ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

ÀÝÐÎÊÎÑÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÏÐÈÁÎÐÎÑÒÐÎÅÍÈß

А. Н. Павлов, Б. В. Соколов

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ

НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Учебное пособие

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã2006

2

УДК 519.7

ББК 22.18

П12

Павлов, А. Н., Соколов, Б. В.

П12 Принятие решений в условиях нечеткой информации: учеб. пособие /

А. Н. Павлов, Б. В. Соколов; ГУАП – СПб., 2006 – 72 с. ISBN 5-8088-0162-1

Излагаются основные положения теории нечетких множеств и отноше-ний, арифметические операции над нечеткими числами и операции по их срав-нению. На простейших примерах иллюстрируется применение формализмовтеории нечетких множеств в задачах принятия решений. Проводится классифи-кация нечетких мер, рассматриваются наиболее конструктивные меры Сугено иЦукамото, нечеткий интеграл и на иллюстративных примерах демонстрируетсяприменение теории нечетких мер для принятия решений в задачах выбора.

Материалы, изложенные в учебном пособии, могут быть полезны специа-листам, занимающимся вопросами принятия решений в условиях существеннойнеопределенности, в учебном процессе по дисциплинам системно-кибернети-ческой направленности, а также курсовом и дипломном проектировании при под-готовке инженеров-системотехников, инженеров-математиков и других специа-листов по управлению сложными организационно-техническими системами.

Рецензенты:

кафедра автоматизированных систем управления

войсками Военно-космической академии А. Ф. Можайского;

доктор технических наук, профессор Ю. С. Мануйлов

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

© ГОУ ВПО «Санкт-Петербургский

государственный университет

аэрокосмического приборостроения», 2006

ISBN 5-8088-0162-1

3

ВВЕДЕНИЕ

Образно говоря, теории о при-

роде должны отражать то, что

природа «пишет» скорее произ-

вольными мазками, чем шари-

ковой ручкой.

Л. А. Заде

Наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта яв-

ляется, пожалуй, способность принимать рациональные решения в об-

становке неполной и нечеткой информации. Разработка моделей