�,�� /, (6 n � X* � 2(�8����2 /'& En@XA < 2(�8���� ��7��/�,�� /, (6 nE � � X%

�9�5��8( &��M�?/���,(( � BnmnG

n@XA ��9��,�� 9')��- ���'��'�' 2(�8?���� ���'����'40 7 n?��/�,�� ���,/����,-(��� X% �,� ������( � ���,/�?���,-(��� &��M�� ��/�,�� fGi@XAg* i C �� �� =� ��� �� ��9�����( ��92�(��� i i E � ���,-9'��� ����� � ��7�/� � ��5�(�2' &��M'* �����,-�' Gi��@XA��,���� ��/&��M�2 ��5�(�&� &��M� /,� Gi@XA%

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<��/�� 2�� �,���(/� �(/�� )* J� ( �,-5�� �5��2�� )*�(�� �'� 2��2�� � 2% �% J% ��5�,�� �� ���*��% ���/2 �� $���4&� �* ����� 5 ���* �=����* ���� �*�,%: @�?=�=?�A ==?=�?��* ==?=�?��; M���: @�?=�=?�A ==?�?��;e?mail: evdokLmath%nsc%ru* levinLmath%nsc%ru

Page 29: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

=� ��������� ������

B��

v

v

�� AA��BB

���BB

�AA��

B��

v

v

���BB

�AA��

v v

#

##

��

B=�

v

���BB

�AA��

###

vv�

ZZ����bb

����HHHH

aaaa����v�

���BB

��BB AA��

AA��

��BB AA���

�BB AA��

��AA��

��aa��

��

vvv�

���HHHH

aaaa����v��

AA��

����

��HH

�##

#�#

�#�

##�

��#

���

#��

�# #�

HH

HH

HH % % %

+'(�� � f@n�XA C jV n@XAj (�96����� ��%��� ����� ������� �* ���,/�?���,-(��� X 7������ 9'� ��9(��5��9 ��/�,��% O�� ('56��40�� M'(�� �*������� /,� �����1 5���()(�1 (�� �/ )���1 ���,/����,-(��� ����&� ��9��?���� 9��,4)(� � ��/,�7 nE� � f@nA � mn* �� ( 2�� �5� ���1( 7 9(�)( � (����,/����,-(����7* /,� �����67 9���(6 ����8/�40 7 ��(���'�� G�* =H%

!�92�8(��� �B���� 2(��,-(�&�� 9')( � ���9 ���1��� ���,/����,-(��� ���'��'�6 2(�8���� ��/�,�� B��1 ���,/����,-(��� 9�� ��� �� �����5� 9�5��?8( � &��M�� Bn

m Gn@XA (� �,������ B���( / ��,�% O�� �� ��/ � � ����2�?��( 4 9�/�) � �,�8( �7 &��M��* ��7��(�40 7 ���/,((6 ���'��'�(6 ���1?���� ��,�/6��267 �5�����: 2�� )�� * �,&5�� )�� , ��25 (����(6 G�H%! )���(��� * ��9( ��� 9�/�)� ������( � ��� 7 �,�8( 1 &��M�� Bn

m Gn@XA ��,������-* �����6 ��7��(�4� ��(�3( 5, 9��� 28/' ��3 (�2 * � �������( �28/' /�,� 2 ��3 (�2 �����,�4� 5�,-3 (������&� 9�/�((�&� ����&�% �'0?���((� ') �6���- � 22�� 4 &��M�� Bn

m* � �, )(���- 7 ���'��'�6* ��9, )(6�����56 �7�/(�&� 9�/�( �* BMM�� �(���- �,�8( 1 �� '�, )( ��92�(��� n% D� j A j� = /,� � 2��,-(67 ���,/����,-(���1 � 5�,-3�1 ��25 (����(�1�,�8(���-4 �� 7�/ ��� ��7�/ �- � ��9, )(62 ���'�(�5,�)(62� ��/����,( ?�2 &��M�� Bn

m% ��1/(6 �,�8( � � �,������- &��M�� Bnm /,� m � �* '/�5(6 /,�

9')( � ��9, )(67 ��25 (����(67 ���� �� )�� 7 ���1��� ���,/����,-(���1%

��'&� (�����,( ��,/���( 1 < �(�, 9 �9� 2����9 28/' �����5�2 ����?8/( � ���,/����,-(���1 9 ��9, )(67 �,����� �����,( 2 7 ���'��'�(67 �,�8(���(67 ���1��� (� ���,/����,-(��� ���������� Gn@XA* n C �� �� =� ���%

Page 30: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ==

��9��5���((�� ���&��22� � 9'�, 9�� ��9��,�� �����/ �- B���� 2(�6 � ��9?, )(62 �,����2 ���,/����,-(���1:

< 2��2�� )�� 2 * ���/,�262 ��(���'�� �(62 ����/'��2 ����8/( � ��9?, )(�1 ���( �,�8(��� : ��'��(�(6 ���,/����,-(��� ; ��� (�96��26DOL?���,/����,-(��� G�H* ����8/�26 ���� �2 ��/���(��� ��/�,�� �2���5'�� @ B� ���,/����,-(��� �� (�/,8�� �,���' L?� ��2* ��/((67 J (/(2�1?��2 �� ����2���( 2�/,1 ��9� � � ��&�( 92�� � 5 �,�& GHA ��/ /�'& 7;

< ���/��,')�1(62 * ����8/�262 * (��� 2�* �72�2 �& ����� �/� &� , /��?) ��2 �,')�1(67 ) �,;

< /��2 ( ����((� ����8/�262 * (� /��'���40 2 �,')�1(6 ���8( � � (?�����67 ��9 � �7;

< &(� )�� 2 ���,/����,-(����2 @/,� B���� 2(��� ���,-9'��� 5�9� /�(?(67* ��/�8�0�� ('�,�� /(6 ���,/����,-(��� ��$* B�9�(6* (���(6* ���2�?���6* ��1�6 ���96��( � 2��� )(67 ��$ /�'& ���,/����,-(��� � 9���(62 M'(�� �(�,-(62 ���1����2 A%

�(�, 9 � 2��,-(67 ���,/����,-(���1 9 ��9, )(67 �,����� �6�� , ��/ 7 (?���(67 ���� )�� ��'/(���/���9'267 ���1���* ���9�((67 � ���5((����2 ���'��'�6 2(�8���� ��/�,��% D��,/����,-(���- �6��/ 267 ��������* ��9��,���(�, 9 �����- / (�2 �' 92(( � &��M�� ��/�,�� Gn@XA* n C �� �� =� ���* ��,������ �'0���' 5�, ��9��('��1 7������ �� ��1 ���5((���1 ����( � � 2��,-(�1���,/����,-(��� * ������� ') �6��� � ��25 (����('4 �,�8(���-* )�����6 �7�?8/( � ��/�,��* � �, )��'4 ���'��'�' ���,/����,-(��� ��/�8 � (M��2�?� 4 ��� � ,���,-(�2 ����( ���,/����,-(��� * ��� � � ���1����7 �� �,�2�%

! /��,�/ ���8 ��/��,�&���� ����2����- ��9, )(6 �����56 ����8/( � (?�����67 9���(67 2��2�� )�� 7 � 2��,-(67 ���,/����,-(���1* ����( �- 7���1���� �,�8(���(6 7������ �� � %

|�2� 2* )�� �� ��((61 ��/7�/ � �(�, 9' � 2��,-(67 ���,/����,-(���1 )?�9 ��/����,( 7 (� &��M�7 / F�1(� ��,9( ( ��,-�� /,� ��,/���( � ��2?5 (����(67 ���1���% �( �� 2(�,�� ��( � 9�/�)�7 �5 95&�2��� 2(�8���9���0((67 ��/�,�� G�H* 9�/�)�7 ������(��,( � � 2��,-(67 ���,/����,-(���1�� M��&2(��2* 9�/�)�7 �5 '( ����,-(67 ���,/����,-(����7* ��/�8�0 7 � ��?)��� ��� 7 ��/�,�� 9�/�((� 2(�8���� �,�� G�H%

D� �,�/(�� (�����,((���- ��,/���( 1 �� ��25 (���� � � 9'�, 9�� ��?�,/����,-(���1 ����� � � ���3 �( 2��/�� (���'2(��� � /,� �(�, 9����'��'� ����((��� ������* ��� �����((�&� ��� �7�8/( �* (��� 2�* &(� ?)�� 7 G�H* ��� ��'����((� ����8/((67%

�,� � 9'�, 9�� &��M�� ��/�,�� ��,/���( � ��9, )(67 ���,/����,-(�?��1 (�2 ��9��5���(� ���&��22� VIZ% D��&��22� ��, 9���(� (� �96� JAVA* ��?B��2' 2�8� M'(�� �( �����- (� ,45�1 O!P � � ��'�,-(�1 2�3 (�1 JAVA% �?2�(����� �((�� ��� � ���&��226 (�7�/ ��� (� ���� �(�� �'�� 2��2�� � :http:TTwww%math%nsc%ruTLBRTTk=TGraphTBruijn%html

D��&��22� VIZ ���� � &��M Bnm @&��M / F��1(�A /,� 9�/�((67 ����2����:

9(�)(��� �,M�� �� ���,/����,-(��� m /, (6 �,�� n @��92�(��� &��M�A%

Page 31: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

=� ��������� ������

|��2 (� &��M 9�5��8���� ��,/'2�� ���,/����,-(���- X � &��M Gn@XA% ! ���&��22 2�8(� ���- �����- 9�5��8( (� B���( ���'��'�(67 ��������Gn@XA% �92(( ����2���� ������� ��� 9��/ ��� (����/���((� � 7�/ (�5,4?/( �%

�� B���( �����,�&�4��� �(��� '����,( � 2(4 '���(��� �8 2� ��5��6���&��226% ! ��7(1 )��� B���(� �6��/ ��� ���9�� �5��5��6��2�1 ���,/�?���,-(��� * (� ������2 �6/,(� ��'0 �,���* (���,-�� ����� ��'01 (?M��2�� % D�,-9����,- 2�8� 92(��- �9� 2(� �����,�8( ��3 ( &��M� (�B���(* ��20��- ��- &��M* � ���8 92(��- ��92� 9�5��8( � &��M�% ��, �� 9��'�� ���&��226 ( 9�/�(� 2� M�1,� � (�)�,-(62 &��M�2* �� ��� 9��/ ���������( ��,(�&� &��M� Bn

m �� �,')�1(62 ��920( 2 ��3 ( (� B���(% ! ���?� �(�2 �,')� (�)�,-(61 &��M �) �6����� 9 9�/�((�&� M�1,� 9�5��8���� (�B���(%

D��, (�8�� �/(�1 9 �(���� '����,( � /� 8( 2 ���&��22� �) �6����)�/(�1 � 2��, @� (�)�,-(�1 ��)� ���,/����,-(��� �) �6����� �,� �,���A M��2 �'� �,/'40 �,��� 9 ��/6/'0&� �'�2 �� � �6��( � �) ��((�&� � 2?��,� � ��(� �,���% !�3 (�* 2� ������1 ���(� ��,')((�2' �,��'* �5��* ��/ ?(�40 � � ��/6/'01 ��3 (�1* ��2)�4��� 9�(������ � ���1/(('4 ���)�'*� 7 �)�) � '�, ) ��4��� (� � % D��1/((�� ���)�� �6/,���� (� 9�5��8( (�96����� �92��%

D��&��22� ��9��,�� 92(��- ��92�(���- &��M� / F��1(�* (� ������2 ���?��,�&���� ��,/'2�� ���,/����,-(���-% .�, )( ��92�(��� n nE ���'0���,���� ������( 2 �5�(�&� &��M� /,� ��&� &��M� Bn

m , /,� &� )��� Gn@XA% D� '2(-3( ��92�(��� ��� �7�/ � ��9���0( � ��2' &��M'* 9 ��?����&� ������( �5�(61% ��, ��25 (����(�� �,�8(���- ���,/����,-(��� @��?, )���� ��9, )(67 ��/�,��A (5�,-3��* �� ��92�(���- &��M� 2�8(� �'0���((�'�, ) �- �� ��2�0 2(�&�����(�&� ��7�/� � �5�(�2' &��M' ���1/((�1 )��� � 2��,-(�1 ���,/����,-(��� %

��((�� ��5��� �6��,((� �� M (�(����1 ��//�8� �++� @����� ��?��?���=�A*+/��,-(�1 �,��1 ���&��226 ��(�&��� �� �5�/ (((�&� (�&��� �((�&������� �� ��� �P�/, ����( M'(/�2(��,-(67 &(� )�� 7 � ��2 �����?����%

J�N���N.��

�% de Bruijn N%G% A combinatorial problem% Proc% Kon% Ned% Akad% v% Wet%* ��N�*����* pp%��?���%@����/ �2% $ 5�(� )�� 1 �5��( �* (���� �� �* �6�%� P%*P �* ����* �%==?��%A

�% ��/�� 2�� �%�% D�,(6 2(�8���� �,�� 7 ) �,��6 7������ �� � TT P?��/6 / ����(�&� �(�, 9� � ��,/���( B����2�,-(67 ���'��'�: �5% (�')%��%����� 5 ���: �(�� �'� 2��2�� � �� �� ����* ���=* �6�%=�* �%�?��%

=% Lothaire M% Combinatorics on words% Encyclopedia of mathematics and itsapplications% Addison ? Wesley Publ% Company* ���=%

Page 32: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ =

�% ��/�� 2�� �%�% $�/ ����( ���'��'� ����((�1 (M��2�� �,�8( � / �?���(67 �������(��� TT � ����% �(�, 9 ��,/% ����� 1% �� � �% ����% N% �*N �% �% ��?�%

% J (/(2�1� �% F �,�& )�� �����6 ��� ��9� ��40 7�� � ��2 �96���%@����/ �2% $ 5�(� )�� 1 �5��( �* (���� �� �* �6�% ��% P%* P �% ����% �%���?�=�%A

�% +� / �%O% � &��M�7 ��/�,�� DOL?���,/����,-(���1 TT � ����% �(�, 9 �?�,/% ����� 1% �� � �% ����% N%�* N �% �%�� ? ��=%

�% P��2�� )�� 2��/6 /,� �(�, 9� ���,/����,-(���1 ��$% D�%� �(&,%TD�/�/% P%�% .���2(� < P%:* P �* ����%< =���%

�% �4 !% D���6� � 2(�8���� �,�� ���2 % ? � �(%:P��/6 / ����(�&� �(�, 9� � ��,/���( B����2�,-(67 ���'��'�% ����� 5 ���* ����* �6�%=�* ���%�?�=%

�% ��,, P% $�25 (���� ��% < P%:*P �*����% ����%

Page 33: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

=� ��������� ������

F�����#� �N��"��� ! $��N����J~��P D���N����N!� Rn

!%�% �2, )�* �%!%D�3�� )

96� 5 (��(67 ��(�3( 1 3 ���� ���,-9'��� � 2�/,�7 2(�&��� �� �,-(�1��� 2 9�� * �����,-�' ��9��,�� �� �6���- ��/��)� �,-(���- �/( 7 �������/�'& 2 @�2%* (��� 2�* G�<HA% D� �/((� ( 8 �21���� n� 5 (��(67 ��(�3?( 1 ��9��,�� ���� �5�50((61 /�'7����2�� )�� 1 �� (� � ��� 2�,-(��� ��� �� �,-(�2 �������(��� Rn* ��,4)�40 1 �������� 1* �,1������ 1* 2�8�?� ���(61 /�%

F'/2 ����2��� ���- n?�� �� �,-('4 @�����('4A 9�/�)' 2 ( 2 9�� (� 2(�?8��� ������� Y � Rn:

yi miny�Y

� i � Nn C f�� �� ���� ng� n � ��

&/ y C @y�� y�� ���� ynA� jY j � �%�,� ,4567 /�'7 ������� y� y� � Y � Rn ,45�1 ���6 (/���� @i� jA � Nn �Nn

��/2 5 (��(� ��(�3( ����&�&� ��/��)�( �:

y �ij y� �� Gy� y�H� � @i� �AGy� y�H� E @j � �AGy� y�H��

&/ Gy� y�H� C jfi � Nn : yi � y�igj� Gy� y�H� C jfi � Nn : yi � y�igj� Gy� y

�H� C jfi � Nn :yi C y�igj�

! B� 7 �5�9(�)( �7 5 (��(6 ��(�3( � ��n �nn ��- ( )�� (�* ��� ��(�?3( � ��/��)�( � ���������((� �� D���� �,1��'* � 5 (��(6 ��(�3( ���� ��� 7������ 9'4� 2�8�� ���(� /�,-(� ��(�3( �%

�24� 2��� �,/'40 ���1����%

<���� �� # �� ����� ���� @i� jA � Nn �Nn ������� �������� �ij ������6�������#

<���� �� ' �� ����� ���� @i� jA � Nn � @Nn n f�gA ������� �������� �ij

����������#

<���� �� , �� ����� ����� i � Nn ������� �������� �in ���������#

!6��,( 2���- /,� ,45�&� 5 (��(�&� ��(�3( � �in* i � Nn* ���1��� � = �� ?/�,-���'� � ��2* )�� B�� ��(�3( ��,���� )��� )(62 ����/��2%

<���� �� - +���� ������� �������� �in� �� i � Nn� �5�����#

�,/'40 1 �� 2� ����96���* )�� �� j C � ���1���� � ������ 56�- ��(62%������ #$ D'��- y C @�� �� ���� �A � Rn* y� C @�� �� ���� �A � Rn% N�&/� �� ,45�2

(/�� i � Nn 22y �i� y

�� y� �i� y�

���4/� � ')��2 ���1���� � �6����

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<�2, )� !,�/ 2 � �,��� )* D�3�� ) �(/�1 !�� ,-� )*F,��'��� 1 ���'/�����((61 .( ��� ��* P7%?2��% M��',-��*��%+%���� (6* �* �����* P (��* ���'5, �� F,��'�-*�,% @���A ��� =� �* e?mail: emelichevLbsu%by

Page 34: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ =�

������� # 8������ �������� �ij ���������� ���� ������ ����� ����� i � Nn � � j � n#

�,/'40 1 �� 2� ����96���* )�� 9���(61 ����/��� F��/�?$�(/��� G�* �H*������0 1 � (���(9 � �(��� ��/��)�( �* '���(��,((�&� � ��2�0-4 2�8�� ?���(�&� �� (� ��* �% % 27�( 92� &�,�����( � �� �� (� �' 5�,-3 (���� @���A*����������(���� (� ,45� 5 (��(� ��(�3( �ij* @i� jA � Nn �Nn��%

������ '$ D'��- y��� C @n� n� ���� nA � Rn� n � '� � ��2��((�6 n?2�(67������� y���� y���� ���� y�n� 9�/�4��� �� M��2',

y�s�k C

��n � sE k� �, k � f�� �� ���� s� �g�n� sE �� �, k � fs� sE �� ���� ng�

&/ s � f�� =� ���� ng�N�&/� �� ,45�1 ��� @i� jA � Nn �Nn�� �6��,(�4��� ����(�3( �

y��� �ij y��� �ij ��� �ij y

�n� �ij y����

.) �6��� ���1���� � =* � ���8 �� 2� �* ��,')�2 �,/'40 '���8/( %

������� ' 8������ �������� �ij ��������� ���� ������ ����� ����� i � Nn j C n#

�����/���((� 9 ���1���� � �� 2�� � �,/'�

������� , 8������ �������� �ij �5����� ���� ������ ����� ����i � Nn j C n#

!6��,(�4��� �,/'40 )�6� ���1����%

<���� �� . ��� ����" ��" ��� @i� jA @k� sA ���"� ��� � � i � k � n � � j � s � n� ��������� �����5�

y �ks y� C� y �ij y

��

<���� �� / ��� ������ ����� i � Nn ��������� �����5�

y �in y� C� Gy� y�H� C ��

<���� �� 0 �� ����" �����" i� k � Nn ����� �����5�

y �in y� �kn y

�� C� y �in y�� � y �kn y

���

<���� �� 3 W�� � � i � j � n� �� ��������� �����5��@y �ij y

� ��n y��A � @y ��n y

� �ij y��A�C� y �ij y

���

Page 35: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

=� ��������� ������

!�/((6 5 (��(6 ��(�3( � ��9��,�4� �M��2', �����- � �� �� �,-(�2�������(��� Rn* n � �* �,/'40 /�'7����2�� )��� �21���� n� �� (� ������ 2�,-(��� :

Eij@Y A C fy � Y : �ij@yA C �g� @i� jA � Nn �Nn�

&/�ij@yA C fy� � Y : y �ij y

�g�

|�2� 2* )�� ��( � G�H 56,� ��/,�8(� �(�,�& )(� �/(�����2�� )��� �?21���� �� (� ��� ��� 2�,-(��� � �,')� '����/�)((67 �� ��8(��� )���(67�� �� �%

������� - ��� ������� ������������ ���� n � � ��������� ���������������:

E��@Y A � E��@Y A � ��� � E�n@Y AjT

jT

jT

E��@Y A � E��@Y A � ��� � E�n@Y AjT

jT

jT

######

###jT

jT

jT

En�@Y A � En�@Y A � ��� � Enn@Y A�

�� ,��� E�n@Y A� Enn@Y A� E��@Y A E��@Y A �������� �������������� ���!������� ���������" �� ������ %,66������"*� ���������" �� �������� %����� ,6�6������"*� ��!������� ,66������" ������" ��������#

������� . ��� ����� ���� ������ @i� jA � Nn �Nn ��������� 6������

y � Eij@Y A�� minfiGy� y�H� E jGy� y�H� : y� � Y g � n�

$�� �56)(�* 2(�8���� Eij@Y A (�9��2 ������ ���������* �, /,� ��8/�&������� y � Y n Eij@Y A �'0���'� ����1 ����� y� � Eij@Y A* )�� y �ij y

�%����,-9'� ���1���� �* (��'/(� '5/ �-�� � �����/, ���� �,/'401 ���26%

������� / ����� � � i � k � n# W�� ���!����� Ein@Y A ������ ����������� ������ ��������� �������� ���!����� Ekn@Y A#

>���(62 �,')�2 ���26 @�� i C � k C nA ��,���� �,/'40 1 9���(61�9',-��� @�2% ���2' � (� ���% = G=HA: 9 �(3(1 '���1) ���� 2(�8���� BM?M�� �(67 ������� �,/'� �(3(�� '���1) ����- 2(�8���� �,�5� BMM�� �(67�������%

<���� �� 4 .���������� ��� � ����������: jE��@Y Aj C � � E��@Y A C ��

<���� �� #& W�� jE��@Y Aj C �� �� E��@Y A C E��@Y A C ��� C E�n@Y A�

<���� �� ## W�� �� ����" ��" �������� y� y� � Y ����������� ���������Gy� y�H� C �� �� �� ��!�� ����� j � Nn ����� ���������

E�j@Y A C E�j@Y A C ��� C Enj@Y A�

Page 36: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ =�

<���� �� #' W�� jY j ��� �� �� ����� ����� i � Nn ���!����� Ein@Y A �C�#

�,/'40 1 �� 2� �� /�,-���'� � ��2* )�� �� 2(�8����E��@Y A� E��@Y A� ���� E�n@Y A 2�&'� 56�- �����(� ��9, )(6 �� ,45�2 n � =%

������ ,$ D'��- Y C fy���� y���� ���� y�n���g Rn* n � =� &/

y��� C @�� �� ���� �A�

y�j� C @�� �� ��� �� n� j� ���� n� j� �z �j ��9

A� j C �� =� ���� n� ��

�% %* ������2 y�j� ��,���� j<� ������ �,/'401 2��� �6 ����/�� @n� �A� n:���������

� � � � ��� � � �� � � � ��� � n � � n � �� � � � ��� n� = n � = n � =

���� � � � ��� � � �� � � � ��� � � �

����������

N�&/�E��@Y A C �� E�j@Y A C fy���� y���� ���� y�j���g� j C �� =� ���� n�

$��2 ��&�* ��(6 ���(����

En�@Y A C Y n fy���� y�n���g� Enj@Y A C Y n fy�n���g� j C �� =� ���� n� �� Enn@Y A C Y�

��5��� �6��,((� � ��2��7 ���'/�����((�1 ���&��226 M'(/�2(��,-(67 �?�,/���( 1 ���'5, � F,��'�- �P��2�� )�� ���'��'�6� @����� ��=T��A%

J�N���N.��

�% F�9���� 1 F%�%* F��9(�� !%�%* $2�(� J%�% @����A 8������ �������� ����������������� ������5# P%: ��'��% ����%

�% P �� ( F%�% @����A �������� ���������� ������# P%: ��'��% ���%

=% D�/ (���� 1 !%!%* ��& ( !%�% @����A ����������������� ���������������������" ����# P%: ��'��% ���%

�% "�,�2�� J%�% @����A +������� ����� ��������� �������" ������������# P%: ��'��% ����%

% "�,�2�� J%�% @����A 3��������� �������� � ����������" ������������" ����� ���������� ���������� ������ P��2�� )�� ������6 � 5�(� � %P%: ��'��% .* ���?��=%

�% Borda J%C% @����A Memoires sur les elections au scrutin# Histoires de l0academi royaldes sciences# Paris%

�% Condorset M% @���A Essai sur l0application de l0analyse |a la probabilit}e des decisionsrendues |a la pluralit}e des voix# Paris%

Page 37: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

EVOLUTIONARY ALGORITHMS IN DISCRETE OPTIMISATION

Anton V% Eremeev* Colin R% Reeves*

Evolutionary algorithms @EAsAIan umbrella term for techniques such as genetic al?gorithms @GAsA* genetic programming @GPA and evolution strategies @ESAIhave becomepopular tools for attacking discrete optimisation problems* and there are many exper?imental papers that bear witness to the fact that they can be very e�ective% GAs inparticular have been extensively used in OR @see G�H for a reviewA* and have been thesubject of some extravagant claims about their abilities to avoid local optima% However*theoretical developments have lagged some way behind* and it is the purpose of this paperto discuss some of what is known about their behaviour from a theoretical perspective%Much of this material is ampliVed in G��H%

De=nitions and some general results$ Consider a maximisation problem: Vnd f� Cmaxff@xA : x � Xg where X is a Vnite solutions space% The minimisation problem wouldbe treated analogously @the necessary changes are usually obviousA%

Let �t C @xt�� xt�� ���� x

tNA � XN be the population of solutions in the EA on iteration

t and let b� � X denote the set of all solutions present in population �% Usually theordering of solutions in population is unimportant but the same solution may be presentin several copies% The population �t�� is produced on the basis of �t using the followingfour randomised procedures%

The selection operator s : XN XN �

chooses N � copies of solutions called �parents�from the current population* i%e% �� C @x��� ���� x

�N �A C s @�tA is such that c�� � c�t%

The reproduction operator � : XN �

XN ��

introduces some random changes to the�parents�* producing N �� solutions called �o�spring� in population ��� C @x���� ���� x

��N ��A%

The survival operator � : XN � XN ��

XN determines which solutions from thepopulation �t and from the �o�spring� will be combined in �t��* thus b� @�t����A � c�tc���%

In practice the selection and survival operators are designed to �favour� the solutionsof better quality @greater objective function values in the case of maximisation problemA%This may be done deterministically @e%g% in survival operators of the @�� �A?ES and @�E�A?ES evolution strategies G��*��HA or randomly @e%g% in proportional or tournament selectionin genetic algorithms G��*�HA%

The EA starts with some randomly generated initial population and proceeds byiterating the random mapping �t�� C � @� @s @�tAA ��tA until some termination conditionis met% Such condition could be a limit on the number of total iterations* or a limit onthe number of iterations without an improvement of the objective function value ft Cmaxi�N f@xtiA of the �best� solution in �

t* or a requirement for ft to reach a su�cient

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<Anton Valentinovich Eremeev* Omsk Branch of Sobolev Institute of Mathematics*�=* Pevtsov str%* Omsk* ������* Russia*phone: E� @=���A �=��=�* fax: E� @=���A �=���* e?mail: eremeevLiitam%omsk%net%ru

Colin Richard Reeves* School of Mathematical � Information Sciences*Coventry University* UK*Priory Street* Coventry CV� FB* UK*phone: ��� ���� ���* fax: ��� ���� ����* e?mail: C%ReevesLcoventry%ac%uk

Page 38: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

level% For convenience when talking about the theoretical analysis we will assume thatthe termination condition is never met* although practical experience shows that multipleindependent restarts often yield a signiVcant improvement in the performance of EAs%

As an example of EA let us consider the simple genetic algorithm G��H which hasbeen intensively studied and exploited over three decades% This algorithm operates withpopulations of binary strings @traditionally called genotypesA thus we will assume X Cf�� �gn ignoring the issues of representation of other types of solution spaces < the detailscan be found e%g% in G�H% Here the intermediate populations �� and ��� also consist of Nsolutions and N is even% In selection operator each element of �parent� population s @�tAis drawn from �t independently of other elements with probability distribution assigningeach solution xti a probability proportional to f@xtiA* and often instead of the originalobjective function a composition of f with some monotonic function is helpful%

The reproduction operator consists here of crossover and mutation stages% In crossoverstage random substrings are exchanged between sequential pairs of �parent� genotypesfrom �� with constant crossover probability pc and an intermediate population @z�� ���� zNAis formed so that Pfz�k�� C x��k��� z�k C x��kg C �� pc� and

Pfz�k�� C @x��k����� ���� x��k���j� x

��k�j��� ���� x

��k�nA�

z�k C @x��k��� ���� x��k�j� x

��k���j��� ���� x

��k���nAg C pc�@n� �A

for all k C �� ���� N��� j C �� ���� n� �% After that in mutation stage each bit in z�� ���� zNis �ipped with a constant mutation probability pm* which is usually chosen su�cient?ly small% Thus the random output of reproduction operator ��� C � @��A is such thatPfx��ij C �� zijg C pm* Pfx��ij C zijg C � � pm* i C �� ���� N * j C �� ���� n� The survivaloperator is trivial: � @�t����A C ��� and the initial population �� is constructed randomlyso that Pfx�ij C �g C Pfx�ij C �g C ��� and all these bits are chosen independently%

The following result due to A% Eiben* E% Aarts and K% van Hee @see e%g% G��HA gives arelatively mild su�cient condition for convergence of the EA to an optimum% Let randomvariable t� denote the Vrst population number such that ft� C f�%

Proposition # Let the operators of EA be such that Pfx � bs @�Ag � � for any � �XN � x � b�� and Pfx � b� @�����Ag � � for any � � XN ���� � XN ��

� x � c���# Suppose alsothat for every x � X there exists a sequence y�� y�� ���� yk of solutions such that y� C x�f@ykA C f� and for all i C �� ���� k � � if yi � c�� then Pfyi�� � b� @��Ag � �#

Then for any initial population Pf�t : t� � tg C �� and if the survival operator issuch that for any ����� holds maxff@xA : x � b� @�����Ag C maxff@xA : x � b� c���g thenft

t��� f� with probability Z#

Application of Prop%� to the simple GA shows that there the optimal solution is foundalmost surely in Vnite number of iterations but to guarantee that Pfft

t��� f�g C � the

survival operator needs to be changed @keeping the best solution from �t would su�ceA%The properties ensured by Prop%� are deVnitely desirable for the EAs; however* it says

nothing about the speed of convergence to the optimum* which is crucial since the trivialcomplete enumeration method is also known to Vnd the optimum in a Vnite number ofiterations% Therefore it is important to consider the expected hitting time of an optimumEGt�H and the closely related probability Pft� � tg for Vnite values of t @see e%g% G��HA%

Unfortunately* for the class of NP ?hard problems* EAs with polynomally boundedEGt�H are unlikely to exist: for the EAs and other randomised algorithms the following�folklore� result @see e%g% GHA can be derived from the deVnitions available in G=*�=H%

Page 39: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

Proposition ' Let Popt be an NP �hard NP optimisation problem and the approximationof Popt within a factor r is NP �hard# If NP �� BPP � then for any polynomial h@�A norandomised algorithm solves all instances x of Popt in polynomial time with probabilitygreater than ��h@jxjA� where jxj is the length of input x#

Note that the relation between classes NP and BPP is one of the open questions incomplexity theory% The conjecture NP �� BPP is widely believed to be true* and it isalso equivalent to conjecture NP �C RP G��H%

Evolutionary algorithms for speci=c problems$ In view of Prop%� it is naturalthat the polynomial upper bounds on the expected optimisation time are only knownfor the EAs applied to polynomially solvable problem classes* e%g% some cases of thepseudo?Boolean functions G��*��*��H* some families of the set cover G�H and the knapsackG��H problems etc% Several classes of these problems with exponential upper and lowerbounds on EGt�H may be found in G��*��*��H as well% An instructive example of problemsfamily where the usage of crossover in GA provably decreases EGt�H from exponential topolynomial is suggested by T%Jansen and I%Wegener @see e%g% G��HA%

A number of randomised algorithms successfully used in complexity theory may also beconsidered as very simple instances of the EAs with multiple restarts* e%g% the algorithmof C% Papadimitriou with quadratic expected running time for the �?SAT problem @seeG�=HA and the algorithm of U% Schxoning for the k?SAT problem G��H @the later algorithmhas an exponential upper bound on expected complexityA% A new interesting approachto the analysis of EAs is based on rapidly mixing Markov chains associated with someEAs: in case in stationary distribution the probability that �t contains an optimum isnon?negligible* the fast convergence of such chains allows to Vnd an optimum e�cientlyand with high probability G��H%

Another promising approach is aimed at the analysis of average?case complexity ofthe EAs given a probability distribution on the set of problem inputs% An example ofsuch analysis is the minimum graph bisection problem with random graphs drawn fromthe so?called �planted bisection� model for which it has been theoretically shown G�H thatthere is little di�erence between the simple evolutionary algorithm @�E�A?ES and the moresophisticated EAs such as the Metropolis algorithm* and a problem?speciVc heuristic G�H%

Often the EAs are used in situations where the information on quantitative parametersof the input problem @except for its dimensionalityA is accessible only through evaluationsof objective function in the sample points% This raises the issue of evaluation and compar?ison of di�erent algorithms in such a �black box optimisation� scenario* which is currentlybeing intensively studied @see e%g% G��*��HA%

Dynamical system model and the local optima structure$ Several workers @seee%g% G�HA have pointed out that in the GA on Boolean solutions space X C f�� �gn mutationis strongly connected to the local optima structure deVned by Hamming distance: thee�ect of mutation at typical rates is that the Hamming distance between �o�spring�and �parents� is usually �; in some cases a distance of � will occur fairly frequently*but normally the probability of a greater distance is very small% However* the e�ect ofcrossover is markedly di�erent: the o�spring generated by crossover may be a long wayfrom their parents in terms of Hamming distance% Nevertheless* while there are exceptions*functions that are easy for local search with a Hamming distance neighbourhood are

Page 40: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �=

generally fairly easy for GAs with crossover* while the converse often also seems to betrue% The question remains as to why this is the case%

The last few years have seen signiVcant progress in developing and understanding aformal model of simple GA and its generalisations as a dynamical system G��H @for brevitythe simple GA is called GA in what followsA% This work is highly important in its ownright* but it turns out that the behaviour of the dynamical systems model is closely relatedto the local optima structure of the problem for binary search spaces%

In this model* a population vector p is introduced which has length jXj and is onewhose k?th component is the proportion of the population � consisting of the solution yk �X� k C �� ���� jXj�� @numbered in some standard orderA% Given the current population �t

with population vector pt a functionG@ptA produces a vector inRjXj whose k?th componentis the probability that the solution yk will be found in population �t��%

The result of M%Vose G��H shows that as N �* with probability converging to �* thesequence of population vectors p�� p�� ���� pt converges to the sequence p�� G@p�A� ���� Gt@p�Afor any Vnite t% In this connection it is helpful to consider the inVnite?population GAbecause on each iteration of such a GA the vector pt�� is a deterministic function G@ptAof the current population vector%

It turns out that the Vxed points of G* i%e% such population vectors p that p C G@pAare crucial in analysis of GA% It should be remarked that for a crossover?only GA @i%e%assuming pm C �A* potentially every solution corresponds to a Vxed point: just start theprocess in a uniform population with multiple copies of the same solution and it will staythere% However* not all Vxed points are stable* in the sense that a small perturbation willstart the population on a trajectory that will ultimately lead away from it%

The stability status of a particular Vxed point p for the inVnite?population GA canbe determined by looking at the eigenvalues associated with the di�erential of G at thatpoint @see e%g% G�=HA% If all these eigenvalues are in the interior of unit disk* p is calledstable% Such stable points are attractors in the sense that from almost all initial populationvectors p� the inVnite?population GA converges to one of them G��H%

In G�=H M%Vose and A%Wright conjecture that in the case of crossover?only inVnite?population GAs all Vxed points are uniform population vectors* i%e% a single componenthas the value � and all others are zero% The attractors are really populations* but if theVose?Wright conjecture holds* they are uniform populations* so we can identify them withindividual solutions% This ampliVes the importance of the following result linking the GAattractors and the local optima structure where the local optimum is a solution that doesnot have a neighbour with greater objective function value in Hamming distance �%

Proposition , G�=H For a crossover�only in>nite�population GA� each uniform attractorconsists of multiple copies of some local optimum in a Hamming distance Z neighbourhood#

In other words* the number of @Hamming distance �A local optima is an upper boundon the number of attractors% In principle* in a GA with mutation the attractors willnot coincide exactly with those in the crossover?only GA* but the argument given in G�=Hshows that these Vxed points are fundamental to GA performance even when mutation isincluded%

While Prop%= gives some comfort to arguments of the type �we should use GAs becausethey avoid local optima�* the comfort is small% One of the authors of this paper has shownthat it is rather �di�cult� for a Hamming local optimumnot to be a GA attractor too G��H%

Page 41: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

Experimental analysis has also revealed that there is a strong identity between attractorsand local optima* but other questions remain unanswered: for example* is there anyrelationship between properties of a basin of attraction of an attractor in the dynamicalsystems model and those of a basin in the Hamming neighbourhood structure� Do theeigenvalues of an attractor convey any information about basin size�

Discussion$ The present state?of?the?art in analysis of the EAs is characterised by alarge gap between the modest set of provable results and the rich encouraging experi?mental data% Most of the theoretical Vndings are limited in applicability either due totheir abstractness or due to the narrow speciVcation to a particular family of problems%This situation is gradually improving yet there is a need for intermediate kind of studiesrigorously explaining the reasons of success or failure of a particular type of the EAs ona particular set of non?trivial problems and justifying the usage of certain procedures forit% Such analysis might involve further elaboration of theoretical bounding techniqueslike those in G�**�*��*��*��H as well as development of methodology for measurement ofproblems di�culty for EAs in terms of quickly computable characteristics @see e%g% G�*�HA%

Acknowledgment This research was supported in part by a grant from the RoyalSociety%

REFERENCES

�% L%Altenberg @����A Fitness distance correlation analysis: an instructive counter�example# In Proc% of �?th International Conference on Genetic Algorithms* MorganKaufmann* San Francisco* CA* �?��%

�% D%Aldous* U%U%Vazirani @����A �Go with the Winners� Algorithms# In Proc% of FOCS����* ���?��%

=% G%Ausiello* M%Protasi @���A Local Search� Reducibility and Approximability of NP �Optimization Problems# Information Processing Letters* .-* �=?��%

�% R%B%Boppana @����A Eigenvalues and Graph Bisection: an Average Case Analysis# InProc% of the ��th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science* ���?��%

% P%A%Borisovsky* A%V%Eremeev @����A On Performance Estimates for Two EvolutionaryAlgorithms# In Proc% of EvoWorkshops ����% LNCS '&,0* ���?���%

�% P%A%Borisovsky* A%V%Eremeev @����A Ob Odnom Algoritme Sluchainogo Poiska# Thisvolume @in RussianA%

�% T%Carson* R%Impagliazzo @����A Hill�Climbing Finds Random Planted Bisections# InProc% of SODA ����* ��=?���%

�% A%V%Eremeev* C%R%Reeves @����A Non�parametric Estimation of Properties of Combi�natorial Landscapes# In S%Cagnoni* J%Gottlieb* E%Hart* M%Middendorf and G%Raidl @Eds%AApplications of Evolutionary Computing* Springer?Verlag* Berlin* pp% =�?��%

�% J%Garnier* L%Kallel @����A How to Detect All Maxima of a Function � Proc% of theSecond EVONET Summer School on Theoretical Aspects of Evolutionary Computing@Anvers* ����A* Springer* Berlin* =�=?=��%

��% J%He* X%Yao @����A Drift Analysis and Average Time Complexity of Evolutionary

Page 42: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

Algorithms# ArtiVcial Intelligence #'0* �?�%

��% J%Holland @���A Adaptation in natural and arti>cial systems# University of MichiganPress* Ann Arbor* MI%

��% K%Ko @����A Some Observations on the Probabilistic Algorithms and NP �Hard Prob�lems# Information Processing Letters* #-* =�?�=%

�=% R%Motwani* P%Raghavan @���A Randomized Algorithms# Cambridge University Press%

��% I%Rechenberg @����A Evolutionsstrategie0�]# Formann?Holzboog Verlag* Stuttgart%

�% C%R%Reeves @����A Genetic Algorithms for the Operations Researcher# INFORMSJournal on Computing% 4 @=A* �=�?��%

��% C%R%Reeves @����A The Crossover Landscape and the Hamming Landscape for BinarySearch Spaces# Manuscript submitted for publication%

��% C%R%Reeves and J%E%Rowe @����A Genetic Algorithms: Principles and Perspectives*Kluwer* Norwell* MA%

��% G%Rudolph @����A Finite Markov Chain Results in Evolutionary Computation A Tourd0Horizon# Fundamenta Informaticae% ,. @�?�A* ��?��%

��% U%Schxoning @����A A Probabilistic Algorithm for k�SAT and Constraint SatisfactionProblems# In Proc% of ��th IEEE Symposium on Foundations of Computer Science% ���?���%

��% C%Schumacher @����A Black Box Search � Framework and Methods# PhD% thesis* TheUniversity of Tennessee* Knoxville%

��% P%Vitanyi @����A A Discipline of Evolutionary Progrmming# In Proc% of �th Interna?tional Workshop on Algorithmic Learning Theory* Lecture Notes in ArtiVcial Intelligence*##/&* ��?��%

��% M%D%Vose @����A The Simple Genetic Algorithm: Foundations and Theory* MITPress* Cambridge* MA%

�=% M%D%Vose* A%H%Wright @���A% Stability of vertex >xed points and applications# InD%Whitley and M%Vose @Eds%A Foundations of Genetic Algorithms =* Morgan Kaufmann*San Mateo* CA* ��=?���%

��% I%Wegener @����A Theoretical Aspects of Evolutionary Algorithms% In Proc% of ICALP����* LNCS '&0/* ��?��%

Page 43: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

+�����!�$�� �N���{����#� D��{���#�J ����!P��N�#� ���N�P J�����#� ����!���N!

� ����F�N!���#� |���> J�������� D�����PP���!���

�%�%��2 (* J%�%D����

#$ :�������

����2��� ��4��� ��5���((6 @��9�3 26A (��5���((6 @( 240 �?3( � � �56)(�2 �26�,A 9�/�) , (1(�&� ���&��22 ����( � @JDA �?&�* �?&� =?&� ��/� G�H% �( �/'� �'4��� � � ��2�2 , (1(67 (���(���* ���2��(67 , (���2��(67% �,� ) �,((�&� �(�, 9� ���,/( 7 �������� ��9, )(6 ��� �(�6M1����� 7 ���� �((67 ��������* �7�/�0 7�� ���������((� � �3( �2 , ���9 �3( �2 '��9�((67 � ��2%

+1����� 2��/6 �� �,���,-(6 ��������1 ���� % �( ��/�8��,-(6� � �'�� B��,4� �( �'401 @ 92(�401��A � ��26 �7�/(67 /�((67* � B��2�,')� �6) �, �,-(61 ������ 2�8� �6��'���- � ��, (���� �(��(�1 2�/, ���,8 ��( � �5�) �6��2�&� �5���� @�, �)- /� � �� �,�/(�1 9�/�)* (�?�� 2�* 9�/�) � M (�(���67 ������7A% D� ���,-9���( ���� �((67 2��/���2�&)���� ���8 ���5,2� (����,( � �3 5��* ���,- ����� ����0�� �� �� 2(?( ��()(67 2��/��% �/������� ���� �((67 2��/�� I 2/,((�� �7�/ 2���-�� 5�,-3 7 �6) �, �,-(67 2�0(����7 ( ��,���� �, 3��2 �&��( ) �,-(62%! ,�2 (��(67 �5�����,-����7 ������� �7�/ 2��� @ , ������� ���,8 ��( �A2�8� ���,( 7��� �-% !���)2* B� ������6 ��,�4��� ���� ��� 5'��2 ��(���?(67 �� 2(( 1%

'$ < �� ��� ���������� � �%�������

D'��- M Rn% ���5��8( �@�A � fRn Rng (�96����� M ?M1����� 2*�,

�@yA C y� j�@xA� yj � jx� yj� �y �M� �x ��M� @�A

D���4/' ( 8 ��/ � 2��,�2 j � j ��( 2���� ��, /��� (��2�% $,��� M ?M1����� 7���5��8( 1 �5�9(�) 2 F

M* � (���6�(67 M ?M1����� 7 I �F

M%

N�))(�?2(�8���((61 ��� �(�M ?M1������&� ���5��8( � �@�A ���/,��������(�3( �2

�@yA C y� jz � yj � jx� yj� �y �M� �x �� M� �z � �@xA�

��(�� �,-(� M1����� 7 ���5��8( 1 �����/, �6 �,/'40 � ���������:

�% �@�A � �FMC� f�k@x�Ag�k�� �x �M %

�% �@�A � F �MC� �� � @�� �A : ��@xA E @�� �Ax C: ��@xA � F

M%

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<��2 ( ���( ���(�� )* D���� J�( / �( ��� )*�(�� �'� 2��2�� � 27�( � .�� ���*',%�%$���,����1* ��* ������* ����� (5'�&*�,% @�?=�=?�A��?��?��* @�?=�=?�A��?=�?��* M��� @�?=�=?�A��?�?��*e?mail: ermiiLimm%uran%ru* popldLimm%uran%ru

Page 44: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

=% FM�C � C�M I �6�'�,� 9�2�('��%

�% ��, �@xA ��,���� ��))(�?2(�8���((62 M ?M1����� 2 ���5��8( 2 9�2�('�62 @�% % 9 fxg �x* fykg �y� yk � �@xkA �,/'� �y � �@�xAA* �� @�� �(�,�& � '���8/( 2 �A

fxk�� � �@xkAg�k�� x� �M�

%��j@�A � F

Mj� j C �� � � � �m� M :C

mTj��

Mj �C ���

mPj��

�j�j@xA � FM; 9/�- ��

����6 ��BMM � (�6 �j � �*Pm

j�� �j C �%

�% ! �5�9(�)( �7 ��/6/'0&� �'(��� �����/, ��

���� � � � �m@xA � FM�

�% D'��- f@xA I �6�'�,�� M'(�� �* M C fx j f@xA � �g �C �% N�&/� ���5��8( �@xA C fx� � f��x�

jhj�� h j h � df@xAg* &/ � � @�� �A* 5'/� M ?M1����� 2 9�2�('�62

@� ���/,( �@xA ��,�&�2 �@xA C x* �, h C �A%

! ��(�� ��(���(67 M1����� 7 ��(���'�� 1 �56)(� ,8�� ����� ����?� ����( � (� �����13 �6�'�,6 2(�8����* ��� ��� Rn

� C fx � �g* & ��?�,������- H :C fx j @a� xA C g* ��,'�������(���� P :C fx j @a� xA � g* , (1(�2(�&��5��9 L :C fx jAx C bg /�% N��* (��� 2�* ����� ����( (� Rn

� I B������!������� ������ ����� �'2�&� ������ x� �% % PrRn

�@xA C Gx�� � � � � � x

�n H

T *

x�i C maxf�� xig% ��, H :C fx j l@xA :C @a� xA � C �g* �� PrH@xA C x � l�x�

jaj�� a�

! �,')� ��,'�������(���� P :C fx j l@xA � �g 22 PrP@xA C x � l��x�

jaj�� a� ��,

L :C fx jAx C bg* �� PrL@xA C x � AT @AAT A��@Ax � bA � ��/��,�8( , (1(�1

(9�� � 2��� ����� 2��� �6 A%D����13 ����� ����( � �6��'��4� � ��, B,2(���(67 5,����* 9 �����67

���� ��� ��2 2��/* /��'���40 1 5�,-3�1 ����,,, 92 � �6��,(( �7 , (67)���1 �,&�� �2�% D'��-* (��� 2�* �)- /� � �� �� (��� ���,-(�&� �3( �� ��26 , (1(67 '���(( 1

Ax C b� x � ��

!�9-22 ���5��8( �@xA :C PrH@xA�� ��� 9��,-(� (�)�,-(� �� 5, 8( x�

������ 2 �7�/�0 1�� ���� �((61 ������:

f�k@x�Ag�k�� �x � H�@C Rn�

HA� @�A

|�2� 2* )�� � M��2 ����( �@xA ')����'� �5��0( 2��� �6 AAT % P�8(�����'� �- (�): ��95 �- 2��� �' A ����� b (� &�� 9�(��,-(6 ��,��6 ��&,�?����((�1 ��92�(��� fAjg

m�

� fbjgm�

� * �5��9����- �������6 �j@xA C PrHj @xA� &/Hj :C fx j Ajx C bj g� j C �� �� � � � �m�� ��,�8 �- �@xA :C

Pm�

j�� �j��j @xA� &/ ��

�j � ��Pm�

j�� �j C �� ���5��8( �@xA ���8 �5,�/�� ���1����2 @�A% �/(��� �� �6) �,( �P@xA (�57�/ 2� �5��0��- 2��� �6 AjA

Tj 2(-3 7 ��92��� @��,��-

/� ��92�(��� �� �A* �� )2 B� �5��0( � 2�8(� �6��,(��- �/(���2((� (?9�� � 2� /�'& �� /�'&�* (��� 2� (� ��9(67 ���������7 �6) �, �,-(�1 �� %

!2��� �������� �@xA 2�8(� ���8 �9��- �'����9 � 4 )���(67 ���5��8?( 1 �@xA C G���� � � � �m�

@xA H�� �(� �'2�� B� 2 ��������2 ���,/����,-(���-

Page 45: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

f�k@x�Ag�k�� ���8 5'/� �7�/ �-�� � (������2' �����' �x* ��,�402'�� , �?3( 2 � ��26 Ax C b� x � � I � �,')� ���2��(��� * , �����������I � �,')� (���2��(��� % |�2� 2* )�� � �,')� � ��26 , (1(67 (���(���Ax � b� x � � ��92�8(� �)� /(�� �/'�� � � � ��2 Ax E v C b* x � �* v � �;���,/(�� 2� ��,-�� )�� ����2���((61 � /%

N�� 2 �5��9�2* �)(- ��8(�* )�� �� ������( M1����� 7 ��������� �� 2?( �,-(� � � ��2�2 , (1(67 (���(��� 9�/�)�2 JD �� ���5((��� ���'��'�6 �7�/(67 /�((67 2�&'� 56�- ')�(6* �6����(6 � �&2(�6 ����,,,-(67 /,� �5?��5��� 5,���� �� 2 ( 2�,-(67 �52(�7 28/' ( 2 % O�� /�� 3 ��� 1 �������/,� ���,-9���( � �� (� �� �������,,, ��( � ����8/�� ���/,((61 ��� ?2 92 � ���,-9���( M1����� 7 �������� /,� �3( � 5�,-3 7 9�/�) JD (�2(�&���������(67 ��2�-4���7 ��2�1 ��9(�1 ��7 ���'�6%

,$ ���������� ����%� ������ ������� �� #7�� � '7�� ����

����2��� 2 ���' �9� 2�/��1���((67 9�/�) JD � M��2

L : maxf@c� xA jAx � bg� @=A

L� : minf@b� uA jATu C c� u � �g� @�A

$�� 9���(�* ���,/( �/'� �'4��� � �3( 4 ��� (�96��2�1 � 22�� )���1� ��26 S ��� Ax � b� ATu C c� u � ��

@c� xA C @b� uA�@A

��, �7�/(�� 9�/�)� JD (��9�3 2�* �% % �� �� (���1 ��2 (�,�& ��,���� ��������������* ���)�40�� 1 � 22�� )���� � ��2� S 5'/� (���2��(�1 @��(� �5���(�A% O�� ��9��,�� ���� ��(�� ���������� 9�/�) JD )�9 ���/?,( ���������� � ��26 S% ! )���(��� * �, L I (��5���((�� 9�/�)� JD�?&� ��/�* �% % M :C fx jAx � bg C �� M� :C fu jATu C c� u � �g �C �� �� ���,��/( � �5�9(�)( 1

H CnGx� uH jATu C c� @c� xA C @b� uA

o� d@x� uA C j@Ax� bA�j� E j@�uA�j��

2�8(� �M��2 �����- 9�/�)'

minfd@x� uA ju � Hg� @�A

������� ��,���� ������� 2�� �((�1 /,� (���2��(�1 � ��26 @A% ��, G�x� �uH �Arg @�A* �� �x �u 5'/2 (�96���- ����������� � ��26 @A* � �2�� � �2 ���?9 �3( 2 9�/�) @=A% ��, ���,/(�� ��9�3 2�* �� �x I �56)(� �3( %D� 2( �,-(� � @�A 2�8(� 9�� ���- M1������ ���5��8(

��@x� uA C @�� �A�@x� uA E �Gx� uH� @�A

&/�@x� uA C Pr

H�@x� uA� �@x� uA C Gx� uH� � � � � � d@x� uA�

� � @�� �A� � CmXj��

jajj� Em� � � @�� �A�

Page 46: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

���5��8( ��@x� uA ��,���� (���6�(62 M1����� 2 ��(�� �,-(� Arg @�A*��,/��� )&� ���� �((61 ������ f�k

�@x�� u�Ag�k�� �7�/ ��� � (������2' �����'

G�x� �uH* �� B��2 �� ���/,( 4 �x I ���������� @=A* �u I ���������� @�A%�5��� 2�� � (��5���((62 9�/�)�2 JD �?&� ��/�% � �'�� � (��5���((���

�?&� ��/� ���������'� ��2'* )�� M �C �* M� C �* &/ �26�, � 2��,�� M M� ���8* )�� �63% � ��2' @A ��9�5-2 (� /� )��� :

ATu C c� u � �� v � �; @�A

AxE v C b� @c� xA C @b� uA� @�A

|/�- � ��2�Ax � b 9�2((� (� AxEv C b* v � �% D�,�8 2 d@x� u� vA C jATu�cj�Ej@�uA�j� E j@�vA�j�* H� I 2(�8���� �3( 1 � ��26 @�A% ! � ,' ��/��,�8( �� (�'���� M 22: H� �C �% D����� 2 ���5��8(

��@x� u� vA :C PrH�@Gx� u� vH� � � �� � d@x� u� vAA ; @��A

9/�- � � @�� �A* � CPn

i�� jhij�E�m% ����� �((61 ������* ����8/((61 ���5��8?

( 2 @��A* 5'/� �7�/ �-�� � (������2' �����' G �x� �u� �v H* �� B��2 �� ���/,( 4�x I ���9 �3( 9�/�) @=A* �u I ���9 �3( 9�/�) @�A%

-$ ���������� ����%� ������ ������� �� ,7�� ����

�,� ����2���( � (��5���((��� =?&� ��/� ��9-22 ���' �9� 2�/��1���((679�/�) JD � M��2��

L : maxf@c� xA jAx � b� x � �g� @��A

L� : minf@b� uA jATu � c� u � �g @��A

���)�40'4 2 � 22�� )��'4 � ��2' S���������Ax � b� x � �;

AT � c� u � �;

@c� xA C @b� uA�

@�=A

!63 26 ���, ����, � (���2��(��� � 22�� )���1 � ��26 S* ������,(?(�1 � ��������� �7�/(�1 9�/�) JD* ������� ��/��,�&�,��- , 5� �| JD �?&���/�* , 5� �?&�% �'0���� ������� 2�� �((�&� ��/7�/�* ��(�((�&� � � ��2 S* 9�?�,4)�,��- � M��2 ����( ���2��(�1 ��/� ��26 9 '���(( 1 ���/��� )(�1M'(�� (��9� d@xA /,� �����3 7�� �&��( )( 1 B��1 � ��26% N�* )�� B�� ��?��� � (�/(�9(�)(�* ��,���� ��-2� ��,9(62 �5�����,-����2* ��� ��� �� �����2��(���(�2 �,')�* �% % � �,')� ��(���(�&� M��2��� 9�/�) @(��� 2�* M��2�?�� ���(�����(�1 9�/�) * 5,�)(�&� M��2��� �% /%A* '��9�((�� ����� � �6/,( ���/� ��26 2�8� 56�- '��9�(� � ����5(���-4 ������1 BMM�� �(�1 ) �,((�1��, 9�� ���� �((�&� 3�&�* ����8/�2�&� ���� �((62 ��������2% $ B��2'�,/'� 0 /�5�� �-* )�� ������( ��&���&� M1������&� ���� �((�&� ��?������ 5'/� 9�� ��- �� ��(���(�&� � /� �7�/(�1 9�/�) JD% !��� 1 ��9 �� ������( ('8(�&� M1������&� ���5��8( � (�57�/ 2� �� B�� ') �6���-%

$�� �63* ��&��� ���� �((� ���5��8( ��@�A ���� ��� 9 M��&2(����@xA* �@xA C Pr

M�@xA* � � � ���4 �)�/- I 9 M * d@�A �% D�B��2'* M��2 �'�

Page 47: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

�(�,�& ���5��8( 1 ��@�A �� 2( �,-(� � � ��2 @�=A* 26 � ����2��� ��267( 8 ��� �(��7 5'/� �� ��/ �- , 3- � / 2(�8���� M * M'(�� (��9� d@�A ) �,� �%

:����� #$ M� :C fGx� uH j @c� xA C @b� uAg* d�@x� uA C j@Ax� bA�j� E j@c � ATuA�j� Ej@�xA�j� E j@�uA�j�* �� C

Pmj�� jajj

� EPn

i�� jhij� EmE n%

:����� '$M� :CnGx� u� vH jATu� v C c� @c� xA C @b� uA

o* d�@x� u� vA C j@Ax� bA�j�E

j@�xA�j� E j@�uA�j� E j@�vA�j�* �� CPm

j�� jajj� EmE �n%

:����� ,$M� :C fGx� u� vH jAx� w C b� @c� xA C @b� uAg* d�@x� u�wA C j@c�ATuA�j�E

j@�xA�j� E j@�uA�j� E j@�wA�j�� �� CPn

j�� jhijE nE �m%

:����� -$ M� :C Rn* d�@x� uA C j@Ax� bA�j� E j@c�ATuA�j�E j@�xA�j� E j@�uA�j�*

�� CPm

j�� jajj� E

Pni�� jhij

� EmE n%

D��,/( 1 ��� �(� &�/ ��� ��� /,� ��9�3 2�1 9�/�) * ��� /,� (��9�3 2�1,45�&� ��/� (��5���((��� @�?&�* �?&� , =?&�A%

��5��� �6��,((� �� M (�(����1 ��//�8� �++� @�����6 ��?�?�����* ��?��?���=A%

J�N���N.��

�% ��2 ( �%�%* P�9'��� !,%�% ����� �(��(6 ������6 2��2�� )���&� ���?&��22 ����( �% <P%: ��'��* ����% @&,% IIA%

�% ��2 ( �%�% � (�9 M1����� 7 ���5��8( 1 � (�����/�40 2 �������(?����2 7 �5��9��% <���* �% =��* � �* ����% <�% ��<�=%

=% F�/( ���� J%�%* D���� J%�% � �� 2(( /��2��9 � �� ��, 9�� M1?����� 7 2��/�� �3( � 5�,-3 7 � ��2 , (1(67 (���(��� (� P!�<���%<�5% ��,&�� �26 ���&��22(6 ��/���� ����,,,-(67 �6) �,( 1�% ����?� (5'�&: .�� ���* ����* � �% <�% �<��%

�% D���� J%�% !�����6 ��, 9�� 2��/�� JD � ���(��-4��(67 ���7% �5% ��,?&�� �26 ���&��22(6 ��/���� ����,,,-(67 �6) �,( 1�% ����� (5'�&:.�O ���* ���* � �% <�% ���<��%

% ��2 ( �%�% N�� � , (1(�1 ��� 2 9�� % ����� (5'�&: .�� ���* ����%

Page 48: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

��$�N��#� |���>� P��"�.N�|�{���� ��N����J~�#� ���P��

�% �% ��9 (

�% !!������

! 9��'58(�1 � ��)���((�1 , ����'� (�&��,-(6 �726 @��A �� )�0(�96��4� ) ��2 % > �* ��� ���� ,�* 2� M��2' ���/���� @�8 ���2�'&�,-( ��A*�� �����(�2 �� (���,-� 7 2 ,, 2���� /� �/(�&� /412�% �� �� )�0 92��4���( /, (�2 �����(* � ��, )����2 ��920((67 (� (1 B,2(��� @���(9 ������A*�����6 �6��,(�4� ,�& )�� ����� % ! ��?7 &�/�7 �� ��� �� ������, 9(���,-� 7 @�� � /� ��A ���(9 ������% D��,/����3�� /�, B�� 5�,-3 7 �� ��9��?, ,� �'�������-� � �/ ( ) � ���6 2 �����������6% �'��T���7 5�,-3 ��@�F��A ��/�8�� ��?��9��/(6 ��������6 � /������)(�1 ��2��-4 ��//�8 ��?4� �� M2� �' � �,���401 9�����1 < B�� 5�, 2 ,, �(� ���(9 ������ (� �/(�1� , ��(���1 �,��� (% � ���,/'40 2 '2(-3( 2 ��92��� ���(9 ������ 7 ��?, )���� (� �� �� ��9������% ! ���9 � B� 2 (�����6 ��� �, ��6 ���,-9'4���2 ( ',-��� 5�,-3 ��% �� 5�,-3 (���� ����(�� ,��- (� ��2 ( �F��%

D����� ����� ����( � �� ����� � 9 /�'7 B�����: ,�& )�� 1 M 9 )�� 1%!� ��2� �����&� B���� ��'0���,����* � )���(��� * 2��3�'� 9�� �* �% % ��/ ?(( ��/2(�8���� B,2(��� ����/����2 �� * ���,-9'� ���5�/(� �������(����) ��% D����� 2��3�'� 9�� < B�� �,�8(�� ���5,2�% D�B��2' �(* � ���4 �)�/-*��95 ����� (� � 3�&�: &,�5�,-(�� /��,-(�� 2��3�'� 9�� �%

�% |���>� �J�F�J~��� P��"�.N�|�{��

D� &,�5�,-(�1 2��3�'� 9�� ( ��'0���,�4��� ( ��� ��/ (( �% �( , 3- �,�( �'4���% �56)(� &,�5�,-(�� 2��3�'� 9�� � �����/ ��� (� ��2 ) �28/' 5,���2 * (� �����6 ��95 �� ��% {,-4 &,�5�,-(�1 2��3�'� 9�� ��,�?��� ��/&������ (���'�� /,� /��,-(�1 2��3�'� 9�� * ������� ���)�� (�������* &/ 2((� �����/ �- ��/ (( � ��8/�1 �� % +'(�� �(�,�2 &,�5�,-(�12��3�'� 9�� 2�&'� 56�-:< 2 ( 2 9�� � �501 /, (6 ��/ (( 1;< 2��� 2 9�� � �����(��� ��&�* )�� /��,-(�� 2��3�'� 9�� � 2�8� 56�- �6?��,((�;< 2 ( 2 9�� � 2��� 2�,-(�1 @�� � )���1A 9�/�8� %

O��� ��95 ( � ) �� (� 5,�� ��920( � B,2(��� �� ���8 ���9�( � &,�?5�,-(�1 2��3�'� 9�� 1* ������� ��'0���,���� �� (9�(���1 ����7(��� ) ��%O��� B��� ('8/���� � 56����2 ������2 �����5 ���/,( � 9�/�8� /,� ��(� ��)���� ��920( � B,2(���% �2((� &,�5�,-(�� 2��3�'� 9�� � /�,8(� 56�- (���'2(��2 56����1 ��(� ��)���� ��920( �%

�/( 2 9 ��/7�/�� � ��'0���,( 4 &,�5�,-(�1 2��3�'� 9�� ��,���� �,?/'40 1% F�'��� �� �)�/ ��3 (6 �/(�1 �� /,� ( 7 ���� ��� ��22'( ?

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<��9 ( �/ ,- �,-���� )* �(�� �'� 2��2�� � 2% �%J%��5�,�� �� ���*��% ���/2 �� $���4&� �* ����� 5 ���* �=����* ���� �*�,% @�?=�=?�A ==?=�?��* M��� @�?=�=?�A =�?�?��* e?mail: adilLmath%nsc%ru

Page 49: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

��� �((� /��� 2 ( 2�,-(�&� ��� @(��� 2�* 2 ( 2�,-(� /��� "�1(��A �/���,( �,-(62 �&��( )( �2 (� ��, )���� , ( 1 ���9 � ��8/�2 ��(�,% N�?��1 ������ 9���( � , ����'� ��� ���,/����,-(�� 2��3�'� 9�� �% �(�* ������� ,�* �������8/���� ���� �2 ,���,-(�&� ',')3( �* �����6 �� ��/�� �'2(-3( 4 ��, )���� ��/ (( 1* ���7�/�0 7 �� (� 5�, 9�&�'8((62 ��(�?,�2% ! ��, ) �� ���,/����,-(�1 2��3�'� 9�� * ������� ��5���� � �/(�1��-4 � ��8/61 2�2(�* ���7 )���� 2��3�'� 9�� � ����2��� ��� �/(���2(?(� �� �� ���/,((�&� '���(�% D� 2� ���,/(1 2��3�'� 9�� ����2��� 2 ��,/'402 ��9/,%

�%�% ��(�� &,�5�,-(�1 �,��(��� (� /�'2�(�2 2��� �

D'��- ) � ��95 � (� m &�� 9�(��,-(67 m ��� ��,-(67 ��(�,��% N���1 ���?/��� ��92�(��� m �m (�9��2 /�'2�(62 2��� ��2 ��92�(��� m% �)� /(�*)�� �( ����� � 9 m� 2�,(-� 7 @B,2(���(67A ���/����� @�)�A% ! ��8/�2 B,?2(���(�2 ���/��� 2�8� (�7�/ �-�� ( 5�, �/(�&� B,2(�� (������1 �� %D'��- 2��� n ��1% >�9 Si �5�9(�) 2 2(�8���� B,2(��� �� * i C �� � � � � n%!� B,2(�6 �/(�1 �� (�57�/ 2� ���9��- 28/' ��5�1* �����/� , ( ���9 ��&�� 9�(��,-(62 ��� ��,-(62 ��(�,�2% P��� 2�,-(� ��, )���� ���)( 1�/(�1 �����(6 �)1� (�9��2 ���������� ���������� �5�9(�) 2 )�9 d% �)?� /(�* )�� d ���/,�� 2��� 2�,-(� ��, )���� ���91 � ��(�,�7 ��(�� ���7'�, ) (6 d �)(- ��8(� /,� ����/( � /��,-(�1 2��3�'� 9�� % � /�'&�1 ���?��(6* �, ) (� d (��2(((� 9�� � � �� �� 2(�2�1 �726 2��3�'� 9�� %

����7 )�� 1 ��/7�/ ��9��,�� ��95 �- ���5,2' (� ��/���5,26 2(-31 ��9?2�(��� * �����6 2�&'� 56�- ,&�� �3(6% �/ ( 9 ���7 )�� 7 ��/7�/�� B�������������� < ��95 ( �7�/(�&� ���/���� (� )�6� �/ (����67 ��/���/���� ��(�� ���7' ��, )���� ���91 �����40 7 &��( �6 ��,-�� B� 7 ��/�5,���1%���'�� 2 B� (��6 ���/���6 ���('2����(6* (��� 2�* �� )�����1 ���,�* (�?) (�� � ,��&� ��7(&�% N�&/� �50 �����(6 ���/����� � �* � =* = �* � � ��,�4��� &��( ��2 ���������'40 7 �& �(��% $�8/�� ����� &��( �� �����? � 9 m�� ��(�,��% ��, (� ��(�� �726 2��3�'� 9�� '/���� ��( �- ���7'��, )���� ���)( 1 ��8/�1 &��( �6* ��* ��,�&�� )�� B� ���)( � �����/?,(6 �� &��( � ���(�2�(�* 2�8(� ��( �- �,��(���- �)� B� 7 &��( � ����&�'���(� ���7 ��95 ( �% D��,/'40 ���9 5'/'� ��'0���,(6 '8 �('�� ������((67 ��/�5,���1% ��,* �(�,�& )(�* ��8/61 ��/���/��� ��95 ����� (�)�6� �/ (����67 ���/���� �� �����(�2 m�� �% /%* ���� ���/���6 ��95 ( �( �����/'� � B,2(���(62 ���/����2 @�)1��2 A% D� B��2 ���,/'40 ���9 ( ��&/� ( ����'� &��( �6 5�, ��((&� ��95 ( �* 7��� �/,�((6 ��( ��/ ?(( � ���7�/�� )�9 ���/���6 5�, &,'5���&� ��95 ( � /�,8(6 56�- ')�(6�� ��(� &,�5�,-(�1 �,��(��� %

��(� �,��(��� /,� /�'7��2 (�,-(67 ��1 @��&/� jSij C �� i C �� � � � � nA56,� �����0(� 5�,-3 ��5�� )2 2(�&���2 (�,-(62 ���2 @� ��� 9��,-(62 ��?, )����2 ��2 (�,�� � �/(�1 �� A% N�� �% $��� /�% G�H ����9�, * )�� /,�/�'7��2 (�,-(67 ��1 d � m�� (9�� � 2� �� �����,�8( � ��2 (�,��% N�28 ����9�(�* )�� 9�/�)� 2 ( 2 9�� &,�5�,-(�1 �,��(��� NP?��'/(� /�8 �, ���,-9����- �'� ( 5�, )2 � �/( 2 ��������2% ��'& �'5, ��� (� �2'��(� �,��(��� 2��3�'� 9�� /�'7��2 (�,-(67 ��1 ���,-9'4� 7������ ?

Page 50: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ =

�� � ��920( � ��2 (�,��* (��� 2�* ��, )���� ��2 (�,�� ��9(67 ��1 ��/(�2 ���/��� ��95 ( � �� �&��( )( @���7'A (� ) �,� ��������� � ��8/�1, ( ���9 %

=% �J����NP# ��N�J~��� P��"�.N�|�{��

���'�� 2* )�� � �9',-��� &,�5�,-(�1 2��3�'� 9�� ���/,(� ��� ��(�,6/�,8(6 56�- ���,-9���(6 /,� ��/ (( 1 ��8/�1 �� % ����,-9'4 B�' (M��2�?� 4 � ������ /��,-(�1 2��3�'� 9�� * ���/,���� ��(���(� �����,�8( ��8/�&� ��/ (( �% D� B��2* � )���(��� * 2 ( 2 9 �'4��� �,/'40 �, ) (6:< �50�� /, (� ��/ (( 1;< 9�(��� ���2 �������(����;< /, (� �� � )���&� �'� ;< ��, )���� ��7�/�� �� �,�� (� �,�1% $�� ���� ,�* ) � ����� � 9 (���,-� 7 �,�?�% ���� 2�* (� �/(�2 �,� 2�&'� ��920��-�� , 3- &�� 9�(��,-(6* � (� /�'&�2, 3- ��� ��,-(6 , ( ���9 %D�7�/ �� �,�� (� �,�1 �,)� '�, )( ������ �,( �% D�B��2' �,�(��(�� ��-@(�7�/�0���� �, ��2 (� �/(�2 �,�A* ��� ���� ,�* ��/��)� �,-(%

���,-(�� 2��3�'� 9�� � �56)(� �����/ ��� (� ���(�2�(�1 �3��* &/ ���?����( � 28/' ���/( 2 &�� 9�(��,-(62 ��� ��,-(62 , ( �2 2�8(� �� ?(��- ���(62 / ( �% ! /�,-(132 26 ���8 5'/2 ��/��,�&��- (�, ) ����1�3�� 5'/2 �) ���-* )�� ��/ (( � ���,-9'4� , ( �3�� @�,/����,-?(�* /,� �6) �,( � �������( � 28/' ��)��2 ���,-9'��� ���2�'&�,-(�� 2�� ?��A%

�9���(� 2(�&� �,&�� �2�� /��,-(�1 2��3�'� 9�� G�H% ������6 �,&�� �262�&'� 56�- (�9��(6 �������� �,&�� �2�2 % ! B��2 �,')� /,� ��/ (( � /�'7��2 (�,�� x y (� �3�� ��/��,�&����* )�� 9 �/(�&� ��2 (�,�* (��� 2�* 9 x ����������(���� ��,(� ��� �� 5��3((�&� � ��/' ��2(�% N�� 2 �5��9�2* ���/?( @ 240 � x �50'4 &��( �' �� �5�'A �,�� 5'/'� /��� &('�6 B��1 ��,(�1���62 2 �� � �6��4��� (�2�� �% ���5�/(6 @( 9�(��6 /�'& 2 B,2(?��2 A �,�� * � �����6 ��,(� ����/� )�9 � / ( �6 ��2( @(�7�/�0 �� (��������( � �� xA* ��,')�4� (�2�� � �% /%* ���� ��,(� ( /��� &(� y% ��2�*�� � ��((61 y* ���������'� /, ( �'� 9 x � y% P�/ M ��� 1 B��&� 2��/���,���� �/(���2((� ����������(( ��,( ��� 9 x ��� 9 y%

�,&�� �2* �����61 /,� �� ��� ��/ (( � ���,-9'� ���26 , ( * (�96������,&�� �2�2 ����� ���% N���1 �,&�� �2 ����� � 9 �,/'40 7 3�&��%

�% D����/���� ���26 , ( 9 x y � �����(' /�'& /�'&�%�% ��, , ( � ����� � �������� * (�1� ��)�'* 9 ������1 (�)��- /�'&'4

���2'4 , ( 4* ���(/ �',��('4 ��/6/'01 /'0'4 � �����(' �����&� ��2 ?(�,�%

=% D��/�,8 �- (��'4 , ( 4 ���� �(� ( (���(��� (� �������� ���� �(� /� � �����(' /�'&�&� ��2 (�,�%

D'�-* ���96��40 1 x y* 5'/� ������(* ��&/� �'� * �����0 �� 9 �5� 7 ��?2 (�,��* ����'���%

�5� �� ��((67 �63 ��/7�/� 24� �,/'40 1 �'0���((61 (/�������% �( ( ') �6��4� ��/ (( �* �����6 5'/'� ���� �-�� ��98% ! �9',-��� 2�8��,') �-��* )�� �'�-* ������((61 28/' /�'2� ��2 (�,�2 * ( ��9��, � (�1�

Page 51: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

/��'�� 261 2��3�'� 28/' /�'& 2 ��2 (�,�2 (� B��1 8 �,������ % �,� ��?�/�,( � B��&� (/������� 2�8(� ���,-9����-* (��� 2�* ��/7�/* ��(���((61 (���/( �7�/(�1 9�/�) 2��3�'� 9�� � ���������'401 9�/�) (� ���7 )?���1 � ��2 G�H% D� B��2 �/(���2((� ���� ��� ( �/ ( �'�-* � �,� 2(�8�����'�1* )�� ��9��,�� ')��- 7 �9� 2(� �����,�8( %

�% P��"�.N�|�{� .D��!J �}�� ��N��

P��3�'� 9�� � '����,�40 7 @� &(�,-(67A ��1 ��5'� ���5�&� �( 2�( �%����(�� 2�� ��/��5( (� ����2���( � &(�,-(67 ��1* �����6 ���)�4� 9���&,�����(('4 ��5��' ��7 B,2(��� ) ��%

.����,�40�� , � &(�,-(�� ��- ���)�� 9� � (7��( 9�� 4 ��5��6 ��1 �6?) �, �,-(�1 � ��26% � &(�,6 @��2�(/6A &(� �'4��� �( ) �� ��/�4��� ��� )�9 ���)( � @���(-A � &(�,-(�1 �� % $�8/61 B,2(� ��* ��5��� ������&���5'� '����,( �* /�,8( 56�- ���9�( � B� 2 ���)( ��2 /,� ��,')( � ��2�(/%$�8/61 ����1 B,2(� �6��,(�� �� 4 ,�& )�� 7 M'(�� 1 8/� � &(�,� /,���/�) �9',-����� /�'&�2' B,2(�' ���� ( (�)�,�� �,/'40 1 � �, @����A �6?) �,( 1% ��9( �� �� ��2( ��,')( � ��2�(/ /�'2� B,2(��2 �� @clock skew ��(&,��96)(�1 , ����'�A �/� � �( 8( 4 ������� ��5��6 ) ��% ! ����2((67�� clock skew ��,���� ��(��(62 M������2* ���/,�40 2 M'(�� �( ����( ��1� ��26% Clock skew '2(-3�� ������'4 )�����'* ��� ��� �� �/ 28/' ��2�(/�?2 /�,8( 56�- '�, )( /,� ��&�* )��56 �� B,2(�6 '��, ��,') �- � &(�, ��)( /�((�&� �����%

! ���,/( ��2� �,&�� �2�2 ������( � � &(�,-(�1 �� '/,���� �� 5�,-3�( 2�( � G=* �H% ! )���(��� * � GH 56,� ����9�(�* )�� 9�/�)� 2 ( 2 9�� clock skewNP?��'/(�% ! ��(��(�2 �� �3( 9�/�) 2 ( 2 9�� clock skew , 9�/�) ��?����( � 2 ( 2�,-(�&� � &(�,-(�&� /��� � �&��( )((62 clock skew ���,-9'4�?�� /�� ��/7�/�% D��61 ��'0���,�� ���,/����,-(� ������( � 2��� 2�,-(67������)��( 1 2 ( 2�,-(�&� ��� GH% !����1 ��/7�/ ��(���( (� ������( (��?����&� ���� ,-(�&� ������* � ������2' 9��2 ��� �,-(62 �5��9�2 �� ��/ (�4�����2 (�,6% ! )���(��� * /,� ������( � ����&� ������ 2�8� 56�- ���,-9���(����,/����,-(� @ ���7 )���A ��95 ( �7�/(�&� ���/���� ) �� ��/ (( �(���� (��67 ��/�5,���1% N���1 ������ ��/�5( ������( 4 5'�� ,�� (���&� �,?M�� �� �H� G=H% �,� B��&� �5,���- ) �� �(�)�,� ��95 ����� ����,�2* (��� 2�* ��?� ��,-(�1 , ( 1* �(��6 ,��&� �����&� ���2�'&�,-( ��� ��/ (�4��� ���2�1, ( 1% |��2 ��8/61 9 ���2�'&�,-( ��� /, ��� ����,�2 &�� 9�(��,-(�1 , ( 1 ��/ (6 (��67 ���/����� ��/ (�4��� ���9��2 ���2�1% ��95 ��� B� ���/���6����,�2 ����- ��� ��,-(�1 , ( 1 ��/ (�� ��/ (6 (��67 ���2�'&�,-( ���&�� 9�(��,-(62 ���9��2 * ��,') 2 5'��' �H�% O��� ������ 2�8� 56�- ���?/�,8(% $�&/� ����� ������(* ��2 (�,6 �� ��/ (�4��� � (2' ���,/����,-(�@(�) (�� � ��2�&� /�,-(&�A ���* )��56 /, (6 �'�1 � �(���,-('4 ��3 (' 56, �/ (����6%

�/�������2 ��� 7 ��/7�/�� ������( � � &(�,-(�&� /��� ��,�4��� �,/'4?0 :

�% !�3 (�? ���)( � ( 2�8� 56�- ��920(� � ��� 9��,-(�1 ��)�%�% D�//���* ������((� (� ��/6/'0 7 3�&�7* 2�8� ��23��- �� ��/ (?

( 4 ��2 (�,�� (� ���,/'40 7 3�&�7%

Page 52: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������

=% � ') �6����� ��� M���* )�� ������( 4 ������ 2�8� ��23��- ��920( /�'& 7 B,2(��� ��%

! ��5���7 G�* �H �/,�(� ���6��� ���/�,�- '��2�('�6 �63 (/������ % �,�B��&� �7�/(�� 9�/�)� ������( � � &(�,-(�&� /��� ���/ ��� � 9�/�) �� ��� ��� ?2�,-(�&� /��� (� ���7 )���1 � ��2* ������((�1 �� �7�/(�1 9�/�)% D��,B��&� �6) �,�4��� �����(��� �7�8/( � ��8/�&� B,2(�� @�5��A �3�� � �?��2'4 ��- ���� ��� '����,�40 /���% D� B��2 �6��,(�4��� �,/'40 '�,�� �:

�A ��3 (�? ���)( � 2�8� (�7�/ �-�� � ��� 9��,-(�1 @ 9���(�1 9���(A ��)?�;

�A ���, ������( � ���7 )���1 � ��26 ��'0���,���� �� �� ��7 ��92�8?(67 �'�1 � ��8/61 ��2 (�, @� �9',-��� ��8/�� ���28'��)(�� ��3 (� ��?��(�)�,-(� 2�8� �� (�/,8��- (���,-� 2 '���(�2 � ��26A;

=A 2�&'� 56�- ����2���(6 9�/�) ������( � ��� �,�(��(�&�* ��� /�'7�,�1(�?&� /��-� @��&/� ��9, )(6 ��/ (( � 2�&'� 56�- �����,�8(6 (� ��9(67 �,��7��A;

�A �,&�� �2 2� ��, (�2 �,-('4 ��'/�2����-%��/( �7�/(�1 9�/�) � 9�/�) (� ���7 )���1 � ��2 ��9��,��* ��8/

��&�* ( �,/ �- 9� /, (�1 �'� � ��8/61 ��2 (�,% D����,-�' ��2 (�,6 ��92?0�4��� (� ��2�2 ( 8(2 '���( @���������'402 �������( 4 /� ��2�&� '/�,(?(�&� ��2 (�,�A* ,45�1 (�1/((61 �'�- 5'/� 2�- (�57�/ 2'4 /, ('%

���,/���( � �6��,((6 �� M (�(����1 ��//�8� �++� @&��(� ��?��?�����A%

J�N���N.��

�% Karp R% M%* Leighton F% T%* Rivest R% L%* Thompson C% D%* Vazirani U% V%* andVazirani V% V% Global wire routing in two�dimensional arrays# Algorithmica% ����%V% �% N% �% P% ��=?���%

�% Ohtsuki T% @ed%A Layout design and veri>cation# New York: Elsevier Science* ����%

=% Kahng A% B%* Tsao C%?W% A% Planar�DME: a single�layer zero�skew clock tree router#TT IEEE Trans% on Computer?Aided Design of Integrated Circuits and Systems%����% V% �% N% �% P% �?��%

�% Cong J%* Kahng A% B%* Koh C% K%* Tsao C%?W% A% Bounded�skew clock and Steinerrouting# TT ACM Trans% on Design Automation of Electronic Systems% ����% V% =%N =% P% =��?=��%

% Cong J%* Kahng A%* and Robins G% Matching based methods for high�performanceclock routing# TT IEEE Trans% on Computer?Aided Design of Integrated Circuitsand Systems% V% ��% N �% P% ���?����%

�% Erzin A% I% Min�skew clock tree detailed routing# TT P8/'(���/(�� ��(M�(?� � �� ����(61 �(�, 9 ��,/���( ����� 1�% P��� �,6 ��(M�(� %����� 5 ���: �9/?�� �(�� �'�� 2��2�� � �� ���% ����% �% ���%

�% Erzin A% I%* Cho J%D% The signal synchronization problem in VLSI design# TT Proc%of �th Int% Conf% on Information Networks* Systems and Technologies% Minsk:BSEU% ����% P% �=�?�=%

Page 53: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

ON THE APPROXIMATION TRADEOFF FOR MULTICRITERIASCHEDULING PROBLEMS

A% Kononov

Abstract

We consider multiobjective scheduling problems$ i�e� scheduling problems thatare evaluated with respect to many cost criteria$ and we are interested in determin!ing a trade!o% between these criteria�

First$ we identify a class of multiobjective optimization problems possessing a ful!ly polynomial time approximation scheme �FPTAS� for computing an �!approximatePareto curve� We show how our general result can be applied to two types of bicri!teria scheduling problems& single�machine batching problems and parallel machine

scheduling problems�Second$ we study the problem of simultaneously minimizing the makespan

and the average weighted completion time for the precedence multiprocessor con!strained scheduling problem with unit execution times and unit communicationsdelays� We propose a simple ������ �����!approximation algorithm for the problemwith an unrestricted number of machines� We improve our algorithm by adapt!ing a technique 'rst introduced by Aslam et al� ��� and provide a �����"� ����"�!approximate solution� For the considered scheduling problem we prove the existenceof a �����"� ����"�!approximate solution$ improving the generic existence result of����

Introduction

Motivated by the practical interest of multicriteria problems* and taking advantageof the latest advances in @single?criteriaA approximation theory G��H* more and more re?searchers in Theoretical Computer Science are interested in the construction of polynomialtime approximation algorithms* with guaranteed performance ratios* for many multicrite?ria combinatorial optimization problems G�* ��* �* ��* ��H% The most popular approach inTheoretical Computer Science is the budget approach @optimization of one criterion givena Vxed value for a second criterionA and there is a long series of polynomial time approxi?mation algorithms following it G��* ��* ��H% A second approach is interested in obtaining atradeo� @Pareto curveA between the optimality criteria G�* �* �* ��H% The recent FOCS pa?per by Papadimitriou and Yannakakis G�H showed the possibility of approximating withinany desired accuracy the Pareto curve for a large class of problems% In the third approachwe try to obtain results about the quality that might be obtained simultaneously for thevarious optimality criteria G�* ��* ��H% A series of recent Vndings G�* ��* ��H have intro?duced techniques and methods for the analysis* from an approximation point of view* ofvarious bicriteria scheduling problems% In order to evaluate the worst?case performanceof an algorithm for a bicriteria optimization problem* the following deVnition has beenintroduced in G��H: an @�� A?approximation algorithm produces a solution that* in the

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII<Kononov Alexander Veniaminovich* Sobolev Institute of Mathematics*pr% Academica Koptyuga �* Novosibirsk* �=����* Russia*phone: @�?=�=?�A ==?��?��* fax: @�?=�=?�A ==?�?��* e?mail: alvenkoLmath%nsc%ru

Page 54: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ �

worst case* is within � of optimal for the Vrst criterion @e%g% the makespanA and ofoptimal for the second criterion @e%g% the average weighted completion timeA%

#$ FPTAS for bicreteria batching and parallel machine scheduling problems

Most of the works in the scheduling literature* related to the notion of Pareto curve*study the problem of computing the exact @or the convex hull of theA Pareto curve andgive complexity results* or propose polynomial @if possibleA* or exact @e%g% branch andboundA algorithms G�* ��H% However* recently there has been much progress in the Veldof multiobjective optimization G�H* and it has been shown that it is often possible tocompute an approximate Pareto curve in polynomial time% Informally* an �?Pareto curveis a set of solutions that dominates all other solutions approximately @within a factor� E �A in all the objectives%

In the Veld of scheduling* some recent results consider the notion of approximatePareto curve% Cheng et al proposed polynomial time algorithms for the computationof the approximate Pareto curve for a single machine bicriterion @resource consumptionand a regular criterionA scheduling problem with resource dependent processing times GH%More recently* Angel et al studied the problem of scheduling independent tasks on a setof unrelated parallel machines with two optimality criteria @makespan and costA* and theyproposed a polynomial time algorithm for computing the approximate Pareto curve G�H%

In this paper* we study two types of bicriteria scheduling problems: single�machinebatching problems and parallel machine scheduling problems% Batching problems aremotivated by the problem of scheduling burn?in operations for large scale integratedmanufacturing G��H% A batching machine is a machine that can process simultaneously upto b jobs* and the jobs that are processed simultaneously form a batch% Note that if b C �then the model is the same as the classical single machine scheduling model%

In the unbounded burn�in model* that we consider in what follows* the processing timeof a batch is equal to the maximum processing time of any job assigned to it* and b isgreater than or equal to n* where n is the number of independent jobs to be scheduled% Ofcourse* themakespan minimization problem is trivially solved by assigning all the jobs to aunique batch% In G=H* a characterization of a class of optimal schedules for the unboundedburn�in model and for regular scheduling criteria has been given* leading to a genericdynamic programming formulation minimizing a regular criterion in pseudo?polynomialtime% In addition speciVc dynamic programs have been proposed for speciVc optimalitycriteria @weighted sum of completion times* maximum cost* maximum latenessA%

Up to our knowledge* no results are known for the burn?in model in the case of multipleoptimality criteria% We show that the problem of computing the exact Pareto curve whentwo speciVc criteria @makespan and sum of completion timesA are considered is NP?hard*and we give an FPTAS for computing an approximate Pareto curve which is as close aspossible to the exact Pareto curve for the more general bicriterion problem @makespanand weighted sum of completion timesA%

In the past few years* there have been signiVcant developments in the area of approx?imation algorithms for NP ?hard parallel machine scheduling problems* see e#g# G�H% Weare given n independent jobs that have to be executed on m machines @processorsA% Themachines can be identical @the processing time of each job is the same on any machineA*uniform @each machine has a di�erent speed and the processing time of each job is pro?portional to the speed of the corresponding machineA or unrelated @the processing times

Page 55: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ��������� ������

of the jobs are machine?dependentA% The jobs must be processed without interruption*and each machine can execute at most one job at a time% There is a lot of objectivesthat have been studied in this context% In almost all cases the corresponding single cri?teria problems are NP?hard% Here* we focus on parallel identical machines and we studydi�erent bicriteria scheduling problems involving various scheduling criteria @makespan*weighted sum of completion times* sum of squared completion times* etcA% We show thatit is possible to construct in polynomial time an approximate Pareto curve whenever thenumber of machines is a constant% Our results can be easily generalized to the case of aconstant number of uniform machines%

Instead of proceeding in a problem?by?problem basis* we identify a class of multiob?jective optimization problems possessing an FPTAS% This class contains a set of problemswhose Pareto curve can be obtained via a simple @pseudo?polynomialA dynamic programfor which the objective and transition functions satisfy some* easy to verify* arithmeticalconditions% In order to obtain this characterization* we extend some results that Woeg?inger obtained for single?criteria ex�benevolent optimization problems G�=H% Notice that asa corollary of a result by Papadimitriou and Yannakakis G�H* we know that for multiob?jective discrete optimization problems with linear objectives* the existence of a dynamicprogram computing the Pareto curve in pseudo?polynomial time* implies an FPTAS forcomputing the approximate Pareto curve within any accuracy% We illustrate this methodfor the bicriterion problem @makespan* weighted sum of completion timesA of schedulinga set of independent jobs on a constant number of identical machines% Our approachallows us to go further and characterize multiobjective problems with non�linear optimal?ity criteria* or problems for which it is not obvious to prove the linearity of the criteria%Furthermore* we study and give a characterization for a stronger version of approximatePareto curves* the @�� �A?Pareto curve% Informally* we search for a set of solutions thatdominates all other solutions approximately @within a factor �E�A in all but one objectives*and it is optimal with respect to the last objective%

'$ Approximation algorithms for bicriteria scheduling problems withcommunication delays

Stein and Wein G��H proposed an elegant way of proving the existence of scheduleswhich are good approximations for makespan and average weighted completion time for alarge class of scheduling problems @preemptive scheduling problems* scheduling of tasks onunrelated machines* scheduling in the presence of precedence constraints* etc%A% Aslam etal% G�H improved these existence results providing improved bounds on the existence of suchschedules by introducing a relation between average weighted schedules* appropriatelynormalized* with continuous probability density functions% More recently* Rasala et al%G��H generalized these results that apply to several scheduling settings and to all pairsof optimality criteria in which the Vrst is one among maximum =ow time* makespan* ormaximum lateness* and the second is one among average =ow time* average completiontime* or number of on�time tasks% They also proposed lower bounds about the existence ofgood bicriteria approximation schedules for these pairs of metrics% Apart of its theoreticalinterest* the approach used in order to obtain the existence results of G�* ��* ��H* can beused to obtain good bicriteria approximation algorithms in a very natural way: Given anx?approximation algorithm for metric A and a y?approximation algorithm for metric B*then an existence result of an @�� A?approximation for metrics A and B @obtained using

Page 56: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

the constructions of ��� ��� ����� shows that we can obtain easily an �x� �y�approximationfor criteria A and B� This very general method provides good bicriteria approximationalgorithms for numerous scheduling environments and pairs of metrics� but of course bydisregarding the special structure of each particular problem� it lacks on giving the bestpair of approximation ratios� In particular� in the case of the scheduling problem withcommunication delays that we consider in what follows� the obtained ratios are not betterthan the trivial �� ��approximate solution that can be obtained by simply putting onecommunication between every pair of communicating tasks�It is then necessary� to study these problems in a problembyproblem basis in order

to be able to exploit the special structure and properties of each problem� In this paper�we focus on a classical scheduling problem� the UETUCT problem and two importantmetrics� the makespan and the average weighted completion time� and we show that itis possible to combine the techniques of ��� ��� ��� with linear programming in order toget a ������ ������approximation algorithm for the problem with an unbounded numberof machines� Using the notation of ���� this problem can be denoted as P�jprec cij �� pi � �jCmax�

PwjCj�� We wish to �nd a feasible schedule� that is simultaneously

within a small factor strictly less than �� of optimal for both optimality criteria�The corresponding monocriteria problems have been studied in the literature ��� �� ���

��� ���� and have been proved to be NPhard ���� ���� Furthermore� Hoogeveen et al�showed that there is no hope in �nding an approximation algorithm for P�jprec cij �� pi � �jCmax with relative performance strictly less than ��� unless P � NP� �����The best known approximation algorithm is due to K�onig and Munier with a worstcaserelative performance equal to ��� ����� The algorithm and the analysis are quite elegantbased on ILPrelaxation and rounding� The performance ratio of ��� was achieved forthe makespanminimization problem� but it is quite simple to be adapted also for theaverage weighted completion time criterion� This is because K�onig and Munier were ableto show that the completion time of every task after rounding is bounded above by ���the lower bound obtained by the solution of the ILPrelaxation where the makespanobjective function is replaced by

Pj wjCj��

In what follows� we propose a new scheduling algorithm based on an ILPrelaxationand the techniques introduced by ��� ��� ��� that improves the trivial bound of �� ���The principle of our algorithm is based on the resolution of two ILPrelaxations� onefor each criterion� the appropriate application of the combine procedure of ���� on theobtained not necessarily feasible� solutions of the LPs and a simple rounding step� Bya careful analysis� we are able to prove that the constructed schedule is a ����� �����approximation algorithm� criterion� Using the relation between average weighted schedules� appropriately normalized� with continuous probability density functions� we are ableto improve this result and to obtain a ������ ������approximation algorithm� Furthermore� we obtain improved existence results for our problem showing the existence of������ ������approximation for makespan and average weighted completion time� In thelast part of the paper� we consider the same bicriterion problem when a restricted numberof processors is available� For the makespan problem� Hanen and Munier ��� have proposeda �� � �

�m�approximation algorithm this result holds for the more general problem withsmall communication delays�� while for the average weighted completion time criterionM�ohring et al� proposed a ��� � �

�m�approximation algorithm for the UETUCT problemin fact� for the more general problem with ��� communication delays�� Here� we givea �

�� �

��� ��

�� �

�� � �

����

�� � �����approximat ion algorithm� where � � �� �

��� In the

Page 57: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

following table� we summarize the main obtained vs� the known results for the consideredscheduling problems�

P�jprec cij � � pi � �jCmax P�jprec cij � � pi � �jPwjCj

��� ���� ��� ����P jprec cij � � pi � �jCmax P jprec cij � � pi � �jPwjCj

��� ��� ���� ����P�jprec cij � � pi � �jCmax�

PwjCj�

Existence Upper bound��� this paper ��� this paper

� � �� e�

�e����� � � ��� �������� � � ��� ���� e�

�e���� � ���� ��� �

��� �

������ ����

���

� � �� �� � � �� �� � � �� �� � � �� ���������� ������ ������ ������ ���� ������ ������

P jprec cij � � pi � �jCmax�PwjCj�

Upper bound this paper���� �

��� ��

�� �

�� � �

����

�� � �����

� � �� ���

The main contribution of this paper is to provide further evidence that the generaltechniques introduced in ���� �� ���� mainly for obtaining bounds on the existence of goodbicriteria algorithms� may be combined with linear programming and rounding in orderto obtain a new way of designing e�cient bicriteria approximation algorithms�Review of jointly papers with Evripidis Bampis and Eric Angel in LaMI� CNRS UMR

����� Universit�e d�Evry Val d�Essonne� France�

REFERENCES

��� E� Angel� E� Bampis and A� Kononov A FPTAS for approximating the unrelatedparallel machines scheduling problem with costs� Proc� ESA������ ������� �����

��� J� Aslam� A� Rasala� C� Stein and N� Young Improved bicriteria existence theoremsfor scheduling� Proc� SODA������

��� P� Brucker and A� Gladky and H� Hoogeveen and M�Y� Kovalyov and C� Potts andT� Tautenhahn and S� van de Velde� Scheduling a batching machine� Journal ofscheduling� �� ������ �����

��� B� Chen� C�N� Potts� and G�J� Woeginger� A review of machine scheduling� complex�ity� algorithms and approximability� Technical Report Woe��� TU Graz� �����

��� T�C�E� Cheng and A� Janiak and M�Y� Kovalyov� Bicriterion single machine schedul�ing with resource dependent processing times� SIAM J� on Optimization� ���� ������� �����

��� P� Chr�etienne� E�J� Co�man Jr� J�K� Lenstra� and Z� Liu� Scheduling Theory and itsApplications� Wiley� �����

��� R�L� Graham� E�L� Lawler� J�K� Lenstra� and A�H�G� Rinnooy Kan� Optimizationand approximation in deterministic sequencing and scheduling theory� a survey� Ann�Discrete Math�� ���������� �����

Page 58: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

��� C� Hanen and D�S� A� Munier� An approximation algorithm for scheduling depen�dent tasks on m processors with small communication delays� IEEE Symposium onEmerging Technologies and Factory Automation� September �����

��� J�A� Hoogeveen� Single Machine Bicriteria Scheduling� PhD Thesis CWI� �����

���� J�A� Hoogeveen� J�K� Lenstra� and B� Veltman� Three� four� �ve� six� or the com�plexity of scheduling with communication delays� O� R� Lett�� ������������� �����

���� K� Jansen and L� Porkolab� Improved approximation schemes for scheduling unrelatedparallel machines� Proc� STOC� �������� �����

���� C�Y� Lee and R� Uzsoy and L�A� MartinVega� E�cient algorithms for schedulingsemiconductor burn�in operations� Operations Research� ��� ������� �����

���� R�H� M�ohring� M�W� Sch�after� A�S� Schulz� Schedulig jobs with communicationdelays � using infeasible solutions for approximation� Proceedings of the FourthEuropean Symposium on Algorithms� Lecture Notes in Computer Science� �����SpringerVerlag� �����

���� A� Munier and J�C� K�onig� A heuristic for a scheduling problem with communicationdelays� Operations Research� ������������� �����

���� C�H� Papadimitriou and M� Yannakakis On the approximability of trade�o�s andoptimal access of web sources� Proc� FOCS������ ����� �����

���� C� Picouleau� �Etude des probl�emes d�optimisation dans les syst�emes distribu�es� PhDthesis� Universit�e de Paris VI� �����

���� A� Rasala� C� Stein� E� Torng� and P� Uthaisombut Existence theorems� lower boundsand algorithms for scheduling to meet two objectives� Proc� SODA� �����

���� D�B� Shmoys and �E� Tardos� An approximation algorithm for the generalized assign�ment problem� Mathematical Programming A� ��� �������� �����

���� C� Stein and J� Wein On the existence of schedules that are near�optimal for bothmakespan and total weighted completion time� Operations Research Letters� ��������

���� M�A� Trick� Scheduling multiple variable�speed machines� �st Conference of IntegerProgramming and Combinatorial Optimization� �����

���� V� T�Kindt and J�C� Billaut� Multicriteria scheduling problems� a survey� RAIROOperations Research� ��� �������� �����

���� V� Vazirani� Approximation Algorithms� Springer� �����

���� G�J� Woeginger� When does a dynamic programming formulation guarantee the ex�istence of an FPTAS Electronic Colloquium on Computational Complexity� ��������

Page 59: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

ON RAMSEY NUMBERS OF SPARSE GRAPHS AND HYPERGRAPHS

A� V� Kostochka

This talk is based on joint works with V� R�odl and B� Sudakov�For graphs G�� � � � � Gk� de�ne the Ramsey number RG�� � � � � Gk� to be the minimum

positive integer N such that in every kcoloring of edges of the complete graph KN � forsome i there is a copy of Gi all whose edges are colored by color i� The classical Ramseynumber rk� l� is in our terminology RKk�Kl��Call a family F of graphs Ramsey linear if there exists a constant C � CF� such

that for every G � F �RG�G� � CjV G�j�

For dense graphs G� rG� is known to be exponential in the order of G� For example�in the extreme case when G is the complete graph of order n we have �n�� � rG� � ��n�Therefore to be Ramsey linear a family should contain relatively sparse graphs�Burr and Erd�os ��� conjectured that for every d�

a� the family of graphs with maximum degree at most d is Ramsey linear b� the family Dd of ddegenerate graphs is Ramsey linear�Recall that a graph is ddegenerate if every its subgraph has a vertex of degree in

this subgraph� at most d� Another way to state the second conjecture is to say that forevery �xed k� the family of graphs without subgraphs of average degree greater then k isRamsey linear�The �rst conjecture was proved by Chv�atal� R�odl� Szemer�edi� and Trotter ���� The

Cd� in their proof grows with d very rapidly�The second conjecture which is much stronger� is still wide open� In recent years�

some subfamilies of the family Dd were shown to be linear Ramsey�LetWd denote the family of graphs in which the vertices of degree greater than d form

an independent set� Alon ��� proved that W� is linear Ramsey�A graph G is called parrangeable� if there exists an ordering v�� � � � � vn of its vertices

with the following property� for every i� � � i � n� the number of vj with j � i havinga common neighbor vs for some s � i with vi is less than p� Let Ad denote the family ofdarrangeable graphs� Observe that Ad � Dd for d � �� On the other hand� A�� containsall planar graphs and Ap� contains all graphs with no Kpsubdivisions see ����� Chen andSchelp ��� proved that Ad is linear Ramsey for every d�A d� n�crown is the bipartite graph Gd� n� � U�W E� where U � f�� � � � � ng�

W � fS � U j jSj � dg� and fi� Sg � E i� i � S� Trotter asked if the family Cd �fGd� n� j n � d� d��� d��� � � �g is linear Ramsey� Kostochka and R�odl ��� answered thisquestion in the positive�An alternative approach to the conjecture is to prove weaker than linear bounds on

Ramsey numbers of all ddegenerate graphs� It was started in ������

��������������������������������������Kostochka Aleksandr Vasilievich�Institute of Mathematics� Siberian Branch of the RAS�Novosibirsk��� ������� Russiaand Dept of Mathematics� University of Illinois at UrbanaChampaign�Urbana� IL ������ USA�email� kostochk�math�uiuc�edu

Page 60: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

Theorem � ��� Let C � Cd� � ��d��d��d Then for every d�degenerate graphs G�

and G� on n vertices�RG�� G�� � Cn G���

Corollary � ��� Let C � Cd� � ��d��d��d Then for every d�degenerate graph G�

RG�G� � CjV G�j G� � CjV G�j��

This corollary provides that even if Dd were not Ramsey linear� it is at least !Ramseypolynomial"�

For a pair d� n� of positive integers with n � d� we say that a graphH is d� n��commonif for every d vertices v�� � � � � vd � V H� there are at least n vertices of H adjacent toall vi� � � i � d� Since the vertices of every ddegenerate graph can be ordered in sucha way that every vertex has at most d neighbors !on the left of it"� each ddegenerategraph can be embedded into each d� n�common graph� In view of this� if we can embedany d� n�common graph into a graph H� then we can embed in H every ddegenerategraph� R�odl was the �rst to understand the importance of the notion of a d� n�commongraph�Let Fdn� denote the minimum positive integer N� such that for every N � N� and

every graph H on N vertices� either H or its complement H contains a d� n�commonsubgraph� By the above� good upper bounds on Fdn� would imply good upper boundson the maximum of RG�G� over all ddegenerate graphs with n vertices� In particular�if Fdn� is linear� then Dd is Ramsey linear� Thus the following question was consideredin ����

Question � Is it true that for every positive integer d� there exists a constant C � Cd�such that Fdn� � Cn

The following polynomial bound on Fdn� was proved�

Theorem � For every positive integer d� there exists a positive constant C � Cd� suchthat for every graph H on N vertices� either H or H contains a subgraph G possessingd� n��property� where n � N��d

C

Recently� Kostochka and Sudakov ��� proved that Fdn� is not far from linear�

Theorem � ��� For every � � � there exists n� � n��� such that for every n � n� andevery positive integer d � ���

pln lnn�

Fdn� � n���

By the above� this implies the following bound on Ramsey numbers of ddegenerategraphs�

Corollary � For every � � � there exists n� � n��� such that for every n � n� andevery positive integer d � ���

pln lnn� the Ramsey number of every d�degenerate graph of

order n is at most n���

For bipartite graphs� we have the following Turan type result�

Page 61: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

Theorem ��� Let � � c � � be a constant and let d� N and n be positive integerssatisfying

d � ���lnn and N � n

��ec

��d��� ln��� n� ��

Then every bipartite graph G � V�� V� E� with jV�j � jV�j � N and jEj � cN� containsa d� n��quasi�common graph H � U�� U� E��

Note that d is allowed to grow slowly� with n� In particular� it follows from theabove theorem that the Ramsey number rG�G� of each ddegenerate bipartite graphG of order n is still n�o��� even when d is as large as lnn�wn�� where wn� tends toin�nity arbitrarily slowly together with n� This bound is nearly tight� For example� ifd � � log� n then the random coloring of Kn��� � where the color of every edge is chosenindependently with probability ���� does not contain monochromaticKd�d� Therefore theRamsey number of Kd�d is at least n����Observe also that the upper bounds easily generalize to more colors�

Theorem � ��� Let d and a be integer�valued functions of n such that d ln� a � oln n�Then for every family of bipartite d�degenerate graphs G�� � � � � Ga of order n� the Ramseynumber rG�� � � � � Ga� is n�o����

On the other hand� we answer Question � in the negative� even for d � � the functionFdn� is superlinear�

Theorem ��� There exists a real c � � such that for every integer n there exists a

graph H of order cn ln��� n

ln lnnwith the property that neither H nor its complement contains

a �� n��common subgraph� ie�

F�n� � cn ln��� nln lnn

This does not disprove the Burr�Erd�os conjecture but puts a shadow on it�

The analogs of the two Burr�Erd�os conjectures were stated also for runiform hypergraphs� And in this case even the conjecture for maximum degree is wide open evenfor �uniform hypergraphs� Very recently� Kostochka and R�odl obtained the followingapproximation to the maximum degree conjecture�

Theorem �� For every positive integers r � � and and real � � � � �� there exists aconstant C � Cr� � �� such that

RG�G� � C n��

for every r�uniform hypergraph G on n vertices with maximum degree at most

The work of this author was supported by the grants ��������� and ��������� of theRussian Foundation for Fundamental Research�

Page 62: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

REFERENCES

�� �� N� Alon� ������ Subdivided graphs have linear Ramsey numbers� J� GraphTheory �� No� �� �������

�� �� S� A� Burr and P� Erd�os� ������ On the magnitude of generalized Ramsey numbersfor graphs� in� !In�nite and �nite sets"� Vol��� Colloquia Mathematica Soc� JanosBolyai� ��� NorthHolland� AmsterdamLondon� �������

�� �� G� Chen and R� H� Schelp� ������ Graphs with linearly bounded Ramsey numbers�J� Comb� Theory� Ser� B �� ��������

�� �� C� Chvatal� V� R�odl� E� Szemer�edi� and W� T� Trotter� ������The Ramseynumber of a graph with bounded maximum degree� J� Comb� Theory� Ser� B �����������

�� �� A� Kostochka and V� R�odl� ������ On graphs with small Ramsey numbers� J�Graph Theory �� ��������

�� �� A� V� Kostochka and V� R�odl� On graphs with small Ramsey numbers II� submitted�

�� �� A� V� Kostochka and B� Sudakov� On Ramsey numbers of sparse graphs� submitted�

�� �� V� R�odl and R� Thomas� ������ Arrangeability and clique subdivisions� in� !TheMathematics of Paul Erd�os" R� Graham and J� Ne#set#ril Eds�� Springer� Berlin�Vol� �� �������

Page 63: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

$%&'()*'+)*,% -&./0.1%**,% 203'&.)4,$ 5.+6&%)*'7 '-).4.829..

*�*� 6:;<=>?

� ������

-=@X[\]\@^_` {=\^{>| }~;}= ?@{}^}=�� =@;:[�^\^}� �} �@=}`^?}_^?�� �=>~[>�@??�� \[]}=>^�\� X[` ;\X\� X>_{=@^?}| }�^>�>;\�>>� $�>X: ~}[��}]} {}[>�@_^�\ =@;:[�^\^}� X[` ;\X\� ^\{}]} =}X\ �� }]=\?>�>�\@�_` ?@_{}[�{>�> {[\__>�@_{>�> ;\X\�\�>� $} �?}]>� _[:�\`� �=}]=@__ X}_^>]\@^_` ~[\]}X\=` _[@X:<�@|}~�@| _�@�@��� =\__�\^=>�\@�\` ;\X\�\ �@=@�}=�:[>=:@^_` � �>X@ �@[}�>_[@??}| �=}]=\���

[>?@|?}| >[> ?@[>?@|?}|� �� ?\�}X>^_` =@�@?>@ @@ [>?@|?}| >[> ?@[>?@|?}|� =@[\{_\�>> �� >_�}[�;:@^_` �@=}`^?}_^?}@ }{=:][@?>@ �}[:�@??}]} ?@�@[}�>_[@??}]} =@�@

?>` X} �@[}�>_[@??}]}�&\__�}^=>� X[` }�=@X@[@??}_^> ;\X\�: ?\ �\{_>�:� > �}`_?>�� �^} �}?>�\@^_`

�}X �:[�^>�[>{\^>�?}| ^}�?}_^�< �@=}`^?}_^?}]} \[]}=>^�\������������� 4:[�^>�[>{\^>�?}| ^}�?}_^�< �@=}`^?}_^?}]} \[]}=>^�\ A ?\

;��\@^_` >?�>�:� �} �_@� ��}X\� I� �@[>�>?� EfAI��f�I�� ]X@ fAI� � _^}>�}_^�=@�@?>`� �}[:�@??}]} \[]}=>^�}�A� f�I� � _^}>�}_^� }�^>�\[�?}]} =@�@?>`� EX ��\^� }�>X\?>@ _[:�\|?}| �@[>�>?� X� /:X@� ?\;��\^� \[]}=>^�D�=>~[>�@??���@_[> @]} �:[�^>�[>{\^>�?\` ^}�?}_^� =\�?\ D�

�� MAX�SAT

$ {\�@_^�@ �@=�}| ;\X\�> =\__�}^=>� {[\__>�@_{:< ;\X\�: MAXSAT� X[` ;\X\??}| {}?�<?{^>�?}| ?}=�\[�?}| �}=�� {?�� ?\|^> ?\~}= ;?\�@?>| ~:[@��� �@=@�@??��� �\{_>�>;>=:<�>� �>_[} ���}[?@??�� _{}~}{� $ ^@�@?>@ X}[]}]} �=@�@?>~�[ >;�@_^@? �=}_^}| ����=>~[>�@??�| \[]}=>^�� }_?}�\??�| ?\ �@=}`^?}_^?}�}{=:][@?>> {\�X}| ~:[@�}| �@=@�@??}| ?@;\�>_>�}� � � > � _ =\�?��> �@=}`^?}_^`�> ���� $ =\~}^@ ��� ~�[ �=@X[}�@? �@=}`^?}_^?�| ����=>~[>�@??�| \[]}=>^� X[` MAXSAT }_?}�\??�| ?\ �@=}`^?}_^?}� }{=:][@?>> =@�@?>` [>?@|?}|=@[\{_\�>> ;\X\�> 90-� _}}^�@^_^�:<�@| >_�}X?}| {?�� $ ��� ~�[} �}{\;\?}� �^}�}=�\ �@=}`^?}_^?}]} }{=:][@?>` X[` =@[\{_\�>| ?@[>?@|?�� �=}]=\�� X\@^ ������=>~[>�@??�| \[]}=>^� X[` ;\X\�> MAX�SAT� *@>;�@_^?}� �}�@^ [> �^}^ =@;:[�^\^ ~�^� =\_�=}_^=\?@? ?\ }~�>| _[:�\| ;\X\�> MAXSAT� 5\[�?@|�>@ :[:��@?>`X[` MAXSAT �}[:�@?� � _@=>> =\~}^ Goemans > Williamson� Asano� Ono > Hirata�Asano� >� ?\{}?@�� �������=>~[>�@??�| �@=}`^?}_^?�| \[]}=>^� ~�[ �=@X[}�@? ����� .;�@_^?} ^\{�@� �^} @_[> P �� NP � ^} _ �}�}��< �}[>?}�>\[�?}]} \[]}=>^�\?@[�;` X}_^>�� ^}�?}_^> [:��@| ��� ����

��������������������������������������6:;<=>? *>{}[\| *>{}[\@�>��.?_^>^:^ _>_^@�?}]} �=}]=\��>=}�\?>` &2*�/�6}��:?>_^>�@_{\`� ��� 4}_{�\� ������� &}__>`�email� nnkuz�ispras�ru

Page 64: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

�� MAX�CUT

*@ �@?@@ >;�@_^?\` ;\X\�\� MAXCUT� ;\{[<�\@^_` � ?\�}�X@?>> �=\;~>@?>`�@=�>? �};�}�?} �;�@�@??}]}� ]=\�\ �\{_>�>;>=:<�@]} �>_[} =@~@= >[> _:��:�@_}� =@~@=� _ {}?�\�> � =\;?�� �\_^`� =\;~>@?>`� /�[} >;�@_^?}� �^} �^\ ;\X\�\NP^=:X?\� ?} >�@@^ ����=>~[>�@??�| \[]}=>^� ���� 8\^@� �@=}`^?}_^?�| \[]}=>^� _ ?\>[:��@| >;�@_^?}| �:[�^>�[>{\^>�?}| ^}�?}_^�< ����� ~�[ �=@X[}�@? �=\~}^@ ���� + X=:]}| _^}=}?�� >;�@_^?}� �^} �^\ ;\X\�\ MAXSNP^=:X?\� >� _[@X}�\^@[�?}� ?@ >�@@^ �=>~[>�@??}| _�@��� @_[> P �� NP ���� 5[` �@^=>�@_{}| �@=_>>;\X\�> MAXCUT � ��� �=@X[}�@?a �@=}`^?}_^?\` �}[>?}�>\[�?\` �=>~[>�@??\`_�@�\ PTAS��

�� ������������� ���������

5[` ?\�}�X@?>` �=>~[>�@??�� =@�@?>| =\;[>�?�� {[\__}� ;\X\� 90- � ����=@X[}�@?\ >X@` �@=}`^?}_^?}]} }{=:][@?>` =@�@?>| >� [>?@|?�� =@[\{_\�>|� $��� �^}^ �}X�}X >_�}[�;}�\? X[` ;\X\� ^>�\ :�\{}�{>� � ������� � X[` ;\X\� 90- ^>�\�}{=�^>` X[` �}[:�@?>` :_[}�>| ~[>;}_^> �@[}�>_[@??�� }�^>�:�}� { }�^>�:�\�[>?@|?}| =@[\{_\�>>� �[:��@??�| \?\[>; �@=}`^?}_^?}]} }{=:][@?>` X[` ;\X\�90- ^>�\ �}{=�^>` > :�\{}�{> �=@X[}�@? � ����� .?^@=@_?} =\_�=}_^=\?>^� ^@�?>{: �@=}`^?}_^?}]} }{=:][@?>` ?\ }~�>@ {[\__� �@[}�>_[@??�� �=}]=\��� $ ���� _X@[\? �\] � �^}� ?\�=\�[@?>>� X[` {[\__\ �=}]=\��� �{[<�\<�@]} ;\X\�> 90- ^>�\�}{=�^>`� �=@X[}�@? �@=}`^?}_^?�| \[]}=>^� > �}[:�@?\ �@=�?`` }�@?{\ ^}�?}_^>�$@=}`^?}_^?}@ }{=:][@?>@ �=>�@?`@^_` > � ?@[>?@|?�� �@[}�>_[@??�� �=}]=\��\��$ ���� ?\ }_?}�@ �^}]} �@^}X\ �=@X[}�@?� �@=}`^?}_^?�@ �=>~[>�@??�@ \[]}=>^��X[` ^\{ ?\;��\@��� !][\X{>�" ?@[>?@|?�� �@[}�>_[@??�� �=}]=\����}^` � ���� X}{\;\?}� �^} X[` [<~}]} �>{_>=}�\??}]} � �� ?@ _:�@_^�:@^ �}[>

?}�>\[�?}]} � � � lnm�=>~[>�@??}]} \[]}=>^�\ X[` ;\X\�> } �}{=�^>>� @_[> ?@���}[?@?} �{[<�@?>@ NP � DTIME�nO�log logn�� ^@� ?@ �@?@@ X[` ;\X\� } �}{=�^>>_�@�>\[�?}]} �>X\ _:�@_^�:<^ �@=}`^?}_^?�@ �=}�@X:=� ]\=\?^>=:<�>@ [:��>@�=>~[>�@?>`� �^} ^\{ ?\;��\@��@ \_>��^}^>�@_{> �}=}�>@ �}{=�^>`� _:�@_^�}�\?>@ {}^}=�� ��@=��@ X}{\;\[ V� R�odl ����� _ �}�}��< �@=}`^?}_^?}| �=}�@X:=��?\;�\??}| ��}_[@X_^�>> !R�odl nibble"� $ _[:�\@ _:�@_^�}�\?>` \_>��^}^>�@_{> �}=}�>� �}{=�^>| >�@@^ �@_^} _}��\X@?>@ \_>��^}^>{> }�^>�:�\ _}}^�@_^�:<�@|;\X\�> 90- > }�^>�:�\ @@ [>?@|?}| =@[\{_\�>>� $ _@=>> =\~}^ R�odlFrankl ������SpencerPippenger ������ Kuzjurin ������ Grable ������ Kahn ������ Kostochka andR�odl ������ Alon� Bollobas� Kim� Vu ����� > =`X@ X=:]>� ~�[> ?\|X@?� =\;[>�?�@:_[}�>` _:�@_^�}�\?>` ^\{>� �}{=�^>|�

�� ����� !���� �"#���

�^} {[\__>�@_{\` NP^=:X?\` ;\X\�\ X>_{=@^?}| }�^>�>;\�>>� X[` {}^}=}| � }~�@� _[:�\@ ?@ _:�@_^�:@^ ���@{^>�?�� �=>~[>�@??�� \[]}=>^�}�� 'X?\{}� X[`}]=\?>�@??�� �@=_>| ;\X\�> �@^=>�@_{}|� @�{[>X}�}|� _>^:\�>` ;?\�>^@[�?} [:��@� *@_�}^=` ?\ ^}� �^} X\�@ @�{[>X}�\ �@=_>` ;\X\�> NP^=:X?\ ����� X[` �@^=>�@_{}| ;\X\�> {}��>�}`�@=\ =\__^}`?>` :X}�[@^�}=`<^ ?@=\�@?_^�: ^=@:]}[�?>{\�X\�?} >;�@_^@? ����=>~[>�@??�| �}[>?}�>\[�?�| \[]}=>^� �����

Page 65: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

*@X\�?} Arora ���� =\;=\~}^\[ PTAS X[` @�{[>X}�}| �@=_>> ;\X\�> {}��>�}`�@=\� $ ���� @]} �@=}`^?}_^?�| \[]}=>^� ~�[ :[:��@? �:^@� {}�~>?>=}�\?>` ^@�?>{> X>?\�>�@_{}]} �=}]=\��>=}�\?>` _ ^\{ ?\;��\@���> _��??@=\�>� 2[]}=>^�>; ���� ?\�}X>^ �=>~[>�@??�| ^:= ;\ �=@�`

pd��O�d�

pd���d���n �Odn log n� _ �@

=}`^?}_^�< ?@ �@?@@ ���� 8\�@^>�� �^} �=@�` � �^>� \[]}=>^�\� ;\�>_>^ X�\�X��{_�}?@?�>\[�?} �} =\;�@=?}_^> d� $�>X: =@;:[�^\^\ ����� ]X@ �}{\;\?}� �^} @�{[>X}�\ ;\X\�\ {}��>�}`�@=\ MAX SNP^=:X?\ � Rlogn� ^\{\` ;\�>_>�}_^� ?@>;~@�?\�@_[> ^}[�{} [<~\` ;\X\�\ >; NP ?@ >�@@^ _:~�{_�}?@?�>\[�?}]} \[]}=>^�\ =@�@?>`�'^�@^>�� �^} X[` @�{[>X}�}| �@=_>> ;\X\�> ?\ �\{_>�:� ?\|^> ]\�>[�^}?}� ^:=�\{_>�\[�?}]} �@_\� PTAS ~�[\ �=@X[}�@?\ =\?@@ � �����

�� $��������%�&�"

$} �?}]>� _[:�\`� �@=}`^?}_^?�@ \[]}=>^�� �}]:^ ~�^� {}?�@=^>=}�\?� � X@^@=�>?>=}�\??�@� )\{}@ �=@}~=\;}�\?>@ ?\;��\@^_` X@=\?X}�>;\�>@|� .�@@^_` }~�>| �@^}X� �@^}X :_[}�?�� �@=}`^?}_^@| ���������� {}]X\ >_{}�}@ =@�@?>@ ?\�}X>^_`�}{}��}?@?^?} �:^@� ���>_[@?>` > _=\�?@?>` ?@{}^}=�� :_[}�?�� �@=}`^?}_^@|�

&\~}^\ ���}[?@?\ �=> �}XX@=�{@ &��.� �=}@{^ ����������

0.)%&2)�&2

�� R� Motwani and P� Raghavan� Randomized algorithms� Cambridge Univ� Press� ������� M�X� Goemans� D�P� Williamson� New ���approximation algorithms for MAX SAT�SIAM J on Discrete Math� ����� v� �� ���������� M�X� Goemans� D�P� Williamson� �����approximation algorithms for MAX CUT andMAX�SAT� Proc � th Annual ACM Symposium on Theory of Computing� ����� ��������� T� Asano� D�P� Williamson� Improved approximation algorithms for MAX SAT� Proc��th ACM�SIAM Simposium on Discrete Algorithms� ����� ��������� J� Hastad� Some optimal inapproximability results� Proc ��th ACM Symposium onTheory of Computing� ����� ����� �� R� Arora� C� Lund� M� Szegedy� Proof veri�cationand hardness of approximation problems� Proc ��th Annual ACM Symposium on Theoryof Computing� ����� ���������� W� Fernandez de la Vega� C� Kenyon� A randomized approximation scheme for metricMAXCUT� Proc ��th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science�������� Raghavan P�� Tompson C�D�� Randomized rounding� a technique for provably goodalgorithms and algorithmic proofs� Combinatorica� � ����� ��������� P� Raghavan� Probabilistic construction of deterministic algorithms� approximatingpacking integer programs� J Comp Syst Sci� � ����� ����������� 6:;<=>? *�*�� 2_>��^}^>�@_{> ^}�?�@ �}[>?}�>\[�?�@ \[]}=>^�� � �@[}�>_[@??}� [>?@|?}� �=}]=\��>=}�\?>>� ������� ���� ����� ^� �� N �� ��������� D� Bertsimas� R� Vohra� Rounding algorithms for covering problems� MathProgramming� ��� �� �� �������� A� Srinivasan� Improved approximations for packing and covering problems� Proc

Page 66: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

ACM STOC� ����� ���������� A� Asratian� N� Kuzjurin� Approximation of the optima of generalized covering integerprograms via randomized rounding� to appear in Math Methods of Operations Research

��� U� Feige� A threshold of lnn for the approximating set cover� Proceedings of the ACMSymposium on Theory of Computing� ������ �������� S� Arora� D� Karger� M� Karpinski� Polynomial time approximation schemes for denseinstances of NPhard problems� Proc ��th Annu ACM Sympos Theory Comput� ���������������� C�H� Papadimitriou� Euclidean TSP is NPcomplete� Theoretical Computer Science������ v� �� ����������� N� Christo�des� Worstcase analysis of a new heuristic for the traveling salesmanproblem� Symposium on new directions and recent results in algorithms and complexity�Academic Press� NY� ����� page ������� S� Arora� Polynomial time approximation schemes for Euclidean TSP and othergeometric problems� Proc ��th Annu IEEE Sympos Found Comput Sci� ����� �������� S� Rao� W�D� Smith� Improved approximation schemes for geometric graphs via"spanners"and "banyans"� Proc ��th Annu ACM Sympos Theory Comput� ����� ����������� L� Trevisan� When Hamming meets Euclid� The approximability of geometric TSPand MST� Proc ��th Annu ACM Sympos Theory Comput� ����� ��������� 2�.� +@=X<{}�� 2_>��^}^>�@_{> }�^>�\[�?�| \[]}=>^� X[` ;\X\�> {}��>�}`�@=\ ?\ �\{_>�:� � @�{[>X}�}� �=}_^=\?_^�@� ����� !�"#� �����"#� *}�}_>~>=_{������ ���� ��� ��������� J� Spencer� Ten lectures on the probabilistic method� SIAM� Philadelphia� �����

Page 67: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

' 324.0�)'*'$,� 9.602� $ )'&.�%+6'7 &%��)6%

$�6� 0@}?^�@�

$ =\~}^\� ������� ~�[\ =\__�}^=@?\ ;\X\�\ } _:�@_^�}�\?>> ]\�>[�^}?}��� �>{[}� ]� ��� � ^}=>�@_{}| =@��^{@ >[>� �^} ^}�@ _\�}@� � ]=\�@ Tmn � Jm � Jn �]X@ J � k � �k�@=�>??�| }=>@?^>=}�\??�| �>{[� �_[}�>@ _:�@_^�}�\?>` ]� ��� ]=\�@ Tmn ~�[} �}[:�@?} 2� 2� %�X}{>�}��� > ;\{[<�\@^_` � =\;=@�>�}_^> �?\^:=\[�?�� �>_[\� _[@X:<�@| _>_^@�� X>}�\?^}��� :=\�?@?>|�

x� y � m�n�x�m� � � y� n� � �

��

-@=��| ?@^=>�>\[�?�| _[:�\| }^_:^_^�>` =@�@?>| : _>_^@�� �� _[@X:<�>|� m ��� � ��� n � �� � � ��� $ ?\_^}`�@| =\~}^@ �� >_�}[�;:@� �@^}X �\=X>0>^^[�:X\X[` >;:�@?>` �>_[\ Jm�n� =@�@?>| _>_^@�� �� > �}[:�\@� =`X ?}��� =@;:[�^\^}��-:_^�

JN u� �X

�a�N��

ua > N � pa�� pa�� � � � pakk

0@��\ �� JN u� ��

�� u�

kXi�

�� � upi

�X

��i�j�k

��� upipj

� � � ��

0@��\ �� Jmn ����i

Ijuj�

Jmu�Jnu�u�m�n��

du � ]X@ � � X}_^\^}�?} �\[}�

'_?}�?�� ^@�?>�@_{>� =@;:[�^\^}� `�[`@^_`

0@��\ �����i

Ijuj�

u�N

� � up��� uq�du �

p� q�Npq

�p� q�p� q � ��

�pq�

�p

Xap�

�aN��aq � �� �

�q

Xaq�

�aN��ap � �� � ��

8X@_� N � m�n���� \ _:��>=}�\?>@ � �@=�}| _:��@ �@X@^_` �} �_@� {}=?`� :=\�?@?>` xp�� � � ?@ `�[`<�>�>_` {}=?`�> :=\�?@?>` xq�� � � � \ �} �^}=}| ?\}~}=}^�+:���� ��}X`�>@ � �}=�:[: ��� X}�}[�?} �}=}�} >;�@_^?� � \?\[>;@ > ^@}=>> �>_@[ > ?}_`^ ?\;�\?>` _:�� 5@X@{>?X\� *>�@ �=>�}X`^_` X�\ }_?}�?�� =@;:[�^\^\} �}�@X@?>> �:?{�>> Jm�n�� {}^}=�@ ?\� :X\[}_� >;�[@�� >; �=>�@X@??�� ���@�_�}�}]\^@[�?�� :^�@=�X@?>|�-:_^� m � p��� p��� � � � p�kk � n � q��� q��� � � � q�rr � P � p�p� � � � pk� Q � q�q� � � � qk�

)@}=@�\ �� %_[> m�n� �Qki�� � pi� �

Qki�� � qi�

�� Yp��P�Q�

�� �p�

���� � ^} _>_^@�\ �� =\;=@�>�\� 8X@_� �P�Q� � ?\>�@?��@@ }~�@@ {=\^?}@ �>_@[ P > Q�

��������������������������������������0@}?^�@� $[\X>�>= 6}?_^\?^>?}�>��$��>_[>^@[�?�| �@?^= &2*� :[� $\�>[}�\� ��� 4}_{�\� &}__>`�email� vkleontiev�mtunet�ru

Page 68: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

)@}=@�\ �� %_[> pi� qi �>{_>=}�\?� � \ m�n��� ^}

Jm�n� �Y

p��P�Q�

� � �p� � o���

+[@X:<�>| =@;:[�^\^ :^}�?`@^ � �\_^?}� _[:�\@ �=>�@X@??�@ ���@ :^�@=�X@?>`�-:_^� m � ��� n � ��q��� ]X@ q �=}_^}@ �>_[}� m�n� � �min����� > N � m�n� � ��

)@}=@�\ �� Jm�n� �N

��� �

q

�� R� ]X@ jRj � ��

0.)%&2)�&2�

�� %�X}{>�}� 2�2� ������ $��%#� �&'# � ��&�(�& )%#" �����&!%��"� 5}{[\X� 2*+++&� ^����� N��

�� %�X}{>�}� 2�2� ������ * %+"���,�� �&'"%&-���� �&%�.%&/& "%&-������ _~�"5>_{=@^?�| \?\[>;"� �������

�� Trotter W�T� � Erd�os P� ����� When the Cartesian product of directed cycles ishamiltonian� J� of Graph Theory� ����� Vol �� p��������

�� Holsrynski W� Strube R�F�E� ����� Paths and circuts in �nite groups� DiscreteMath��Vol���� N�� p��������

Page 69: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

6'4.)%)*,% 6'*+)&�69.. 626 '/'/�%*.% &%�%*.7-&').$'&%�.$,� 8252� .++0%5'$2*.( '-%&29.7

$[�5�4\;:=}�� 4����\�\|

$�~}= > X>\]?}_^>{\ � X�\ �:?X\�@?^\[�?�� �}?`^>` � �}X@[>=}�\?>> �>=}{}]} {=:]\ `�[@?>|� �>;>{}^@�?>�@_{>�� �{}?}�>�@_{>�� _}�>\[�?�� > ^� �� �^>�}?`^>` `�[`<^_` ~\;>_?��> � ^@}=>> �=>?`^>` =@�@?>|� 4@^}X {}�>^@^}� � ?\_^}`�@@ �=@�` }�=@X@[`@^ }X?} >; ?\�=\�[@?>| \?\[>;\ > =@�@?>` ;\X\� ���@{^>�?}]}��~}=\ �\=>\?^}�� }�^>�>;\�>>� X>\]?}_^>{> > {[\__>�>{\�>>�6}�>^@^?�@ {}?_^=:{�>> >?^@=@_?� �} ?@_{}[�{>� �=>�>?\��$}�@=���� ^\{>@ {}?_^=:{�>> _}_^\�[`<^ }_}~�| {[\__ }~}~�@??�� =@�@?>|�

=}X_^�@??�� =\;��^�� ?@�@^{>�� =@�@?>`� ;\X\� _ �};�}�?} �=}^>�}=@�>���>_>_^@�\�> }]=\?>�@?>|� -} }�=@X@[@?>< _��� ?\�=>�@= ���� p{}�>^@^}� ?@_}��@_^?}| _>_^@�� }]=\?>�@?>| X[` �>{_>=}�\??}]} p � �� �� ?\;��\@^_` {}?@�?�| ?\~}=�[@�@?^}� ^\{}|� �^} {\�X}�: }]=\?>�@?>< _>_^@�� :X}�[@^�}=`@^ ~}[@@ �@� p`X}[` @]} �=@X_^\�>^@[@|� 8?\�@?>@ p � ��� �=> ?@� p{}�>^@^ �=>?`^} ?\;��\^��=}_^} {}�>^@^}� ~}[��>?_^�\� `�[`@^_` � ?@{}^}=}� _��_[@ {=>^>�@_{>�� �}�^}�: ~}[��>?_^�} =@;:[�^\^}� �}[:�@?} >�@??} X[` ?@]}� ._�}X` >; =`X\ _}X@=�\^@[�?�� �=@X�}_�[}{ X[` {\�X}| ?@_}��@_^?}| _>_^@�� >?^@=@_?} ?\|^> {}�>^@^?}@ =@�@?>@ _ ?\>�@?��>� �>_[}� �[@�@?^}�� 6 _}�\[@?><� �^\ ;\X\�\� ~:X:�>{}�~>?\^}=?}| �} _�}@| �=>=}X@� ^=:X?} =@�\@�\ _�� ����� .?^@=@_ �=@X_^\�[`<^�}[:�@??�@ ?@X\�?} =@;:[�^\^� _�� ����� :_^\?\�[>�\<�>@ X[` �=}>;�}[�?�� ?\^:=\[�?�� �>_@[ q > k� k � q� _�`;� �@�X: _:�@_^�}�\?>@� : _>_^@�� }]=\?>�@?>|{}�>^@^\ >; q �[@�@?^}� > ?\[>�>@� : ?@@ �}X_>_^@�� X}_^\^}�?} ~}[��}| �}�?}_^>� =\;=@�>�}| {}�>^@^}� >; k �[@�@?^}��$}�^}=��� {}�>^@^?�@ {}?_^=:{�>> ?@�}_=@X_^�@??} ��_^:�\<^ � {\�@_^�@

_=@X_^�\ =\_�\=\[[@[>�\?>` ���>_[@?>| � �?}]}_[}|?�� ?@|=}??�� _@^`�� *\�>�}{\;\?}� �^} �@^}X �}_^=}@?>` \��>??}]} =\;X@[`<�@]} {}�>^@^\ ~}[��>?_^�\_�� ���� `�[`@^_` ^}�?�� �@^}X}� }~:�@?>` ^\{}| _@^> =@�@?>< ;\X\�> {[\__>�>{\�>>�+ ^=@^�@| _^}=}?�� {}�>^@^?�@ {}?_^=:{�>> ^@_?} _�`;\?� _ �}?`^>@� {}\[>

�>| �=> ��=\~}^{@ {}[[@{^>�?�� =@�@?>|� �=> �^}� _>^:\�>> =@;{} =\;[>�\<^_`� _[:�\@ {}[[@{^>�?�� �=@X�}�^@?>| > � _[:�\@ �=\�>[ {}[[@{^>�?}| {[\__>�>{\�>>� � �^}� _[:�\@ �=}�@X:=� �}�?} _^=}]} }~}_?}�\^� > }?> >�@<^ ~}[@@ �>=}{>@�};�}�?}_^>� -}�^}�: �\�?} :�@^� _�}X>^� ;\X\�> �=>?`^>` =@�@?>| { {[\__>�>{\�>}??�� ;\X\�\�� &\__�}^=>� {}\[>�>> � ;\X\�@ {}[[@{^>�?}]} �=@X�}�^@?>`�

��������������������������������������4\;:=}� $[\X>�>= 5\?>[}�>���=\[�_{>| ]}_:X\=_^�@??�| :?>�@=_>^@^ >�� 2�4�3}=�{}]}��=� 0@?>?\� ��� %{\^@=>?~:=]� ������� &}__>`�^@[� ������ ������� email� mazurov�nexcom�ru

�\�\| 4>�\>[ �=�@�>��.?_>^>^:^ �\^@�\^>{> > �@�\?>{> �=' &2*�:[� +�6}�\[@�_{}|� ��� %{\^@=>?~:=]� ������� 3+-���� &}__>`�^@[� ������ ������� email� mkhachay�imm�uran�ru

Page 70: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

-:_^� X � �?}�@_^�} �\=>\?^}�� >; {}^}=�� ^=@~:@^_` �} =`X: {=>^@=>@� ��~=\^�}�=@X@[@??�| �\=>\?^ x� -:_^� �=}~[@�}| ^\{}]} ��~}=\ ;\?>�\@^_` ?\~}= C �{_�@=^}� >[> [>�� �=>?>�\<�>� =@�@?>`� $ _[:�\@� {}]X\ ��~}= }_:�@_^�[`@^_` ?\}_?}�@ �=@X�}�^@?>|� {\�X�| �[@? f ?\~}=\ C � ~>?\=?}@ }^?}�@?>@ �=@X�}�^@?>` rf�� +[@X}�\^@[�?}� X[` ?@{}^}=�� x� y � X �}�@^ >�@^� �@_^} :^�@=�X@?>@x rf� y� �^} ;?\�>^� !X[` f �\=>\?^ x �=@X�}�^>^@[�?@@ �@� y"� 6}[[@{^>�?}@ �=@X�}�^@?>@ r � rC� �}�?} _�>^\^� �:?{�>@| }^ >?X>�>X:\[�?�� �=@X�}�^@?>|� *\�@=��| �;][`X ^\{}@ �=@X�}[}�@?>@ {\�@^_` @_^@_^�@??��� ?} >�@??} }?} `�[`@^_`>_^}�?>{}� X\[�?@|�>� �=}^>�}=@�>|� -}{\;\?}� �^} {}[[@{^>�?}@ �=@X�}�^@?>@?@ �}�@^ ~�^� :?>�@=_\[�?�� �=\�>[}�� }?} ;\�>_>^ }^ {}?{=@^?�� �\=>\?^}� x� y> }^ �=@X�}�^@?>| rf��&\~}^\ �}XX@=�\?\ &��. -=}@{^� ���������� ���������� �����������

0.)%&2)�&2

�� 4\;:=}� $[�5�0&"����%#� ��1�%�! (�'�. � �%��&��%�! � {?�� 4@^}X� \��=}{_>�\�>> ?@_}~_^�@??�� ;\X\� �\^@�\^>�@_{}]} �=}]=\��>=}�\?>` +�@=X[}�_{��*9 2* +++&� ����� +��������� 4\;:=}� $[�5�� �\�\| 4���0&"����%#� �&%���+�,�� �� .;�@_^>` �=3�� �����_@=>` !4\^@�\^>{\ > �@�\?>{\"� ���� ����� +���������� �\�\| 4��� *2 &'%&" �&&�%&1�%��� ��!(�%%&" � ��&,�'+�&3 ���%!��! ��1�%�32& )1�%���&" /& &�&� �� 52*� ����� ^� ���� ��� +���������

Page 71: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

6'*)&26), . 5'4.*.&'$2*.% $ 6'*6�&%*)*'7 �6'*'4.6%

$� 4� 4\=\{:[>?

'X?\ >; }_?}�?�� �@[@| �{}?}�>�@_{}| ^@}=>> > @� _}_^\�?}| �\_^> � ^@}=>>}~�@]} =\�?}�@_>` � _}_^}>^ � ^}�� �^}~� }�>_\^� =\_�=@X@[@?>@ =@_:=_}�� =@\[>;:@��� �@=@; _>_^@�: =�?{}�� $ {[\__>�@_{}� �\=>\?^@ ^@}=>> ?@`�?}� �=@X�}[\]\@^_`� �^} �_` �{}?}�>�@_{\` �>;?� �=}^@{\@^ {\{ ~� � }^X@[�?} �;`^}� �=@�@??}��@=>}X@� � {}^}=}� �>;>�@_{>@ �\=\�@^=� }_^\<^_` ~}[@@ >[> �@?@@� ?@>;�@??��>�\]@?^� }~[\X\<^ X}_^\^}�?} �}[?}| >?�}=�\�>@| } ;?\�@?>> �{}?}�>�@_{>� �@=@�@??��� _X@[{> }_:�@_^�[`<^_` ;\ ~@_{}?@�?} �\[}@ �=@�` > ^� X� ' ^\{}]} =}X\�}_^\?}�{\� �=>?`^} ]}�}=>^�� �^} �^} �&���1�%%#3 4� �& %#35 �#%&�� }�>_��\@��| {[\__>�@_{}| ^@}=>@| =\_�=@X@[@?>` =@_:=_}� > � =\�{\� �}X@[> �==}:�5@~=@�$ _}�=@�@??}| �{}?}�>�@_{}| ^@}=>> >�@@^_` �>=}{>| _�@{^= �}X@[@| %��&���1�%�%#6 =�?{}�� � >� =`X: �}X@[> %��& %&/& �>?\?_}�}]}� =�?{\ :�^@?\ ^}=]}�[` �>?\?_}���> \{^>�\�> �=> �}^@?�>\[�?} ?@}]=\?>�@??}� �>_[@ _}_^}`?>| ~:X:�@]}��=�?{> _ ����"�����3 � �%7&�"��&��%%&��� �{}?}�>�@_{>� \]@?^}� } ~:X:�>� _}_^}`?>`� �>=\ > X=��� �����%,�&%� )%#� =�?{> :�^�? �\{^}= �=@�@?> > X}�@=>`� >�=}�� -@_^=}^\ �}X@[�?}]} =`X\ > ^=:X?}_^> � \?\[>;@ �^>� �}X@[@| }~:_[}�[@?�{\{ }~�@{^>�?}| _[}�?}_^�< }~�@{^\ >__[@X}�\?>` �{}?}�>{>�� ^\{ > }^_:^_^�>@�:?>�>�>=}�\??}]} }�=@X@[`<�@]} >?_^=:�@?^\=>`� -}_[@X?@@ �[@��^ �?}�@_^�@??}_^� {}?�@��>| =@�@?>`� }^=\�@??:< � �@=�:< }�@=@X� � �}?`^>`� {}\[>�>}??}]}� X}�>?>=}�\?>` > `X=\ �{}?}�>{>� -=>�>?\ �^}]} {=}@^_` � ^}�� �^}� _[@X:`{[\__>�@_{}| ^=\X>�>>� }_?}�?}@ �?>�\?>@ {}?�@?^=>=:@^_` ?\ \?\[>;@ >^}]}�}]}=\_�=@X@[@?>` =@_:=_}�� )}^ �\{^� �^} � =@\[�?}| �{}?}�>�@_{}| _>_^@�@ �^} =\_�=@X@[@?>@ `�[`@^_` >^}]}� �?}�@_^�\ _X@[}{ }~�@?\ �@�X: ]=:��\�> �{}?}�>�@_{>� \]@?^}� }~��?} }_^\�^_` ~@; �?>�\?>`� $\�?}� �^} ?@ {\�X\` _X@[{\ }~�@?�}_:�@_^�>�\ � =@\[�?}| �{}?}�>{@� �@�: �}�@^ ~�^� �?}�@_^�} �=>�>?� 4� _�>^\@�� �^} �}{:_ ^@}=>> X}[�@? ~�^� _{}==@{^>=}�\? > _{}?�@?^=>=}�\? _}~_^�@??} ?\_X@[{\� �} }~�@?: �=}X:{^\�> � {}?^=\{^\� >[> X}]}�}=\�� {}^}=�@ > X}[�?� _}_^\�[`^� �[@�@?^?:< ~\;: primitives� ^@}=@^>�@_{>� �}_^=}@?>| ?\=`X: _ X=:]>�>�[@�@?^\�> �}X@[>��.^\{� � }_?}�: �}?`^>` X}�>?>=}�\?>` > }^�@�\<�@| @�: {}?�@��>> `X=\ � �}X@

[> �{}?}�>{> �=@X[\]\@^_` �}[}�>^� �}=�\[�?}�\^@�\^>�@_{}@ �}?`^>@ {}?^=\{^\X}]}�}=\�� .X@` X}]}�}=\ {}?^=\{^\� �=>?\X[@�>^ $� 4\{\=}�: ��� � �^} �=}_^}'&�+���"#3 }~�@? �=}X:{^\�> _=@X> �}^=@~>^@[@|� 5}]}�}=\ �}�?} _{[\X��\^�> [<~}�: {}?@�?}�:� �?}�@_^�: X}]}�}=}� �}�?} _}�}_^\�>^� >^}]}�}@ =\_�=@X@[@?>@ �=}X:{^}� � _:��>=:` Xo]o�o=\ > !?\�\[�?o@" =\_�=@X@[@?>@� 5}_^>�>��@�?}�@_^�\ X}�:_^>���� X}]}�}=}� � !���� �&%�����&�" � �}]:^ >;�@?`^_` � ^@�@?>> �{}?}�>�@_{}| �>;?>� 0<~}| �{}?}�>�@_{>| \]@?^ >[> >� {}\[>�>` �}�@^��(�#���) {}?^=\{^�� � {}^}=�� }? :�\_^�:@^� \ {}\[>�>` �}�@^ ^\{�@ (�� 8.��)?}��@ {}?^=\{^�� *\_^}`�\` =\~}^\ ��(������ ��&��8 '&/&�&�&�� �[@�@?^� {}

��������������������������������������4\=\{:[>? $\[@=>| 4>�\|[}�>��.?_^>^:^ �\^@�\^>{> >�� +�0�+}~}[@�\ +' &2*��=� 2{\X@�>{\ 6}�^<]\� �� *}�}_>~>=_{ ������� &}__>`�^@[� ������ ������� �\{_ ������ ������� email� marakul�math�nsc�ru

Page 72: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

^}=}| ~�[> ;\[}�@?� � �������� _?\�\[\ � =\�{\� \~_^=\{^?}| �}X@[> �{}?}�>{>�\ ;\^@� �=>�@?>^@[�?} { }~��?�� =�?{\�� -}X=}~?} =@;:[�^\^� >;[}�@?� � �����=>��� ^@=�>?}[}]>` >;�@?@?\� -}{\;\?}� �^} >_�}[�;:` X}]}�}=?�@ =\_�=@X@[@?>`^}]} >[> >?}]} ^>�\ > _ :��^}� _^=:{^:=� X}�:_^>��� {}?^=\{^}�� �}�?} }�>_\^� �?}]>@ �}=}�} >;�@_^?�@ � �{}?}�>�@_{}| ^@}=>> �}?`^>` � ^\{>@ {\{ `X=}�{}?{:=@?^?}@ =\�?}�@_>@� ]=\?>�: -\=@^} > ^� X� � � ^@=�>?\� _^\~>[�?�� _@^@|{}?^=\{^}�� 9�'&�+���"&��) ?@{}^}=�� �\=>\?^}� }~�@?\ `�[`@^_` _�@�>�>�@_{}|�@=^}| �?}]>� _}�=@�@??�� �}X@[@| > }^=\�\@^ }_?}�?:< _:^� �=@X[}�@??}]} �}X�}X\� 'X?\{} {\{ �@=�}@ �};�}�?}@ �=>[}�@?>@� � =\~}^@ \?\[>;>=:<^_` ^}[�{}X}]}�}=?�@ �{}?}�>{> 2�( &/��%�.�%�3 %� '&�+���"&��) {}?^=\{^}�� $ X\[�?@|�@� ~:X:^ >__[@X}�\^�_` > X=:]>@ �}X@[> �} ?@�}[?�� =�?{\� =@;:[�^\^� :�@�}[:�@?���&\__�}^=>� }~��?:< �}X@[� �{}?}�>{> }~�@?\ =�?{\�� $ �^}| �}X@[> E �

��&����%���& ��&'+��&� {}?@�?}�@=?}@� > I � f�� � � � � ng � �?}�@_^�} �}^=@~>^@[@|� 2]@?^ i � I �\=\{^@=>;:@^_` _}~_^�@??�� �}^=@~>^@[�_{>� �?}�@_^�}�Xi � E� �@{^}=}� >_�}X?�� ;\�\_}� i � E > }^?}�@?>@� �=@X�}�^@?>` Pi � Xi � Xi�]X@ �?}�@_^�} Pixi� };?\�\@^ _}�}{:�?}_^� �_@� �}^=@~>^@[�_{>� ?\~}=}�� _^=}]}�=@X�}�>^\@��� ?\~}=: xi� )\{>� }~=\;}� �{}?}�>{\ �^}

E � h I� E� Xi�Pi� i�i�I i�-:_^� L � EI � ��&����%���& �&��&!%�3 > AX � � fx � QXi j Pxi �

P ig�

$ =\�{\� E =\__�\^=>�\@^_` !�@�\?>;�" ;\{[<�@?>`� =\;=��\ > �@=@;\{[<�@?>`X}]}�}=}�� �^}^ �@�\?>;� }^=\�\@^ >X@< ^}]}� �^} ]=:��\ \]@?^}� _�}_}~?\ =@\[>;}���\^� X}�:_^>��@� }~�@?� �=}X:{^\�> �@�X: @� �[@?\�>� {}^}=�@ ?\;��\<^_`{}?^=\{^\�>� > }�=@X@[`@^ �=\�>[\ }�@=>=}�\?>` _ >� �?}�@_^�\�> X}]}�}=}����}=�\[�?} [<~}@ �@=@=\_�=@X@[@?>@ �=}X:{^}� v � vi�i�I � L� ]X@ vi � E� i � I�

^� @� [<~}| �@{^}= v � L� :X}�[@^�}=`<�>|P

i�I vi � �� ?\;��\@^_` �&%�����&"� *@�_`{}@ �@=@=\_�=@X@[@?>@ �}�?} =@\[>;}�\^� � �{}?}�>{@� -} �^}| �=>�>?@ �}X@[�}_?\�\@^_` ?}��� �[@�@?^}� � �?}�@_^�}� '&�+���"#6 =\;=@��??��� X}]}�}=}�W � L� $ }~�@� _[:�\@ ^}[�{} �}_^:[>=:@^_`� �^} �?}�@_^�}W `�[`@^_` (�:('%#"� ?:[@� ^� @� v � W �� �v � W �=> � � � � ��$ =\�{\� X}]}�}=?}| �{}?}�>{> ?\_ �}]:^ >?^@=@_}�\^� ^}[�{} ^\{>@ �?}�@_^�\

{}?^=\{^}�� {}^}=�@ =@\[>;:<^ '&���-�"#� =\_�=@X@[@?>` > {}^}=�@ X}�:_{\<^^\{}| �>X }�@=\�>| _ �^>� �?}�@_^�}� {\{ ��(�#� .���� X}]}�}=}�� 6}?@�?:<_}�}{:�?}_^� V X}�:_^>��� {}?^=\{^}� ?\;}��� ���)8 �&%�����&� &�%&���� )%&y � X� @_[> y�

Pv�U v � X �U � V � +@^� {}?^=\{^}� V }^?}_>^@[�?} ?\;��\@^_`

���)8 �&%�����&��5\[@@ ��@X�� }�@=\�>> =\;=��\ _:�@_^�:<�>� > ;\{[<�@?>` ?}��� X}]}�}=}��

-=@X�}[\]\@^_`� �^} [<~}| {}?^=\{^ v � V �}�@^ ~�^� ��(&���% [<~�� ^}=]}��@� >; suppv� � I � �?}�@_^�\ ?@^=>�>\[�?} :�\_^:<�>� � X}]}�}=@ �}^=@~>^@[@|� 6=}�@ ^}]}� [<~\` ?@�:_^\` ]=:��\ {}\[>�>`� �}^=@~>^@[@| �}�@^ (�� 8.��)�}X�>_\^�� ?@_{}[�{} ?}��� {}?^=\{^}�� /:X:�> =\__�}^=@?� _}��@_^?}� ^� @� {\{}X?}�=@�@??\` �=}�@X:=\� �^> }�@=\�>> �};�}[`<^ {}\[>�>> T � I _};X\�\^� ?}��@ _@^> {}?^=\{^}�� -:_^� F V� T � � �?}�@_^�} �_@� ^\{>� _@^@|� �}=�\[�?}^=@~:@^_`� �^}~� �[@�@?^� U � F V� T � :X}�[@^�}=`[> :_[}�>`��

i� v � V n U � suppv� T �� ��

Page 73: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

ii� v � U n V � suppv� � T �

iii�P

v�UnV �vv � W X[` �_@� � � �v � �� v � U n V ��_[}�>@ i� };?\�\@^� �^} ^}[�{} �[@?� T _�}_}~?� =\;=��\^� {}?^=\{^� >; V � :_[}�>@ ii�� � �^} ^}[�{} �[@?� T �}]:^ �}X�>_��\^� ?}��@ {}?^=\{^�� iii� `�[`@^_`�>X}� _}��@_^?}| X}�:_^>�}_^> ?}��� X}]}�}=}�� �^} �}�?} ^\{�@ �}?>�\^� {\{X}�:�@?>@ �};�}�?}_^> {}\[>�>> ;\{[<�\^� @X>?_^�@??�| ?}��| X}]}�}=�-}?`^>@ X}�>?>=}�\?>` �} {}\[>�>> =\_�=}_^=\?`@^_` ?\ _@^> X}]}�}=}�� �^}

_�}|_^�}� ;\�>_\??}@ {\{ U �TV U X}�>?>=:@^ V �} {}\[>�>> T �� };?\�\@^� �^}�

i� U � F V� T ��

ii� xiU��ixiV � X[` �_@� i � T �

����������� � +@^� {}?^=\{^}� V ?\;��\@^_` _^\~>[�?}|� @_[> ?@ _:�@_^�:@^ ^\{}| _@^> U > {}\[>�>> T � I� T �� �� �^} U �

TV �

&\_�=@X@[@?>@ x � xV �� =@\[>;:@�}@ _^\~>[�?}| _@^�< V � ?\;��\@^_` X}]}�}=?��

+^\~>[�?}_^� _@^> �}�@^ ~�^� {\{ }_[\~[@?\ ^\{ > :_>[@?\� '�=@X@[@?>` ?>�@�

����������� � +@^� {}?^=\{^}� V ?\;��\@^_` _^\~>[�?}| _?>;:� @_[> ?@^ ^\{}|_@^> U > {}\[>�>> T � I� T �� �� �^} U �

TV > U � V �

+@^� {}?^=\{^}� V ?\;��\@^_` _^\~>[�?}| _�@=�:� @_[> ?@^ ^\{}| _@^> U > {}\[>�>> T � I� T �� �� �^} U �

TV > V � U �

+^\~>[�?\` _�@=�: > _?>;: _@^� {}?^=\{^}� ?\;��\@^_` _[\~} _^\~>[�?}|�&\_�=@X@[@?>@ x ?\;��\@^_` X}]}�}=?�� _?>;:� _�@=�: >[> _[\~} X}]}�}=?���

@_[> x � xV � X[` ?@{}^}=}| _^\~>[�?}| � X\??}� _��_[@ _@^> V �

6\{>� �@ }~=\;}� �}�@^ �=}^@{\^� �=}�@__ ;\{[<�@?>` ?}��� > =\;=��\ >�@<�>�_` X}]}�}=}�� 4� �=@X�}[\]\@�� �^} >X�^ �^}^} �=}X@ �=}�@__\ ?\�:���\?>`{}}�@=\^>�?�| t�atonnement�� {}^}=�|� ?\�=>�@=� �}�@^ �=}^@{\^� ^\{>� }~=\;}��-=@X_^\�>� _@~@� �^} >�@@^_` :�}=`X}�@??�| _�>_}{ �_@� {}\[>�>|� *\ �@=�}� �^\�@{}\[>�>> � :{\;\??}� �}=`X{@ ?\�>?\<^ ;\{[<�\^� ?}��@ {}?^=\{^� >�>[> =�\^�>�@<�>@_` �@=@�}X` { _@^`� >; F V�� T��� ]X@ � � ?}�@= {}\[>�>> T��� -=> �^}��@=�\` {}\[>�>` !_^\=^:@^" _ >_�}X?}]} =\_�=@X@[@?>` =@_:=_}� >� ^\{ {\{ X} ?@�{}?^=\{^}� ?@ ;\{[<�\[}_�� _ _@^> V� � �� �^\� ;\{\?�>�\@^_`� {}]X\ {}\[>�>` _?\>~}[��>� ?}�@=}� _X@[\[\ _�}| ��~}=� 5\[@@ ?\�>?\@^_` �^}=}| �^\�� ]X@ �=}>_�}X>^ ^} �@� �^} > ?\ �@=�}�� ?} �=> :_[}�>>� �^} �` � _�>_{@ {}\[>�>` >�@@^ X@[}_ _@^�< X}]}�}=}�� _[}�>��@|_` � {}?�@ �@=�}]} �^\�\� *@�}X�>�?�@ ^}�{> �^}]}�=}�@__\ > }^�@�\<^ � X}]}�}=?�� =\_�=@X@[@?>`� > :_^}|�>��� _@^`� X}]}�}=}��-=}X}[�>� X\[@@ _�>_}{ =\;[>�?�� �>X}� _^\~>[�?}_^> > >� �}X>�>{\�>|� :_>

[>�\` _^\~>[�?}_^� � }^?}�@?>> �=}�@X:=� =\;=��\ X}]}�}=}�� (_?}� �^} _@^��{}^}=\` ?@ `�[`@^_` _^\~>[�?}| _?>;:� ?@ �}�@^ _{}[�?>~:X� X}[]} _:�@_^�}�\^� �=@\[�?}| �{}?}�>{@� -} �^}| �=>�>?@ �?>�\?>@ }]=\?>�>�\@^_` _^\~>[�?��> _?>;:_@^`�>� 5\[@@ ��@X�� }^?}�@?>@ �{�>�\[@?^?}_^> ?\ �?}�@_^�@ �_@� ^\{>� _@^@|��^} }^?}�@?>@ �};�}[`@^ �\_^>�?} X@[>^� {}?^=\{^�� + �^}| �@[�< =\__�}^=>�}^?}�@?>@ �\_^>�?}]} �}=`X{\ ?\ �?}�@_^�@ �_@� _@^@|� }�=@X@[�??}@ �} �=\�>[:�

U � V �� � }^}~=\�@?>@ �� f � U V ^\{}@� �^}

Page 74: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

i� �fu� � u X[` ?@{}^}=}]} � � � � � > {\�X}]} u � U �

ii�P

u�f���v� u � v X[` {\�X}]} v � V �

.; }�=@X@[@?>` �>X?}� �^} _@^� U _}_^}>^ >; {}?@�?}]}� ��(2��%�! {}?^=\{^}� >;V ]X@ f��v� `�[`@^_` =\;~>@?>@� {}?^=\{^\ v�� 5\[@@ �}[}�>��

U � V �� � _@^� W ^\{\`� �^} V � W � U �W�

����������� � +@^� V ?\;��\@^_` �=\�>[�?}|� @_[> X[` {\�X}| _@^> U � V =\_�=@X@[@?>@ x � xU� `�[`@^_` X}]}�}=?�� _?>;:�&\_�=@X@[@?>@ x ?\;��\@^_` �=\�>[�?} X}]}�}=?��� @_[> _:�@_^�:@^ _@^� V ^\

{\`� �^} x � xV � > X[` {\�X}]} U � V =\_�=@X@[@?>@ x � xU� `�[`@^_` X}]}�}=?���

�{}?}�>�@_{}@ ;?\�@?>@ �}?`^>` �=\�>[�?} X}]}�}=?}]} =\_�=@X@[@?>` _}_^}>^ �^}�� �^} ?\=`X: _ �};�}�?}_^�< ;\{[<�\^� ?}��@ {}?^=\{^� \]@?^� �}]:^ �\_^>�?} =�\^� _^\=�@ {}?^=\{^�� -}?`^>@ �=\�>[�?}_^> �}�?} �@=@?@_^> ?\ }^X@[�?�|{}?^=\{^� X}�:_{\` �};�}�?}_^� =\;=��\ ^}[�{} X\??}]} X}]}�}=\� *\ =>_� � � _>_^@�@ {}}=X>?\^ �}^=@~>^@[` i � I ]@}�@^=>�@_{> >;}~=\�@?\ ^>�>�?\` _>^:\�>`

�x�i

�x�i

q �xi

Pi�xi�

����uiXXXXzvi

XXXXzvi ����ui�

��

���

���

���

���

���

���

q

i

&>_� �� _@^� fu� vg ����� )%�!

�x�i

�x�i

q

�xi

Pi�xi�

�������

vi�� ui

�ui

�������vi �

q

i

&>_� �� _@^� fu� vg %������ )%�!

�=\�>[�?}| _@^> X}]}�}=}� fu� vg� \ ?\ =>_� � � ?@�=\�>[�?\`� ?} :_^}|�>�\` _?>;:� &\;?>�\ _}_^}>^ � ^}�� �^} � �@=�}� _[:�\@ ���) ���� � &/��" X}]}�}=}� %������������! _ Pi�xi�� \ �} �^}=}� � �����������!� �}^` ��� �@=�>?� ?@ �=>?\X[@�\^ Pi�xi�� -}_[@X?@@� � =\�{\� _^\?X\=^?}]} �=@X�}[}�@?>` ���:{[}_^> Pixi���};�}[`@^ �=> \?\[>;@ �=\�>[�?}X}]}�}=?�� =\_�=@X@[@?>| ���@{^>�?} >_�}[�;}�\^� ^@}=@�: }^X@[>�}_^>�5=:]}@ �\�?}@ _�}|_^�} �=\�>[�?�� X}]}�}=}� _}_^}>^ � ^}�� �^} >� �}�?} ;\

�@�\^� �=> ?@{}^}=�� :_[}�>`�� X=:]}| �=\�>[�?}| _>_^@�}| X}]}�}=}�� _}�=\?``_�}|_^�} _^\~>[�?}_^> _?>;: : �}[:�@??}| � =@;:[�^\^@ �^}]} ;\�@�@?>` ?}�}| _>_^@���$ �=>[}�@?>`� >_�}[�;:@^_` @�� }X?} _>[�?}@ _�}|_^�} _^\~>[�?}_^> X}]}�}=}�

� �&���1�%%#� {}?^=\{^�� �^}~� ��@_^> �^} �}?`^>@ =\__�}^=>� @�� }X>? �>X�{�>�\[@?^?}_^> _@^@| X}]}�}=}�� }�=@X@[�??}| ?\ �?}�@_^�@ �_@� �=\�>[�?�� _@^@|��^} _[\~}@� }^?}�@?>@ �}�?} }�=@X@[>^� ^\{� -:_^� U > V ?@{}^}=�@ �=\�>[�?�@_@^>� ^}]X\

U � V �� Xu�U

u �Xv�V

v�

Page 75: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

^� @� �^> ����� )%#� _@^> =@\[>;:<^ ^} �@ _\�}@ =\_�=@X@[@?>@� (_?}� �^} U � V�[@��^ U � V � %_[> x � xV � > U � V � ^} _@^� U ?\;��\@^_` ����+� )%&3 X[` V ��

����������� � &\_�=@X@[@?>@ x ?\;��\@^_` _}�@=�@??} X}]}�}=?��� @_[> _:�@_^�:@^ ^\{\` �=\�>[�?\` _@^� V � �^} x � xV � > X[` {\�X}| �=\�>[�?}| _@^> U^\{}|� �^} U � V � =\_�=@X@[@?>@ x � xU� X}]}�}=?}@�

�{}?}�>�@_{}@ _}X@=�\?>@ _}�@=�@??} X}]}�}=?�� =\_�=@X@[@?>| }^=\�\@^ >X@<^}]}� �^} � �=}�@__@ ;\{[<�@?>` {}?^=\{^}� \]@?^� X}[�?� ;\~}^>^_` ?@ ^}[�{}} ^}�� �^}~� �^> {}?^=\{^� ~�[> X}_^\^}�?} {}=}^{>�> ?@~}[��>�> �} }~���:��{\{ � _[:�\@ �=\�>[�?}X}]}�}=?}]} �}�@X@?>`� ?} ^\{�@ } ^}�� �^}~� {}?^=\{^�~�[> ��( �.%#" &2��(&" ;%����� �%#<� ^� @� >�@[> =\;[>�?�@ �@?}��@ �=}�}=�>>�6}?^=\{^>=:` X=:] _ X=:]}� > �=}X�>]\`_� � X}]}�}=�??}_^`� !]\[_\�>"� \]@?^�X}_^>]\<^ {}?@�?}]} =\_�=@X@[@?>`� 6}?�@��>< _}�@=�@??} X}]}�}=?}]} =\_�=@X@[@?>` �}�?} ^\{�@ ^=\{^}�\^� {\{ �}=�: %�&2!(��� )%&/& �&/ �1�%�!� _�� ����-}?`^>@ _}�@=�@??}| _@^> �}�?} �@=@?@_^> > ?\ }^X@[�?�@ {}?^=\{^�� 6}?@�?}�_^\~>[�?}_^� _}�@=�@??} X}]}�}=?�� =\_�=@X@[@?>| `�[`@^_` _>[�?@|�@| �}=�}|_^\~>[�?}_^>�8\{\?�>�\` ]\[@=@< =\;?�� �>X}� _^\~>[�?}_^> _@^> X}]}�}=}�� �=@X�}[}�>��

�^} �?}�@_^�} X}�:_^>��� {}?^=\{^}� �}�?} �=@X_^\�>^� {\{ {}?@�?}@� }~�@X>?@?>@ ;��;X?�� �?}�@_^�� ^� @� W �

S� V�� 8\�@^�^@� �^}� � �\_^?}_^>� �?}�@_^�\ V�

�}]:^ ~�^� ���:{[��> >[>� ~}[@@ ^}]}� �=@X_^\�[`^� _}~}| �}X�=}_^=\?_^�\ {\{�^} >�@@^ �@_^} � ?@�}[?�� =�?{\��� $ ^\{}� _[:�\@ {}?^=\{^� >; ;\X\??}| _@^> V�}�?} '�77���%,��&���) �& ���(%��+ ���%�' �-%&��� { �?}�@_^�\� V� }X?}�:>[> ?@_{}[�{>�� > �}�?} �}^=@~}�\^�� �^} @_[> v � V� X[` X\??}]} �� ^} {}?^=\{^v }~[\X\@^ }X?>� >; }�>_\??�� _�}|_^� _^\~>[�?}_^> _?>;:�� %_[> ^\{}]} =}X\_}}^�@^_^�>@ :_^\?}�[@?}� ^} =\_�=@X@[@?>@ xV � ?\;��\@^_` � &-%& X}]}�}=?���$ {[\__>�@_{}| �}_^\?}�{@ �{}?}�>{> }~�@?\ �=> �}�}[?@?>> �}X@[> X}]}�}=?��

�@�\?>;�}� [}]>�?} _�>^\^�� �^} X}�:_^>�� [<~�@ X}]}�}=\� ^� @� �=@X�}[\]\^�W � L� ]X@ L � �=}_^=\?_^�} _}_^}`?>|� *\�}�?>� X\[@@ }�=@X@[@?>`�-\=\ x� p� ?\;��\@^_` ���(����%&�����"� @_[> x � AX �� p �� � � [>?@|?�|

�:?{�>}?\[ ?\X E > hp�Pixi�i � pxi � p i �=> [<~}� i � I� 6�\;>=\�?}�@_>@�:X}�[@^�}=`<�@@ hp�Pixi�i � pxi �=> [<~}� i � I� ?\;��\@^_` �&%�+��%�%#" =\�?}�@_>@��&\_�=@X@[@?>@ x � AX � '&"�%��+���! {}\[>�>@| S � I� @_[> _:�@_^�:@^ ^\{}|

yS � Qi�SXi� �^}P

i�S ySi �P

i�S i > ySi � Pixi� X[` {\�X}]} i � S�='�& �}X@[> E � }~};?\�@??}@ {\{ CE� � �^} �?}�@_^�} �_@� x � AX �� {}^}=�@

?@ X}�>?>=:<^_` ?>{\{}| {}\[>�>@|�&\_�=@X@[@?>@ x � xi�I � AX � ?\;}��� 4�&� �,�&%%&5 &���"� )%#" �& >����

�&� @_[> }?} `�[`@^_` �[@�@?^}� `X=\ � �{}?}�>{@� ]X@ >�@??} �^} =\_�=@X@[@?>@ x�=>?>�\@^_` � {\�@_^�@ >_�}X?}]}� �^\ {}?�@��>` ;\?>�\@^ �=}�@�:^}�?}@ �@_^}�@�X: _[\~}| > _>[�?}| }�^>�\[�?}_^�< �} -\=@^} �^> �}?`^>` ?\>~}[@@ =\_�=}_^=\?@?� � [>^@=\^:=@�� '~};?\�>� PBE� �&� �,�&%%+8 /��%�,+ >����&�&\_�=@X@[@?>@ x � AX � �%'���'+� )%& ��,�&%� )%&� @_[> }?} ?@ X}�>?>=:@^_`

}X?}�[@�@?^?��> {}\[>�>`�>� IRE� }~};?\�\@^ �?}�@_^�} �_@� ^\{>� =\_�=@X@[@?>|�+[@X:<�>@ ^@}=@�� X\<^ �\=\{^@=>;\�>< =\_�=@X@[@?>| >; `X=\ > X=:]>� }�>

_\??�� �?}�@_^� � ^@=�>?\� =\;?}]} �>X\ X}]}�}=?���

Page 76: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

'������ � >+��) W � L ' ! '&/&�&�%&3 ?�&%&"��� Ec @&/'�

i� ������'� �%�� x !� !���! '&/&�&�%#" �� x � CE� PBE��ii� ������'� �%�� x !� !���! '&/&�&�%#" ����6+ �� x � PBE��iii� ������'� �%�� x !� !���! '&/&�&�%#" c%�(+ �� x � IRE��iv� ������'� �%�� x !� !���! � �2& '&/&�&�%#" �� x � IRE� PBE�

'������ � >+��) Ec H / �'��! '&/&�&�%�! ?�&%&"���� "%&-����& W ��'�� )%&4�&/ &K�8K��5 � �&.�� %& ) � L � x � intX H '&���-�"&� ������'� �%�� @&/'�� �'+8K�� +����-'�%�! ?����� �%�%#�

i� x ���%&���%&� ������'� �%���

ii� x ����� )%& '&/&�&�%&� ������'� �%���

iii� x �&���1�%%& '&/&�&�%&� ������'� �%��

.__[@X}�\??�| � ��� �=>�@= 6};�=@�\ �}{\;��\@^� �^} X[` ?@X>��@=@?�>=:@����:?{�>| �}[@;?}_^> �=\�>[�?} X}]}�}=?}@ =\_�=@X@[@?>@ �}�@^ ?@ ~�^� =\�?}�@_?���$ ;\{[<�@?>> =\__�}^=>� �}[:�@??�| 2� *� 6};�=@��� =@;:[�^\^� ?@ >�@<�>|

\?\[}]}� � _^\?X\=^?}| ^@}=>> _�� ���� ����� *\�}�?>�� �^} =@�[>{}| }~���\ r � IN?\;��\@^_` �}X@[� �{}?}�>{> Er� � {}^}=}| {\�X�| �}^=@~>^@[� >_�}X?}| �}X@[>;\X\�^ ��� ?�&%&"�.���&/& �/�%��� �=@X_^\�[@??}]} r ^}�?��> {}�>`�> � Er�'������ � >+��) � ?�&%&"��� �"����! �&�%& '�� �&���2��� ! � �� � )���%�����%&� �+K����+�� �&���2��� ) � / �'��" ���'�&.��%��"� .�3 �&���2��� )���3%�2&� !� !���! �%+���%%�3 �&.�&3 �/& �&���2��� )��&/& "%&-����� @&/'� ���-'&� ������'� �%�� ��6&'%&3 "&'� �� �&�&�&� !� !���! ����� )%&�'&/&�&�%#" ������ ��� ?�&%&"���� ���) ���(����%&�����

0.)%&2)�&2

�� $�0�4\{\=}� ����� N�&%&"�.���&� ���%&������ �+K����&��%�� � ?�����"� )�%#� ��&3���� .^}]> ?\:{> > ^@�?>{>� +}�=@�@??�@ �=}~[@�� �\^@�\^>{>� 4}_{�\�$.*.). 2* +++&� ^� �� � �����

�� 2�*�6};�=@� ����� ���&3.��#� �����"# '&/&�&�&� � ?�&%&"��� .���&/& &2"��%� '�^>�>;\�>`� ���� ������ ����� .;X� .4 +' 2* +++&� *}�}_>~>=_{��

�� $�2�$\_>[�@� ����� �&'� � ?�&%&"�.���&/& &2"�%� � �&&�������%#� �/�#���@~?}@ �}_}~>@� *3��

�� $�4�4\=\{:[>? ����� 0&%�����# � '&"�%��&��%�� � �&%�+��%�%&3 ?�&%&"���I �&'� ) '&/&�&�%&3 ?�&%&"��� � ���%'���%#3 �#%&� *}�}_>~>=_{� ��_� -=@�=>?^�&2*� +>~� }^X?>@� .?^ �\^@�\^>{> � ����

Page 77: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

'/8'& . -%&+-%6).$, &28$.).( 6'4/.*2)'&*,� 4%)'5'$&%�%*.( 8252� &2+6&'( . �-26'$6.

��2� 4:�\�@�\

$ ^@�@?>@ �}_[@X?>� _}=}{\ [@^ �=}~[@�\ !=\_{=}`:�a{}�{>" CPP� �=>�[@{\@^�?>�\?>@ ?\:�?�� >__[@X}�\^@[@| > �=}>;�}X_^�@??>{}�� *\�\[} �^}�: �}[}�>[>=\~}^� 0�$�6\?^}=}�>�\ � $�2� 8\[]\[[@=\� P�Gilmory � R�Gomory� {}]X\ :_�@�?} ~�[> =@�@?� �\�?�@ �=}>;�}X_^�@??�@ ;\X\�>� $ �}_[@X?>@ X@_`^� [@^ ?\ �^:^@�: ~�[> ���:�@?� _�@�>\[�?�@ >;X\?>`� Dykho� � Wascher ������ Lirov ������Bischo� � Wascher ������ Martello ���� a� b�� Mukhacheva ������ Yanasse ������/}[@@ ^}]}� _}^?> =\~}^ }�:~[>{}�\?� � }~��?�� >;X\?>`� �:=?\[}� "'�@=\�>}??�@ >__[@X}�\?>`" > "4\^@�\^>�@_{}@ �=}]=\��>=}�\?>@"� +�@�>\[�?\` ]=:��\ �}X ?\;�\?>@� SICUP +�@�>\[�?\` ]=:��\ �} >?^@=@_\� { =\_{=}<:�\{}�{@�http���prodlog�wiwi�unihalle�de�sicup� }~�@X>?`@^ �?}]>� >__[@X}�\^@[@| �} �_@�: �>=:� SICUP }=]\?>;}�\[\ ?@_{}[�{} _@__>| �} =\_{=}<:�\{}�{@ � =\�{\� 4@�X:?\=}X?�� {}?�@=@?�>|� -}_[@X?`` _}_^}`[\_� � ���� ]}X: � +\?2?^}?>}� +�2�-}X ;\X\�\�> =\_{=}`:�\{}�{> �}?>�\@^_` �>=}{>| {[\__ �=}~[@�� X}�:_{\<

�>� =\;[>�?}@ ^}[{}�\?>@� $�@=��@ {\�@_^�@??\` ^>�}[}]>` � }~[\_^> CPP �=}�@X@?\ ?@�@�{>� :�@?�� H�Dykho� ������ '?\ �=>?`^\ � �>=}�}| �=\{^>{@ > >_�}[�;:@^_` �=> >;:�@?>> �}X@[@| CPP� *\ ;\=@ �}`�[@?>` �^}| �=}~[@�� 0�$�6\?^}=}�>�@� > $�2� 8\[]\[[@=}� ����� ~�[} �=@X[}�@?} >_�}[�;}�\^� X[` =@�@?>` ;\X\� =\_{=}` [>?@|?}@ �=}]=\��>=}�\?>@ _ ?@`�?} ;\X\??}| �\^=>�@| }]=\?>�@?>|��^} �};�}[>[} =\;=\~}^\^� ���@{^>�?�@ �@^}X� =\_�@^\ [>?@|?}]} > ]>[�}^>??}]}=\_{=}` ;\�\_\ �\^@=>\[\ � :_[}�>`� _@=>|?}]} > �\__}�}]} �=}>;�}X_^�\� 2?\[}]>�?�@ �@^}X� �}`�>[>_� ;\ =:~@�}�� �^} =\~}^� P�Gilmore � R�Gomory ������J� Terno� R� Lindeman � G� Scheithauer ������ 5[` =\_�@^\ =\_{=}@� ?\ {\�X}� �\]@[>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>` =@�\@^_` ;\X\�\ } ;\]=:;{@ =<{;\{\� 5[` @@ =@�@?>`.�$�&}�\?}�_{>| ����� =\;=\~}^\[ �@^}X �� �3��� *\ ~\;@ [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>` ��2�4:�\�@�}| ����� =\;=\~}^\?� \[]}=>^�� :_[}�?}| }�^>�>;\�>>�:�>^��\<�>@ _�@�>�>{: =@\[�?�� �=}>;�}X_^�� $ ^} �=@�` }_?}�?}| �@[�< �^>�> �?}]>� X=:]>� =\~}^ `�[`[}_� ���"�%�%�� �%�3%&/& ��&/��""��&��%�! � �7�����&�(�&'����%%#6 (�'�.� .;�@_^?\ _�@�>\[�?\` ]=:��\ ;\X\� CPP� {}^}=�@ `�[`<^_` NP^=:X?��> �=}~[@�\�> �@[}�>_[@??}| }�^>�>;\�>>� 5[` >� =@�@?>` }_}~\`=}[� }^�}X>^_` }~}~�@??}| �=}~[@�@ ;\]=:;{> =<{;\{\� S�Martello � P�Toth ������/>?\=?\`� }]=\?>�@??\`� ?@}]=\?>�@??\`� X�:�@=?\` ;\X\�> =<{;\{\ ?\�}X`^ _�}@�=>�@?@?>@ � _}_^\�@ \[]}=>^�}� X[` =@�@?>` ;\X\� =\_{=}` > :�\{}�{>� $\�?\`=}[� }^�}X>^_` �=}~[@�@ �}>_{\ �+"" �&'"%&-���� SSP�� {}^}=:< ^\{�@ ?\;��\<^ %�(�����"&3 &,�%�&3 (�'�.� �8�(���� S�Martello � P�Toth X[` =@�@?>` SSP>_�}[�;}�\[> {}�~>?\�>< X>?\�>�@_{}]} �=}]=\��>=}�\?>` > �}>_{\ �} X@=@�:� 8\X\�\ SSP �=}X}[�\@^ >?^@=@_}�\^� �?}]>� \�^}=}�� N�Y� Soma � P�Toth ����� =\__�\^=>�\<^ �\;: �=@X�\=>^@[�?}| �}X]}^}�{>� ?\ {}^}=}| ?@}~�}X>�} ?\|^> {=>^>�@_{:< X@^\[�� *\�}X>^ �=>�@?@?>@ SSP > X[` =@�@?>` ;\X\� X�:�@=?}| :�\

��������������������������������������4:�\�@�\ �[>^\ 2[@{_\?X=}�?\� ��>�_{>| ]}_:X\=_^�@??�| \�>\�>}??�|^@�?>�@_{>| :?>�@=_>^@^� :[� 6�4\={_\� ��� ]���\� ������� &}__>`�^@[� ����� ������� �\{_ ������������ email� elita�vmk�ugatu�ac�ru

Page 78: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

{}�{> �DBPP�� ��4:�\�@�\� 2�$\[@@�\ ������ +@=�@;?�@ ^@}=@^>�@_{>@ =@;:[�^\^� �}[:�@?� X[` ;\X\� :�\{}�{> � {}?^@|?@=� �DBPP�� {\{ �=@X_^\�>^@[`� ~}[@@}~�@| =<{;\�?}| �=}~[@��� �\{^ �=>?\X[@�?}_^> �DBPP { {[\__: NP^=:X?��;\X\� :_^\?}�[@? H�Garey � D� Johnson ����� > ^@� ~}[@@ =\_�=}_^=\?`@^_` ?\ ~}[@@ _[}�?�@ _>^:\�>>� �^>� }~:_[}�[@? >?^@=@_ �?}]>� _�@�>\[>_^}� { ;\X\�\�CPP� 5[` =@�@?>` �DBPP >;�@_^?� ^}�?�@� �=>~[>�@??�@ > �@^\��=>_^>�@_{>@\[]}=>^��� $ =\~}^@ E�Co�man� M�Garey � D� Johnson ����� �=>�@X@? �}X=}~?�|}~;}= }X?}�=}�}X?�� �@^}X}� :�\{}�{> {}?^@|?@=}�� .�> }�>_\? �=>?�>� _\�}]}�:X�@]} _[:�\` > �=}�@X@? \?\[>; _=@X?@]} _[:�\`� .__[@X}�\?} �}�@X@?>@ }��[\|? > }?[\|? �\=>\?^}� }X?}�=}�}X?�� ��=>_^>{� 2_>��^}^>�@_{}@ }^?}�@?>@P�A ?\>�:X�@]} �=@X_^\�[@?>` }��[\|? \[]}=>^�}� ����#3 �&'6&'!K�3 > +.1�3

�&'6&'!K�3 ?@ �=@�}_�}X>^ ���������� $�@_^@ _ ^@� ~}[@@ _[}�?�@ �=>~[>�@?>`X\<^ \__>��^}^>�@_{}@ }^?}�@?>@ ��� *} }?> ?@ �=\{^>�?�� �}_{}[�{: ^=@~:<^ ;?\�>^@[�?} ~}[��@@ �=@�` X[` ���}[?@?>`� 5[` [<~}]} }?[\|? \[]}=>^�\2 ���}[?`@^_` P�

A ������� )@}=@^>�@_{>| >?^@=@_ �=@X_^\�[`<^ ^}�?�@ �@^}X��-=}_[@�>�\@^_` ^@?X@?�>` � =\;=\~}^{@ ]>~=>X?�� \[]}=>^�}� _ �{[<�@?>@� ^}�?�� �=}�@X:=� /}[��>?_^�} ^}�?�� �@^}X}� _�}X>^_` { �@=@~}=: �_@]} �?}�@_^�\X}�:_^>��� =@�@?>|� 3=:��\ �@^}X}� :[:��@??}]} �@=@~}=\ >;�@_^?\ �}X ?\;�\?>@� "��&'� �����3 � /��%�, MBB�� +@=>` _^\^@| S�Martello � P�Toth �}_�`�@?\ =\;=\~}^{@ :[:��@??�� �@=_>| MBB X[` =@�@?>` ;\X\� �DBPP }?> >;�@_^?�{\{ �@^}X� MTP� ��@?�� &}__>> > ~[>�?@]} ;\=:~@��` ^\{�@ �=>�[@{\<^ ^}�?�@�@^}X� =@�@?>` ;\X\� �DBPP� .�$�&}�\?}�_{>� ����� �=@X_^\�[@?\ }~�\` >X@`�@=@~}=?}]} �@^}X\ X[` =@�@?>` �{_^=@�\[�?}| ;\X\�>� > �=@X[}�@?\ @]} {}?{=@^>;\�>` X[` =@�@?>` ;\X\� =\_{=}` > :�\{}�{>� ��2�4:�\�@�}| > $�4�6\=^\{}������ =@\[>;}�\?\ X\[�?@|�\` �}X>�>{\�>` MBB X[` =@�@?>` }X?}�@=?�� ;\X\�CPP� )}�?�@ > ~[>;{>@ { ?>� �=>~[>�@??�@ �@^}X� �=}X}[�\<^ =\;�>�\^�_` > ?\~\;@ �=>�@?@?>` [>?@|?}]} >[> �@[}�>_[@??}]} �=}]=\��>=}�\?>`� G� Scheithauer�J� Terno� A�Muller � G�Belov ����� �=>�@?>[> {}�~>?\�>< �@^}X\ _@{:�@| �[}_{}_^> > ��=>_^>{>� 4@^}X _@{:�>� �[}_{}_^@| {}?_^=:>=:@^ ?}��@ }]=\?>�@?>`�$ {\�@_^�@ ?>�?@| ]=\?>�� >_�}[�;:@^_` ?@�=@=��?}@ =@�@?>@ ;\X\�>� A� Scholl�R�Klein � G� Juergens ����� =\__�\^=>�\<^ ~\;}�:< ;\X\�: �DBPP > �=@X[\]\<^X[` @@ =@�@?>` ]>~=>X?:< �=}�@X:=: BISON� {}^}=\` _}_^}>^ >; =\;[>�?�� >;�@_^?�� > ?}��� \[]}=>^�}� }^_@�@?>`� ?@_{}[�{>� ��=>_^>{ > �@^}X\ �@^�@| > ]=\?>��&@;:[�^\^� �>_[@??}]} �{_�@=>�@?^\ �}{\;��\<^� �^} BISON ���@{^>�@? > �=@�}_�}X>^ �?}]>@ _:�@_^�:<�>@ �}X�}X�� /:=?} =\;�>�\<^_` ��=>_^>�@_{>@ �@^}X��}[>?}�>\[�?}| _[}�?}_^>� +=@X> ?>� �}�?} ��X@[>^� _[@X:<�>@ ]=:��� \[]}=>^�}�� �=}_^�@ }X?}�=}�}X?�@ ��=>_^>{> �?}]}�=}�}X?�@ X@^@=�>?>=}�\??�@ >?@X@^@=�>?>=}�\??�@ ��=>_^>�@_{>@ �@^}X�� � ^}� �>_[@ �@^\��=>_^>{>� +=@X>�=}_^�� ��=>_^>{ ?\>~}[��:< �}�:[`=?}_^� �}[:�>[> ����#3 �&'6&'!K�3 FF� >����#3 �&'6&'!K�3 � +�&�!'&.���%��" FFD�� -}_[@X?>| >_�}[�;:@^ �=>}=>^@^?�|_�>_}{ PL�� � {}^}=}� �=`�}:]}[�?>{> =\_�}[}�@?� _}][\_?} ��~=\??}]} �=\�>[\� 4?}]}�=}�}X?}| �}X>�>{\�>@| FFD `�[`@^_` �@^}X �}_[@X}�\^@[�?}]} :^}�?@?>` }�@?}{ SVC�� E�Mukhacheva� G�Belov� V�Kartak � A�Mukhacheva ������ *\{\�X}� �=}�}X@ X@^\[> }�@?>�\<^_` _}][\_?} =\?@@ �}[:�@??}| :�\{}�{>� 8\X\�\}X?}�@=?}]} =\_{=}` �DCSP� �=@X_^\�[`@^ ^\{�@ >?^@=@_ ~[\]}X\=` �};�}�?}_^`��=>�@?@?>` � =\;[>�?�� �=\{^>�@_{>� \_�@{^\�� M�P� Johnson� C�Rennick � E� Zak����� =\__�\^=>�\<^ �DCSP � _>^:\�>>� {}]X\ �=}>;�}X_^�@??�| �=}�@__ X}[�@?

Page 79: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

�=}>_�}X>^� _>?�=}??} _ ;\]=:;{}| ^}�\=\� J�N�Gupta� S� Jeganathan � C�White����� =\__�\^=>�\<^ �\_^?�| _[:�\| �DCSP X[` {\~@[�?}]} �=}>;�}X_^�\� �^\;\X\�\ _�}X>^_` { �}>_{: {=\^�\|�@]} �:^> > =@�\@^_` _ �}�}��< X>?\�>�@_{}]}�=}]=\��>=}�\?>`�5�:�@=?\` ;\X\�\ :�\{}�{> �DBPP� �};?>{\@^ _ =\;[>�?��> �\=\{^@=>_^>{\

�>� �}=}�X\` =@]:[`=?�|� ?@=@]:[`=?�|� ]>[�}^>??�| > ?@]>[�}^>??�| =\_{=}>[>_^}�}]} �\^@=>\[\ >[> �}[}_� �>{_>=}�\??}| �>=>?� > �}[:~@_{}?@�?}| X[>?�� -}_[@X?`` ?\;�\?\ ���=\;�@=?}| �=}~[@�}|� A� I�Hinxman ������ $};�}�?}_^��=>�@?@?>` �@^}X\ �@^�@| > ]=\?>� X[` ���DBPP =\__�}^=@?\ .�$�&}�\?}�_{>������� S�Martello � D�Vigo ����� >__[@X}�\[> ^}�?�| \[]}=>^� X[` =@�@?>` �^}|;\X\�>� )}�?�| "��&' (&% =\;=\~}^\? 2�.�0>�}�@�{>� ������ .� ��@X@?} X[`�=`�}:]}[�?>{\ P �}?`^>@ ;}?� zP � > ?\ �^}| }_?}�@ X}{\;\?}� �^} X[` [<~}|�}_[@X}�\^@[�?}_^> �=`�}:]}[�?>{}� �}�?} ?\|^> �}=`X}{� �=> {}^}=}� {\�X�|_[@X:<�>| ?@ �@=@_@{\@^_` ?> _ }X?}| >; ;}? �=@X�X:�>�� 4@^}X �}X>�>�>=}�\?> =@\[>;}�\? $�$�/:��\[}�}| ������ J� Stoyan � M�Novozhilova ����� �=@X_^\�[`<^ �@^}X ?@�=@=��?}| }�^>�>;\�>> { =@�@?>< ���D BPP ;\X\�� 4\^@�\^>�@_{\`�}X@[� ;\X\�> {}?_^=:>=:@^_` ?\ ~\;@ ^@}=>> R�:?{�>| > _^=:{^:=\� [>?@|?�� ?@=\�@?_^�� 4@^}X �}>_{\ ][}~\[�?}]} �{_^=@�:�\ `�[`@^_` {}�~>?\�>@| {}�~>?\^}=?}]} > ?@�=@=��?}]} }�^>�>;\�>}??}]} �@^}X\� $�4�6\=^\{}� ����� �=@X[}�@?\>X@` _�@X@?>` ���DBPP { X�:� ;\X\�\� �DBPP _} _�@�>\[�?��> }]=\?>�@?>`�>� 'X?\{} _ �}�}��< ^}�?�� \[]}=>^�}� X} _>� �}= :X\@^_` =@�\^� ;\X\�> _ ?@~}[��>�{}[>�@_^�}� � ��� �=`�}:]}[�?>{}�� +=@X> X@^@=�>?>=}�\??�� ��=>_^>{ ��X@[`<^_` -�'%#� \[]}=>^��� +^=\^@]>` -�'%&��� >_�}[�;}�\[\_� 3�2{{:=\^}����$�/@=@;?@��� > '�/=@�?@�}| ������ 1\X?\` _^=\^@]>` ?\ }_?}�@ SSP �=>�@?`@^_` ��4:�\�@�}|� 2�$\[@@�}| ����� �=> =\;=\~}^{@ �@^}X\ X>?\�>�@_{}]} �@=@~}=\DS�� 4?}]>@ ��=>_^>{> �{[<�\<^ �&� &3%+8 _^=\^@]><� ?\�\[} {}^}=}| ;\[}�@?} � =\~}^\� M�Adamowicz � A�Albano ������ 6 _[}�?�� :=}�?@��� \[]}=>^�\� }^?}_>^_` _�}_}~ �&� �'&���� )%&�&'�%&.%&/& ��("�K�%�! SIA�� ��3�+^}`?�*�.�3>[� ������ 4@^}X _}_^}>^ � ^}�� �^} �_@ �=`�}:]}[�?>{> =\;�@�\<^_` �}}X?}�:� �=>�@� =\?@@ =\;�@�@??�@ _�>^\<^_` ?@�}X�>�?��>� 5[` {\�X}]} =\;�@�\@�}]} �=@X�@^\ ��~>=\@^_` �}[}�@?>@ _ �>?>�\[�?�� ;?\�@?>@� �:?{�>> �@[>^}[�{} �} �@=@�@??�� �\=\�@^=\� �^}]} �=`�}:]}[�?>{\� 3=\�}��| �@^}X X[` =@�@?>` �D > ���DBPP =\;�>�\@^_` � =\~}^\� R�Morabito � M�Arenales ������ .?^@=@_?�@ =@;:[�^\^� �} �=>�@?@?>< [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>` _ :�@^}� _�}|_^�;\X\� =\_{=}`� �=@X_^\�[@?� C�Nitsche� J� Terno � G� Scheithauer ������ '_}~} ��X@[`@^_` =\~}^\ C�E� Ferreira� F�K�Mijazawa � Y�Wakabayashi ����� :�\{}�{> {�\X=\^}� � {�\X=\^ @X>?>�?}| @�{}_^>� X}{\;\?\ @]} \_>��^}^>�@_{\` ]=\?>�\� =\�?\`������-=> >_�}[�;}�\?>> ��=>_^>�@_{>� > �=>~[>�@??�� �@^}X}� X[` �D > ���DBPP

~}[��:< =}[� ���}[?`<^ \[]}=>^��X@{}X@=�� ���>_[`<�>@ ;?\�@?>` �@[@�}|�:?{�>> > �}__^\?\�[>�\<�>@ �\~[}? :�\{}�{> _}][\_?} @@ �>�=:� -}_[@X?>|� {\{�=\�>[}� ;\X\@^_` �@=@_^\?}�{}| X@^\[@|� {}^}=\` :{\;��\@^ �}_[@X}�\^@[�?}_^� >�:�\{}�{>� *\>~}[��@@ �}[:�>[ =\_�=}_^=\?@?>@ \[]}=>^� %�-%�3 ��#3 BL��'? _}_^}>^ � =\;�@�@?>> }�@=@X?}]} �=`�}:]}[�?>{\ � _\�}@ [@�}@ >; _\��� ?>�?>� X}�:_^>��� �}[}�@?>|� �_}�@=�@?_^�}�\??�| ?>�?>|[@��| IBL� �=@X[}�@? D� Liu � H�Teng ������ /}[@@ ���@{^>�?�| 2 &.%#3 X@{}X@= =\;=\~}^\? 2�$��>][>?�@���� }? }�>_\? � =\~}^@ 2�+�4:�\�@�\� 2�$��>][>?�@�� 4�2�+�\]>?�

Page 80: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

��2�4:�\�@�\ ������ -=@X[}�@? X@{}X@= ?\ ~\;@ X�}|_^�@??}| _�@�� :�\{}�{>�2�+�4:�\�@�\ ������$?@_@?>@ � \[]}=>^� �[@�@?^\ _[:�\|?}_^> �}���\@^ @]} =@;:[�^\^>�?}_^�� )\{�

?\�=>�@=� �}��_>[\_� ���@{^>�?}_^� :�}�`?:^�� ���@ \[]}=>^�}� SVC > DS �}_[@�?@_@?>` � ?>� �[@�@?^}� _^}�\_^>{>� 2 �=>�@?@?>@ 2�&��_�\?}�}| ����� ?@X@^@=�>?>=}�\??�� �=}_^�� ��=>_^>{ �=@�;}�[} �_@ }�>X\?>`� $�@�\^[`<�>@ =@;:[�^\^� �}[:�@?� � _�`;> _ �}`�[@?>@� > =\;�>^>@� �@^\��=>_^>{� �\=\{^@=>_^>{> >}~}_?}�\?>` {}^}=�� �=>�@X@?� � {?>]@ E�Aarts� J� Lenstra edit� ������ 6=\^{>| }~;}= �@=}`^?}_^?�� �@^}X}� [}{\[�?}]} �}>_{\ �=}�@X@? � ���� ]}X:��2�6}�@^}��������� -@=���> _=@X> �@^\��=_^>{ X[` ;\X\� =\_{=}`:�\{}�{> _^\[> �=>�@?`^�_` /�%���.����� \[]}=>^��� $ �^}| _�`;> �}=}�} >;�@_^?� =\~}^� E�Falkenaurs������ 3@?@^>�@_{>@ \[]}=>^�� =\;=\~\^��\<^_` > X[` =@�@?>` ����D�BPP� D� Liu� H�Teng ������ H�Gehring � A�Borfeldt ������ 'X?\{} >� =@;:[�^\^� }_^\�[`<^ �@[\^� [:��@]}� .�-�*}=@?{}� ����� �=@X[\]\@^ >_�}[�;}�\^� � =\�{\� ]@?@^>�@_{}]} \[]}=>^�\ �}_[@X}�\^@[�?}_^� �=}_^�� ��=>_^>{� 3@?@^>�@_{>| ~[}�?�| \[]}=>^� > @]} �}X>�>{\�>> =\;=\~}^\?� 2�+�4:�\�@�}|� 2�$��>][>?�@����4�2�+�\]>?��� ��2�4:�\�@�}| ����� X[` =@�@?>` ;\X\� ���BPP� *\�[\ _�}@ �@_^} � �=}~[@�@ =\_{=}`:�\{}�{> X=:]\` �@^\��=>_^>{\� �&��� � (������"� TS�X[` =@�@?>` ;\X\� �DBPP ��6}�@^}�� 2��_�\?}�\ ����� > ]>[�}^>??}]} =\_{=}` ��2�4:�\�@�\� 2�.�%=�\�@?{}� )�4�+>=\;@^X>?}� > 2�&��_�\?}�\ ������2[]}=>^�� TS }~[\X\<^ >;`�@_^�}� > ��_}{}| ���@{^>�?}_^�<� -=>�@?`<^_`X[` =@�@?>` ;\X\� =\_{=}`:�\{}�{> > \[]}=>^�� �:=\��>?}| {}[}?>> A�Valeeva�M�Agliullin ����� > �}X@[>=}�\?>` }^�>]\� H� Forster� G�Wascher ����� > X=:]>@�5[` >;:�@?>` �}�@X@?>` ��=>_^>�@_{>� \[]}=>^�}� ?@}~�}X>�} �=}�@X@?>@ �>

_[@??}]} �{_�@=>�@?^\ _ �@[�< ��`�[@?>` �}{\;\^@[@| ���@{^>�?}_^> � =\;[>�?��}~[\_^`� >_�}X?}| >?�}=�\�>>� 5[` ;\X\� �DBPP }~�>=?�| �{_�@=>�@?^ �}_^\�[@?S� Schwerin � G�Wascher ������ $?\�\[@ }? ~�[ �=}�@X@? _ X�:�` \[]}=>^�\�>� FFD�=}_^\` ��=>_^>{\� > MTP ^}�?�| \[]}=>^�� > ��X@[@?� }~[\_^> FFD[@]{>� ;\X\�� FFD^=:X?�� > FFD}�@?� ^=:X?�� ;\X\�� �^} �};�}[>[} X=:]>� \�^}=\� }]=\?>�>^�_` �{_�@=>�@?^}� X[` FFD}�@?� ^=:X?�� ;\X\�� .?^@=@_?�| �{_�@=>�@?^_ ]>~=>X?�� \[]}=>^�}� BISON �=}�@X@? A� Scholl ������ 3@?@=\^}=� > �=>�@=�^=:X?}=@�\@��� ;\X\� �=>�@X@?� P� Schwerin � G�Wascher ������ P�Wang ����� >� X=:]>� =\~}^\�� .� �}�?} :�>X@^� ?\ _\|^@ J� E�Baesley� http���mscmga�ms�ic�ac�uk�info�html�'_}~}@ �@_^} � }~[\_^> �=}~[@� :�\{}�{> ;\?>�\<^ ;\X\�> ?@=@]:[`=?}]} =\;

�@�@?>` nesting problem� ]@}�@^=>�@_{>� }~�@{^}�� '_}~@??} }_^=} _^}>^ �}�=}_} ]@}�@^=>�@_{}| =@\[>;\�>> �}[:�\@��� =@�@?>|� ���&'# ��("�K�%�! � /�&"�����! ��("�K�%�! }�=@X@[`<^ X�\ _\�}_^}`^@[�?�� �^\�\ =@�@?>` �=}~[@��� &\;=\~}^{}| > >__[@X}�\?>@� �^>� ;\X\� ;\?>�\<^_` ?@_{}[�{} {}[[@{^>�}�� �\=�{}�_{\` �{}[\� ��3�+^}`?\� *�.�3>[� ������ Yu� Stoyan � A�Pankratov ����� >?_^>^:^ \[]}=>^�}� > ?\:�?�� >__[@X}�\?>| � 3@=�\?>>� R�Heckman � T �Lengauer����� W�Milenkovic ������ +�2 K�Dousland � B�Dousland ������ $@[>{}~=>^\?>` J� Blazewicz� P�Hawryluk� R�Walkowiak ������ -}[��\ C�Ribeiro� M�Carravilla� J�Oliveira ������ -}=^:]\[>` H�Yanasse� J� Becceneri � N� Soma ������ /=\;>[>` 4�2� $@=�}^:=}� ����� V�Martynov ������ ��\ $�5��=}[}�_{>| ������ *}�}_>~>=_{� /}[��}| �{[\X � �^}| }~[\_^> �?@_@? 0�/�/@[`{}�}| ������ $ ?\_^}`�@@�=@�` ?\>~}[@@ �=}X�>?:^� =\~}^� ��+^}`?\ > W�Milenkovic� '?> ?@;\�>_>�}

Page 81: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

�=@X[}�>[> �@^}X _�@X@?>` nesting problem { �}>_{: [}{\[�?}]} }�^>�:�\ ?\ �?}�@_^�@ ;\X\� [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>`� J� Blazewicz :_�@�?} >_�}[�;:@^ �@^}X�}>_{\ _ ;\�=@^\�>� J�Olivera ����� �=@X[\]\@^ ��}X>^� [}]>�@_{>@ }]=\?>�@?>` X[`}�=@X@[@?>` �=>@�[@��� �\~[}?}� � {[\__@ ����@=?�� ;\X\� ?@=@]:[`=?}]} =\;�@�@?>`� $��=}[}�_{>| ����� > 2�-@^:?>? ����� =\;=\~}^\[> ��_}{}���@{^>�?�@\�^}�\^>;>=}�\??�@ _>_^@�� =\_{=}`� � {}^}=�� =@\[>;}�\?� }X?}�=}�}X?�@ ��=>_^>{> _ :�@^}� =`X\ �=}>;�}X_^�@??�� }]=\?>�@?>|�$ ;\{[<�@?>@ }^�@^>� ?@{}^}=�@ }_?}�?�@ ?\�=\�[@?>` =\;�>^>` �@^}X}� =@

�@?>`� >__[@X}�\?>` > �=>�@?@?>` � }~[\_^> CCP� 2?\[>; �=}�@X@? ?\ }_?}�\?>>�:~[>{\�>|� \ ^\{�@ X}{[\X}�� �=@X_^\�[@??�� ?\ _@__>> SICUP�

Q�'�.� �%�3%&/& � ��!"&+/& )%&/& �����&!�+���&����� U��& )(&��%�� "��&'&� "���"���.���&/& ��&/��""��&��%�! [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>`� ;\]=:;{> {}?^@|?@=}�� >__[@X}�\?>@ ]=\�}��� R�Morabito� M�Arenales� H�Yanasse /=\;>[>`� G� Scheithauer� G�Belov 3@=�\?>`� &}__>`� E� Ferreira�J�Oliveira -}=^:]\[>`� M�Hi� �=\?�>`� 2�)@=?}�_{>| /@[}=:__>`���� V�(��2&��� "%&/&��&6&'%#6 /�2��'%#6 ?�������� V�Carvalho /@[�]>`� H� Schreck 3@=�\?>`� P�Toht .^\[>`� A� Scholl 3@=�\?>`� 2�$\[@@�\� 2��_�\?}�\ &}__>`���� X&���1�%���&��%�� "��&'� �����3 � /��%�,� A�Resphcio� E�Captivo� J� Carvalho-}=^:]\[>`� $�6\=^\{� $�/:��\[}�\ &}__>`���� >��"�%�%�� "���?�������� E� Falkenauer /@[�]>`�� P�Wang +�2�� G�Wascher3@=�\?>`� 2�4:�\�@�\� 2�$\[@@�\ &}__>`��

Q�'�.� ��("�K�%�! /�&"����.����6 &2Y���&� � &-%#6 7&�"�� V�(����� /�&"����� ��("�K�%�! &2Y���&�� M�Carravilla� C�Riberto� J�Oliveira-}=^:]\[>`� W�Milenkovic +�2� 4�$@=�}^:=}� &}__>`���� V�1�%�� nesting problem � �&"&K)8 "���?�������� A�Gomes� J�Oliveira -}=^:]\[>`� J� Bennell $@[>{}~=>^\?>`� P�Wang +�2� J�Blazewicz -}[��\��.�@<^ �}=}�>@ �@=_�@{^>�� \[]}=>^�� ���� � )%#6 �#.�� �%�3 J�Blazewicz-}[��\�� M�Hi� �=\?�>`��*\ _[@X:<�@| _@__>> SICUP �X>?~:=]� ����� �[\?>=:<^_` { �=@X_^\�[@?>< =\

~}^� � }~[\_^> CPP > ^=@^�` �\_^� >; ?>� �}_�`�@?\ nesting problem� {\{ ?\>~}[@@;\^=@~}�\??}| � _}�=@�@??}� >?X:_^=>\[�?}� �>=@� 5}_^}|?}@ �@_^} ;\?>�\<^ >�@^\��=>_^>{> X[` =@�@?>` =\;[>�?�� ;\X\� =\_{=}` > :�\{}�{>�

&\~}^\ �}XX@=�\?\ &��. �=}@{^ ���������

0.)%&2)�&2

�� 2{{:=\^}� 3�$�� /@=@;?@� $�2�� /=@�?@�\ '�2� * "��&'� ��1�%�! +���%�%�! �2+ ��#"� ����"�%%#"� -=>?`^>@ =@�@?>| � :_[}�>`� ?@}�=@X@[@??}_^>� 4@��:;}�_{>| ?\:�?�| _~}=?>{� ��\� �2.� ����� +� ��������� /@[`{}�\ 0�/� *2 &���"� )%&" �����&� ���&�&/& "������ � Z��&"���(�,�!��6%& &/�.���&/& ��&�����&��%�! ��� �&"&K� N$[�� 4� 4\�>?}_^=}@?>@� �����_�������� /:��\[}�\ $�$� Q�'�.� ��!"&+/& )%&/& �����&!� "��&' (&% � '�+/�� � /&���"#+�-@^@=~:=]� 3}_:X\=_^�@??�| :?>�@=_>^@^� ������� $@=�}^:=}� 4�2� Q�'�.� %���/+ !�%&/& �����&! � &���6 /�&"����.����6 &2Y����&�� "&'� ��&��%�� � ���.�� ��,�&%� )%&/& �����&! .?�}=�\�>}??�@ ^@�?}[}]>>�

Page 82: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

����� ��� +�������� 3}?�\=}� %�*�� 6}�@^}� ��2�>&��'�%�� ���&!�%&��%#6 -�'%#6 � /&���"&� ' !"%&/&���'�3%&3 (�'�.� ��("�K�%�! 5>_{=@^?�| \?\[>; > >__[@X}�\?>@ }�@=\�>|������ +@=>` �� �� ��� +� ������� 6\?^}=}�>� 0�$�� 8\[[]\[[@= $�2� V��.�� ��,�&%� )%&/& �����&! "������ &� ��0@?>;X\^� ������� 6\=^\{ $�4� *���"� )%�! +���&��� N�"��%#6 ���� � �����'&� � �& +2���&�%�.%&��) ��` /\|{\[�_{\` �@�X:?\=}X?\` {}?�@=@?�>`� �@^}X� }�^>�>;\�>> >>� �=>[}�@?>`� .={:^_{� ����� +� ������� 6}�@^}� ��� �_�\?}�\ 2� [��&!�%&��%#3 �&��� � (������"� ' ! (�'�.� +����&��� � �&%��3%��# .={:^_{� XII /\|{\[�_{\` �@�X:?\=}X?\` {}?�@=@?�>`� �����+�������� 6}�@^}� ��2� [��&!�%&��%#� "��&'# &�� )%&/& �&���� ' ! (�'�. '������%&3&���"�(�,�� 5>_{=@^?\` �\^@�\^>{> > @@ �=>[}�@?>`� +~}=?>{ [@{�>| �}[}X@�?�� > ?\:�?�� �{}[� 4�� 43�� ����� +� ��������� 0>�}�@�{>| 2�.� 0 &���"�(�,�� ��&2&'%&/& ��("�K�%�! ��!"&+/& )%��&� 2�^}�\^>;\�>` �=}@{^>=}�\?>` � �\�>?}_^=}@?>>� 4>?_{� ����� +� �������� 4:�\�@�\ ��2� V�,�&%� )%#3 �����&3 ��&"#1 �%%#6 "������ &� >��"�%�%��� ZX� 4��4\�>?}_^=}@?>@� �������� 4:�\�@�\ ��2� $\[@@�\ 2������&' '�%�"�.���&/& ����2&�� � (�'�.� '�+"��%&3+���&��� .?�}=�\�>}??�@ ^@�?}[}]>>� ����� ��� +� �������� 4:�\�@�\ ��2�� 6\=^\{ $�4� �&'�7�,��&��%%#3 "��&' �����3 � /��%�,� � /&����" � .�� �%%#3 ?������"�%� ' ! (�'�.� &'%&"��%&/& �����&! .?�}=�\�>}??�@^@�?}[}]>>� ����� ��� +� �������� 4:�\�@�\ ��2�� %=�\�@?{} 2�.�� +>=\;@^X>?}� )�4�� �_�\?}�\ 2�&� ���&' �&����� "�%�"+"� � (������"� � (�'�.�6 '�+"��%&/& /� )&��%%&/& �����&! .?�}=�\�>}??�@ ^@�?}[}]>>� ����� ��� +� �������� 4:�\�@�\ 2�+�� �>][>?�@� 2�$� +�\]>? 4�2� 4:�\�@�\ ��2� Q�'�.� '�+"��%&3+���&���� ��(����� /�%���.����6 � /&���"&� %� 2�(� �"�1�%%#6 ��&,�'+� &�� )�%&/& �&���� &���"� )%&/& ��1�%�! .?�}=�\�>}??�@ ^@�?}[}]>>� ����� ��� -=>[}�@?>@���� 4:�\�@�\ 2�+�� �>=]\;>? &�&� ��&3����%%#3 "��&' &�� )%&/& �&���� &����"+"� � (�'�.� ��!"&+/& )%&3 +���&��� +�-@^@=~:=]� '-).4����� C� ��� ������� *}=@?{}� .�-� N�������� � �6 �&"2�%�,�� � /�%���.����6 "��&'�6 '������%&3&���"�(�,�� .?�}=�\�>}??�@ ^@�?}[}]>>� ����� ��� +� ������ -@^:?>? 2�2�U%��/���&��%%�! XZ>V <X���+�< ' ! ���&"���(�,�� �����&3%&�(�/&�&���� )%&/& ��&�(�&'���� +�-@^@=~:=]� '-).4����� +����������� &}�\?}�_{>| .�$� Z /&���"# ��1�%�! ?�����"� )%#6 (�'�. 4�� *\:{\� �������� +^}`? ��3�� 3>[� *�.����&'# � � /&���"# ��("�K�%�! � &���6 /�&"����.�����6 &2Y���&�� 6>@�� *\:{� X:�{\� �������� �_�\?}�\ 2� [��&!�%&��%#� -�'%#� ?�������� ' ! (�'�.� +���&��� � �&%��3�%��# +�-@^@=~:=]� '-).4����� C� ���������� �=}[}�_{>| $� �&'� ��&��%�� � &,�%�� ��.����� ��&���%#6 ��1�%�3 � ������"�6 ���&(%&/& ��&�����&��%�! �&��+�%#6 �('� �3 �( ���&�&/& "������ � .?�}=�\�>}??�@ ^@�?}[}]>>� ����� ��� +� �������� Aarts E�� Lenstra J�� edit� Local Search in Combinatorial Optimization JohnWilly�Sons� �����

Page 83: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

��� Adamowicz M�� Albano A� A Solution of the rectangular cutting�stock problem IFEFTransactions on Systems� Man and Cybernetics� ����� ���� P� ���������� Bischo� E�� Wascher G�� edit� Special issue� Cutting and Packing European Journalof Operational Research� ����� ������ Blazewicz J�� Hawryluk P�� Walkowiak R� Using a tabu search approach for solvingthe two�dimensional irregular cutting problem Annals of OR� ����� ����� P����������� Co�man E�� Garey M�� Jchonson D� Approximation algorithms for bin�packing�anupdated survey Algorithm Design for Computer System Design Ausiello G�� LucertiniM�� Sera�ni P� eds� Berlin etal� �������� Dousland K�A�� Dousland W�B� Packing problems European Journal of OperationalResearch� ����� ��� P�������� Dykho� H�� Wascher G�� edit� Special issue� Cutting and Packing European Journalof Operational Research� ����� �������� Dykho� H� A typology of cutting and packing problems F�R�Germany� �������� Ferreira C�� Miyazawa F�� Wakabayashi Y� Packing Squares into squares� PesquisaOperational� ����� ����� P����������� Falkenauer E� A hybrid Grouping Genetic Algorithm for Bin Packing Journal ofHeuristics� ����� ���� P� ������� Forster H�� Wascher G� Simulated annealing for order spread minimization sequencingcutting patterns European Journal of Operational Research� ����� ���� P� ���������� Garey M�R�� Johnson D�S� Computers and Intractability� A guide to the Theory ofNP� Completeness SanFrancisco� Freemau� �������� Gehring H�� Bortfeld A� A Genetic Algorithm for Solving the Container Loading Prob�lem International transactions in operational research� ����� V��� ����� P���� ������� Gilmore P�� Gomory R� Multistage cutting stock problem of two and more dimensionsOperat� Res� ����� ����� P���������� Gupta J�� Jeganathan S�� White C� The Cutting Stock Problems with a Given Sequenceof Order Lengths Pesquisa Operational� ����� ����� P����������� Heckman R�� Lengauer T� Computing closely matching upper and lower bounds ontextile nesting problems European Journal of Operational Research� ����� ���� P����������� Hi� M� The DH_KD algorithm� a hybrid for unconstrained two�dimensional cuttingproblems European Journal of Operational Research� ����� ��� P��������� Hinxman A� The Trim�Loss and Assortment Problems� A Survey European Journalof Operational Research� ����� ��� P����������� Hochbaum editor� Approximation algorithms for NP�hard problems PWC� �������� Jahonson M�P�� Rennick C�� Zak E� One�Dimensional Cutting Stock Problem in Justin Time Environment Pesquisa Operational� ���������� P����������� Lirov Y�� edit� Special issue� Geometric Resource Allocation Mathematical andComputer Modelling� ����� �������� Liu D�� Teng H� An improved BL�algorithm for genetic algorithm of the orthogonalpacking of rectangles European Journal of Operation Research� ����� ���� P� ���������� a� Martello S�� edit� Special issue� Knapsack� Packing and Cutting� Part I� OneDimensional Knapsack Problem INFOR� ����� �������� b� Martello S�� edit� Special issue� Knapsack� Packing and Cutting� Part II� Multi�dimensional Knapsack and Cutting Stock Problems INFOR� ����� �������� Martello S�� Toth P� Knapsack problems� Algorithms and Computer Implementations

Page 84: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

YOHN WILEY�SONS� Chichester� �������� Martello S�� Vigo D� Exact solution of two�dimensional �nite bin packing problemManagement Science� ����� ��� P��������� Martynov V� Geometrical Objects Regular Placement onto a Stock Sheet or StripPesquisa Operacional� ����� ����� P����������� Milenkovic V�Y� Translation Polygon Containment and Minimal Enclosure usingMathematical Programming Based Restriction Proceeding of the ���� ACM Symposiumon the theory of Computing STOC� ����� P� ���������� Morabito M� Arenales M� Staged and constrained two�dimensional guillotine cuttingproblems� an and_or�graph approach European Journal of Operational Research� �������� P����������� Mukhacheva E�� edit� Special issue� Decasion Making under Conditions of Uncer�tainty 4Cutting�Packing Problems5 The International Scienti�c Collection� ����� Ufa�Russia���� Mukhacheva E�A�� Belov G�N�� Kartak V�M�� Mukhacheva A�S� Linear one� dimen�sional cutting�packing problems� numerical experiments with sequential value correctionmethod 4SVC5 and a modi�ed branch�and�bound method 4MBB5 Pesquisa Operacional������ ����� P����������� Nitsche C�� Scheithauer G�� Terno J� Tighter relaxations for the cutting stock prob�lems Europen J� Oper� Res� ����� ���� P� ���������� Ribeiro C�� Carravilla M�� Oliveira J� Applying Constraint Logic Programming to theResolution of Nesting Problems Pesquisa Operational� ����� ����� P����������� Scheithauer G�� Terno Y� Muller A�� Belov G� Solving one�dimensional cutting stockproblems exactly with a cutting plane algorithm Technical Report MATHNM�������TU Dresden���� Scholl A�� Klein R�� Juergens G� BISON� A fast hybrid procedure for exactly solvingthe one�dimensional Bin�Packing Problem Computers and Operational Research� ���������� P� ���������� Schwerin P�� Wascher G� A New Lower Bound for the Bin�Packing Problem and itsintegration to MTP Pesquisa Operational� ����� ����� P����������� Soma N�� Toth P� On the Critical Item for Subset Sum Problems Pesquisa Operacional� ����� ����� P����������� Stoyan Yu�� Novozhilova M� Non�guillotine Placement of Rectangles into a Strip ofGiven Width Pesquisa Operational� ����� ����� ���������� Stoyan Yu�� Pankratov A� Regular packing of congruent polygons on the rectangularsheet European Journal of Operational Research� ����� ���� P� ���������� Schwerin P�� Wascher G� The Bin�Packing Problem� a Problem Generator and SomeNumerical Experiments with FFD Packing and MTP International Transactions in Operational Research� ����� �� P����������� Terno J�� Lindeman R�� Scheithauer G� Zuschnitprobleme und ihre prakti� scheLosung� Leiprig� �������� Valeeva A�� Agliullin M� Using Ant Colony Algorithm for the �D Bin�Packing Prob�lem Pracedings of the �rd International Workshop CSIT������ Ufa� ����� P���� ������� Yanasse H�� edit� Special issue� Cutting and Packing Problems Pesquisa Operacional������ �������� Wang P�� Valenzeva L� Data set generation for rectangular placement problems European Journal of Operational Research� ����� ������ P��������

Page 85: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

'9%*6. +0'1*'+). $,�.+0%*.( /�0%$,� ��*69.7$%)$(�.4.+( -&'3&24424.

%�2� '{}[�?>�?>{}�\

.;:�@?>@ _[}�?}_^> ���>_[@?>` ~:[@��� �:?{�>| �@^�`�>�>_` �=}]=\��\�>`�[`@^_` }X?>� >; >?^@?_>�?} =\;�>�\<�>�_` � �}_[@X?@@ �=@�` ?\�=\�[@?>| � �\^@�\^>�@_{}| ^@}=>> _[}�?}_^>� $ X}{[\X@ ~:X:^ �=>�@X@?� =@;:[�^\^� [>�� �}?@{}^}=�� ?\�=\�[@?>`� �^>� >__[@X}�\?>|�$@^�`�\`_` ~>?\=?\`� �=}]=\��\ � �\^@�\^>�@_{\` �}X@[� ���>_[@?>|� _�`

;\??\` _ �@=@=\~}^{}| >?�}=�\�>>� � {}^}=}| ?\ {\�X}� �\]@ �=}�@=`@^_` ;?\�@?>@}X?}]} ~>^\ >?�}=�\�>>� �^}^ ^>� :�=\�[`<�>� _>_^@� �}�?} =\__�\^=>�\^� {\{�}X@[� ���>_[@?>|� �}=}�} �}X@[>=:<�>� =\~}^: {}���<^@=?�� �=}]=\��� _}_^}`�>� >; :_[}�?�� }�@=\^}=}��$ ?\�\[@ X}{[\X\ X\X>� }�=@X@[@?>` {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@��� \ ^\{�@ }=>

@?^>=}�\??}| > \�>{[>�@_{}| {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�� {\{ �}X@[@| :�=\�[`<�>�_>_^@� ?\>~}[@@ ~[>;{>� { �@^�`�>�_` �=}]=\��\��-}X �&%����%&���%�� )%&3 �6�"&3 �}?>�\@^_` ]=\� _ X�:�` ��X@[@??��> �@=

�>?\�>� ��}X?}| > ���}X?}|� _}X@=�\�>| {\{ }=>@?^>=}�\??�@� ^\{ > ?@}=>@?^>=}�\??�@ =@~=\� -=> �^}� �_@ }=>@?^>=}�\??�@ =@~=\ �@?^>[>� ?@�}�@�@?�� � ^}�=@�` {\{ {\�X}�: ?@}=>@?^>=}�\??}�: =@~=: {}?^\{^:� �=>�>_\? }X>? >; _>��}[}� x�� � � � � xn� �x�� � � � � �xn� /:[@�\ �:?{�>` fx�� � � � � xn�� ���>_[>�\` {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�}|� }�>_��\@^ �=}�}X>�}_^� �@�X: ��}X?}| > ���}X?}| �@=�>?\�>� ;\�>_>�}_^> }^ ;?\�@?>| �@=@�@??�� x�� � � � � xn }�=@X@[`<�>� _}_^}`?>@ {}?^\{^}��� -}X _[}�?}_^�< L {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�� �}?>�\@^_` }~�@@ �>_[} =@~@= � _�@�@ ^� @� }~�@@ �>_[} {}?^\{^}� > �@?^>[@|�� -}X _[}�?}_^�< eL {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�� �}?>�\@^_` }~�@@ �>_[} ?@}=>@?^>=}�\??�� =@~@= � _�@�@ ^� @��^}[�{} �>_[} {}?^\{^}��� 6\{ }~��?}� �}X _[}�?}_^�< ���>_[@?>` �:?{�>> � X\??}� {[\__@ _�@� �}?>�\@^_` _[}�?}_^� �>?>�\[�?}| _�@��� ���>_[`<�@| X\??:<�:?{�><�5[` {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@� >;�@_^?\ \_>��^}^>{\ �:?{�>> �@??}?\

� �n�n� X[` �@=� _[}�?}_^> L� �}[:�@??\` '�/� 0:�\?}��� � ���� 6=}�@ ^}]}�� ^}| �@ =\~}^@ ~�[ �}[:�@? �}=`X}{ �:?{�>> �@??}?\ � �n��� X[` �@=� _[}�?}_^> eL X[` {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@�� �^}^ =@;:[�^\^ �};�}[`@^ _ �}�}��<�@^}X\ *@�>�}=:{\ �}[:�>^� ?\>[:��:< >; >;�@_^?�� � ?\_^}`�@@ �=@�` ?>�?>�}�@?}{ _[}�?}_^> ���>_[@?>` {}?{=@^?�� �}_[@X}�\^@[�?}_^@| ~:[@��� �:?{�>| �{[\__@ {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@�� \ >�@??}� }�@?{: �n

���

logn� {\{ X[` �@=� _[}�

?}_^> eL� ^\{ > X[` �@=� _[}�?}_^> L� 6=}�@ ^}]}� �}�?} }^�@^>^� ?>�?>@}�@?{>� �>X\ �n log log log� n� X[` _[}�?}_^> ���>_[@?>` =`X\ _>��@^=>�@_{>� ~:[@��� �:?{�>|� �{[<�\` �:?{�>< ]}[}_}�\?>` MAJn� �}[:�@??�@ 2�2� &\;~}=}���

������� ��� ����� �� log� n ��������� ������� ���������������

��������������������������������������'{}[�?>�?>{}�\ %[>;\�@^\ 2?^}?}�?\�.?_^>^:^ �\^@�\^>{> >�� +�0� +}~}[@�\ +' 2* &2*��=� 2{\X@�>{\ 6}�^<]\� �� *}�}_>~>=_{� ������� &}__>`�^@[� �������� ��������� email� okoln�math�nsc�ru

Page 86: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

��� X[` �^}]} {[\__\ _�@��$ _}�=@�@??}| ;\=:~@�?}| [>^@=\^:=@ �}X {}?^\{^?}�@?^>[�?��> _�@�\�> }^

�@=@�@??�� x�� � � � � xn switchingandrecti�er networks� �\_^} �}?>�\@^_` }=>@?^>=}�\??�| ]=\� �};�}�?} _ �>{[\�>� _ X�:�` ��X@[@??��> �@=�>?\�> ��}X?}| >���}X?}|�� �\_^> X:] �=>�>_\? }X>? >; _>��}[}� x�� � � � � xn� �x�� � � � � �xn� }_^\[�?�@X:]> ?@�}�@�@?�� �:?{�>` fx�� � � � � xn�� ���>_[`@�\` }=>@?^>=}�\??}| {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�}|� }�>_��\@^ �=}�}X>�}_^� �@�X: ��}X?}| > ���}X?}| �@=�>?\�>� ;\�>_>�}_^> }^ ;?\�@?>| �@=@�@??�� x�� � � � � xn� -}X _[}�?}_^�< RS ^\{ }�=@X@[@??}| {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@��� �}?>�\@^_` �>_[} �}�@�@??�� X:]� (_?}� �^}X[` �=}>;�}[�?}| ~:[@�}| �:?{�>> f >�@@^ �@_^} _[@X:<�@@ _}}^?}�@?>@ �@�X:�@=}| _[}�?}_^> RSf� X[` }=>@?^>=}�\??�� {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@� > �@=}|_[}�?}_^> eLf� X[` {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@�eLf� � RSf� � �eLf��-}X �,�� �.���&3 �&%����%&���%�� )%&3 �6�"&3 switchingandrecti�er network

���� >[> directed contact network ������� >[> contact gating schema ����� }^ �@=@�@??�� x�� � � � � xn �}?>�\@^_` }=>@?^>=}�\??�| \�>{[>�@_{>| ]=\� _ X�:�` ��X@[@??��> �@=�>?\�> ��}X?}| > ���}X?}|�� � {}^}=}� ?@{}^}=�@ X:]> �}�@�@?� �@=@�@??��> x�� � � � � xn >[> >� }^=>�\?>`�> �x�� � � � � �xn� \ }_^\��>@_` X:]> � ��&2&'%#�'+/� � ?@�}�@�@?�� �:?{�>` fx�� � � � � xn�� ���>_[`@�\` \�>{[>�@_{>| {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�}|� }�>_��\@^ �=}�}X>�}_^� �@�X: ��}X?}| > ���}X?}| �@=�>?\�>� ;\�>_>�}_^> }^ ;?\�@?>| �@=@�@??�� x�� � � � � xn� -}X _[}�?}_^�< \�>{[>�@_{}|{}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�� �}?>�\@^_` �>_[} X:]� �}�@�@??�� �@=@�@??��> >[>>� }^=>�\?>`�>�-}=`X}{ �:?{�>> �@??}?\ X[` �^}]} {[\__\ _�@� ^}^ �@� �^} > �@=� _[}�?}

_^> eL X[` {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@� � �n���� $_@ >;�@_^?�@ ?>�?>@ }�@?{> X[`{}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@� _�=\�@X[>�� > X[` \�>{[>�@_{>� {}?^\{^?}�@?^>[�?��_�@�� 6=}�@ ^}]}� ?\ �^}^ {[\__ _�@� �}�?} �@=@?@_^> ?@{}^}=�@ ?>�?>@ }�@?{>��}[:�@??�@ X[` X=:]>� {[\__}� _�@�� � �\_^?}_^> ?>�?<< }�@?{:� �}[:�@??:< X[`�\=\{^@=>_^>�@_{>� �:?{�>| ?@{}^}=�� X�}>�?�� {}X}� � {[\__@ ?@X@^@=�>?>=}�\??�� > X@^@=�>?>=}�\??�� �@^�`�>�_` �=}]=\�� ������.;�@_^?}� �^} �} {\�X}| }=>@?^>=}�\??}| {}?^\{^?}�@?^>[�?}| _�@�@ G� ���>

_[`<�@| ~:[@�: �:?{�>< f � �}�?} �}_^=}>^� \�>{[>�@_{:< {}?^\{^?}�@?^>[�?:<_�@�: ~@; _�}~}X?�� X:] G�� {}^}=\` ���>_[`@^ ^: �@ �:?{�>< f > _[}�?}_^� {}^}=}| @_^� �}[>?}� _^@�@?> ?@ ���@ �@^�=@�� }^ _[}�?}_^> _�@�� G ^@}=@�\ ��� >;�������\_^?�� _[:�\@� \�>{[>�@_{>� {}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@� `�[`<^_` ?@X@^@=

�>?>=}�\??�@ �@^�`�>@_` �=}]=\��� nondeterministic branching programs�� 9��'����"�%��&��%%&3 ����!K�3�! ��&/��""&3 }^ �@=@�@??�� x�� � � � � xn ?\;��\@^_`}=>@?^>=}�\??�| ]=\� ~@; �>{[}� _ }X?}| ��}X?}| �@=�>?}| > X�:�` ���}X?��>�@=�>?\�>� }X?\ >; {}^}=�� �}�@�@?\ ?:[@�� X=:]\` � @X>?>�@|� .; {\�X}| �@=�>?�� ;\ >_{[<�@?>@� ���}X?��� ���}X>^ =}�?} X�@ X:]>� $_@ ?@���}X?�@ �@=�>?��=> �^}� X@[`^_` ?\ X�\ ^>�\�� �@=�>?�� �}�@�@??�@ �@=@�@??��> >; �?}�@_^�\ fx�� � � � � xng >; �@=�>? �^}]}^>�\ ���}X>^ }X?\ X:]\� �}�@�@??\` @X>?>�@|� > }X?\ X:]\� �}�@�@??\` ?:[@� � ?@X@^@=�>?>=}�\??�@ �@=�>?� guessing nodes� �nodes� existential nodes�� >; {}^}=�� ���}X>^ =}�?} X�@ ?@�}�@�@??�� X:]>�

Page 87: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

�:?{�>` fx�� � � � � xn�� ���>_[`@�\` ?@X@^@=�>?>=}�\??}| �@^�`�@|_` �=}]=\��}|� }�>_��\@^ �=}�}X>�}_^� �@�X: ��}X?}| > ���}X?}| �@=�>?}|� �}�@�@??}|@X>?>�@|� � ;\�>_>�}_^> }^ ;?\�@?>| �@=@�@??�� x�� � � � � xn� +[}�?}_^� ~:[@����:?{�>| � �^}� {[\__@ _�@� � �>_[} �}�@�@??�� �@=�>? � ~:X@� }~};?\�\^� �@=@; NBPf�� -}=`X}{ �:?{�>> �@??}?\ X[` �^}]} {[\__\ _�@� ^}^ �@� �^} > X[`{}?^\{^?}�@?^>[�?�� _�@� � �n����+ ^}�?}_^�< X} �:[�^>�[>{\^>�?}| {}?_^\?^� _[}�?}_^� ���>_[@?>` ~:[@�}|

�:?{�>> ?@X@^@=�>?>=}�\??��> �@^�`�>�>_` �=}]=\��\�> _}��\X\@^ _} _[}�?}_^�< ���>_[@?>` ^}| �@ �:?{�>> \�>{[>�@_{>�> {}?^\{^?}�@?^>[�?��> _�@�\�>�*} �=> =\__�}^=@?>> _�@� _ }]=\?>�@?>`�> ?\ _^=:{^:=: �^} _}}^?}�@?>@ _[}�?}_^@| �}�@^ >;�@?>^�_`�*@X@^@=�>?>=}�\??\` �@^�`�\`_` �=}]=\��\ ?\;��\@^_` '����"�%��&��%%&3 ���

��!K�3�! ��&/��""&3 >[> ~>?\=?}| �=}]=\��}|�� @_[> � ?@| ?@^ ?@X@^@=�>?>=}�\??�� �@=�>?� $>X>�}� �@=�}| =\~}^}|� � {}^}=}| =\__�\^=>�\[_` �^}^ {[\__ _�@��~�[\ =\~}^\ C�Y� Lee ����� +[}�?}_^� ���>_[@?>` ~:[@�}| �:?{�>> f � �^}� {[\__@_�@� � �>_[} ?@���}X?�� �@=�>? � ~:X@� }~};?\�\^� BPf�� $�2� 6:;��>?��~�[\ �}[:�@?\ \_>��^}^>{\ �:?{�>> �@??}?\ X[` �^}]} {[\__\ _�@� � �n�n��-:_^� Cf� }~};?\�\@^ _[}�?}_^� ���>_[@?>` ~:[@�}| �:?{�>> f _�@�\�> >;

�:?{�>}?\[�?�� �[@�@?^}�� Kf� � _[}�?}_^� ���>_[@?>` ~:[@�}| �:?{�>> f {}?^\{^?��> _�@�\�>� \ L�f� � _[}�?}_^� ���>_[@?>` ~:[@�}| �:?{�>> f �}=�:[\�>� ~\;>_@ ������� )}]X\ >�@<^ �@_^} _[@X:<�>@ _}}^?}�@?>` _[}�?}_^@| �������}~};?\�@?>@ F � Q �� ~:X@� >_�}[�;}�\^� X[` }~};?\�@?>` ^}]}� �^} F � OG��

C���f� � RSf� � Kf� � BPf� � L�f��

6=}�@ ^}]}� 2�2� &\;~}=}��� ���� ~�[} ?@{}?_^=:{^>�?} �}{\;\?}� �^} >�@@^�@_^} _[@X:<�@@ _}}^?}�@?>@ _[}�?}_^@| {}?^\{^?�� _�@� > X@^@=�>?>=}�\??���@^�`�>�_` �=}]=\��

Kf� � BPf�O����

M� Sauerho�� I� Wegener > R� Werchner ���� �}{\;\[>� �^} >�@@^ �@_^} _[@X:<�@@_}}^?}�@?>@ _[}�?}_^@|

BPf� � OLf����

]X@ � � log�� �p�� � �� ����

' _�`;> ���>_[@?>| �:?{�>| �@^�`�>�>_` �=}]=\��\�> > �\�>?\�> )�<=>?]\_�� �����������*\>[:��@| >;�@_^?}| ?>�?@| }�@?{}| _[}�?}_^> ���>_[@?>` �:?{�>| ?@X@^@=

�>?>=}�\??��> �@^�`�>�>_` �=}]=\��\�> `�[`@^_` �@[>�>?\ �n���

logn�� �}[:�@??\`

P� Pudl�ak ���� _ >_�}[�;}�\?>@� �@^}X\ *@�>�}=:{\� (_?}� �^} ?\ �^}^ {[\__ _�@� �@=@?}_`^_` �_@ >;�@_^?�@ }�@?{> X[` _[}�?}_^> ���>_[@?>` ~:[@��� �:?{�>| {}?^\{^?}�@?^>[�?��> _�@�\�>� � �\_^?}_^> }�@?{\ �n log log log� n� X[` _[}�?}_^> =@\[>;\�>> =`X\ _>��@^=>�@_{>� ~:[@��� �:?{�>|� �{[<�\` �:?{�>< ]}[}_}�\?>`MAJn ����*\>[:��@| >;�@_^?}| ?>�?@| }�@?{}| X[` _[}�?}_^> =@\[>;\�>> �:?{�>| X@^@=

�>?>=}�\??��> �@^�`�>�>_` �=}]=\��\�> `�[`@^_` �@[>�>?\ � n�

log� n�� �}[:�@??\`

P� Pudl�ak ���� _ >_�}[�;}�\?>@� �@^}X\ *@�>�}=:{\�

Page 88: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

%�2� '{}[�?>�?>{}�}| ��� ~�[> �}[:�@?� ?@[>?@|?�@ ?>�?>@ }�@?{>�n log n� log log n� X[` _[}�?}_^> =@\[>;\�>> �\=\{^@=>_^>�@_{>� �:?{�>| {}X}�/�� � {[\__@ X@^@=�>?>=}�\??�� �@^�`�>�_` �=}]=\���5[` =`X\ _>��@^=>�@_{>� ~:[@��� �:?{�>|� � �\_^?}_^> X[` �:?{�>> ]}[}_}�\

?>`� P� Pudl�ak ���� �}[:�>[ }�@?{:

BPMAJn� � �n log log n� log log log n��

$�}_[@X_^�>> L� Babai� P� Pudl�ak� V� R�odl ��� :[:��>[> �^}^ =@;:[�^\^� '?> �}{\;\[>� �^}

BPMAJn� � �n log n� log log n���>=}{}@ =\_�=}_^=\?@?>@ �}[:�>[> =\~}^� �} >;:�@?>< �@^�`�>�_` �=}]=\��

_ }]=\?>�@?>`�> ?\ _^=:{^:=: _�@�� 'X?>� >; ^\{>� �>=}{} >__[@X:@��� � {}?�@ ���� ?\�\[@ ��� ]}X}� }]=\?>�@?>| `�[`@^_` }]=\?>�@?>@ ?\ �>=>?: �=}]=\���3}�}=`^� �^} X@^@=�>?>=}�\??\` �@^�`�\`_` �=}]=\��\ >�@@^ �>=>?: d� @_[> }?\=\;~>^\ ?\ :=}�?> > {\�X�| :=}�@?� _}X@=�>^ ?@ ~}[@@ d �@=�>?� -=> �^}� X:]>>_�}X`^ ^}[�{} >; �@=�>? �@?��}]} :=}�?` > ?\�=\�[@?� � �@=�>?� ~}[��@]} :=}�?`� 5[` _[}�?}_^> =@\[>;\�>> ~:[@��� �:?{�>| _�@�\�> _ �^>� }]=\?>�@?>@� ~�[�}[:�@? =`X >?^@=@_?�� =@;:[�^\^}�� $ �\_^?}_^> X[` _�@� }]=\?>�@??}| �>=>?�L� Babai� P� Pudl�ak� V� R�odl ��� �}[:�>[> ?>�?>@ }�@?{> �>X\ �n log n� X[` _[}�?}_^> =@\[>;\�>> �}[?}_^�< }�=@X@[@??�� _>��@^=>�@_{>� ~:[@��� �:?{�>| � ^}��>_[@ �:?{�>> ]}[}_}�\?>` MAJn� _�@�\�> �>=>?� d� -=> �}[:�@?>> =@;:[�^\^\X[` _�@� }]=\?>�@??}| �>=>?� � ��� >_�}[�;}�\[_` ^}^ �@ �@^}X X}{\;\^@[�_^�\��^} > �=> �}[:�@?>> ?>�?>� }�@?}{ _[}�?}_^> X[` _�@� ~@; }]=\?>�@?>|�5=:]>� �>=}{} =\_�=}_^=\?@??�� }]=\?>�@?>@� ?\ _^=:{^:=: �@^�`�>�_` �=}

]=\�� `�[`@^_` }]=\?>�@?>@ ?\ �>_[} �=}�@=}{ �@=@�@??�� � {\�X}| �@�>� {}]X\X[` [<~}| �@=@�@??}| xi � [<~}| �@�>� >X:�@| }^ ��}X?}| �@=�>?� { ���}X?}|��>_[} �@=�>?� �}�@�@??�� �@=@�@??}| xi� ?@ �=@�}_�}X>^ k� )\{>@ �=}]=\��� ?\;��\<^_` �@^�`�>�>_` k�=}]=\��\�> readktimes >[> readktimes only branchingprograms�� *@X@^@=�>?>=}�\??\` �@^�`�\`_` �=}]=\��\ ?\;��\@^_` %�'����"�%���&��%%&3 ��%�����.���&3 �@^�`�@|_` k�=}]=\��}|� @_[> � ?@| �X}[� [<~}]} �:^>}^ ��}X?}| �@=�>?� { ���}X?}| {\�X\` �@=@�@??\` �_^=@�\@^_` ?@ ~}[@@ k =\;�-@=�}| =\~}^}|� � {}^}=}| ~�[\ �}[:�@?\ }�@?{\ �{_�}?@?�>\[�?}]} ^>�\ X[`

X@^@=�>?>=}�\??�� �@^�`�>�_` k�=}]=\�� �=> =\_^:�>� ;?\�@?>`� k� ~�[\ =\~}^\ %�2� '{}[�?>�?>{}�}| ���� '�@?{\ ~�[\ �}[:�@?\ X[` k � Olog n� log log n��-};X?@@ �^}^ �@^}X �}[:�@?>` �{_�}?@?�>\[�?�� ?>�?>� }�@?}{ ~�[ =\_�=}_^=\?@??\ _[:�\| ?@X@^@=�>?>=}�\??�� �@^�`�>�_` �=}]=\��� '^�@^>�� �^} �^\ =\~}^\~�[\� �};�}�?}� �@=�}| =\~}^}|� � {}^}=}| � `�?}� �>X@ >_�}[�;}�\[>_� _�@�� _}]=\?>�@?>`�> \ >�@??} �@^�`�>@_` k�=}]=\���� X[` �}[:�@?>` ?>�?>� }�@?}{X[` _�@� ~@; }]=\?>�@?>|�-=>�@=?} � �^} �@ �=@�` A� Borodin� A� Razborov� R� Smolensky ��� �}[:�>[>

�{_�}?@?�>\[�?�@ ?>�?>@ }�@?{> X[` ?@X@^@=�>?>=}�\??�� �@^�`�>�_` k�=}]=\��X[` k � c log n� -};X?@@� � ���� ]}X:� �@^}X >; ��� ~�[ �}X>�>�>=}�\? J� S� Thathachar������>=}{}@ =\_�=}_^=\?>@ �}[:�>[> =\~}^� �} >;:�@?>< �@^�`�>�_` ��=}]=\��

readonce branching programs >[> BDD� ^� @� binary decision diagrams�� �^}^ ^>��@^�`�>�_` �=}]=\�� �>=}{} >_�}[�;:@^_` � �=>[}�@?>`�� $ �\_^?}_^>� �};�}�?}

Page 89: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

>_�}[�;}�\?>@ BDD � �@=>�>{\�>> {}�~>?\^}=?�� _�@�� �=> =@�@?>> ;\X\� �@[}�>_[@??}]} �=}]=\��>=}�\?>`> > =@�@?>> X=:]>� ;\X\��.�@@^_` ~}[��}@ �>_[} =\~}^� � {}^}=�� =\__�\^=>�\<^_` :�}=`X}�@??�@ ~>

?\=?�@ X@=@��` =@�@?>| OBDD � ordered binary decision diagrams�� {}^}=�@ ~�[>��@X@?� R�E� Bryant ����� OBDD � �^} �@^�`�\`_` ��=}]=\��\ _ �=@X�>_\??�� �}=`X{}� �@=@�@??��� *\ {\�X}� �:^> }^ ��}X?}| �@=�>?� { ���}X?}| �@=@�@??�@X}[�?� �=}�@=`^�_` � _}}^�@^_^�>> _ �^>� �}=`X{}�� OBDD �\�?� X[` �=>[}�@?>|� �^}^ ^>� _�@� �\_^} >_�}[�;:@^_` X[` ;\X\?>` �:?{�>|� $ �\_^?}_^>� �^@}=>> {}X>=}�\?>` X[` ;\X\?>` {}X}� >?}]X\ >_�}[�;:<^_` >�@??} �^}^ ^>� �=}]=\�� ^=@[[>_�� _�� ������ -}X=}~?@@ } �};�}�?}_^> >_�}[�;}�\?>` BDD > OBDD� �=>[}�@?>`� _�� ���� ][\�� �������.�@@^_` ~}[��}@ �>_[} =\~}^� {}^}=�@ �=}X}[�\<^ �}`�[`^�_` X} ?\_^}`�@]}

�=@�@?>� � {}^}=�� �}[:�@?� �{_�}?@?�>\[�?�@ ?>�?>@ }�@?{> _[}�?}_^> �@^�`�>�_` ��=}]=\��� *\>[:��>�> >; >;�@_^?�� � ?\_^}`�@@ �=@�` ?>�?>� }�@?}{��}[:�@??��> X[` ��=}]=\��� `�[`<^_` }�@?{> �n�O�logn�� � �}[:�@??�@ � ����/}[@@ �}X=}~?�@ }~;}=� �} _[}�?}_^> ���>_[@?>` ~:[@��� �:?{�>| �@^�`�>�>

_` �=}]=\��\�> _�� ����������������.__[@X}�\?>@ ���}[?@?} �=> �>?\?_}�}| �}XX@=�{@ &��. �=}@{^ ����������

> �@X@=\[�?}| �@[@�}| �=}]=\��� !.?^@]=\�>`"�

0.)%&2)�&2

�� 0:�\?}� '�/� * ��%�� )%#6 � �&%����%&���%�� )%#6 �6�"�6 �� 5}{[� 2*+++&� ����� )� ���� ���� �� +� ����������

�� '{}[�?>�?>{}�\ E�A� 9�-%�� &,�%�� � &-%&��� ��� �(�,�� 6������������.����6 7+%�,�3 '�&�.%#6 �&'&� 2�%��%#"� ��&/��""�"� �� 4@^}X� X>_{=@^?}]} \?\[>;\ � _>?^@;@ =@\[>;\�>| ~:[@��� �:?{�>|� $��� ��� *}�}_>~>=_{�.?^ �\^@�\^>{> +' 2* +++&� ����� +� ������

�� '{}[�?>�?>{}�\ E�A� *2 &'%&" "��&'� �& +.�%�! %�-%�6 &,�%&� � &-%&���� ��� �(�,�� 2+ ��#6 7+%�,�3 %�'����"�%��&��%%#"� ����!K�"��! ��&�/��""�"� �� 5>_{=@^� \?\[>; > >__[@X� }�@=\�>|� +@=� �� ����� )� �� ���+� �������

�� '{}[�?>�?>{}�\ E�A� X &-%&��) ����!K�6�! ��&/��"" �� 4\^@�\^>�@_{>@�}�=}_� {>~@=?@^>{>� $��� ��� 4�� �>;�\^[>^� ����� +� ������

�� &\;~}=}� 2�A� 9�-%�� &,�%�� � &-%&��� ��� �(�,�� ��""����.����6 2+ ���#6 7+%�,�3 �&%����%&���%�� )%#"� �6�"�"� �� 4\^@�� ;\�@^{>� ����� )���� ���� �� +� �����

�� Andreev A�� Baskakov Ju�� Clementi A�� Rolim J� Small pseudo�random sets yieldhard functions� New tight explicit lower bounds for branching programs �� LectureNotes in Comput� Sci� V� ����� Berlin� Springer� ����� P� ��������

�� Babai L�� Pudl�ak P�� R�odl V�� and Szemer�edi M� Lower bounds to the complexityof symmetric Boolean functions �� Theoretical Computer Science� ����� V� ���P� �������

Page 90: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

�� Barrington D� A� M� Bounded�width polynomial�size branching programs recognizeexactly those languages in NC� �� J� Comput� and System Sci� ����� V� ���P� �������� &:__{>| �@=@�}X� /\==>?]^}? 5� 2� 4� [���!K���! ��&/��""#&/��%�.�%%&3 1���%#� �"�8K�� �& �%&"�� )%+8 � &-%&��)� ����&(%�8� ��&.%&��� !(#�� �( NC� �� 6>~@=?@^>�@_{>| _~}=?>{� ����� $��� ��� +� ��������

�� Borodin A�� Razborov A�� Smolensky R�On lower bounds for read�k�times branchingprograms �� Computational Complexity� ����� V� �� No� �� P� �����

��� Bryant R�E� Graph�based algorithms for Boolean function manipulation �� IEEETrans� on Computers� ����� V� C��� P� �������

��� La�erty J�� Vardy A� Ordered binary decision diagrams and minimal trellises ��IEEE Transaction on Computers� ����� V� ��� No� �� P� ��������

��� Lee C�Y� Representation of switching circuits by binary�decision programs �� BellSystem Techn� J� ����� V� ��� P� �������� &:__{>| �@=@�}X� 0> 6� >��'���� ��%�� ����� 8.��� )%#6 �6�" � �&"&K)8 ��&/��"" '�&�.%&/& ��1�%�! �� $}�=}_� ^@}=>> �\^@�\^>�@_{>� �\�>?� 4�� 4\�>?}_^=}@?>@� ����� +� ���������

��� Okol�nishnikova E�A� On the hierarchy of nondeterministic branching k�programs�� Lecture Notes in Comput� Sci� V� ���� Berlin� Springer� ����� P� ��������

��� Pudl�ak P� A lower bound on complexity of branching programs �� Lecture Notes inComput� Sci� V� ���� Berlin� Springer� ����� P� ��������

��� Pudl�ak P� The hierarchy of Boolean circuits �� Comput� Arti�cial Intelligence������ V� �� No� �� P� ��������

��� Razborov A� A� Lower bounds for deterministic and nondeterministic branchingprograms �� Lecture Notes in Comput� Sci� V� ���� Berlin� Springer� �����P� ������

��� Sauerho� M� Complexity Theoretical Results for Randomized Branching Programs�� Ph� D� Universit�at Dortmund� Dortmund� �����

��� Sauerho� M�� Wegener I�� and Werchner R� Relating branching program size andformula size over the full binary basis �� Lecture Notes in Comput� Sci� V� �����Berlin� Springer� ����� P� ������

��� Thathachar J� S� On separating the read�k�times program hierarchy �� Proc� of the��th Ann� ACM symp� on theory of compting� New York� ACM Press� �����P� ��������

��� Wegener I� The complexity of Boolean functions� Stuttgart� B� G� Teubner Chichester� John Wiley�Sons� �����

��� Wegener I� Branching programs and binary decision diagrams Theory and applica�tions� Philadelphia� PA� SIAM� �����

Page 91: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

' *%6')'&,� -%&%�.+0.)%0�*,� 8252�2�)%'&.. 3&2�'$ . )%'&.. 3&�--

2� 2� +\�}�@?{}

� ������

5\??\` =\~}^\ �}_�`�@?\ =@�@?>< ?@{}^}=�� �@=@�>_[>^@[�?�� ;\X\� >; ^@}=>>]=:�� > ^@}=>> �>_@[ _ >_�}[�;}�\?>@� ^@}=>> ]=\�}�� -:_^� ;\X\?} �?}�@_^�} G _}�@=\�>@| _[}�@?>` �� -}X�?}�@_^�} A � G ?\;��\@^_` ��������� �� ����� @_[>X[` [<~�� a� b � A >� _:��\ a� b ?@ �=>?\X[@�>^ �?}�@_^�: A� �^} �}?`^>@ ~�[}��@X@?} �:=}�� {}^}=�| X}{\;\[� �^} ?@[�;` =\;~>^� }^=@;}{ ��� n� ?\ �>{_>=}�\??}@�>_[} �}X�?}�@_^�� _�}~}X?�� }^ _:��� @_[> n X}_^\^}�?} �@[>{} �} _=\�?@?>< _�>_[}� �}X�?}�@_^�� $ ��� 6\�@=}? > %=X�� X}{\;\[>� �^} � }^=@;{@ �n��� n� �>_[}�?}�@_^�� _�}~}X?�� }^ _:��� =\�?} O�n���� *� 2[}? ��� > ?@;\�>_>�} *� 6\[{>?��� X}{\;\[>� �^} � }^=@;{@ �n��� n� �>_[} sn� �?}�@_^�� _�}~}X?�� }^ _:��� =\�?}sn� � �n����o����� 5[` �p}>;�}[�?}]} � � }~};?\�>� �@p@; s�n� �>_[} �?}�@_^��_�}~}X?�� }^ _:��� � }^p@;{@ ��

� � �n� n�� $ ��� X}{\;\?\ _[@X:<�\`

'������ � X+K����+�� �&%���%�� c � �� (����!K�! &� ����!� .�& ' ! ��!�&/& � �

s�n� � c�n��� ��

$ ��� > � ?@_{}[�{} X=:]}| �}=�:[>=}�{@ � ��� �=> _ � � ��� X}{\;\?\ _[@X:<�\`'������ � � ! '&����&.%& 2& )1�6 .��%#6 n � ' ! 82&3 �2� ��&3 /�+��# G�&�!'�� n � .�� &" �&'/�+�� �%'���� �� ���%#" t�

t �n�� � ��n����o���� � sn� � t �n�� � �n�������� ��

/'� � � �����

*}��� =@;:[�^\^}� `�[`@^_` _[@X:<�\`

'������ � X+K����+�� 7+%�,�! fn�� +'&� ���&�!8K�! +� &��!" limn�� fn� �

�� � limn�� fn��n � �� � �2�& 8�%�! �&%���%�� c � �� ������ .�& ' ! .�� � �sn�

"%&-����� ��&2&'%#6 &� �+""� � &���(�� �fn�� n� �#�& %!���! %�����%���&

�sn� � c�n���

-=> X}{\;\^@[�_^�@ >_�}[�;:<^_` ^@}=@�\ �=@|�\?\ >; ��� > X}{\;��\@�\` ?>�@)@}=@�\ �� 5[` �=}>;�}[�?}]} �}X�?}�@_^�\ K �?}�@_^�\G _ }�@=\�>@| _[}�@?>`� �}[}�>� K �K � fa� b � a� b � Kg�

��������������������������������������+\�}�@?{} 2[@{_\?X= 2?^}?}�>��4}_{}�_{>| ]}_:X\=_^�@??�| :?>�@=_>^@^��\{:[�^@^ $4>6� $}=}~�@�� ]}=�� ������� 4}_{�\� &}__>`�email� sasha�sapozhen�mccme�ru

Page 92: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

'������ � 3�2��=@|�\? ����� >+��) K H �&%�.%&� "%&-����& %��+�� )%#6 .���� @&/'�

jK �Kj � �jKj � ��}� � ��� ?�&"

jK �Kj � �jKj � � � t� � � t � t� ���& K �&'��-���! � ���7"���.���&3 ��&/������ ' �%# t� b

�(%�� ��%)�*+�+� � ����� ��%� �����, ���#��+ ���-�,

3=\� c n �@=�>?\�>� � {}^}=}� �>?>�\[�?\` _^@�@?� �@=�>?� =\�?\ k� \ �\{_>�\[�?\` ?@ �=@�}_�}X>^ k � �� ?\;}�@� n� k� ���/��7&"� $@;X@ � X\[�?@|�@� �=@X�}[\]\@^_`� �^} n > k X}_^\^}�?} �@[>{>� \ � � ok� �=> k �� -=> ���}[?@?>> �}_[@X?@]} :_[}�>` n� k� ���]=\� ?\;��\@^_` �&.�� ��/+ !�%#"� -}X�?}�@_^�} A �@=�>? ]=\�\ G ?\;��\@^_` %�(�����"#"� @_[> �}X]=\�� �}=}�X@??�|�?}�@_^�}� A� ?@ _}X@=�>^ =@~@=� +@�@|_^�} �_@� ?@;\�>_>��� �?}�@_^� ]=\�\G }~};?\�>� �@=@; IG� > �}[}�>� IG� � jIG�j� -:_^� G � V E� � ]=\� _�?}�@_^�}� �@=�>? V > �?}�@_^�}� =@~@= E � \ v � V � *\;}�@� /��%�,�3 �@=�>?� v � ]=\�@ G �?}�@_^�} �v� � fu � u� v� � Eg� (_?}� �^} �v� � j�v�j@_^� _^@�@?� �@=�>?� v� ~��%�,+ �}X�?}�@_^�\ A �@=�>? ]=\�\ G� }�=@X@[>� {\{�?}�@_^�} �A� �

Sv�A �v�� n A� -:_^� � � � �� 3=\� G � V E� ?\;}�@�

����1����� �"� @_[> jAj � j�A�j�� � X[` �_@� A � IG�� *>�@ �=@X_^\�[@? }~;}= =@;:[�^\^}�� {\_\<�>�_` �>_[\ ?@;\�>_>��� �?}�@_^� � ]=\�\� > X}{\;��\@^_`^@}=@�\ �� +�=\�@X[>�} _[@X:<�@@ }�@�>X?}@ :^�@=�X@?>@

�������� � � ! ��!�&/& /��7� � %� n ���1�%�6

n� � � I�� � �n� ��

*>�?`` ]=\?>�\ X}_^>]\@^_` ?\ �}[?}� ]=\�@� �@=�?`` � ?\ �:_^}��+[@X:<�\` �\_^� =@;:[�^\^}� {\_\@^_` X@=@��@�� �@�@| > �>{[}�� -:_^� Pn �

�@�� ?\ n �@=�>?\�� \ Sn � ;�@;X\� ^�@� X@=@�} _ n �@=�>?\�>� >�@<�@@ �@=�>?:_^@�@?> n� ��'������ � � ! 82&/& '����� T %� n ���1�%�6

�n� � IPn� � IT � � ISn� � �n�� � �� ��

/'� f�n� n � �� �� ����g �&� �'&���� )%&��) ��22&%�.�� ��������

'~};?\�>� �@=@; Cn �>{[ ?\ n �@=�>?\��

'������ � >+��) ��n� H �&� �'&���� )%&��)� ����!� .�& ��� � �� ��� � �� ��n� ���n� � ��n @&/'�

ICn� � ��n� ��

'������ >+��) n � km� r� r � k� @&/'� ' ! 82&/& ��� F %� n ���1�%�6 � k�&"�&%�%��"� ��!(%&��� 2�( �(& ��&��%%#6 ���1�%

�k���n��k� � IF � � �m � ��r�m�� � ��k�r� ��

Page 93: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

5[` =@]:[`=?�� > �}�^> =@]:[`=?�� ]=\�}� >;�@_^?} _[@X:<�@@� *� 2[}?}� ���X}{\;\?\ _[@X:<�\`

'������ � � ! 82&/& k���/+ !�%&/& /��7� � %� n ���1�%�6

I�� � �n����O�k������� ��

3=\?>�\ �� X}_^>�>�\ ?\ ]=\�@ Hn�k� �=@X_^\�[`<�@� _}~}| }~�@X>?@?>@ n��k �}�\=?} ?@�@=@_@{\<�>�_` �}[?�� X�:X}[�?�� ]=\�}� _^@�@?> k� {\�X�| >; {}^}=��>�@@^ �k �@=�>?� 5[` ^\{}]} ]=\�\

IHn�k� � �k� � ��n��k � �n����O�k����� ��

*� 2[}? ��� �=@X�}[}�>[� �^} Hn�k >�@@^ ?\>~}[��@@ �>_[} ?@;\�>_>��� �?}�@_^�_=@X> k=@]:[`=?�� ]=\�}� ?\ n �@=�>?\�� �^} �=@X�}[}�@?>@ ~�[} �\_^>�?} X}{\;\?} � =\~}^@ 6\?\ ���� ]X@ �}[:�@? _[@X:<�>| =@;:[�^\^�

'������ � ! ��!�&/& k���/+ !�%&/& '�+'& )%&/& /��7� � %� n ���1�%�6

I�� � ��n��k� log��k������ ��

-:_^�Bn @_^� n�@=?�| @X>?>�?�| {:~� {}^}=�| `�[`@^_` n=@]:[`=?�� ]=\�}�?\ N � �n �@=�>?\�� 2�5� 6}=�:?}� > A�A� +\�}�@?{} ���� X}{\;\[> _[@X:<�@@:^�@=�X@?>@�

'������ ��IBn� � �pe��n�� � �pe�N��� ���

'~};?\�>� _^@�@?� �@=�>?� v �@=@; �v�� 3=\� � ?\ n �@=�>?\� ?\;}�@� n� k� ���/��7&" @_[> k � �v� � k� � X[` [<~}| �@=�>?� v� *\;}�@� n� k� ��graph � �&.����/+ !�%#"� @_[> ��k � �k�� ]X@ �k� � �=> k �� 2�A� +\�}�@?{} ��� X}{\;\[_[@X:<�>@ ^=> :^�@=�X@?>`�

'������ �� � ! ��&�(�& )%&/& n� k� ���/��7� �

I�� � �n�

�O��k

p�log k��k �

� ���

�^}^ =@;:[�^\^ :[:��\@^ }_^\^}�?�| �[@? � }�@?{@ 2[}?\ >; ��� > }~}~�\@^ @@ ?\�}�^> =@]:[`=?�@ ]=\���'~};?\�>� �@=@; I��� �>_[} �}X�?}�@_^� A � I��� ^\{>�� �^} jjAj � n��j � �n���

'������ �� >+��) � � V E� !� !���! n� k� ���/��7&" � � � � � � *2&(%�.�".���( I��� .�� & �&'"%&-���� A � I�� ����6� .�& jjAj � n��j � �n�� @&/'�

I��� � �n�

�� ��

� ln �O �

kp

log kk�� ���

'������ �� >+��) n� k� ���/��7 � � V E� !� !���! ����1����� �" ' ! %��&��&�&/& � � � � @&/'��

I�� � �n�

�����O��k

p�logk��k �

� ���

������ � ����� logn � log�n�

Page 94: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

-=>�@X@� ?@{}^}=�@ =@;:[�^\^� } X�:X}[�?�� ]=\�\�� *�2[}? ��� X}{\;\[ _[@X:<�:< }�@?{:�

'������ �� >+��) � H '�+'& )%#3 /��7 %� n ���1�%�6� ���&3� .�& j�v�� kj �k�� ' ! ��!�&3 ���1�%# v @&/'�

I�� � �n����O�k������� ���

5�:X}[�?�| ]=\� � � X�Z E� _ X}[`�> �@=�>? X > Z ?\;}�@� '�+'& )%#"�� �����1����� �"� @_[> jAj � j�A�j�� � X[` �_@� A � X� ^\{>�� �^} jAj � �jXjX[` �_@� A � Z� ^\{>�� �^} jAj � �jZj� $ ���� �}[:�@? _[@X:<�>| =@;:[�^\^�'������ �� >+��) n� k� ���/��7 � � X�Z E� !� !���! '�+'& )%#" ���� ������1����� �"� n � k '&����&.%& �� ��� 0�&"� �&/& �+��) z H %��2& )1�� �(��1�%�3 +���%�%�! x � log �ex�c� @&/'�

�jX j � �jZj � � � I�� ��jXj � �jZj

�� � ��k��zO

pklogk��

�� ���

&\__�}^=>� ^@�@=� _[:�\|?�@ ]=\�� ?\ n �@=�>?\�� ^\{>@� �^} {\�X}@ =@~=}�}`�[`@^_` _[:�\|?} > ?@;\�>_>�} _ �@=}`^?}_^�< ����

'������ �� X ���&!�%&��)8� ����"!K�3�! � � ��� n �� �� �&.�� ���/'��#�& %�%&

I�� � ������ log� n�logn log logn��log n��� ���

-=> X}{\;\^@[�_^�@ )@}=@�� � �� }�>=\@�_` ?\ _[@X:<�@@ :^�@=�X@?>@

'������ � >+��) � n����1�%%&" /��7� � "����"� )%�! �����%) ���1�%# ���%�m� '& ! ���1�% �����%�� "�%)1�3 .�" k� %� ����#1��� � � '& ! ���1�% �����%��2& )1�3 .�" k � �� %� ����#1��� � @&/'�

I�� � �n�

���m�k���O�� ��k�

���

�&��(��� )���&+ ?@~}[��>�> >;�@?@?>`�> }?} �}�^}p`@^ X}{\;\^@[�_^�} ^@}p@�� � >; ���� 5[`�p}>;�}[�?}]} ?@;\�>_>�}]} �?}�@_^�\ A �}_^p}>� �?}�@_^�} T _ �}�}��< _[@X:<�@| �}�\]}�}| �p}�@X:p���\] �� -:_^� u� � �p}>;�}[�?\` �@p�>?\ >; A� -}[}�>� T� � fu�g� -:_^� _X@[\?}m �\]}� > �}_^p}@?} �?}�@_^�} Tm � fu�� ���� umg��\] m��� %_[> _:�@_^�:@^ um� � A ^\{\`� �^} j�um�n�Tmj � �� ^} �}[\]\@�Tm� � Tm�fum�g� $ �p}^>�?}� _[:�\@ �p}�@__ ;\{\?�>�\@^_` > �}[\]\@� T � Tm��^} �?}�@_^�} T ~:X@� ?\;��\^� � &�� �(��&p&" �?}�@_^�\ A� �>_[} ?@;\�>_>��� �?}�@_^� A� X[` {}^}p�� �?}�@_^�} T `�[`@^_` �[}{\[>;\^}p}�� }~};?\�>�I�� T �� '�p@X@[>� X[` {\�X}]} ^\{}]} T

D � DT � � fv � V n�Tm � j�vn�T j� �g�'~};?\�>� �@=@; D� ^: �\_^� D� {}^}p\` _}X@p�>^ �@p�>?� _^@�@?> ?@ �@?��@ k�\ �@=@; D� � �?}�@_^�} �@=�>? _^@�@?> ~}[��@ k � �� &\__�}^p>� X�:X}[�?�|

Page 95: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ��������� ������

�}X]p\� ]p\�\ � _ X}[`�> �@p�>? D� > �T � +^@�@?� {\�X}| �@p�>?� >; D� ?@�@?��@ k � ��� \ _^@�@?� {\�X}| �@p�>?� >; �T nD� ?@ ~}[��@ k � �� -}�^}�:

jD�jk � �� � j�T j � �n�k � �� � �nm�

+ :�@^}� ^}]}� �^} jDj � n � jD�j > j�T j � n� jDj� >�@@�

jDj � nk � � � k � �m� k � ��

�k � � � ��n

�� � � �m�k � �� �O� � ���k�� � ���

-}[}�>� � �pk log k� 8\�@^>�� �^} jT j � j�Aj�� �} �}_^p}@?>< > j�Aj � n X[`

[<~}]} A� +[@X}�\^@[�?}� _:�@_^�:@^ ^\{}@ _@�@|_^�} �?}�@_^�  � �^} X[` {\�X}]}?@;\�>_>�}]} �?}�@_^�\ A � ?@� ?\|X@^_` �[}{\[>;\^}p > �=> �^}�

j j � Xi�n�

C in � �n

plog kk � ���

$ _>[: ��� > �{[<�@?>` A � D

I�� T � � �jDj � �n�

���m�k���O�� ��k�

'^_<X\ _ :�@^}� ��� �}[:�\@�

I�� � XT��

I�� T � � �n�

���m�k���O�� ��k�

&\~}^\ �}XX@=�\?\ ]=\?^}� &��. ����������

0.)%&2)�&2

��� Alon N�� Independent sets in regular graphs and SumFree Subsets of Finite Groups�Israel Journal of Math�� �� ������ No �� �������

��� Calkin N� J�� On the number of sumfree sets� Bull London Math Soc �� ��������������

��� Cameron P� J� and Erd�os P�� On the number of sets of integers with variousproperties� In Number Theory Mollin R� A�� Ed��� de Gruyter� Berlin� ����� ������

��� +\�}�@?{} 2�2�� ' �>_[@ �?}�@_^�� _�}~}X?�� }^ _:�� � \~@[@��� ]=:��\���$@_^?>{ 4}_{}�_{}]} �?>�@=_>^@^\� +@= �� 4\^@�\^>{\� 4@�\?>{\ ����� No ��� �@�\^>�

��� '�@[�`?}� 6�3�� +\�}�@?{} 2�2�� ' �>_[@ �?}�@_^�� _�}~}X?�� }^ _:��� � }^p@;{@ ?\^:p\[�?�� �>_@[��� 5>_{=@^?\` �\^@�\^>{\� 4� *\:{\� ����� � �@�\^>�

��� +\�}�@?{} 2�2�� ' �>_[@ ?@;\�>_>��� �?}�@_^� � =\_�>=>^@[`��� 5>_{=@^?\`�\^@�\^>{\� 4� *\:{\� ����� ^� ��� no �� �����

��� Lev V�� Luczak T�� Shoen T�� SumFree Sets in Abelian Groups� Israel Journal ofMath�� $ �@�\^>��

Page 96: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ��

��� �=@|�\? 3�2�� +[}�@?>@ {}?@�?�� �?}�@_^��� .;�� ��_�� :�@~?� ;\�@X� 4\^@�\^>{\� ���� ����� �������

��� Kahn J�� An entropy aproach to the hardcore model on bipartite graph� Comb�� Prob�Comput� ������ v� ��� N �� �������

���� 6}=�:?}� 2� 5�� +\�}�@?{} 2� 2�� ' �>_[@ X�}>�?�� {}X}� _ =\__^}`?>@� ���-=}~[@�� {>~@=?@^>{>� 4�� *\:{\� ���� �� ����� �������

���� Sapozhenko A� A�� On the Number of Independent Sets in Bipartite Graphs withLarge Minimum Degree�� DIMACS Technical Report ������� p����

Page 97: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

*'$,7 -'5�'5 6 602++.�.629.. 8252� )%'&.. &2+-.+2*.7

+�$� +@�\_^�`?}�

$ ���� ]� ���[\ =\~}^\ +�4� 5�}?_}?\� � {}^}=}| =\__�\^=>�\[\_� _[@X:<�\`}�^>�>;\�>}??\` ;\X\�\� .�@@^_` n X@^\[@| > X�\ _^\?{\� A > B� 6\�X\` X@^\[�X}[�?\ �=}|^> �}_[@X}�\^@[�?:< }~=\~}^{: _?\�\[\ ?\ _^\?{@ A� ;\^@� ?\ _^\?{@ B��=>�@� X[>^@[�?}_^> �^>� }�@=\�>| >;�@_^?� ;\=\?@@� )=@~:@^_` }�=@X@[>^�� � {\{}� �}=`X{@ _[@X:@^ ;\�:_{\^� X@^\[> ?\ �@=��| > �^}=}| _^\?}{� �^}~� ���}[?>^��_@ =\~}^� ;\ ?\>�@?��@@ �=@�`� 5�}?_}? �=>�@[ �}[>?}�>\[�?�| \[]}=>^� =@�@?>` �^}| ;\X\�> � _[:�\@ X�:� _^\?{}�� > � X\[�?@|�@� �^\ ;\X\�\ X[` �=}>;�}[�?}]} �>_[\ _^\?{}�� _^\[\ >�@?}�\^�_` � [>^@=\^:=@ (�'�.�3 �-&%�&%�� �^\ ;\X\�\�=>�[@{[\ { _@~@ �?>�\?>@ > �}_[:�>[\ }~�@{^}� �?}]}�>_[@??�� >__[@X}�\?>| �_�`;> _ ^@�� �^} �}��^{> }~}�>^� =@;:[�^\^ 5�}?_}?\ ?\ _[:�\| ^=@� > ~}[@@ _^\?{}� }{\;\[>_� ~@;=@;:[�^\^?��>� -}[>?}�>\[�?}]} \[]}=>^�\ =@�@?>` ��\�>??}|;\X\�> 5�}?_}?\ ?@ �}_^=}@?} X} _>� �}=� > _{}=@@ �_@]}� ^\{}]} \[]}=>^�\ ?@ _:�@_^�:@^� 'X?\{} �=}�@X@?�@ >__[@X}�\?>` ?@ �=}�\[> X\=}�� -}[:�@??�@ =@;:[�^\^� [@][> � }_?}�: ?@{}| ^@}=>>� {}^}=:< _@|�\_ ?\;��\<^ !@�&���3 �������%�3"�-}\?][>|_{> �^: }~[\_^� >__[@X}�\?>| ?\;��\<^ Machine Scheduling�� 6}?@�?}�� ?\�@� _[:�\@ ?@[�;` _{\;\^�� �^} !�}��^{> =@�@?>` ;\X\�> 5�}?_}?\ �=>�@[>{ �};?>{?}�@?>< )@}=>> &\_�>_\?>|" \?\[}]>�?} ^}�:� {\{ �}��^{> X}{\;\^@[�_^�\ /}[��}| ^@}=@�� �@=�\ �=>�@[> { �};?>{?}�@?>< ^@}=>> �>_@[�� 8\ �=}�@X�>@ �}�^> �� [@^ )@}=>` &\_�>_\?>| =\;�>�\[\_� _{}=@@ ?@ !�][:~�"� \ !��>=�"�=\__�\^=>�\[>_� �_� ?}��@ > ?}��@ �}_^\?}�{> ;\X\�� �>_[} =\;[>�?�� _�}=�:[>=}�\??�� > >__[@X}�\??�� � [>^@=\^:=@ !=\_�>_\[��@_{>�" ;\X\�� �}�>X>�}�:��@=@�\[>[} :�@ ;\ ^�_`�:� -=> �^}� }�:�\@^_` `�?\` ?@��\^{\ � =\;=\~}^\??�����@{^>�?�� �@^}X\�� �};�}[`<�>� _�=\�[`^�_` _ �>=}{>� {=:]}� ;\X\�� '~��?}�_@ �^> ;\X\�> =@�\<^_` �}}^X@[�?}_^>� *@ �}^}�:� �^} ^@}=@^>{>� =\~}^\<�>@� )@}=>> &\_�>_\?>|� !_[\~}�\^�" > ?@ _�}_}~?� _};X\^� _>[�?�� > :?>�@=_\[�?�� �@^}X}�� \ _{}=@@ �}^}�:� �^} :� ~}[�?} �_@ �^> ;\X\�> =\;?�@¡ 'X?}| >;}^[>�>^@[�?�� �@=^ )@}=>> &\_�>_\?>| `�[`@^_` 2& )1&� ��(%&&2��(�� (�'�.� �^}`�[`@^_` �=`��� _[@X_^�>@� �=>=}X� )@}=>> &\_�>_\?>|� ( ~� _�}=�:[>=}�\[ )@}=>< &\_�>_\?>| {\{ ?\:{:� >__[@X:<�:< ���!��+��� )��� �"���� ���&����.���+�!�/0�� � ������� �\=\{^@=?��> �@=^\�> =\__�\^=>�\@��� �}X@[@|`�[`<^_` >� !X>_{=@^?}_^�" > !:�=\�[`@�}_^�" � }^[>�>@� ?\�=>�@=� }^ )@}=>>'�^>�\[�?}]} ��=\�[@?>`� >;:�\<�@| ?@�=@=��?�@ :�=\�[`@��@ �=}�@__�� �=}>_�}X`�>@ � =@\[�?}� �=@�@?>�� !��=\�[`@��@ �=}�@__�" _�`;\?� _ �@[}�@�@_{}|X@`^@[�?}_^�<� > >� �}�?} }~?\=:�>^� �=\{^>�@_{> � [<~}| _�@=@ �@[}�@�@_{}|X@`^@[�?}_^>� %_[> �=> �^}� >;:�\@��@ �=}�@__� �} _�}@| �=>=}X@ X>_{=@^?�� ^� @�=\;~>�\<^_` ?\ {}?@�?}@ �>_[} �[@�@?^\=?�� X@|_^�>| &����,�3�� ^} ;X@_� � �}[@X@`^@[�?}_^> )@}=>> &\_�>_\?>|� ][\�?\` ;\X\�\ {}^}=}| � ?\|^> ?\>~}[@@ }�^>�\[�?}@ �������%�� ���}[?@?>` {}?@�?}]} �>_[\ }�@=\�>| �} �=@�@?>� :X}�[@^�}=`

��������������������������������������+@�\_^�`?}� +@=]@| $\_>[�@�>��.?_^>^:^ �\^@�\^>{> >�� +�0� +}~}[@�\ +' &2*��=� 2{\X@�>{\ 6}�^<]\ �� *}�}_>~>=_{� ������� &}__>`�email� seva�math�nsc�ru

Page 98: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

<�@@ ;\X\??�� ^@�?}[}]>�@_{>� }]=\?>�@?>`�� -=> �^}� {=>^@=>| >[> {=>^@=>>�}�^>�\[�?}_^> =\_�>_\?>` �}]:^ ~�^� _\���> =\;?��>� $}^ �}�@�: ^\{ �?}]} =\;?�� ;\X\� � )@}=>> &\_�>_\?>| � �}^}�:� �^} �>;?� �?}]}}~=\;?\¡�^} �?}]}}~=\;>@ �}=}X>[} ;\ �=}�@X�>@ �� [@^ }X?: >; ][\�?�� �=}~[@� )@}=>>

&\_�>_\?>| � �=}~[@�: !�����-�!�&�� =\__�\^=>�\@��� �}X@[@| > ;\X\�� )\{\`{[\__>�>{\�>` ?:�?\ X[` ^}]}� �^}~� [<~�@ X�\ >__[@X}�\^@[`=\_�>_\[��>{\ �}][> � {}?�@ {}?�}� }�=@X@[>^�� >__[@X:<^ [> }?> }X?: > ^: �@ ;\X\�:� >[> ~[>;{>@�>[> �_�^\{> =\;?�@ ;\X\�>� '~�@�=>?`^}| ?\ _@]}X?`�?>| X@?� `�[`@^_` ���6��& )%�! {[\__>�>{\�>` ;\X\� Machine Scheduling� =\;=\~}^\??\` }{}[} �� [@^ ?\;\X0}[�� 0@?_^=}| > &>??::| 6\?}�� -@=�}@ �}[@ � ;\�>_> ;\X\�> >_�}X?} �=@X?\;?\�\[}_� X[` }~};?\�@?>` "�1�%%&3 ���'#� �^}=}@ � X[` ���2&��%�3 � ��2&��"> ^=@^�@ � X[` ;\�>_> �@[@��� �:?{�>|� 'X?\{} ;X@_� X}�}[�?} _{}=} �=\{^>�@_{>� _ �}�@?^\ �};?>{?}�@?>` �^}| {[\__>�>{\�>>� ?\_^:�>[\ �:^\?>�\ � �}[`>_�}[�;}�\[>_� ?@ �} ?\;?\�@?><�*\�=>�@=� =\__�}^=>� ^=> {[\__>�@_{>� ^>�\ �@�}��� ;\X\�� >;�@_^?�� �}X ?\

;�\?>`�> ;\X\� open shop� job shop > �ow shop shop �}\?][>|_{> };?\�\@^ ,�6 ��'~�>� X[` �_@� ^=@� ;\X\� `�[`@^_` _�}|_^�}� �^} X[` {\�X}| }�@=\�>> @@ >_�}[?>^@[� ^� @� �\�>?\� ]X@ �^\ }�@=\�>` X}[�?\ ���}[?`^�_`� >;�@_^@? ;\=\?@@� �^}}~};?\�\@^_` ^@=�>?}� dedicated machines ^� @�� !_�@�>\[>;>=}�\??�@ �\�>?�"�� 2=\;[>�\<^_` �^> ;\X\�> �=@X�>_\??�� �}=`X{}� ���}[?@?>` }�@=\�>| {\�X}| =\~}^�� %_[> ?>{\{>� }]=\?>�@?>| ?\ �}=`X}{ ���}[?@?>` }�@=\�>| =\~}^� ?@ �=@X�>_\?}� ^} >�@@� ;\X\�: open shop� %_[>� ?\}~}=}^� ;\=\?@@ ;\X\? �}[?�| �}=`X}{?\ �?}�@_^�@ }�@=\�>| {\�X}| =\~}^�� ^� @� �_@ }�@=\�>> =\~}^� Jj ��^`?:^� ��}_[@X}�\^@[�?:< �@��� ^} >�@@� ;\X\�: job shop� $ �\_^?}� _[:�\@� {}]X\ �\�@? ?@^}[�{} �}=`X}{ ���}[?@?>` }�@=\�>| =\~}^�� ?} > ^}� � {\{}� �}=`X{@ =\~}^\ �=}�}X>^ �} �\�>?\�� >�@@� ;\X\�: �ow shop� )}�?@@� �}X ¢ow shop � {[\__>�@_{}|�}_^\?}�{@ �}?>�\@^_` ^\{}| _[:�\|� {}]X\ X[` �_@� =\~}^ ���1�)+� >� �=}�}�X@?>` �} �\�>?\� �����!� �� �=>�@�� ?\ {\�X}| �\�>?@ =\~}^\ �}�@^ �}~��\^�^}[�{} }X>? =\;��'�@�>X?}� �^} _�}|_^�} !_�@�>\[>;>=}�\??}_^>" �\�>? }^?}_>^_` { !�\�>??}|

_=@X@"� � ^} �=@�` {\{ }]=\?>�@?>` ?\ �}=`X}{ ���}[?@?>` }�@=\�>| {\�X}| =\~}^�@_^� � �>_^}� �>X@ !^=@~}�\?>@ { =\~}^\�"� 'X?\{} � _^\?X\=^?}| {[\__>�>{\�>>�_@ ^=> ;\X\�> ;\�>_��\<^_` {=\^{}� ~:{�\�> O� J > F � �@=�}� �}[@� . @_[> ^@�@=�>__[@X:@^_` {\{\`^} ?}�\` ;\X\�\ ?\�=>�@=� ;\X\�\ DAG shop� }~}~�\<�\` openshop > job shop ?\ _[:�\| ����% ��*���� �=@X�>_\??}]} �}=`X{\ ?\ �?}�@_^�@ }�@=\�>| {\�X}| =\~}^��� ^} �};?>{\@^ =@;}??�| �}�=}_� {:X\ ;\�>_��\^� }]=\?>�@?>`?\ �}=`X}{ ���}[?@?>` }�@=\�>| =\~}^��5=:]}| �=>�@= !?@�@[@�}]}" >_�}[�;}�\?>` �}[@| � }]=\?>�@?>` ?\ >?^@=�\[�

X}�:_^>�}_^> �\�>? ^\{ ?\;��\@��@� availability constraints�� �^} � �>_^}� �>X@}]=\?>�@?>` !�\�>??}| _=@X�"� }X?\{} ;\�>_��\<^_` }?> �}�@�:^} �} �^}=}� �}[@�> ^� X� +:�@_^�:@^ �?}]} }]=\?>�@?>|� {}^}=�@ }^?}_`^_` {\{ { �\�>?\�� ^\{ > {=\~}^\�� > � �=>?�>�@ ?@ �}?`^?}� � {\{}@ >; X�:� �}[@| >� [:��@ ;\�>_��\^��+{[\X��\@^_` ��@�\^[@?>@� �^} ?>{\{}| !_>_^@��" ?\ _\�}� X@[@ > ?@^� -=}

_^} � :_[}�>`�� {}]X\ ^=@^�@ �}[@ �}?}�}[�?} }{{:�>=:@^_` �@[@�}| �:?{�>@|� �_@}_^\[�?�@ _�}|_^�\ �}X@[> ;\�>_��\<^_` � �@=��@ X�\ �}[` �=@>�:�@_^�@??} ��} �^}=}@ �}[@� �=>�@�� � �\}^>�@_{}� �}=`X{@�� .^\{� �@=��| ?@X}_^\^}{ _:�@_^�:<�@| {[\__>�>{\�>> � @@ ,��+�����+* > (�����+�����+*�

Page 99: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

5=:]>� ?@X}_^\^{}� X@|_^�:<�@| {[\__>�>{\�>> `�[`@^_` �%��1�"" !��+�!��+* ;\�>_> ;\X\�> �^}� {}?@�?} �@� � @_[> �}_�}^=@^� ?\ �@X\[� _ }~=\^?}|_^}=}?�� � `�[`@^_` X}_^}>?_^�}��� *\�=>�@=� �}X @X>?_^�@??}| ~:{�}| !F" _{=��\@^_` �@[�| {}��[@{_ =\;?}=}X?�� }]=\?>�@?>| > _�}|_^� �}X@[>� {\{ ^}�

a2 _�@�>\[>;>=}�\??}_^� �\�>?

b2 �}=`X}{ ?\ �?}�@_^�@ }�@=\�>| Oj {\�X}| =\~}^� Jj� ;\X\�\@��| }=]=\�}� �Gj �Oj� Uj� X[` ;\X\�> !F" ]=\� �Gj `�[`@^_` �@��<�

c2 }]=\?>�@?>` ?\ X[>?� X:] ]=\�\ �Gj � ;\X\�@ !F" �_@ X[>?� X:] >; �Gj =\�?�?:[<�

d2 {}?{=@^?}@ _�}|_^�} ?\~}=\ �\=�=:^}� =\~}^ �} �\�>?\� � ;\X\�@ !F" �_@�\=�=:^� _}��\X\<^ > =\�?� M�� � � � �Mm��

e2 }^?}�@?>` %��&�"���%&��� ?\ �?}�@_^�@ }�@=\�>| {\�X}| =\~}^� Jj� ;\X\�\@�}@ ]=\�}� Gj � ;\X\�@ !F" {\�X�| ]=\� Gj � �}[?�|��

$ �^}| {[\__>�>{\�>> ;\X\�\ 5�}?_}?\ }�@?� !_{[\X?}" ;\�>_��\@^_` ?\ ~:�\]@�F jjCmax� � > �^} ;X}=}�}¡ *} �^} X@[\^�� @_[> �}`�[`@^_` ?}�\` ;\X\�\� }^[>�\<�\`_` }^ �=@X�X:�@| [>�� � }X?}� �:?{^@� ?\�=>�@=� �:?{^@ !d�" �=@X�}[}�>�� �^}>�@@^_` ?@ }X>?� \ X�\ =\;[>�?�� �\=�=:^\ =\~}^ �} �\�>?\��� -}_{}[�{: �:?{^!d�" {\{ ~� !_�=`^\?" �?:^=> \]=@]>=}�\??}]} }~};?\�@?>` �}X@[>� � � ~:{�@ !F"�� ^} X[` ?}�}| ;\X\�> �=>X@^_` >;}~=@^\^� ?}�:< ~:{�:� *} }�@�>X?}� �^} X}�:_^>��� {}�~>?\�>| =\;[>�?�� ;?\�@?>|� {}^}=�@ �}]:^ �=>?>�\^� �:?{^� a��e��]}=\;X} ~}[��@� �@� ~:{� � [\^>?_{}� \[�\�>^@�4@�X: ^@�� \]=@]>=}�\?>@ =\;?}=}X?�� >� ;\�\_^:<� ��%� �����, ]=:�� }]=\

?>�@?>| ?@ @_^� [>�� �=}~[@�\ }~};?\�@?>|� �:�@ ^}� �^} �?}]>@ =@\[�?} _:�@_^�:<�>@ � �>;?> ;\X\�> X} _>� �}= ?@ >__[@X}�\?� ^@}=>@| [>�� �}^}�:� �^}X@|_^�:<�\` {[\__>�>{\�>` ;\X\� ?@ _�}_}~?\ >� >X@?^>�>�>=}�\^��

)=@^�>� _:�@_^�@??�� ?@X}_^\^{}� X@|_^�:<�@| {[\__>�>{\�>> ;\X\� `�[`@^_`>;[>�?`` )%��+* -�����*��, ����!� }�=@X@[`<�>� �?}]}}~=\;>@ �}X@[@|� =\__�\^=>�\@��� )@}=>@| &\_�>_\?>|� +@|�\_ _^\?}�>^_` }�@�>X?��� �^} ?@ ^}[�{}�}^=@~?}_^> �=\{^>{> ?\�?}]} �>=@ �^>� =\�}{� ?} > _\�\ ^@}=>` X\�?} �@=@=}_[\�^> =\�{> � }?> @| }�=@X@[@??} !��:^"� 5@|_^�>^@[�?}� � �}_[@X?@| �@=_>> {[\__>�>{\�>> ;\X\� )&� >;[}�@??}| � ���� ]}X: � ��}�\[�?}| =\~}^@ �@?\� -}^^_\ >$�]>?]@=\ ��� >�@?:@�}| � ?\=}X@ �=}_^} !Bible"�� � }_?}�: {[\__>�>{\�>> �}[}�@?� � }]=\?>�@?>`�

�� {\�X\` }�@=\�>` �=>?\X[@�>^ ^}[�{} ����3 ��(�+�

�� {\�X\` }�@=\�>` ���}[?`@^_` ?\ ����3 ��1���

�� ?>{\{>@ X�@ }�@=\�>> }X?}| =\~}^� ?@ �}]:^ ���}[?`^�_` }X?}�=@�@??}

�� ?>{\{>@ X�@ }�@=\�>> ?@ �}]:^ }X?}�=@�@??} ���}[?`^�_` ?\ }X?}| �\�>?@�

Page 100: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

'X?\{} X\�?} :�@ =\;=\~\^��\@^_` ?\�=\�[@?>@ >__[@X}�\?>|� ?\;��\@�}@ multi�processor tasks� � {}^}=}� }�@=\�>` �}�@^ ^=@~}�\^� ���!��*!� ��1�� ���� ��������� �^} ���)1��+ +��(� ���� ��$ =`X@ >__[@X:@��� �}X@[@| ?\=:�\@^_` +��(� ���� �� *\�=>�@=� � ;\X\�@ }

_~}=}�?}| [>?>> �}�^> �_@ }�@=\�>> =\~}^� ���}[?`<^_` �\=\[[@[�?} > ?@;\�>_>�} X=:] }^ X=:]\� > ^}[�{} �}_[@X?`` }�@=\�>` =\~}^� !_~}={\"� X@[\@^_` �}_[@^}]}� {\{ ;\�@=�@?� �_@ }_^\[�?�@ }�@=\�>>� )\{�@ [@]{} �}?`^�� �^} @_[> �}X !=\~}^}|" �}?>�\@^_` _}�}{:�?}_^� }�@=\�>| �} _};X\?>< {\{}]}^} {=:�?}]} }~�@{^\\�^}�}~>[`� _\�}[@^\� �}X�}X?}| [}X{>�� ^} �?}]>@ }�@=\�>> ^\{}| =\~}^� �}]:^���}[?`^�_` �\=\[[@[�?} �} �=@�@?>�

'��(� ���� � }�@�>X?�� }~=\;}� ?\=:�\@^_` � ^\{ ?\;��\@��� batch�}X@[`��]X@ =\~}^� ]=:��>=:<^_` � !�\�{>"� ?\X {}^}=��> ?\ �\�>?\� ���}[?`<^_` /�+���&�#� &����,��� .;X@[>`� ��}X`�>@ � }X?: !�\�{:"� }X?}�=@�@??} �}_^:�\<^ ?\�\�>?: > }X?}�=@�@??} :�}X`^ _ ?@@� \ X[>^@[�?}_^� ]=:��}�}| }�@=\�>> ���>_[`@^_` �@=@; X[>^@[�?}_^> _}_^\�[`<�>� @@ >?X>�>X:\[�?�� }�@=\�>| �} }�=@X@[@??}| �}=�:[@ �^} �}�@^ ~�^�� ?\�=>�@=�

Ppi� [>~} maxpi� [>~} �^}?>~:X� ~}[@@

_[}�?}@�� *\][`X?�| �=>�@= ^\{}| ]=:��}�}| }�@=\�>> � _^>={\ ?@_{}[�{>� >;X@[>| � _^>=\[�?}| �\�>?@�*\{}?@�� ?@^=:X?} �=@X[}�>^� �}X@[�� � {}^}=}| {\{>@^} }�@=\�>> �=>?\X[@�\^

}X?}�=@�@??} ?@_{}[�{>� =\~}^\� � =@;:[�^\^@ ���)1��+�" +��(� ���� ��6=}�@ �@=@�>_[@??�� ���@ �@^�=@� !{\?}?>�@_{>�" ^=@~}�\?>| X=:]>� }]=\?>

�>�\<�>� �\{^}=}� `�[`@^_` �������� �����+* ����������3 X} :=}�?` =\~}^�-}`_?>� ?\ �=>�@=\�� �^} >�@@^_` � �>X:�$ �?}]}_^\X>|?�� �}X@[`� )& ^\�� ]X@ {\�X\` =\~}^\ _}_^}>^ >; ?@_{}[�{>�

}�@=\�>|� �\_^} =\__�\^=>�\<^_` }]=\?>�@?>` �=@X�@_^�}�\?>` ?\ �?}�@_^�@ =\~}^� �^} }~};?\�\@^_` _[}�}� prec }^ !precedence constraints"�� '?> ;\X\<^_` ]=\�}� G � J � UJ �� ]X@ ?\[>�>@ X:]> u � J�� J�� � UJ };?\�\@^ ?\[>�>@ }]=\?>�@?>`�!=\~}^\ J� ���}[?`@^_` =\?��@ =\~}^� J�"� �\�@ �_@]} �^\ �=\;\ X@^\[>;>=:@^_`_[@X:<�>� }~=\;}�� {\�X\` }�@=\�>` =\~}^� J� �=@X�@_^�:@^ �_@� }�@=\�>`� =\~}^� J�� )\{>� }~=\;}�� }]=\?>�@?>` prec _�}_}~?� }^=\�\^� ^}[�{} X�@ {=\|?>�_>^:\�>>�� [>~} �� }�@=\�>> =\~}^� J� X}[�?� �=@X�@_^�}�\^� ��� }�@=\�>`� =\~}^�J� � [>~} ��!�!�, }^?}�@?>| �=@X�@_^�}�\?>` �@�X: }�@=\�>`�> =\~}^ J� > J� ?@;\X\?}�*} `_?}� �^} �}]:^ _:�@_^�}�\^� > ~}[@@ _[}�?�@ }^?}�@?>` �=@X�@_^�}�\?>` �@�X: �\=\�> }�@=\�>|� �=>?\X[@�\�>� =\;?�� =\~}^\�� �^}~� >� }^=\;>^�� ?@}~�}X>�} �@=@|^> }^ }^?}�@?>| �=@X�@_^�}�\?>` �@�X: =\~}^\�> { }^?}�@?>`� �=@X�@_^�}�\?>` ?\ �?}�@_^�@ ��, }�@=\�>|�5=:]}| �=>�@= !>;[>�?@ \]=@]>=}�\??�� }]=\?>�@?>|" � ^=@~}�\?>@ no wait�

{}]X\ �� }�@=\�>> }X?}| =\~}^� X}[�?� ���}[?`^�_` �}X=`X� ~@; ;\X@=�@{� *@^=:X?} �}?`^�� �^} !� �=>=}X@" _:�@_^�:<^ �}X@[>� ]X@ �^> ^=@~}�\?>` �}=�:[>=:<^_` [>�� X[` }^X@[�?�� �\= }�@=\�>|� ?} ?@ }~`;\^@[�?} X[` �_@� }�@=\�>| }X?}|=\~}^��. ^=@^>| �=>�@= >; �^}| _@=>> � \]=@]>=}�\??}_^� }]=\?>�@?>| ?\ �=@=��\

?>` }�@=\�>|� +[}�}� pmtn }~��?} }~};?\�\@^_` _[:�\|� {}]X\ =\;=@�\@^_` [<~}@�>_[} �=@=��\?>| [<~}| }�@=\�>>� $ ^} �@ �=@�` }^_:^_^�>@ �^}]} _[}�\ � ;\�>

Page 101: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

_> ;\X\�> };?\�\@^ _}][\_?} X@|_^�:<�@| {[\__>�>{\�>>� %����0���� �/(�,����� ���3 }�@=\�>|� $?}�� �� ?\~[<X\@�� �^} >__[@X:<^_` X�@ {=\|?>@ �}[`=?�@� _>^:\�>> > _}�@=�@??} :�:_{\<^_` >; =\__�}^=@?>` �=}�@�:^}�?�@ _>^:\�>>�%_^@_^�@??} �=@X�}[}�>^�� �^} {\{>@^} }�@=\�>> �} _�}@| �=>=}X@ X}�:_{\<^ �=@=��\?>`� \ {\{>@^} � ?@ X}�:_{\<^��$};�}�?}� {^}^} _{\�@^� �^} � ^@}=>> X}_^\^}�?} >__[@X}�\^� [>�� !�>_^�@"�

>[> {=\|?>@ _>^:\�>>� \ !_�@�\??�@"� >[> �=}�@�:^}�?�@ _>^:\�>> ?>�@]} ?}�}]} X[` \?\[>;\ _>^:\�>> X\^� ?@ �}]:^� � -};�}[�^@ �};=\;>^�� �^} �^} ?@ ^\{¡$ ?@{}^}=�� _[:�\`� _�@�@?>@ X�:� !�>_^��" �}X@[@| �}=}�X\@^ _�@�\??:< �}X@[�� }~[\X\<�:< {\�@_^�@??} ?}���> _�}|_^�\�>� {\{>� ?@ ~�[} : !=}X>^@[�_{>��}X@[@|"� -=>�@X@� ?@_{}[�{} �=>�@=}� ^\{>� _>^:\�>|�5[` {\�X}| >; X�:� !�>_^��" �}X@[@| open shop > job shop _ =\;=@�@?>@� �=@

=��\?>| _�=\�@X[>�} _�}|_^�}� _}][\_?} {}^}=}�: X}_^\^}�?} }]=\?>�>^�_` =\__�}^=@?>@� =\_�>_\?>| _ �=@=��\?>`�> � �@[}�>_[@??�� ^}�{\� >�@@^_` � �>X:� �^}X[>^@[�?}_^> �_@� }�@=\�>| �@[}�>_[@??��� 'X?\{} @_[> ;\X\?\ _�@�\??\` �}X@[��� {}^}=}| �\_^� =\~}^ ���}[?`@^_` �} ^@�?}[}]>> open shop� \ }_^\[�?�@ � �}^@�?}[}]>> job shop� ^} _�}|_^�} �@[}�>_[@??}_^> }�^>�\[�?}]} =\_�>_\?>` �}�@^?\=:�\^�_`� /}[@@ ^}]}� X[>?\ }�^>�\[�?}]} =\_�>_\?>` �}�@^ }{\;\^�_` ?@�@[���>_[}�¡5=:]}| �=>�@= � ^@ �@ ;\X\�> open shop > job shop _ ;\�=@�@?>@� �=@=��\?>|�

5[` {\�X}| >; �^>� ;\X\� �=}�@={\ _:�@_^�}�\?>` X}�:_^>�}]} =\_�>_\?>` X[>?�� ���}[?>�\ ;\ �}[>?}�>\[�?}@ �=@�`� $ ^} �@ �=@�`� ^\ �@ ;\X\�\ ?\ _�@�\??}|�}X@[> `�[`@^_` NP�}[?}| �=}~[@�}|�)\{>� }~=\;}�� _^\=\` _�@�\ {[\__>�>{\�>> ;\X\� )&� }_?}�\??\` ?\ ;\[}�@?

?�� �� [@^ ?\;\X �=>?�>�\�� _^\?}�>^_` `�?�� ^}=�};}� ?\ �:^> =\;�>^>` ^@}=>>�> {=}�@ ^}]}� `�[`@^_` �=@�`^_^�>@� X[` �=>[}�@?>| �^}| ^@}=>> { �=\{^>�@_{>�;\X\�\�� �}_{}[�{: ?@ �};�}[`@^ \X@{�\^?} �}X@[>=}�\^� �?}]>@ =@\[�?�@ �=}�@__�� *@}~�}X>�} =\;=\~}^\^� ?}�:< {[\__>�>{\�>< ;\X\� )&� � }_?}�: {}^}=}|� {\{�>X>^_`� X}[�?� ~�^� �}[}�@?� _[@X:<�>@ �=>?�>���

A� 4���&�� 5�����%� � ���+�%�6 *@}~�}X>�} ���[@?>^� ?\>~}[@@ �[@�@?^\=?�@ > �} �};�}�?}_^> ?@;\�>_>��@ _}_^\�[`<�>@ _:�@_^�:<�>� �}X@[@| )& �?@{>@ !?@X@[>��@ \^}��"� >; {}^}=�� {\{ >; !{>=�>�>{}�" �}�?} ~�[} ~� _{}?_^=:>=}�\^� [<~:< ;\X\�: )&� *\�=>�@=� � �^>� ^@=�>?\� !_^\=�| {>=�>�"� }~};?\�\@��| ~:{�}| !F"� X}[�@? ~�^� =\;[}�@? ?\ � �[@�@?^\=?�� {>=�>�>{}� ?}�}|_�@�� {[\__>�>{\�>>�� +<X\ �@ }^?}_>^_` _?>�@?>@ :=}�?` }]=\?>�@?>| X} }�@=\�>}??}]} ?\>~}[@@ �[@�@?^\=?}]}� :=}�?`� 6\{ �� :~@X>[>_� ���@� �^} �};�}[`@^�}=�:[>=}�\^� }]=\?>�@?>` � ?\>~}[@@ }~�@| �}=�@�

B� 4���&�� ���(��*1�3 �(0���+�� �}=�:[>=}�{> �[@�@?^\=?�� }]=\?>�@?>| � �\{_>�\[�?} }~�@| �}=�@ ?@ X}[�?� �}=�\[�?} �=}^>�}=@�>^� X=:]>�}]=\?>�@?>`�� �^}| �@[> _�}_}~_^�}�\[} ~� }�>_\?>@ ?@{}@| *2K�3 �&'� � @V�� {}^}=}| �_@ ^>�� }]=\?>�@?>| ~�[> ~� ?@�=}^>�}=@�>�} :�`;\?� � ?\>~}[@@ }~�@| �}=�@� -=> �^}� {\�X\` {}?{=@^?\` ;\X\�\ )&� }�>_��\@�\` ?\�@| {[\__>�>{\�>@|� �}][\ ~� ~�^� �=@X_^\�[@?\ {\{ �\_^?\` _�@�>�>{\�>` '~�@| 4}X@[>� _:{\;\?>@� {}?{=@^?}| �@[@�}| �:?{�>> >[> �:?{�>|��

$ {\�@_^�@ �@=�}]} :=}�?` \?\[>;\ �}X@[> �=@X[\]\@^_` =\;~>^� @@ ?\ _[@X:<�>@�� �}[@|�

Page 102: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

�� �\�>??\` _=@X\

�� =\_�=@X@[@?>@ }�@=\�>| �} =\~}^\�

�� !]=:��}��@" }]=\?>�@?>` }]=\?>�@?>` ?\ }~�@X>?@?>@ }�@=\�>| � !�\�{>"

�� =@_:=_?�@ }]=\?>�@?>`

�� }]=\?>�@?>` ?\ �=@=��\?>` }�@=\�>|

�� }]=\?>�@?>` �=@X�@_^�}�\?>` > ?@_}��@_^?}_^> }�@=\�>| ;X@_� �@ � }]=\?>�@?>` ?\ ?\~}=� �\=�=:^}� =\~}^ �} �\�>?\��

�� _�@�>�>{\ X[>^@[�?}_^@| }�@=\�>| � �\_^?}_^>� X[>^@[�?}_^>� ;\�>_`�>@ }^=@_:=_}�� }^ �=@�@?> >[> =\_�>_\?>` ;X@_� �@ � �}=�:[� ;\�>_>�}_^> X[>?]=:��}��� }�@=\�>| }^ _}_^\�[`<�>� >� �[@�@?^\=?�� }�@=\�>|�

�� }]=\?>�@?>` ?\ X}�:_^>��@ �@=>}X� �=@�@?> X[` ���}[?@?>` }^X@[�?�� }�@=\�>| � =\�{\� �^}]} � }]=\?>�@?>` ?\ X}_^:�?}_^� �\�>?� X>=@{^>�?�@_=}{> > �}�@?^� �}_^:�[@?>` =\~}^�

�� _�@�>\[�?�@ ^=@~}�\?>` ?\�=>�@=� �������%&�&.%&��) =\_�>_\?>`� _<X\�}�?} �=@�@??} }^?}_>^� =\;[>�?�@ �{;}^>�@_{>@ }]=\?>�@?>`� ?@ �}=�:[>=:@��@ � =\�{\� �=@X�X:�>� �:?{^}�

��� �@[@��@ �:?{�>> ;\X\�>�

']=\?>�@?>`� �}=�:[>=:@��@ � {\{}�^} �}[@� � _�}< }�@=@X� �}]:^ ;\�>_@^� }^?@_{}[�{>� ?@;\�>_>��� �\=\�@^=}�� *\�=>�@=� �\=\�@^=\�> �}[` � �}]:^ ~�^��>_[} =\~}^ n > �\{_>�\[�?}@ �>_[} }�@=\�>| }X?}| =\~}^� � �� )=@^>| �\=\�@^==\;=@�\@^ >[> ?@ =\;=@�\@^ ?\[>�>@ � _>_^@�@ }�@=\�>|� �=>?\X[@�\�>� }X?}�=@�@??} ?@_{}[�{>� =\~}^\��� $ �=}�@__@ X@^\[>;\�>> �}X@[> ^=@~:@^_` X[` {\�X}]}>; ?@;\�>_>��� �\=\�@^=}� �}[` ��~=\^� �\=>\?^ }]=\?>�@?>| >; _�>_{\ �};�}�?�� }]=\?>�@?>|� *\�=>�@=� _:�@_^�@??} =\;[>�?��> _ ^}�{> ;=@?>` _[}�?}_^>^}�?}]} [>~} �=>~[>�@??}]} =@�@?>` ;\X\�> �}]:^ }{\;\^�_` _[:�\> n � �� n � ��n � c ]X@ c � �=}>;�}[�?\` {}?_^\?^\� > !" �^} };?\�\@^� !n � ?>�@� ?@ }]=\?>�@??\` �@=@�@??\`"��*@ >_{[<�\@^_` �}_[@X:<�@@� ~}[@@ �[@�@?^\=?}@ X=}~[@?>@ �}[@|� $_�}�?>��

�^} {}]X\^} _�>^\��>|_` ?@X@[>��� ��&" ~�[ �};X?@@ �}X@[@? ?\ ~}[@@ �[@�@?^\=?�@ !{>=�>�>{> �>=};X\?>`"��

)\{\` _�@�\ {[\__>�>{\�>> \ _[@X}�\^@[�?}� ;\�>_>� ;\X\� )& �}�@^ {}]}^};X}=}�} ?\�:]\^�� � 5@|_^�>^@[�?}� {:X\{\{ �=}�@ ?\�>_\^� F jjCmax� �@� �@=@�>_[`^� ;?\�@?>` �_@� �\=\�@^=}� �� �}[@|� �^}~� :_�}{}>^� \:X>^}=><� �}�?};\�@^>^�� �^} X[` {[\__>�@_{>�� X\�?} >;�@_^?�� ;\X\� �}�?} � _^\^�`� >_�}[�;}�\^� _^\=�@ }~};?\�@?>`� *}��@ �}?\X}~`^_` ^}[�{} X[` ^@� ;\X\�� {}^}=�@ ?@��>_��\<^_` � _^\=:< _�@�:� $}�^}=��� � ;\�>_> ;\X\�> �}�?} >_�}[�;}�\^� �=>@� !:�}[�\?>`"� {}]X\ }X?} >; ;?\�@?>| {\�X}]} �\=\�@^=\ }~��?} � ?\>~}[@@�\_^} >_�}[�;:@�}@ ;?\�@?>@� �=>?>�\@^_` ;\ ;?\�@?>@ !�} :�}[�\?><" ^� @� }^_:^_^�>@ ;\�>_> };?\�\@^� �^} �\=\�@^= �=>?>�\@^ �^} _\�}@ ;?\�@?>@�� . �^=@^�>��}_?}�?}@ �=@X?\;?\�@?>@ ?}�}| _�@�� {[\__>�>{\�>> ;\X\� �} {=\|?@| �@=@� ?\

Page 103: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

�@=�}� �^\�@� �>X>^_` ?@ _^}[�{} � >_�}[�;}�\?>> �^>� }~};?\�@?>| � _^\^�`� �{}?�@ {}?�}�� �}�?} }]=\?>�>�\^�_` �}[?}| ;\�>_�< �}X@[>� ~@; >_�}[�;}�\?>` ���}[�?}| {}X>=}�{>�� _{}[�{} � � ~:X:�@| ��(� ��%%#6 @V� {}^}=\` _}X@=�\[\ ~�}�>_\?>@ �_@� �}[:�@??�� � )& =@;:[�^\^}�� 5[` \�^}�\^>�@_{}| >X@?^>�>{\�>>;\X\�> � ^\{}| ~\;@ X\??�� ^=@~:@^_` �=@X@[�?\` X@^\[>;\�>` �}X@[>��^} {\_\@^_` ��(# ��%%#6 @V� ?\ �=}�@X�@� � \�=@[@ �^}]} ]}X\ {=:][}� _^}[@

�]} 4@�X:?\=}X?}]} _@�>?\=\ PMS����� Project Management and Scheduling������$\[@?_>`� ��� 2�=@[` ���� ]�� ~�[} �=>;?\?}� �^} ?\[>�>@ ^\{}| >?�}=�\�>}??}|~\;� �}][} ~� _:�@_^�@??} >?^@?_>�>�>=}�\^� >__[@X}�\?>` � �^}| }~[\_^>� > �^}_};X\?>@ �^}| ~\;� X\�?} ?\;=@[}� '~_:�X\[>_� ^\{�@ �=>?�>�� }=]\?>;\�>> ^\{}|��(# ��%%#6� }X?\{} �^\ ^@�\ ^=@~:@^ ~}[@@ X@^\[�?}]} =\__�}^=@?>` � =\�{\�X=:]}]} X}{[\X\�

.__[@X}�\?>@ ���}[?@?} �=> �>?\?_}�}| �}XX@=�{@ &}__>|_{}]} �}?X\ �:?X\�@?^\[�?�� >__[@X}�\?>| �=}@{^ ���������� > �@X@=\[�?}| �@[@�}| �=}]=\���!.?^@]=\�>`" �=}@{^ �����

0.)%&2)�&2

�� Chen B�� Potts C�N�� Woeginger G�J� A review of machine scheduling� complexity�algorithms and approximability�� Handbook of Combinatorial Optimization� Boston�Kluwer Acad� Publ�� V� �� ����� P� �������

Page 104: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

*%$,-�60'% 6$25&2).�*'% -&'3&244.&'$2*.%

'� $� �\�>_}�

8\X\�@| ?@���:{[}]} {�\X=\^>�?}]} �=}]=\��>=}�\?>` ~:X@� ?\;��\^� _[@X:<�:< ;\X\�:

q�x� min� ��

qix� � �� i � �� ����m� ��

qix� � �� i � m� �� ����m� l� ��

x � X � En� ��

]X@ qix�� i � �� �� ����m� l � ?@ }~`;\^@[�?} ���:{[�@ {�\X=\^>�?�@ �:?{�>>

qix� � xTQix� ci�Tx� ri�

�\^=>�� Qi �}]:^ >�@^� {\{ �}[}�>^@[�?�@� ^\{ > }^=>�\^@[�?�@ _}~_^�@??�@�>_[\� ci � En� ri � _{\[`=?�@ �@[>�>?�� �?}�@_^�} X @_^� ���:{[}@ �?}�@_^�}�=}_^}| _^=:{^:=�� ?\�=>�@=� �\=� �\=\[[@[@�>�@X >[> �_@ �=}_^=\?_^�} En�$ X}{[\X@ =\__�\^=>�\<^_` ?@}~�}X>��@ > X}_^\^}�?�@ _:�@_^�:<�>@ :_[}�>`

][}~\[�?}| }�^>�\[�?}_^> X[` ;\X\�> ������ _=\�?>�\<^_` =\;[>�?�@ �@^}X� @@=@�@?>`� �=>�}X`^_` =@;:[�^\^� �>_[@??}]} �{_�@=>�@?^\�-=@�X@ �_@]} =\__�}^=>� �=>�@?@?>@ {[\__>�@_{>� ?@}~�}X>��� :_[}�>| }�^>

�\[�?}_^> �@=�}]} �}=`X{\ ��� { =@�@?>< ;\X\�> ������ -=@X�}[}�>�� �^} X � En

> �@=@�>�@� }]=\?>�@?>` �� � �>X@ }]=\?>�@?>|=\�@?_^�

qix� y� � qix� � y�i � �� i � �� ����m� ���

y � Em� *@}~�}X>��@ :_[}�>` �@=�}]} �}=`X{\ �=@X_^\�[`<^ _}~}| _>_^@�: =\�@?_^�

��rq�x� �mXi�

�irqix� y� �mlX

im�

�irqix� � �� ��

qix� y� � �� i � �� ����m� qix� � �� i � m� �� ����m� l ��

}^?}_>^@[�?} �@=@�@??�� � � Eml� > x� y� *\|X` �_@ =@�@?>` _>_^@�� ����� >��~=\� >; ?>� X}_^\�[`<�@@ �>?>�:� �@[@�}| �:?{�>> q�x�� �� =@�>� =\__�\^=>�\@�:< ;\X\�: ?@���:{[}]} {�\X=\^>�?}]} �=}]=\��>=}�\?>`� $_` _[}�?}_^�X\??}]} �}X�}X\ ;\{[<�\@^_` � ?\�}�X@?>> �_@� =@�@?>| _>_^@�� ������ 5\??\`_>_^@�\ �=@X_^\�[`@^ _}~}| _>_^@�: {�\X=\^>�?�� =\�@?_^� > �}�@^ ~�^� =@�@?\\[]@~=\>�@_{>�> �@^}X\�>� }_?}�\??��> ?\ �}?`^>> ~\;>_}� 3=@~?@=\ ���� '_?}�?\` >X@` \[]@~=\>�@_{>� �@^}X}� _}_^}>^ � }~}~�@?>> �@^}X\ >_{[<�@?>` 3\:__\X[` =@�@?>` _>_^@� �}[>?}�>\[�?�� :=\�?@?>|� -=>�[@{\^@[�?}_^� �^>� �@^}X}�;\{[<�\@^_` � ^}�� �^} _ �}�}��< >� �}�?} =@�\^� ;\X\�> �\[}| =\;�@=?}_^>�

���������������������������������������\�>_}� '[@] $\[@=�@�>��.?_^>^:^ _>_^@� �?@=]@^>{> >�� 0�2� 4@[@?^�@�\�:[� 0@=�}?^}�\� ���� .={:^_{� ������� &}__>`�email� khamisov�isem�sei�irk�ru

Page 105: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

>�@` ^}[�{} =:�{: > ~:�\]:� ._�}[�;:` _>_^@�: {}���<^@=?}| \[]@~=� Maple� �}�?} _:�@_^�@??} :�@[>�>^� �};�}�?}_^> =@�@?>` =\__�\^=>�\@��� ;\X\�� 5[` ;\X\�~}[��}| =\;�@=?}_^> �=>�@?@?>@ \[]@~=\>�@_{>� �@^}X}� ?\^\[{>�\@^_` ?\ ^=:X?}_^>� _�`;\??�@ _ ?@}~�}X>�}_^�< }�@=>=}�\^� }X?}�@=?��> �}[>?}�\�> _ }�@?�~}[��>�> _^@�@?`�>� \ =@\[>;\�>> ?\ {}���<^@=@ ^=@~:<^ ~}[��}]} }~�@�\ }�@=\^>�?}| �\�`^>�$ }~�@� _[:�\@ �@=@~}= _^\�>}?\=?�� ^}�@{ �}�@^ }{\;\^�_` ~}[@@ ^=:X}@�{}|

�=}�@X:=}|� �@� �@=@~}= �@=�>? n�@=?}]} {:~\� � ���� �=>�@X@? �=>�@=� �=@X_^\�[`<�>| _}~}| �\_^?�| ;\X\�> ������ � {}^}=}� >�@@^_` �n _^\�>}?\=?�� ^}�@{� $_�`;> _ �^>� > ?@ ^}[�{}� �@=�}_^@�@??:< �\�?}_^� �=>}~=@^\<^ ?@}~�}X>��@ > X}_^\^}�?�@ :_[}�>` ][}~\[�?}]} �>?>�:�\ � =\__�\^=>�\@�}| ;\X\�@� 6 _}�\[@?><�� ?\_^}`�@@ �=@�` ?@ _:�@_^�:@^ ?@�@=@~}=?�� {}?_^=:{^>�?�� �@^}X}� �=}�@={>`�[`@^_` [> X\??\` ^}�{\ ^}�{}| ][}~\[�?}]} �>?>�:�\ � ?@���:{[}| {�\X=\^>�?}| ;\X\�@� +:�@_^�:<�>@ {=>^@=>> ][}~\[�?}| }�^>�\[�?}_^> >�@<^ �@_^} [>~}X[` _�@�>\[�?�� _[:�\@� ;\X\�> ������ [>~} �=> X}�}[?>^@[�?�� �@_^{>� :_[}�>`� ?\ �@[@�:< �:?{�>< > �:?{�>>}]=\?>�@?>`� *\>~}[@@ ?@^=>�>\[�?��� ?\ ?\��;][`X� �\_^?�� _[:�\@� `�[`@^_` ;\X\�\ �>?>�>;\�>> {�\X=\^>�?}| �:?{�>> �=>}X?}� {�\X=\^>�?}� }]=\?>�@?>> =\�@?_^�@

xTQ�x� c��Tx� r� min� ��

q�x� � xTQ�x� c��Tx� r� � �� ��

+�=\�@X[>�\ _[@X:<�\`'������ �� ����� >+��) Q� �� � �

�� � infx�En

q�x� � � � supx�En

q�x� � ���

@&/'� �&.�� x� +'&� ���&�!8K�! q�x� � �� !� !���! �&.�&3 / &2� )%&/& "�%�"+�"� (�'�.� 4�5�4�5 �&/'� � �& )�& �&/'�� �&/'� �+K����+�� "%&-��� ) � ���&3�.�&�� �Q� � �Q��x� c� � �c� � � �� "����,� Q� � �Q�%�&���,��� )%& &���'� �%��-}_{}[�{: {�\X=\^>�?}@ }]=\?>�@?>@?@=\�@?_^�} �}�@^ ~�^� �=@}~=\;}�\?} � {�\X=\^>�?}@ }]=\?>�@?>@=\�@?_^�} X}~\�[@?>@� �_�}�}]\^@[�?}| �@=@�@??}|_�� ����� ^} X}�}[?`` ^@}=@�: � :_[}�>@� ?@}^=>�\^@[�?}_^> �?}�>^@[` � > :_[}�>@� X}�}[?`<�@| ?@�@_^{}_^>� �}[:�>� {=>^@=>| ][}~\[�?}| }�^>�\[�?}_^> X[`;\X\�> _ }X?>� }]=\?>�@?>@�?@=\�@?_^�}��5[` ;\X\�> _ }X?>� }]=\?>�@?>@� =\;=\~}^\? ^\{�@ > �}[>?}�>\[�?�| \[]}

=>^� ?\�}�X@?>` ][}~\[�?}]} �>?>�:�\ ����� .X@`� {}^}=\` [@�>^ � }_?}�@ �^}]}\[]}=>^�\� ~�[\ ��_{\;\?\ *� 8��}=}� � ���� %_[> ;\�>_\^� ;\X\�:� X�}|_^�@??:<{ ;\X\�@ ������ ^} � �^}| ;\�>_> ~:X@^ �>]:=>=}�\^� �\^=>�\

Q�� �X

�iQi�

$ _[:�\@ X � En X[` �}[:�@?>` ?@^=>�>\[�?�� X�}|_^�@??�� }�@?}{ ?@}~�}X>�}��^}~� �\^=>�\ Q�� ~�[\ ?@}^=>�\^@[�?} }�=@X@[@?\� '_}~�| >?^@=@_ �=@X_^\�[`<^ _}~}| ?@���:{[�@ ;\X\�> _ ?:[@��� =\;=��}� X�}|_^�@??}_^>� $ �\_^?}_^>� ;\X\�\ _ }X?>� {�\X=\^>�?�� }]=\?>�@?>@� �}�@^ _[:�>^� �=>�@=}� ;\X\�>

Page 106: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

_ ?:[@��� =\;=��}� X�}|_^�@??}_^>� -}X}~?�| =@;:[�^\^ �}[:�\@^_` > � _[:�\@ _X�:�` }]=\?>�@?>`�>?@=\�@?_^�\�>� ;\X\??��> ���:{[��> {�\X=\^>�?��> �:?{�>`�> ���� $ ;\X\�\x _ ^=@�` > ~}[@@ }]=\?>�@?>`�> �}�@^ ~�^� ?@?:[@�}| =\;=��X�}|_^�@??}_^>� )@� ?@ �@?@@� {\{ :^�@=�X\@^_` � ����� X�}|_^�@??�@ }�@?{> `�[`<^_` X}_^\^}�?} �}=}�>�> \ � =`X@ _[:�\@� > _\���> [:��>�>� }�@?{\�> _?>;:][}~\[�?}]} �>?>�:�\ � ;\X\�@ ������ *\>~}[@@ ^=:X}@�{}| �=> ^\{}� �}X�}X@�=@X_^\�[`@^_` }�@=\�>` �=}�@={> ?@}^=>�\^@[�?}| }�=@X@[@??}_^> �\^=>�� Q���$ ��� X[` =@�@?>` X�}|_^�@??}| ;\X\�> �=@X[\]\@^_` >_�}[�;}�\^� �@^}X� ?@X>��@=@?�>=:@�}| }�^>�>;\�>>� $ �}_[@X?@@ �=@�` ~:=?} =\;�>�\@^_` ?}�}@ ?\�=\�[@?>@ �\^@�\^>�@_{}]} �=}]=\��>=}�\?>` �}[:}�=@X@[@??}@ �=}]=\��>=}�\?>@semide�nite programming�� 8\X\�@| [>?@|?}]}� �}[:}�=@X@[@??}]} �=}]=\��>=}�\?>` ?\;��\@^_` _[@X:<�\` ;\X\�\

C �X min� ��

AX� � b� ���

X � �� ���

]X@ C�X n � n �\^=>��� C �X _[@X �\^=>�� CX� b � Em� AX��i _[@X �\^=>��AiX�Ai ;\X\??�@ _>��@^=>�?�@ n � n �\^=>��� ?@=\�@?_^�} ��� };?\�\@^� �^}�\^=>�\ X ?@}^=>�\^@[�?} }�=@X@[@?\� )\{>� }~=\;}�� ;\X\�\ �}[:}�=@X@[@??}]}�=}]=\��>=}�\?>` @_^� ;\X\�\ [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>`� � {}^}=}| �@{^}= �@=@�@??�� ;\�@?`@^_` �\^=>�@| �@=@�@??��� \ :_[}�>` ?@}^=>�\^@[�?}_^> �@=@�@??��;\�@?`<^_` ?\ :_[}�>@ ?@}^=>�\^@[�?}| }�=@X@[@??}_^> >[> �}[}�>^@[�?}| �}[:}�=@X@[@??}_^>�� �_�@� � =@�@?>> ;\X\�> ������ _�`;\? _ �=>�@?@?>@� �@^}X}��?:^=@??>� ^}�@{ ���� � }�=@X@[@??}� _��_[@ \�^}�\^>�@_{> :�>^��\<�>� :_[}�>@?@}^=>�\^@[�?}| }�=@X@[@??}_^>� $ ���� �}{\;\?}� �^} ;\X\�\ �}[:}�=@X@[@??}]}�=}]=\��>=}�\?>`� X�}|_^�@??\` { ������� �{�>�\[@?^?\ ;\X\�@� X�}|_^�@??}| {������ +[@X}�\^@[�?}� �=>�@?`` �}[>?}�>\[�?�@ \[]}=>^�� �?:^=@??>� ^}�@{�=\;=\~}^\??�@ X[` =@�@?>` ;\X\� �}[:}�=@X@[@??}]} �=}]=\��>=}�\?>`� �}�?} X}_^\^}�?} ~�_^=} �}[:�>^� X�}|_^�@??:< }�@?{: ][}~\[�?}]} �>?>�:�\ ;\X\�> ������ $ X}{[\X@ X\@^_` ~}[@@ �}X=}~?}@ }�>_\?>@ �^}]} �}X�}X\�5[` =@�@?>` �\_^?}]} _[:�\` ;\X\�> ?@���:{[}]} {�\X=\^>�?}]} �=}]=\��>=}

�\?>`� � {}^}=}� Qi � �� i � �� ����m� l� ^� @� X[` ;\X\�> _ [>?@|?��> }]=\?>�@?>`�>� � ��� �=@X[}�@?� ?@}~�}X>��@ > X}_^\^}�?�@ :_[}�>` ][}~\[�?}]} �>?>�:�\ �^@=�>?\� {}�};>^>�?}_^> �\^=>�� Q�� 6}�};>^>�?}_^� �\^=>�� }�=@X@[`@^_` }^?}_>^@[�?} ?@{}^}=}]} {}?:_\� 3}�}=`^� �^} �\^=>�\ Q� `�[`@^_` �{}�};>^>�?}|�@_[>

xTQ�x � ���x � ��]X@ � � ���:{[�| �?}]}]=\??�| {}?:_� -:_^� x � _^\�>}?\=?}@ =@�@?>@� '~};?\�>� �@=@; �i ���:{[�| �?}]}]=\??�| {}?:_� }~=\;}�\??�| [:�\�>� >_�}X`�>�>>; x > �@=@_@{\<�>�> i< ]=\?� ?@\{^>�?}]} � ^}�{@ x }]=\?>�@?>`� )}]X\ _^\�>}?\=?}@ =@�@?>@ x `�[`@^_` ][}~\[�?�� �>?>�:�}� � ^}� > ^}[�{} ^}� _[:�\@�@_[> �\^=>�\ Q� @_^� �i{}�};>^>�?\` �\^=>�\ X[` [<~}]} ���@:�}�`?:^}]} i� $��� �=@X[}�@? \[]}=>^�� ][\�?}| ���>_[>^@[�?}| �=}�@X:=}| {}^}=}]} _[:�>^ �=}�@={\ {}�};>^>�?}_^> �\^=>�� Q�� 'X?\{} � }~�@� _[:�\@ ^\{\` �=}�@={\ _ ^}�{>;=@?>` _[}�?}_^> �}�@^ }{\;\^�_` _=\�?>�}| _ �@=@~}=?��> \[]}=>^�\�>�

Page 107: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

5[` =@�@?>` ;\X\�> ����� �=@X[}�@?� �?}]}�>_[@??�@ _^\?X\=^?�@ �@^}X�][}~\[�?}| }�^>�>;\�>>� >_�}[�;:<�>@ ^\{>@ �=}�@X:=� {\{ }^_@�@?>`� �?:^=@??`` > �?@�?`` �?}]}]=\??\` > {�\X=\^>�?\` \��=}{_>�\�>>� �@^�> > ]=\?>��� =\;~>@?>`� �}_^=}@?>@ ���:{[�� }~}[}�@{ > X@{}��};>�>`�/}[��}@ {}[>�@_^�} _^\^@| �}_�`�@?} "[>?@|?}|" \��=}{_>�\�>> ;\X\�> ������

^� @� _}�}_^\�[@?>< ;\X\�> ����� ;\X\�> [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>` {\{ �=\�>[}]}=\;X} ~}[��@| =\;�@=?}_^>� }�^>�\[�?}@ =@�@?>@ {}^}=}| `�[`@^_` }�@?{}| _?>;:>_{}�}]} ][}~\[�?}]} �>?>�:�\� -}X}~?\` �=}�@X:=\ {\{ > �?}]>@ \?\[}]>�?�@�_[:�\^ ;\^@� X[` =\;=\~}^{> > ^@_^>=}�\?>` _}}^�@^_^�:<�>� �@^}X}� �@^�@| >]=\?>�� $��:{[\` }~}[}�{\ ~>[>?@|?}| �:?{�>> X�:� �@=@�@??�� fx� y� � xy ~�[\� �}�>X>�}�:� ��@=��@ �}_^=}@?\ � ���� %_[> {\�X\` �@=@�@??\` }]=\?>�@?\

x � x � x� y � x � y�

^} ���:{[\` }~}[}�{\ F x� y� �:?{�>> fx� y� ?\ ;\X\??}� �=`�}:]}[�?>{@ }�=@X@[`@^_` _[@X:<�>� }~=\;}�

F x� y� � maxfyx� xy � xy� yx� xy � xyg�$} �?}]>� =@X:{�>`� { ;\X\�\� [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>` �:?{�>` F x� y� :�\_^�:@^ � }]=\?>�@?>`� �>X\

t � F x� y��

]X@ t ?@{}^}=\` �_�}�}]\^@[�?\` �@=@�@??\`� + :�@^}� �>X\ �:?{�>> F x� y� �}_[@X?@@ ?@=\�@?_^�} �}�?} �@=@�>_\^� _[@X:<�>� }~=\;}�

t � yx� xy � xy� ���

t � yx� xy � xy� ���

$�}X` X[` {\�X}]} �=}>;�@X@?>` xixj �_�}�}]\^@[�?:< �@=@�@??:< tij > }]=\?>�@?>`�>X\ �������� �}�?} >; ;\X\�> ����� �}[:�>^� ;\X\�: [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>` _ �@=@�@??��> xj > tij� $ X}{[\X@ �=>�}X>^_` ~}[@@ �}X=}~?}@ }�>_\?>@ �^}|�=}�@X:=�� '�^>�\[�?}@ =@�@?>@ �}[:�@??}| ;\X\�> [>?@|?}]} �=}]=\��>=}�\?>``�[`@^_` }�@?{}| _?>;: ][}~\[�?}]} �>?>�:�\ ;\X\�> ������ '�@?{: _?>;: �}�?}:[:��>^�� @_[> { _:�@_^�:<�>� }]=\?>�@?>`� X}~\�>^� X}�}[?>^@[�?�@� }~=\;}�\??�@ �}�\=?�� �=}>;�@X@?>@� >;?\�\[�?} ;\X\??�� }]=\?>�@?>|� $�>X: ~}[��}|^=:X}@�{}_^> �^}| }�@=\�>>� X\??\` ^@�?>{\ >_�}[�;:@^_` � }_?}�?}� X[` =@�@?>`;\X\� _ [>?@|?��> }]=\?>�@?>`�> �����._�}[�;:` �=>?�>� X>\]}?\[�?}]} X}�>?>=}�\?>`� ?@^=:X?} �=@X_^\�>^� {\�X:<

{�\X=\^>�?:< �:?{�>< � �>X@ =\;?}_^> X�:� ���:{[�� {�\X=\^>�?�� �:?{�>> >�_[@X}�\^@[�?}� �=>�@?`^� { =@�@?>< ;\X\�> ����� �@^}X� ][}~\[�?}| }�^>�>;\�>>� }_?}�\??�@ ?\ ^\{}� =\;[}�@?>> �}X}~?�@ �@^}X� ?\;��\<^ �@^}X\�> d�c�}�^>�>;\�>>� d�c� di�erence of two convex�� &`X ;\X\� ?@���:{[}]} {�\X=\^>�?}]}�=}]=\��>=}�\?>` >�@@^ _�@�>\[�?:< _^=:{^:=:� { {}^}=}| ���@{^>�?} �=>�@?>���@^}X� X@{}��};>�>>� 5}_^\^}�?} �}X=}~?}@ }�>_\?>@ �@^}X}� d�c� }�^>�>;\�>> >�@^}X}� X@{}��};>�>> � =\�{\� ?@���:{[}]} {�\X=\^>�?}]} �=}]=\��>=}�\?>` X\?}� ����/}[��}@ �?>�\?>@ � X}{[\X@ :X@[`@^_` =@;:[�^\^\� �>_[@??}]} �{_�@=>�@?^\

=\;[>�?�� �@^}X}� =@�@?>` ;\X\�> ������ =\;[>�?�� ��=>_^>�@_{>� �=}�@X:=\��

Page 108: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

:_{}=`<�>� ���>_[@?>`� \ ^\{�@ _�`;`� _ X=:]>�> ?@{�\X=\^>�?��>� ;\X\�\�>�\^@�\^>�@_{}]} �=}]=\��>=}�\?>` ^\{>�> {\{ ;\X\�> �@[}�>_[@??}]} > X>_{=@^?}]} �=}]=\��>=}�\?>`� ;\X\�> ][}~\[�?}| �>?>�>;\�>> X�\�X� ?@�=@=��?} X>��@=@?�>=:@��� �:?{�>| > X=�

0.)%&2)�&2

��� ��)�3\[@@�� $�4�)>�}�>=}� *���"�(�,�!� ��&��!� ���"��#� (�'�.�4���X>^}=>\[ �&++� ����� ��� _�

��� 5�6}{_� 5��0>^[� 5�'��> U'�� #� "%&/&&2��(�! � � /&���"# 4��4>=� �������� _�

��� *�8��}= *2 &'%&" � ���� &,�%&� / &2� )%&/& "�%�"+"� �& �%�"�� )%#6 7+%��,�3 6>~@=?@^>{\� N�� __����� ����

��� *�8��}=� +�.� +^@�@?{} 0��'����.%#� ?�����"� )%#� (�'�.� � %�'�77���%�,��+�"�! &���"�(�,�! 6>@�� *\:{}�\ X:�{\� ��� _�~ ����

��� F�A�AlKhayyal� J�E�Falk Jointly constrained biconvex programming Mathematicsof Operations Research� ���� pp� ������� ����

��� I�Bomze� G�Danniger A Finite Algorithm for Solving General Quadratic Problems Journal of Global Optimization� vol��� N�� pp����� ����

��� Y� Nesterov� A�Nemirovskii Interior�Point Polynomial Algorithms in ConvexProgramming SIAM Studies in Applied Mathematics� vol���� ��� p�� ����

��� B�T�Polyak Convexity of Quadratic Transformations and Its Use in Control andOptimization Journal of Optimization Theory and Applications� vol���� N�� pp������������

��� C�A�Floudas� V�Visweswaran Quadratic Optimization in Handbook of GlobalOptimization� Kluwer Academic Publishers� pp�������� ����

���� J�B�HiriartUrruty Conditions for Global Optimality � Journal of GlobalOptimization� vol� ��� N�� pp������������

���� R�Horst� P�Pardalos� H�Tuy Introduction to Global Optimization Kluwer AcademicPublishers� Dordrecht� ����

���� H�D�Sherali� C�H�Tuncbilek A Reformulation�Convexi�cation Approach for SolvingNonconvex Quadratic Programming Problems Journal of Global Optimization�vol��� N�� pp����� ����

���� H�Wolkowicz Semide�nite and Lagrangian Relaxations for Hard CombinatorialProblems in System Modelling and Optimization� Methods� Theory andApplications� edited by M�J�D�Powell� S�Sholtes� pp� �����������

���� Y�Ye On a�ne scaling algorithms for nonconvex quadratic programmingMathematical Programming� vol���� N�� pp������������

Page 109: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

THE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCHMETAHEURISTIC AND ITS USES

Pierre Hansen and Nenad Mladenovi�c

�� INTRODUCTION

Variable neighborhood search VNS� is a recent metaheuristic for solving combinatorialand global optimization problems whose basic idea is systematic change of neighborhoodwithin a local search� In this paper we present basic rules of VNS and some of its extensions� Moreover� applications are brie¢y summarized� They comprise heuristic solutionof a variety of optimization problems� ways to accelerate exact algorithms and to analyzeheuristic solution processes� as well as computerassisted discovery of conjectures in graphtheory�An optimization problem may be formulated as follows�

minffx�jx � X�X � Sg� ��

S�X� x and f are solution space� feasible set� feasible solution and real valued function�respectively� If S is a �nite but large set a combinatorial optimization problem is de�ned�If S � Rn� we talk about continuous optimization� Most optimization problems are NPhard and heuristic suboptimal� solution methods are needed to solve them at least forlarge instances or as an initial solution for some exact procedure��Metaheuristics� or general frameworks for building heuristics to solve problem ���

are usually based upon a basic idea� or analogy� Then� they are developed� extended invarious directions and possibly hybridised� The resulting heuristics often get complicated�and use many parameters� This may enhance their e�ciency but obscures the reasons oftheir success�Variable Neighborhood Search VNS for short�� a metaheuristic proposed just a few

years ago ����� is based upon a simple principle� systematic change of neighborhood withinthe search� Its development has been rapid� with several dozen papers already publishedor to appear� Many extensions have been made� mainly to allow solution of large probleminstances� In most of them� an e�ort has been made to keep the simplicity of the basicscheme�In this paper� we survey these developments� The basic rules of VNS methods are

recalled in the next section� Extensions are considered in Section � and issues in devisinga VNS heuristic in Section ��

��������������������������������������Pierre Hansen and Nenad Mladenovi�cGERAD and Ecole des Hautes Etudes Commerciales���� ch� de la CoteSainteCatherine� Montr�eal H�T �A�� Canadatel� ����� �������� fax� ����� ��������email� pierreh�crt�umontreal�ca

Page 110: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

�� BASIC SCHEMES

Let us denote with Nk� k � �� � � � � kmax�� a �nite set of preselected neighborhoodstructures� and with Nkx� the set of solutions in the kth neighborhood of x� Most localsearch heuristics use only one neighborhood structure� i�e�� kmax � ��� NeighborhoodsNk may be induced from one or more metric or quasimetric� functions introduced intoa solution space S� An optimal solution xopt or global minimum� is a feasible solutionwhere a minimum of �� is reached� We call x� � X a local minimum of �� with respectto Nk w�r�t� Nk for short�� if there is no solution x � Nkx�� � X such that fx� � fx���Metaheuristics based on local search procedures� try to continue the search by othermeans after �nding the �rst local minimum� VNS is based on three simple facts��� A local minimum w�r�t� one neighborhood structure is not necessary so with

another �� A global minimum is a local minimum w�r�t� all possible neighborhood structures��� For many problems local minima w�r�t� one or several Nk are relatively close to

each other�This last observation� which is empirical� implies that a local optimum often provides

some information about the global one� This may for instance be several variables withthe same value in both� However� it is usually not known which ones are such� Anorganized study of the neighborhood of this local optimum is therefore in order� until abetter one is found�In order to solve �� by using several neighborhoods� facts � to � can be used in threedi�erent ways� i� deterministic ii� stochastic iii� both deterministic and stochastic�i� The Variable neighborhood descent VND� method is obtained if change of neighborhoods is performed in a deterministic way and its steps are presented on Figure ��

Initialization� Select the set of neighborhood structures N �k � for k � �� � � � � k�max� that will be

used in the descent� �nd an initial solution x �or apply the rules to a given x��

Repeat the following sequence until no improvement is obtained���� Set k � ���� Repeat the following steps until k � k�max�

�a� Exploration of neighborhood� Find the best neighbor x� of x �x� � N �k�x���

�b� Move or not� If the solution thus obtained x� is better than x� set x � x� andk � �� otherwise� set k � k ��

Figure �� Steps of the basic VND�

Most local search heuristics use in their descents a single or sometimes two neighborhoodsk�max � ��� Note that the �nal solution should be a local minimum w�r�t� all k�max

neighborhoods� and thus chances to reach a global one are larger than by using a singlestructure� Beside this sequential order of neighborhood structures in VND above� one candevelop a nested strategy� Assume e�g� that k�max � � then a possible nested strategy is�perform VND from Figure � for the �rst two neighborhoods� in each point x� that belongsto the third x� � N�x��� Such an approach is applied in ���� ����� and ����ii� The Reduced VNS RVNS� method is obtained if random points are selected fromNkx�� without being followed by descent� and its steps are presented on Figure ��

Page 111: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

Initialization� Select the set of neighborhood structures Nk� for k � �� � � � � kmax� that will beused in the search� �nd an initial solution x� choose a stopping condition�

Repeat the following sequence until the stopping condition is met���� Set k � ���� Repeat the following steps until k � kmax�

�a� Shaking� Generate a point x� at random from the kth neighborhood of x �x� �Nk�x����b� Move or not� If this point is better than the incumbent� move there �x � x���and continue the search with N� �k � ��� otherwise� set k � k ��

Figure �� Steps of the Reduced VNS�

RVNS is useful for very large instances for which local search is costly� It is observed thatthe best value for the parameter kmax is often �� In addition� the maximum number ofiterations between two improvements is usually used as stopping condition� RVNS is akinto a MonteCarlo method� but more systematic see ���� where results obtained by RVNSwere ��£ better than those of the MonteCarlo method in solving a continuous minmaxproblem�� When applied to the pMedian problem� RVNS gave equally good solutions asthe Fast Interchange heuristic of ���� in �� to �� times less time �����iii� The Basic VNS VNS� method ���� combines deterministic and stochastic changesof neighborhood� Its steps are given on Figure ��

Initialization� Select the set of neighborhood structures Nk� for k � �� � � � � kmax� that will beused in the search� �nd an initial solution x� choose a stopping condition�

Repeat the following sequence until the stopping condition is met���� Set k � ���� Repeat the following steps until k � kmax�

�a� Shaking� Generate a point x� at random from the kth neighborhood of x �x� �Nk�x����b� Local search� Apply some local search method with x� as initial solution� denotewith x�� the so obtained local optimum��c� Move or not� If this local optimum is better than the incumbent� move there�x� x���� and continue the search with N� �k � ��� otherwise� set k � k ��

Figure �� Steps of the basic VNS�

The stopping condition may be e�g� maximum cpu time allowed� maximumnumber ofiterations� or maximumnumber of iterations between two improvements� Often successiveneighborhoods Nk will be nested� Observe that point x� is generated at random in step �ain order to avoid cycling� which might occur if any deterministic rule was used� Note alsothat the Local search step �b� may be replaced by VND� Using this VNS�VND approachled to the most successful applications recently reported see e�g� ���� ���� ���� ���� �����������

�� EXTENSIONS

Several easy ways to extend the basic VNS are now discussed� The basic VNS is adescent� �rst improvement method with randomization� Without much additional e�ortit could be transformed into a descentascent method� in Step �c set also x � x" with

Page 112: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

some probability even if the solution is worse than the incumbent or best solution foundso far�� It could also be changed into a best improvement method� make a move to thebest neighborhood k� among all kmax of them� Other variants of the basic VNS couldbe to �nd solution x� in Step �a as the best among b a parameter� randomly generatedsolutions from the kth neighborhood� or to introduce kmin and kstep� two parameters thatcontrol the change of neighborhood process� in the previous algorithm instead of k � �set k � kmin and instead of k � k � � set k � k � kstep�While the basic VNS is clearly useful for approximate solution of many combinatorial

and global optimization problems� it remains di�cult or long to solve very large instances�As often� size of problems considered is limited in practice by the tools available to solvethem more than by the needs of potential users of these tools� Hence� improvementsappear to be highly desirable� Moreover� when heuristics are applied to really largeinstances their strengths and weaknesses become clearly apparent� Three improvementsof the basic VNS for solving large instances are now considered�iv� The Variable Neighborhood Decomposition Search VNDS� method ���� extends the basic VNS into a twolevel VNS scheme based upon decomposition of the problem� Its steps are presented on Figure ��

Initialization� Select the set of neighborhood structures Nk� for k � �� � � � � kmax� that will beused in the search� �nd an initial solution x� choose a stopping condition�

Repeat the following sequence until the stopping condition is met���� Set k � ���� Repeat the following steps until k � kmax�

�a� Shaking� Generate a point x� at random from the kth neighborhood of x �x� �Nk�x��� in other words� let y be a set of k solution attributes present in x� but not inx �y � x� n x���b� Local search� Find the local optimum in the space of y either by inspection or bysome heuristic� denote the best solution found with y� and with x�� the correspondingsolution in the whole space S �x�� � �x� n y� � y����c� Move or not� If the solution thus obtained is better than the incumbent� movethere �x� x���� and continue the search with N� �k � ��� otherwise� set k � k ��

Figure �� Steps of the basic VNDS�

Note that the only di�erence between the basic VNS and VNDS is in step �b� insteadof applying some local search method in the whole solution space S starting from x� �Nkx��� in VNDS we solve at each iteration a subproblem in some subspace Vk � Nkx�with x� � Vk� When the local search used in this step is also VNS� the twolevel VNSscheme arises�VNDS can be viewed as embedding the classical successive approximation scheme

which has been used in combinatorial optimization at least since the sixties� see e�g������ in the VNS framework� Other simpler applications of this technique� where the sizeof the subproblems to be optimized at the lower level is �xed� are Large neighborhoodsearch ���� and POPMUSIC �����v� The Skewed VNS SVNS� method ����� a second extension� addresses the problemof exploring valleys far from the incumbent solution� Indeed� once the best solution ina large region has been found it is necessary to go quite far to obtain an improved one�Solutions drawn at random in faraway neighborhoods may di�er substantially from theincumbent and VNS can then degenerate� to some extent� into the Multistart heuristic

Page 113: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

in which descents are made iteratively from solutions generated at random and which isknown not to be very e�cient�� So some compensation for distance from the incumbentmust be made and a scheme called Skewed VNS is proposed for that purpose� Its stepsare presented in Figure ��

Initialization� Select the set of neighborhood structures Nk� for k � �� � � � � kmax� that will beused in the search� �nd an initial solution x and its value f�x�� set xopt � x� fopt � f�x��choose a stopping condition and a parameter value ��

Repeat the following until the stopping condition is met���� Set k � ���� Repeat the following steps until k � kmax�

�a�Shaking� Generate a point x� at random from the kth neighborhood of x��b�Local search� Apply some local search method with x� as initial solution� denotewith x�� the so obtained local optimum��c� Improve or not� If f�x��� � fopt set fopt � f�x� and xopt � x����d� Move or not� If f�x��� � ���x� x��� � f�x� set x � x�� and k � �� otherwise setk � k ��

Figure � Steps of the Skewed VNS�

SVNS makes use of a function �x� x��� to measure distance between the incumbentsolution x and the local optimum found x��� The distance used to de�ne the Nk� as in theabove examples� could be used also for this purpose� The parameter � must be chosen inorder to accept exploring valleys far from x when fx��� is larger than fx� but not toomuch otherwise one will always leave x�� A good value is to be found experimentally ineach case� Moreover� in order to avoid frequent moves from x to a close solution one maytake a large value for � when �x� x��� is small� More sophisticated choices for a function��x� x��� could be made through some learning process�vi� Parallel VNS PVNS� methods are a third extension� Several ways for parallelizingVNS have recently been proposed ����� ��� in solving the pMedian problem� In ���� threeof them are tested � i� parallelize local search ii� augment the number of solutionsdrawn from the current neighborhood and do local search in parallel from each of themand iii� do the same as ii� but updating the information about the best solution found�The second version gave the best results� It is shown in ��� that assigning di�erentneighborhoods to each processor and interrupting their work as soon as an improvedsolution is found gives very good results� best known solutions have been found on severallarge instances taken from TSPLIB ����� Three Parallel VNS strategies are also suggestedfor solving the Traveling purchaser problem in �����

�� ISSUES IN DEVISING A VNS HEURISTIC

When using more than one neighborhood structure in the search� the following problemspeci�c questions have to be answered�

i� how many neighborhoods should be used and which�ii� what should be their order in the search�iii� what strategy should be used in changing neighborhoods�

Application of the VNS metaheuristic for solving each particular problem is based onanswers to these questions� In this section we give some suggestions about how to dealwith them�

Page 114: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

i� Selection of Neighborhood Structures� As mentioned above� neighborhoodstructures� in general� can be induced from di�erent metrics introduced into thesolution space� However� there are easy ways to do so� We next list some possibleselection strategies�

a� Selection of existing heuristics� For many combinatorial problems a few andsometimes many� local search heuristics already exist� They usually di�er onefrom another in their� possibly implicit� de�nition of neighborhood solutions�All we have to do is to make some reasonable selection of such local searchesand apply one after another in the search� This leads to a VND heuristic�

b� Changing parameter4s5 of existing methods� Some local search heuristics aresupplied with parameters that have a great in¢uence on the size of the neighborhood� In other words� the cardinality of the complete neighborhood canbe a function of parameters whose values are estimated before each run of thecode� Instead of �xing them in advance we can systematically change theirvalues within reasonable limits�� In that way� for each parameter value thedi�erent solutions in the vicinity of the current one are generated� This simple VNS scheme has been used for solving Traveling salesman problem in �����where the socalled GENIUS local search ��� has been modi�ed�

c� Use of k�interchange moves� The easiest and probably the most natural wayto generate neighborhoods is by using kinterchange moves� In �� problemsthis corresponds to the Hamming distance if the solution of a problem isrepresented by a set� then this move is de�ned by the symmetric di�erencemetric� and so on� For example� wellknown moves that belong to this class arekopt� kreallocation� krelocation� ksubstitution� etc� This approach has beenused in solving the Traveling salesman ����� the pMedian ����� the Weightedmaximum satis�ability ����� the Bilinear Programming ����� the MultisourceWeber ��� and the Minimum sumofsquares clustering ���� ���� problems�

d� Breaking up neighborhoods� A natural neighborhood can be split into severalsmaller ones� in order to set in a quicker way easy to obtain improvements� Forinstance� when applying the �opt move in the Traveling Salesman Problem�edges considered for introduction in the tour may �rst be limited to the ��£�then ��£ and so on of smallest ones�

ii� Ordering Neighborhoods� In VND� a natural ordering of the neighborhoods isfrom smallest to largest� i�e�� jN�x�j � jN�x�j � � � � � jNkmaxx�j in order to �ndquickly the most obvious improvements� In VNS� a natural ordering correspondsto increasing distance between the current point x and points xk that belong toNkx�� k � �� � � � � kmax� When using the kinterchange selection rule� the followingproperty holds as well� jN�x�j � jN�x�j � � � � � jNkmaxx�j when kmax is muchsmaller than the size of x�

iii� Selection in the Neighborhood� Visiting all solutions from large neighborhoodswould produce a non e�ective algorithm� Hence� some Vkx� � Nkx� should begenerated at random� where sk � jVkx�j are VNS parameters� Setting sk � � forall k � �� � � � � kmax� the basic VNS is obtained� Alternatively� some selection criteriacan be used to de�ne Vkx� as e�g� considering the �ve best moves and chosing at

Page 115: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

random between them� This strategy called low�VNS did not give good results forWeighted MaximumSatis�ability when used alone� but was a very useful componentof skewed VNS for that problem ������

iv� Search Strategies� Two search strategies are usual in local searches� best improvement and �rst improvement� Note that the decision about search strategy in VNSshould be made at two levels� �rst� when the neighborhood is changed and second�when di�erent solutions in the same neighborhood are visited� Thus� there are fourpossible options� Note that the basic VNS uses a �rst improvement strategy atthe �rst decision level� while VND often uses a best improvement strategy at thesecond decision level��

v� Descent and Descent�ascent VNS� If there is no improvement� the decisionhas to be made whether or not to accept an ascent move when the neighborhoodand�or solution in the same neighborhood are changed� Thus� four possibilitiesagain occur� descent� descent� descent� descent�ascent� descent�ascent� descent� and descent�ascent� descent�ascent�� For example� the choice of descent� descent�ascent� means that a move will not be made in VNS if the solution obtained bydescentascent local search is not better than the incumbent� The basic VNS uses thedescent� descent� option� Skewed VNS uses the descent�ascent� descent� options�

vi� Forward and Backward VNS� When a �rst improvement search strategy ischosen� the order in which the neighborhhods Nk will be used can play an importantrole in the quality of the �nal solution obtained� An order of the Nk nondecreasingin k de�nes Forward VNS it starts with k �� �� when there is no improvement inNkx�� k �� k � �� and if a better solution is found� k �� � again� A nonincreasingorder of Nk in k de�nes Backward VNS� start with k �� kmax� set k �� k � � incase of unsuccessful search and k �� kmax again in the case of success� Forwardand Backward VNS are special cases of an extended version� introduce kmin andkstep� two parameters that control the change of neighborhood process� i�e�� in theprevious algorithm instead of k � � set k � kmin and instead of k � k � � setk � k � kstep if kstep � �� backward VNS is obtained� Clearly� basic VNS useskmin � kstep � �� Also� one may go from a backward VNS� at the outset when nogood solution is yet found� to a forward VNS when a presumably nearoptimal localoptimum has been detected�

vii� Intensi7cation and Diversi7cation� Usual questions in local search heuristicsare how to intensify the search in some attractive areas Intensi�cation� and how to�nd some previously unexplored regions Diversi�cation� ���� It is easy to see thatboth these functions can be achieved in a natural way by changing VNS parameterskmax� kmin� kstep� sk� etc�� and choosing di�erent search strategies and optionsdescribed above�

In fact� the basic VNS scheme with kinterchange moves has imbedded intensi�cation and diversi�cation strategies� one �rst explores thoroughly small close neighborhoods until they give no further improvements� then one proceeds to furtherlarger neighborhoods which are more lightly explored�

Page 116: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��������� ������ ���

REFERENCES

��� A� Andreatta and C� Ribeiro� Heuristics for the phylogeny problem� to appear inJournal of Heuristics�

��� N� Belacel� N� Mladenovi�c and P� Hansen� Fuzzy JMeans� A new heuristic for Fuzzyclustering� to appear in Pattern Recognition��

��� J� Brimberg� P� Hansen� N� Mladenovi�c and �E� Taillard� Improvements and comparison of heuristics for solving the Multisource Weber problem� Oper Res� �� ���������� �����

��� S� Canuto� M� Resende and C� Ribeiro� Local search with perturbations for the prizecollecting Steiner tree problem in graphs� to appear in Networks

��� G� Caporossi and P� Hansen� Variable neighborhood search for extremal graphs� ��The AutoGraphiX system� Discrete Mathematics� ���� ����� �����

��� T� Crainic� M� Gendreau� P� Hansen� N� Hoeb� N� Mladenovi�c� Parallel Variableneighborhood search for the pMedian� MIC������ Porto� July ����� pp� ������������

��� O� du Merle� P� Hansen� B� Jaumard and N� Mladenovi�c� An interior point algorithmfor Minimum sumofsquares clustering� SIAM J Scient Comp ��� ��������� �����

��� M� Gendreau� A� Hertz and G� Laporte� New Insertion and postoptimization procedures for the Traveling salesman problem� Oprns Res ��� ��������� �����

��� F� Glover and M� Laguna� Tabu search� Kluwer� Boston� �����

���� R�E� Gri�th � R�A� Stewart� A nonlinear programming technique for the optimization of continuous processing systems� Management Science� �� �������� �����

���� P� Hansen� B� Jaumard� N� Mladenovi�c and A� Parreira� Variable neighborhood searchfor Weighted maximum satis�ability problem� Les Cahiers du GERAD G�������Montr�eal� Canada� �����

���� P� Hansen and N� Mladenovi�c� Variable neighborhood search for the pMedian� Lo�cation Sci� �� ������� �����

���� P� Hansen and N� Mladenovi�c� An introduction to variable neighborhood search� inS� Voss et al eds���Metaheuristics� Advances and Trends in Local Search Paradigmsfor Optimization� pp� ������� Kluwer� Dordrecht� �����

���� P� Hansen and N� Mladenovi�c� JMeans� A new local search heuristic for minimumsumofsquares clustering� Pattern Recognition� ��� ������� �����

���� P� Hansen� N� Mladenovi�c and D� PerezBrito� Variable neighborhood decompositionsearch� J of Heuristics� � ��� ������� �����

���� F�G�Lopez� B�M�Batista� J�A�Moreno P�erez and J�M�Moreno Vega� The parallel variable neighborhood search for the pmedian problem� Research Report� University ofLa Laguna� Spain� ����� to appear in J of Heuristics��

Page 117: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ��������� ������

���� N� Mladenovi�c and P� Hansen� Variable neighborhood search� Computers Oper Res��� ���������� �����

���� N� Mladenovi�c� J� Petrovi�c� V� Kova#cevi�cVuj#ci�c and M� #Cangalovi�c� Solving Spreadspectrum radar polyphase code design problem by Tabu search and Variable neighborhood search to appear in European J of Oper Res��

���� L�S� Ochi� M�B� Silva and L� Drummond� Metaheuristics based on GRASP and VNSfor solving Traveling purchaser problem� MIC������ ������� Porto� �����

���� G� Reinelt� TSLIB A Traveling salesman library� ORSA J Comput �� �������������

���� C� Ribeiro and C�Souza� Variable neighborhood descent for the degreeconstrainedminimum spanning tree problem� to appear in Discrete Applied Mathematics� �����

���� P�Shaw� Using constraint programming and local search methods to solve vehiclerouting problems� In Principles and practice of constraint programming CP����� ������� �����

���� E� Taillard and S� Voss� POPMUSIC Partial optimization metaheuristicunder special intensi�cation conditions� C� Ribeiro� P� Hansen eds��� Es�says and surveys in metaheuristics� pp� ������� Kluwer Academic Publishers�Boston�Dordrecht�London� �����

���� R� Whittaker� A fast algorithm for the greedy interchange for largescale clusteringand median location problems� INFOR ��� ������ �����

Page 118: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

ON GENERALIZATIONS OF AVOIDABILITY

S� V� Avgustinovich� D� G� Fon�Der�Flaass� A� E� Frid

A word is said to avoid n�th powers if it does not contain subwords of the formx � � � x� �z �

n

� where x is a non�empty word� It is well�known that there exist in�nite words on

the ��letter alphabet avoiding cubes �i� e�� �rd powers� and in�nite words on the ��letteralphabet avoiding squares �i� e�� �nd powers�� These classical results formed the basis ofthe theory of avoiding patterns� those are words on the alphabet of variables �� For othergeneralizations� see references in ��

We state the general problem as follows� Given a function f on the set of �nite wordsto an arbitrary set� we say that a word avoids n�th f �powers if it does not contain wordsof the form x� � � � xn� where xi are non�empty words and f�x�� � � � � � f�xn�� For whichf and n there exist in�nite words on �nite alphabets avoiding n�th f �powers�

One of the natural functions of a word is its weight w� Given the set of weights ofsymbols of the alphabet� we de�ne the weight of a word u � u� � � � un� where ui aresymbols� as w�u� �

Pni��w�ui��

Theorem �� Let the weights of all symbols of a �nite alphabet be arbitrary non�negativeintegers� Then all in�nite words on this alphabet contain arbitrarily large w�powers�

Of course� if weights of symbols are irrational and mutually rationally independent�then avoiding w�powers is equivalent to avoiding abelian powers �see � for the de�nitionand the history of the problem��

Theorem �� Let a function f take a �nite number of values on the set of words of a �nitealphabet� Then all in�nite words on this alphabet contain arbitrarily large f �powers�

The proof of Theorem � involves a reference to the Van der Waerden theorem� andthe proof of Theorem � involves a reference to the Ramsey theorem� Both theorems showthat no non�trivial avoidability theory can be built for the respective classes of functions�But the next theorem gives a more optimistic example�

Let the function f be of the form f�u� � �juj� f ��u��� where juj is the length of a wordu and f ��u� takes only a �nite number of values�

Theorem �� There exist functions f� and f� of the form described above such that thereexist an in�nite word on the ��letter alphabet avoiding f��cubes and an in�nite word onthe ��letter alphabet avoiding f��squares�

Supported in part by RFBR grants � �� ���� �� �� ��� and grant no� � of �thcontest of research projects of RAS young scientists �������

REFERENCES

�� S� V� Avgustinovich� A� E� Frid �� ��Words avoiding abelian inclusions� J� Automata�Languages and Combinatorics� to appear��� J� Cassaigne �� �� Unavoidable patterns� In� M� Lothaire� Algebraic Combinatoricson Words� Cambridge University Press� to appear���������������������������������������Sergei V� Avgustinovich� Dmitri G� Fon�Der�Flaass� Anna E� Frid�Sobolev Institute of Mathematics�pr� Academica Koptyuga� �� Novosibirsk� �� � � Russia�phone� ���������� ��������� e�mail� favgust��aass�fridg�math�nsc�ru�

Page 119: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

� ��������� !�"" #$�%&"' �(!&"� )��*� �"+��,�+���-. �� *"(!/%$0!

�� 1� �23456782

(93:6 En � n�;7<=>? 7@4=4H=>? Q9X� �X[\=2H4; H7<7\ Wh ;=[]73:8[ 837^ 87<�_4= a � En� 873 .`;;4={2 w�a� Q[:[<>^ <287= h� � h � n� �X[\=2H4; H7<7\ Vh;=[]73:8[ |9=Q}4? 84@2

f�x� �Xa�Wh

ca����ha�xi� x � En�

{@7 ca� a � Wh � ~<[4\8[56=>7 ~[3:[�==>7� ([@~<[3:<2=3:82 V�� V�� � � � � Vn [<:[�{[=256=> 4 �85��:3� [X�4;4 3[X3:87==>;4 ~[@~<[3:<2=3:82;4 ;2:<4} 4=}4@7=:�=[3:4 3^7;> [:=[_7=4? .`;;4={2 ~[<�@Q2 n� ([@~<[3:<2=3:8[ V�n����� 3[3:[4: 4\}7=:<4<[82==>^ |9=Q}4?� ;=[]73:8[ X9578>^ |9=Q}4? 4\ Q[:[<[{[ 3[8~2@27: 3 ;=[�]73:8[; ^2<2Q:7<43:4H73Q4^ |9=Q}4? 3[87<_7==>^ Q[@[8 3 <233:[�=47; ��

�X[\=2H4; H7<7\ Pk�t� n� ;=[{[H57= %<28H9Q2�

Pk�t� n� �kX

j��

����j�

tj

��n� tk � j

�� � k � n�

������� (93:6 fh � Wh � R� !354 Ph�h� n� �� � :[ 39�73:897: 7@4=3:87==2�|9=Q}4� f � En � R :2Q2�� H:[ f � Vh 4 @5� 5�X[{[ a � Wh 8>~[5=�7:3� f�a� �fh�a�� (<4 `:[; @5� 5�X[{[ x � En

f�x� �nXl��

�Xfh�a�

���h�w�x�� l��

{@7 8=9:<7==77 39;;4<[82=47 ~<[4\8[@4:3� ~[ 837; :2Q4; 87<_4=2; a � Wh� H:[3Q25�<=[7 ~<[4\87@7=47 a 4 x <28=[ l�

�2?@7= �8=>? 84@ Q[`||4}47=:[8 ��h�w�x�� l���2Q4; [X<2\[;� 83:27: 8[~<[3 [ }75>^ Q[<=�^ ;=[{[H57=[8 %<28H9Q2� �H784@=[�

H:[ Pk�n��� n� � ~<4 H7:=[; n 4 =7H7:=[; k� (<4 |4Q34<[82==[; k ;=[{[H57=Pk�t� n� 4;77: }75>7 Q[<=4� [:54H=>7 [: 9~[;�=9:>^� =7 X[577 H7; @5� Q[=7H=[{[;=[]73:82 \=2H7=4? n� %<[;7 :[{[� @5� @[3:2:[H=[ X[56_4^ n \=2H7=47 Ph�h� n� =7<28=[ =95�� 7354 h � cn 454 h � ��� c�n� {@7 c � ����

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �{<2=: � �� �����

���������������������������������������23456782 �=23:234� 1<678=2�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� vasilan�math�nsc�ru

Page 120: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

� ������) �(!&"� )��' �(!/���/��' #�/�-0$ !�-. #$�%&"'

�� #� �4=[Q9<[8

� <2X[:7 43357@97:3� 3~7}4256=2� [~7<2:[<=2� |[<;2 X9578>^ |9=Q}4?� =2?@7=277 35[]=[3:6 4 Q5233 |9=Q}4? 3 :2Q[? 35[]=[3:6�� �23:=>? 359H2? 3~7}4256=[?[~7<2:[<=[? |[<;> 8~7<8>7 <233;[:<7= 8 ��

�2X[<> ~7<7;7==>^ 454 Q[=3:2=: 3=2X]7=> 34;8[5[; �� @54=2 =2X[<2 8 `:[;359H27 [~<7@75�7:3� ~[ Q[=:7Q3:9� 54X[ <28=2 n� �37 [3:256=>7 =7@[3:2��47 [~<7�@757=4� 4 [X[\=2H7=4� ;[]=[ =2?:4 8 ��

(93:6 @5� =7Q[:[<[{[ =2X[<2 [~7<2:[<[8 �b�� ����bt� 8>~[5=�7:3� <287=3:8[ f��x� �Pi�ti�� b

ig��x�� {@7P[X[\=2H27: 35[]7=47 ~[ mod �� �2Q[7 ~<7@3:2857=47 X9@7: =2\>�

82:63� [~7<2:[<=[? |[<;[? �OF � |9=Q}44 f��x� ~[ |9=Q}44 g��x��(93:6 R�OF � [X[\=2H27: [~7<2}4� 3[Q<2�7=4� [@4=2Q[8>^ 352{27;>^ 8 OF 4

~93:6 @5� Q2]@[{[ [~7<2:[<2 bi 8>~[5=�7:3� <2\5[]7=47 bi�g��x�� �P

�� a���i�g��x���

"\873:=[ �� H:[ :2Q[7 <2\5[]7=47 837{@2 39�73:897:��><2]7=47

SOFgf�x�� ���� xn� � R

�i�tXi��

X��

a�� �i�g�x�� ���� xn��

=2\>827:3� 3~7}4256=[? [~7<2:[<=[? |[<;[? |9=Q}44 f��x� ~[ X2\43=[? |9=Q}44g��x�� SOFgf ~<7@3:284;2 8 Q52337 @89~[<[]@7==>^ [~7<2:[<=>^ ~9HQ[8 �� 7354SOFgf � R

�Psi��

P�� a

�� �ig�� A�� ����As � K� Ai � �a

���i� � � � �a���i�� �4=4;256=[7 s� @5�

Q[:[<[{[ 8>~[5=�7:3� `:[ :[]@73:8[� =2\>827:3� 35[]=[3:6� SOFgf 8 Q52337 4[X[\=2H27:3� jSOFg�f�jK� �7<7\ jSOFg�n�j � max jSOFg�f�j [X[\=2H27:3� 35[]=[3:63~7}4256=[? [~7<2:[<=[? |[<;> 32;[? 35[]=[? |9=Q}44�

������ �� +5� 5�X[? X2\43=[? |9=Q}44 g��x� 4;77: ;73:[�

jSOFg�n�j � � � �n���!354 f�x�� ���� xn� � g�x

�i�i�

� ���� x�inin �� {@7 �j � f � �g� x� � �x� x� � x� :[ |9=Q}44 f��x�

4 g��x� =2\>82�:3� `Q848257=:=>;4������� �� +5� 5�X[? X2\43=[? |9=Q}44 g��x� 4 5�X[? |9=Q}44 f��x� <287=3:8[

jSOFg�f�j � � � �n�� 4;77: ;73:[ :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 f `Q848257=:=2 [@=[?4\ :<7^ |9=Q}4?� ��� �� �� �� ����� �� �� �� �� ����� � �� �� �� �����

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" �� � ����

"�!/��$/�

�� B� Steinbach� A� Mishchenko �� �� SNF� A Special Normal Form for ESOPs �th

International Workshop on Applications of the Reed�Muller Expansion in Circuit Design�Portland�USA� � ������� ��#� �4=[Q9<[8� ���� (7<�\78� �<7@�� �� �� �������� ���� � ����� ������������� ��� #",��� "�����������������������������������������4=[Q9<[8 �7<{7? #7@[<[84H� "<Q9:3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�95� %��2<Q32� �� "<Q9:3Q� ��� �� /[334��:75� ����������� � |2Q3 ���������� �� e�mail� vin�math�isu�ru

Page 121: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

�0 � *�/"��"�!�%�' �/$+����" ,�+��" /��(�,�����"�#� �� + � (�,"&"' �(!&"� )��*� �"+� � /��+,1

���� !5437?Q4=

� <2X[:7 <233;2:<4827:3� \2@2H2 [~<7@757=4�� �85�7:3� 54 ^[@ 8 \2@2==9� :[HQ94{<[8[{[ ~[5� |[5[; 8 ~[\4}4�^ 3~7}4256=[{[ 84@2 ~<4 4{<7 8 <`=@\�� /233;2�:<4827:3� Q5233 ~[\4}4? 8 <`=@\�� 4;7��4^ =7Q[:[<9� [X�9� @5� =4^ [X523:6A 3 8>@757==[? :[HQ[? s 8 `:[? [X523:4� =7 \2=�:[? _2_Q[?� �3:28_2�3� H23:64{<[8[{[ ~[5� <2\X4:2 =2 @87 [X523:4 B 4 C� /23~[5[]7=47 _2_7Q 8 [X523:4 A[@4=2Q[8[ @5� 837^ ~[\4}4?� 4 =2<�@9 3 <2\X47=47; =2 [X523:4 B 4 C� [~<7@75��7: ;=[]73:8[ 43357@97;>^ ~[\4}4?� /7_27:3� \2@2H2� 39�73:897: 54 <23~[5[]7=47_2_7Q 8 [X523:4 C :2Q[7� H:[ ^[@ 8 8>@757==9� :[HQ9 s 8 [X523:4 A X9@7: |[5[;�\2~<7�7= ~<28452;4 4{<> 8 <`=@\�� 8=7 \28434;[3:4 [: <23~[5[]7=4� _2_7Q 8[X523:4 B� � <2X[:7 ~[Q2\2=[ ~[54=[;4256=[7 387@7=47 � \2@2H4 [ 8>~[5=4;[3:4X9578[? |[<;95> 3 Q82=:[<2;4� \2@2==[? 8 84@7 3Q[57;[83Q[? =[<;256=[? |[<;>�� Q [~432==[? 8>_7 \2@2H7� :� 7� @5� 5�X[? |[<;95> G� 4;7��7? 3Q[57;[83Q9�=[<;256=9� |[<;9� 39�73:897: :2Q[? Q5233 ~[\4}4? [~432==[{[ 84@2� H:[ ^[@ 88>@757==9� :[HQ9 [X523:4 A X9@7: |[5[; :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 |[<;952 G8>~[5=4;2� /23~[5[]7=47 _2_7Q 8 [X523:4 A [~<7@75�7:3� ~[ |[<;957 3[{523=[ 25�{[<4:;9� [3=[82==[;9 =2 4@7�^� 4\5[]7==>^ 8 �� +2]7 H23:=>? 359H2? \2@2H4 �~<4~93:[? [X523:4 B� ~<7@3:285�7: 3[X[? NP�:<9@=9� \2@2H9� (<4 =7~93:[? [X523:4B �3[3:[��7? 4\ =7Q[:[<[{[ Q[54H73:82 :[H7Q� <233;2:<4827;2� \2@2H2 [Q2\>827:3��=7 ~<[�7� \2@2H4 [ 8>~[5=4;[3:4 X9578[? |[<;95> 3 Q82=:[<2;4� \2@2==[? 8 84@73Q[57;[83Q[? =[<;256=[? |[<;>�

"�!/��$/�

�� �� *`<4� +� +][=3[= ������ ���� ������� ������ � ����������� ���������� �4<�

�� �� �7=@7563[= ������ ���� �������� ��� ������� ��� �29Q2� � 3�

�� �� � ������� ������ �����!��� ������� ����� �� �� ������ ��������� � �����!��"�� ��� "\@�8[ ;7^2=4Q[� ;2:7;2:4H73Q[{[ |2Q956:7:2�*$� ������

��������������������������������������!5437?Q4= �4^245 �=2:[56784H��7^2=4Q[�;2:7;2:4H73Q4? |2Q956:7: �*$ 4;� ���� [;[=[3[82��[<[X678> {[<>� �*$� *528=[7 \@2=47� �[3Q82� ������� /[334��:75� � ��� ���������� e�mail� meliseyko�europress�ru

Page 122: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

($�%" �(!/���/�� � 0$ !�-. #$�%&"�.

�� �� ,2=4=

� � ~<487@7= [X\[< <7\956:2:[8 ~[ [~7<2:[<=>; ~[54=[;4256=>; ~<7@3:2857�=4�; X9578>^ |9=Q}4?� �:4 ~<7@3:2857=4� ~[\8[5454 ~[3:<[4:6 47<2<^4� Q5233[8~[54=[;4256=>^ |[<;� [^82:>82��9� 837 4\873:=>7 ~[54=[;>� =2H4=2� 3 ~[54=[;2�7{25Q4=2 4 3[87<_7==[? ~[54=[;4256=[? =[<;256=[? |[<;>� � @[Q52@7 88[@�:3�~[=�:4�� [X[X�2��47 9Q2\2==>7 [~7<2:[<> 4 [~7<2:[<=>7 |[<;>� �37 =7@[3:2���47 [~<7@757=4�� [X[\=2H7=4� 4 38[?3:82 ;[]=[ =2?:4 8 ��

%<[;7 [~7<2:[<[8 e� p� d �:[]@73:87==>?� [:<4}2=4� 4 ~<[4\8[@=[?�� <233;[:<7=�=>^ 8 �� 887@7; 357@9��47 [~7<2:[<>� qjf��x� � �xj�pjf��x���f��x�� cjf��x� � �xj�f��x���rjf��x� � xj�pjf��x�� � f��x�� bjf��x� � xj�f��x����~<7@754; Q5233 [~7<2:[<[8 Ts Q2Q ;=[]73:8[� 3[3:[��77 4\ [~7<2:[<[8 t � t� � � � tn�

tj ����fe� p� dg� 7354 sj � ��fe� q� cg� 7354 sj � o�fe� r� bg� 7354 sj � i�

�[{523=[ �� =2X[< 4\ �n [~7<2:[<[8� @7?3:89��4^ =2 [@=9 |9=Q}4� <2\;7<=[�3:4 n =2\>827:3� ~9HQ[; [~7<2:[<[8� (9H[Q =2\>827:3� X2\43=>;� 7354 39�73:897:|9=Q}4� :2Q2�� H:[ 77 [~7<2:[<=>7 [X<2\> 54=7?=[ =7\28434;>� �2Q]7 Q2Q 4 8 ��;2:<4}9 MA � jja�� � a�� jj X9@7; =2\>82:6 ;2:<4}7? ~9HQ2 A�

([ ~[357@[82:756=[3:4 s � s�� � � � � sn� {@7 sj � fe� o� ig� [~<7@754; [~7<2:[< 8\��:4� [3:2:[H=[? [: |9=Q}44 f�x� <2\;7<=[3:4 n 357@9��4; [X<2\[;� ~[ xj X7<7:3�=95782� [3:2:[H=2�� 7354 sj � o� 7@4=4H=2�� 7354 sj � i�������� (9H[Q X2\43=>? :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2 � Q[{@2 7{[ ;2:<4}2 =78><[]@7=2�������� !354 A � a

�� � � � a�� � X2\43=>? ~9H[Q [~7<2:[<[8 4 a�� � Ts� :[ [~7<2:[<�

=>7 [X<2\> |9=Q}44 f�x� 54=7?=[ =7\28434;> :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2 � Q[{@2 sf�x�=7H7:=2��

"�!/��$/�

�� �7Q[:[<>7 8[~<[3> :7[<44 X9578>^ |9=Q}4? � ([@ <7@� �� #� �4=[Q9<[82 4�� �� (7<�\782� ��� #",��� "�� � ��

��������������������������������������,2=4= �2@4; �52@4;4<[84H�"<Q9:3Q4? *[39@2<3:87==>? $=487<34:7:�95� %��2<Q32� �� "<Q9:3Q� ��� �� /[334��:75� ������������ �� �� e�mail� indegro�yandex�ru

Page 123: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

� � ������" �+���!/�-. $�"�!/�� )�-.% !����-. ���������

"�"� ,2^2<H9Q

%57:[H=>? 28:[;2: K 73:6 9~[<�@[H7==[7 ;=[]73:8[ 4\ H7:><7^ Q[;~[=7=:K �� Zd� N�A� � �� {@7 Zd � ;=[]73:8[ d�;7<=>^ 87Q:[<[8 3 }75[H4357==>;4Q[[<@4=2:2;4� N � Q[=7H=[7 ;=[]73:8[ ;[�=[3:4 m 87Q:[<[8 N Zd� A � Q[=7H�=[7 ;=[]73:8[ ;[�=[3:4 k 3[3:[�=4? Q57:Q4 c 8>@757==>; 3[3:[�=47; ~[Q[� �� �� 5[Q256=2� |9=Q}4� ~7<7^[@[8� [~<7@757==2� =2 ;=[]73:87 `57;7=:[8 [Q<73:=[3:48 @43Q<7:=>7 ;[;7=:> 8<7;7=4 � � Am � A� ~<4 `:[; ���� �� � � � � �� � ���@=[;7<=>7 Q57:[H=>7 28:[;2:>� 9 Q[:[<>^m � � 454 k � �� =2\[8�; [<@4=2<=>;4�(<[4\87@7=47 Cs � dmk \2@27: 35[]=[3:6 9=487<3256=>^ Q57:[H=>^ 28:[;2:[8��4=4;256=>7 \=2H7=4� 35[]=[3:4 9=487<3256=>^ [<@4=2<=>^ Q57:[H=>^ 28:[;2�:[8 8 � [~<7@757=> Q2Q Cs � � �� 4 Cs � �� �� �~<7@757=4� ;[@754<97;[3:4 49=487<3256=[3:4 Q57:[H=>^ 28:[;2:[8 8\�:> 4\ ���!�/!�� �� �X[? [@=[;7<=>? Q57:[H=>? 28:[;2: K 3 _2X5[=[; 3[37@3:82 m;[@754<97:3� 3 \2;7@57=47; m � � [<@4=2<=>; Q57:[H=>? 28:[;2: Ko 3 H435[;3[3:[�=4?

ko �mXi��

ki�

�!�/!�� �� �X[? [@=[;7<=>? Q57:[H=>? 28:[;2: K ;[@754<97:3� 8 <7256=[;;23_:2X7 8<7;7=4 [<@4=2<=>; Q57:[H=>; 28:[;2:[; Ko 3 _2X5[=[; 3[37@3:82

mo � �m� ��dlog� ke�

�!�/!�� �� �9�73:897: 9=487<3256=>? [<@4=2<=>? Q57:[H=>? 28:[;2:Kou 35[]�

=[3:4 Cs � �� ��

"�!/��$/�

�� �� 0� %9@<�8}78� �� �� ([@Q[5\4=� �� �� 0[5[:[8 ���� � # ��� ����� ����������� ��������� ��� �29Q2��� K� Lindgren� M� G� Nordahl ���� � Universal computation in simple one�dimensionalcellular automata� Complex systems �� ��������

��������������������������������������,2^2<H9Q "552<4[= "82=[84H��[7==>? 4=]7=7<=[�Q[3;4H73Q4? 9=487<34:7: 4;� �� #� �[]2?3Q[{[��@2=[83Q2� =2X�� ��� �2=Q:�(7:7<X9<{� ��� ��� /[334��:75� ������� ���������� e�mail� vlars�i��mail�ru

Page 124: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

��.��+!�"! " �&!�%� �"� � 0!�(����/�-.0$ !�-. #$�%&"' � "�!'��� 0"��/��� 0�,"�!

�� �� ,9XQ[8

4=7?=>; X4=2<=>; X2\43[; =2\>827; X2\43 B� � f�������g� 095782 |9=Q�}4� =2\>827:3� X73~[8:[<=[? 8 X2\437� 7354 [=2 ;[]7: X>:6 ~<7@3:2857=2 :7<;[;=2@ `:4; X2\43[;� 8 Q[:[<[; Q2]@2� ~7<7;7==2� 83:<7H27:3� =7 X[577 [@=[{[ <2\2�+5� H4352 X73~[8:[<=>^ |9=Q}4? <2={2 n 8 54=7?=[; X4=2<=[; X2\437 <2=77 X>52~[59H7=2 <7Q9<7=:=2� |[<;952� ~[\8[5���2� =2^[@4:6 `:[ H435[ @5� @[3:2:[H=[X[56_4^ n �� �8:[<[; ~[59H7=2 =7<7Q9<<7=:=2� |[<;952� ~[\8[5���2� 3@752:6@[3:2:[H=[ ^[<[_47 87<^=�� 4 =4]=�� [}7=Q4�

�2 ;=[]73:87 =78[\<23:2��4^ =2:9<256=>^ ~[357@[82:756=[3:7? 887@7; X4=2<�=[7 [:=[_7=47� 09@7; {[8[<4:6� H:[ ~[357@[82:756=[3:6 M� ;[]=[ ~[59H4:6 4\ ~[�357@[82:756=[3:4M�� 7354 M� ~[59H27:3� 4\ M� 54X[ ~9:7; 98754H7=4� =2 7@4=4}9Q2Q[{[�:[ `57;7=:2 qi ~[357@[82:756=[3:4 M�� 54X[ ~9:7; ~<4~43>82=4� 7@4=4}>3~<282 Q M�� � \28434;[3:4 [: M� 4 77 `57;7=:2 qi @5� ~2<> M� � M� [~<7@7�5�7:3� =7Q[:[<>? ~[Q2\2:756 w� (9:7; Q =78[\<23:2��7? ~[357@[82:756=[3:4 M=2\>827:3� =2X[< =78[\<23:2��4^ ~[357@[82:756=[3:7? M��M�� � � � �Ms� {@7 M� �~[357@[82:756=[3:6� 3[3:[��2� 4\ [@=[? 7@4=4}>� Ms �M � 4 wi � ~[Q2\2:756 ~2<>~[357@[82:756=[3:7? Mi� Mi��� &7=[? `:[{[ ~9:4 =2\[87; 8754H4=9

Qs��i�� wi� �754�

H4=9� <28=9� 39;;7 ~[ 8378[\;[]=>; ~9:�; Q =78[\<23:2��7? ~[357@[82:756=[3:4M }7= `:4^ ~9:7? [X[\=2H4; H7<7\ P �M� 4 =2\[87; }7=[? ~[357@[82:756=[3:4 M �

�!�/!��� �435[ Sn X73~[8:[<=>^ X9578>^ |9=Q}4? <2={2 n 8 X2\437 B� ;[]7:X>:6 \2@2=2 |[<;95[?

Sn � � �X

M�Tn��

�P �M� �

kYi��

Lqi

��

{@7 Tn�� �;=[]73:8[ =78[\<23:2��4^ =2:9<256=>^ ~[357@[82:756=[3:7?� 9 Q2]@[?4\ Q[:[<>^ 39;;2 `57;7=:[8 <28=2 n � �� P �M� � }7=2 3[[:87:3:89��7? ~[357@[�82:756=[3:4 �q�� q�� � � � � qk�� Lq 8>H435�7:3� ~[ |[<;957

Lq ��p� � ��

�p�

�� �p��q�� �

�p�� ���p�

���p��q���

� !+���"!� +5� H4352 Sn X73~[8:[<=>^ X9578>^ |9=Q}4? <2={2 n 8 B� 3~<2�87@548> [}7=Q4�

� � �n�� � ��n� ���� � Sn � � � �n�� � ��n� �����{@7 ��n� ���� � Qn

i����i� ���/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �{<2=: � �� ���2��

"�!/��$/�

�� (7<�\78 �� ��� /2\{456@778 �� �� �435[ X73~[8:[<=>^ X9578>^ |9=Q}4? 8 X4=2<�=>^ X2\432^ �� �7\43> @[Q52@[8 =2 XI �7]@9=2<[@=[? Q[=|7<7=}44 ~[ ~<[X57;2;:7[<7:4H73Q[? Q4X7<=7:4Q4� � $56�=[83Q� � ����� � c� ��� � ������������������������������������������,9XQ[8 �57{ �52@4;4<[84H� "<Q9:3Q4? {[3� ~7@� 9=487<34:7:��� �2X7<7]=2�� �� "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��:75� ��������� ������ �� e�mail� nik�math�isu�ru

Page 125: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

� � ������" �+��*� % ����(�� !+����! )����!' 0$ !�-. #$�%&"'

%�+� %4<4H7=Q[

"\9H27:3� ~[<�@[Q 35[]=[3:4 ~[357@[82:756=[3:7? X9578>^ |9=Q}4?� Q[:[<>7\@736 =2\>82�:3� 54=7?=[�@7Q[;~[\4}4[==>;4� 8 <2\54H=>^ ~[5=>^ X2\432^� (93:6\2@2=2 ~<[4\8[56=2� =79=2<=2� X95782 |9=Q}4� g��u� x�� {@7 �u � =7Q[:[<[7 ;=[]73:8[2<{9;7=:[8� 2 x � 8>@757==>? 2<{9;7=:� �[{@2 54=7?=[�@7Q[;~[\4}4[==[? @5� g=2\>827:3� 357@9��2� ~[357@[82:756=[3:6 Gn�

G���u�� x� � g��u�� x� Gn��u�� � � � � �un� x� � Gn����u�� � � � � �un��� g��un� x���

�� �� (7<�\78 8875 ~[=�:47 ;[=[54=7?=[? |9=Q}44 �� 095782 |9=Q}4� f��u� x�=2\>827:3� ;[=[54=7?=[? ~[ 2<{9;7=:9 x� 7354 =2?@7:3� :2Q2� ~[357@[82:756=[3:6\2;7= f�iui 837^ 2<{9;7=:[8 4\ �u� {@7 �i � � 54X[ �i � �� 54X[ �i � y� 54X[ �i � �y�

H:[ f���u � x� y � � #9=Q}4� =2\>827:3� ;[=[54=7?=[?� 7354 [=2 ;[=[54=7?=2 ^[:�

X> ~[ [@=[;9 2<{9;7=:9� 02\43 =2\>827:3� ;[=[54=7?=>;� 7354 8 =7; ;[]=[ 8><2�\4:6 X73~[8:[<=[ ^[:� X> [@=9 ;[=[54=7?=9� |9=Q}4�� +5� ~[357@[82:756=[3:7?54=7?=[�@7Q[;~[\4}4[==>^ X9578>^ |9=Q}4? 3~<287@5482

�!�/!��� !354 B � =7;[=[54=7?=>? X2\43 4 |9=Q}4� g��u� x� ;[=[54=7?=2 ~[2<{9;7=:9 x� :[ =2?@9:3� Q[=3:2=:> c� � � c� � � �� � � 4 �� � � :2Q47� H:[35[]=[3:6 54=7?=[�@7Q[;~[\4}4[==[? ~[357@[82:756=[3:4 X9@7: 9@[857:8[<�:6 357�@9��4; =7<287=3:82;

c�n�� � L�Gn� � c�n

���

4=2H7 =2?@7:3� :2Q2� Q[=3:2=:2 c� H:[

L�Gn� � cn�

�2Q4; [X<2\[;� `:2 :7[<7;2 ~[5=[3:6� [~43>827: 837 359H24� ~<4 Q[:[<>^ 54=7?=[�@7Q[;~[\4}4[==>7 |9=Q}44 4;7�: 54=7?=9� 35[]=[3:6� 837 359H24� Q[{@2 `:4 |9=Q�}44 4;7�: =754=7?=9� 35[]=[3:6 4 93:2=2854827: ~[<�@[Q `:[? 35[]=[3:4�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �~<[7Q: �� ������

"�!/��$/�

�� (7<�\78 �� �� ������ $��!�� �� ��� ������ ����� ������� ��������� ������������ ���� ��� "<Q9:3Q4? 9=�:7:� �7<4�� +43Q<7:=2� ;2:7;2:4Q2 44=|[<;2:4Q2� �>~� �� "<Q9:3Q� ����� �� 3�

��������������������������������������%4<4H7=Q[ %[=3:2=:4= +;4:<4784H�"<Q9:3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:� "���95� %2<52 �2<Q32� �� "<Q9:3Q� �� � � /[334��:75� ��������� � ������� e�mail� const�math�isu�ru

Page 126: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

� �"���%�"�!�%". %��*/$��&"�. 0!�(����/�-. �,-%����+ %��!��-�" � #��"���"

�� �� %57~4=4=

+2==[7 43357@[82=47 ~<[@[5]27: 37<4� <2X[:� ~[38��7==>^ 4\9H7=4� Q[;X4=2�:[<=[�25{7X<24H73Q4x 38[?3:8 X73Q[=7H=>^ X73~[8:[<=>^ �\>Q[8�

(93:6 L � ~<[4\8[56=>? X73Q[=7H=>? �\>Q =2@ Q[=7H=>; 25|284:[; �� \2;Q=9�:>? [:=[34:756=[ 8\�:4� ~[@35[8� �[{@2 @[~[5=7=47 I Q L 8 �� �85�7:3� 4@725[;�%[={<9`=}4� 3 7@4=3:87==>; =7:<484256=>; Q5233[; I =2\>827:3� <43[83Q[? Q[=�{<9`=}47? ~[ 4@7259 I� �24X[56_2� Q[={<9`=}4� L� @5� Q[:[<[? �\>Q L �85�7:3�[X�7@4=7=47; Q5233[8� =2\>827:3� 34=:2Q34H73Q[? Q[={<9`=}47? �\>Q2 L�

� ~<[}7337 43357@[82=4� 8 =7Q[:[<[; 3;>357 `Q3:<7;256=[ X73~[8:[<=>^ �\>Q[8�~[3:<[7==>^ ~[ X73Q[=7H=>; 34;8[56=>; ~[357@[82:756=[3:�;� X>5[ [X=2<9]7=[�3;� =2~<�� �� ��� H:[ 34=:2Q34H73Q47 Q[={<9`=}44 `:4^ �\>Q[8 3[8~2@2�: 3 <4�3[83Q4;4 Q[={<9`=}4�;4 ~[ 4^ @[~[5=7=4�;� �|[<;954<[82==>? =4]7 <7\956:2:93:2=2854827: X[577 [X�47 ~<4H4=> :2Q[{[ 93:<[?3:82 34=:2Q34H73Q4^ Q[={<9`=�}4? X73~[8:[<=>^ �\>Q[8�

�\>Q L =2\>827:3� �������� 7354 @5� ~<[4\8[56=[{[ 35[82 v � L 39�73:897::2Q[7 }75[7 H435[ nv� H:[ v 3[@7<]4:3� 8 Q2H73:87 ~[@35[82 8[ 83�Q[; 35[87 w �L @54=> X[56_7? nv� �\>Q L =2\>827:3� "����� ����������� %� ������� 735439�73:897: :2Q[7 }75[7 H435[ k�L�� H:[ =4Q2Q[7 35[8[ 4\ L =7 3[@7<]4: ~[@35[8 84@2xk�L��

������ $����� �� ��" ������%���" � �������� ���������� ���� �������"��" ��� �� �������� "���� ����������� %� ������ ������ �� � ���������%���� �� ��������� �� %���� "�����

�:;7:4; 357@9��77��� $35[84� :7[<7;> 39�73:87==>� =[ =7[X^[@4;>;4 =7 �85��:3���� +2==>? <7\956:2: [^82:>827: @[8[56=[ _4<[Q4? Q5233 [X�7Q:[8� � H23:=[3:4� 8`:[: Q5233 ~[~2@2�: 837 =24X[577 4\873:=>7 X73~[8:[<=>7 �\>Q4��� "\ :7[<7;> 357@97:� H:[ �\>Q4 <233;2:<4827;[{[ Q52332 =7 ;[{9: X>:6 �<2\5[�]7=>� =2 X[577 ~<[3:>7 3[3:285���47� :� 7� 93:<[7=> 35[]=[�

"�!/��$/�

�� %57~4=4= �� ��� �9^2=[8 !� �� ������ # ������������� �� ��� "���� &������� +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43357@[82=47 [~7<2}4?� �7<� �� �� �� ��� c����� ��� �9^2=[8 !� ��� �9< �� �� ������ #� ����� ��� ���������� "���� �� �5{7X<24 [{4Q2� :� ��� � �� c� �������

��������������������������������������%57~4=4= �57Q32=@< �52@4;4<[84H�$<2563Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:~<� 7=4=2� ��� �� ��� !Q2:7<4=X9<{�:75������������������� |2Q3 ��������������� �� e�mail� alklepin�mail�utnet�ru

Page 127: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ������ ��������� ����

� (!/"�+"�!�%". ����"��-. � ���.

1��� %[=[825[82� ���� �9<

�23:4H=[7 35[8[ @54=> n =2@ 25|284:[; A ;[]7: X>:6 [~<7@757=[ �3;� �� Q2QH23:4H=2� |9=Q}4�

W � f�� � � � � ng � A�

�X[\=2H4; H7<7\ D�W � ;=[]73:8[ ~[\4}4? p � f�� � � � � ng :2Q4^� H:[ W �p� [~<7�@757=2� %2]@[;9 H23:4H=[;9 35[89 W =2@ 25|284:[; A ~[3:284; 8 3[[:87:3:847[X>H=[7 35[8[ =2@ <23_4<7==>; 25|284:[; A� � A f�g� 3H4:2� W �p� � � @5�p �� D�W �� �4;8[5 � =2\[8�; �!������

�23:4H=[7 35[8[ W 4;77: ����� p� 7354 @5� 837^ i� j � D�W ��

i � j �mod p�� W �i� � W �j��

+5� ~7<4[@4H73Q4^ 35[8 [3[X>? 4=:7<73 ~<7@3:285�7: \2@2H2 [ 8\24;[@7?3:844~7<4[@[8� �X>H=[ <23;2:<4827:3� 359H2? @89^ ~7<4[@[8� "3357@[82=47 @2==[? \2�@2H4 @5� [X>H=>^ 35[8 ;[]=[ =2?:4� =2~<4;7<� 8 �� %52334H73Q2� ~[3:2=[8Q2 `:[?\2@2H4 ;[]7: X>:6 ~7<7|[<;954<[82=2 @5� H23:4H=>^ 35[8 357@9��4; [X<2\[;�Q2Q[? @54=> @[5]=[ X>:6 H23:4H=[7 35[8[� 4;7��77 ~7<4[@> p� q 4 3[@7<]2�77 k@][Q7<[8� H:[X> [=[ :2Q]7 {2<2=:4<[82==[ 4;75[ ~7<4[@ ��+�p� q�� �2Q9� @54�=9 X9@7; =2\>82:6 [~:4;256=[?� 7354 H23:4H=[7 35[8[ ;7=6_7? @54=> 3 :7;4 ]7~2<2;7:<2;4 ;[]7: =7 4;7:6 ~7<4[@2 ��+�p� q�� �23:4H=[7 <7_7=47 \2@2H4 @27:357@9��2�

�!�/!��� (93:6 H23:4H=[7 35[8[ U 4;77: 8\24;=[ ~<[3:>7 ~7<4[@> p � q 43[@7<]4: k @][Q7<[8� !354 k � b��p � q��qc 4

jU j � bk��p � q � ��cpq � �k mod �p� q � �� � ��q�

:[ H23:4H=[7 35[8[ U 4;77: ~7<4[@ ��

!354 <233;2:<482:6 [~:4;256=9� @54=9 35[82 U Q2Q |9=Q}4� [: k ~<4 ~2<2�;7:<2^ q 4 p� :[ Q[`||4}47=: ~<4 k 8 ~<487@�==[? [}7=Q7 �85�7:3� :[H=>;� :� 7�[}7=Q2 [:54H27:3� [: [~:4;256=[? :[56Q[ =2 Q[=3:2=:9� =7 ~<78[3^[@��9� q�

�59H2?� Q[{@2 ��+�p� q� � �� :<484256=[ 38[@4:3� Q 359H2� 8\24;=[ ~<[3:>^~7<4[@[8�

"�!/��$/�

�� J�Berstel� L�Boasson ������ Partial words and a theorem of Fine and Wilf� Theor�Comp� Sci�� ���� ��������

�� C�Cho�rut� J�Karhum�aki ������ Combinatorics of words� in� G�Rosenberg� A� Salo�maa �Eds��� Handbook of formal languages� v��� Ch��� Springer� Berlin�

��������������������������������������%[=[825[82 154� �2345678=2� �9< �<37=4? �4^2?5[84H�$<2563Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:� ~<� 7=4=2� ��� �� ��� !Q2:7<4=X9<{�:75� ���������������� e�mail Arseny�Shur�usu�ru

Page 128: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

� /�,0"!�"�. %�+�� .!��"�*� �� �!(!/!�!%�1�"!��%��(��!��-

�����25�{4=� ����/[;2=[8

�2?@7=> =[8>7 <2\X47=4� @8[4H=>^ Q[@[8 .7;;4={2 =2 =7~7<737Q2��473� Q[;�~[=7=:>� Q[:[<>7 ~[\8[5��: =2?:4 X[577 [X�9� Q[=3:<9Q}4� =754=7?=>^ 3[87<�_7==>^ Q[@[8� ([3:<[7=47 <2\X47=4� [3=[8>827:3� =2 =7[X^[@4;>^ 4 @[3:2:[H=>^935[84�^ =7~7<737Q27;[3:4 Q[;~[=7=: @8[4H=[{[ Q[@2 .7;;4={2�

� n�;7<=[; 87Q:[<=[; ~<[3:<2=3:87 En =2@ ~[57; *2592 GF ��� <233;2:<4827:3�54=7?=>? 3[87<_7==>? Q[@ Hn @54=> n� {@7 n � �k � �� k � �� (93:6 Ri � ~[@�~<[3:<2=3:8[� ~[<[]@7==[7 87Q:[<2;4 8732 � Q[@2 Hn 3 7@4=4H=[? i�Q[[<@4=2:[?�([@;=[]73:82 Ri � u �u � Hn� =2\>82�:3� i������������ Q[@2 Hn�

������� '�� ����� n � �k � � �k � �� � ����� l( � � l � k � log�n � ��( �) ��� ������� ���� *������ Hn �� i���������� �� � i � �l�( ���������� ��!��� i( � � i � �l( ��� " ��n������k�l i����������

%<4:7<4? =7~7<737Q27;[3:4 Q[;~[=7=: Q[@2 .7;;4={2� =2 Q[:[<[; [3=[82=> <2\�X47=4�� [X[X�27: @[3:2:[H=>7 935[84� =7~7<737Q27;[3:4 Q[;~[=7=: 4\ �� � � 93:2�=[857=[� H:[ @[3:2:[H=>7 935[84� 4\ � �85��:3� :2Q]7 =7[X^[@4;>;4 ~<4 n � ���

+2==2� <2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �~<[7Q: �� �� �����#7@7<256=[? }7578[? ~<[{<2;;> �"=:7{<2}4���

"�!/��$/�

�� /[;2=[8 �� �� # �� ������ ������� �������� ������� ���� ��� �� ����� �� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@� [~7<2}4?� �7<� �� ����� �� �� � �� �� ������

�� �25�{4= �� ��# ���� ���� ������� ������� ���� ����� +, �� +43Q<7:�2=254\ 4 43357@� [~7<2}4?� �7<� �� ����� �� �� � �� �� ������

���������������������������������������25�{4= �7<{7? �<:7;6784H� /[;2=[8 �57Q32=@< �4^2?5[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /��~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ��������� e�mail� mal�math�nsc�ru

Page 129: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

�&!�%" � ������" �"��� )�-. (�� !+����! )����!'��(/!+! �!�-. (���%��-�" 0$ !�-�" #$�%&"��"

1����7<7Q4=

/23;2:<4827:3� 35[]=[3:6 ~<[}7@9<> ~[3:<[7=4� 35[8 8 25|284:7 f � �g� � ~<[�}7337 ~[3:<[7=4� 43~[56\97:3� [~7<2}4� Q[=Q2:7=2}44 35[8 U 4 V � /7\956:2:[;[~7<2}44 �85�7:3� 35[8[ UV � ~[59H7==[7 ~<4~43>82=47; 3~<282 Q 35[89 U 35[82 V �([357@[82:756=[3:6 35[8 � ��X� Y� � � � � Z =2\>827:3� ���� ����������� 35[82 Z 4[X[\=2H27:3� H7<7\ S� 7354 @5� 5�X[{[ 35[82 W 4\ `:[? ~[357@[82:756=[3:4� =2H4=2�3[ 35[82 X� 8 =7? 4;7�:3� :2Q47 35[82 U 4 V �8[\;[]=[� U � V �� ~<7@_73:89��4735[89 W � H:[ W � UV � ([@ ��!�� ��� L�S� 3^7;> S Q[=Q2:7=2}44 35[82 Z ~[�=4;27:3� H435[ 35[8 8 ~[357@[82:756=[3:4 X�Y� � � � � Z� (93:6 L�Z� � minL�S�� {@7;4=4;9; X7<7:3� ~[ 8378[\;[]=>; 3^7;2; Q[=Q2:7=2}44 35[8 Z� �754H4=2 L�Z�=2\>827:3� ���������������� ��!�� ��� 35[82 Z�

�X[\=2H4; H7<7\ Wk�l�m 35[8[�3:[5X7} \=2H7=4? :2X54}> 43:4==[3:4 ~[�3Q[8[?X9578[? |9=Q}44 f�x�� � � � � xk�l�m���� Q[:[<2� ~<4=4;27: \=2H7=47 7@4=4}> :[56Q[=2 =2X[<2^� 3[@7<]2�4^ =7 ;7=77 k � � 4 =7 X[577 k � l 7@4=4}�

+5� 35[8� [~<7@75�7;>^ ~[�3Q[8>;4� `57;7=:2<=>;4 4 ;[=[:[==>;4 34;;7:<4�H73Q4;4 X9578>;4 |9=Q}4�;4� 8 Q52337 3^7; Q[=Q2:7=2}44 35[8 ~[59H7=> 2334;~:[�:4Q4�

L�Wk�l�m� � kl � lm� km� k� l�m���L�Wk���m� � km� k�m���L�Wk�l��� � kl� k� l���

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 /##" �~<[7Q: �� �� �����

���������������������������������������7<7Q4= 1<4? �52@4;4<[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75�� ������ ��� ���� |2Q3� ������ ��� ���� e�mail� merekin�math�nsc�ru

Page 130: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

�##!%�"���� +"�*����"%� �!"�(/������!'� ��������-. �!��.

�����[3Q[8

(<7@52{2�:3� =[8>7 ;7:[@> 34=:7\2 3^7;� <7254\9��4^ 28:[;2:=>7 |9=Q}44��:4 ;7:[@> ~[\8[5��: 3:<[4:6 3^7;>� 8 Q[:[<>^ 3 ~[;[�6� :73:[8>^ ~<[}7@9<;[]=[ @[3:2:[H=[ :[H=[ 9Q2\>82:6 ;73:2 8 3^7;7� {@7 4;7�:3� =743~<28=>7 `57;7=�:>� /233;2:<4827;>7 3^7;> �85��:3� ~<7@3:2857=4�;4 Q[=7H=[{[ 28:[;2:2 3^7;[?S 8 X2\437 4\ 3456=[ 38�\=>^ 28:[;2:[8 �454 4 `57;7=:[8� <7254\9��4^ X9578>|9=Q}44� (<7@~[52{27:3�� H:[ Q2]@>? 28:[;2: 4\ X2\432 4;77: =7 X[577 k 8=9�:<7==4^ 3[3:[�=4?� �^[@=>; 25|284:[; X2\43=>^ 28:[;2:[8 �85�7:3� ;=[]73:8[r�<2\<�@=>^ X9578>^ 87Q:[<[8� �^[@=>; 25|284:[; 28:[;2:2� ~<7@3:2857==[{[ 3^7�;[? S� �85�7:3� ;=[]73:8[ n�<2\<�@=>^ X9578>^ 87Q:[<[8� �~432=[ ~<7[X<2\[82=47~<[4\8[56=[? 3^7;> S 8 3^7;9 S�� (<4 `:[; ~<7[X<2\[82=44 ~<[4\8[56=2� \2@2==2�H23:6 B 3^7;> S \2;7=�7:3� 3^7;[? C� 2 [3:28_2�3� H23:6 3^7;> S =7 ;7=�7:3���^7;2 S� 4;77: X[56_7 8^[@[8 4 8>^[@[8 H7; 3^7;2 S� !354 =2 @[~[5=4:756=>7 8^[�@> 43~<28=[? 3^7;> S� ~[@2�:3� =954� :[ =2 77 [3=[8=>^ 8>^[@2^ <7254\9�:3� :7]7 28:[;2:=>7 |9=Q}44� H:[ 4 =2 8>^[@2^ 3^7;> S� +[~[5=4:756=>7 8>^[@> 3^7;>S� 43~[56\9�:3� @5� 77 :73:4<[82=4��

�2?@7=[ 35[8[ V � ~[@28 Q[:[<[7 =2 8^[@> 3^7;> S� 4 ~[59H48 77 8>^[@=[7 35[8[�;[]=[ 9Q2\2:6 =7X[56_47 [X523:4 8 C� 8 Q[:[<>^ =2^[@�:3� =743~<28=>7 `57;7=:>��5[8[ V [~<7@75�7:3� ~[ 3:<9Q:9<7 43~<28=[? 3^7;> S 4 =7 \28434: [: 4;7��4^3�8 Q[=:<[54<97;[? 3^7;7 =743~<28=[3:7?� �2Q[{[ <[@2 ~<[}7@9<> Q[=:<[5� =2\>82��:3� ��� ������ � ����� �5[8[ V 4;77: @54=9 d� � �rk��k� ln��k�e�

$Q2\2=2 4 @<9{2� ~<[}7@9<2� ~<4 Q[:[<[? 3:<[4:3� 35[8[ W � 3[3:[��77 4\ =7�3Q[56Q4^ ~[@35[8� (<4 7{[ ~[3:<[7=44 Q2]@[7 [H7<7@=[7 ~[@35[8[ =2^[@4:3� 3 9H7:[;<72Q}44 3^7;> S � =2 ~[@35[82� 9]7 8Q5�H7==>7 8 35[8[ W � �2Q2� ~<[}7@9<2 Q[=�:<[5� =2\>827:3� � ����� � ���� �^7;2 S� @[~93Q27: @42{=[3:4Q9 3 ~[;[�6�35[82 W c ^[<[_7? 5[Q254\2}47? =743~<28=[3:7?� +54=2 35[82 W =7 ~<78[3^[@4:RB�r��k ln k� {@7 RB � H435[ 28:[;2:[8 8 3^7;7 B� Q2]@>? 4\ Q[:[<>^ 4;77: X[577[@=[{[ 8=9:<7==7{[ 3[3:[�=4�� "\ 3<28=7=4� [}7=[Q @54= 35[8 V 4 W 84@=[� H:[935[8=>7 :73:> ;[{9: X>:6 \=2H4:756=[ X[577 Q[<[:Q4;4� H7; X7\935[8=>7�

�23:6 ~[59H7==>^ <7\956:2:[8 [~9X54Q[82=2 8 �� ��"3357@[82=47 8>~[5=7=[ ~<4 ~[@@7<]Q7 /##" �{<2=: �� �� ��� 4 #7@7<256=[?

}7578[? ~<[{<2;;> �"=:7{<2}4���

"�!/��$/�

�� �[3Q[8 �� �� -����� ���� �� �� �� ��������� ���� �� �� +43Q<7:� 2=2�54\ 4 43357@� [~7<2}4?� �7<� �� ����� �� �� N �� �� �������� �[3Q[8 �� �� #� � ����� � ��� ��" �������" �� ������� �� +43Q<7:�2=254\ 4 43357@� [~7<2}4?� �7<� �� � �� �� �� N �� C� ������

���������������������������������������[3Q[8 �4Q:[< �4Q[52784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75���������� ��������� e�mail� noskov�math�nsc�ru

Page 131: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

� �"� ! (�(�/�� �!(!/!�!%�1�".�� *��" )�����-.&"% �� � */�#�. +! 0/!'��

�� ��

(93:6 Inm � ;=[]73:8[ 837^ <2\54H=>^ 35[8 @54=> n 8 25|284:7 f � �� ����m� �g�*<2|2;4 @7 0<7?=2 B�m�n�� m � �� n � � =2\>82�:3� [<47=:4<[82==>7 {<2�|> 3 ;=[]73:8[; 87<_4= Inm 4 ;=[]73:8[; @9{ In��m � "\873:=[ �� H:[ {<2|> @70<7?=2 {2;456:[=[8> 4 H435[ <2\54H=>^ {2;456:[=[8>^ }4Q5[8 8 B�m�n� <28=[�m��m

n��

�mn��� �254H47 <�@2 38[?3:8 �[{<2=4H7==[3:6 3:7~7=7? 87<_4=� =7X[56�_[? @42;7:< 4 :� @�� @7527: {<2|> @7 0<7?=2 9@[X=[? ;[@756� Q[;;9=4Q2}4[==[?37:4 38�\4� �@=[? 4\ ^2<2Q:7<43:4Q =2@7]=[3:4 :2Q[? 37:4 �85�7:3� =24X[56_77H435[ h�m�n� ~[~2<=[ =7~7<737Q2��4^3� {2;456:[=[8>^ }4Q5[8 8 {<2|7 B�m�n�� �<2X[:7 � X>54 ~[59H7=> 357@9��47 \=2H7=4� h�m�n�� h��� n� � �� h�m� �� � m � �@5� 837^ m �� �� �� h��� �� � �� h��� �� � �� h��� �� � �� �2; ]7 X>5[ 8>3Q2\2�=[ ~<7@~[5[]7=47 [ :[;� H:[ ~<4 837^ m � � 4 n � � 3~<287@548> =7<287=3:82m� � � h�m�n� � m� �� �7<^=�� [}7=Q2 [H784@=2 4 357@97: 4\ :[{[� H:[ 9 Q2]@[?4\ 87<_4= 84@2 �n� � � � �� ����m � �� H435[ 8^[@��4^ 4 43^[@��4^ @9{� [:54H�=>^ [: ~7:756� <28=[ m� �� �:=[34:756=[ =4]=7? [}7=Q4 4;7�: ;73:[ 357@9��479:87<]@7=4��

������ � �� +5� 5�X>^ m � �� n � � 3~<287@548[ =7<287=3:8[ h�m�n� � �������� � �� +5� 5�X[{[ n � � h��� n� � ��"\ :7[<7;> � 4 87<^=7? [}7=Q4 357@97:� H:[ h��� n� � � 4 � � h��� n� � �� �

~[357@=7; 359H27 [X7 {<2=4}> @[3:4]4;>� h��� �� � �� �� h��� �� � �� �������� �� +5� 5�X>^ n � � 4 ~<[3:>^ m � � 3~<287@548[ =7<287=3:8[

h�m�n� � �� "�!/��$/�

�� 0<7?= �� *� ������ #��� ������������" ������� %4X7<=7:4H73Q4? 3X[<=4Q��>~� �� ��� �4<� 3� ���� �� Bond J�� and Ivanyi A� ������ Modelling of interconnection networks using de Bruijngraphs� �� In� Third Conference of Program Designers� Eotvos Univ� publ�� Budapest�p��������� �� �� ������ # �� � ������� ������������� ������������ ����� ������ �.����� �� �[8[34X4<3Q� � ��3� � �(<7~<4=:� �� �� ���/� "=�: ;2:7;2:4Q4� N����

���������������������������������������� �52@4;4<� "=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� ��[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail nyu�math�nsc�ru

Page 132: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

����"! �/"��*$ �&""

�� �� �Q8[<}[8

/233;2:<4827:3� \2@2H2 9~2Q[8Q4 3:<9Q:9<> :<42={95�}44 @5� 3[^<2=7=4� 8[8=7_=7? ~2;�:4� � Q2H73:87 X2\[8[{[ ;7:[@2 3]2:4� 43~[56\97:3� 59H_4? 4\ 4\�873:=>^ ���� ������" �shelling method� �� \2Q5�H2��4?3� 8 ~[357@[82:756=[;[X^[@7 837^ :<79{[56=4Q[8 :<42={95�}44� =2H4=2� [: =7Q[:[<[{[ =2H256=[{[ Q 3;7]�=>;� �:[: ;7:[@ 2=25[{4H7= ;7:[@9 ~[43Q2 8 _4<4=9� (<4 [X^[@7 :<79{[56=4Q[8~[@@7<]4827:3� ���)�" ��������;=[{[9{[56=4Q� [^82:>82��4? 837 ~<[?@7==>7:<79{[56=4Q4� (<4 ~<[^[@7 H7<7\ [H7<7@=[? :<79{[56=4Q 8 \28434;[3:4 [: 7{[ <23�~[5[]7=4� [:=[34:756=[ :7Q9�7? {<2=4}> {7=7<4<9�:3� <2\54H=>7 9~<285���47Q[@>� ~[ Q[:[<>; 8 X9@9�7; ;[]=[ 8[33:2=[84:6 ~[357@[82:756=[3:6 [X^[@2� ~[357`:[{[ :7Q9�2� {<2=4}2 98754H4827:3�� +2==>? ;7:[@ ~[\8[5�7: 3]4;2:6 :[~[5[�{4H73Q47 [:=[_7=4� 8 :<42={95�}44 @[ ��� X4: =2 9\75 :<42={95�}44 �=7 3H4:2�3]2:4� Q[[<@4=2: 9\5[8��

� <2X[:7 <233;2:<482�:3� =[8>7 ;7:[@> 3]2:4�� ~[\8[5���47 8 Q[;X4=2}447�7 X[577 H7; @89Q<2:=[ ~[8>34:6 9<[87=6 3]2:4� ~[ 3<28=7=4� 3 [<4{4=256=>;25{[<4:;[;� � ���� �������� ����� ���� [H7<7@=2� :[HQ2 <[3:2 :7Q9�7? {<2�=4}> 8>X4<27:3� :2Q� H:[X> _759_7=47 :<42={95�}44 ~<[43^[@45[ ;2Q34;256=[<28=[;7<=[� �:[ ~[\8[5�7: 3[Q<2:4:6 Q[54H73:8[ 5[]=[ {7=7<4<97;>^ Q[@[8� +2577Q ~[59H7==[? ~[357@[82:756=[3:4 9~<285���4^ Q[@[8 ~<4;7=�7:3� Q2Q[?�54X[ ;7�:[@ 9=487<3256=[{[ 3]2:4�� � <2X[:7 2=254\4<9�:3� ;7:[@> .2||;2=2 4 LZW� ����� ������������ ���������" ~<4 {7=7<2}44 [H7<7@=[{[ 9~<285���7{[ Q[@22=254\4<97:3� :7Q9�2� 34:92}4� <[3:2 :7Q9�7? {<2=4}> :<42={95�}44� ~<4 `:[;8>@75�7:3� � <2\54H=>7 34:92}44 8 \28434;[3:4 [: 8754H4= 9{5[8 =2 :7Q9�7? {<2�=4}> [Q[5[ :7Q9�7{[ <7X<2� +5� Q2]@[? 34:92}44 3:<[4:3� 38[? 4=4@484@9256=>?Q[@ .2||;2=2� H:[ 8 <7\956:2:7 ~[\8[5�7: @[3:4H6 9<[8=� 3]2:4� 8 ���� X4: =2 9\75:<42={95�}44�

"�!/��$/�

�� L� De Floriani� P� Magillo� E� Puppo �� � Compressing Triangulated IrregularNetworks� Geoinformatica� �� N �� ������

���������������������������������������Q8[<}[8 �57Q37? �52@4;4<[84H��[;3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� 7=4=2� ��� �[;3Q� ��� � � /[334��:75� ��������� ��������� e�mail� skv�csd�tsu�ru

Page 133: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

��� )*��- %��0"����/�-. ,�+��

!� �� �Q8[<}[8� �� �� 0952:[8

� Q[;X4=2:[<=[? \2@2H7 CSP �[: 2={54?3Q[{[ Constraint Satisfaction Problem�:<7X97:3� [~<7@754:6� 8>~[5=4;2 54 8 @2==[? ;[@754 ��������� �������� :� 7�`Q\43:7=}4256=2� |[<;952� H6� X73Q82=:[<=2� H23:6 73:6 Q[=6�=Q}4� 2:[;2<=>^|[<;95� "\9H2�:3� Q5233> \2@2H CSP� 8 Q[:[<>^ 4=:7<~<7:2}44 ~<7@4Q2:=>^ 34;�8[5[8 |[<;95> X7<9:3� 4\ =7Q[:[<[{[ |4Q34<[82==[{[ ;=[]73:82� +5� ;=[]73:82 �@[~93:4;>^ 4=:7<~<7:2}4? 3[[:87:3:89��4? Q5233 CSP [X[\=2H27:3� H7<7\ CSP����� :[ 8<7;� Q2Q [X�2� \2@2H2 CSP �85�7:3� NP�~[5=[?� [{<2=4H7==>7 77 ~[@\2@2H4;[{9: 4;7:6 ~[54=[;4256=>? <7_2��4? 25{[<4:;�

� � ~[Q2\2=[� H:[� 8[�~7<8>^� @[3:2:[H=[ <233;2:<482:6 54_6 :7 ;=[]73:82 ��Q[:[<>7 \2;Q=9:> [:=[34:756=[ @4[|2=:[8>^ |[<;95� :� 7� �85�7:3� ������� ���������� 8[�8:[<>^� Q2]@[? \2@2H7 CSP��� ;[]7: X>:6 3[~[3:2857= :2Q[? Q5[= |9=Q�}4?� H:[ 35[]=[3:6 \2@2H4 ~[5=[3:6� [~<7@75�7:3� 38[?3:82;4 Q5[=2�&��������� \2@2H CSP���� 4 CSP���� =2\>827:3� \2@2H2 CSP���� {@7 � 3[3:[4:

4\ @4\��=Q}4? ������ �� � ��� �� � ��� 4;7��4^ [@4=2Q[89� 2<=[3:6� � � @[Q2\2=[�H:[ 7354 ����� [~<7@757=> =2 @4\��=Q:=>^ ;=[]73:82^� :[ 2;256{2;2 <2\<7_4;2\2 ~[54=[;4256=[7 8<7;� :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 CSP���� 4 CSP���� :2Q[8>� �� 43357@[82=> =7Q[:[<>7 H23:=>7 359H24 8 ~<7@~[5[]7=44� H:[ ����� [~<7@757=>=2 [@=[; 4 :[; ]7 ;=[]73:87�

� @2==[? <2X[:7 =2?@7=> =7[X^[@4;>7 4 @[3:2:[H=>7 935[84�� ~<4 Q[:[<>^ <2\�<7_4;[3:6 \2@2H CSP����� CSP���� \2 ~[54=[;4256=[7 8<7;� 857H7: <2\<7_4;[3:64^ 2;256{2;> \2 ~[54=[;4256=[7 8<7;� 8 359H27� Q[{@2 ����� [~<7@757=> =2 ~<[4\�8[56=>^ Q[=7H=>^ ;=[]73:82^� 9Q2\2=> 25{[<4:;>� 38[@��47 2;256{2;9 Q 77 Q[;�~[=7=:2;� 43357@[82=[ 3:<[7=47 Q5[=2 |9=Q}4?� 3[[:87:3:89��7{[ 2;256{2;7�

"�!/��$/�

�� Jeavons P� ������ On the algebraic structure of combinatorial problems� TheoreticalComputer Science�V� � � p� ����� ��

�� Cohen D�� Jeavons P�� Gault R� �� � New Tractable Constraint Classes from Old�Principle and Practice of Constraint Programming� �CP�� �� Lecture Notes in ComputerScience� V� ���� p������� �

�� Cohen D�� Jeavons P�� Jonsson P�� Koubarakis M� �� � Building tractable disjunctiveconstraints� Journal of the ACM� V� ��� p���������

���������������������������������������Q8[<}[8 !8{7=4? �7<{7784H� 0952:[8 �=@<7? �<=[56@[84H�$<2563Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� 7=4=2� ��� �� ��� !Q2:7<4=X9<{� :75� ���������������|2Q3 ������������ �� e�mail� andrei�bulatov�usu�ru� andrei�bulatov�usu�ru

Page 134: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

0!�%$0�-! � ��� � ���0�+��' (� $*/$((! � +�$���0/�,$1�"�"

!��� �9^2=[8� %��� %[3:[93[8

�57;7=:2;4 ~[59{<9~~> 3 @89;� [X<2\9��4;4� 38[X[@=[? 8 ;=[{[[X<2\44� [~<7�@75�7;[; :[]@73:8[; x� � x�� �85��:3� Q5233> `Q848257=:=>^ �~[ 3[[:87:3:89��7?Q[={<9`=}44� 35[8 8 25|284:7 4\ @89^ 34;8[5[8� �2_7? }756� �85�7:3� 8>�857=47=7Q[:[<>^ Q[;X4=2:[<=>^ 38[?3:8 :2Q4^ Q5233[8�

/2=77 8 � X>5[ @[Q2\2=[� H:[ 8 [@=[; Q52337 =7 ;[]7: 3[@7<]2:63� X[577 [@=[{[35[82 �9`��[<32� �:4 35[82� Q2Q 4\873:=[� �85��:3� 3456=[ X73Q9X=>;4� "=:7<73�=>; �85�7:3� 8[~<[3 [ :[;� Q2Q <23~<7@757=> ~[ Q52332; 9Q2\2==[? `Q848257=:=[3:4~<[4\8[56=>7 3456=[ X73Q9X=>7 4 ~<[4\8[56=>7 X73Q9X=>7 35[82�

([59H7=> 357@9��47 <7\956:2:>��� +5� 5�X[{[ H4352 M � 39�73:89�: :2Q47 `Q848257=:=>7 4 X73Q9X=>7 35[82

F 4 G� H:[j F jj G j � M�

�� +5� 5�X[{[ H4352 N � 39�73:897: Q5233 `Q848257=:=[3:4� 8 Q[:[<[; 3[@7<�]4:3� X[577 N X73Q9X=>^ 35[8�

�� %2]@[7 35[8[ �9`��[<32 �85�7:3� 7@4=3:87==>; 3456=[ X73Q9X=>; 35[8[; 838[7; Q52337 `Q848257=:=[3:4�

"�!/��$/�

�� 02Q4<[8 ��#�� �9^2=[8 !��� #� ����� �� � �� /�%� �� � �� "\873:4�$<2563Q[{[ {[3� 9=�:2� � � :� ��� � �� c� ����

���������������������������������������9^2=[8 !8{7=4? �4:256784H�$<2563Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� 7=4=2� ��� !Q2:7<4=X9<{� �� ��� /[334��:75������������������� |2Q3 ��������������� �� e�mail� evgeny�sukhanov�usu�ru

Page 135: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����

PALINDROMES IN ROTE SEQUENCES

A� E� Frid

A palindrome is a word of the form a�a� � � � an� where ai � an�i�� for all i� like in words����� or noon� The palindrome complexity is the function of an in�nite word counting thenumber of palindromes of a given length occuring in it� It was studied e� g� in �� whereit was proved in particular that if the number of all words occuring in an in�nite wordgrows linearly� then the palindrome complexity of this word is bounded by a constant�We generalize another result of that paper by counting the arithmetical complexity ofso�called Rote sequences� They are de�ned in � as sequences w � w�w�w� � � � wn � � �generated as follows�

wn �

� � if �c� n�� mod � � � ����� if �c� n�� mod � � �� ���

Here c� � and � are real numbers� � � � �� � � � min��� � � ��� � is irrational�The construction is shown below� we write a each time when the line y � c � �x

meets an integer vertical line in a blank region and a � when it meets a vertical line in ashadowed region�

Such sequences on the alphabet f � �g for all c� � and � are known to contain exactly�n words of each length n� We prove that for each length� exactly two of these wordsare palindromes� and show how to �nd them� So� the palindrome complexity of suchsequences is a constant function equal to �� This generalizes a result of � where the caseof � � ��� was considered�

Supported in part by RFBR grants � �� ��� and �� �� ��� and federal programm�Integratsiya��

REFERENCES

�� J��P� Allouche� M� Baake� J� Cassaigne� D� Damanik �� �� Palindrome complexity�Theoret� Comp� Sci�� to appear��� G� Rote ������ Sequences with subword complexity �n� J� Number Th� � � ��������

��������������������������������������Anna E� Frid� Sobolev Institute of Mathematics�pr� Academica Koptyuga �� Novosibirsk� �� � � Russia�phone� ���������� ��������� fax� ���������� ��������� e�mail� frid�math�nsc�ru

Page 136: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���� ���

� � �0�(����/�-. 0$ !�-. #$�%&"�.� �+��� 0�,"�!

"�%� �2<2=^278

095782 |9=Q}4� =2\>827:3� 352X[~[8:[<=[? 8 X2\437 B� 7354 837 77 [3:2:[H=>7~[@|9=Q}44 <7254\9�:3� 8 B :7<;2;4 X7\ ~[8:[<7=4� ~7<7;7==>^� =[ 32;2 |9=Q}4�=7 4;77: :2Q[? <7254\2}44�

� ��� ~[59H7=[ [~432=47 837^ 352X[~[8:[<=>^ |9=Q}4? @5� =7Q[:[<>^ X2\43[8��8:[<[; ~[59H7= 357@9��4? <7\956:2:�

�!�/!��� �43:7;2 X9578>^ |9=Q}4?

x��x� � x�� � x�x�x��x� � x�x� � x�x� � x�x��x��x� � ��� � xn� � x� � ��� � xn� n � ��x��x� � x� � ��� � xn� � x� � �x� � ��� � �xn� n � ��x� � ��� � xn � �x� � ��� � �xn� n � ���x�g�x�� x�� x� � x�g��x�� �x�� �x���x�g�x�� x�� x� � �x�x�x��x�g�x�� x�� x� � x��x� � x�x���x�g�x�� x�� x� � x�x��

�85�7:3� ~[5=[? 343:7;[? ~<7@3:284:757? Q5233[8 `Q848257=:=[3:4 ~[ [:=[_7�=4� [X[X�7==[? [@=[:4~=[3:4 @5� X9578>^ |9=Q}4?� 352X[~[8:[<=>^ 8 X2\437f������ gg� {@7 g�x�� x�� x�� � x��x� � x�� � x��x�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 /##" �~<[7Q: �� � �����

"�!/��$/�

�� ���� �:7}7=Q[ ������ # ��������� ���� �� P�� �� �2:7;2:� 8[~<[3> Q4X7<=7�:4Q4� ����29Q2� �>~��� ��������

�� ���� (7<�\78 ������ $����������� ���� ������� �������� ���� � "<Q9:�3Q4? 9=487<34:7:� �7<4�� +43Q<7:� ;2:7;2:4Q2 4 4=|[<;2:4Q2� �>~��� �� 3�

�� %�+� %4<4H7=Q[ �� � $����������� ���� ������� �������� ���%���������� ���� ��� "<Q9:3Q4? 9=487<34:7:� �7<4�� +43Q<7:� ;2:7;2:4Q2 4 4=�|[<;2:4Q2� �>~���� �� 3�

�� "�%��2<2=^278 �� �� $����������� ���� ������� ����� ���%���������� ���� � �� �7:[@> [~:4;4\2}44 4 4^ ~<45[]7=4�� �<9@> XII 02?Q25� ;7]@�Q[=|7<7=}44� ���� ��������

���������������������������������������2<2=^278 "82= %[=3:2=:4=[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4 `Q[=[;4Q4 "<Q9:3Q[{[ {[39@2<3:87==[{[ 9=487<34:7:2�95� %2<52 �2<Q32� �� "<Q9:3Q� ��� �� /[334��:75� ��������� ������� � e�mail� goran��mail�ru

Page 137: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ������ ��������� ����

*/�#���� ��+"#"%�&"� � *�/"��� #$/)!���&%"��+ � (���/�!�"� �/"��*$ �&""

�� �� �78H7=Q[� +� �� *<9\@78

(93:6 Pn � Conv�a�� ���� an� � d�;7<=>7 8>~9Q5>7 ~[54:[~> 8 Rd� n � d��� ���� N ��5{[<4:; #9<67��[}Q4=2 � ~[\8[5�7: ~[ \2@2==[? =7~<48[@4;[? 343:7;7 =7<2�87=3:8� [~43>82��4^ Pn� =2?:4 =7~<48[@4;9� 343:7;9 =7<287=3:8� [~43>82��9�Pn��� :7; 32;>;� ~[59H48 [~432=47 ~[54:[~2 P � PN ~[357 N � d � � 4:7<2}4?� �`:[; [~432=44 ~[54:[~2 P =7<287=3:82 3[[:87:3:89�: 7{[ �d����;7<=>; {<2=�;� �� ~<7@5[]7=2 ;[@4|4Q2}4� `:[{[ 25{[<4:;2� ~[\8[5���2� ~[59H4:6 :<42={95�}4�T �P � ~[54:[~2 P � Q[:[<2� �85�7:3� :2Q4; ;=[]73:8[; T �P � � fS�� ���� Stg d�;7<=>^34;~57Q3[8 S�� ���� St c 87<_4=2;4 4\ fa�� ���� aNg� H:[ P �

Sti�� Si 4 ~7<737H7=47 S�

TS�

73:6 [X�2� {<2=6 34;~57Q3[8 S� 4 S�� �� � �� ���� t�"@7� ~<7@52{27;>^ 4:7<2}4[==>^ 25{[<4:;[8 ~[59H7=4� :<42={95�}44 T �P � \2�

Q5�H27:3� 8 ~[357@[82:756=[; ~[3:<[7=44 T �Pn��� ~[~[5=7=47; T �Pn� :2Q4; ;=[�]73:8[; Tn 34;~57Q3[8� 4;7��4^ an�� 38[7? 87<_4=[?� H:[ :<42={95�}4� T �Pn��� �T �Pn�

STn� n � d � �� ���� N � #��25{[<4:; �� [3=[82==>? =2 `:[? 4@77� 4;77: :<9�

@[7;Q[3:6 O�N b d�c��� � O�N b d��

�clog�N��� +<9{9� 4 X[577 `||7Q:48=9� <7254\2}4�

`:[? 4@74 ~<7@3:285�7: 3[X[? ~<7@52{27;>? *#��25{[<4:;� 39�73:87==>; [X<2�\[; 43~[56\9��4? 3~43Q[8>7 3:<9Q:9<> @2==>^� ~<7@3:284;>7 8 84@7 {<2|[8� 48>@2��4? :<42={95�}4� T �P �� <2\X47=47 {<2=4}> ~[54:[~2 P =2 �d � ���;7<=>734;~57Q3>� 2 :2Q]7 =7~<48[@4;9� 343:7;9 =7<287=3:8� [~43>82��9� P �

�!�/!��� �<9@[7;Q[3:6 *#��25{[<4:;2 73:6 O�N b d�c����

(<4 `:[; H435[ �d � ���;7<=>^ {<2=7? � ~[54:[~2 P 73:6 8754H4=2 O�N b d�c�� 2

~[59H7==2� [}7=Q2 :<9@[7;Q[3:4 *#��25{[<4:;2 3[8~2@27: 3 [}7=Q[? @5� ;7:[@2�~[@�=2@� � ~[3:<[7=4� 8>~9Q5[? [X[5[HQ4�

"�!/��$/�

�� �7<=4Q[8 �� �� ������ 0����� ���� �� ��� �29Q2�

�� �78H7=Q[ �� ��� *<9\@78 +� �� �� �� ���������" ��������� 1���� ��������" �� �����" ��������"��� �� (<[X57;> :7[<7:4H73Q[? Q4X7<=7:4Q4� �7\43>@[Q52@[8 XIII �7]@9=2<[@=[? Q[=|7<7=}44 �%2\2=6� ����� ;2� � � {��� �23:6 II� ���4\@�8[ }7=:<2 ~<4Q52@=>^ 43357@[82=4? ~<4 ;7^2=4Q[�;2:7;2:4H73Q[; |2Q956:7:7�*$�

�� 0<7=3:7@ �� ������ ���� ����� ������� �������������� ��� �4<�

�� (<7~2<2:2 #�� �7?;[3�� ������ ���� �������" ������"� ����� ��� �4<�

���������������������������������������78H7=Q[ �257<4? �4Q[52784H� *<9\@78 +;4:<4? �257=:4=[84H��4]7{[<[@3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� *2{2<4=2� ��� � � �� �4]=4? �[8{[<[@� :75� ������ ���������e�mail� shev�uic�nnov�ru� grdv� �uic�nnov�ru

Page 138: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ����� ����� ���

�"�"�� )�-! ��!(!�" " ./����"�!�%"!

�"� � %��+/���� ( ��%". */�#��

�� �� 0[<[@4=� .� 0<93;2� �� �� *57X[8� �� 82= @7= .[?875

*� �7{=7<[; X>52 8>3Q2\2=2 {4~[:7\2 [ :[;� H:[ ^<[;2:4H73Q[7 H435[ Q82@<2:25�X[{[ ~5[3Q[{[ {<2|2 G c ;2Q34;256=[? 3:7~7=6� � 9@[857:8[<�7: =7<287=3:82;

�G�� ���� � ~<4 � � � � ��b���c� � ~<4 � � �� ���

(<4;7< ~5[3Q[{[ ;956:4{<2|2� ~[3:<[7==[{[ %� �7==[=[; �:<79{[56=4Q �7==[=2��~[Q2\>827:� H:[ 7354 87<^=�� [}7=Q2 ��� 87<=2� :[ [=2 @[3:4]4;2 ~<4 � � �� � =2�3:[��7? <2X[:7 @[Q2\2=[� H:[ �G�� � d�

�e�� ~<4 � � ��� ([59H7=> 2=25[{4H=>7

87<^=47 [}7=Q4 @5� :2Q =2\>827;>^ �p� q��^<[;2:4H73Q4^ H4375 ~5[3Q4^ {<2|[8�([59H7=47 `:4^ [}7=[Q [3=[82=[ =2 @[Q2\2==[? 8 � 4 � 3:<9Q:9<=[? :7[<7;7�

[~43>82��7? 3:<[7=47 ~5[3Q4^ {<2|[8 8 :7<;4=2^ ~<7@~[5=>^ \87\@ ~<4 87<_4=2^3:7~7=4 =7 X[577 � 4 :2Q =2\>827;>^ ~9HQ[8� (<4;7<=>? 3;>35 `:[? :7[<7;> 3[3:[�4: 8 :[;� H:[ 8 5�X[; ~5[3Q[; {<2|7 4;77:3� 54X[ ~<7@~[5=2� \87\@2 [{<2=4H7==[{[8732 ~<4 87<_4=7 3:7~7=4 =7 X[577 �� 54X[ Q[=|4{9<2}4� 3~7}4|4H73Q[{[ 84@2 �~9�H[Q 454 =2X[< ~9HQ[8� ~<4 87<_4=7 3:7~7=4 =7 ;7=77 ��� $Q2\2==2� Q[=|4{9<2}4��85�7:3� 38[@4;[? [:=[34:756=[ ~<[@[5]7=4� <23Q<23Q4 Q82@<2:2 ~5[3Q[{[ {<2|2�

+[Q2\2==>? <7\956:2: ~[\8[5�7: 8>873:4 @[3:2:[H=>7 935[84� 39�73:8[82=4� 8~5[3Q[; {<2|7 ~<7@~[5=[? \87\@> [{<2=4H7==[{[ 8732 ~<4 87<_4=7 3:7~7=4 =7 X[�577 �� +<9{4; ~<4;7=7=47; `:[{[ <7\956:2:2 �85�7:3� @[Q2\2:7563:8[ @[3:4]4;[?87<^=7? [}7=Q4 ��G�� � d��e @5� ;4=4;256=[? 3:7~7=4 Q82@<2:2 ~5[3Q[{[ {<2|2G ~<4 � � ��G� � ��� +[3:4]4;[3:6 ~[357@=7? [}7=Q4 ~[@:87<]@27:3� 37<47?3[[:87:3:89��4^ ~<4;7<[8�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" �~<[7Q: ��� �� ���� 4 {[552=@3Q[�<[334?3Q[?~<[{<2;;[? NWO �{<2=: ��� �� ���

"�!/��$/�

�� 0[<[@4= �� ��� 0<93;2 .�� *57X[8 �� ��� �2= @7= .[?875 �� $����� ��� �����������"��� ������� ����� � ��� �� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@� [~7<2}4?��7<� �� � �� �� �� � �� �� �������� 0[<[@4= �� ��� 0<93;2 .�� *57X[8 �� ��� �2= @7= .[?875 �� ��������� ���� � �������� �� �� �� ������� ��� ��� ����� �� +43Q<7:� 2=254\ 443357@� [~7<2}4?� �7<� �� � �� �� �� � �� �� �������������������������������������������0[<[@4= �57{ �7=42;4=[84H� *57X[8 �57Q37? �4Q[52784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� C� � �[X[5782 �� /���:75� ������������������ e�mail� borodin�math�nsc�ru� angle�math�nsc�ru

Hajo Broersma� University of Twente�Enschede� Netherlands� e�mail� broersma�math�utwente�nl

Jan van den Heuvel� Centre for Discr� and Applicable Mathematics� Dep� of Mathematics�London� School of Economics� Houghton Street� London WC�A �AE� U� K�

Page 139: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ����� �����

� �"� ! �-/��+!�����" */�#�� (!/!�!�!�"'

0�%��� �� ( ��%���"

�� �� *57X[8

0[Q3[; =2 ~5[3Q[3:4 3 \2@2==[? ~<�;[9{[56=[? 343:7;[? Q[[<@4=2: =2\>827:3�~<�;[9{[56=4Q� 3:[<[=> Q[:[<[{[ ~2<255756=> Q[[<@4=2:=>; [3�;� B�{<2|[; =2�\>827:3� {<2| ~7<737H7=4? ~<[4\8[56=[{[ 37;7?3:82 X[Q3[8� � � X>5[ 93:2=[857=[�H:[ ^<[;2:4H73Q[7 H435[ 5�X[{[ B�{<2|2 =7 ~<78[3^[@4: ��� � ��� {@7 H7<7\ � [X[�\=2H7=[ Q54Q[8[7 H435[ {<2|2� �2Q]7 8 � @[Q2\2=[� H:[ 5�X[? B�{<2| 3 [X82:[; =7;7=77 � �85�7:3� ��<23Q<2_4827;>;� 4 ~<487@7= ~<4;7< ��^<[;2:4H73Q[{[ B�{<2|2�[X^82: Q[:[<[{[ <287= ��

� � 93:2=[854825236 38�\6 ;7]@9 H435[; 8><[]@7==[3:4 4 [X^82:[; @5� B�{<2|[8 3 [X^82:[; =7 ;7=77 �� �2~[;=4;� H:[ {<2| =2\>827:3� k�8><[]@7==>;� 73548 5�X[; 7{[ ~[@{<2|7 4;77:3� 87<_4=2 3:7~7=4 ;7=77 k� �24;7=6_77 }75[7 H435[k :2Q[7� H:[ {<2| G �85�7:3� k�8><[]@7==>;� =2\>827:3� H435[; 8><[]@7==[3:4{<2|2 G� � � @[Q2\2=[� H:[ 5�X[? B�{<2| 3 [X^82:[; =7 ;7=77 � �3[[:87:38:7==[ ���85�7:3� ���3[[:87:3:87==[ ���8><[]@7==>; 4 ~<7@~432==[ ������<23Q<2_4827;>;�� =23:[��7? <2X[:7 @27:3� X[577 ~<[3:[7� H7; 8 �� @[Q2\2:7563:8[ @2==[{[ 9:87<�]@7=4� 4 @[Q2\2= 2=25[{4H=>? <7\956:2: @5� B�{<2|[8 3 [X^82:[; ��

������� � ���� B�� G ����� ������ �� ����� � ��������������� �� ��� ���� G �������� ������������ ��������������� �� ��������������

���������� ���� B�� G ����� ������ �� ����� � ��������������� �� ��� ��G �������� ����������� � ��������������� �� ������������������

([3:<[7=> :2Q47 ~<4;7<> 37;7?3:8 X[Q3[8 B� 4 B�� H:[ {<2| G�B�� 4;77: [X^82:� 4 ;4=4;256=9� 3:7~7=6 �� 2 {<2| G�B�� � [X^82: � 4 ;4=4;256=9� 3:7~7=6 �� �:4~<4;7<> ~[Q2\>82�:� H:[ @[Q2\2==>7 87<^=47 [}7=Q4 @5� H4352 8><[]@7==[3:4 B�{<2|[8 �85��:3� =7959H_27;>;4� �7[X^[@4;[ @[X284:6� H:[ 39�73:89�: B�{<2|>3 [X^82:[; � 4 3Q[56 9{[@=[ X[56_4; H435[; 8><[]@7==[3:4 �=2~<4;7<� 837 ~[5=>7@89@[56=>7 {<2|>��

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" �~<[7Q: � �� ���� 4 {[552=@3Q[�<[334?3Q[?~<[{<2;;[? NWO �{<2=: ��� �� ���

"�!/��$/�

�� *57X[8 �� �� #���� ��" �� �� ���!���� �� ����� �� ���� ��� � ����� �� �� ��� ��� �� �� ������ �� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@� [~7<2}4?� �7<��� � �� �� �� � �� �� ��� ��� Asplund E�� Gr�unbaum B� On a coloring problem �� Math� Scand ��� � V� �� P����������� Kostochka A� V�� Perepelitsa I� G� Coloring triangle2free intersection graphs of boxeson the plane �� Discrete Math� � � V� �� � N ���� P� ����������������������������������������������*57X[8 �57Q37? �4Q[52784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� C� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� angle�math�nsc�ru

Page 140: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ����� ����� ���

�0 �+��' ,�+��! +"�*����"%" � !%�/"�!�%�' &!("

�� �� *<4_Q784H

(93:6 G�V�E� 73:6 {<2| <7\43:48=[? `57Q:<4H73Q[? }7~4� 8 Q[:[<[? 837 43:[H�=4Q4 :[Q2 ~<7@~[52{2�:3� 9@257==>;4� 2 43:[H=4Q4 =2~<�]7=4� � \2Q[<[H7==>;4�

"\;7<7=47 :[Q[8 ie 87:87? e � EI � E 4 =2~<�]7=4? ue 87:87? e � EU � E ~[\8[�5�7: =2 [3=[87 \2Q[=2 �;2 [~<7@754:6 3[~<[:4857=47 87:84 re � ue�ie ~<4 4\873:=>^ue 4 ie� ,2@2H9 @42{=[3:4Q4 ~[3:284; Q2Q \2@2H9 [~<7@757=4� =24;7=6_7{[ H435287:87?

n � minfjEI EU jg�4\;7<7=47 [@=[{[ 454 @89^ ~2<2;7:<[8 Q[:[<>^ ~[\8[54: [~<7@754:6 3[~<[:4857=47837^ 87:87?�

�!�/!��� �24;7=6_77 H435[ 87:87? n� =2 Q[:[<>^ @[5]=> X>:6 ~<[87@7=>4\;7<7=4�� [~<7@75�7:3� 8><2]7=47;

n � ��P�G�� � jEj � ��P�G� � P�G���

{@7 P�G� � ~[54{[==>? ;2:<[4@ {<2|2 G�V�E�� [~<7@757==>? =2 ;=[]73:87 @9{ E{<2|2� P�G��P�G� � 39;;2 ;2:<[4@[8 P�G� 4 P�G�� � � <2={[82� |9=Q}4� ;2:<[4@2�jEj � ;=[]73:8[ @9{ {<2|2�

(/"�!/� (93:6 \2@2= {<2| G�V�E�� V � f�� �� � � � � �g�

E � f��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���

��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���� ��� ���� ��� ���g�+5� `:[{[ {<2|2 ��P�G�� � �� jEj � ��� ��P�G� � P�G�� � ��� 4 =24;7=6_77 H435[2=254\4<97;>^ 87:87? n � � � �� � �� � �� +7?3:84:756=[� @5� [~<7@757=4� ~2<2�;7:<[8 }7~4 @[3:2:[H=[ ~<[873:4 4\;7<7=4�� =2~<4;7<� :[Q[8 =2 ;=[]73:87 87:87?EI � f��� ���g A� A � f��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ���g� 4 =2~<�]7=4? =2 ;=[]73:8787:87? EU � f��� ��g A�/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �$<25� �� ����� � 4 {9X7<=2�:[<3Q[{[ Q[=Q9<32 �75�X4=3Q[? [X523:4 � �� �� ��

��������������������������������������*<4_Q784H �=@<7? �57Q32=@<[84H�1]=[�$<2563Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� 7=4=2� ��� �75�X4=3Q� ��� � � /[334�� :75� ��������� ���������|2Q3 ��������� ��������� e�mail� grishkev�math�tu�chel�ac�ru

Page 141: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ����� �����

GRAPH INVARIANTS OF REGULAR COVERINGS

Elena Konstantinova� Jin Ho Kwak� Shao�Fei Du

One of the problem in the topological graph theory is to compare a graph invariantof a graph G with that of a covering of G �� A graph �G is called covering of G with theprojection p � �G� G if there is a surjection p � V � �G�� V �G� such that pjN��v� � N��v��N�v� is a bijection for all vertex v � V �G� and �v � p���v� �here N��v� and N�v� are thesets of vertices adjacent to v and �v�� A covering p � �G� G is said to be regular if there isa subgroup A of the automorphism group Aut� �G� of �G acting freely on �G such that �G�Ais isomorphic to G� In fact� a regular covering of G can be constructed through a voltagemap which is just a set function � from the set of edges of G to a �nite group �� It wasshown � that every regular covering of G arises from some voltage assignment �G��� ��of G�

We consider graph invariants based on the distances for graphs that are cycles andcomplete graphs and for their regular coverings that are distance�transitive graphs� Theprecise formulas for the vertex and the graph distance� the vertex and the graph eccen�tricity� the radius and the diameter are obtained� For example for a cycle and for thegraph distance D�G� we have

Theorem Let Ck be a k�cycle in a voltage assignment �G��� ��� let the net of voltage��Ck� have order m in � and let p��� �Ck� � Cmk be a mk�cycle� Then the followingequality takes place

D�Cmk� �

�����

m� �D�Ck�� if k is an evenm����D�Ck��k��mk

�� if k is an odd� if m is an odd�

m����D�Ck��k��

� if k is an odd� if m is an even

This research was partially supported by Com�MaC�KOSEF and RFBR �grant �� �� ������

REFERENCES

�� Jin Ho Kwak �� � Enumeration of Graph Coverings and Their Application� LectureNotes� Com�MaC POSTECH � chapter ���� J�L�Gross� Th�W�Tucker ������ Generating all graph coverings by permutation voltageassignments� Discrete Math� �� ��������

��������������������������������������Konstantinova Elena Valentinovna� Sobolev Institute of Mathematics�pr� Academica Koptyuga �� Novosibirsk� �� � � Russia�e�mail�e konsta�math�nsc�ru

Jin Ho Kwak� Combinatorial and Computational Mathematics CenterPohang University of Science and Technology� Pohang �� ����� Republic of Koreae�mail�jinkwak�postech�ac�kr

Shao�Fei Du� Department of Mathematics� Capital Normal University�Beijing � ��� People�s Republic of China� e�mail�dushf�mail�cnu�edu�cn

Page 142: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ����� ����� ���

*/�&"�,�-! ���$�!/�&"" �0�0�!��-. �����*/�#���(� ��"�! )��! /!�!�"! *"(��!,- %��"/!����

� �� �756=4Q[8

(93:6 G � �V�E� � Q[=7H=>? =7[<47=:4<[82==>? {<2|� (93:6 H435[ 87<_4=jV �G�j � p 4 H435[ <7X7< jE�G�j � q 3[[:87:3:87==[� �7<7\ Pn X9@7; [X[\=2H2:6~9:6 c n 87<_4=2;4� �7<_4==2� =9;7<2}4� {<2|2 G `:[ :2Q2� 4=�7Q}4� f 87<_4={<2|2� Q[:[<2� 4=@9}4<97: =2 Q2]@[; <7X<7 �x� y� ;7:Q9� \2843��9� [: \=2H7=4?f�x� 4 f�y�� �@=[? 4\ =24X[577 4\873:=>^ =9;7<2}4? �85�7:3� {<2}4[\=2� =9;7<2�}4�� #9=Q}4� f =2\>827:3� ���������� =9;7<2}47? {<2|2 G 3 q <7X<2;4� 7354 f 39:64=�7Q}4� 87<_4= {<2|2 G 8[ ;=[]73:8[ f � �� ���� qg :2Q2�� H:[ Q2]@[7 <7X<[ �x� y�~[59H27: ;7:Q9 jf�x� � f�y�j� �:[ ~[=�:47 8875 �� /[32 8 ���� {� ~[@ =2\82=47;��=9;7<2}44� �2; ]7 [= 8875 ~[=�:47 �2���������� ��������� Q[:[<[7 8 [:54H47[: {<2}4[\=[? =9;7<2}44 [X52@27: @[~[5=4:756=>; 38[?3:8[; [ :[;� H:[ 39�73:89�7: :2Q[7 }75[7 H435[ �� H:[ @5� Q2]@[{[ <7X<2 �x� y� 54X[ f�x� � � � f�y�� 54X[f�y� � � � f�x�� �:[ H435[ � 3[8~2@27: 3 ;7=6_4; \=2H7=47; 87<_4==>^ ;7:[Q @5�<7X<2� ~[59H48_7{[ ;7:Q9 �� !354 {<2| G 4;77: ��{<2}4[\=9� =9;7<2}4�� :[ [=@89@[56=>?� �24X[577 3[8<7;7==>? [X\[< ~[ =9;7<2}4�; {<2|[8 ;[]=[ =2?:4 8 ��

�2\[87; �:`:2�{<2|[;� {<2| B�m�n� p�� ~[59H7==>? 4\ ~<[3:>^ ~9:7? Pm���Pn��� Pp�� ~9:�; [:[]@73:857=4� 4^ Q[=}78>^ 87<_4=� �2\[87; ����)���� �%��2������ {<2| B�n�� n�� ���� nb�� ~[59H7==>? 4\ ~<[3:>^ ~9:7? Pn���� Pn���� ���� Pnb�� ~9�:�; [:[]@73:857=4� 4^ Q[=}78>^ 87<_4=� � � %234<73�= � 43~[56\[825 [X[\=2�H7=47 Pa�b @5� H23:=[{[ 359H2� [X[X�7==[{[ :`:2�{<2|2� Q[{@2 n� � n� � ���nb � a��= ~<7@~[5[]45� H:[ Pa�b =7 {<2}4[\7= :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 a =7H7:=[ 4b � ��mod ��� %234<73�= ~[@:87<@45 38[� {4~[:7\9 @5� H7:=[{[ a 4 =7H7:=[{[ b�

�3=[8>82�36 =2 4@7�^ ~[357@[82:756=[ ~2<255756=>^ 3^7;� <2\84:>^ 8 �� @[Q2�\2=> 357@9��47 <7\956:2:>�

������ �� +5� ~<[4\8[56=[{[ =2:9<256=[{[ a 4 =7H7:=[{[ b 8 [X[X�7==[;:`:2�{<2|7 Pa�b 39�73:897: ��{<2}4[\=2� =9;7<2}4��

������ �� +5� ~<[4\8[56=[{[ =2:9<256=[{[ a 4 H7:=[{[ b 8 [X[X�7==[; :`:2�{<2|7 B�n�� n�� � � � � nb� 3 n� � n� � � � � � nb�� � a 4 nb � a�mod�� 39�73:897:��{<2}4[\=2� =9;7<2}4��

� Q2H73:87 357@3:84� 4\ `:4^ <7\956:2:[8 357@97: ~[5[]4:756=[7 <7_7=47 {4~[�:7\> %234<73�=2�

"3357@[82=47 ~[@@7<]2=[ /[334?3Q4; |[=@[; |9=@2;7=:256=>^ 43357@[82=4?�~<[7Q:> �� �� �� 4 � ��� ����� INTAS ���� ��

"�!/��$/�

�� Joseph A� Gallian� A dynamic survey of graph labeling� Electr� J� Combinatorics�Dynamic surveys �December �� � ��� ������� K�M� Kathiresan� Two classes of graceful graphs� Ars Combinatoria� �� �� �� ���������� � �� �756=4Q[8� # �������"� ����� 3 ������ +43Q<7:=>? �=254\ 4 "3357�@[82=47 �~7<2}4? ��2:7<425> ;7]@9=2<[@=[? Q[=|7<7=}44�� �[8[34X4<3Q� � ����������������������������������������������756=4Q[8 7[=4@ �7<{7784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /�H�~p� �Q� %[~:�{2� �� H[8[34X4p3Q� �� � � /[334��:75� ����������������� email� omeln�math�nsc�ru

Page 143: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ����� �����

� */�#�. � ",���/#�-�" �%/$�!�"��" �!/�"�

1� ��<5[84H

�@=2 4\ ~<[X57; :7[<44 {<2|[8 � ~<[X57;2 [Q<9]7=4? � \2Q5�H27:3� 8 :[;�H:[X> @5� @2==[{[ Q[=7H=[{[ {<2|2 H 8>�3=4:6� 39�73:897: 54 38�\=>? �8[\;[]=[�X73Q[=7H=>?� {<2| G� 9 Q[:[<[{[ [Q<9]7=47 Q2]@[? 87<_4=> ~[<[]@27: ~[@{<2|�4\[;[<|=>? H �� *<2| G� [X52@2��4? :2Q4; 38[?3:8[;� =2\>827:3� <7254\2}47?{<2|2 H 454 {<2|[; 3 4\[;[<|=>;4 [Q<9]7=4�;4 87<_4=� 2 H � <7254\97;>; {<2�|[;� � =23:[��77 8<7;� ~<[X57;2 [Q<9]7=4? <7_7=2 @5� <�@2 Q[=Q<7:=>^ {<2|[8H� �@=2Q[ @[ 34^ ~[< =7 <2\<2X[:2=[ =4Q2Q4^ [X�4^ ;7:[@[8� Q[:[<>7 @5� {<2|[84\ Q2Q4^�54X[ Q5233[8 ~[\8[5�54 X> <23~[\=282:6 39�73:8[82=47 3[[:87:3:89��4^4; <7254\2}4?� �:[ [:H23:4 [X��3=�7:3� :7;� H:[ 8 Q52337 837^ Q[=7H=>^ {<2|[8~<[X57;2 [Q<9]7=4? 25{[<4:;4H73Q4 =7<2\<7_4;2 �� ��

� ~7<8[? H23:4 @[Q52@2 ;> [~<7@754; @[3:2:[H=[ _4<[Q47 Q5233> Q[=7H=>^ {<2�|[8� @5� Q[:[<>^ ;[]=[ 9Q2\2:6 3H7:=>7 ;=[]73:82 Q2Q Q[=7H=>^� :2Q 4 X73Q[=7H�=>^ 38�\=>^ <7254\2}4?� 4 ~<7@5[]4; ;7:[@> 343:7;2:4H73Q[{[ 8>�857=4� :2Q4^Q5233[8� [3=[82==>7 =2 \=2=44 {7[;7:<44 Q54Q <7X7<=[{[ {<2|2 4 3:<9Q:9<=[? :7�[<44 n�|2Q:[<[8 �� % 9Q2\2==>; Q52332;� 8 H23:=[3:4� [:=[3�:3� @4\��=Q:=>7[X�7@4=7=4� <7254\97;>^ {<2|[8� ~<[3:>7 }7~4 4 }4Q5>� :<79{[56=>7 Q2Q:93>� =7�Q[:[<>7 {<2|>� {[;7[;[<|=>7 \87\@2;� {<2|>� 9 Q[:[<>^ Q2]@>? X5[Q � Q54Q2 3=7H7:=>; H435[; 87<_4= 4 ;=[{47 @<9{47�

�:[<2� H23:6 @[Q52@2 ~[38��7=2 ;7:[@2; ~[59H7=4� Q52334|4Q2}44 <7254\97�;>^ {<2|[8 @[ ��{[ ~[<�@Q2 8Q5�H4:756=[� (93:6 C�x� 4 D�x� � ~7<7H435���47<�@> @5� =7~[;7H7==>^ 38�\=>^ 4� 3[[:87:3:87==[� =738�\=>^ <7254\97;>^ {<2|[8��[{@2� Q2Q 357@97: 4\ =2?@7==[? Q52334|4Q2}44� C�x� 4 D�x� =2H4=2�:3� :2Q�

C�x� � x� x� � x� � �x � �x � ��x � � � � �

D�x� � x� � �x� � �x � �x � ��x � ��x� � � � �

,2;7:4;� H:[ =2 @2==>? ;[;7=: @5� Q[`||4}47=:2 c� ~<4 x� 8 C�x� =2;4 93:2=[857=2357@9��2� [}7=Q2� �� � c� � ��� ";77:3� ~<7@~[5[]7=47� H:[ c� � ���

"3357@[82=47 8>~[5=7=[ ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 |[=@2 INTAS 4 (<284:756�3:82 /73~9X54Q4 0752<936 �~<[7Q: INTAS�BELARUS ��� ����

"�!/��$/�

�� A�A� Zykov ������ Problem 45� Theory of Graphs and its Applications� Proc� Symp�Smolenice �M� Fiedler� ed�� � ������ Academia Prague� ���������� ��%� 0954:Q[ ������ # ������ ��������� ����!��"�� ����� �<9@> �2:�4=�:2 4;� ���� �:7Q5[82 �� ���/ ���� �������� ��*� �2?@7=Q[� 1� � �<5[84H �� �� #� ����� ��������� ���� ����)����������� ����!���� �<9@> "=�:2 ;2:7;2:4Q4 ��� 0752<934 �� ���� ���� 1� � �<5[84H �� �� '������" �������( ������� � ����� ����������� �����!��"�� ����� +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43357@[82=47 [~7<2}4? �8 ~7H2:4�����������������������������������������<5[84H 1<4? 7[=4@[84H� "=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 ��� 0752<934�95� �9<{2=[82� ��� �4=3Q� �� ��� /73~9X54Q2 0752<936�:75� ��� ��� ���������� |2Q3 ��� ��� ���� ����� e�mail� orlovich�im�bas�net�by

Page 144: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ����� ����� ���

THE ALGORITHM FOR CONSTRUCTIONOF EULER CYCLES WITH ORDERED ENCLOSING

A� V� Panyukov� T� A� Panioukova

In the papers �� � the problem of construction special cycles in �at Euler graph areconsidered� These described cycles are called Euler cycles with ordered enclosing andalgorithms for solution of this problem are o�ered� The given task appears particularlyat constructing the programs for cutting process control� In the terms of cutting processproblem the given graph is a representation of cutting plan� Euler cycle found as solutionis trajectory of the cutting tool movement� the condition ordered enclosing represents therequirement that part cut o� from a sheet does not demand additional slitings�

In the majority of practical tasks cutting plan is �at but not Euler graph� In research� the following theorem is proved�

THEOREM� Let G � �V�E� be a 6at graph on plane S( H � �V�E F � be Eulergraph obtained by addition to graph G some set of edges F � F � S n V � �� Then thereis a Euler cycle C � v�e�v�e� � � � env� for graph H( n � jEj� jF j( for any its initial partCl � v�e�v�e� � � � elvl( L � jEj� jF j the condition Int�Cl� � E � � is ful7lled�

There are some algorithms for construction of such cycles� Some of them have com�puter realization� Computing complexity of algorithms is O�E��

This research was supported by RFBR �Ural� grant �� ����� � and Chelyabinskregion Governor�s Contest � �� �� ��

REFERENCES

�� Panyukov A� V�� Panioukova T� A� ������ Euler Cycles with Ordered Enclosing���The Problems of Theoretical Cybernetics� Thesis of reports� XII InternationalConference �Nizhniy Novgorod� May ������ ������ Part II� Moscow� p� ��� �inRussian�

�� Panioukova T� A� �� �� Construction of Special Euler Cycles in Flat Graph �� Ma�terials of VII International Seminars �Discrete Mathematics and its Applications��Part II� Moscow� p� ��� �in Russian�

�� Panyukov A� V�� Panioukova T� A� �� � The Algorithm for Tracing of Flat Eu�ler Cycles with Ordered Enclosing �� Proceedings of Chelyabinsk Scienti�c Center������ p������� � http���www�sci�urc�ac�ru�news�� ��� � � ��pdf

��������������������������������������Panyukov Anatoly Vasilievich� Panioukova Tatiana Anatolievna�Southern Ural State University�Lenin pr�� ��� Chelyabinsk� ��� � � Russia� phone� �������� ���� ����fax� �������� ��������� e�mail� pav�susu�ac�ru� kwark�mail�ru

Page 145: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ����� �����

� (!/!+��! ���0�!�"'� +�$.$/���!��' �%� )��' �!�"

�� �� (57^2=[82

,2@2=2 5[Q256=2� 37:6� 3[3:[��2� 4\ @89^ }7=:<256=>^ ���� Q[:[<>7 3[7@4=7=>@<9{ 3 @<9{[; _4=[?� 4 :7<;4=25[8� Q2]@>? 4\ Q[:[<>^ 3[7@4=7= _4=[? :[56Q[ 3[@=[? }7=:<256=[? ���� �4=9� 3[7@4=���9� @87 }7=:<256=>7 ���� =2\[87; ������ ����� ����"� 2 [3:256=>7 _4=> � ������ ��!��� ����"� (<[~93Q=2�3~[3[X=[3:6 Q2]@[? _4=> <28=2 [@=[? 7@4=4}7 4=|[<;2}44 \2 7@4=4}9 8<7;7=4�+5� 5�X>^ @89^ :7<;4=25[8 i� j 4\873:=2 8754H4=2 dij � <28=2� Q[54H73:89 7@4=4}4=|[<;2}44� Q[:[<9� i�? :7<;4=25 @[5]7= ~7<7@2:6 j�;9 :7<;4=259� (7<7@2H2 4=�|[<;2}44 ;[]7: [39�73:85�:63� Q2Q X7\ \2~[;4=2=4� :2Q 4 3 \2~[;4=2=47; 8 }7=�:<256=>^ ���� (<7@~[52{27:3�� H:[ =2 [X�7; \2~[;4=27;[? 4=|[<;2}44 4 8<7;� 77^<2=7=4� 8 ~2;�:4 }7=:<256=>^ ��� [{<2=4H7=4? =7:� �<7X97:3� 3[3:284:6 :2Q[7<23~432=47 ~7<7@2H4 837? 4=|[<;2}44 8 37:4� H:[X> [X�77 8<7;� \2=�:[3:4 37:4X>5[ ;4=4;256=>;�

+5� <7_7=4� `:[? \2@2H4 ~<7@52{27:3� [X[X�7==2� ;[@756 4=}4@7=:[<=[? <23�Q<23Q4� 8 Q[:[<[? ~[;4;[ 4=}4@7=:[<[8 Q<23�:3� :2Q]7 4 3<7@=47 H23:4 =7Q[:[<>^@9{� H:[ ~[\8[5�7: 9H73:6 [{<2=4H7=47 =2 ~<[~93Q=9� 3~[3[X=[3:6 _4=> 87<^=7{[9<[8=�� !354 =2{<9\Q9 =2 `:9 _4=9 [X[\=2H4:6 H7<7\ k� 2 ;2Q34;256=9� =2{<9\Q9 =2_4=> =4]=7{[ 9<[8=� � H7<7\ �� :[ @54=2 T <23~432=4� 9@[857:8[<�7: =7<287=3:89T � maxfk��g� (<7@5[]7= 25{[<4:; 8<7;7==[? 35[]=[3:4 O�n����� ~[\8[5���4?=2^[@4:6 <23~432=47 @54=> T � maxfk����g� � 359H27 k � � `:[: 25{[<4:; @27::[H=[7 <7_7=47� 8 ~<[:48=[; 359H27 7{[ 2X3[5�:=2� ~[{<7_=[3:6 =7 ~<78[3^[@4: ��

"3357@[82=47 8>~[5=7=[ ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 #7@7<256=[? }7578[? ~<[�{<2;;> �"=:7{<2}4���

��������������������������������������(57^2=[82 �2:256� �7<{778=2�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /�H�~p� �Q� %[~:�{2� �� H[8[34X4p3Q� �� � � /[334��e�mail� pinata�ngs�ru

Page 146: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ����� ����� ���

�!%���/-! �&!�%" + � ��%�"�� )��*� �"� � &�!��� ��k� l��/��%/��%! "H&"+!H��/��

�� �� (�:Q4=

��������p�� 8 [p47=:4p[82==[; ;956:4{p2|7 =2\>827:3� 9~[p�@[H7==2� ~2p24\ 87p_4=> 4 4=}4@7=:=[? 7? @9{4� "=}4@7=:[< 9@[X=[ :<2Q:[82:6 Q2Q ~[5[�84=9 @9{4� 4=}4@7=:=9� @2==[? 87<_4=7� /23Qp23Q9 4=}4@7=:[p[8 X9@7; =2\>�82:6 �k� l��p� �p� ���� 7354 5�X>7 @82 4=}4@7=:[p2� 4;7��47 [X�9� 87p_4=9�[Qp2_7=> 8 p2\=>7 }87:2� 4 7354 @5� Q2]@[? @9{4 p2\=[3:6 =[;7p[8 }87:[8 Q[�=7H=[{[ 4 =2H256=[{[ 4=}4@7=:[p[8 X[56_7 454 p28=2 k� =[ ;7=6_7 454 p28=2 l�H24;7=6_77 H435[ }87:[8� @5� Q[:[p[{[ ;[]=[ ~[3:p[4:6 �k� l��p23Qp23Q9 4=}4�@7=:[p[8 5�X[{[ ;956:4{p2|2 3:7~7=4 �� [X[\=2H4; H7<7\ k�l���� �:2 8754H4�=2 X>52 8~7<8>7 <233;[:<7=2 8 <2X[:7 �� {@7 X>5[ ~[Q2\2=[� H:[ ������ � � 4 ������ � �d���e� ~p4H7; ������ � �� ,2:7; 8 <2X[:7 � X>54 =2?@7=> \=2H7=4� k�l��� @5� 837^ k 4 l� 2 8 <2X[:7 � @[Q2\2=2 |[<;952 k������� � � � k 4 959H�_7=> =7Q[:[<>7 [}7=Q4 4\ <2X[:> �� ([56\9�36 :7^=4Q[? <2\X47=4� ;956:4{<2|2=2 ��|2Q:[<> 4 54=7?=>7 |2Q:[<>� ~<7@5[]7==[? 8 <2X[:7 �� ~[59H7=> 357@9��47[}7=Q4 @5� k�l����

�� k�k��� � k �� ~<4 k � d���e��� �����t� � �t� dt��e 4 �����t� �� � �t� � � dt��e�/2X[:2 8>~[5=7=2 ~p4 ~[@@7p]Q7 /##" �~<[7Q:> �� �� �� 4 �� �� ������ 2

:2Q]7 <[334?3Q[�{[552=@3Q[? ~<[{<2;;[? NWO �{p2=: ��� �� ���

"�!/��$/�

�� �4\4={ �� *� �� �� -�������" ����������" �������������� �������������� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@ [~7<2}4?� �7<� �� �[; �� � �� �� ������

�� �4\4={ �� *�� �756=4Q[8 � ��� (�:Q4= �� �� �� � # �k� l���� ��� � ������������� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@ [~7<2}4?� �7<� �� �[; �� � �� �� ������

�� (�:Q4= �� ��� �� �� �k� l��p� �p� �� ��������p� ����� ��� ������������+43Q<7:� 2=254\ 4 43357@ [~7<2}4?� �7<� �� �[; �� � �� �� ������

��������������������������������������(�:Q4= �p:7; �257p6784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /�H�~p� �Q� %[~:�{2� �� H[8[34X4p3Q� �� � � /[334��:75� ����������������� ����������������� |2Q3 �����������������email� artem�math�nsc�ru

Page 147: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ������ ����� �����

TOWARDS CHARACTERIZATION OF EDGE INTERSECTION GRAPHSOF LINEAR K�UNIFORM HYPERGRAPHS

S� V� Suzdal

The edge intersection graph L�H� of a hypergraph H is de�ned as follows� the verticesof L�H� are in a bijective correspondence with the edges of H� two vertices are adjacent inL�H� if and only if the corresponding edges intersect� A hypergraph is called k�uniformif all its edges have the same cardinality k� In a linear hypergraph� no two edges havetwo vertices in common� Denote by Ll

k the class of edge intersection graphs of lineark�uniform hypergraphs� The class Ll

� �the well�known class of line graphs� have beenstudied for a long time� It was characterized by means of a �nite list F of forbiddeninduced subgraphs �7nite FIS�characterization� �� The situation changes qualitativelyafter taking k � � instead of k � �� It is known that Ll

� has no �nite FIS�characterization�� moreover the recognition problem of Ll

� is NP�complete �� So it is reasonable toinvestigate FIS�characterizations of Ll

k� k � �� in some wide graph classes� The �niteFIS�characterization of Ll

k� k � �� in the class of split graphs is presented in �� Theexistence of such �nite FIS�characterization in the class of ��� ���polar graphs �which isan extension of the class of split graphs� is proved in ��

We prove that there exists a �nite FIS�characterization of Ll� in the class of ������

polar graph� For the class Ll we show that there is no �nite FIS�characterization even in

the class of ��� ���polar graphs�

This research was supported by INTAS and Belarus Government� grant INTAS�Belarus��� ���

REFERENCES

�� L�W�Beineke ������ Derived graphs and digraphs� Beitrage zur Graphentheorie�Leipzig� ������

�� R�N�Naik� S�B�Rao� S�S�Shrikhande� N�M�Singhi ���� � Intersection graphs of k�uni�form linear hypergraphs� Ann� Discrete Math� � ��������

�� P�Hlin�en y� J�Kratochv il� ������ Computational complexity of the Krausz dimension ofgraphs� Lecture notes in Computer Science� Springer�Verlag ����� ��������

�� Yu� Metelsky ������ Split line graphs of hypergraphs of restricted rank� Vesti Akad�Navuk Belarusi �� ��������

�� V�Eskov� R�Tyshkevich �� �� Towards characterization of line graphs of linear hyper�graphs with additional conditions� Vesti Akad� Navuk Belarusi �� ��������

��������������������������������������Suzdal Stanislav Valerievich�Belarus State University�pr� F� Skoriny �� Minsk� �� � � Belarus�phone� �������� � ��� ���� e�mail� suzdal�bsu�by

Page 148: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ����� ����� ���

� ���!/�!��-. /��%/��%�. *"(!/%$0�

+� *� #[=�+7<�#52233

(93:6 Hn � {4~7<Q9X <2\;7<=[3:4 n� I � =7Q[:[<[7 ;=[]73:8[ }87:[8� /23Q<23Q2T � V �Hn�� I =2\>827:3� 3[87<_7==[? 3 ;2:<4}7? �aij�i�j�I� 7354 @5� 5�X>^ }87:[8i� j Q2]@2� 87<_4=2 }87:2 i 4;77: <[8=[ aij 3[37@7? }87:2 j� �> <233;2:<4827;

3[87<_7==>7 <23Q<23Q4 {4~7<Q9X2 8 @82 }87:2 3 ~<[4\8[56=[? ;2:<4}7?

�a bc d

�� a�

b � c� d � n� (<4;7<[; :2Q[? <23Q<23Q4 359]4: 3[87<_7==>? Q[@ 3 ;4=4;256=>;

<233:[�=47; � �=2~<4;7<� Q[@ .`;;4={2�� 7{[ ;2:<4}2 �

� n � �� n � �

��

+5� 39�73:8[82=4� 3[87<_7==[? <23Q<23Q4 =7[X^[@4;[ 8>~[5=7=47 935[84� b�c�b�c�

��k� !354 [=[ 8>~[5=7=[� [~<7@754; a��b� c� Q2Q =24;7=6_77 \=2H7=47 a� ~<4 Q[:[<[;3[87<_7==2� <23Q<23Q2 8[\;[]=2� 39�73:8[82=47 :2Q[{[ a @[Q2\2=[ ���8{93:4=[84�H7; 4 ��#<4@�

�2;4 ~[59H7=> =[8>7 =4]=47 [}7=Q4 =2 a��b� c�� 4 =[8>7 Q[=3:<9Q}44 3[87<_7=�=>^ <23Q<23[Q� 959H_2��47 87<^=47 [}7=Q4�

a��b� c� ���� �b� c� �

sc�b� c� �

���

(<4 �c � b � �c �p�c � � 8>~[5=�7:3� a��b� c� � ��

a��kb� kc� � k � a��b� c��a���b� c� c� � max� � a��b� c�� ����37 <2=77 4\873:=>7 ~2<2;7:<> 3[87<_7==>^ <23Q<23[Q ;[{9: X>:6 ~[59H7=>

~<4;7=7=47; =2?@7==>^ Q[=3:<9Q}4?� 8@[X28[Q [=4 @2�: X73Q[=7H=[ ;=[{[ =[8>^<23Q<23[Q�

(7<8>; \=2H7=47; a��b� c�� Q[:[<[7 7�7 =7 4\873:=[� �85�7:3� � � a���� ��� � ���2?@7==2� Q[=3:<9Q}4� @27: ;=[{[ <2\54H=>^ <23Q<23[Q 3 [@4=2Q[8>;4 ~2<2;7�

:<2;4� � H23:=[3:4� ;[]=[ ~[59H4:6 ��N�m��

<2\54H=>^ 3[87<_7==>^ Q[@[8 <2\�;7<=[3:4 �N � � � 4\873:=2� =4]=�� [}7=Q2 =2 H435[ 3[87<_7==>^ Q[@[8� (<4;7=��82<42=: `:[? Q[=3:<9Q}44� ;> ~[59H27; ��

N��

<2\X47=4? H�N�� =2 �N Q[@[8� H:[~<78[3^[@4: 4\873:=9� =4]=�� [}7=Q9 =2 H435[ :2Q4^ <2\X47=4?�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" � �� ���� {<2=:[; /##" �� �� ��� 4{<2=:[; �� ��{[ %[=Q9<32�`Q3~7<:4\> ~<[7Q:[8 ;[5[@>^ 9H7=>^ /���

��������������������������������������#[=�+7<�#52233 +;4:<4? *7<;2=[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� C� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334���75� ������ ��� ���� |2Q3 ������ ��� ���� e�mail� �aass�math�nsc�ru

Page 149: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ������� �������������� � ������� �������

%/"�!/"' �(�"�� )����" � ,�+��! "�!'��*� (/�*/���"/����"�� �!/�"��. �!����!������"

�� �� �3:2|678

+5� \2@2H 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� � (� <2\54H=>7 Q<4:7<44 [~:4;256=[�3:4 |[<;954<9�:3� 8 :7<;4=2^ 8>~[5=7=4� =7Q[:[<>^ 3[[:=[_7=4? 4 X2\4<9�:3��Q2Q ~<2845[� =2 @8[?3:87==[3:4� ,@736 =2 X2\7 `57;7=:2<=>^ ~<7[X<2\[82=4? ~<7@�52{27:3� Q<4:7<4? 8 :7<;4=2^ =73[8;73:4;[3:4 343:7;> �9Q[<[H7==[? ~[ n 4 m�54=7?=>^ =7<287=3:8�

/233;[:<4; \2@2H9 v � maxf�c� x� jAx � bg� {@7 A � �aij�m�n � ;2:<4}2� c �� �x� b 3[[:87:3:89�: \2~434 \2@2H4� �X[\=2H4; ai� �a�j� � i�2� 3:<[HQ2 �j�2� Q[5[=Q2�;2:<4}> A� +5� @[~93:4;[{[ �x ~[5[]4; I��x� � fi � ��m j �ai�� �x� � big� ~93:6I��x� � f�� � � � � kg� ([5[]4; �aij � aij � ai�cj

c��i � �� k j � �� n � 4 �A � ��aij� �

di � �ai�� c� 4 dT � d�� � � � � dk� yT � y�� � � � � yn�

� � � � � � � � � � � �� +[~93:4;>? 87Q:[< �x �85�7:3� [~:4;256=>; :[{@24 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 343:7;2 �Ay � �d =73[8;73:=2�

/233;[:<4; \2@2H4 3 [@=[<[@=>;4 343:7;2;4 [{<2=4H7=4? � w�v� � maxf�c� x��vt jAx � bt � g� �w�v� � minf�b� u� � vl juA � lc � � u � g � [=4 =7 �85��:3�@8[?3:87==>;4�

� � � � � � � � � � � �� ,=2H7=47 v �85�7:3� [~:4;256=>; 8 43^[@=[? \2@2H7:[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 w�v� � �w�v� � �

(<4;7=4; 9:87<]@7=47 � Q ;[@754 7[=:6782Ax�b � x� x � �A � �aij�n�n � ��*[8[<�:� H:[ A ~<[@9Q:48=2� 7354 @5� 5�X[{[ b � 39�73:897: <7_7=47 x � �

� 5 7 @ 3 : 8 4 7� �2:<4}2 A � ~<[@9Q:48=2 :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2

min fnXi��

� nXj��

aij � ��A ui

���uj � u� � �a�� � a�j� u� � �j � �� n ��

uj � �j � �� n �g � ���

"�!/��$/�

�� !<7;4= "� "�� �3:2|678 ���� ������ ���� ����� �������� � ����������������������"� ��� �29Q2�

���������������������������������������3:2|678 �4Q[52? �4Q[52784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4 ;7^2=4Q4 $<� /���*�(����� 95� ��%[825783Q[?� ��� �� ���� !Q2:7<4=X9<{�:75�� ������ ��������� |2Q3� ������ ���������e�mail� astnn�imm�uran�ru

Page 150: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ������� �������������� � ������� ������� ���

(/"�!�!�"! �!�/!� �0 � )�!/���"��.+ � �"� !��-. �!��+��

�� "� *[54Q[8� 1� *� !8:9_7=Q[

� @[Q52@7 <233;2:<482�:3� =[8>7 8[\;[]=[3:4 ~<4;7=7=4� :7[<7; [X 256:7<=2�:482^� 8 H23:=[3:4 @5� <7_7=4� 343:7; 54=7?=>^ 9<28=7=4? 4 =7<287=3:8� 54=7?=[�{[ ~<[{<2;4<[82=4�� =2^[]@7=4� 4^ =[<;256=>^ <7_7=4?� =2^[]@7=4� =2~<2857=4�=243Q[<7?_7{[ 3~93Q2 ~<4 <7_7=44 \2@2H ;2:7;2:4H73Q[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� ~[�3:<[7=4� <2\@75���7? {4~7<~5[3Q[3:4 @5� ;=[{[{<2==4Q[8�

+5� 43^[@=[? 54=7?=[? 343:7;> <287=3:8 4 =7<287=3:8 3:<[4:3� 256:7<=2:48�=2� 343:7;2� <2\;7<=[3:6 ~7<7;7==>^ Q[:[<[? <28=2 H4359 <287=3:8 4 =7<287=3:88 43^[@=[? 343:7;7 �43Q5�H2� [{<2=4H7=4� =2 \=2Q ~7<7;7==>^�� �7:[@ <7_7=4�43^[@=[? <2\<7_4;[? 343:7;> 3[3:[4: 8 ;4=4;4\2}44 =78�\Q4 256:7<=2:48=[? =7�3[8;73:=[? 343:7;>� ([ <7\956:2:2; `:[? ;4=4;4\2}44 3 ~[;[�6� ~<[3:>^ |[<;95[~<7@75�7:3� =[<;256=[7 <7_7=47 43^[@=[? 343:7;> �<7_7=47 3 ;4=4;256=[? 78Q54�@[8[? =[<;[?�� 052{[@2<� <2\54H4� <2\;7<=[3:7? ~7<7;7==>^ 256:7<=2:48=>^ 34�3:7; ~7<7^[@ [: 43^[@=[? 3[8;73:=[? 343:7;> Q ;4=4;4\2}44 =78�\Q4 256:7<=2:48�=[? =73[8;73:=[? 343:7;> ;[]7: [Q2\2:63� 8736;2 }7573[[X<2\=>;� �:2 <7@9Q}4�;[]7: ~<4873:4 Q \2@2H7 ;4=4;4\2}44 ~[ ~7<7;7==>; ;7=6_7? <2\;7<=[3:4 4 @2:68[\;[]=[3:6 [~<7@754:6 =[<;256=[7 <7_7=47 43^[@=[? 343:7;>�

�2~<2857=47 =243Q[<7?_7{[ 3~93Q2 8 \2@2H7 =754=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��� (�� :2Q]7 =2^[@4:3� 8 <7\956:2:7 ;4=4;4\2}44 =78�\Q4 =7Q[:[<[? =73[8;73:=[?256:7<=2:48=[? 343:7;> Q 343:7;7� [~<7@75���7? =2~<2857=47 3~93Q2� � <7\956�:2:7 <7_7=4� \2@2H4 X7\935[8=[? ;4=4;4\2}44 ~[ ~<[3:>; |[<;952; =2^[@4:3�=2~<2857=47 =243Q[<7?_7{[ 3~93Q2� �2Q[? ~[@^[@ [3[X7==[ `||7Q:487=� Q[{@2 Q[�54H73:8[ 2Q:48=>^ [{<2=4H7=4? \2@2H4 � ( 8 :[HQ7� 4\ Q[:[<[? [39�73:85�7:3�3~93Q� ;=[{[ ;7=6_7 <2\;7<=[3:4 87Q:[<2 ~7<7;7==>^ 43^[@=[? \2@2H4 � (� �7Q[�:[<>7 <7\956:2:> @[Q52@2 [~9X54Q[82=> 28:[<2;4 8 �� ��

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /[334?3Q[{[ |[=@2 |9=@2;7=:256�=>^ 43357@[82=4? �~<[7Q: �� �� � �� 4 ~[ ~<[{<2;;7 {[39@2<3:87==[? ~[@@7<]Q487@9�4^ =29H=>^ _Q[5 �~<[7Q: ������ � ��

"�!/��$/�

�� *[54Q[8 �� "�� !8:9_7=Q[ 1� *� 8��� ���� ����" � �� ������� ���� � � ���� � �� +[Q52@> �Q2@7;44 =29Q� � �� :� ���� N �� 3� ���������� *[54Q[8 �� "�� !8:9_7=Q[ 1� *� '������ ���� �� ����������� � �����!���� ���������� ����� ������� � �� �� "\873:4� �$,[8� �2:7;2:4Q2�� �� N �� ������ 3� ������

��������������������������������������*[54Q[8 �57Q32=@< "564H� !8:9_7=Q[ 1<4? *28<45[84H��>H4354:756=>? }7=:< 4;� ����+[<[@=4}>=2 /���*�(��� 95� �2845[82� � � ������� �[3Q82� :75� ��� ����������� �e�mail� gol�ccas�ru� evt�ccas�ru

Page 151: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ������� �������������� � ������� �������

� *�/"��- ��$�/!��". ���!%� �!����-� /!�!�"!� ��(���*��! )��' ,�+��"

�� 1� *[<=[8� �� "� ,[<Q256}78� �� 1� #452:[8

(<4 <7_7=44 \2@2H ;2:7;2:4H73Q[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� 25{[<4:;2;4 8=9:<7=�=4^ :[H7Q =24X[577 35[]=[? 8 8>H4354:756=[; [:=[_7=44 ~<[X57;[? �85�7:3� <7�_7=47 =2 Q2]@[? 4:7<2}44 343:7;> 54=7?=>^ 9<28=7=4?

�ADkAT �u � rk� ���

:[ 73:6 [X<2�7=47 34;;7:<4H=[? ~[5[]4:756=[ [~<7@757==[? ;2:<4}> ADkAT <2\�

;7<=[3:4 mm�(<4 43~[56\[82=44 @5� [X<2�7=4� ;2:<4}> ;7:[@2 Q82@<2:=[{[ Q[<=�� @2��7�

{[ :[H=[7 <7_7=47� :<7X97:3� n��� 2<4|;7:4H73Q4^ [~7<2}4?� � :[ ]7 8<7;� 837[3:256=>7 @7?3:84� 25{[<4:;2 :<7X9�: ~[<�@Q2 n� [~7<2}4?� �2Q4; [X<2\[;� 4;7=�=[ 93Q[<7=47 =2 `:[; `:2~7 X9@7: 39�73:87==[ 854�:6 =2 8<7;� <7_7=4� 43^[@=[?\2@2H4� H:[ [~<7@75�7: [3[X9� ~7<3~7Q:48=[3:6 ~[43Q2 256:7<=2:48=>^ ~[@^[@[8 Q<7_7=4� \2@2H4 ����

�� %2<;2<Q2<[; 8 � X>52 ~<7@5[]7=2 :7^=4Q2 �H23:4H=[{[ [X=[857=4��� ~[\8[�5���2� 9;7=6_4:6 :7[<7:4H73Q9� 35[]=[3:6 25{[<4:;[8 8

pn <2\� ([@<[X=77 [=2

X>52 43357@[82=2 +� �2==[ 8 ��+<9{[? 3~[3[X 93Q[<7==[{[ ~<4X54]7==[{[ <7_7=4� \2@2H4 ��� 38�\2= 3 43~[56\[�

82=47; ;7:[@2 3[~<�]7==[{[ {<2@47=:2� ([3Q[56Q9 ~[ 4:7<2}4�; 4\;7=�7:3� :[56Q[@42{[=256=2� ;2:<4}2 873[8>^ Q[`||4}47=:[8 Dk� 4 `:4 4\;7=7=4� =7 3:[56 8754Q4�<7_7=47 3 ~<7@>@9�7? 4:7<2}44 ;[]=[ ~<7@~[52{2:6 8 Q2H73:87 ^[<[_7{[ 3:2<:[�8[{[ ~<4X54]7=4� =2 :7Q9�7? 4:7<2}44� %<[;7 :[{[� @[3:2:[H=[ _4<[Q4? @42~2\[=873[8>^ Q[`||4}47=:[8� 3:[��4^ =2 {528=[? @42{[=254 ;2:<4}> Dk� [X73~7H4827:3^[@4;[3:6 25{[<4:;[8 Q [~:4;256=>; <7_7=4�; 43^[@=>^ \2@2H� �3� `:[ ~[\8[�5�7: =2@7�:63� =2 39�73:87==[7 93Q[<7=47 <2X[:> 25{[<4:;[8 8=9:<7==4^ :[H7Q =2[3=[87 =7:[H=[{[ <7_7=4� 83~[;[{2:756=[? \2@2H4 ����

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" � �� �� �

"�!/��$/�

�� Karmarkar N� A new polynomial�time algorithm for linear programming �� Combina�torica� ����� V� �� p� ���������� Shanno D� Computing Karmarkar9s projection quickly �� Mathematical programming������ V� ��� p� ������

��������������������������������������*[<=[8 �57Q32=@< 1<6784H� ,[<Q256}78 �257<4? "82=[84H�#452:[8 �57Q32=@< 1<6784H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;��757=:6782 �� /���95� 7<;[=:[82� �� � ��� ��� "<Q9:3Q� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ���������e�mail� gornov�ok�ru� zork�isem�sei�irk�ru� �al�isem�sei�irk�ru

Page 152: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ������� �������������� � ������� ������� ���

�.�+"����) (�� !+����! )����" �!%��/�� +��'���!��-.(!/!�!��-. (/" "�� !+����"" �+��' ,�+��"

(� $�(/!+! !���*� (/�*/���"/����"�

"�"� +4Q4=

(<7@52{27:3� 4:7<2:48=>? 25{[<4:; [~<7@757=4� @[~93:4;[{[ <7_7=4� \2@2H454=7?=[{[ ~[59[~<7@757==[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� $3:2=2854827:3� [@4= 4\ X2\[8>^<7\956:2:[8 3^[@4;[3:4 ;7:[@2 8=9:<7==4^ :[H7Q� /233;2:<482�:3� @87 3:<2:7{448>X[<2 8754H4=> _2{2�

"3357@97:3� 3^[@4;[3:6 ~[357@[82:756=[3:4 @8[?3:87==>^ ~7<7;7==>^� +2=[[X[X�7=47 <7\956:2:[8� ~[59H7==>^ <2=77 ~<4 2=254\7 [@=[<[@=[? \2@2H4 54=7?=[{[~<[{<2;;4<[82=4�� 4;7��7? 7@4=3:87==[7 <7_7=47 �� �� (<7@52{27;>? 25{[<4:;4;77: 2=25[{44 3 ;7:[@[; ~[43Q2 [:=[34:756=[ 8=9:<7==7? :[HQ4 343:7;> 54=7?=>^�=7 ;2:<4H=>^� =7<287=3:8 �� ��

�� �7;4<[83Q4?� ~[�84@4;[;9� X>5 ~7<8>;� Q:[ 3:25 93~7_=[ <7_2:6 \2@2H4 ~[�59[~<7@757==[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� ~<4;7=�� 25{[<4:;> 8=9:<7==4^ :[H7Q� ([357\=2Q[;3:82 3 ~9X54Q2}4�;4 �� � 9 28:[<2 ~[�845236 ;[:482}4� @5� ~<[87@7=4� @2=�=[{[ 43357@[82=4��

"�!/��$/�

�� +4Q4= "� "� ������ #������ ������� ����� ����� � ��� ������� ����� � �� %4X7<=7:4Q2 4 343:7;=>? 2=254\� � �� �� ������

�� Dikin I� I�� Roos C� ������ Convergence of the dual variables for the primal a:nescaling method with unit steps in the homogeneous case �� J� Optimization Theory andApplications� Vol� ��� � �� P� � ������

�� +4Q4= "� "� ������ #������ ������� ���� ����� ����� � ��� �������� ���������� ��%4X7<=7:4Q2 4 343:7;=>? 2=254\� � �� �� ��������

�� Gahinet P�� Nemirovski A� ������ The projective method for solving linear matrixinequalities �� Math� programming� Vol� ��� � �� P� ������ �

�� (_7=4H=>? 0� ��� �7=2^[8 �� "� ������ ������� ������ �������� ������������������" �� %4X7<=7:4Q2 4 343:7;=>? 2=254\� � �� �� �� �����

��������������������������������������+4Q4= "56� "[34|[84H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;� ��� �757=:6782 �� /���95� 7<;[=:[82� ��� ��� {�"<Q9:3Q� �� � /[334��:75� �������������� � e�mail� idikin�isem�sei�irk�ru

Page 153: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ������� �������������� � ������� �������

� +���"�"����" �"��!' */��" ��/�- ���/"&- %�//!%&""���/"&- %��##"&"!���� �!����!����' "�!'��' �"��!�-

�� "� !<[^4=

� @[Q52@7 ~<7@52{27:3� [X[X�7=47 4 @256=7?_77 <2\84:47 =7Q[:[<>^ <7\956:2�:[8 <2X[: �� �� �� /233;[:<4; =73[8;73:=9� 343:7;9 54=7?=>^ 25{7X<24H73Q4^9<28=7=4? 84@2 Ax�b� {@7 A � Rm�n�x � Rn�b � Rm�b �� � 4 \2@2H9 [~:4�;256=[? Q[<<7Q}44 77 ;2:<4}> Q[`||4}47=:[8 84@2 kHk��� � inf

��A�b�H� ��kHk���� {@7

�A�b�H� � fx j�A �H�x � bg� kHk��� �maxx���

kHxk�kxk�

� k�k� � =7Q[:[<2� �=7 [X�\2�:756=[ {�56@7<[82� 87Q:[<=2� =[<;2� � � � 454 � � ��� k�k�� � 87Q:[<=2� =[<;2�@8[?3:87==2� Q =[<;7 k�k� [:=[34:756=[ 3Q25�<=[{[ ~<[4\87@7=4�� $Q2\2==>7 \2@2�H4 ;[{9: ~<7@3:285�:6 32;[3:[�:756=>? 4=:7<73 454 X>:6 ~[@\2@2H2;4 8 ~<[X57;2^Q[<<7Q}44 =73[X3:87==>^ \2@2H (� +[Q2\2=2 357@9��2�

������� inf��A�b�H���

kHk��� �infx

kb�Axk�kxk�

� [X7 =4]=47 {<2=4 @[3:4{2�:�

3� �=7 @[3:4{2�:3�� [@=[8<7;7==[� 7354 inf��A�b�H���

kHk��� @[3:4{27:3�� :[ ;=[]7�3:8[ Arg inf

��A�b�H���kHk��� 3[@7<]4: [@=[<2={[89� ;2:<4}9 H��x�y� � �b�A

�x �yT

yT�x

� {@7

�x �Arg inf

x

kb�Axk�kxk�

� y � Rn������yT�x

��� � ����x����� kyk�� � ��

"3~[56\[82=47 :7[<7;> ~<4 3[[:87:3:89��7; 8>X[<7 Q[=Q<7:=>^ 87Q:[<=>^=[<; ~<48[@4: Q ;=[{[H4357==>; 4=:7<73=>; 357@3:84�;� �2Q� 8 H23:=[�3:4� ~<4 <233;[:<7=44 =[<; *�56@7<2 3 ~[Q2\2:75�;4 � � �� ��� �4� 3[[:�87:3:87==[� �� � �� �� ��� ~[59H2�:3� \2@2H4 ;2:<4H=[? Q[<<7Q}44 3 Q<4:7�<4�;4 8 84@7 357@9��4^ <23~<[3:<2=7==>^ ;2:<4H=>^ =[<;� kHk��� �max

jnPi��jhijj� kHk���

mPi��

nPj��jhij j� kHk����

q�min �HTH�� kHk�� max

i

nPj��jhij j� kHk��� max

i�j

jhijj� %<[;7 :[{[� 3 ~[;[�6� 3[[:87:3:89��7? \2;7=> ~7<7;7==>^� \2@2H4 Q[<�<7Q}44 ;2:<4}> Q[`||4}47=:[8 =73[X3:87==[? \2@2H4 ( 3 =73[8;73:=>;4 [{<2=4�H7=4�;4 84@2 Ax � b� x � � ~[ ;4=4;9;9 k�k��� � k�k�� � k�k�� � k�k� �=[<; 9@27:3�3873:4 Q \2@2H7 �3[8[Q9~=[3:4 \2@2H� (�

"�!/��$/�

�� !<7;4= "� "�� �2\9<[8 �� +�� �3:2|678 �� �� ������ 8 �� ���� ������ ��������� � �������� ��������������"� ��� �29Q2��� �2:[54= �� �� ������ # �������� �� ������� ������� � �� ���� � ���������� ���� � � �������� %[;X4=2:[<� 25{7X<� 4 87<[�:=� ;7:[@> @43�Q<7:=[{[ 2=254\2� *[<6Q4?� � ������ *[<754Q �� ��� "X2:9554= /� /� �� �� ;������" � ��� ���������� �������������� ��������������" ������� ��� �������� �[@754<[82=47� @7Q[;~[�\4}4� 4 [~:4;4\2}4� 35[]=>^ @4=2;4H73Q4^ ~<[}733[8� ��� �& /��� �������������������������������������������!<[^4= �52@4;4< "82=[84H�0[<43[{57X3Q4? {[39@2<3:87==>? ~7@2{[{4H73Q4? 4=3:4:9:�95� �2<[@=2�� ��� 0[<43[{57X3Q �[<[=7]3Q[? [X5�� ����� � /[334��:75� ��� ��������� �� |2Q3 ��� ��������� �� e�mail� erohin v i�mailru�com

Page 154: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ������� �������������� � ������� ������� ���

$���'�"��� ��+"#"%�&"� �!��+� +"%"��

���� (9@[82

� <2X[:7 43357@97:3� 93:[?H48[3:6 @89^ ;7:[@[8 <7_7=4� \2@2H 54=7?=[{[ ~<[�{<2;;4<[82=4� Q ~[{<7_=[3:�; ;2_4==>^ 8>H4357=4?� /233;[:<7=> ;7:[@> +4Q4�=2 � 4 %2<;2<Q2<2 �� (<[87@7= 3<28=4:756=>? 2=254\ {2<2=:4<[82==[? :[H=[3:48>~[5=7=4� [@=[? 4:7<2}44 `:4^ ;7:[@[8 4 ~[Q2\2=[� H:[ 3 :[HQ4 \<7=4� 93:[?H4�8[3:4 [=4 3<28=4;> ;7]@9 3[X[?� (<4 ~[3:<[7=44 [}7=[Q :[H=[3:4 43~[56\97:3�:7^=4Q2� ~<7@5[]7==2� �� %� *[@9=[8>; ��

�@=2Q[� [X935[857==[3:6 � $� <7_27;>^ ~<4 <7254\2}44 ;7:[@2 +4Q4=2� ;7=��7:3� [: 4:7<2}44 Q 4:7<2}44� �435[ [X935[857==[3:4 ;2:<4}> � $ Q2Q =2 ~7<8>^4:7<2}4�^� :2Q 4 [3[X7==[ =2 ~[357@=4^ 4:7<2}4�^� Q[{@2 <7_7=47 [Q2\>827:3� X54\�Q[ Q {<2=4}7 [X523:4 @[~93:4;>^ <7_7=4? , (� ;[]7: [Q2\2:63� [H7=6 X[56_4;�� `:[; 359H27 <7_7=47 � $ =2 4:7<2}44 ;7:[@2 +4Q4=2� 2 357@[82:756=[� 4 [~:4�;256=[7 <7_7=47 , (� ;[]7: 39�73:87==[ [:54H2:63� [: :7[<7:4H73Q[{[� ([`:[;9~<48[@4:3� ;[@4|4Q2}4� ;7:[@2 +4Q4=2� ~[8>_2��2� 93:[?H48[3:6 `:[{[ ;7:[@2Q ~[{<7_=[3:�; ;2_4==>^ 8>H4357=4?�

�[@4|4Q2}4� [3=[82=2 =2 :[;� H:[ 8 359H27� Q[{@2 =2 4:7<2}44 ;7:[@2 +4Q4=2=7[X^[@4;[ <7_4:6 � $ 3 ~5[^[ [X935[857==[? ;2:<4}7?� 8>~[5=�7:3� <23:�]7�=47 3:<[��7{[3� `554~3[4@2 ~[ [@=[? 454 =73Q[56Q4; [3�; 8 =7[X^[@4;[7 H435[<2\� � $� Q <7_7=4� Q[:[<[? 38[@4:3� =2^[]@7=47 [X�7;2 =[8[{[ `554~3[4@2� 3:2�=[84:3� ^[<[_[ [X935[857==[?� ([357 `:[{[ 8>~[5=�7:3� [X<2:=[7 ~<7[X<2\[82=47�([Q2\2=[� H:[ =[82� ;[@4|4Q2}4� ~[8>_27: :[H=[3:6 <7_7=4� , (� 2 ~<[43^[@��7798754H7=47 :<9@[7;Q[3:4 4:7<2}44 [Q2\>827:3� =7 39�73:87==>; ~[ 3<28=7=4� 3 77[X�7? :<9@[7;Q[3:6��

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �~<[7Q:> � �� � � 4 ���������� 4 #&( �"=:7{<2}4���

"�!/��$/�

�� +4Q4= "� "�� ,[<Q256}78 �� "� ":7<2:48=[7 <7_7=47 \2@2H ;2:7;2:4H73Q[{[ ~<[�{<2;;4<[82=4�� �[8[34X4<3Q� �29Q2� ��� �

�� Karmarkar N� A new polynomial�time algorithm for linear programming ��Combinatorica� ����� V� �� N �� P� ��������

�� *[@9=[8 ��%� 4 @<� *2<2=:4<[82==2� :[H=[3:6 <7_7=4� 343:7; 54=7?=>^ 9<28�=7=4? 8 78Q54@[8>^ ~<[3:<2=3:82^� �� �[8[34X4<3Q� �29Q2� �����

��������������������������������������(9@[82 �2<4=2 �52@4;4<[8=2� �*��4$�95� �757\=[@[<[]=2�� �������� �� ��� {��[8[34X4<3Q�:75� ������������������ e�mail� pudova�math�nsc�ru�

Page 155: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ������� �������������� � ������� �������

#$�%&"" �!��,�% � "�!/�&"���-. (/�&!���.0�/)!/����)1������%". �!��+��

���"� �� �:2=784H�3

� @[Q52@7 <233;2:<482�:3� =[8>7 82<42=:> X2<67<=[�=6�:[=[83Q4^ ;7:[@[8 @5�[@=[8<7;7==[{[ <7_7=4� ~2<> 3[~<�]7==>^ \2@2H 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4���2<42=:> ~<7@3:285��: 3[X[? <2\84:47 ;7:[@2 �� #[<;2: <233;2:<4827;>^ \2@2H54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� ~[\8[5�7: 4;7:6 ~7<7;7==>7 :<7^ :4~[8� =7[:<4}2�:756=>7� [{<2=4H7==>7 3 @89^ 3:[<[=� =7[{<2=4H7==>7 ~[ \=2Q9� � 3:2<:[8[? :[HQ7~<7@52{27;>7 82<42=:> ;7:[@[8 @[~93Q2�: =7=9578>7 =78�\Q4 Q2Q @5� [X�4^ [{<2�=4H7=4? ~<�;[? \2@2H4� :2Q 4 @5� [X�4^ [{<2=4H7=4? @8[?3:87==[? \2@2H4� +89�3:[<[==47 [{<2=4H7=4� =2 ~7<7;7==>7 9H4:>82�:3� 3~7}4256=>; [X<2\[;� ~[\8[5����4; 43Q5�H4:6 4^ 4\ H4352 [{<2=4H7=4? [X�7{[ 84@2� (<4 `:[; 8>H4354:756=>7\2:<2:>� 38�\2==>7 3 [X<2�7=47; 34;;7:<4H73Q[? ;2:<4}> =2 Q2]@[? 4:7<2}44�=7 8[\<23:2�:� ~[3Q[56Q9 ~[<�@[Q `:[? ;2:<4}> [~<7@75�7:3� H435[; [{<2=4H7=4?[X�7{[ 84@2�

�~<7@757=> 357@9��47 |9=Q}44� [: =78�\[Q [{<2=4H7=4? [X�7{[ 84@2 ~<�;[?\2@2H4� [: =78�\[Q [{<2=4H7=4? [X�7{[ 84@2 @8[?3:87==[? \2@2H4 4 [: =78�\[Q 935[�84? @[~[5=���7? =7]73:Q[3:4� "3357@[82=> 38[?3:82 `:4^ |9=Q}4? 4 4^ 387<:[Q 84:7<2}4[==>^ ~<[}7332^� [:87H2��4^ X2<67<=[�=6�:[=[83Q[;9 ;7:[@9 [@=[8<7;7=�=[{[ <7_7=4� ~2<> @8[?3:87==>^ \2@2H 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� (<487@7=>{7[;7:<4H73Q47 [X<2\> <233;2:<4827;>^ |9=Q}4? =78�\[Q�

�2 [3=[87 8>�857==>^ 38[?3:8 |9=Q}4? =78�\[Q 8><2X[:2=> ~<28452 8>X[�<2 9~<285���4^ ~2<2;7:<[8 ~<7@5[]7==>^ ;7:[@[8� (<487@7= H4357==>? ~<4�;7<� 455�3:<4<9��4? <7_7=47 \2@2H4 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� X2<67<=[�=6�:[=[83Q4; ;7:[@[;�

"�!/��$/�

�� !8:9_7=Q[ 1� *�� �2@2= �� *� ������ .��������������� � ���������������� �� �� ���� ����� ����������� < ����� �������� ��������������"=���[[X�7=4� ~[ 8>H435� ;2:7;� ��� �& �� ���/�

���������������������������������������:2=784H�3 �5[4\23�"[\2~23 �=:2=[��>H4354:756=>? &7=:< 4;� ����+[<[@=4}>=2 /���95� �2845[82� � � ������� �[3Q82� *�(���/[334��:75� ����������� email� stanev�ccas�ru

Page 156: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ������� �������������� � ������� ������� ���

(/�&!+$/� ��%/��!�"� %��##"&"!��� �%��!�����"+ � � *�/"���� �%��!���*� ($�"

�� 1� #452:[8

� � @5� <7_7=4� ~2<> 8\24;=[�@8[?3:87==>^ \2@2H 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82�=4�

cTx� minx�X

� X � fx � Rn � Ax � b� x � g� ���

bTu� maxu�U

� U � fu � Rm � g�u� � c�ATu � g ���

~<7@52{2�:3� 25{[<4:;> 3Q[_7==[{[ ~9:4� �85���473� [X[X�7=47; 4 <2\84:47;_4<[Q[ 43~[56\97;>^ 25{[<4:;[8 [~:4;4\2}44 8 Q[=937 ~9:4 2=254:4H73Q4^ }7=�:<[8� +5� 25{[<4:;[8 3Q[_7==[{[ ~9:4 =7 ~<7@3:285�7: 35[]=[3:4 ~<[X57;2 4=4�}4254\2}44� ~[3Q[56Q9 8>H4354:756=>? ~<[}733 ;[]7: =2H4=2:63� 3 5�X>^ [:=[�34:756=[ 8=9:<7==4^ :[H7Q ;=[]73:8 @[~93:4;>^ <7_7=4?� �@=2Q[ ;7=6_47 \=2�H7=4� Q[`||4}47=:2 3Q[_7==[3:4 �H:[ [\=2H27: ~<4X54]7=47 Q }7=:<256=[;9 ~9�:4� 3~[3[X3:89�: 93Q[<7=4� 3^[@4;[3:4 8>H4354:756=[{[ ~<[}7332� � 38�\4 3 `:4;~<7@52{27:3� 357@9��2� ~<[}7@9<2� =2 Q2]@[? 4:7<2}44 ~[357 ~[59H7=4� =[8>^~<4X54]7=4? xk 4 uk� 2 :2Q]7 =[8[{[ \=2H7=4� �k <7_27:3� \2@2H2

�� max�nXj��

��tj���

��tj���� xkj gj�uk��� � ���ktmin ����

�tj��� � maxf�ktmin���minf�ktj� xkj gj�uk�gg�~[357 H7{[ [~<7@75�7:3� =[8>? 4=4}44<9��4? 87Q:[< t �� �t���� +2==2� ~<[}7@9�<2 [X73~7H4827: X>3:<[7 3[Q<2�7=47 Q[`||4}47=:2 3Q[_7==[3:4 ~[ 4:7<2}4�;� H:[~[@:87<]@27:3� <7\956:2:2;4 ~<[87@7==[{[ `Q3~7<4;7=:256=[{[ 43357@[82=4��

+5� :73:4<[82=4� X>54 3{7=7<4<[82=> =2X[<> 359H2?=>^ \2@2H <2\54H=[? <2\�;7<=[3:4 �~[ � 8 Q2]@[;�� � :2X54}9 8=737=> 3<7@=77 H435[ 4:7<2}4?� ~[:<7X[�828_773� 25{[<4:;9 @5� 4^ <7_7=4�� 3<7@=77 \=2H7=47 Q[`||4}47=:2 3Q[_7==[3:4 83:2<:[8[? :[HQ7� 2 :2Q]7 7{[ 3<7@=77 \=2H7=47 =2 � �4:7<2}44�

� � � � � � � � �435[ 4:7<2}4? ���� ��� ���� ���� �2H256=[7 \=2H� � ��������� � �������� �������� � ��� ��� ���,=2H� � =2 � �4:7<� �� � �� �� � � ���� �� ����� ��

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" � �� �� �

"�!/��$/�

�� �[?:[8 �� ��� ,[<Q256}78 �� "�� #452:[8 �� 1� �� �� &�������� ������������ ��" ����" ����� �������� ��������������" �� +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43�357@[82=47 [~7<2}4?� �7<� �� :[; �� � �� 3� ������

��������������������������������������#452:[8 �57Q32=@< 1<6784H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;��757=:6782 �� /���95� 7<;[=:[82� �� � "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� �al�isem�sei�irk�ru

Page 157: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ������ ��������� ��������������

�!(/!/-��-' (/�&!�� + � ,�+�� +�(� �"�! )����"

"� "� +4Q4=

/233;[:<4; @4||7<7=}4256=>7 9<28=7=4�

dxjdt

� �xj�j�x�� j � �� � � � � n� ���

x� � � x�� x� � � ���

{@7 �j�x� � {52@Q47 =2 ;=[]73:87 R |9=Q}44� R � fx � En � x � g�������� '� �� x� � ( ������� � ��� ��������� ��

¡�x� y� �nXj��

��j�x�� �j�y�� �xj � yj� � � x� y � R�

� �) ��� ����" ����� ����" �x � ��� <��� ��� � ���

�xj � � �j��x� � � j � �� � � � � n�

/����xj�t�� � ����� �j��x� � � t��� � �

j� xj�t� � ��j ��� ����� �xj � �

¡ �x�t�� �x�� � ����� t���

�� x�t� 3 ��� ���� ���� � ��� ������� ���� ����+[Q2\2:7563:8[ :7[<7;> 2=25[{4H=[ :[;9� Q[:[<[7 ~<487@7=[ 8 3:2:67 � ~<4

2=254\7 \2@2H4 54=7?=[? @[~[5=4:756=[3:4� (<[}733 ���� ��� ~<4;7=�53� ~<4 43�357@[82=44 \2@2H 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� 4 ;[@757? �� �[56:7<<2 X[<6X> \239�73:8[82=47� %<[;7 :[{[� ~<7@52{27;>? ~[@^[@ 43~[56\[8253� @5� [~<7@757=4�37@5[8[? :[HQ4 8>~9Q5[�8[{=9:[? |9=Q}44 ��

"�!/��$/�

�� +4Q4= "�"� �� �� 8������� ���� ��" ������ ������� ������������ ����� +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43357@[82=47 [~7<2}4?� �7<4� �� �� �� � �� C� ���� �

�� +4Q4= "�"�� ,[<Q256}78 ��"� ���� � �������� ���� ����� ��������� ���� ��������������"� ��������� ����� �������� ����� �[8[34X4<3Q��29Q2� �4X� [:@�=47� ��� 3�

��������������������������������������+4Q4= "56� "[34|[84H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;� ��� �757=:6782 �� /���95� 7<;[=:[82� ��� ��� "<Q9:3Q� �� � /[334��:75� �������������� � e�mail� idikin�isem�sei�irk�ru

Page 158: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

�!��+- &!��/�� + � ,�+��" "(�"&!��*�(/�*/���"/����"� �� !+"�"���� �"�( !%�!

�� *� �2@2=

/233;2:<4827:3� \2@2H2 ;4=4;4\2}44 54~_4}78[? |9=Q}44 =2 7@4=4H=[; 34;�~57Q37 S ~<4 =254H44 @[~[5=4:756=>^ 54=7?=>^ [{<2=4H7=4? :4~2 =7<287=3:82

f� � minx�S�X

f�x�� X � fx � Rn � Ax � bg � ���

+5� `:[? \2@2H4 ~<7@52{27:3� 43~[56\[82:6 83~[;[{2:756=9� |9=Q}4�� 2=25[{4H�=9� :[?� Q[:[<2� ~<4;7=�7:3� 8 ;7:[@7 ~2<2;7:<4\2}44 }7578[? |9=Q}44

M�x� �� � �f�x�� ��� � P �x��

{@7 � � [}7=Q2 3=4\9 [~:4;256=[{[ \=2H7=4� f� 4 P �x� � k�Ax�b��k�� k�k� � [Q:2`@<4�H73Q2� =[<;2� #9=Q}4�M�x� �� [3:27:3� 54~_4}78[? ~[ x [:=[34:756=[ =[<;> k �k��~<4H7; Q[=3:2=:2 4~_4}2 9;7=6_27:3� ~<4 ~<4X54]7=44 [}7=Q4 � Q f� 3=4\9� �� ~[Q2\2=[� H:[ @2==2� 83~[;[{2:756=2� |9=Q}4� �85�7:3� :[H=[?� :� 7� 39�73:89�7: :2Q[7 �� � f�� H:[ @5� 837^ �� � � � f� ;=[]73:8[ ;4=4;9;[8 83~[;[{2:756=[?|9=Q}44 M�x� �� =2 S 3[8~2@27: 3 <7_7=47; 43^[@=[? \2@2H4 ����

� =23:[��7; 3[[X�7=44 <233;2:<4827:3� ;7:[@ <7_7=4� \2@2H4 ���� Q[:[<>?�85�7:3� Q[;X4=2}47? ;7:[@2 37Q9�4^ 9{5[8� ~<7@5[]7==[{[ 8 �� 4 ;7:[@2 ~2<2;7�:<4\2}44 }7578[? |9=Q}44� � `:[; ;7:[@7 [}7=Q2 � 4\;7=�7:3� 8 ^[@7 4:7<2:48=[{[~<[}7332� ~<4X54]2�36 Q f� 3=4\9� � ~[;[�6� <7\956:2:[8 4\ � @[Q2\>87:3� 3^[@4�;[3:6 ;7:[@2� (<48[@�:3� @<9{47 Q5233> 83~[;[{2:756=>^ |9=Q}4? 4 43357@9�:3�4^ 38[?3:82�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /[334?3Q[{[ |[=@2 |9=@2;7=:256�=>^ 43357@[82=4?� �~<[7Q:2 �� �� � �� 4 ~[ ~<[{<2;;7 {[39@2<3:87==[? ~[@@7<]Q487@9�4^ =29H=>^ _Q[5� �~<[7Q:2 ������ � ��

"�!/��$/�

�� �2@2= ��*� �� � /����" �����������" ������" ��" ������ �����������������������" �� �������� ����� �� �7:[@> 4 25{[<4:;> 43357@[82�=4� \2@2H [~:4;256=[{[ 9~<2857=4�� �87<6� 3� ������

�� Andramonov M� Yu�� Rubinov A�M�� Glover B�M� ������ Cutting angle methods inglobal optimizations �� Applied Mathematics Letters� V� ��� p� ���� �

�� Pallaschke D�� Rolewicz S� ������ Foundations of Mathematical Optimization<Convex Analysis without Linearity=� Dordrecht� Kluwer Academic Publishers�

���������������������������������������2@2= �4:254? *<4{[<6784H��>H4354:756=>? }7=:< 4;� ����+[<[@=4}>=2 /���*�(��� 95� �2845[82� � � ������� �[3Q82�:75�� ��� ������������� e�mail� zhadan�ccas�ru

Page 159: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ��������������

��/"��� �!��+� "�!�/",�&"" � (�/��!�/"�!�%"� ,�+��"!���(/�� !�"' "�!/�&"����*� (!/!.�+�

"� �� ,2X[:4=

(<7@52{27:3� 25{[<4:; 935[8=[? ;4=4;4\2}44 {52@Q4^ |9=Q}4?� 4@7?=[ X54\�Q4? Q 4\873:=[;9 ;7:[@9 54=72<4\2}44 �� � [:54H47 [: ~[357@=7{[ =2~<2857=4�4:7<2}4[==[{[ ~7<7^[@2 8 ~<7@52{27;[; 25{[<4:;7 3:<[�:3� 8 84@7 54=7?=[? Q[;X4�=2}44 {<2@47=:[8 }7578[? |9=Q}44 4 |9=Q}4? 2Q:48=>^ [{<2=4H7=4?� %[`||4}47=�:> Q[;X4=2}44 =2^[@�:3� 3 ~[;[�6� <7_7=4� 83~[;[{2:756=[? \2@2H4 ;4=4;4\2}44Q82@<2:4H=[? |9=Q}44 ~<4 54=7?=>^ [{<2=4H7=4�^�

/7_27:3� \2@2H2 minx�D

f��x�� {@7 ;=[]73:8[ D � fx � Rn � fj�x� � � j � Jg8>~9Q5[� 2 |9=Q}44 f��x�� fj�x� =7~<7<>8=[ @4||7<7=}4<97;>� (93:6 F �x� �maxj�J

fj�x�� F��x� � maxfF �x�� g� x� � Rn� N � � � � � ;=[]73:8[ ¢N � fx �Rn � f��x� � NF��x� � f��x�� � NF��x��g =7~93:[ 4 [{<2=4H7=[� J��x� � fj � J �fj�x� � F��x�� �g� I��x� � J��x� f g�

�2 k�; _2{7 ~<7@52{27;[{[ 25{[<4:;2 [:>3Q4827:3� <7_7=47 �ki � i � I��xk�� \2�

@2H4 Pi�I��xk�

hf ���xk�� f �i�xk�i�i � ��P

i�I��xk���i �� min

Pi�I��xk�

Df �j�xk�� f

�i�xk�

E�i � fj�xk� � � j � J��xk��

���

!354 �ki � ~<4 5�X[; i � I��xk�� :[ xk � <7_7=47 43^[@=[? \2@2H4� 4 ~<[}733 \2Q2=�

H4827:3�� � ~<[:48=[; 359H27 ~[52{27:3� pk �P

i�I��xk��ki f

�i�xk�� xk�� � xk � �kpk� {@7

�k � ��i� � 2 =[;7< i� � ;4=4;256=>? 4\ =[;7<[8 i � � �� ���� ~<4 Q[:[<[; 8>~[5=�7:3�=7<287=3:8[f��xk � �

�ipk� �NF��xk � �

�ipk� � f��xk� �NF��xk�� �

�iP

i�I��xk���k

i ��� � � � ��

�X39]@2�:3� 935[84� <2\<7_4;[3:4 \2@2H4 ���� (<4 =7Q[:[<>^ @[~[5=4:756=>^~<7@~[5[]7=4�^ @[Q2\2=[� H:[ 5�X2� ~<7@756=2� :[HQ2 ~[357@[82:756=[3:4 fxkg ~<4�=2@57]4:D� 4 8 =7? 8>~[5=��:3� =7[X^[@4;>7 935[84� ;4=4;9;2 |9=Q}44 f��x� =2;=[]73:87 D�

"�!/��$/�

�� (_7=4H=>? 0� ��� +2=454= 1� �� ������ >� ���� ����� %� ����������������� ��� �29Q2�

��������������������������������������,2X[:4= "{[<6 �<[35284H�%2\2=3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�95� %<7;5783Q2�� ��� %2\2=6� �� �� �2:2<3:2=� /[334��:75� �������� ��������� e�mail� Igor�Zabotin�ksu�ru

Page 160: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

(� $�!�"! /!�!�"� � ,�+����' �������)1 �!��+�� &!��/���

�� "� ,2X[:4=� �� �� �=@<42=[82

�<7X97:3� =2?:4 ~<4X54]7==[7 3 \2@2==[? :[H=[3:6� � � <7_7=47 \2@2H4minff�x�� x � Dg�D � fx � x � Rn� g�x� � g� D� � fx � x � Rn� g�x� � g �� ��D� � D�{@7 g�x� � maxffi�x�� i � Hg�H � f����mg� f�x�� fi�x�� i � H =7~<7<>8=>7 |9=Q�}44 8 n�;7<=[; 78Q54@[8[; ~<[3:<2=3:87 Rn� Q2]@>? 5[Q256=>? ;4=4;9; Q[:[<>^�85�7:3� 2X3[5�:=>;�

(93:6 f� � minff�x�� x � Dg � ��� X� � fx � x � D� f�x� � f� � �g [{<2=4H7=[�

Y � Argminff�x�� x � Rng� Y �D� � ��([5[]4; F �x� � maxff�x��t� bg�x���g� {@7 t� b� � � Q[=3:2=:>� Z � ArgminfF �x��

x � Rng� � [:54H47 [: � =2?@7=2 =4]=�� {<2=6 \=2H7=4? ~2<2;7:<2 b� ~<4 Q[:[<>^z � X�

@5� 5�X>^ z � Z��!�/!�� �� (93:6 ~2<2;7:<> t� � \2|4Q34<[82=> :2Q4; [X<2\[;� H:[ � � �

� � � 4 t � f� � �� !354 ~2<2;7:< b � \2|4Q34<[82:6 :2Q� H:[ 8>~[5=�7:3�b � ��� � � f� � t��minfg�x�� x � X�

g� :[ Z X� �

�!�/!�� �� (93:6 ~2<2;7:<> t� b � � � \2|4Q34<[82=> :2Q4; [X<2\[;� H:[t � f�� b � ���f�� t��minfg�x�� x � X�

g� � � bminfg�x�� x � X� g� �� �[{@2 Z X�

@5� 5�X[{[ b � b��2 ~<2Q:4Q7 ;[]=[ 43~[56\[82:6 X[577 {<9X>7 [}7=Q4� ~[59H7==>7 ~<4 ~[;[�4

=25[]7=4� @[~[5=4:756=>^ 935[84? =2 43^[@=>7 @2==>7 \2@2H4�(93:6 4\873:=> [}7=Q4 f�� f� 8754H4=> f�� f� � f� � f�� !354 f�x� 8>~9Q52

4 9@[857:8[<�7: 935[84� 4~_4}2 3 Q[=3:2=:[? L� g�x� 3456=[ 8>~9Q52 =2 Rn 3~[3:[�==[? �� :[ minfg�x�� x � X�

g � �����L���� !+���"! �� (93:6 ~2<2;7:<> t� � \2|4Q34<[82=> :2Q4; [X<2\[;� H:[ �

� � � � � 4 t � f� � �� !354 ~2<2;7:< b � \2|4Q34<[82:6 :2Q� H:[ b � ��L�������� � f� � t���� :[ Z X�

�� !+���"! �� (93:6 ~2<2;7:<> t� b � � � \2|4Q34<[82=> :2Q4; [X<2\[;� H:[

t � f�� b � ��L������� f� � t���� � � �b����L�� � �� �[{@2 Z X� �

"�!/��$/�

�� ,2X[:4= ��"�� �=@<42=[82 ���� �� �� &�������� ���� ����� ������ ������� ���! �� ���� ����� ����� �� "\8� 89\[8� �2:7;2:4Q2� ���� �� ������

��������������������������������������,2X[:4= �<[3528 "82=[84H� %*$�95� +7Q2X<43:[8� @����� Q8���� �� ��� {� %2\2=6�:�������������� � e�mail� Yaroslav�Zabotin�ksu�ru�

�=@<42=[82 �=23:234� �57Q32=@<[8=2� %*$�95� �9<=2543:[8� @��� Q8� ��� �� ��� {�%2\2=6� :������������� ��

Page 161: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ��������������

%/"�!/"' �������%"� *�/���"/$1�"' ,�+���$1 �������)� �!��+! ��/�#��

��"� ,2X[:4=� "��� #9Q4=

+5� \2@2H4 f� � minf�x�� x � D � fx � Rn � g�x� � g 83~[;[{2:756=2� |9=Q}4�F �x�C� 3:<[4:3� 3:2=@2<:=>; [X<2\[;� =[ 3 43~[56\[82=47; ;=[]73:82 D� � fx �Rn � g�x� � �� � � �� � g� $Q2\>82�:3� 935[84�� [:54H=>7 [: �� ~<4 Q[:[<>^~[~2@2=47 :[HQ4 2X3[5�:=[{[ ;4=4;9;2 |9=Q}44 F �x�C� � f�x��CV �x�� {@7 C � �V �x� � ~<4 x � D� 4 V �x� � ~<4 x �� D�� 8 ;=[]73:8[ D {2<2=:4<97: 77 ��[~:4;256=[3:6�

������ �� (93:6 |9=Q}4� f�x� 9@[857:8[<�7: 935[84� 4~_4}2 3 Q[=3:2=:[?L 4 8>~[5=�7:3� ^[:� X> [@=[ 4\ 935[84?�

�� |9Q=}4� g�x��<28=[;7<=[ 8>~9Q52� 3 ;[@957; ��t� 4 �� � ����L���� |9=Q}4� g�x� �85�7:3� ��<7{95�<=[? =2 D� 3 ~2<2;7:<[; � 4 �� � � �

L�

�[{@2 f � � f� � �� {@7 f � � minx�D�

f�x��

���������� !354 x�C� � D� :[ ~<4 8>~[5=7=44 935[84? :7[<7;> � ~[59H4;f�x�C��� f� � ��

�4=4;4\2}4� |9=Q}44 f�x� =2 ~[{<9]7==[; ;=[]73:87 D� ~[\8[5�7: 4\X284:63�[: =7[{<2=4H7==[{[ <[3:2 Q[`||4}47=:2 _:<2|2� :2Q Q2Q \@736 Ck � C� {@7 C �=7Q[:[<[7 H435[� ~<4 Q[:[<[; x�C� � D� +5� [}7=Q4 C =7[X^[@4;[ \=2=47 84@2_:<2|=[? |9=Q}44� (93:6 g�x� � max

i�Ifi�x� 4 V �x� �

P��I�maxf � fi�x� � ��g�q� q � ��

������ �� (93:6 |9=Q}4� f�x� 9@[857:8[<�7: 935[84� 4~_4}2 3 Q[=3:2=:[?L� |9=Q}4� g�x� �85�7:3� ��<7{95�<=[? =2 D� 3 ~2<2;7:<[; � 4 8>~[5=�7:3� ^[:� X>[@=[ 4\ 935[84?�

�� |9=Q}44 fi�x� 9@[857:8[<��: =2 D 935[84� 4~_4}2 3 Q[=3:2=:2;4 Li 4C � L�q��

�q�q��� {@7 £ � q

qPi�I L

qi �

�� |9=Q}4� g�x� � 8>~9Q52� 4 C � L��q��

��[{@2 x�C� � D�

"�!/��$/�

�� ,2X[:4= �� "�� #9Q4= "� �� �� � #� ����� ����������� ����� ���� ������� ��" ����� ��������� ��������������"� "\8� 89\[8� �2:7;� N ��� c� ������

��������������������������������������,2X[:4= �<[3528 "82=[84H� #9Q4= "{[<6 �=2:[56784H�%2\2=3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:� Q2|� `Q[=[;� Q4X7<=7:4Q4�95� %<7;5783Q2�� ��� %2\2=6� :75� ���������������e�mail� Yaroslav�Zabotin�ksu�ru� Igor�Fukin�ksu�ru

Page 162: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

0 "��'�"! % ���� $ %��/+"������%" "�!'��*� ���*��0/�,"�

�� "� ,[<Q256}78

/233;2:<482�:3� :<4 ~[3:2=[8Q4 ~<[X57;> ~[43Q2 =24;7=77 9@257==[? [: =2H252Q[[<@4=2: :[HQ4 54=7?=[{[ ;=[{[[X<2\4� Y Rn�

�� �2^[]@7=47 [~[<=>^ �3 ;4=4;256=>;4 =2X[<2;4 =7=9578>^ Q[;~[=7=:� 87Q�:[<[8 ;=[{[[X<2\4�� �=[]73:8[ [~[<=>^ 87Q:[<[8 [X[\=2H4; �� �=[ 3[3:[4: =7X[577 H7; 4\ Cm

n `57;7=:[8� {@7 m � <2\;7<=[3:6 ;=[{[[X<2\4� Y ��� ([43Q 87Q:[<[8 ;=[{[[X<2\4� 3 ~2<7:[�;4=4;256=>;4 2X3[5�:=>;4 \=2H7=4�

�;4 Q[;~[=7=:� �=[]73:8[ `:4^ 87Q:[<[8 [X[\=2H4; R��� ([43Q :[H7Q ;4=4;9;2 _:<2|=>^ |9=Q}4?� �X[\=2H4; F ;=[]73:8[ ~378@[�

8>~9Q5>^ |9=Q}4? f :2Q4^� H:[ signrjf�y� � sign yj� j � �� ���� n� @5� 5�X[{[ y � Rn�(93:6 PF � fy�f� � f � Fg� {@7 y�f� � arg minff�y� � y � Y g�

�3[X[ 8>@754; ;=[]73:8[ 78Q54@[8>^ ~<[7Q}4? =2H252 Q[[<@4=2: =2 54=7?=[7;=[{[[X<2\47 P� � fy��h

�� � h � Rn�g� {@7 �h

� �P

hj�yj���Rn� � ~[@;=[]73:8[ 87Q:[<[8

Rn 3 ~[5[]4:756=>;4 Q[;~[=7=:2;4�+[Q52@ ~[38��7= 4\5[]7=4� 4 <2\84:4� 93:2=[857==>^ <2=77 28:[<[; |2Q:[8

�=24X[577 ~[5=[ 4\5[]7==>^ 8 Q=4{7 �� [ 38[?3:82^ 4 8\24;[38�\�^ 887@7==>^ 8>_74 =7Q[:[<>^ @<9{4^ ;=[]73:8 �8 :[; H4357� [<:[`@<4H73Q4^ 4 H7X>_783Q4^ ~<[7Q�}4?�� � H23:=[3:4� @[Q2\2=> 357@9��47 3[[:=[_7=4�� [\=2H2��47 [{<2=4H7==[3:6837^ ;=[]73:8 4 8[\;[]=[3:6 ~[59H7=4� 5�X[{[ 4\ <7_7=4? ;7:[@[; =24;7=6_4^Q82@<2:[8 \2 3H7: 8>X[<2 873[8�

B R coB� P� � PF� clP� � R�

([@<[X=[ [X39]@2�:3� ~<45[]7=4� 93:2=[857==>^ |2Q:[8 8 \2@2H2^ [}7=Q4 ~2�<2;7:<[8 9<28=7=4? <7{<73344� 4@7=:4|4Q2}44 3[3:[�=4? 343:7;� 8 ;[@75�^ [~<7�@757=4� @[~93:4;[{[ <7_7=4�� ;2Q34;256=[ ~<4X54]7==[{[ Q \2@2==[;9 =7@[~93:4�;[;9� ~<4 ~[43Q7 ~378@[<7_7=4? 8 ;[@75�^ 3 ~<[:48[<7H48>;4 935[84�;4� 2 :2Q]7~<4 :7[<7:4H73Q[; 43357@[82=44 4 [X[3=[82=44 25{[<4:;[8 8=9:<7==4^ :[H7Q �~<[�7Q:48=>^ 25{[<4:;[8� @5� <7_7=4� \2@2H [~:4;4\2}44�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; /##" � �� �� �

"�!/��$/�

�� ,[<Q256}78 ��"� ������ ��� ��������� ������� <������� �� ��� ��( ����������� �������( �����!��"=� �[8[34X4<3Q� �29Q2�

��������������������������������������,[<Q256}78 �257<4? "82=[84H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;� �757=:6782 �� /���95� 7<;[=:[82� �� � ��� ��� "<Q9:3Q� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� zork�isem�sei�irk�ru

Page 163: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ��������������

(/�0 !�- �"� !���' /!� ",�&"" � *�/"��� ��.��+!�"��0�0�!���*� /!�!�"�

�� �� ,>Q4=2

� H4357==>^ ;7:[@2^ [~:4;4\2}44 [~<7@75���4; �85�7:3� 8>X[< 87Q:[<2 =2�~<2857=4� <752Q32}4[==[{[ ~<[}7332� ~<4 `:[; 8>X[< @54=> _2{2 8@[56 `:[{[ =2�~<2857=4�� 8 59H_7; 359H27� [3=[82= =2 =7Q[:[<>^ \2<2=77 [}7=7==>^ ~2<2;7:<2^��2�7 837{[ 8>X[< @54=> _2{2 ~<7@[3:285�7:3� 4=:94}44 ~<[{<2;;43:2� <7254\9���7{[ H4357==>7 <23H7:> ~[ 25{[<4:;9� /7\956:2:[; :2Q[? H4357==[? <7254\2}44�85��:3� ~<[X57;> :2Q =2\>827;[{[ \4{\2{[[X<2\=[{[ @84]7=4� 4� Q2Q 357@3:847�;7@57==[? 3^[@4;[3:4 4:7<2}4[==[{[ ~<[}7332� �X[\=2H7==2� ~<[X57;2 39�73:897:4 8 ;7:[@7 ~[357@[82:756=>^ ~<4X54]7=4? @5� =2^[]@7=4� [X[X�7==[{[ <7_7=4�=73[8;73:=[? 343:7;> =754=7?=>^ =7<287=3:8 ��

/233;[:<4; 3^7;9 ;7:[@2 ~[357@[82:756=>^ ~<4X54]7=4? � @5� =2^[]@7=4�[X[X�7==[{[ <7_7=4� 343:7;> =7<287=3:8

F �x� � � ���

{@7 F� 87Q:[<=2� |9=Q}4� F � Rn � Rm� F �x� � f��x�� ���� fm�x�� f��x�� ���� fm�x��8>~9Q5>7� =7~<7<>8=[ @4||7<7=}4<97;>7 |9=Q}44�

(93:6 \2@2=2 ~<[4\8[56=2� =2H256=2� :[HQ2 x�� +5� ~[59H7==[? :[HQ4 xj =2^[@�:yj � y�xj� � <7_7=47 \2@2H4 @[~[5=4:756=[3:4

F �xj� � Pyj � yj � � �yj�TF �xj� � �yj�TPyj �

!354 [Q2]7:3�� H:[ �yj�TrF �xj� � � :[ [X[X�7==[7 <7_7=47 x� � xj 343:7;> ���9]7 =2?@7=[� � ~<[:48=[; 359H27� 8>X<28 87Q:[< =2~<2857=4� �j � rF �xj��Tyj 4@54=9 _2{2 �j � � ~[52{2�:

xj�� � xj � �j�j

4 ~7<7^[@�: Q 357@9��7? 4:7<2}44�� Q2H73:87 @54=> _2{2 �j ~<7@52{27:3� 43~[56\[82:6 <7_7=47 \2@2H4 [@=[;7<=[?

;4=4;4\2}44 =7Q[:[<[? 3~7}4256=>; [X<2\[; 8>X4<27;[? |9=Q}44 [: =2~<2857=4��+[3:[4=3:8[ ~<7@5[]7==[{[ ~[@^[@2 3[3:[4: 8 :[;� H:[ H4357==2� <7254\2}4�

25{[<4:;2 [X73~7H4827:� 3 [@=[? 3:[<[=>� Q[=7H=[3:6 _2{2 =2 Q2]@[? 4:7<2}44;7:[@2 4� 3 @<9{[? 3:[<[=>� ;[=[:[==[7 ~<4X54]7=47 Q 43Q[;[;9 <7_7=4��

"�!/��$/�

�� 095283Q4? ���� ������ ���� ���� ���� ��" � �� ���� �� �[8[34X4<3Q��*$�

��������������������������������������,>Q4=2 �==2 �52@4;4<[8=2��;3Q4? {[39@2<3:87==>? :7^=4H73Q4? 9=487<34:7:�~<[3~7Q: �4<2 ��� �;3Q� ��� � � /[334�� :75� ��������� ���� ����e�mail� zykina�omgtu�omskelecom�ru� zykin�iitam�omsk�net�ru

Page 164: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

ALGORITHM SOLVING GENERAL MULTIVALUEDCOMPLEMENTARITY PROBLEM

V�V� Kalashnikov

Consider the general multi�valued �nonlinear� complementarity problem� Given anunbounded closed convex subset K Rn �for instance� a closed convex pointed coneK Rn with the vertex at the origin� and a multi�valued mapping F � K � �R

n

� �nd avector x � K such that there exists a linear form u � F �x� satisfying

hu� y � xi � �y � K� ���

We make the following assumptions�A�� The graph of the mapping F is closed�A�� For all z � K� the subset F �z� is nonempty and convex�A�� The range F �U� of every bounded subset U K is also bounded�Let � be a system of subsets in Rn satisfying the following assumptions�B�� Every subset S � � is closed and convex�B�� For each K � �� the intersection K � S is a non�empty �convex� compact�B�� For any bounded subset B Rn there is a S � � such that b S�

It is clear that a family of closed �in a certain norm� balls having nonempty intersec�tions with K can serve as the system described above�De�nition �� Let � be a system with properties B��B�� A system of points fzS� S � �gis called an exceptional family for complementarity problem ���� if �rst� for every S � �the following inclusions are valid

zS � K � S� � F �zS� �NK�zS� �NS�zS�� ���

and second� the point zS belongs to the boundary of the subset S� here NK�zS� andNS�zS� are the normal cones to the subsets K and S� respectively� at the point zS�Theorem �� Let K be a nonempty closed convex <unbounded= subset in Rn and let amapping F satisfy assumptions A��A�� If a system of subsets � has properties B��B��then either complementarity problem ��� is solvable( or there exists an exceptional family�

Now the general scheme of solving problem ��� numerically for some classes of map�pings F can be constructed as follows�

�� Select a sequence of compact subsets Sm� m � �� �� � � �� such that Sm �K �� �� Setk � ��

�� For m � k� solve the variational inequality ��� by a certain numerical method�solution always exists� for example� for upper semi�continuous mappings F � due to thecompactness of the feasible subset Sm �K��

�� If the solution zk of problem ��� is an interior point of the subset Sk then it alsosolves the initial problem ���� and the algorithm stops�

�� Otherwise� if the solution zk of problem ��� is a boundary element of the subset Sk�then set k � k � � and go to step ��

Theorem �� If complementarity problem ��� is solvable( then the above algorithm 7ndsthe solution in a 7nite number of steps� Otherwise( if there is no solution to problem ����an exceptional family is constructed���������������������������������������Vyacheslav Kalashnikov� Central Economics and Mathematics Institute �CEMI��Nakhimovsky prospekt ��� Moscow �������� ������������ � ��������� � e�mail� slavkazd�mail�ru

Page 165: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ��������������

(���/�!�"! ����"�����-($% -. ����!���

�� *� �2?@7=Q[

/233;2:<4827:3� ~<[X57;2 ~[3:<[7=4� H23:4H=[�8>~9Q5>^ �O�8>~9Q5>^� ;=[�]73:8� \2@2==>^ 8 84@7 OC�8>~9Q5>^ [X[5[H7Q� ~[<[]@7==>^ ~7<737H7=4�;4 C�37;4~<[3:<2=3:8 �� ,@736 O ~<7@3:285�7: 3[X[? ;=[]73:8[ =2~<2857=4? H23:4H=[?8>~9Q5[3:4� OC�8>~9Q59� [X[5[HQ9 ~<[4\8[56=[{[ ;=[]73:82 A � Rn �:� 7� ~7�<737H7=47 837^ C�37;4~<[3:<2=3:8 O�8>~9Q5[3:4� 3[@7<]2�4^ A� [X[\=2H4; H7<7\convocA� �[HQ9 a � A =2\[87; OC�`Q3:<7;256=[? @5� A� 7354 a �� convocAnfag� �[�8[Q9~=[3:6 837^ OC�`Q3:<7;256=>^ :[H7Q @5� ;=[]73:82 A [X[\=2H4; Q2Q extocA�

([Q2]7;� H:[ 8 359H27� Q[{@2 ;=[]73:82 A Rn 4 O Q[=7H=>� OC�8>~9Q52�[X[5[HQ2 convocA ~<7@3:285�7: 3[X[? [X�7@4=7=47 Q[=7H=[{[ H4352 ;=[{[{<2==4Q[8�(93:6 A � fa�� ���� akg� � ~<[4\8[56=[? :[HQ7 a � Rn \2@2@4; ~7<7H4357=47 OC�37;4~<[3:<2=3:8Rnn�a�C��� ���� Rnn�a�Cm�� {@7 C�� ���� Cm � ;=[{[{<2==>7 8>~9Q5>7Q[=93>� ,2;7:4;� H:[ 7354 a �� A� :[ :[HQ2 a ~<4=2@57]4: convocA :[{@2 4 :[56Q[:[{@2� Q[{@2 a �� extocfa�� � � � � akg fag� �:[ [\=2H27:� H:[

�Ci � a� �A �� � ��i � ��m�� ���

�X[7 ;=[{[{<2==[7 ;=[]73:8[ �Ci�a� ;[]=[ \2~432:6 8 84@7 <7_7=4? 343:7;>54=7?=>^ 9<28=7=4? fx � Rn j A�i�x � A�i�ag� {@7 A�i� � ;2:<4}2� 3[[:87:3:89��2�Q[=939 Ci� �[{@2� 43~[56\9� |[<;959 ���� ;[]=[ @[Q2\2:6 357@9��77 9:87<]@7=47

convocfa�� ���� akg �m�i��

�k�

j��

fa � Rn j A�i�aj � A�i�ag�� ���

�2Q Q2Q Q2]@[7 Q52334H73Q4 8>~9Q5[7 ;=[]73:8[ �85�7:3� OC�8>~9Q5>; �� :[Q52334H73Q4 8>~9Q52� [X[5[HQ2 convfa�� ���� akg 3[@7<]4: 8 37X7 convocfa�� ���� akg�� ~[3Q[56Q9 5�X2� Q52334H73Q4 8>~9Q52� [X[5[HQ2 Q[=7H=[{[ ;=[]73:82 :[H7Q [{<2�=4H7=2� :[ 4 convocfa�� ���� akg :2Q]7 [{<2=4H7=2� � 9H7:[; |[<;95> ��� ~[59H27;�H:[ convocfa�� ���� akg ~<7@3:285�7: 3[X[? [X�7@4=7=47 Q[=7H=[{[ H4352 [{<2=4H7=�=>^ ;=[{[{<2==>^ ;=[]73:8 �;=[{[{<2==4Q[8��

/2X[:2 ~<[|4=2=34<[82=2 "=3:4:9:[; ;2:7;2:4Q4 ��� 0752<934 8 <2;Q2^ *[�39@2<3:87==[? ~<[{<2;;> |9=@2;7=:256=>^ 43357@[82=4? ��5{[<4:;� ~<4 H23:4H�=[? ~[@@7<]Q7 INTAS �~<[7Q: �����

"�!/��$/�

�� ���� �7:7563Q4?� ���� �2<:>=H4Q ������ >� �����" ������ ��� �2:7;2:4�H73Q47 \2;7:Q4 �� c� � ������

�� ���� �7:7563Q4?� �� *� �2?@7=Q[ �� � &��������� �� � ���� �� ������������ ��� �2:7;2:4H73Q47 \2;7:Q4 �� c� ������ �

���������������������������������������2?@7=Q[ �52@4;4< *<4{[<6784H� "=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 ��� 0752<934�95� �9<{2=[82� ��� �4=3Q� �� ��� /73~9X54Q2 0752<936�:75� ��� ��� ���������� |2Q3 ��� ��� ���� ����� e�mail� naidenko�im�bas�net�by

Page 166: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

� (/"�!�!�"" #$�%&"" �*/����+ � /!*$ �/",�&"" ,�+��

�-($% �*� (/�*/���"/����"�

�� +� �Q2<4=

/233;2:<4827:3� \2@2H2 8>~9Q5[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� ��(�

minff��x� � x � Xg� ���

{@7 X � fx � f�x� � g� f�x� � f��x�� � � � � fm�x�T � fi�x� � 8>~9Q5>7 =2 Rn |9=Q}44�i � � �� � � � �m�� ,2@2H7 ��� 3:284:3� 8 3[[:87:3:847 ~<[X57;2 P� =2^[]@7=4� 37@�5[8>^ :[H7Q x�� �� <7{95�<4\4<[82==[? ~[ ~<�;>; 4 @8[?3:87==>; ~7<7;7==>;|9=Q}44 2{<2=]2

L��x� �� � f��x� � ��� f�x�� � � kxk� � � k�k�� � �� � � � 8 [X523:4 RnRm

� � ,2@2H2 P� @5� 5�X[{[ 4;77: 7@4=3:87==[7<7_7=47� 8 :[; H4357� Q[{@2 X � � �:�7� Q[{@2 ��� � =73[X3:87==2� � \2@2H2 �(��

� @[Q52@7 93:2=2854827:3� :73=2� 38�\6 ;7]@9 <7_7=4�;4 \2@2H4 P�� \2@2H4

minff��x� � � kxk� � x � Xg� � � ���

4 \2@2H4� @8[?3:87==[? Q ���� ,2@2H2 ��� �85�7:3� 3:2=@2<:=[? 8 ;7:[@7 <7{95�<4�\2}44 \2@2H4 �(� Q[{@2 |9=Q}4� f��x� \2@2=2 ~<4X54]7==[� �2Q4; [X<2\[;� 7354��� <2\<7_4;2� :[ =2 [3=[87 ~<4;7=7=4� |9=Q}44 L��x� �� ;[]=[ ~[3:<[4:6 [@4= 4\~[@^[@[8 Q <7{95�<4\2}44 \2@2H4 �(�

,2@2H2 P� [~<7@75�7: :2Q]7 8[\;[]=>? 3~[3[X Q[<<7Q}44 =73[X3:87==>^ \2@2H�(� � `:[; 359H27 88[@4:3� 357@9��2� 2~~<[Q34;2}4� @5� ����

minff��x� � � kxk� � x � X�g� ���

{@7 X� � fx � f�x� � ��g� �� �argmin fk�k � X � fx � f�x� � �g �� �g� �7\2�8434;[ [: <[@2 =73[X3:87==[3:4 ��� \2@2H2 ��� ;[]7: X>:6 =73[X3:87==[? \2@2H7?54_6 I�{[ <[@2� 2 `:[� 8 38[� [H7<7@6� ~[\8[5�7: ~<4857H6 4\873:=>7 � <7\956:2:>[:=[34:756=[ Q[<<7Q}44 =73[X3:87==>^ \2@2H �( I�{[ <[@2� ~[59H7==>7 =2 [3=[87~<4;7=7=4� |9=Q}44 L��x� ���

"�!/��$/�

�� !<7;4= "� "�� �2\9<[8 �5� +�� �3:2|678 �� �� ������ 8 �� ���� �������������� � �������� ��������������"� ��� �29Q2�

�� �Q2<4= �� +� ������ # ���� ����"������� ��" ����������� ����� ��������� ��������������" "\8� 89\[8� �2:7;2:4Q2� � ��� �� ������

���������������������������������������Q2<4= �52@4;4< +;4:<4784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4 ;7^2=4Q4 $<� /���*�(����� 95� ��%[825783Q[?� ��� �� ���� !Q2:7<4=X9<{�:75�� ������ ��������� |2Q3� ������ ���������e�mail� skavd�imm�uran�ru

Page 167: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ������ ��������� ��������������

,�+��� (� "�+/� )��' ��+! "����"%�% ,�+��� D�C� �"�"�",�&"

�� �� �:<7Q25[83Q4?� �� �� +<9]4=4=2

�4<[Q[ 4\873:=[ [~<7@757=47 54=7?=[? [:@754;[3:4 @89^ ;=[]73:8� �@=2Q[ 39��73:89�: \2@2H4� 8 Q[:[<>^ :<7X97:3� <2\@754:6 @82 54=7?=[ =7[:@754;>^ ;=[]7�3:82� � 38�\4 3 `:4;� 88[@4:3� ~[=�:47 ~[54`@<256=[? [:@754;[3:4�

�������� ���� ���� ���!��" ����������� #�$% :<7X97:3� [:@754:6@82 Q[=7H=>^ ;=[]73:82 :[H7Q ~<[3:<2=3:82 Rn ;4=4;256=>; Q[54H73:8[; {4~7<�~5[3Q[3:7?�

(93:6 A�B Rn � =7~93:>7 Q[=7H=>7 ;=[]73:82 :[H7Q� 3[3:[��47 4\ M 4 N:[H7Q 3[[:87:3:87==[� (<7@3:285�7; 4^ 8 84@7 ;2:<4} A � RM�n 4 B � RN�n�

&���������� �� �=[]73:82A 4 B ~[54`@<256=[ [:@754;> P {4~7<~5[3Q[3:�;4�7354 �f�p� �pg � �p � Rn� �p � R� p � ���P � :2Q47 H:[

�i � ���M� �p � ���P ATi �

p � �p�

�j � ���N� �p � ���P BTj �

p � �p�

"\ [~<7@757=4� 84@=[� H:[ ;=[]73:82 A 4 B 8^[@�: 8 =7{[ =7 34;;7:<4H=[������������ �� �=[]73:82 A 4 B ~[54`@<256=[ [:@754;> :[{@2 4 :[56Q[

:[{@2� Q[{@2 conv�A� � �B� � ���87@7; |9=Q}4� [_4XQ4 357@9��4; [X<2\[;�

F �V��� ��M

MXi��

max � max��p�P

�ATi v

p��p�����N

NXj��

max � min��p�P

��BTj v

p��p��� ���

\@736 V � RP�n � ;2:<4}2� 3:[5X}2;4 Q[:[<[? �85��:3� 87Q:[<2 vp� � � RP �87Q:[<� 3[3:2857==>? 4\ ���

�[]=[ ~[Q2\2:6� H:[ |9=Q}4� ��� �85�7:3� d�c� |9=Q}47?� :�7� ~<7@3:284;2 884@7 <2\=[3:4 @89^ 8>~9Q5>^ |9=Q}4?�

����������� �� �=[]73:82A 4 B ~[54`@<256=[ [:@754;> � {4~7<~5[3Q[3:�;4f �vp� ��pg � �vp � Rn� ��p � R :[{@2 4 :[56Q[ :[{@2� Q[{@2 F � �V � ��� � �

�2Q4; [X<2\[;� \2@2H2 ~[54`@<256=[? [:@754;[3:4 @89^ Q[=7H=>^ ;=[]73:8 :[�H7Q n�;7<=[{[ ~<[3:<2=3:82 Rn `Q848257=:=2 \2@2H7 X7\935[8=[? ;4=4;4\2}44 =7�@4||7<7=}4<97;[? d�c� |9=Q}44 ���� \2843��7? [: P �n� �� ~7<7;7==>^�

+5� 43357@[82=4� `:[? \2@2H4 ~<7@~[52{27:3� 43~[56\[82:6 935[84� {5[X256=[?[~:4;256=[3:4 ��

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �~<[7Q: �� �� ����

"�!/��$/�

�� Astorino A�� Polyhedral separability through successive LP� Nonlinear Optimization andApplications� Erice� �� June � � Jule ������� �:<7Q25[83Q4? ����� ������ ? ���" ���������� ���������� �� ��" ����� d�c���������������"� 37<4� ��~:4;4\2}4� 4 [~:4;256=[7 9~<2857=47�� "\@�8[ "<Q9:�3Q[{[ {[39=487<34:7:2� 3� ������������������������������������������:<7Q25[83Q4? �57Q32=@< �7<{7784H� +<9]4=4=2 �Q32=2 �52@4;4<[8=2�"=3:4:9: @4=2;4Q4 343:7; 4 :7[<44 9~<2857=4� �� /���95� 7<;[=:[82� ���� "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� strekal�icc�ru

Page 168: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

�"� !���! /!�!�"! ,�+�� �0/������-($% �*�(/�*/���"/����"�

�� �� �:<7Q25[83Q4?� �� �� �Q[85782

� <2X[:7 <233;2:<4827:3� 357@9��2� \2@2H2 [~:4;4\2}44�

h�x� � min� x � S�g�x� � �

��P �

{@7 h��� � =7~<7<>8=2�� 2 g��� � 8>~9Q52� |9=Q}44 =2 IRn 4 S IRn��~7}4|4Q2 \2@2H4 �P � [~<7@75�7:3� [{<2=4H7=47; g�x� � � Q[:[<[7 4 3[\@27:

X2\[89� =78>~9Q5[3:6 \2@2H4 �P �� [~<7@75�� @[~[5=7=47 8>~9Q5[{[ ;=[]73:82�+5� \2@2H4 �P � ~<7@5[]7=> �� � =7[X^[@4;>7 4 @[3:2:[H=>7 935[84� {5[X256=[?

[~:4;256=[3:4� 2 :2Q]7 3:<2:7{4� {5[X256=[{[ ~[43Q2� [3=[8=>;4 `:2~2;4 Q[:[<[?�85��:3� 5[Q256=>? ~[43Q� <7_7=47 54=72<4\[82==>^ ~[ X2\[8[? =78>~9Q5[3:4 \2�@2H� ~[3:<[7=47 2~~<[Q34;2}44 ~[87<^=[3:4 9<[8=� 8>~9Q5[? |9=Q}44�

� ~<7@~[5[]7=44 8>~9Q5[3:4 ;=[]73:82 S 4 }7578[? |9=Q}44 h���� ~<4 8>~[5�=7=44 4\873:=>^ � 935[84? <7{95�<=[3:4 @5� \2@2H4 �P �� ~<7@5[]7= 3~7}4256=>?;7:[@ 5[Q256=[{[ ~[43Q2� �= 3[H7:27: 8 37X7 3~93Q =2 [X<2:=[�8>~9Q5[7 [{<2=4H7=474 <7_7=47 54=72<4\[82==[? @8[?3:87==[? \2@2H4 84@2

hrg�u�� xi � max� x � S�h�x� � ��

��LQ�u� ���

{@7 u 4 � � ~2<2;7:<>� +[Q2\2=2 3^[@4;[3:6 `:[{[ ;7:[@2� ~<[87@7=[ 7{[ :73:4<[�82=47�

+2577� =2 [3=[87 3:<2:7{44 {5[X256=[{[ ~[43Q2 3:<[4:3� 25{[<4:; @5� <7_7=4�\2@2H 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� 3 @[~[5=4:756=>; [X<2:=[�8>~9Q5>; [{<2=4H7�=47;�

h�� xi � min� Ax � b� x � �g�x� � �

��P��

+5� ~<[87@7=4� H4357==[{[ `Q3~7<4;7=:2 <7_7=2 37<4� :73:[8>^ ~<4;7<[8 4\ ��/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##" �~<[7Q: �� �� ����

"�!/��$/�

�� Horst R�� Tuy H� ������ Global optimization <Deterministic approaches=� ��nd ed�Berlin et3�� Springer��� �:<7Q25[83Q4? ���� ������ #� %� ��������� ������� �� ��������"� ����������! �� %4X7<=7:4Q2 4 343:7;=>? 2=254\� N �� c� ���������� Strekalovsky A�S�� Tsevendorj Ider ������ Testing the R�strategy for a Reverse ConvexProblem� Journal of global optimization� N ��� p� �������� Jacobsen S�� Moshirvaziri K� �� �� Computational Experience Using an Edge SearchAlgorithm for Linear Reverse Convex Programs� �To appear in Journal of global optimi�zation�����������������������������������������:<7Q25[83Q4? �57Q32=@< �7<{7784H� �Q[85782 �2:6�=2 �52@4;4<[8=2�"=3:4:9: @4=2;4Q4 343:7; 4 :7[<44 9~<2857=4� �� /���95� 7<;[=:[82 ���� "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� strekal�icc�ru� yak�icc�ru

Page 169: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ��������������

�!��+- /!�!�"� �"��!� %��+/��"��-. � *!0/�"�!�%".$/���!�"' " ". (/"�!�!�"! + � /���!�� $������"��".��

/!�"��� � !%�/���!/*!�"�!�%". �"��!�

�� �� .2;43[8� �� � �57Q37782

�@=[? 4\ \2@2H� :<7X9��7? `||7Q:48=[{[ <7_7=4�� �85�7:3� \2@2H2 <2\<7_4;[�3:4 =754=7?=>^ 9<28=7=4? 93:2=[848_4^3� <7]4;[8 `57Q:<[`=7<{7:4H73Q4^ 343:7;������ � =23:[��77 8<7;� 8 Q2H73:87 9<28=7=4? 93:2=[848_4^3� <7]4;[8 ��� ~<4�;7=��:3�� 8 [3=[8=[;� 9<28=7=4� 9\5[8>^ =2~<�]7=4?� ,2~43>82� `:4 9<28=7=4� 8~<�;[9{[56=[? 343:7;7 Q[[<@4=2: 8 84@7 X252=32 ;[�=[3:7? 8 9\52^ ���� ~[59H4;357@9��9� 343:7;9 9<28=7=4?�

xTQix� �ci�Tx� ri � � i � �� n� ���

�:;7:4;� H:[ 343:7;2 9<28=7=4? �85�7:3� 343:7;[? Q82@<2:4H=>^ 25{7X<24H73Q4^9<28=7=4? <7_27;>^ =2 ;=[]73:87 x � f�j � xj � �j� j � �� ng� {@7 Qi � Q82@<2:=2�;2:<4}2 ~[<�@Q2 n� ci � En� ri � E��

�43:7;2 9<28=7=4? ��� <7_27:3� 4:7<2:48=>;4 ;7:[@2;4� (<4 `:[; [3:2�:3�=78>�3=7==>;4 ;=[{47 2Q:9256=>7 8[~<[3>� =2~<4;7<� 8[~<[3 [ 8[\;[]=[; H4357<7_7=4? 343:7;> ���� 2 :2Q]7 [ H4357 <7_7=4?� [:87H2��4^ |4\4H73Q[? 39�=[3:443357@97;[? \2@2H4� � @2==[? <2X[:7 ~<7@52{2�:3� ;7:[@> <7_7=4� 343:7;> ����[3=[82==>7 =2 Q[;X4=2}44 ;7:[@[8 [:37H7=4? � 3 <2\54H=>;4 82<42=:2;4 ;7:[@[85[Q256=[{[ ~[43Q2� (<7@3:2857=47 43^[@=[? \2@2H4 8 84@7 ;=[{[`Q3:<7;256=>^ \2�@2H ;2Q34;4\2}44 =2 8>~9Q5[; ;=[]73:87 454 8 84@7 ;4=4;4\2}44 8>~9Q5[? |9=Q�}44 ~[\8[5�7: @2:6 [:87:> =2 4=:7<739��47 8[~<[3>� �37 ~<7@5[]7==>7 8 <2X[:7<7@9Q}44 X>54 `Q3~7<4;7=:256=[ 43357@[82=>� "3357@[82=4� ~<[8[@45436 =2 37<4�^\2@2H 3[ 359H2?=>;4 @2==>;4 4 :73:[8>^ ~<4;7<2^ 3~7}4256=[? 3:<9Q:9<>� Q<[�;7 :[{[ <233;2:<4825436 <7256=>7 ���� (<4 <7_7=44 \2@2H� ;[@754<9��4^ <2X[:9���� 39�73:87==[ 43~[56\[825236 <2\<7]7==[3:6 3[[:87:3:89��4^ ;2:<4} 343:7;>Q82@<2:4H=>^ 9<28=7=4?� �=254\ H4357==>^ `Q3~7<4;7=:[8 ~[\8[5�7: @752:6 8>8[@[ :[;� H:[ ~<7@5[]7==>7 8 <2X[:7 25{[<4:;> ;[{9: X>:6 93~7_=[ 43~[56\[82=>�

"�!/��$/�

�� 0952:[8 �� (�� �57Q37782 �� � ������ >� ���� ����� ��� �� � ) ������ ����� � �� �������� ��� ������� � �� �����!��"� �<9@> �� ;7]@9�=2<[@=[? 02?Q2563Q[? _Q[5> ��7:[@> [~:4;4\2}44 4 4^ ~<45[]7=4��� "<Q9:3Q�3� ������

��������������������������������������.2;43[8 �57{ �257<6784H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;� �757=:6782�95� 7<;[=:[82 �� � "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��e�mail� khamisov�isem�sei�irk�ru

�57Q37782 �2:6�=2 7[=4@[8=2�"<Q9:3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7: ~9:7? 3[[X�7=4�

Page 170: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� �������������� ���

��.��+!�"! +�($��"��*� /!�!�"� �"��!�- D�C� �!/��!�����!��+�� �! "�!'�-. �(�/�-. #$�%&"'

�� +� �982_78

� @[Q52@7 <233;2:<4827:3� 357@9��2� \2@2H2� ,2@2=2 343:7;2 =754=7?=>^ =7�<287=3:8

fi�x� � � i � �� ����m� ���

{@7 fi�x�� i � �� ����m� x � En 73:6 d�c� |9=Q}44� :� 7� fi�x� � gi�x� � hi�x�� |9=Q}44gi�x�� hi�x� 8>~9Q5>� ,2@2=[� :2Q]7� 8>~9Q5[7 Q[;~2Q:=[7 ;=[]73:8[ X En� �<7�X97:3� =2?:4 :[HQ9 x� � X :2Q9�� H:[ fi�x�� � � i � �� ����m�

+5� <7_7=4� ~[3:2857==[? \2@2H4 ~<7@52{27:3� 357@9��4? ~[@^[@� 4=72<4\9�8>~9Q59� |9=Q}4� gi�x�� ;[]=[ ~[3:<[4:6 8[{=9:9� [~[<=9� |9=Q}4��;4=[<2=:98 5�X[? :[HQ7 ;=[]73:82 X� !354 :7Q9�2� :[HQ2 =7 73:6 @[~93:4;[7 <7_7=47� :[�43~[56\9� 8[{=9:9� |9=Q}4��;4=[<2=:9� ;[]=[ [~<7@754:6 n�;7<=>? ~2<255757�~4~7@� :2Q]7 =7 3[@7<]2�4? @[~93:4;>^ <7_7=4?� ([59H7==>? ~2<255757~4~7@43Q5�H27:3� 4\ X 4 =[82� :[HQ2 X7<7:3� 4\ [3:28_7{[3� ;=[]73:82� ,2:7; 83� ~<[�}7@9<2 ~[8:[<�7:3��

� @[Q52@7 ~[@<[X=[ [~432=2 25{[<4:;4H73Q2� 3^7;2� <7254\9��2� ~<7@5[]7==>?~[@^[@� +2==2� 3^7;2 [3=[82=2 =2 4@725[{44 ;7:[@2 87:87? 4 {<2=4}� (<48[@�:3�<7\956:2:> H4357==[{[ `Q3~7<4;7=:2�

���������������������������������������982_78 �2Q34; +;4:<4784H�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;� ��� �757=:6782�95� 7<;[=:[82 �� � "<Q9:3Q� ��� ��� /[334�

Page 171: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������������� � ������������� ��������������

�0 $���'�"����" ���*�%/"�!/"� )��' "�!'��'%��0"����/��' ,�+��" � �0�0�!��-� (/"�&"(��

�(�"�� )����"� �% 1��1�"� (�/!����%"'

�� �� !;754H78� �� !� 09^:[�<[8

(93:6 C � cijm�n � Rmn� m� n � �� X �nQj��

Xj � Xj R� � � jXj j � ��

j � Nn � f�� �� ���� ng� � �� J � Nn� Ci � �ci�� ci�� ���� cin�� i � Nm� ([@ m�Q<4:7<4256=[?\2@2H7? Zm�C� J� 3 [X[X�7==>; ~<4=}4~[; [~:4;256=[3:4 X9@7; ~[=4;2:6 \2@2H9~[43Q2 ;=[]73:82 J �`||7Q:48=>^ <7_7=4? Qm�C� J�� [~<7@75�7;[{[ ~[ |[<;957 �

x � Qm�C� J�� x � X � ��x�C� J� � ��

{@7 ��x�C� J� � fx� � W �x� J� � Cx � Cx� � Cx �� Cx�g� W �x� J� � f�v�� v�� ���� vn�T �vj � Xj ~<4 j � J � vj � xj ~<4 j �� Jg� �H784@=[� H:[ �� ;=[]73:8[Nn�`||7Q:48=>^<7_7=4? 3[8~2@27: 3 ;=[]73:8[; (2<7:[ Pm�C�� �� @5� 5�X>^ ;=[]73:8 J 4 J �

:2Q4^� H:[ � �� J � J � � Nn� 87<=[ 8Q5�H7=47 Qm�C� J� � Qm�C� J �� � Pm�C���2?@7=> =4]=�� 4 87<^=�� @[3:4]4;>7 [}7=Q4 <2@4932 93:[?H48[3:4 \2@2H4

Zm�C� J�� � �� J � Nn� ~[@ Q[:[<>;� Q2Q [X>H=[ �� ~[=4;27:3� ~<7@756=>? 9<[87=6=7\28434;>^ 8[\;9�7=4? `57;7=:[8 ;2:<4}> C �:� 7� 8 H7X>_783Q[? ;7:<4Q7�� Q[:[�<>7 =7 ~<48[@�: Q ~[�857=4� =[8>^ J �`||7Q:48=>^ <7_7=4?� ^[:� J �`||7Q:48=>7<7_7=4� 43^[@=[? \2@2H4 ;[{9: 43H7\2:6� � H23:=[; 359H27� Q[{@2 ~<[7Q}4� ;=[]7�3:82 Qm�C� J� =2 J [@=[`57;7=:=2� ~[59H7=2 |[<;952 <2@4932 93:[?H48[3:4�

/2X[:2 8>~[5=7=2 8 <2;Q2^ *[39@2<3:87==[? ~<[{<2;;> |9=@2;7=:256=>^ 43�357@[82=4? /73~9X54Q4 0752<936 ��5{[<4:;� �{<2=: ��������

"�!/��$/�

�� !;754H78 �� ��� ([@Q[~278 +� (� �� �� $3:[?H48[3:6 4 <7{95�<4\2}4� 87Q:[<=>^\2@2H }75[H4357==[{[ 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@� [~7�<2}4?� �7<� �� �� �� � �� �� ������

��������������������������������������!;754H78 �52@4;4< �57Q37784H� 09^:[�<[8 �7<{7? !8{7=6784H�075[<933Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� #� �Q[<4=>� �� �4=3Q� �� � � 0752<936�e�mail� emelichev�bsu�by

Page 172: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������������� � ������������� �������������� ���

/�+"$� $���'�"����" ���*�%/"�!/"� )��' %��0"����/��',�+��" � �����-�" %/"�!/"��" �"+� MINMAX�MODUL

�� �� !;754H78� �� �� %<4HQ[� 1� �� �4Q954=

(93:6 =2 343:7;7 ~[@;=[]73:8 �:<27Q:[<4?� T � �En�� jT j � �� X9�572=2 ;=[]73:82 E � fe�� e�� ���� emg \2@2= 87Q:[<=>? Q<4:7<4? f�t� A� ��f��t� A��� f��t� A��� ���� fn�t� An��� {@7 n � �� m � �� Ai � i�� 3:<[Q2 ;2:<4}>A � aijn�m � Rnm� (93:6 H23:=>7 Q<4:7<44 4;7�: 84@ MINMAX�MODUL�

fi�t� Ai� � maxj�N�t�

jaijj �� mint�T

� i � Nn�

{@7 Nn � f�� �� ���� ng� N�t� � fj � Nm � ej � tg� �7<7\ P n�A� [X[\=2H4; ;=[]73:8[(2<7:[ `:[? n�Q<4:7<4256=[? :<27Q:[<=[? \2@2H4 Zn�A�� /2@493[; 93:[?H48[3:4\2@2H4 Zn�A�� Q2Q [X>H=[ �� =2\[87; H435[ �n�A� � sup¢ ~<4 ¢ �� �� �n�A� � ~<4¢ � �� ,@736 ¢ � f� � � �A� � ���� �P n�A � A�� � P n�A��g� ���� � fA� � Rnm �jjA�jj � �g� jjA�jj � maxfja�ijj � �i� j� � Nn Nmg� A� � a�ijn�m � Rnm� �H784@=[� H:[~<4 P n�A� � T <2@493 �n�A� ���

������ � '� �� �P n�A� �� TnP n�A� �� �� fi��� Ai� � ���

��t� t�� A� ���maxffi�t� Ai�� fi�t�� Ai� � i � Nng�

��t� t�� A� ���minffi�t� Ai�� fi�t�nt� Ai� � i � Nng�

/���� ��" ����� � � ������ �� �n�A� ������� ������ Zn�A�� n � �� �������� �������

�n�A� � mint� �Pn�A�

maxt��Tnftg

minf��t� t�� A�� ��t� t�� A�g�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 ~[@@7<]Q7 *[39@2<3:87==[? ~<[{<2;;> |9=@2;7=:256�=>^ 43357@[82=4? /73~9X54Q4 0752<936 ��5{[<4:;� �{<2=: ��������

"�!/��$/�

�� !;754H78 �� ��� ([@Q[~278 +� (� �� �� ? ������ �� � ����"������" �������� ����� ����� ������ �������� ��������������" �� +43Q<7:� 2=254\ 4 43357@�[~7<2}4?� �7<� �� �� �� � �� �� �� � ���

��������������������������������������!;754H78 �52@4;4< �57Q37784H� %<4HQ[ �4:254? �4Q[52784H��4Q954= 1<4? �4:256784H� 075[<933Q4? {[39@2<3:87==? 9=487<34:7:�~<� #<� �Q[<4=>� �� �4=3Q� �� � � 0752<936� e�mail� emelichev�bsu�by

Page 173: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������������� � ������������� ��������������

� (/"�!�!�"" �!��+�� �!�-($% �' �"�"�",�&"" � ,�+���.��.��+!�"� /�����!�"� (� %$/���

+��� "82=[8�

/233;2:<4827:3� 357@9��2� \2@2H2 <28=[873=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4���F �x� y�� minx�X�G�x� y�� miny�Y �

���

{@7 F�G � d�c� |9=Q}44� :� 7� |9=Q}44� ~<7@3:284;>7 8 84@7 <2\=[3:4 @89^ 8>~9Q5>^|9=Q}4?� X Rn� Y Rm � 8>~9Q5>7� Q[;~2Q:=>7 ;=[]73:82�

�X�2� 3^7;2 =2^[]@7=4� :[HQ4 <28=[8734� ~[ %9<=[ � <7_7=4� \2@2H4 ��� 4\�873:=2 4 ;[]7: X>:6 ~<7@3:2857=2 357@9��4; 25{[<4:;[;�@�� �� ([5[]4; k � � \2@2@4; :[H=[3:6 �� ,2|4Q34<97; ~<[4\8[56=[7 x� � X�@�� �� �2?@7; yk � <7_7=47 \2@2H4

G�xk� y�� miny�Y � ���

@�� �� ([5[]4; k � k � � 4 =2?@7; xk � <7_7=47 \2@2H4

F �x� yk���� minx�X� ���

(<4 8>~[5=7=44 935[84?jjxk � xk��jj � ��

jjyk � yk��jj � �

25{[<4:; \287<_27: <2X[:9 4 �xk� yk� � :[HQ2 <28=[8734�� 4=2H7 ~7<7^[@4; =2 _2{ ��

+5� <7_7=4� \2@2H ������� ~<7@52{27:3� Q[;X4=2}4� ;7:[@[8 5[Q256=[{[ ~[43Q2�`8<43:4H73Q4^ ~<[}7@9< 4 {5[X256=>^ ;7:[@[8 :4~2 87:87? 4 {<2=4}� �=254\4<9�:�3� 4 3<28=482�:3� <2\54H=>7 ;7:[@> 5[Q256=[{[ ~[43Q2 =9578[{[ 4 ~7<8[{[ ~[<�@Q[8~<4;7=4:756=[ Q <233;2:<4827;[? \2@2H7� /233;2:<482�:3� <2\54H=>7 82<42=:>Q[;X4=2}4? ;7:[@[8 5[Q256=[? 4 {5[X256=[? [~:4;4\2}44� (<48[@�:3� <7\956:2:>H4357==>^ `Q3~7<4;7=:[8�

��������������������������������������"82=[8 +;4:<4? �52@43528[84H�"=3:4:9: �43:7; �=7<{7:4Q4 4;� �757=:6782�95� 7<;[=:[82� �� � "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��

Page 174: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������������� � ������������� �������������� ���

SIMULATION OF ELECTRICITY SYSTEMS BY MODELS OFCOURNOT AND STACKELBERG

N� I� Kalashnikova� C� Kemfert

Electricity systems are currently restructured� or about to be restructured� in manyparts of the world� The process does not follow a single paradigm� but some featuresare common to most situations� Competition is introduced in generation of the electricitywhile transmission and distribution remain regulated monopolies� A new function� namelysupply� is introduced� which matches loads and generation of di�erent types� It is under�taken by generators and�or internediators commonly referred to as �power marketers��Generators and�or power marketers need to have access to transmission and distributionservices in order to reach their customers� Thus� there also exist an organization in chargeof supplying these services� A wide variety of institutions can be constructed on the basisof these few principles� Two important questions exist and will remain ubiquitos in thesedi�erent organizations� What is the impact of the market power retained by the genera�tors and�or gained by the power marketers after the restructuring� How does the pricingof transmission services a�ect generation and investment in the transmission assets� Thispaper is an attempt to present a computable model capable of casting both issues into asingle framework�

An oligopoly with spatially dispersed generators and consumers and with multi�perioddemand is modeled� The generators are supposed to behave in a generalized Cournotmanner with in�uence coe¤cients depending upon their output and with regulated trans�mission prices� A generalized Nash equilibrium is sought� The story of the game is asfollows� Each generator� in contrast to the classical Cournot scheme� does not take itsrivals� outputs �generation� supply� and �ows� and the prices for transmission services as�xed but conjectures about their variations depending upon its in�uence coe¤cient� Thetransmission �rm takes the quantities of transmission services demanded by the genera�tors as �xed while adjusting the transmission prices according to certain regulatory rulesin the extended Cournot model� but it computes the generators� optimal responses to theproposed transmission prices in the Stackelberg model� An equilibrium of the generalizedCournot model is a set of generation outputs at which no generator gains more if it uni�laterally modi�es its output from the set while the set of transmission prices satis�es theregulatory requirements� A variational inequality approach is used to compute the equi�libria of the model� These models are applied to simulate a long�run electricity marketwhere transmision prices are regulated�

The model is tested on a test problem with � regions and � sources of energy� someconclusions are made on the basis of the numerical results�

��������������������������������������Natalia Kalashnikova�Sumy State University� Rimsky�Korsakov st�� �� Sumy �� �� Ukraine�� ����������� � ������� ��� e�mail� natanl�mail�ru

Claudia Kemfert�University Oldenburg� Dept� of Economics I� D������ Oldenburg� Germany������������������ �������������� �� e�mail� kemfert�uni�oldenburg�de

Page 175: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������������� � ������������� ��������������

,�+��� (�%/-�"� (/!+#/�%�� )��*� �n�L��*/�#� �/"&"% ��"

�� �� %9<@]478� �� �� %[HQ2<[8

"\873:=2� NP�~[5=2� \2@2H2 <2\X47=4� {<2|2 =2 :<7^87<_4==>7 ~[@{<2|> 3[@7<�]2�2� :<4}4Q5> �:<4}4Q5 � ~<[3:[? }4Q5 @54=> :<4� ~<4[X<7:27: @<9{[? 3;>35=2 |<2Q:256=>^ 4 ~<7@|<2Q:256=>^ {<2|2^� �2 ~<2Q:4Q7 `:2 \2@2H2 8[\=4Q27: ~<4;[@754<[82=44 <�@2 ~<[X57; {5[X256=>^ ~<[}733[8�

"\873:=[� H:[ 8[~<[3 [X^[@2 [X�7Q:[8 3~7}4254\4<[82==>;4 X<4{2@2;4 �{<9~~>8<2H7?� X<4{2@> Q[;;9=256=[{[ ^[\�?3:82 4 :�@�� \2 [~<7@757==[7 8<7;� 4 8 [~<7�@757==>^ 935[84�^ �~[{[@=>7� Q54;2:4H73Q47 4 ~<�� 38[@4:3� Q \2@2H2; ~[Q<>:4�{<2|2 :<4}4Q52;4� � 359H27� 7354 \2@2H2; :2Q[{[ :4~2 ~<439� ^2[3 8 ~[87@7=44�8 38�\�^ ;7]@9 [X�7Q:2;4�� :[ `:4 \2@2H4 59H_7 ;[@754<[82:6 |<2Q:256=>;4 454~<7@|<2Q:256=>;4 {<2|2;4� Q2Q `:[ ~[Q2\2=[ =4]7�

(93:6 @2= ~<7@|<2Q:256=>? �n�L��{<2| GL � �VL� EL�� ~[<[]@7==>? ~<[4\8[56�=[? \2:<28Q[? H � �W�Q�� jW j � n� �=[]73:8[ 87<_4= VL {<2|2 GL ~<7@3:2�85��: 3[X[? ;=[]73:8[ ~9=Q:[8� :<7X9��4^ ~[37�7=4� 3~7}4254\4<[82==>^ X<4�{2@� ;=[]73:8[ ]7 <7X7< EL 73:6 8[\;[]=>7 ~9:4 357@[82=4� `:4^ X<4{2@� ([�3Q[56Q9 <233:[�=4� ;7]@9 ~9=Q:2;4 ~[37�7=4� =739: [3[X>? 3;>35� <2\9;=[ ~<4�38[4:6 <7X<2; 8732� `Q848257=:=>7 <233:[�=4�; ;7]@9 87<_4=2;4� ~[ ~<28459wr�esr� � kr��a� kr��b� {@7 r � �� L � <2={ <7X<2� Sr � �� �� � � � � qnr�� � =[;7<<7X<2 r�{[ <2={2� k � Q[`||4}47=: ~<[~[<}4[=256=[3:4� 854���4? =2 4\;7=7=478732 <7X7<�

([@ ~[Q<>:47; :<4}4Q52;4 <2={[8[{[ :4~2� 454 Q<2:Q[ ~[Q<>:47; ~<7@|<2Q�:256=[{[ �n�L��{<2|2 GL � �VL� EL� :<4}4Q52;4� =2\>827:3� :2Q[7 ;=[]73:8[x � fC l

sg :<4}4Q5[8 C ls�l � �� � � � � L� s � �� � � � � t�� H:[ Q2]@2� 87<_4=2 ~<7@|<2Q�

:256=[{[ �n�L��{<2|2 GL 4=}4@7=:=2 [@=[;9 :<4}4Q59 4\ x� {@7 l � <2={ }4Q52�s � :4~ }4Q52 �H435[ <7X7<� [X<2\9��4^ `:[: }4Q5�� C l

s � <2={[8>? :4~ }4Q52��=[]73:8[ 8378[\;[]=>^ ~[Q<>:4? x [X[\=2H4; H7<7\ X � fxg� �2 X [~<7@754;Q<4:7<44�

F��x� �Xx�X

jxijj� F��x� � jflgCls�Xj�

{@7 F��x� � 873 ~[Q<>:4�� F��x� � <2={[8>7 :4~> }4Q5[8� Q2]@>? 4\ Q[:[<>^;4=4;4\4<97:3��

(<7@52{27:3� 234;~:[:4H73Q4? 25{[<4:; ��� 3:<[��4? ~[Q<>:47� [X[3=[82=47Q[:[<[{[ @27:�

�7[<7;2 �� !354 8 ~<7@|<2Q:256=[; �n�L��{<2|7 GL � �VL� EL� 3:2<>7 <7X<2 =7~7<737Q2�:3�� :[ 25{[<4:; �� 3:<[4: ~[Q<>:47� Q[:[<[7 �85�7:3� [~:4;256=>; ~[Q<4:7<4� F��x� 4 jF��x�j � nb���nLkL�

����nk� � � ���� � O�jEj�� � ���� � :<9@[7;Q[3:6 25{[<4:�;2 ��� {@7 k � a

b4 nk � ��

��������������������������������������%9<@]478 �2Q;2= �2{[;7@[84H� %[HQ2<[8 �^;2: �2{[;7@[84H��"" (�� %2X2<@4=[�025Q2<3Q[{[ �& /��� �� � %0/� 95� �[<:2=[82� ��2�:75�� �������� �������� e�mail� Schakman�rambler�ru

Page 176: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������������� � ������������� �������������� ���

/��(/!+! !�"! �##!%�"��-. /!�!�"' 0"%/"�!/"� )�-.,�+�� %��0"����/��' �(�"�",�&""

"� "� �752;7@� "� .� �4{25

/233;[:<7=> \2@2H4 [ =2\=2H7=4�^ 4 ~[Q<>82��4^ @7<786�^ 3 Q<4:7<4�;4MINSUM�MINMAX 4 MINMAX�MINMAX� /23~<7@757=4� `||7Q:48=>^ <7_7=4?4\9H25[36 =2 =[<;4<[82==[? Q<4:7<4256=[? � � � � ~5[3Q[3:4 4 =[<;4<[82==[?� � �� ~<�;[? ~2<2;7:<2 54=7?=[? 387<:Q4� (5[3Q[3:6 <2\X4825236 =2 � <28=>^Q82@<2:[8� ~<�;2� � =2 � <28=>^ [:<7\Q[8� � [X_4<=[; 8>H4354:756=[; `Q3~7<4�;7=:7 �X>54 <7_7=> =73Q[56Q[ @73�:Q[8 :>3�H \2@2H� ~[59H7=> 357@9��47 [3=[8=>7<7\956:2:>� X[56_2� H23:6 `||7Q:48=>^ <7_7=4? �@[ � ¥ [: 837^ `||7Q:48=>^ <7�_7=4? ~<4 X[56_4^ <2\;7<=[3:�^ \2@2H� 3[3<7@[:[H7=> 8X54\4 5[Q256=>^ ;4=4;9�;[8 \2@2H �8 ~<7@752^ �� [: [@=[{[ 4\ 5[Q256=>^ ;4=4;9;[8�� +[ � ¥ `||7Q:48=>^<7_7=4?� =2^[@4;>^ 54=7?=[? 387<:Q[?� 57]2: =7 @2577 �� [: Q<278 � ��� 4=:7<8252�

"�!/��$/�

�� �752;7@ "�"�� �4{25 "�.� �� �� H� ������ %�������� ����� ��������� �������������� ������� �� ������� ��������������"� � ��� �& /���

���������������������������������������752;7@ "{[<6 "564H� �7]@9=2<[@=>? |[=@ <2\84:4� <7{4[=[8�95� �Q2@� %[<[5782� 2�� ��� �[3Q82� ������� :75� ��� ������������|2Q3 ��� ������������ e�mail� info�mfrr�ru

�4{25 "\<2456 .24;[84H� �>H4354:756=>? }7=:< /���*�(��� 95� �2845[82� � � ������� �[3Q82

Page 177: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ����������������������� � ������������� ��������������

/!�!�"! ,�+�� +�$.$/���!��*� (/�*/���"/����"� �!��+��"* �0� )��' %��+/��"���' �(�"�",�&""

���� �7H2782

/233;2:<4827:3� \2@2H2 @89^9<[8=78[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��

minx

F �x� y�

~<4 935[84�^Gi�x� y� � � i � �� ���� p�

miny

f�x� y�� gi�x� y� � � i � �� ���� q�

,@736 x � En� y � Em � 87Q:[<> ~7<7;7==>^ 3[[:87:3:87==[ 87<^=7{[ 4 =4]=7{[9<[8=��

(93:6 }75782� |9=Q}4� 4 |9=Q}44 [{<2=4H7=4? 8 \2@2H7 87<^=7{[ 9<[8=� Q82@<2�:4H=>� 7354 z � �x� y�T � EN � N � n�m� :[

F �z� � zTQz � qTz� Gi � zTCiz � cTi z � ri� i � �� ���� p�

{@7 Q� Ci � 34;;7:<4H=>7 ;2:<4}> <2\;7<=[3:4 N N � =7 [X�\2:756=[ =7[:<4�}2:756=[ [~<7@757==>7� q� ci � 87Q:[<> 8 EN � ri � 3Q25�<>� (<7@~[5[]4;� H:[[3:256=>7 |9=Q}44� |4{9<4<9��47 8 ~[3:2=[8Q7� 54=7?=>� ,2;7=2 \2@2H4 =4]=7{[9<[8=� =2 935[84� %9=2��2QQ7<2 ~<48[@4: 43^[@=9� @89^9<[8=789� \2@2H9 Q \2@2H7;4=4;4\2}44 Q82@<2:4H=[? |9=Q}44 ~<4 54=7?=>^ 4 Q82@<2:4H=>^ [{<2=4H7=4�^�3<7@4 Q[:[<>^ [X�\2:756=[ ~<439:3:89�: =78>~9Q5>7� +5� <7_7=4� ~[59H7==[?\2@2H4 ~<7@52{27:3� 43~[56\[82:6 ;7:[@ 87:87? 4 {<2=4} ��

� 359H27� 7354 \2@2H2 =4]=7{[ 9<[8=� 3[3:[4: 8 ;4=4;4\2}44 Q82@<2:4H=[? �=7[X�\2:756=[ 8>~9Q5[?� |9=Q}44 f�x� y� ~<4 [@=[; 454 @89^ Q82@<2:4H=>^ �8>~9Q5�>^ 454 =78>~9Q5>^� [{<2=4H7=4�^� @5� <7_7=4� @89^9<[8=78[? \2@2H4 :2Q]7 ~<7@�52{27:3� 43~[56\[82:6 ~<47; \2;7=> \2@2H4 =4]=7{[ 9<[8=� 77 935[84�;4 [~:4;256�=[3:4 �� ��

"�!/��$/�

�� ���� �7H2782 �� �� ��� �� � ������ ��" ����" ��)� ������ ������������� ��������������"� �<9@> XII ;7]@9=2<� 02?Q2563Q[? Q[=|� ��7:[@>[~:4;4\2}44 4 4^ ~<45[]7=4��� :��� "<Q9:3Q� "��� �� /��� ���������� Y� Ye ������ On A:ne Scaling Algorithms for Nonconvex Quadratic Programming�Mathematical Programming� � � ����� ��� J��B� Hiriart�Urruty ������ Conditions for Global Optimality Journal of Global Opti�mization� �� '�(� ��������

���������������������������������������7H2782 �2<4� �:2=43528[8=2�"=3:4:9: 343:7; `=7<{7:4Q4 4;� �757=:6782 �� /���95� 7<;[=:[82 �� � "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��e�mail� nechaeva m�mail�ru

Page 178: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������������� � ������������� �������������� ���

HAMILTON CYCLES PROBLEM ON HYPERGRAPHS

V� A� Perepelitsa� S� I� Salpagarov

The report deals with Hamiltonion cycles problem that is formed as follows� Letn�vertex� ��parteit ��homogeneous weighed hypergraph G � �V�E� �� The decisionof the problem admitted is Hamiltonian cycle x � �V�Ex� of hypergraph G� An ad�dition to common are de�nition from � we demand that a pair of edges from Ex

should intersect only in one vertex� Simple cycle are containing all the vertex set ofa hypergraph is called Hamiltonion� X � x � set of all decision admitted �SDA��F �x� � �F��x�� F��x�� ���� FN�x�� � vector aimed function �VAF�� containing criteria ofthe type MAXSUM F��x� �

Pe�Ex w��e� � max� � � �� ���� N� and MAXMIN

F��x� � mine�Ex w��e� � max� � � N� � �� ���� N � VAF F �x� de�nes on SDA �X Paretoset� Unknown decision of the problem is maximal set of vector uncomparable representa�tioes x � �X � called complete alternative set� The essential theoretical result is representedwith lemma of completeness of given problem � and theorem� capacity set of Hamilto�nion cycles on complete n�vertex graph is upper estimation for Hamiltonion cycles on anyn�vertex� ��homogeneous hypergraph � � ��

This research was supported by RFBR grant � �� ����

REFERENCES

�� Berge C� ���� � Graphes et hypergraphes� Dunod� Paris�

�� Emelichev V�A� and Perepelitsa V�A� ������ Complexity of Vector Optimization prob�lem on Graphs� Optimization ��� � ������

��������������������������������������Perepelitsa Vitaiy Afanasievich� Salpagarov Soltan Ismailovich�Karachai�Cherkess Technological Institute�St� Stavropolskaya ��� Cherkessk� ��� � Russia�phone� ������� ����� �� e�mail� sismal�mail�ru

Page 179: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������������� � ������������� ��������������

,�+��� +�$.$/���!��*� "�!'��*� (/�*/���"/����"� ����*���/"����-� /��&!� �� �"��!� $/���!

�� �� (5�39=[8

� <2X[:7 <233;2:<4827:3� 357@9��2� \2@2H2 @89^9<[8=78[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��

maxx �

cx� dy�x�� ���

Ax�By�x� � b� ���

{@7 y�x� � [~:4;256=[7 <7_7=47 \2@2H4 [ ;=[{[82<42=:=[; <2=}7�

maxy �

Xj�J

Xi�Ij

fijyij � ���

Xi�Ij

yij � xj� j � J� ���

Xj�J

Xi�Ij

pijyij �Xj�J

qjxj� ���

�2 [3=[87 @7Q[;~[\4}44 @[~93:4;[? [X523:4 �� � ~[Q2\2=[� H:[ `:2 \2@2H2 �85��7:3� ~[54=[;4256=[ <2\<7_4;[?� (<4 <2\X47=44 ;=[]73:82 @[~93:4;>^ <7_7=4?<233;2:<4827:3� \2@2H2 @8[?3:87==2� Q ;=[{[82<42=:=[;9 <2=}9� Q[:[<2� 38[@4:3�Q ;4=4;4\2}44 ~2<2;7:<4\[82==[? 8>~9Q5[? Q93[H=[�54=7?=[? |9=Q}44� +82 @[�~93:4;>^ <7_7=4� @89^9<[8=78[? \2@2H4 ~<4=2@57]2: [@=[;9 `57;7=:9 <2\X47=4��7354 3[[:87:3:89��47 4; 8>~9Q5>7 |9=Q}44 @[3:4{2�: ;4=4;9;2 8 [@=[; 4 :[;]7 9\57� �2 Q2]@[; `57;7=:7 <2\X47=4� 43^[@=2� \2@2H2 38[@4:3� Q <7_7=4� \2@2H454=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� (<4 `:[; 43~[56\9�:3� 935[84� [~:4;256=[3:4 @5�8>~9Q5>^ |9=Q}4? 4 @[~[5=4:756=>7 3[[X<2]7=4�� 38�\2==>7 3[ 3:<9Q:9<[? ;=[�{[{<2==4Q2 \2@2H4 �������� ([54=[;4256=2� <2\<7_4;[3:6 @89^9<[8=78[? \2@2H4357@97: 4\ ~[54=[;4256=[? [{<2=4H7==[3:4 H4352 9\5[8� 3[[:87:3:89��4^ <233;2�:<4827;>; 8>~9Q5>; Q93[H=[ � 54=7?=>; |9=Q}4�;�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 /##" �~<[7Q: �� ��� �����

"�!/��$/�

�� (5�39=[8 �� ��� �� �� #� ����� ������ � ����� ����� ���������� ���������������"� �<9@> ���? 02?Q2563Q[? ;7]@9=2<[@=[? Q[=|7<7=}44� "<Q9:3Q�:��� 3� ���������� Kochetov Yu�� Plyasunov A�� ������ E:cient algorithm for a class of bilevel linearprogramming problems� Operations research proceedings ����� Berlin� Springer�Verlag� p�� ����

��������������������������������������(5�39=[8 �57Q32=@< �52@4;4<[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ���� ���� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� apljas�math�nsc�ru

Page 180: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������������� � ������������� �������������� ���

�0 �%��/!�� )�-. ,�+���. �� �$ )�"*"(!/*/�#�.

+� �� �2;X4782� �� (� �7;4<X952:[8

/233;2:<4827:3� ;=[{[Q<4:7<4256=2� \2@2H2 |[<;4<[82=4� }7578>^ {<9~~ 43�~[5=4:757?� 8[\=4Q2��2� =2 3:>Q7 4=@93:<4256=[�[<{2=4\2}4[==[? ~34^[5[{44 4;[@754<[82=44 3[}4256=[�`Q[=[;4H73Q4^ ~<[}733[8� �:<9Q:9<2 ;25[? {<9~~> [~<7�@75�7:3� [@=4; 4\ l�87<_4==>^ {<2|[8 Q[;;9=4Q2}4[==>^ 38�\7? 4 [:=[_7=4? ~[@�H4=7==[3:4 �%��(� gt� t � T� {@7 T � ftg � ;=[]73:8[ @[~93:4;>^ :4~[8 {<2|[8%��(� �[3:28 {<9~~ 8>X4<27:3� 4\ ;=[]73:82 V � Q[:[<[7 [@=[8<7;7==[ ~<7@3:285��7: 3[X[? ;=[]73:8[ 87<_4= V � fvg \2@2==[{[ {<2|2 G � �V�E�� 7354 43~[5=4:754v�� v�� � V 3[8;73:4;> 8 [@=[? {<9~~7� :[ [X<2\97:3� <7X[ e � �v�� v��� 4 e � E�

(<4 ~[3:<[7=44 ;=[]73:82 <7X7< � � fpg ;956:4{4~7<{<2|2 H � �V� �� ~[357@[�82:756=[ <233;2:<482�:3� ~[@;=[]73:82 p � fv�� � � � � vlg V� Q[:[<>7 4=@9}4<9�:8 G ~[@{<2|> G�p�� !354 8 G�p� 3[@7<]4:3� :2Q[? 7{[ [3:[8=>? ~[@{<2|� Q[:[<>?4\[;[<|7= {<2|9 %��( ht� t � T� :[ ~[@;=[]73:8[ p ~<7@3:285�7: 3[X[? <7X<[ p��8Q5�H27;[7 8 �� !354 G�p� 3[@7<]4: =73Q[56Q[ ~[@{<2|[8� 4\[;[<|=>^ =7Q[:[<>;{<2|2; %��(� :[ ~[59H27; ~2<255756=>7 <7X2 pt� t � T � /7X2; p� � � ~<4~43>�82�:3� N 873[8 w��p��� � � �� �� � � � � N � ~<7@3:285���4^ 3[X[? `Q[=[;4H73Q47� 3[�}4256=>7 4 ~34^[5[{4H73Q47 ~[Q2\2:754 `||7Q:48=[3:4 ;25[? {<9~~>� ;=[]73:8[;43~[5=4:757? Q[:[<[? �85�7:3� ~[@;=[]73:82 p � M � 2 [<{2=4\2}4[==2� 3:9Q:9<2[~<7@75�7:3� {<2|[; %��( :4~2 t � T �

+[~93:4;>; <7_7=47; @5� H �85�7:3� 3[87<_7==[7 ~2<[3[H7:2=47 x � �V� �x���x � �� �2 ;=[]73:87 837^ @[~93:4;>^ <7_7=4? X � fxg \2@2=2 87Q:[<=2� }757�82� |9=Q}4� ��&#� F �x� � �F��x�� F��x�� � � � � FN�x��� 3[3:[��2� 4\ Q<4:7<478 84@2MINSUM 4 MINMAX 4 [~<7@75���2� 8 X ~2<7:[83Q[7 ;=[]73:8[ X � � X� ([@ 43�Q[;>; <7_7=47; N �Q<4:7<4256=[? \2@2H4 ~[@<2\9;7827:3� ~[5=[7 ;=[]73:8[ 256�:7<=2:48 �(��� X� � X ��

(<7@3:285�7;>7 <7\956:2:>� =2^[]@7=47 (�� ~<7@3:285�7: 3[X[? :<9@=[<7_2�7;9� ~<[X57;9� 7354 �&# 3[@7<]4: ^[:� X> ~2<9 Q<4:7<478 84@2 MINSUM� ~<4N � � \2@2H2 �85�7:3� NP�:<9@=[?� ~[3:<[7= 25{[<4:; <23~[\=282=4� 4 [:37482=4�:2Q4^ <7X7< p � �� Q[:[<>7 =7 ~<4=2@57]2: =4Q2Q[;9 @[~93:4;[;9 <7_7=4� x � X�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 ~[@@7<]Q7 {<2=:2 /##"� �~<[7Q: � �� �����

���������������������������������������2;X4782 +]2==7: �5478=2� �7;4<X952:[8 �9X7Q4< (45�5[84H�%�*�"� ~5� %4<[82� ������ �7<Q733Q� ��� � /[334��:75���������� �������� ����� �� |2Q3� ������ � e�mail� aubecir�mail�ru

Page 181: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������������� � ������������� ��������������

�!�0.�+"�-! $� ��"� �(�"�� )����" � +"##!/!�&"� )��'"!/�/."�!�%�' "*/! (/" �!�(/!+! !�����"

�� #� �2<2Q2=[8

�=[{[9<[8=78>7 �47<2<^4H73Q47� 3:<9Q:9<> 83:<7H2�:3� 8[ ;=[{4^ [X523:�^ H7�5[87H73Q[? @7�:756=[3:4� (<4 `:[; ^2<2Q:7< 8\24;[[:=[_7=4? ;7]@9 9<[8=�;4�9Q52@>827:3�� 8 3^7;9 �=2H256=4Q�~[@H4=7==>?� �=2H256=4Q � =2 87<^=7; 9<[8=7�~[@H4=7==>? � =2 =4]=7;�� /2\8482�36 ~[ 8<7;7=4� 47<2<^4H73Q2� 3:<9Q:9<2 4;77:@4=2;4H73Q4? ^2<2Q:7<� (<4=�:47 <7_7=4? ;[]7: ~<[43^[@4:6 54X[ }7=:<254\[�82==[ �[Q[=H2:756=[7 <7_7=47 ~<4=4;27: 87<^=4? 9<[87=6�� 54X[ @7}7=:<254\[82=�=[ �[Q[=H2:756=[7 <7_7=47 ~<4=4;27: =4]=4? 9<[87=6� 4� Q<[;7 :[{[� 3 [X<2:=[?38�\6� �~[\4}4[==[7 9~<2857=47� 454 X7\ =77 �~<[{<2;;=[7 9~<2857=47��

�[\;[]=[3:6 ~[3:<[7=4� ~[\4}4[==[{[ 454 ~<[{<2;;=[{[ 9~<2857=4� [~<7@75��7: @82 [3=[8=>^ =2~<2857=4�� ~[ Q[:[<>; <2\84827:3� :7[<4� ~<4=�:4� <7_7=4?�$H7: [X<2:=[? 38�\4 ~[\8[5�7: @[3:2:[H=[ {4XQ[ 3:<[4:6 ~<[}733 9~<2857=4�� 0[56�_4=3:8[ ~[357@=4^ 43357@[82=4? ~[38��7=[ 4;7==[ <7_7=4� \2@2H ~[\4}4[==[{[9~<2857=4�� �@=2Q[ =2 ~<2Q:4Q7 =7<7@Q[ 8[\=4Q2�: 4 ~<[X57;>� <7_7=47 Q[:[<>^:<7X97: ~[3:<[7=4� ~<[{<2;;=[{[ 9~<2857=4�� �2 ~<[}733 ~<4=�:4� <7_7=4� ;[�{9: 854�:6 <2\=[[X<2\=>7 |2Q:[<>� =7X52{[~<4�:=>7 ~<4<[@=>7 935[84�� ~[;7^44 =7:[H=[3:4 ~<4 ~7<7@2H7 4=|[<;2}44� ~[{<7_=[3:4 4\;7<7=4?� 4=|[<;2}4[==>?�{[5[@�� =7[~<7@75�==[3:6 357@9��7{[ �^[@2� [~~[=7=:2 454 ~<[:48=4Q2� �H75[87�H73Q4? |2Q:[<�� �37 ~7<7H4357==>7 |2Q:[<> =2\>82�:3� =7[~<7@75�==>;4 |2Q�:[<2;4� (<4 8[\@7?3:844 =7[~<7@75�==>^ |2Q:[<[8 <7_7=47 ~<4=4;2�: 3 :2Q4;<23H7:[;� H:[X> ~[59H4:6 =7Q[:[<>? {2<2=:4<[82==>? <7\956:2:�

� =23:[��7? <2X[:7 <7254\[82= ~<[{<2;;=>? ~[@^[@ Q 43357@[82=4�� �2:7;2:4�H73Q4 47<2<^4H73Q2� 4{<2 |[<;954<97:3� 8 84@7 ;2Q34;4==[? \2@2H4 3[ 38�\2==>;4~7<7;7==>;4� Q[{@2 4{<[Q 87<^=7{[ 9<[8=�� ~<4=4;2��4? [Q[=H2:756=[7 <7_7=47�;2Q34;4\4<97: ;4=4;9; 38[7{[ Q<4:7<4� ~[ ;=[{[\=2H=>; [:[X<2]7=4�;� ~[3:<[�7==>; 4\ 935[84� ;2Q34;4\2}44 Q<4:7<478 4{<[Q[8 =4]=7{[ 9<[8=�� �7[~<7@757=�=[3:6 8 ~<4=�:44 <7_7=4? 4{<[Q2;4 =4]=7{[ 9<[8=� 9H4:>827:3� 4=:7{<256=[� 2854�=47 =7[~<7@757==[3:4 =2 ~<4=�:47 <7_7=4� 4{<[Q[; 87<^=7{[ 9<[8=� ;4=4;4�\4<97:3�� +5� <7_7=4� \2@2H4 43~[56\97:3� ;7:[@ _:<2|=>^ |9=Q}4[=25[8� Q[:[�<>? ~[\8[5�7: ~[`:2~=[ [38[X[@4:63� [: @4||7<7=}4256=>^ 38�\7?� 3=�:6 [~7<2}4�;4=4;9;2 ~[ ;=[{[\=2H=>; [:[X<2]7=4�;� 9H73:6 854�=47 32;[{[ =7X52{[~<4�:=[�{[ =7[~<7@75�==[{[ |2Q:[<2� 2 8 4:[{7 � 3873:4 43^[@=9� ;2Q34;4==9� \2@2H9 Q37;7?3:89 [X>H=>^ \2@2H =2 ;2Q34;9;� \2843��4^ [: ~2<2;7:<[8 �_:<2|=>^ Q[=�3:2=:�� �2 Q2]@[; `:2~7 |[<;954<9�:3� :7[<7;> [ 39�73:8[82=44 <7_7=4� =[8[?\2@2H4 4 3[8~2@7=4� 7� <7_7=4� 3 <7_7=47; 43^[@=[? \2@2H4� ([59H7=> =7[X^[@4�;>7 935[84� [~:4;256=[3:4� (<4;7=7=47 @5� <7_7=4� 47<2<^4H73Q[? 4{<> ;7:[@2_:<2|[8 ~<7@3:285�7:3� }7573[[X<2\=>; 8 3459 ~<439�4^ 7;9 38[?3:8� �[�~7<8>^�=2 ~<2Q:4Q7� Q2Q ~<2845[� =7 :<7X97:3� :[H=[{[ <7_7=4� \2@2H� 2 8[�8:[<>^� 3:<2�:7{4� _:<2|[82=4� \2 =2<9_7=47 [{<2=4H7=4? 4 ~<2845 8 3:<9Q:9<2^ 3 9H23:47;5�@7? 73:73:87==2����������������������������������������2<2Q2=[8 �=@<7? #7@[<[84H� 0252_[83Q4? |45425 �2<2:[83Q[{[ {[39@2<3:87==[{[9=487<34:7:2 4;� ��*� �7<=>_783Q[{[� 95� %��2<Q32� ��� 0252_[8� ���� �:75� ����������� � e�mail� aft�balashov�san�ru

Page 182: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������������� � ������������� �������������� ���

�0�������"! (� "���"� )��' /�,/!�"����"�+��' ,�+��" (�%/-�"� */�#� ,�!,+��"

#� 0� �7X9782� �� "� �2~[_=4Q[82

� ~<[}7337 ;[@754<[82=4� \7;57~[56\[82=4� 4 8[@[~[56\[82=4� 8[\=4Q2�: N �Q<4:7<4256=>7 \2@2H4 ~[Q<>:4� {<2|2 \87\@2;4� �85���473� NP�:<9@=>;4 ~<4N � � 4 :<9@=[<7_27;>;4 ~<4 N � �� +[~93:4;[7 <7_7=47 ~<7@3:285�7: 3[X[? :2�Q[? [3:[8=>? ~[@{<2| x � �V�Ex� @2==[{[ N �8\87_7==[{[ {<2|2 G � �V�E�� Ex � E�8Q[:[<[; Q2]@2� Q[;~[=7=:2 38�\=[3:4 4\[;[<|=2 =7Q[:[<[? \87\@7 4\ \2@2==[{[ ;=[�]73:82 :4~[8 \87\@ ���,� H � fh�� h�� � � � � hTg � f�� �� � � � � ng�X � X�G�H� � fxg� ;=[]73:8[ @[~93:4;>^ <7_7=4?� �2 X [~<7@757=2 87Q:[<=2� }75782� |9=Q�}4� ��&#� F �X� � �F��x�� � � � � FN�x��� 3[3:[��2� 4\ Q<4:7<478 84@2 MINSUM 4MINMAX �3[[:87:3:87==[ 39;;> 4 ;2Q34;9;2 873[8 w��e� <7X7< e � Ex� � � � �N�� �&# [~<7@75�7: 8 X ~2<7:[83Q[7 ;=[]73:8[ X �� 4\ Q[:[<[{[ 8 Q2H73:87 <7�_7=4� 8>X4<27; ~[5=[7 ;=[]73:8[ 256:7<=2:48 X� �:� 7� ;2Q34;256=9� 343:7;9~<7@3:284:757? 4\ ;=[]73:82 `Q848257=:=>^ <7_7=4?��

�7[<7;2 �� ,2@2H2 ~[Q<>:4� n�87<_4==[{[ ��@[56=[{[ {<2|2 \87\@2;4 3 }7578[?|9=Q}47? 84@2 MINSUM ~<4 ;[�=[3:4 ��,� [{<2=4H7==[? Q[=3:2=:[?� <2\<7_4�;2 3 ~[54=[;4256=[? 8>H4354:756=[? 35[]=[3:6� O�n���

�7[<7;2 �� !354 Q[54H73:8[ `57;7=:[8 ��, [{<2=4H7=[ 387<^9 =7\2843��7? [:n Q[=3:2=:[?� :[ ��Q<4:7<4256=2� \2@2H2 ~[Q<>:4� ��@[56=[{[ {<2|2 \87\@2;4 3Q<4:7<4�;4 84@2 MINSUM 4 MINMAX �85�7:3� ~[54=[;4256=[ <2\<7_4;[? 38>H4354:756=[? 35[]=[3:6� O�nT�� �

�7[<7;> � 4 � �85��:3� Q[=3:<9Q:48=>;4� :� 7� @5� 4^ @[Q2\2:7563:82 ~<7@5[]7�=> 25{[<4:;> �� 4 ��� 3[3:[��47 4\ @89^ `:2~[8� �2 ~7<8[; `:2~7 [39�73:85�7:3�

=2^[]@7=47 837^ <7_7=4? @4[|2=:[82 9<28=7=4�TPt��

htzt � n� =2 8:[<[; <7_2�:3�:<2=3~[<:=>7 \2@2H4�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 ~[@@7<]Q7 /##" �~<[7Q: � �� �����

���������������������������������������7X9782 #2<4\2 045�5[8=2� �2~[_=4Q[82 �56{2 "82=[8=2�%�*�"� 95� �Q:�X<63Q2�� ����� �7<Q733Q� ��� � /[334��:75� �������� ����� �� |2Q3� ������� ������ � e�mail� tebueva�aport� �ru

Page 183: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������� �������� � ������ ���

LINEAR OPTIMAL CONTROL MODELS IN MULTI�SEGMENT MARKETING�DUAL APPROACH

I� A� Bykadorov� A� Ellero� E� Moretti

We consider a linear optimal control model for the marketing of a seasonal productwhich is produced by a �rm and sold by retailers in di�erent market segments �� ��The time horizon is divided in two consecutive intervals� production and selling periods�respectively� The production period state variables are the inventory level and two kindsof goodwills �for consumers and for retailers� while the selling period state variables arethe sales levels and the two kinds of goodwills� In the production interval the �rm cancontrol production� quality and advertising� while in the selling period the controls are oncommunication via advertising� promotion for consumers and incentives for retailers� Themodel is transformed into an equivalent nonlinear programming problem de�ning somelinear optimal control subproblems� depending on common parameters� The parametricsubproblems are linear optimal control problems with �xed time intervals� �xed endpointsand box type constraints on control� The dual approach � for their analysis is suggested�If the general position condition �GPC� holds �hence the solution is unique and the optimalcontrol has bang�bang form�� then the approach is� of course� equivalent to the MaximumPrinciple� but it allows to obtain switch time conditions without calculating the optimaltrajectories� If a subproblem has feasible solution but GPC does not hold �hence thesolution is non unique and the Maximum Principle does not give enough information forsearching an optimal solution�� then the approach allows to calculate the optimal valueof the functional�

This research has been supported by Universit¦a Ca� Foscari di Venezia �Italia� and RFBR�grant no� � �� � ���

REFERENCES

�� I�Bykadorov� A�Ellero and E�Moretti �� �� A linear optimal control model for multi�segment marketing� Report n�� �� �� Dipartimento di Matematica Applicata� Uni�versit¦a Ca� Foscari di Venezia �Italia���� R�T�Rockafellar ������ Linear�Quadratic programming and optimal control� SIAMJournal of Control and Optimization ��� ���������� M�Wedel� W�A�Kamakura �� � Market segmentation� conceptual and methodologicalfoundations� �nd ed� Kluwer Academic Publishers� Boston�

��������������������������������������Bykadorov Igor Alexandrovich� Sobolev Institute of Mathematics SB RAS�Acad� Koptyug prospect �� Novosibirsk� �� � � Russia�tel� ��������� ��� ���� fax ��������� ��������� e�mail� bykad�math�nsc�ruand Universit¦a Ca� Foscari di Venezia� Dorsoduro �����e� Venezia� � ���� Italia�tel� � ��� ������������ fax � ��� ������������ e�mail� bykadoro�unive�it

Ellero Andrea� Universit¦a Ca� Foscari di Venezia� Italia�tel� � ��� ���������� � e�mail� ellero�unive�it

Moretti Elena� Universit¦a Ca� Foscari di Venezia� Italia�tel� � ��� ������������ e�mail� tomasin�unive�it

Page 184: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������� �������� � ������ ��� ���

�0 �%�"����",�&"" (� "���"� )��*� /���"/!�"� �$���

���� �2345678

� @[Q52@7 ~<7@52{27:3� 2Q34[;2:4\2}4� ~[54=[;4256=[{[ <23_4<7=4� �9`=2�2=25[{4H=2� 4\873:=[? 2Q34[;2:4\2}44 ;956:4~54Q2:48=[{[ <23_4<7=4� �9;2=2��7~54 @5� =72:[;4H73Q4^ 4{< [{<2=4H7==[? 82<42}44 �� �2?@7=[ [352X57=47 935[�84� ;956:4~54Q2:48=[3:4 54=7?=[{[ [~7<2:[<2 <23_4<7=4� �� ^2<2Q:7<=[7 @5� @43�Q<7:=>^ Q[[~7<2:48=>^ 4{<� �[[:87:3:89��2� 2Q34[;2:4Q2 4;77: \@736 357@9��4?84@�

�A�� v � V � � ��v� � P��

�A�� Su�

Sv � � � ��uv� � ��u���v��

�A�� ��v�� S� � v�S�� S � ��{@7 Su � ;4=4;256=>? =[34:756 4{<> u� [3:256=>7 [X[\=2H7=4� 3:2=@2<:=> �3;�� =2�~<4;7<� ��� $3:2=[857=[ 3[8~2@7=47 <23_4<7=4� �9;2=2��7~54 4 ~<7@5[]7==[{[28:[<[; [X[X�7==[{[ <23_4<7=4� �9`=2 8 ~<[3:<2=3:87 4{<� ~[<[]@7==>^ 39~7<~[�\4}4�;4 ~[54=[;[8 4 87Q:[<=>^ =72:[;4H73Q4^ ;7<� +5� =72:[;4H73Q4^ 4{< ~<7@5[�]7=[ =[8[7� X[577 Q[<[:Q[7 @[Q2\2:7563:8[ =2?@7==[{[ 8 � ~[5�<=[{[ ~<7@3:2857=4�87Q:[<2 �7~54� [3=[82==[7 =2 ~<�;[; 8>H4357=44 ;956:4~54Q2:48=[{[ <23_4<7=4��9;2=2��7~54 4 43~[56\[82=44 X73Q[=7H=[;7<=[{[ 2=25[{2 4=:7{<256=[? |[<;95>�9`=2 @5� Q[;~[=7=: \=2H7=4� Q[=7H=[? Q[[~7<2:48=[? 4{<>� �X39]@2�:3� 8[~<[�3> 2Q34[;2:4\2}44 [X[X�7==[{[ <23_4<7=4� �9`=2 @5� 3;7_2==>^ Q[[~7<2:48=>^4{< [{<2=4H7==[? ~[54=[;4256=[? 82<42}44�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:2;4 /##" ��������� 4 /*�# �� �� ���2�

"�!/��$/�

�� �9;2= /�� �7~54 � ������ J�����" ��" ������� ��� ���� ��� ��4<��

�� �2345678 ���� ������ 1��������� @��� � ���"��� ����� ���������� ��������������� ���� �2:7;2:4H73Q47 :<9@>� :[; �� ��� 3� ������

���������������������������������������2345678 �257<4? �57Q32=@<[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� vasilev�math�nsc�ru

Page 185: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������� �������� � ������ ���

+"���"�!�%�� �!�!��� ��+! ) �%�"���*� $(/�� !�"�"��!��"&"���-� (�/�#! !� (/" � $��'��� �%��%��0/�,���

",�!�!�"" �� ��" )����!' &!� #"������-. �%�"���

!� �� *7<234;[8� �� �� +[;X<[83Q4?

� <2X[:2^ ��� ~<7@52{27:3� 3~[3[X [~432=4� 3:<9Q:9<> 4=873:4}4[==[{[ ~[<:�|75� �"(�� 3[3:[��7{[ 4\ <43Q[8>^ 85[]7=4? �[X>Q=[87==>7 2Q}44� 4 X7\<43Q[8[{[8Q52@2 �X2=Q[83Q4? 3H7:� =2@7]=>7 [X54{2}44�� 8 84@7 @4=2;4H73Q[? 3:[^23:4H73Q[?37:4� 9\5> Q[:[<[? ~<7@3:285��: Q2~4:25� ~[;7�7==>? 8 @2==>? <43Q[8>? 454 X7�\<43Q[8>? |4=2=3[8>? 2Q:48� 2 @9{4 � =2~<2857=4� 4 [X�7; Q2~4:252� ~7<7<23~<7�@75�7;[{[ ;7]@9 2Q:482;4 8 ~<[}7337 9~<2857=4� ~[<:|757;� ,2@2H2 9~<2857=4�"( |[<;954<97:3� Q2Q @4=2;4H73Q2� \2@2H2 357]7=4� ~[ Q82@<2:4H=[;9 Q<4:7<4�\2 =7Q[:[<>;� \2@2827;>; 4=873:[<[;� ~[<:|757;� 4;7��4; ]7527;9� @[^[@=[3:6�{4~[:7:4H73Q4; `:25[==>; ~[<:|757;�� � Q2H73:87 ;[@754 `8[5�}44 }7= <43Q[8>^2Q:48[8 �2Q}4?� 8 ��� ~<4=�:2 Q52334H73Q2� ;[@756 {7[;7:<4H73Q[{[ �`Q[=[;4H73Q[�{[� X<[9=[83Q[{[ @84]7=4� 05`Q2��[9532� 8 Q[:[<[? ~2<2;7:<> 9<28=7=4?� [~43>82���4^ @4=2;4Q9 }7=� =7 359H2?=>� � @2==[? <2X[:7 <233;2:<4827:3� 359H2?� Q[{@2}7=> <43Q[8>^ 2Q:48[8 [~43>82�:3� 3:[^23:4H73Q4;4 <2\=[3:=>;4 9<28=7=4�;4 3[359H2?=>;4 3Q2HQ[[X<2\=[ ;7=���4;43� ~2<2;7:<2;4� ^2<2Q:7<4\9��4;4 8[52�:456=[3:6 �4\;7=H48[3:6� @[^[@=[3:7? 2Q:48[8� ([@[X=>7 ;[@754 9H4:>82�: 359�H2?=>7 4\;7=7=4� 8[52:456=[3:4� ^2<2Q:7<=>7 @5� |4=2=3[8>^ <>=Q[8 4 [:=[3�:3�Q Q52339 ;[@757? =7~[5=[{[ <>=Q2� Q[:[<>7 X[577 2@7Q82:=[ [~43>82�: 4\;7=7=4�}7=� =2X5�@27;>7 =2 <7256=>^ |4=2=3[8>^ <>=Q2^� �[@756 "( 8 ~<[3:<2=3:873[3:[�=4? [~43>827:3� 343:7;[? 3:[^23:4H73Q4^ <2\=[3:=>^ 9<28=7=4? 3[ 359H2?�=>;4 3Q2HQ[[X<2\=[ ;7=���4;43� ~2<2;7:<2;4� (2<2;7:<> 9<28=7=4? ;7=��:3�8 3[[:87:3:844 3 `8[5�}47? @43Q<7:=[? ;2<Q[83Q[? }7~4 3 4\873:=[? ;2:<4}7? ~7�<7^[@=>^ 87<[�:=[3:7?� � [:54H47 [: ���� 8 @2==[? <2X[:7 }756� 9~<2857=4� ~[<:�|757; �85�7:3� ~<78>_7=47 8 3<7@=7; Q2~4:252 4=@7Q3=[{[ ~[<:|75� �benchmarkportfolio�� ([59H7=> 9<28=7=4� @5� [~:4;256=[? 3:<2:7{44 9~<2857=4� 3 [X<2:=[?38�\6�� (<487@7=> <7\956:2:> H4357==[{[ ;[@754<[82=4��

"�!/��$/�

�� Dombrovsky V� V�� Gerasimov E� S� �� �� Dynamic Network Model of ControlInvestment Portfolio in Continuous Time� Proceedings of the �th Korea�RussiaInternational Symposium on Science and Technology� V� �� P� � ��� ��

�� *7<234;[8 !� ��� +[;X<[83Q4? �� �� �� �� -������ ��" ��" ����� ��������" �� ��������� ������� ��� ����������� ������� �� ��� �8:[;2:4Q24 �757;7^2=4Q2� � �� c� ��������

��������������������������������������*7<234;[8 !8{7=4? �7<{7784H� +[;X<[83Q4? �52@4;4< �257=:4=[84H��[;3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� 7=4=2� ��� �[;3Q� ��� � � /[334�� :75� ������ ���������e�mail� evgen�ic�tsu�ru� dombrovs�ef�tsu�ru

Page 186: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������� �������� � ������ ��� ���

�0 �+��' ��+! " �(�"�",�&"" �� �*��0 ��!�"�

���� %435[�2782

� <2X[:7 <233;2:<4827:3� \2@2H2 [ 3=4]7=44 =25[{[8[? 3:28Q4 ~<4 ~<7@~[5[]7�=44� H:[ 4\873:=[ 7� @7?3:89��77 4 [~:4;256=[7 \=2H7=4�� � `Q[=[;4H73Q[? :7[<44^[<[_[ 4\873:=2 �Q<482� `||7<2� �3;� ��� {<2|4Q Q[:[<[? 359]4: :7[<7:4H73Q[?[3=[8[? @5� 9;7=6_7=4� =25[{[8>^ 3:28[Q� �87@7; [X[\=2H7=4�� B�T � � @[^[@>X�@]7:2� Y �T � � =25[{[[X52{27;2� X2\2� L�T � � ~[:7<4 X�@]7:2 [: ~[8>_7=4� =2�5[{[8[? 3:28Q4� �~<287@548[ 9<28=7=47

B � Y� � T � L�T �� ���

+5� ~[59H7=4� 84@2 L�T � <233;2:<4827; 4\;7=7=4� 8 @[^[@2^ X�@]7:2� 4=4}44<[�82==>7 82<64<[82=47; =25[{[8>^ 3:28[Q 8 4^ 38�\4 3 3[[:87:3:89��4; ~7<7<23~<7�@757=47; <2X[H7{[ 8<7;7=4 ;7]@9 37Q:[<2;4 `Q[=[;4Q4 �3;� ��� �:3�@2 ~[59H27;|[<;256=9� 4=:7<~<7:2}4� Q[=}7~}44 `||7<2

B�T � � Y��T � T ��� ���

��Q� \=2H4:756=[7 3=4]7=47 � ~<487@7: Q <7\Q[;9 9;7=6_7=4� @[^[@[8 X�@]7:2�357@97: [~<7@754:6 [~:4;256=>? ~52= 3=4]7=4� =25[{[8[? 3:28Q4 3 T� @[ T �� �[\�=4Q27: 357@9��2� \2@2H2�

�������

PNj���Bj�� �Bj�� �� min

Bj � Y��Tj � T �j �

T� � T� � � � � � TNTN � T �

/7_2� 7� ;7:[@[; 2{<2=]2� ~[59H27; 343:7;9 9<28=7=4?� Q[:[<9� <7_27; ;7:[@[;%2=:[<[84H2��6�:[=2�/2|3[=2 �3;�����37 3Q2\2==[7 8>_7 X>5[ ~<[@752=[ @5� [X�7? =25[{[8[? 3:28Q4 j � {[ ~7<4[@2�Q[:[<2� �85�7:3� Q[;~57Q3=>; ~[Q2\2:757;� 8Q5�H2��4; 837 84@> =25[{[8� 0[56�_[? 4=:7<73 :2Q]7 ~<7@3:285�7: \2@2H2 =2^[]@7=4� [~<7@757==>^ =25[{[8� 3:28Q4Q[:[<>^ =7[X^[@4;[ 3[Q<2:4:6�

"�!/��$/�

�� �� �[5[X978������ ;���" 0%������������" � ������ �� ��������� �4<[82�`Q[=[;4Q2 4 ;7]@9=2<[@=>7 [:=[_7=4� ��� ��� 3��� T� Lemieux� B� Fortin� P� Frechette������ The eXect of taxes on labor supply in theunderground economy The American Economic Review �� ���������� � �� %2=:[<[84H� *� (� �Q45[8������ 1������������� ������� ��� �29Q2� ��� 3�

��������������������������������������%435[�2782 �2=@2 �57{[8=2��[8[34X4<3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�95� (4<[{[82� �� �[8[34X4<3Q� �� � � :75� ������������ ����e�mail� vanda k�mail�ru

Page 187: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ����������������� �������� � ������ ���

�!.��",� % 1�!�-. �*!���� � ,�+��! (/"���"� /!�!�"'� �! "�!'��' &! !��' #$�%&"!'

"��� %[\4=

/233;2:<4827:3� Q[[~7<2:48=2� 4{<2 N `Q[=[;4H73Q4^ 2{7=:[8� 8 Q[:[<[? Q2�]@2� 4\ 8[\;[]=>^ c:<2:7{4? S�� S�� � � � � Sm ^2<2Q:7<4\97:3� [~<7@757==>; <23~<7�@757=47; ~[57\=[3:7? �xi�� xi�� � � � � xiN� ;7]@9 2{7=:2;4� %<4:7<47; ~<4=�:4� <7_7�=4� �85�7:3� =754=7?=2� }75782� |9=Q}4� [: 4=@484@9256=>^ ~[57\=[3:7? 2{7=:[8F �xi�� xi�� � � � � xiN�� (<4=4;27;2� 3:<2:7{4� 3[[:87:3:897: :[HQ7 ;2Q34;9;2 }7578[?|9=Q}44 F �

�>X[< 3:<2:7{44 [3=[8>827:3� =2 3[[X�7=4�^ 2{7=:[8� �7^2=4\; ~<4=�:4� <7�_7=4? �85�7:3� ;2=4~954<97;>;� 7354 39�73:897: ^[:� X> [@4= 2{7=:� Q[:[<>?\2 3H7: 3[[X�7=4� =787<=[? 4=|[<;2}44 [ \=2H7=4�^ 38[4^ 4=@484@9256=>^ ~[57\�=[3:7? ;[]7: @[X4:63� X[56_7{[ 8>4{<>_2� ~<4 935[844� H:[ [3:256=>7 2{7=:>3[[X�2�: ~<28@489� 4=|[<;2}4�� %[[~7<2:48=[7 ~[87@7=47 2{7=:[8 =7 <233;2�:<4827:3�� :�7� 837 2{7=:> @7?3:89�: =7\28434;[ @<9{ [: @<9{2 4 4=|[<;2}4� [~[57\=[3:�^ Q[=Q<7:=[{[ 2{7=:2 4=@484@9256=2 4 =74\873:=2 [3:256=>; 2{7=:2;�

�[\;[]7= 54 ;7^2=4\;� \23:285���4^ ~<4 9Q2\2==>^ 935[84�^ 2{7=:[8 3[[X�2:6~<28@489� 4=|[<;2}4�� �2Q47 ;7^2=4\;> ~<4=�:4� <7_7=4? 3 54=7?=[? }7578[?|9=Q}47? 43357@[825436 8 <2X[:2^ �� ��

� =23:[��7? <2X[:7 <233;2:<4827:3� Q5233 =754=7?=>^ |9=Q}4?� @5� Q[:[<>^;[]7: X>:6 ~[3:<[7= 2=25[{4H=>? ;7^2=4\; ~<4=�:4� <7_7=4?� � H23:=[3:4� ~[�Q2\2=[� H:[ @5� 3:<[{[ 8[\<23:2��7? }7578[? |9=Q}44� @5� Q[:[<[? 8>~[5=�7:3�3[[:=[_7=4��

Ai �dFdx�

� ai � �ai� Ai � ~[3:[�==>7��

;[]=[ ~<7@5[]4:6 343:7;9 _:<2|[8� [3=[82==9� 54_6 =2 3[[X�7=4�^ 2{7=:[8� Q[�:[<2� =7 ~<48[@4: Q 98754H7=4� [X�7{[ 8>4{<>_2 Q[=Q<7:=[{[ 2{7=:2 8 359H27~[3:9~57=4� [: =7{[ =787<=[? 4=|[<;2}44�

"�!/��$/�

�� �957= /� ������ ;��������� ����"�� ������ &� ���� � ������ ��� �4<�

�� Groves T�� Ledyard ������ Optimal allocation oX public goods� a solutionto the freerider problem� Econometrica� ��� pp������ ��

��������������������������������������%[\4= "{[<6 �4Q:[<[84H�,2~[<[]3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�95� �9Q[83Q[{[� ��� ,2~[<[]67� ��� � $Q<24=2� :75� � �������������e�mail� ains�comint�net

Page 188: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������� �������� � ������ ��� ���

,�+��� (/"���"� /!�!�"' � $� ��"�. �" )��'�!�(/!+! !�����"

����%952{4=

/233;2:<4827:3� |[<;254\2}4� ~<2Q:4H73Q[? 34:92}44� Q[{@2 <23H7:9 82<42=�:[8 ~[87@7=4� 343:7;> 454 �857=4� ~<7~�:3:897: =7 :[56Q[ =254H47 ~2<2;7:<2 =7�[~<7@757==[3:4� =[ 4 =7\=2=47 @42~2\[=2 7{[ 8[\;[]=>^ \=2H7=4?� � :2Q[? 34:92�}44 ~<7@52{27:3� =7[~<7@757==[3:6 ~[52{2:6 ������ �:�7� :2Q[?� H:[ @5� Q2]@[{[@[~93:4;[{[ <7_7=4� =2?@7:3� \=2H7=47 =7[~<7@757==[{[ ~2<2;7:<2� ~<48[@��77 Q=7@[3:4]7=4� }754 <7_7=4��� 4 3:<[4:6 357@9��9� 3:<2:7{4� 8>X[<2 <7_7=4��

�� (93:6 p � �p�� ���� pk� � 87Q:[< \=2H4;>^ ~2<2;7:<[8 343:7;>� [:=[34:756=[Q[:[<[? 3:<[4:3� <7_7=47� p � P� }756 ~<4=�:4� <7_7=4�� x � X � 8>X4<27;2�H23:6 343:7;>� @[~93:4;[7 <7_7=47� y � Y � ~2<2;7:< =7[~<7@757==[3:4� �2Q4;[X<2\[;� p � p�x� y�� /233;2:<4827:3� ;=[]73:8[ Yx � fy j p�x� y� � Pg =[<;256=[?<2X[:> 343:7;> ~<4 <7_7=44 x 4 |9=Q}4� ;=[]73:82 ��Yx�� [:<2]2��2� [3[X7=�=[3:4 Q[=Q<7:=[? \2@2H4� �=[]73:8[ Y 3456=[? =7[~<7@757==[3:4 9@[857:8[<�7:935[84� x�XYx Y� �[{@2 Q<4:7<4? 8>X[<2 [~:4;256=[{[ <7_7=4� 4;77: 84@

��Yx�� maxx�X

� ���

�� +5� 359H2�� Q[{@2 Q<4:7<4? ��� 4;77: 84@

maxx�X

root

��x� ���

{@7 roott f�t� 73:6 <7_7=47 9<28=7=4� f�t� � � �� =7Q[:[<2� 4=:7=348=[3:6 =7�[~<7@757==[3:4� <233;[:<7=> =7Q[:[<>7 \2@2H4 :7[<44 [~:4;256=[{[ 9~<2857=4��� :7[<44 4{<� ~<[7Q:4<[82=4� ;7^2=4H73Q4^ 343:7;� ,2@2H4 <7_7=> ;7:[@[; <28�=[873=[? :[HQ4 �� 3 ~[;[�6� `Q848257=:=[3:4

maxx�X

rooty�Y

f�x� y� � rooty�Y

maxx�X

f�x� y��

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 ~<[{<2;;[? (<7\4@49;2 /�� N �� ��2:7;2:4H73Q[7 ;[@754�<[82=47� 4=:7557Q:9256=>7 343:7;> 4 9~<2857=47 ;7^2=4H73Q4;4 343:7;2;4� �~<[�7Q: �����

"�!/��$/�

�� %952{4= ������ �� J����� ��� ������� ���� ����� �������"� �37<[334?3Q2�Q[=|7<7=}4� ��5{[<4:;4H73Q4? 2=254\ =793:[?H48>^ \2@2H� ����,�� ��� !Q2:7�<4=X9<{��� Kulagin� V�V� ������ Balance point method of design under some kind of uncertainty�Intrnational Conference Dedicated to the � �th Anniversary of L�S� Pontryagin� OptimalControl� Abstracts� Moscow� pp� ������ �

��������������������������������������%952{4= �4Q:[< �23456784H� "=3:4:9: ~<[X57; ;2_4=[87@7=4� /���0[56_[? ~<� ����� ��� ��(7:7<X9<{� ������� /[334��:75� ����� ���������� |2Q3 ����� ���������� e�mail� kulagin�ensure�ipme�ru

Page 189: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������� �������� � ������ ���

� ( ��"/����"" (/�",��+���� � +"���"�!�%�' /-�����'�"��!�!

���� �7@87@Q[

� <2X[:7 <233;2:<4827:3� ;[@756 ~<[4\8[@3:87==[{[ ~<7@~<4�:4� 8 34:92}44�Q[{@2 }7=> 8>~93Q27;>^ ~<[@9Q:[8 at�j � 359H2?=>7 8754H4=>� �<7X97:3� [~<7@7�54:6 ;2Q34;256=>? @[^[@ A ~<7@~<4�:4� ~<4 \2@2==[; 9<[8=7 <43Q2 �� � � �� 24;7==[� ~<4 3:[^23:4H73Q[; [{<2=4H7=44

P �nXj��

at�jxtj �

mXi��

ct�iyti �A� � �� ��

4 54=7?=>^ @7:7<;4=4<[82==>^ [{<2=4H7=4�^ =2 8>~93Q ~<[@9Q}44nPj��

atijxtj � bti

;2Q34;4\4<97:3� 8754H4=2 A� ,@736 xtj � � [X�7; ~<[4\8[@3:82 j�{[ ~<[@9Q:2 8;[;7=: 8<7;7=4 t� yti � [X�7; \2Q9~27;>^ ;2:7<425[8 4 @<9{4^ <739<3[8� a

tij � Q[`|�

|4}47=:> ;2:<4}> \2:<2: i�{[ <739<32 =2 ~<[4\8[@3:8[ 7@4=4}> j�{[ ~<[@9Q:2�bti � [X�7; 4;7��7{[3� i�{[ <739<32� c

t�i �|4Q34<[82==>7 }7=> =2 ;2:7<425>�

+[Q2\2=[� H:[ [@=[;7<=>? 359H2? 43^[@=[? \2@2H4 `Q848257=:7= \2@2H7 54=7?=[�{[ ~<[{<2;;4<[82=4� �, (�� � ;=[{[;7<=[; 359H27 3~<287@548[ 357@9��77

�������������� +5� =2^[]@7=4� [}7=Q4 387<^9 =2 8754H4=9 A 8 43^[@=[? ~<[X57;7 :<7X97:�

3� <7_4:6 , ( 84@2� ;2Q34;4\4<[82:6 |9=Q}4[=25 �����

nPj��

M�at�j�xtj �

mPi��

ct�iyti ~<4

54=7?=>^ @7:7<;4=4<[82==>^ [{<2=4H7=4�^� [~<7@757==>^ 8>_7�

�� (93:6 ~[5[]4:756=>7 H4352 b�� b�� ���� bn� :2Q47 H:[nQj���� � Fat

�j�bj�� � � � ���

+5� =2^[]@7=4� [}7=Q4 3=4\9 =2 8754H4=9 A :<7X97:3� <7_4:6 357@9��9�, (� ~<454=7?=>^ @7:7<;4=4<[82==>^ [{<2=4H7=4�^� [~<7@757==>^ 8>_7� ;2Q34;4\4<[82:6

|9=Q}4[=25nPj��

bixti �

mPi��

ct�iyti�

(<[X57;2 <233;[:<7=2 8 359H27 <28=[;7<=[{[ 4 =[<;256=[{[ <23~<7@757=4� }7==2 :[82<>� "3357@[82=2 :2Q]7 34:92}4�� Q[{@2 ~5[:=[3:6 <23~<7@757=4� 359H2?=>^}7= 4;77: ~[54=[;4256=>? 84@� (<7@5[]7= ~[@^[@ Q <7_7=4� 8 n�;7<=[; 359H27X7\ [{<2=4H7=4? =2 <23~<7@757=47 }7=�

���������������������������������������7@87@Q[ �57{ �4Q:[<[84H� �*$�95� %<23=>? ~<[3~7Q: @� ����� Q8��� �[8[34X4<3Q� �� ���:75� �������� ��������� e�mail� medvedko o�hotmail�com

Page 190: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������� �������� � ������ ��� ���

SELF�SELECTION UNDER NON�ORDERED VALUATIONS�TYPE�SPLITTING� ENVY�CYCLES� RATIONING AND EFFICIENCY

B� Nahata� S� Kokovin� E� Zhelobodko

We analyze self�selection problem when valuations are non�ordered� The correspond�ing package�pricing solution has speci�c graph structure� It is helpful in deriving weaksu¤cient conditions for both partial e¤ciency and Pareto�e¤ciency� Unlike the orderedvaluations case� Pareto e¤ciency is shown to be a non�pathological case� Pareto e¤ciencyand positive consumer surplus are mutually exclusive� Under costs separability opti�mal package�pricing scheme is shown implementable by small rewards� Counter�examplesshow that our assumptions are essential� In certain non�ordered situations� package�optimization setting with rations is more appropriate than the standard setting�

KeyWords� Principal�agent� self�selection� nonlinear pricing� package pricing� Paretoe¤ciency� implementation� graph structure� envy cycles

This research was supported by RFBR �grants ��������� and �� �� ����� by RFHRgrant ��� �� ���� by Integracia Program����� by University of Louisville �IRIG�RIG������ and PCG ��������

REFERENCES

�� Salanie B� ������ The Economics of Contracts( Cambridge� MA� MIT Press�

�� Varian H�R� ������ �Price Discrimination�� in Handbook of Industrial Organization�Vol� I� ed� by R�Schmalensee and R�D� Willig� Amsterdam� Elsevier Science� ��������

��������������������������������������Babu Nahata�Department of Economics� University of Louisville� Louisville� Kentucky � ���� USA�nahata�louisville�edu�

Zhelobodko Evgeny Vladimirovich�Department of Economics� Novosibirsk State University�ul� Pirogova �� Novosibirsk� �� � � Russia� ezhel�ieie�nsc�ru

Kokovin Serguei Gelievich�Sobolev Institute of Mathematics�pr� Academica Koptyuga �� Novosibirsk� �� � � Russia�phone� ��������� ��������� fax� ��������� ��������� e�mail� kokovin�math�nsc�ru

Page 191: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������� �������� � ������ ���

�+"� (�+.�+ % /!�!�"1 0"���/"��-. "*/

���� �<5[8

� <2X[:7 <233;2:<4827:3� \2@2H2 [:>3Q2=4� 34:92}44 <28=[8734� ~[ �`_9 8 X4�;2:<4H=[? 4{<7� � `:[? }756� ~<[4\8[@4:3� 387@7=47 `:[? 4{<> Q `Q848257=:=[?=78>~9Q5[? \2@2H7 Q82@<2:4H=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��

C4:92}4� <28=[8734� ~[ �`_9 �x�� y�� 8 X4;2:<4H=[? 4{<7 ��A�B�� {@7 A 4 B �;2:<4}> 8>4{<>_7? <2\;7<=[3:4 �mn�� [~<7@75�7:3� 357@9��4;4 =7<287=3:82;4� �X� Y � ;=[]73:82 @[~93:4;>^ 3:<2:7{4? 4{<[Q[8��

hx�� Ay�i � hx�Ay�i� �x � X � fx � Rm j xi � �mPi��

xi � �ghx�� By�i � hx�� Byi� �y � Y � fy � Rn j yj � �

nPj��

yj � �g

�������

�Q2\>827:3� �� H:[ 34:92}4� �x�� y�� � XY �85�7:3� 34:92}47? <28=[8734� ~[�`_9 8 X4;2:<4H=[? 4{<7 ��A�B� 8 :[; 4 :[56Q[ 8 :[; 359H27� Q[{@2 [=2 8^[@4: 8<7_7=47 �x�� y�� ��� ��� � Rm�n�� 357@9��7? `Q3:<7;256=[? \2@2H4�

§�x� y� �� ����hx� �A�B�yi � �� � � max

xTB � �en � n� x � X�Ay � �em � m� y � Y�

������� ���

{@7 ep � ��� �� ���� ��T � Rp� p � m�n��7:<9@=[ 84@7:6� H:[ Q82@<2:4H=2� \2@2H2 ��� =7 �85�7:3�� 8[[X�7 {[8[<�� 8>�

~9Q5[?� ([`:[;9 ~[43Q {5[X256=[{[ <7_7=4� 8 \2@2H7 ��� �85�7:3� @[8[56=[ :<9@=[?�2 3 8[\<23:2=47; <2\;7<=[3:4 =7~<7[@[54;[ :<9@=[? ~<[X57;[? @5� 3[8<7;7==>^ ;7�:[@[8 =78>~9Q5[? [~:4;4\2}44�

+5� <7_7=4� \2@2H4 ��� 8 @2==[? <2X[:7 ~<7@52{27:3� 43~[56\[82:6 ~[@^[@� ~<7@�5[]7==>? 8 � 4 [3=[82==>? =2 935[84�^ {5[X256=[? [~:4;256=[3:4� �:[: ~[@^[@8Q5�H27: 8 37X� =73Q[56Q[ `:2~[8� :2Q47 Q2Q 5[Q256=>? ~[43Q� <7_7=47 54=72<4�\[82==[? ~[ X2\[8[? =78>~9Q5[3:4 \2@2H4� ~[3:<[7=47 2~~<[Q34;2}44 ~[87<^=[3:49<[8=� 8>~9Q5[? |9=Q}44 4 @<9{47� � <2X[:7 <233;2:<482�:3� 837 `:2~> {5[X256�=[{[ ~[43Q2 3 9H7:[; 3~7}4|4Q4 ~[3:2857==[? \2@2H4�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /##"� ~<[7Q: � �� �� ��

"�!/��$/�

�� (7:<[3�= ���� ,7=Q784H ����� �7;4=2 !��� ������ /���" ���� ��� �>3_2�_Q[52� � � c��� �9^2;7@478 0��� ������ # ����� ������ ���������� ��������������" ���� ����� � ������� ���� �" ����������� ������ �9<=25 8>H4354:756�=[? ;2:7;2:4Q4 4 ;2:7;2:4H73Q[? |4\4Q4� :[; ��� N �� 3����������� Strekalovsky A� S� �� � One way to construct a global search algorithm for d�c�minimization problems� Nonlinear optimization and related topics� Ed� by G� Di Pillo�F�Giannessi� � vol� ��� Applied Optimization Series� Kluwer Academic Publishers����������������������������������������<5[8 �=@<7? �23456784H� "=3:4:9: @4=2;4Q4 343:7; 4 :7[<44 9~<2857=4��� /��� 95� 7<;[=:[82 ���� "<Q9:3Q� ��� ��� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� anor�mailru�com

Page 192: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������� �������� � ������ ��� ���

/!��� " ���.���"�!�%"! #�%��/-

���� /2~[~[<:

(<4 [~<7@757=44 \7;756=[? <7=:> 4 4\9H7=44 77 38[?3:8 X2\43=>;4 ~[=�:4�;4�85��:3� ~<[4\8[@��47 |9=Q}44� ^2<2Q:7<4\9��47 8>^[@ ~<[@9Q}44 ~<4 \2@2==>^\2:<2:2^� ([3:<[7=47 ;2:7;2:4Q[�`Q[=[;4H73Q4^ ;[@757? @5� <2\54H=>^ 34:92}4?� <2\=[7 H435[ ~<[@9Q:[8� ;=[{[ 9H23:Q[8 4 :�~�� @5� @7:7<;4=4<[82==[{[ 359H2�~[@<[X=[ [~432=[ 8 ��

�:;7:4;� H:[ ~<[4\8[@3:87==>7 |9=Q}44 �[X>H=[ ~[59H27;>7 ~<4 [X<2X[:Q7X[56_[{[ [X�7;2 4=|[<;2}44� �85��:3� 93<7@=7=4�;4� 9H4:>82��4;4 Q[57X2=4��~<4 [@4=2Q[8[; 9<[8=7 \2:<2:� @[^[@=[3:4 \7;756=>^ 9H23:Q[8 8 <2\54H=>^ ~[{[@�=>^ 935[84�^� ([`:[;9 [=4 =7 @2�: 8[\;[]=[3:6 [@=[\=2H=[ [~<7@75�:6 `||7Q:>[: 85[]7=4?� �7[X^[@4;[ 9H4:>82:6 359H2?=9� Q[;~[=7=:9� 854���9� =2 `:[: `|�|7Q:� �2Q4; [X<2\[;� 357@97: <233;2:<482:6 ~<[4\8[@3:87==>7 |9=Q}44� Q[:[<>7\2843�: =7 :[56Q[ [: 85[]7=4?� =[ 4 [: =7Q[:[<[{[ 359H2?=[{[ ~2<2;7:<2� :�7� \2@2�82:6 4^ 8 84@7 b��� t�� {@7 t � 359H2?=2� 8754H4=2 �~5[:=[3:6 <23~<7@757=4� f Q[:[<[?~<7@~[52{27:3� 4\873:=[?�� ^2<2Q:7<4\9��2� Q[57X2=4� ~<[4\8[@3:82� 38�\2==>7 3Q[57X2=47; ~[{[@=>^ 935[84?�

�:;7:4;� H:[ ~<4 9H7:7 854�=4� 359H2?=>^ |2Q:[<[8 8[\=4Q27: @[~[5=4:756=2�\2@2H2 [ 8>X[<7 8754H4=> \2:<2: �� =7 :[56Q[ ;2Q34;4\4<9��7? 3[[:87:3:89��4?|9=Q}4[=25� =[ 4 [X73~7H482��7? =7Q[:[<>? 9<[87=6 =2@7]=[3:4 Q2Q ~<[4\8[@3:82�:2Q 4 8>~52: <7=:=>^ ~52:7]7?�

([`:[;9 8[\=4Q27: =7[X^[@4;[3:6 ~<4 8>X[<7 9<[8=� 85[]7=4? 9H4:>82:6 =7:[56Q[ Q[=Q<7=:=>7 \2:<2:> ~<4 Q2]@[; 43^[@7� =[ 4 @[~[5=4:756=>7 \2:<2:>� ~[�\8[5���47 3{52@4:6 [:<4}2:756=>7 `||7Q:> ~<4 =7Q[:[<>^ <7254\2}4�^ 359H2?�=>^ 8754H4= �~5[^47 ~[{[@=>7 935[84� 4 :�~��� �2Q[7 3{52]482=47 ;[]=[ ~[59H4:6<2\@757=47; 837^ \2:<2: =2 @87 Q[;~[=7=:> � � \2:<2:> 2~<4[<=>7� 3@752==>7 @[:[{[� Q2Q 4\873:=2 <7254\2}4� ~[{[@=>^ 935[84?� 4 \2:<2:> 2~[3:7<4[<=>7� Q[:[�<>7 @752�:3�� Q[{@2 <7254\2}4� 9]7 4\873:=2� ~[\8[5���47 8 :[? 454 4=[? 3:7~7=43;�{H2:6 =7X52{[~<4�:=>7 ~[{[@=>7 `||7Q:>�

� @[Q52@7 ~<7@52{2�:3� =7Q[:[<>7 @89^`:2~=>7 ;[@754 [~<7@757=4� [~:4;256�=>^ \2:<2: ~<4 4\9H7=44 ~<[X57; \7;756=[? <7=:>� 4 ;7:[@> @5� [~<7@757=4� <7=:�=>^ ~52:7]7?� ~[\8[5���47 `||7Q:48=[ 9H4:>82:6 854�=47 359H2?=>^ |2Q:[<[8�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 /[334?3Q[{[ |[=@2 |9=@2;7=:256�=>^ 43357@[82=4? �Q[@> ~<[7Q:[8 ��������� 4 � �� � �� 4 /[334?3Q[{[ {9;2=4�:2<=[{[ =29H=[{[ |[=@2 �Q[@ ~<[7Q:2 � �� �����

"�!/��$/�

�� �4<H7=Q[ ��"�� /2~[~[<: ���� �� � ���������%������� ��� ������ ��������� ������ ������� ����� �[8[34X4<3Q� �(<7~<4=: � /��� �4X� [:@�=47�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4� N �� ����������������������������������������/2~[~[<: �<=73: �_7<[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� ��[X[5782 �� /���~<� %[~:�{2 �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��e�mail� rapoport�math�nsc�ru

Page 193: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������� �������� � ������ ���

$���'�"����) � ��+! " /-�%� � � !�!����"*��$+�/���!���*� � "��"�

���� �4@[<[8

� <2X[:7 ~<7@3:2857= <�@ <7\956:2:[8� Q232��4^3� 8>~[5=7=4� 935[84? 93:[?�H48[3:4 8256<23[83Q[{[ ~<[}7332 Q[<<7Q:4<[8Q4 =7<28=[873=>^ }7= 8 ;[@754 `Q[�=[;4Q4 <>=[H=[{[ :4~2 3 `57;7=:2;4 {[39@2<3:87==[{[ <7{954<[82=4�� �~432=47;[@754 4 935[84� 39�73:8[82=4� X>54 3|[<;954<[82=> 8 <2X[:7 �� �:;7:4;� H:[7354 8 4\9H27;[? ;[@754 ~2<2;7:<>� ^2<2Q:7<4\9��47 {[39@2<3:87==[7 854�=47� ~[�5[]4:6 <28=>;4 =95�� :[ [=2 3:2=[84:3� `Q848257=:=[? Q52334H73Q[? 8256<23[83Q[?;[@754 [X;7=2� "=>;4 35[82;4� ;[@756 <7{954<97;[{[ <>=Q2 �85�7:3� �8[\;9�7�=47;� Q52334H73Q[? ;[@754 ~[ =7Q[:[<[? 3[8[Q9~=[3:4 ~2<2;7:<[8� %5�H789� <[568 43357@[82=44 93:[?H48[3:4 4{<27: 38[?3:8[ '���!��"( �����" ����������|9=Q}44 4\X>:[H=[{[ 3~<[32 E � RL

�� � RL 3[3:[��77 8 :[;� H:[ |9=Q}44 4\X>:[H�=[{[ 3~<[32 Ek�p� =2 :[82< k � L �85��:3� =79X>82��4;4 �3:<[{[ 8[\<23:2��7?�[:=[34:756=[ }7=> pj :[82<2 j � L @5� 837^ k �� j� )�!�������� ��*����� ~<4}7=2^ p =2\>827:3� 8754H4=2 p � E�p� �8 Q52334H73Q[? 8256<23[83Q[? ;[@754 [X;7=28256<23[83Q4? @7|7Q: :[]@73:87==[ <287= =95���

$3:2=[857=> @82 [3=[8=>^ <7\956:2:2 [X 93:[?H48[3:4�

�� !354 �=78[\;9�7==2�� ;[@756 [X;7=2 [X52@252 38[?3:8[; �3456=[?� 825[8[?\2;7=4;[3:4� :[ 8 ;[@754 <7{954<97;[{[ <>=Q2 8>~[5=7=> 38[?3:82 �3456=[?�825[8[? \2;7=4;[3:4 4 |9=Q}4� 8256<23[83Q[{[ @7|7Q:2 �85�7:3� =78[\<23:2���7?�

�� !354 ;[@756 <7{954<97;[{[ <>=Q2 [X52@27: 38[?3:8[; 3456=[? 825[8[? \2;7=4�;[3:4 4 |9=Q}4� 8256<23[83Q[{[ @7|7Q:2 �85�7:3� =78[\<23:2��7?� :[ 8256<2�3[83Q4? ~<[}733 Q[<<7Q:4<[8Q4 }7= �85�7:3� {5[X256=[ 93:[?H48>;�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:2;4 /##" ��������� 4 /*�# �� �� ���2�

"�!/��$/�

�� ���� �2345678� ���� �4@[<[8 �� �� H��� � �� ���������� ���� I� $�)� ������ +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43357@[82=47 [~7<2}4?� �7<�� � ��� �����

���������������������������������������4@[<[8 �57Q32=@< �23456784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /��� ~<� %[~:�{2� ���[8[34X4<3Q� �� � � /[334�� :75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ���������e�mail� sidorov�math�nsc�ru

Page 194: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

����������������� �������� � ������ ��� ���

� /�,�"�"" �%����"%" (/" �!%���/-. #�/��.�� �*��0 ��!�"�

��!� �<9X2H782

&756� =23:[��7? <2X[:> �85�7:3� ;2:7;2:4H73Q4? 2=254\ ~[87@7=4� 4=873:[<2~<4 <2\=>^ 3^7;2^ =25[{[[X5[]7=4�� /233;2:<482�:3� 357@9��47 34:92}44 <2\84�:4� `Q[=[;4Q4� �� ~<4 7@4=[; ~<[~[<}4[=256=[; =25[{7� �� ~<4 7@4=[; ~<[{<73348�=[; =25[{7� �� ~<4 ~<[{<73348=[; =25[{7 3 ~[3:[�==[? 3Q[<[3:6� 4\;7=7=4� 3:28Q4=25[{[[X5[]7=4�� �� ~<4 ~<[{<73348=[; =25[{7 3 @89;� 3Q[<[3:�;4 4\;7=7=4� 3:28�Q4� � <2X[:7 4\9H27:3� ;[@756 ~[87@7=4� [@=[{[ 4=873:[<2� 02\[? @5� 43357@[82=4�8\�:2 ;[@756 #�/2;37�� Y �t� � C�t� � I�t� � �� � s�t��Y �t� � s�t�Y �t�� � s�t� � ��{@7 8 Q2]@>? ;[;7=: 8<7;7=4 8>~93Q Y �t� � F �K�t�� L� @754:3� =2 ~[:<7X57=47C�t� 4 4=873:4}44 I�t�� s�t� � H23:6 8>~93Q2� Q[:[<2� 4@7: =2 Q2~4:25[85[]7=4��+5� 43357@[82=4� <2\54H=>^ :<27Q:[<4? <[3:2 Q2~4:252 ;> 43~[56\97; 9<28=7=47�K̈�t� � s�t�F �K�t�� L���K�t�� {@7 K�t� � [X�7; [3=[8=>^ |[=@[8� L � H435[8[7 8><2�]7=47 [X�7;2 :<9@[8>^ <739<3[8� � � :7;~ 2;[<:4\2}44� !�#75~3[; X>5[ 3|[<;954�<[82=[ \[5[:[7 ~<2845[ =2Q[~57=4�� �~4<2�36 =2 `:[ ~<2845[� 8 <2X[:7 43357@97:3�;[@756 ~<4 <2\54H=>^ |[<;2^ =25[{[[X5[]7=4�� +[Q2\2=[� H:[ @5� :[{[� H:[X>Q2~4:25 4=873:[<2 =7 9X>825 8 <2\54H=>^ 34:92}4�^ =25[{[[X5[]7=4�� =7[X^[@4;[�H:[X> @[5� X�@]7:2� =2~<2857==2� =2 Q2~4:25[85[]7=4�� X>52 =7 ;7=6_7� H7; H23:6@[^[@2� 4@9�2� =2 4=873:4}44 8 34:92}44 X7\ =25[{2� +5� 359H278 ��� �� =2?@7=>[{<2=4H7=4� =2 8>~93Q ~<[@9Q}44 Y �t�� ([3:<[7= 25{[<4:; ~[43Q2 H23:4 8>~93Q2s�t�� 4@9�7? =2 4=873:4}44 8 34:92}44 7@4=[{[ ~<[~[<}4[=256=[{[ =25[{2� +5� <23�_4<7==[? ;[@754 ~[87@7=4� 4=873:[<2 ~[59H7=> :<27Q:[<44 4\;7=7=4� X�@]7:=>^~[3:9~57=4? 8 \28434;[3:4 [: 3:28Q4 7@4=[{[ ~<[~[<}4[=256=[{[ =25[{2�

������ � �+������� (93:6 8 \2@2H7 [~:4;256=[{[ ~52=4<[82=4�R T� �� �

��� � s�f�k�t�� exp��t dt � max� ~<4 [{<2=4H7=4�^ k̈�t� � �� � �sf�k�t�� � �k�t� � f�k�t���� � s� � � � �� k� � � k� � � k�T � � kT � 4;7�:3� @[~93:4;>7:<27Q:[<44� ,@736 T � @[3:2:[H=[ X[56_[? ~<[;7]9:[Q 8<7;7=4� � 3:28Q2 =25[�{[[X5[]7=4�� � � @[5� X�@]7:2� =2~<2857==2� =2 Q2~4:25[85[]7=4�� k�t� � |[=@[�8[[<9]7==[3:6 :<9@2� �[{@2 39�73:897: 357@9��77 [~:4;256=[7 9~<2857=47 s� 8=2H257 ~7<4[@2 4 8 Q[=}7 s <28=[ 54X[ � 54X[ �� � [3:256=[7 8<7;� s 8>X4<27:3� 4\@42~2\[=2� s� � � � s � s�

�� {@7 s� � � k�

f�k��� k� � [~:4;256=[7 \=2H7=47 |[=@[8[[<9�

]7==[3:4�������� (93:6 �f �k� � f�k��� � � �k�� �{@7 |9=Q}44 f�k�� � �k� 4\ Q52332 C���

�[{@2 �� � =2?@7:3� :2Q[7 � � � H:[ 7354 k� �k�� �� sin kkC� � �� :[ 8>~[5=�7:3�

357@9��77 ~<2845[ =2Q[~57=4�� �������( ����� ������" ��� �� ��������� �����������!��� �� "�"� " ���� ����)��� ������� <��� k�kC� � ( ��" � � �=( ���������( ����� �� ����� � ���� ����� ���� � ����( ������� ��������� �� �������� ���� ������� ������� �� ����)��"( � ��������������� ������� ��" �� ���� "�"� " ������ ���� �� ������� �������� ��� ��������� ����)��" � � ��������� ������" ����������

!��� �� �k� s� � f ���k��kf��k�

� ��k � ��

���������������������������������������<9X2H782 �==2 !8{7=678=2� �*$� 95� �7<7_Q[8[?� ��� Q8� ��� �[8[34X4<3Q�:75� ������������������ |2Q3 ������������������ e�mail� palyutin�math�nsc�ru

Page 195: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ����������������� �������� � ������ ���

�(�"�",�&"� ","�*��-. ( ��!�!'

��"� �;><78� ���� �32@H4?

/233;2:<4827:3� 3~7}4256=>? Q5233 [~:4;4\2}4[==>^ \2@2H� 8[\=4Q2��4^ ~<4;[@754<[82=44 |4=2=3[8[{[ 54\4={2 3 9H7:[; =25[{[[X5[]7=4� 4 X�@]7:=>^ [{<2�=4H7=4? 54\4={[@2:75� �� "3^[@=2� \2@2H2 [~:4;4\2}44 54\4={[8>^ ~52:7]7? 387�@7=2 Q \2@2H7 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� 3 @[~[5=4:756=>;4 935[84�;4 Q[;~57�;7=:2<=[3:4 =2 8>@757==>7 ~2<> ~7<7;7==>^� ^2<2Q:7<4\9��4^ ~<4X>56 4 9X>:Q454\4={[@2:75� ~[ ~7<4[@2;�

([Q2\2=[� H:[ ~<4 73:73:87==>^ @5� <233;2:<4827;[? ;[@754 54\4={2 [{<2=4H7�=4�^ \2@2H2 @[~93Q27: <7_7=47 3<7@3:82;4 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��/2X[:2 ~[@@7<]2=2 /##" �Q[@> ~<[7Q:[8 ���������5� � �� � �2� 4 /*�# �Q[@~<[7Q:2 �� �� �� 2��

"�!/��$/�

�� �;><�8 ��"�� �32@H4? ���� �� �� J����� ����������� ��������� ����!���4X� ]9<=25 4=@93:<4256=[? ;2:7;2:4Q4� :[; IV� ����� �� � ������

���������������������������������������;><78 �2@4; "82=[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� %[~:�{2� �� �� � � /[334��:75������������������ |2Q3 ��������� ��������� e�mail� shvi�math�nsc�ru�

�32@H4? �2Q34; �:2=43528[84H�"=3:4:9: `Q[=[;4Q4 4 [<{2=4\2}44 ~<[;>_57==[{[ ~<[4\8[@3:82 �� /���:75� ��������� ��������� e�mail� academtrast�online�nsc�ru�

Page 196: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� ���

(/"0 "�!��-' � *�/"��+ � /!�!�"� ,�+��" � (�%/-�"" ����!�����"

�� �� �{778

� \2@2H7 [ ~[Q<>:44 ;=[]73:82;4 \2@2=> Q[=7H=[7 ;=[]73:8[ I � f�� � � � �mg4 37;7?3:8[ 7{[ ~[@;=[]73:8 fSj � j � Jg �J � f�� � � � � ng� :2Q[7� H:[ Sj�J Sj � S�%2]@[;9 ;=[]73:89 Sj ~<4~432= =7[:<4}2:756=>? 873 wj� �<7X97:3� =2?:4 ~[@37�;7?3:8[ fSj � j � J�g� 4;7��77 ;4=4;256=>? 39;;2<=>? 873 3<7@4 837^ ~[@37;7?3:8�[X�7@4=7=47 Q[:[<>^ 3[8~2@27: 3 S �:� 7� ~[Q<>827: 837 `57;7=:> S��

,2@2H2 [ ~[Q<>:44 ;=[]73:82;4 �85�7:3� [@=[? 4\ }7=:<256=>^ NP�:<9@=>^\2@2H Q[;X4=2:[<=[? [~:4;4\2}44� � [X�7? ~[3:2=[8Q7 [=2 [Q2\>827:3� :<9@=[�<7_27;[? :2Q]7 4 8 ~<4X54]7==[; 23~7Q:7� 4\ 39�73:8[82=4� ~[54=[;4256=[{[25{[<4:;2 3 [}7=Q[? :[H=[3:4 �� � �� lnm 8>:7Q27:� H:[ 837 \2@2H4 4\ Q52332 NP;[{9: X>:6 <7_7=> :[H=[ 25{[<4:;2;4 3 :<9@[7;Q[3:6� nO�log logn� �� (<4 `:[;~[<[{ lnm 3 :[H=[3:6� @[ ;25[? 2@@4:48=[? Q[=3:2=:> @[3:4{27:3� ~<[3:7?_4;]2@=>; 25{[<4:;[; �� �:[: =7{2:48=>? |2Q: =7 43Q5�H27:� :7; =7 ;7=77� 8[\�;[]=[3:6 ~[3:<[7=4� 25{[<4:;[8� [X73~7H482��4^ 59H_9� [}7=Q9 :[H=[3:4 Q2Q|9=Q}4� [: @<9{4^ ~2<2;7:<[8 \2@2H4� [:54H=>^ [: m� �24X[577 4=:7<73=>7 4\=4^ 38�\2=> 3 m n ;2:<4}7? A � �aij� 3 aij � �� 7354 i � Sj� 4 aij � 8 ~<[:48�=[; 359H27� (93:6 r�A� � ;2Q34;256=[7 H435[ 7@4=4} 8 3:<[Q7 ;2:<4}> A 4 d�A� �;2Q34;256=[7 H435[ X5[Q[8 4\ ~[357@[82:756=>^ 7@4=4} 8 3:<[Q2^ ;2:<4}> A� "\�873:=[� H:[ \2@2H2 [ ~[Q<>:44 ;=[]73:82;4 ;[]7: X>:6 <7_7=2 ;25[:<9@[7;Q4;~<�;[�@8[?3:87==>; 25{[<4:;[; 3 [}7=Q[? :[H=[3:4 r�A� �� � @2==[; 3[[X�7=44;> [~43>827; 25{[<4:; 3 [}7=Q[? :[H=[3:4 d�A�� �3=[� H:[ 837{@2 d�A� � dn��e 4d�A� � r�A�� =[ 8 [:54H47 [: r�A� ~2<2;7:< d�A� \28434: [: ~7<73:2=[8Q4 3:[5X}[8;2:<4}> A� ([3Q[56Q9 d�A� 837{@2 =7 ~<78[3^[@4: r�A�� 2 8 Q[=Q<7:=>^ ~<4;7<2^4 =7Q[:[<>^ H23:=>^ 359H2�^ ;[]7: 4;7:6 39�73:87==[ ;7=6_77 \=2H7=47� :[ <7�_7=4�� =2?@7==>7 =2_4; 25{[<4:;[; X9@9: 3[[:87:3:87==[ X54]7 Q [~:4;256=>;~[ \=2H7=4� }7578[? |9=Q}44� H7; <7_7=4�� 8>@2827;>7 ~<�;[�@8[?3:87==>; 25�{[<4:;[;� (<7@52{27;>? 25{[<4:; [3=[82= =2 ;[@4|4Q2}44 :7^=4Q4 [Q<9{57=4�[~:4;256=[{[ <7_7=4� 54=7?=[? <752Q32}44� <2\<2X[:2==[? 8 ��/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:2;4 /##" �� �� ���� �� �� ����� {<2=:[; $/� �� �� ��(<[{<2;;> �� /# �$=487<34:7:> /[3344� 4 {<2=:[; INTAS �����

"�!/��$/�

�� Bar�Yehuda R�� Even S�� ������ A linear time approximation algorithm for the weightedvertex cover problem� Journal of Algorithms� V��� N �� p� ����� ���� Chvatal V�� ������ A greedy heuristic for the set covering problem� Math� Oper� Res��V� � � p� ���������� Feige U�� ������ A threshold of lnn for approximating set cover� J� ACM� V� ��� N ��p� ���������� Gaur D� R�� Ibaraki T�� Krishnamurti R�� �� � Constant ratio approximation algo�rithms for the rectangle stabbing problem and the rectilinear partitioning problem� LectureNotes in Computer Science ����� Berlin� springer� p� �����������������������������������������������{778 �57Q32=@< �57Q32=@<[84H� "=3:4:9:;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ���� ���� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� ageev�math�nsc�ru

Page 197: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� ������ ��������� ����������

ALGORITHMS FOR THE p�FACILITY LOCATION PROBLEMON TREES AND SERIES�PARALLEL GRAPHS

A� Ageev and A� Tamir

The p�facility location problem is a natural common generalization of the p�medianand the uncapacitated facility location problems� In the problem we are given a set ofm facilities F � a set of n demand points D� and a positive integer p� Each facility i � Fhas an opening cost fi � and for each facility i and each demand point j a connectioncost cij � is given� The objective is to open at most p facilities in F and connect eachdemand point to an open facility so that the total cost is minimized� We consider thenetwork version of the problem in which F and D are assumed to be vertex subsets ofa given graph G with nonnegative edge lengths and cij � fi�dij� where fi��� is a realnondecreasing function and dij is the length of a shortest path between facility i anddemand point j�

We present an O�pmn� algorithm for the case when G is a tree and an O�pm�n� al�gorithm for the case when G is a series�parallel graph� The algorithm for trees has thesame bound on the running time but much simpler than the one in �� The algorithmfor series�parallel graphs can be generalized to the case of partial k�trees for arbitrary k�Both algorithms and their analysis are based on developing ideas and techniques from����

The �rst author was supported by the Russian Foundation for Basic Research �grants �� �� ���� �� �� ������ by Programme MO RF �Universities of Russia� �grantUR� �� �� ���� and by INTAS �grant ������

REFERENCES

�� Ageev A� A�� ������ A criterion of polynomial�time solvability for the network loca�tion problem� in Integer Programming and Optimization �IPCO����� Campus Printing�Carnegie Mellon University� p� ��������

�� Gimadi E� Kh�� ������ An e:cient algorithm for solving the plant location problem withservice regions connected with respect to an acyclic network� Upravlayemye sistemy� N���� p� ����� �in Russian��

�� Hassin R�� Tamir A�� ������ E:cient algorithms for optimization and selection onseries�parallel graphs� SIAM J� Algebraic Discrete Methods� V� �� N �� p� ��������

�� Tamir A�� ������ An O�pn�� algorithm for the p�median and related problems on treegraphs� Oper� Res� Lett� V� ��� N �� p� ������

��������������������������������������Ageev Alexander Alexandrovich� Sobolev Institute of Mathematics�Akademika Koptyuga pr�� �� Novosibirsk� �� � � Russia�phone� ��������� ���� ���� fax� ��������� ��������� e�mail� ageev�math�nsc�ru

Page 198: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� � �

"�� !+����"! ,�+��" ��%�"�� )��' �-(� �"����"� "�(� ),����"!� L�/�,0"!�"�

�� �� �@756_4=� �� �� %[5[Q[5[8

�@=[? 4\ }7=:<256=>^ \2@2H :7[<44 35[]=[3:4 �85�7:3� \2@2H2 8>~[5=4;[3:45[{4H73Q[? |[<;95>� ~<7@3:285���7? 3[X[? Q[=��=Q}4� 3Q[X[Q Ci� i � �� � � � �m�Q2]@2� 4\ Q[:[<>^ �85�7:3� @4\��=Q}47? ~7<7;7==>^ 454 4^ [:<4}2=4?� ,2@2H23[3:[4: 8 :[;� H:[X> 93:2=[84:6 39�73:897: 54 =2X[< \=2H7=4? ~7<7;7==>^� ~<4 Q[�:[<[; |[<;952 �85�7:3� 43:4==[?� � @[Q52@7 <233;2:<4827:3� =78\87_7==2� \2@2H2;23Q4;256=[? 8>~[5=4;[3:4� Q[:[<[? :2Q]7 ~[38��7=[ X[56_[7 H435[ 43357@[82�=4?� ,2@2H2 3[3:[4: 8 :[;� H:[X> =2?:4 :2Q[? =2X[< \=2H7=4? ~7<7;7==>^� ~<4Q[:[<[; H435[ 8>~[5=7==>^ 3Q[X[Q X9@7: =24X[56_4;� ,2@2H2 ;[]7: X>:6 3|[<;9�54<[82=2� =2~<4;7<� 357@9��4; [X<2\[;�

mXi��

zi � max

Xj�C�

i

xj �Xj�C�

i

xj � zi � jC�i j� i � ��m�

� xj� zi � �� j � �� n� i � ��m�

xj� zi � Z� j � �� n� i � ��m�

,@736 xj � X9578> ~7<7;7==>7� [:87H2��47 5[{4H73Q4; ~7<7;7==>; |[<;95>�C�i 4 C�

i � ;=[]73:82 4=@7Q3[8 ~7<7;7==>^� 8^[@��4^ 8 3Q[XQ9 Ci 3 [:<4}2=47; 4X7\ =7{[ 3[[:87:3:87==[� /287=3:8[ zi � � 8>~[5=�7:3� :[56Q[ 8 :[; 359H27� 73543Q[XQ2 Ci 8>~[5=7=2� �2Q4; [X<2\[;� [~:4;256=[7 \=2H7=47 }7578[? |9=Q}44 <28=[;2Q34;256=[;9 H4359 8>~[5=7==>^ 3Q[X[Q�

+2==2� \2@2H2 43357@97:3� =2 [3=[87 L�<2\X47=4� �� ([3:<[7=> =[8>7 37;7?�3:82 \2@2H ;2Q34;256=[? 8>~[5=4;[3:4� 9 Q[:[<>^ ;[�=[3:4 L�=2Q<>:4? <752Q32�}4[==[{[ ;=[{[{<2==4Q2 <23:9: `Q3~[=7=}4256=[ 3 98754H7=47; H4352 ~7<7;7==>^8 |[<;957� �2 @2==>^ 37;7?3:82^ ~<[8[@453� 2=254\ <�@2 25{[<4:;[8 }75[H4357=�=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4�� ([Q2\2=[� H:[ H435[ 4:7<2}4? [X�7{[ 25{[<4:;2 ~7<7X[<2L�Q5233[8 4 ;7:[@2 `=@ 4 +[?{ `Q3~[=7=}4256=[ \2843�: [: H4352 ~7<7;7==>^�

%<[;7 :[{[� ~<7@5[]7=> 25{[<4:;> ~<4X54]7==[{[ <7_7=4� \2@2H ;2Q34;256=[?��8>~[5=4;[3:4 4 ��8>~[5=4;[3:4� �Q3~7<4;7=:> ~<[8[@45436 Q2Q =2 359H2?=>^\2@2H2^� :2Q 4 =2 \2@2H2^ 4\ 37<44 DIMACS�

"�!/��$/�

�� Cheriyan J�� Cunningham W� H�� Tuncel L�� Wang Y� ������ A linear programming androunding approach to max Z�sat� DIMACS Series in Discrete Mathematics and TheoreticalComputer Science � � ��� � ������ %[5[Q[5[8 ���� ������ H���"��� �������" � �� ���" ����� ����� ����������������� �4X� ]9<=25 43357@[82=4� [~7<2}4? �� �� � ������������������������������������������@756_4= �57Q32=@< �52@4;4<[84H� %[5[Q[5[8 �57Q32=@< �57Q32=@<[84H��;3Q4? |45425 "=3:4:9:2 ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���95� (78}[82� ��� �;3Q� ��� ��� /[334�� :75� ��������� ���������|2Q3 ��������� ��������� e�mail� adelshin�iitam�omsk�net�ru� kolo�iitam�omsk�net�ru

Page 199: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� � ������ ��������� ����������

*!��!�/"�!�%"! �!��+- /!�!�"��!%���/-. ���*��!/�-. ,�+�� /�,0"!�"�

�� !� 02X9<4=

/233;2:<4827:3� \2@2H2 <2\X47=4� [X�7Q:[8� ~<7@3:285�7;>^ k�;7<=>;4 87Q:[�<2;4� �<7X97:3� <2\X4:6 \2@2==[7 ;=[]73:8[ 87Q:[<[8 =2 � ~[@;=[]73:82 :2Q� H:[�X> <2\=[3:6 39;; 87Q:[<[8 Q2]@[{[ ;=[]73:82 X>52 ;4=4;256=[? 8 :[? 454 4=[?=[<;7 Rk �

+5� \2@2==[{[ 37;7?3:82 n 87Q:[<[8 v�� v�� ���� vn � Rk :<7X97:3� ;4=4;4\4<[82:6|9=Q}4�

S�x� � jjnXi��

vixijj�

~[ 837; ~7<7;7==>; xi � f��� �g� i � �� � � � � n� {@7 jj� � [@=2 4\ =[<; Rk ��:2 \2@2H2 �85�7:3� H23:=>; 359H27; ~[3:2=[8Q4� <233;[:<7==[? 8 �� /7\956�

:2:>� ~<7@52{27;>7 8 @2==[; @[Q52@7� ~<48[@�: Q 59H_4; [}7=Q2; :[H=[3:4 ~[59�H27;[{[ <7�7=4��

"\873:=[� H:[ ~<4 k � � `:2 \2@2H2 NP�:<9@=2 4 ^[<[_[ 43357@[82=2� � @[Q52@7~<48[@4:3� ;[:482}4� @5� 43357@[82=4� [X[X�7=4� =2 359H2? k � �� /233;2:<482��3� 2=25[{4 4\873:=>^ ~<4X54]7==>^ 25{[<4:;[8 <7_7=4� @2==[? \2@2H4 @5� k � �8 =[<;2^ jj� 4 jj� +2577 ~<7@3:2857=> @82 {7[;7:<4H73Q4^ ;7:[@2 ~<4X54]7==[{[<7_7=4� @2==[? \2@2H4 @5� =[<;> jj�� 8 Q[:[<[? @2==2� \2@2H2 =7 38[@4:3� `Q8482�57=:=[ Q 359H2� k � ��

(7<8>? 25{[<4:; 3 :<9@[7;Q[3:6� O�n� ~[\8[5�7: 3:<[4:6 :2Q[7 <7_7=47� H:[

S�x� � �maxfjjvijj�� i � �� � � � � ng�{@7 ��Q[=3:2=:2� \2843��2� :[56Q[ [: <2\;7<=[3:4 k ~<[3:<2=3:82� ([Q2\>827:3��H:[ @2==2� [}7=Q2 @5� =7Q[:[<>^ \2@2H @[3:4{27:3� =2 [~:4;256=[; <7_7=44 4� :7;32;>;� 25{[<4:; @27: ^[<[_77 ~<4X54]7=47 Q :[H=[;9 <7_7=4��

�:[<[? 25{[<4:; ~<7@3:285�7: 3[X[? ;7:[@ ~<4X54]7==[{[ 387@7=4� \2@2H4 Q 359�H2� k � � 3 43~[56\[82=47; ~7<8[{[ 25{[<4:;2� �2 [3=[87 43357@[82==>^ ;7:[@[8<7_7=4� \2@2H4 @5� k � � ~[3:<[7= 25{[<4:;� Q[:[<>? ~<4 <28=[;7<=[; 87<[�:�=[3:=[; <23~<7@757=44 Q[[<@4=2: \2@2==>^ 87Q:[<[8 @27: ~<4X54]7==[7 <7_7=47\2@2H4� [X52@2��77 357@9��4;4 38[?3:82;4�

+5� 5�X[{[ � � 4;77: ;73:[ PfS�x� � �g � � ~<4 n � � =2 87<[�:=[3:=[;~<[3:<2=3:87 <23~<7@757=4� 43^[@=>^ 87Q:[<[8�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 {<2=:[8 /##" �~<[7Q: �� �� ������"���� �~<[7Q: ����� 4 |7@7<256=[? }7578[? ~<[{<2;;> �"=:7{<2}4���

"�!/��$/�

�� �7823:6�=[8 �� �� [�����" ����� �� �� ���� �� �[@754 4 ;7:[@> [~:4;4�\2}44� � �<9@> "=3:4:9:2 ;2:7;2:4Q4 �� /��� �[; � � "\@2:7563:8[ "=3:4:9:2;2:7;2:4Q4 �� /��� �[8[34X4<3Q� ����� �� ����������������������������������������������02X9<4= �57Q37? !8{7=6784H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75�� ��������� ��������� |2Q3� ��������� ��������� e�mail� alebab�iis�nsk�su

Page 200: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� � �

��"�(���"�!�%" ����-' � *�/"��/!�!�"� !�% "+���' ,�+��" %���"����!/�

�� */�#�. �(!&"� )��*� �"+�

�� !� 02X9<4=� �� .� *4;2@4

�� "� �7<@�Q[8>; � X>5 ~[3:<[7= 234;~:[:4H73Q4 :[H=>? 25{[<4:; <7_7=4�\2@2H4 Q[;;48[�]7<2 =2 ;2Q34;9; 8 78Q54@[8[; ~<[3:<2=3:87 Rk � ([59H7==[7 <7�_7=47 8>X4<25[36 4\ H7:><7^ 3~7}4256=[ 3Q[=3:<94<[82==>^ {2;456:[=[8>^ [X�^[@[8� Q2]@>? 4\ Q[:[<>^ 3[@7<]25 837 <7X<2 ;2Q34;256=[{[ ~2<[3[H7:2=4� M ��� .� *4;2@4 � ~<7@5[]45 X[577 ~<[3:[? 8 4\5[]7=44 234;~:[:4H73Q4 :[H=>? 25�{[<4:;� [3=[82==>? =2 ~[3:<[7=44 :[56Q[ [@=[{[ {2;456:[=[82 [X^[@2� 3[@7<]2�7{[8 37X7 =7 X[577 @89^ <7X7< 4\ M � � [X[4^ 359H2�^ :<9@[7;Q[3:6 25{[<4:;2 <28=2O�n��� 2 [:=[34:756=2� ~[{<7_=[3:6 ~[59H27;[{[ <7_7=4� 87@7: 37X� Q2Q |9=Q}4��kn

����k��� � ~<4 n � �� (<4 `:[; Q[=3:2=:2 �k \28434: :[56Q[ [: <2\;7<=[3:4~<[3:<2=3:82�

� @2==[? <2X[:7 ~[3:<[7= ;[@4|4}4<[82==>? 25{[<4:; @5� [:>3Q2=4� ~<4X54�]7==[{[ <7_7=4� 78Q54@[8[? \2@2H4 Q[;;48[�]7<2 =2 {<2|2^� 8 Q[:[<>^ ;2Q34�;256=>7 ~2<[3[H7:2=4� ^2<2Q:7<4\9�:3� [{<2=4H7==>; [:=[_7=47; 873[8 ;2Q34�;256=[{[ 4 ;4=4;256=[{[ <7X7<� % `:[;9 Q52339 [:=[34:3�� =2~<4;7<� 78Q54@[82\2@2H2 Q[;;48[�]7<2 =2 {<2|7 3 87<_4=2;4 8 9\52^ }75[H4357==[? <7_7:Q4� 4;7���7; [{<2=4H7==>? @42;7:<� (<[87@7= 2=254\ ~[3:<[7==[{[ 25{[<4:;2� ~[59H7=>935[84� =2 @54=> <7X7<� ~<4 Q[:[<>^ 25{[<4:; �85�7:3� 234;~:[:4H73Q4 :[H=>;4 4;77: 59H_9� 3Q[<[3:6 3^[@4;[3:4 8 234;~:[:4Q7 ~[ 3<28=7=4� 3 25{[<4:;2;4�~<7@5[]7==>;4 <2=77�

(93:6 8732 <7X7< {<2|2 =2^[@�:3� 8 4=:7<8257 an� bn� an � � �[{@2 ~<7@52{27�;>? 25{[<4:; @27: 59H_9� :[H=[3:6 ~<4

bnan� �k n

k� �

k��� �

{@7 Q[=3:2=:2 �k \28434: :[56Q[ [: <2\;7<=[3:4 ~<[3:<2=3:82� k � �� (<4 k � � 4k � � 87<^=�� {<2=4}2 <28=2 �� n� 4 �� n� ��ln n� 3[[:87:3:87==[�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 {<2=:[8 /##" �~<[7Q: �� �� ������"���� �~<[7Q: ����� 4 |7@7<256=[? }7578[? ~<[{<2;;> �"=:7{<2}4���

"�!/��$/�

�� �7<@�Q[8 �� "� & �������� �� ������ �������� ��" ������ ������"!���� ��� ���� ������� ��� ���� � �� �7:[@> }75[H4357==[? [~:4;4\2}44�$~<285�7;>7 343:7;>�� � �[8[34X4<3Q� ����� �>~� ��� �� �������� *4;2@4 �� .� 8��" � �" � �������� �� ������� ��������� ����" �������� ������ ������"!�� �� ��� ���� �� �<9@> XII 02?Q2563Q[? ;7]@9=2<[@=[?Q[=|7<7=}44� �7:[@> [~:4;4\2}44 4 4^ ~<45[]7=4�� �[; �� � �� C� ��������

��������������������������������������02X9<4= �57Q37? !8{7=6784H� *4;2@4 �@92<@ .2?<9:@4=[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75�� ��������� ��������� |2Q3� ��������� ���������e�mail� alebab�iis�nsk�su� gimadi�math�nsc�ru

Page 201: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� � ������ ��������� ����������

��"�(���"�!�%" ����-! � *�/"��- + � /!�!�"�,�+�� /�,�!�!�"� � �*/��"�!��-�" �0©!���"

(/�",��+���� " (������%

"�(� �[\=�Q

(93:6 I � f�� � � � �mg 4 J � f�� � � � � ng � ;=[]73:82 8[\;[]=>^ ~9=Q:[8 <2\�;7�7=4� ~<7@~<4�:4? 4 ~9=Q:[8 ~[:<7X57=4� =7Q[:[<[{[ ~<[@9Q:2 3[[:87:3:87==[�"\873:=> \2:<2:> g�i =2 <2\;7�7=47 ~<7@~<4�:4� 4 [{<2=4H7=4� di =2 [X�7;> ~<[�4\8[@3:82 8 ~9=Q:7 i � I� +5� Q2]@[{[ ~9=Q:2 ~[:<7X57=4� j � J 9Q2\2= :<7X97;>?[X�7; bj 3~<[32 ~<[@9Q:2� ,2@2=> :<2=3~[<:=>7 \2:<2:> gij � 38�\2==>7 3 :<2=3~[<�:4<[8Q[? 7@4=4}> ~<[@9Q:2 4\ ~<7@~<4�:4� i � I 8 ~9=Q: ~[:<7X57=4� j � J �

,2@2H4 <2\;7�7=4� |[<;954<9�:3� 357@9��4; [X<2\[;�

Z�x� �Xi�I

g�i xi �Xi�I

Xj�J

gijxij � min�xi���xij�

���

Xi�I

xij � bj�Xj�J

xij � dixi� i � I� j � J� ���

xij � � xi � f � �g� i � I� j � J� ���

� xij � �� xi � f � �g� i � I� j � J� ���

,@736 xi � ~7<7;7==2� 8>X[<2� <28=2� 7@4=4}7� 7354 8 ~9=Q:7 i � I [:Q<>827:3�~<[4\8[@3:8[� 4 =95� 8 ~<[:48=[; 359H27� xij � ~7<7;7==2� =2\=2H7=4�� ~[Q2\>82���2�� 3Q[56Q[ 7@4=4} ~<[@9Q:2 ~[3:285�7:3� 4\ i � I 8 j � J � (<7@~[52{2:3�� H:[ gij� =7\28434;>7 359H2?=>7 8754H4=>� ~<4=4;2��47 <28=[87<[�:=[ }75[H4357==>7\=2H7=4� 4\ [:<7\Q2 �� r� {@7 r � �� � � bj � B�n�� D��n� � di � D��n�� i � I� j � J �

������ � '� �� m � n���( �� ª � const( ��� � ª � �( B�n� � log n( D��n� �n� log n( D��n��D��n� � o�n���� log n�( r � n

�D��n� logn� /���� � �������� �� ����

�� ���� ��" ������ ����)��" ������������ ��\���� ������� �� ���3��� ������� " �� ��" O�n log� n��

������ � '� �� m � n���( �� ª � const( ��� � ª � �( B�n� � log n( B�n�2 ������)�" ������"( D��n� � n� log n( D��n� � D��n� � o�n���� log n�( r �

n�D��n�B��n� logn � /���� � �������� �� ����� ���� ��" ������ ����)��"

������������ ��\���� ������� �� � �� ���� ���3���( ��� ������� " �� ���" O�n��� log n��

"�!/��$/�

�� *4;2@4 �� .�� *57X[8 �� "�� (7<7~754}2 �� �� ������ &�������� ���������" ����� �� ������ ������������ (<[X57;> Q4X7<=7:4Q4� �>~� ��� ����29Q2�3� ������

���������������������������������������[\=�Q "82= (7:<[84H� "=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� ��[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3� ��������� ��������� e�mail� deplab�math�nsc�ru

Page 202: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� � �

,�+��� &! !���0/�,��*� ����/��0�!��� $�!��� /�,�-. &!� �� ����/-

�� .� *4;2@4� �� �� ,87<782

�23:[��77 3[[X�7=47 ~[38��7=[ \2@2H7 }7573[[X<2\=[{[ ~<[87@7=4� 8\24;[\2H7:�=>^ @7=7]=>^ 4 :[82<[[X;7==>^ [~7<2}4? 3 9H7:[; 8[\;[]=[3:4 \2@2=4� <2\=>^}7= =2 ~<7@52{27;>7 :[82<> 4 ~[:<7X5�7;>7 <739<3>� (<4 8>H4357=44 :[82<=>^~[:[Q[8 8 @7=7]=[; 8><2]7=44 4 8 359H27 [@4=2Q[8>^ }7= =2 :[82<> [@=[{[ 84@2@5� Q2]@[{[ @7?3:89��7{[ 2{7=:2 <>=Q2 8>~[5=�7:3� 935[847 3[^<2=7=4� ~[:[Q2��2:7;2:4H73Q2� ;[@756 4 <7_7=47 \2@2H4 =2^[]@7=4� }7573[[X<2\=[{[ :[82<[[X;7�=2 ~<4 935[844 <287=3:82 }7= =2 :[82<> 4 ~[5=[; <28=[~<2844 9H23:=4Q[8 <>=Q2[~432=[ 8 <2X[:7 �� (<4 `:[; X>52 43~[56\[82=2 ;2:7;2:4H73Q2� ;[@756 \2@2H4[ }4<Q95�}44 ;4=4;256=[? 3:[4;[3:4 �,&���� @5� <7_7=4� Q[:[<[? 8 =23:[��778<7;� <2\<2X[:2=[ =73Q[56Q[ `||7Q:48=>^ �~[54=[;4256=[? 35[]=[3:4� 25{[<4:;[8��

�@=2Q[ <72544 3[8<7;7==>^ ~<[4\8[@3:87==[�<>=[H=>^ [:=[_7=4? @[~93Q2�:[@=[8<7;7==[7 39�73:8[82=47 9 <2\=>^ 2{7=:[8 <>=Q2 <2\=>^ }7= =2 :[82<> [@=[�{[ 84@2� � `:[; 359H27 ~<�;[7 43~[56\[82=47 ;[@754 ,&�� 3[;=4:756=[ 8 3459=7[~<7@757==[3:4 }7=> :[82<2 @5� Q[=Q<7:=[? ~2<> 2{7=:[8�

� ~<7@52{27;[? <2X[:7 <7254\[82= @[3:2:[H=[ \@<28>? ~[@^[@ Q <7_7=4� :2Q[?\2@2H4� �37 ;=[]73:8[ ~2< 2{7=:[8 �~<[@28}[8 4 ~[Q9~2:757?� <2\X4827:3� =2 @82~[@;=[]73:82� 8 ~7<8[; ;=[]73:87 34:92}4� [X;7=2 93:<24827: [X[4^ 2{7=:[8� 8[8:[<[; ;=[]73:87 34:9}4� ~<[:48[~[5[]=2�� ,2:7; <7_27:3� ,&��� ~[357 H7{[4\X>:[Q :[82<[8� [X<2\[828_4?3� =2 ~2<2^ ~7<8[{[ ;=[]73:82� 43~[56\97:3� @5�9@[857:8[<7=4� =7@[3:2��7{[ Q[54H73:82 :[82<[8 8 ~2<2^ 8:[<[{[ ;=[]73:82�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 ~[@@7<]Q7 |7@7<256=[? }7578[? ~<[{<2;;> �"=:7{<2}4�� 4/*�# �~<[7Q: � �� ���2��

"�!/��$/�

�� *4;2@4 �� .�� *57X[8 �� "�� ,25�X[83Q4? �� �� # ������� �� ���������� ����������� ]] -� ������ ������ � � ������ ������� �7<� �� � ����� � �� ��� �� � C� ������� Goldberg A� V�� Tarjan R� E� Finding mimimum�cost circulations by successive appro�ximation �� Math� Oper� Res� ��� � V���� P� �� �����

��������������������������������������*4;2@4 �@92<@ .2?<9:@4=[84H�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 4;� �� � �[X[5782 �� /���~<� �Q2@7;4Q2 %[~:�{2� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334��:75�� ��������� ��������� |2Q3� ��������� ��������� e�mail� gimadi�math�nsc�ru

,87<782 �2345432 �2345678=2��[8[34X4<3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�95� (4<[{[82� �� �[8[34X4<3Q� �� � � /[334�� e�mail� mvz�scherb�sscc�ru

Page 203: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� � ������ ��������� ����������

�0 $���'�"����" �!%���/-. � *�/"����&! ��"� !���*� (/�*/���"/����"�

�� �� +78�:7<4Q[82� �� �� %[5[Q[5[8

(93:6 f � 87�73:87==[\=2H=2� |9=Q}4�� [~<7@757==2� =2 Rn� § � =7Q[:[<>? X73�Q[=7H=>? Q5233 \2;Q=9:>^ ~[@;=[]73:8 ~<[3:<2=3:82 Rn� ¢ � § 4 ¢ �� �� /233;2�:<4827:3� \2@2H2 }75[H4357==[{[ ~<[{<2;;4<[82=4� �&(� 8 357@9��7? ~[3:2=[8Q7�

f�x�� max� x � �¢ � Zn�� ���

�X[\=2H4; H7<7\ IA�¢� H435[ 4:7<2}4? 25{[<4:;2 A ~<4 <7_7=44 \2@2H4 ��� 3<752Q32}4[==>; ;=[]73:8[; ¢� (93:6

¢��� � fx � ��x�¢� � �g�{@7 � � =7Q[:[<2� ;7:<4Q2 8 Rn 4 � � � ([5[]4; �

� supf� � � ¢����Zn � ¢�Zng�09@7; {[8[<4:6� H:[ 25{[<4:; A � ����� ��" ����� ^' �� ���! ��� �� §� 7354@5� 5�X[{[ ¢ � § 39�73:89�: �� � � � ��� 4 ~[54=[; p�n�� =7 \2843��4? [: ¢� :2Q47�H:[ 4;77: ;73:[ 3[[:=[_7=47

IA�¢����� � p�n�IA�¢��

�:;7:4;� H:[ 8 `:[; [~<7@757=44 9H4:>82�:3� 54_6 4\;7=7=4� <752Q32}4[==[{[;=[]73:82 \2@2H4� 2 }75782� |9=Q}4� 3H4:27:3� |4Q34<[82==[?�

� @2==[? <2X[:7 =2 [3=[87 38[?3:8 <752Q32}4[==>^ ;=[]73:8 \2@2H &(� ~[59H7=�=>^ 8 �� 93:2=[857=[� H:[ 25{[<4:; ~7<7X[<2 L�Q5233[8 � 93:[?H48 @5� \2@2H &(84@2 ��� =2 [{<2=4H7==>^ ;=[]73:82^�

�=25[{4H=[7 [~<7@757=47 93:[?H48[3:4 ;[]=[ 8873:4 @5� 25{[<4:;[8 <7_7=4�\2@2H4 &( 8 57Q34Q[{<2|4H73Q[? ~[3:2=[8Q7�

=2?:4 z� � lexmax�¢ � Zn�� ���

�2;4 @[Q2\2=[� H:[ 25{[<4:;> [:37H7=4� 3 8~[5=7 <7{95�<=>;4 [:37H7=4�;4 �93:[?H48> ~<4 <7_7=44 \2@2H4 ��� =2 [{<2=4H7==>^ ;=[]73:82^�

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 INTAS �~<[7Q: ������

"�!/��$/�

�� %[5[Q[5[8 ���� ������ H���"��� �������" � �� ���" ����� ����� ����������������� �4X� ]9<=25 43357@[82=4� [~7<2}4?� �� �� N �� 3� �������� %[5[Q[5[8 ����� +78�:7<4Q[82 ���� �� � &����� � ������ �� L��������"���! � ����������� ��� ���� �� +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43357@[82=47 [~7�<2}4?� �7<� �� �� �� N �� 3� �������������������������������������������+78�:7<4Q[82 �2<4=2 �52@4;4<[8=2� �;3Q4? :2=Q[8>? 4=]7=7<=>? 4=3:4:9:��� 8�{� �;3Q� ��� ��� /[334�� :75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ������� �e�mail� kolo�iitam�omsk�net�ru

%[5[Q[5[8 �57Q32=@< �57Q32=@<[84H� �;3Q4? |45425 "=3:4:9:2 ;2:7;2:4Q44;� �� � �[X[5782 �� /��� 95� (78}[82 ��� �;3Q� ��� ��� /[334��:75� ��������� ��������� |2Q3 ��������� ��������� e�mail� kolo�iitam�omsk�net�ru

Page 204: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� � �

�" )�� /�,/!�"�-! � $��" �0�!' ,�+��" � ��,���!�"�." /! �%��&"" !! (� "��(�

���� +7;4@7=Q[

� <2X[:7 ~<7@52{27:3� ;7:[@ @5� ~[3:<[7=4� <752Q32}4? ~[54:[~2 [X�7? \2@2H4[ =2\=2H7=4�^� 8~7<8>7 ~[3:2857==[? 8 � 4 3[3:[��7? 8 ;4=4;4\2}44 �54X[ ;2Q34�;4\2}44� 54=7?=[{[ |9=Q}4[=252 fA�h� �

Pni�� aih�i�� \2@2==[{[ =2 ~<[4\8[56=[; ~[@�

;=[]73:87 H 34;;7:<4H73Q[? {<9~~> ~[@3:2=[8[Q Sn� ,@736 A � aij � ~<[4\8[56�=2� 87�73:87==2� n n ;2:<4}2� 2 h � ~<[4\8[56=2� ~[@3:2=[8Q2 4\ H� �23:=>;4359H2�;4 ~<487@7==[? \2@2H4 �85��:3� \2@2H4 [ =2\=2H7=4�^ �H � Sn�� Q[;;48[��]7<7 �H 3[8~2@27: 3 ;=[]73:8[; 837^ }4Q5[8 @54=> n 4\ Sn� 4 4^ <2\54H=>7 ;[�@4|4Q2}44� (<7@52{27;>? ;7:[@ X2\4<97:3� =2 43~[56\[82=44 3456=[ <2\<7_4;>^359H278 ~<487@7==[? \2@2H4� ([@ 3456=[ <2\<7_4;>; 359H27; ~[=4;27:3� \2@2H2 3:2Q4;4 [{<2=4H7=4�;4 =2 84@ `57;7=:[8 8^[@=[? ;2:<4}> A� 8>~[5=7=47 Q[:[<>^{2<2=:4<97: @[3:4]7=47 [~:4;9;2 |9=Q}4[=252 fA =2 \2<2=77 \2@2==[? ~[@3:2=[8�Q7 h� 4\ H� ([@<[X=>? [X\[< [ 3456=[ <2\<7_4;>^ 359H2�^ \2@2H4 [ Q[;;48[�]7<7~<487@7= 8 �� �� ([@ <752Q32}47? ~[@3:2=[8[H=[{[ ~[54:[~2 PH � [~<7@75�7;[{[ H�~[=4;27:3� ~[54:[~� ;=[]73:8[ 87<_4= Q[:[<[{[ 3[@7<]4: 8 Q2H73:87 ~[@;=[]73:82837 87<_4=> PH � 4 <2\;7<=[3:6 Q[:[<[{[ 3[8~2@27: 3 <2\;7<=[3:6� PH � (<7@5[]7=�=>? ;7:[@ <7254\[82= @5� 935[84? 3456=[? <2\<7_4;[3:4 34;;7:<4H73Q[? \2@2H4 [Q[;;48[�]7<7� [~432==>^ 8 <2X[:2^ �� ��

/2X[:2 8>~[5=7=2 ~<4 |4=2=3[8[? ~[@@7<]Q7 INTAS �~<[7Q: ������

"�!/��$/�

�� +��� �9~<9=7=Q[ ������ # ������"� ������� ����� �� ���! � ��� �������� %4X7<=7:4Q2 ��� ������

�� R�E� Burkard� B� Klinz� R� Rudolf� ������ Perspectives of Monge properties inoptimization� Discrete Appl� Math� ,�� �������

�� R�E� Burkard� V�G� De«¬neko � R� van Dal � J�A�A� van der Veen� G�J� Woeginger� ������Well�solvable special cases of the TSP� a survey� Report�Institute of Mathematics� Techn�Univ� Graz� N ��� �����

�� F�Supnick� ������ Extreme Hamiltonian lines Annals of Math� � ����� ��

�� K� Kalmanson� ������ Edgeconvex circuits and the traveling salesman problem� Cana�dian Journal of Mathematics �,� � �� � �

��������������������������������������+7;4@7=Q[ �4:254? �4^2?5[84H� "=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 ��� 0752<934�95� �9<{2=[82� ��� �4=3Q� �� ��� 0752<936�:75� ��� ��� ���������� |2Q3 ��� ��� ���� ����� e�mail� demidenko��im�bas�net�by

Page 205: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

� � ������ ��������� ����������

(��!+!�"! � �/!+�!� ��+�-. � *�/"���� + � ,�+��"� /��&! � �0�"! /��(/!+! !�"�

*� �� +�X4=� �� �� %[<X9:

/233;2:<4827:3� \2@2H2 [ <2=}7

f� � max� nXj��

cjxjjnXj��

ajxj � b� x � f � �gn�� ���

(<7@~[52{27:3�� H:[ cj 4 aj � =7\28434;>7 [@4=2Q[8[ <23~<7@757==>7 =2 �� 359�H2?=>7 8754H4=> 3 ~[H:4 87\@7 ~[5[]4:756=[? ~5[:=[3:6� p�x�� ([357 <7254\2�}44 359H2?=>^ 8754H4= cj� aj [:=[_7=4� cj�aj ~7<7=9;7<[8>82�:3� :2Q� H:[X>cj�aj � cj���aj��� (<�;[? ]2@=>? 25{[<4:; 43^[@4: 4\ =2H256=[{[ @[~93:4;[{[<7_7=4� � � � � � � � 4 3:<[4: ~<4X54]7==[7 <7_7=47� ~[52{2�� 8 ~[<�@Q7 9X>82=4� [:�=[_7=4? cj�aj� xj � �� 7354 `:[ =7 =2<9_27: @[~93:4;[3:4� 4 xj � 8 ~<[:48=[;359H27� ~<[}733 \287<_27:3� ~<4 ~[59H7=44 ~[357@=7{[ @[~93:4;[{[ <7_7=4�� +8[?�3:87==>? ]2@=>? 25{[<4:; 43^[@4: 4\ =2H256=[{[ =7@[~93:4;[{[ <7_7=4� ��� � � � � ��4 3:<[4: ~<4X54]7==[7 <7_7=47� ~[52{2� xj � 8 ~[<�@Q7 8[\<23:2=4� [:=[_7=4?cj�aj @[ ~[59H7=4� ~7<8[{[ @[~93:4;[{[ <7_7=4�� �2Q4; [X<2\[;� ~<�;[7 ]2@=[7<7_7=47 ;[]7: 3[@7<]2:6 =73Q[56Q[ ;23348[8 7@4=4}� <2\@757==>^ =95�;4� 2 @8[?�3:87==[7 <7_7=47 837{@2 3[3:[4: 4\ [@=[{[ �=2H256=[{[� ;233482 7@4=4}� +8[?3:87=�=[7 ]2@=[7 <7_7=47 837{@2 =7 59H_7 ~<�;[{[� ~<4H7; 8 =24^9@_4^ 359H2�^ [=[;[]7: X>:6 ~<[4\8[56=[ ~5[^4;�

(93:6 An � ~<4X54]7==>? 25{[<4:; <7_7=4� \2@2H4 Q[;X4=2:[<=[? [~:4;4�\2}44 3 n ~7<7;7==>;4� @2��4? \=2H7=47 }7578[? |9=Q}44 fAn � f� � [~:4;256=[7\=2H7=47� 09@7; {[8[<4:6� H:[ An 4;77: 234;~:[:4H73Q9� ~[{<7_=[3:6 t �t � ��7354 P�f� � fAn � t� ��

n���

+2577 ~<7@~[52{27:3�� H:[ ~<282� H23:6 b ;7=�7:3� ~<[~[<}4[=256=[ H4359 ~7<7�;7==>^ n� :�7� b � �n� +[Q2\2=2 357@9��2�������� _ ��

� �Z �

�p���

Z �

�tp�x�dx d�� ���

�� ��"��� � ��� ����� !���� ��������� ��" ������ <+= ���� � ��������� ��� ������� �� t�

�59H2? <28=[;7<=[{[ <23~<7@757=4� �p�x� � �� X>5 4\9H7= 8 �� $35[847 ��� 8`:[; 359H27 4;75[ 84@ � � ��� � t���

"�!/��$/�

�� +�X4= *���� %[<X9: ���� ������ `���� ��������� ��" ������ � ����� ������ ���� �4X� ]� 4=@93:<� ;2:� � �� N����� � C� ������

��������������������������������������+�X4= *7==2@4? �4Q[52784H� %[<X9: �57Q32=@< �=:[=[84H����(7:7<X9<{3Q4? `Q[=[;4Q[�;2:7;2:4H73Q4? 4=3:4:9: /���95� �2?Q[83Q[{[ �� ���(7:7<X9<{� ������� /[334��:75��|2Q3 ��������������� e�mail� diubin�emi�spb�su� korbut�emi�spb�su

Page 206: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� � �

/!�!�"! ,�+��" /�,�!�!�"� �!,����*� (/�",��+����

�� �939~X278� �� �32=Q95[82

�=[{47 :7^=4Q[�`Q[=[;4H73Q47 \2@2H4� 38�\2==>7 3 <2\;7�7=4; ~<7@~<4�:4? ~[~7<7<2X[:Q7 ~[ Q<4:7<4� ;4=4;9;2 39;;2<=>^ \2:<2: 38[@�:3� Q \2@2H7 <2\;7�7�=4� 84@2� �2?:4 ;4=4;9;

L�x� �Xi��

Xj�J

�cijxij �Xi��

�i�xi� �Xi��

­i � ��� ���

~<4 [{<2=4H7=4�^ Xi�I

xij � bj� j � J� ���

Xi�J

xij � xi � �i�ti� � ��i� i � I� ���

� t � Ti� i � I� ���

xij � � i � I� j � �� �� � � � � n ���

{@7 x � jxijjm�n � I � f�� �� � � � �mg� �i�ti� � =7~<7<>8=2� 8[\<23:2��2� |9=Q}4� ~[ ti ��i�xi� � 8>~9Q52� 8=4\ |9=Q}4�� Ti � ;2Q34;256=[7 @[~93:4;[7 8<7;� ~7<7<2X[:Q4 3>�<6� i�{[ \28[@2� ­i� �cij � bj � const� +5� <7_7=4� 3|[<;954<[82==[? \2@2H4 ~<4;7=�7:�3� ;7:[@ ~[357@[82:756=>^ <23H7:[8 �� (� �7<7=4=2 �� �� +5� `:[? }754 =2 Q2]@[;

~[@;=[]73:87 � � I [~<7@757=2 |9=Q}4� P ��� � minR���

�Pi��

Pj�J�cijxij �

Pi���i�xi� � ­i

��

{@7 R��� � ;=[]73:8[ @[~93:4;>^ <7_7=4? \2@2H4� 3 \2@2==>;4 [{<2=4H7=4�;4������� ~<4 \2;7=7 ;=[]73:82 I =2 � 4 43^[@=2� \2@2H2 |[<;954<97:3� 357@9��4;[X<2\[;�

�<7X97:3� [~<7@754:6 ~[@;=[]73:8[ �� � I� =2 Q[:[<[; P ��� @[3:4{252 X> 38[7{[=24;7=6_7{[ \=2H7=4� P ����� :� 7� :<7X97:3� =2?:4 P ���� � min

��IfP ���g�

+[Q2\>827:3� @[3:2:[H=[7 935[847 ~<4;7=4;[3:4 ;7:[@2 ~[357@[82:756=>^ <23�H7:[8� :�7� S���� ��� � P �����P �����P ��� ����P ������� � @5� 5�X>^ ��� �� � I�(<7@52{27:3� ;7:[@ =2^[]@7=4� @5� Q2]@[{[ � � I \=2H7=4� P ���� \2Q5�H2��4?�3� 8 \2;7=7 ~[3<7@3:8[; Q93[H=[�54=7?=[? 2~~<[Q34;2}44 |9=Q}4? �i�ti�� �i�xi�� 3~[357@9��4; ~7<7^[@[; Q :<2=3~[<:=[? \2@2H7 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��

"�!/��$/�

�� 2={7 �� *� � �939~X278 �� ���� � ;������������ ���� ����" ������ �����)��"� #<9=\7� "54;�

�� �7<7=4= �� (�� .2H2:9<[8 �� /� ������ H��� ������ �� ���������� �� ���� ������ ��� � ����� � ����)��� ������� ��� �Q[=[;4Q[�;2:7;2:4H73Q47;7:[@>� � �>~���� ��� �29Q2� 3� ������ �

���������������������������������������939~X278 �;2={756@4� �32=Q95[82 �2?<2;�"=3:4:9: ;2:7;2:4Q4 �2}4[=256=[? 2Q2@7;44 =29Q %><{>\3Q[? /73~9X54Q4�~<� �9?� ���2� 04_Q7Q���� %><{>\3:2=� :� ��������e�mail� ajusupbaev�hotbox�ru� May as�mail�ru

Page 207: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

�� ������ ��������� ����������

/!�!�"! +"�%/!��-. �"�"��%��-." �"�"�$���-. ,�+�� /�,�!�!�"� �� �!��.

*� *� ,2X9@3Q4?� +� �� #454;[=[8

/233;2:<482�:3� \2@2H4 <2\;7�7=4� 8\24;[38�\2==>^ [X�7Q:[8 =2 37:4� 8 9\52^Q[:[<[? <23~[5[]7=> |4Q34<[82==>7 [X�7Q:>� �[8>7 [X�7Q:> 38�\2=> 3 |4Q34�<[82==>;4 4 <2\;7�2�:3� 8 9\52^� ,2@2=> ;2Q34;256=[ @[~93:4;>7 <233:[�=4��"3~[56\9�:3� ;4=4;2Q3=>? 454 ;4=439;;=>? Q<4:7<44�

(93:6 |4Q34<[82==>7 [X�7Q:> <23~[5[]7=> 8 9\52^ V � fv�� ���� vmg =7Q[:[<[?37:4� 2 x�� ���� xn � V � ;73:2 <2\;7�7=4� =[8>^ [X�7Q:[8� �7<7\ wij 4 vjk [X[\=2H4;9@756=>7 3:[4;[3:4 38�\7? |4Q34<[82==[{[ [X�7Q:2 i 4 <2\;7�27;[{[ j� 2 :2Q]7=[8>^ [X�7Q:[8 j 4 k ;7]@9 3[X[? 3[[:87:3:87==[� �7[X^[@4;[ =2?:4 <2\;7�7=47�;4=4;4\4<9��77 54X[ ;2Q34;256=9� 38�\6� 54X[ 39;;2<=9� 3:[4;[3:6 38�\7?�

max� max��j�k�n

vjkd�xj� xk�� max��i�m���j�n

wijd�vi� xj��� min ���X��j�k�n

vjkd�xj� xk� �X

��i�m

X��j�n

wijd�vi� xj�� min� ���

9@[857:8[<���77 [{<2=4H7=4�;�

d�xj� xk� � bjk� � � j � k � n ���

d�vi� xj� � cij � � � i � m� � � j � n� ���

{@7 bjk 4 cij � ;2Q34;256=[ @[~93:4;>7 <233:[�=4� ;7]@9 3[[:87:3:89��4;4 [X��7Q:2;4� d��� �� � @54=2 Q<2:H2?_7{[ ~9:4�

� �� � <233;2:<4825436 \2@2H4 <2\;7�7=4� 8 =7~<7<>8=[? ~[3:2=[8Q7 �[X�7Q:>;[{9: <2\;7�2:63� =2 @9{2^� =2 @<78[84@=[? 37:4� � <2X[:7 � ~<7@5[]7= ~[54=[;4�256=>? 25{[<4:; @5� <7_7=4� \2@2H4 ���� ���� ���� 8 � ~<[87@7=[ 387@7=47 ~[@[X=>^\2@2H 3 Q<4:7<47; ��� 454 ��� Q \2@2H7 54=7?=[{[ ~<[{<2;;4<[82=4��

� @@[Q52@7 <233;2:<482�:3� \2@2H4 8 @43Q<7:=[? ~[3:2=[8Q7� �2 ~<[4\8[56=[?37:4 \2@2H4 �85��:3� NP�:<9@=>;4� (<7@5[]7= ~[54=[;4256=>? 25{[<4:; <7_7�=4� \2@2H4 ���� ���� ��� =2 @7<787� +5� ~<[4\8[56=[? 37:4 <2\<2X[:2=> 25{[<4:;>87:87? 4 {<2=4} <7_7=4� \2@2H ���� ���� ��� 4 ���� ���� ���� 8 Q[:[<>^ =4]=47 [}7=�Q4 8>H435��:3� 3 43~[56\[82=47; <7\956:2:[8 4\ �� �� (<[87@7= 8>H4354:756=>?`Q3~7<4;7=:�

/2X[:2 ~[@@7<]2=2 {<2=:[; INTAS �~<[7Q: ������

"�!/��$/�

�� ,2X9@3Q4? *� *�� #454;[=[8 +� �� �� �� # ������� ��� � ���� ������ �����������)��" �� �"�� �<9@> XII 02?Q2563Q[? ;7]@9=2<[@=[? Q[=|7<7=}44 ��7:[�@> [~:4;4\2}44 4 4^ ~<45[]7=4��� "<Q9:3Q� ���� c� �� ������� Erkut E�� Francis R� L�� Lowe T� J�� Tamir A� ������ Equivalent mathematicalprogramming formulations of monotonic tree network location problems� OperationalResearch� V� ��� N �� p� ����������������������������������������������,2X9@3Q4? *7==2@4? *<4{[<6784H� #454;[=[8 +;4:<4? �257<6784H��;3Q4? |45425 "=3:4:9:2 ;2:7;2:4Q4 4; �� ��[X[5782 �� /���95� (78}[82� ��� �;3Q� ��� ��� /[334�� :75� ��������� �������|2Q3 ��������� ������� e�mail� zabudsky�iitam�omsk�net�ru� fdv�iitam�omsk�net�ru

Page 208: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� ���

% ,�+��! � ��"0� )�!� �!,��"�"�������!���!

�� (� "5678� �� �� �2578=4=

(93:6 V � Q[=7H=[7 ;=[]73:8[� jV j � n� $� ���� ���� ��� �� =2 ;=[]73:87V =2\>827:3� 37;7?3:8[ A ~[@;=[]73:8 ;=[]73:82 V � 9@[857:8[<���4^ 2Q34[;7��A � A� A� � A� � A� � A� �=[]73:82 37;7?3:82 A =2\>82�:3� ���� ������2 ;=[]73:82 37;7?3:82 �V n A � ��� ����� ���! ����� ^������ =2\>82�:3�;4=4;256=>7 ~[ 8Q5�H7=4� \28434;>7 ;=[]73:82� �7;7?3:8[ 837^ }4Q5[8 343:7;>=7\28434;[3:4 [X[\=2H4; E�

/233;2:<4827:3� 357@9��2� \2@2H2 Q[;X4=2:[<=[? [~:4;4\2}44�

maxfjAj � A � Ag� ���

�H784@=[� \2@2=47 343:7;> =7\28434;[3:4 <28=[3456=[ \2@2=4� {4~7<{<2|2G � �V� E�� <7X<2 Q[:[<[{[ 8\24;=[�[@=[\=2H=[ 3[[:87:3:89�: }4Q52; 343:7;>��=[]73:8[ 87<_4= U � V {4~7<{<2|2 G � �V� E� =2\>827:3� ���� ����� 7354E �� U @5� 5�X[{[ E � E� �[{@2 \2@2H2 ��� ;[]7: X>:6 3|[<;954<[82=2 Q2Q \2@2H2~[43Q2 =24X[56_7{[ =7\28434;[{[ ;=[]73:82 87<_4= {4~7<{<2|2� +5� ~<4X54]7=�=[{[ <7_7=4� `:[? \2@2H4 ~<7@5[]7= 82<42=: ]2@=[{[ 25{[<4:;2� Q[:[<>? ;[]=[<233;2:<482:6 Q2Q [X[X�7=47 25{[<4:;2� 43357@[82==[{[ 8 <2X[:7 ��

(93:6 E�v� � fE � E j v � Eg � ;=[]73:8[ 837^ 4=}4@7=:=>^ 87<_4=7 v <7X7<�C����� ����� {4~7<{<2|2 =2\[87; 8754H4=9 d�v� � jE�v�j� �X[\=2H4; 3<7@=��3:7~7=6 {4~7<{<2|2 d �

Pv�V

d�v��n�

������� ������ ������� ������� ������������ ������� �� ������ �� �������������� ������� ����������!

jSojjSgj �

d� ��

� ���

�� So" �������#��� �������� � Sg" �������� ��������� ������ ����������

� 359H27� Q[{@2 G � [X>Q=[87==>? {<2|� [}7=Q2 ��� 3[8~2@27: 3 4\873:=[? [}7=�Q[?� ~[59H7==[? 8 ��

"�!/��$/�

�� Halld orsson M� M�� Radhakrishnan J� ������ Greed is good� Approximating independentsets in sparse and bounded�degree graphs� Algorithmica V� ��� p� ��������

��������������������������������������"5678 �4Q:[< (7:<[84H� �;3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�2�� ����� �;3Q� ��� �� /[334�� :75� ��������� ���� ����e�mail� iljev�iitam�omsk�net�ru�

�2578=4= �=:[= �:7~2=[84H� �;3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� �4<2 ��2� �;3Q� ��� ��� /[334�� :75� ��������� ���������e�mail� talants�rambler�ru

Page 209: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����������

� �$�!�������"" �!&! ��"� !��-. �!/�"� $ ���*�*/���"%��/!."�+!%���' �%�"� )��' �/���(�/���' ,�+��"

�� %� %<28}[8� !� �� 9Q_4=

(7<8>; [3=[8=>; <7\956:2:[;� [:=[3��4;3� Q 8[~<[39 39�73:8[82=4� r�=7}7�5[H4357==>^ 87<_4= ;=[{[{<2==4Q2 M��� n� :<7^4=@7Q3=[? 2Q34256=[? \2@2H4 [ =2�\=2H7=4�^ ~[<�@Q2 n� �845236 357@9��2� :7[<7;2 �� @5� 5�X[{[ H4352 r � f�� �� ������ �n��g 4 :[56Q[ @5� =7{[� 9 ;=[{[{<2==4Q2M��� n� 39�73:89�: r�=7}75[H4357==>787<_4=> �:� 7� 87<_4=>� H435[ @<[X=>^ Q[;~[=7=: 9 Q[:[<>^ <28=[ r��

�:[<>; 82]=>; <7\956:2:[; 3H4:27:3� :7[<7;2 �� @5� 5�X[{[ =2:9<256=[{[H4352 q =2?@9:3� }75>7 m�n� k� ai �i � Nm�� bj �j � Nn�� ct �t � Nk� :2Q47� H:[ ;=[{[�{<2==4Q M�a� b� c� � fx � jjxijtjjm�n�k � Pn

j��

Pkt�� xijt � ai �i � Nm�

Pmi��

Pkt�� xijt �

bj �j � Nn�Pm

i��

Pnj�� xijt � ct �t � Nk� xijt � ��i� j� t� � Nm Nn Nkg :<7^4=@7Q3�

=[? 2Q34256=[? :<2=3~[<:=[? \2@2H4 ~[<�@Q2 m n k 3[@7<]4: =7}75[H4357==9�87<_4=9� =7Q[:[<>7 Q[;~[=7=:> Q[:[<[? �85��:3� =73[Q<2:4;>;4 @<[X�;4 3[ \=2�;7=2:757;� =7 ;7=6_4; q� ,@736Np � f�� �� ���� pg� a � �a�� a�� ���� am�� b � �b�� b�� ���� bn��c � �c�� c�� ���� ck��

Pmi�� ai �

Pnj�� bj �

Pkt�� ct�

"\873:=[ �� H:[ 87<_4=2 ;=[{[{<2==4Q2 M�a� b� c� ~[<�@Q2 m n k 3[@7<]4:=7 X[577 H7; m� n� k � � ~[5[]4:756=>^ Q[;~[=7=:�

(93:6 r � Nm�n�k��� �7<_4=9 ;=[{[{<2==4Q2 M�a� b� c� ~[<�@Q2 mn k� [~<7�@757==[{[ }75[H4357==>;4 87Q:[<2;4 a� b 4 c� X9@7; =2\>82:6 r�=7}75[H4357==[?�7354 [=2 3[@7<]4: <[8=[ r @<[X=>^ Q[;~[=7=:�

�8:[<2;4 ~[59H7= 357@9��4? <7\956:2:�������� �<7@4 ;=[{[{<2==4Q[8 M�a� b� c� :<7^4=@7Q3=[? 2Q34256=[? :<2=3�

~[<:=[? \2@2H4 ~[<�@Q2 n n k� n � k � �� [~<7@75�7;>^ }75[H4357==>;487Q:[<2;4 a� b 4 c� 39�73:89�: ;=[{[{<2==4Q4� 9 Q2]@[{[ 4\ Q[:[<>^ =2?@9:3� r�=7}75[H4357==>7 87<_4=> @5� 5�X[{[ H4352 r � f�� �� �� ���� �n� k � �g 4 :[56Q[ @5�=7{[�

([59H7=> @[3:2:[H=[ :[H=>7 [}7=Q4 3=4\9 @5� [~<7@757=4� r�=7}75[H4357==>^87<_4= :2Q4^ ;=[{[{<2==4Q[8� (<[87@7=2 :2Q]7 ^2<2Q:7<4\2}4� =7Q[:[<>^ Q5233[8r�=7}75[H4357==>^ 87<_4=�

"�!/��$/�

�� %<28}[8 �� %�� %<28}[8 �� ��� 9Q_4= !� �� �� � # �� � ������ ��������� ������������� ������� ��� �� ������� ������ � ��������"� �73}i ���0752<93i� �7<� |i\��;2:� =289Q� N �� C� �������� "564H78 �� (�� �78H7=Q[ �� �� ������ # ������� ������ ������������� ���������� ��� ���� ������� ����� %[;X4=2:[<=[�25{7X<24H73Q47 ;7:[@> 8 ~<4Q52@=[?;2:7;2:4Q7� *[<6Q4?� **$� �� �������� !;754H78 �� ��� %[825e8 �� ��� %<28}[8 ��%� ������ ������������( �����(����������"� ��� �29Q2���������������������������������������%<28}[8 �4^245 %[=3:2=:4=[84H� 9Q_4= !8{7=4? �257=:4=[84H��"�" �4=`Q[=[;4Q4 /73~9X54Q4 0752<936�95� �5284=3Q[{[� �� Q� �� �4=3Q� �� ��� 0752<936� :75� ��� ��� ����������e�mail� email�me�yandex�ru� Lukshin�bsu�by

Page 210: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

������ ��������� ���������� ���

�&!�%� (�*/!�����" */�+"!����*� � *�/"���+ � ,�+��" � P ��!+"��!

�� �� 4=Q7<

/233;[:<4; \2@2H9 [ p������ =2 ;4=4;9;� (93:6 cij � @5� 837^i � I � f�� �� � � � �mg� j � J � f�� �� � � � � ng� � p � m� �2?:4 ;4=4;9; |9=Q}44

f�X� �Xj�J

mini�X

cij ���

~[ 837; X � I :2Q4;� H:[ jXj � p� "\873:=[� H:[ `:2 \2@2H2 NP�:<9@=2 ��+5� ~<4X54]�7==[{[ <7_7=4� \2@2H4 ��� ~<7@5[]7= 82<42=: {<2@47=:=[{[ 25{[�

<4:;2� Q[:[<>? =2H4=27: 3 ;=[]73:82 I 4 =2 Q2]@[; _2{7 9@25�7: `57;7=: 4\ :7�Q9�7{[ ;=[]73:82 3 :7;� H:[X> ~[59H4:6 =24;7=6_77 \=2H7=47 |9=Q}44�

/233;[:<4; 37;7?3:8[ ;=[]73:8 F � fF�� F�� � � � � Flg� {@7 Q2]@[7 ;=[]73:8[4;77: [~<7@75�7==>? 873 d�F � � � 09@7; 3H4:2:6� H:[ F 3[@7<]4: 837 �m � ���`57;7=:=>7 ~[@;=[]73:82 I 4 =7 3[@7<]4: I� +5� 5�X[{[ ;=[]73:82X � I ~[5[]4;

f�X� �X

F�F�X�F

d�F �� ���

�57@9��2� :7[<7;2 93:2=2854827: 38�\6 ;7]@9 [~<7@757=4�;4 |9=Q}44 ;=[]73:8��� 4 ����

������ �� ���� ������ �������� f �������� ������� ������� ���������$���%� � p������� &'(� �� �� ������� ����� �$�������� ��������� F �� �����l � mn� %�� ������ f ����������� � ���� &)(�

� :7<;4=2^ 37;7?3:82 F ~[59H7=2 {2<2=:4<[82==2� [}7=Q2 ~[{<7_=[3:4 {<2@4�7=:=[{[ 25{[<4:;2 @5� \2@2H4 [ p�;7@42=7�

������ �� *���# Sg + �������� ����%����� ���������� ���������� � So +�������#��� ������� $���%� � p�������� � � min

F�F�jF j�m��d�F �� � � max

F�Fd�F �� ,���

f�So�f�Sg�

� �m� p���m� p�� � ��m�p � ��m��p����� ���

�� �x�� � max� � x��� <�@7 359H278 [}7=Q2 ��� [Q2\>827:3� 59H_7?� H7; [}7=Q2� ~[59H7==2� 8 ��

"�!/��$/�

�� O�Kariv� S� L� Hakimi ������ An algorithmic approach to network location problems�II� The p�medians� SIAM Journal of Applied Mathematics �,'�(� ������ ��� ��(� "5678 ������ #���� ����� �� ��������� !������ �� �� ��" ������ ������������ ��������"���� �������� +43Q<7:=>? 2=254\ 4 43357@[82=47 [~7<2}4?��7<4� �- �'�(� ���� �

�������������������������������������� 4=Q7< �4Q[52? �257<6784H� �;3Q4? {[39@2<3:87==>? 9=487<34:7:�~<� �4<2� ��2� �;3Q� ��� ��� /[334�� :75� �������� ���������e�mail� nick�linker�rambler�ru

Page 211: Дискретный анализ и исследование операций (DAOR'02): Материалы конференции (Новосибирск, 24-28 июня 2002 г.)

��� ������ ��������� ����������

� ��n� ����!&! ��"� !��-. �!/�"��. ���*�*/���"%��/!."�+!%���' �%�"� )��' ,�+��" � ��,���!�"�.

!� �� 9Q_4=

"\873:=[ �� H:[ 87<_4=2 ;=[{[{<2==4Q2 M��� n� :<7^4=@7Q3=[? 2Q34256=[? \2�@2H4 [ =2\=2H7=4�^� \2@2==[{[ 935[84�;4

nXi��

nXj��

xijt � � �t � Nn�nXi��

nXt��

xijt � � �j � Nn�nXj��

nXt��

xijt � � �i � Nn�

xij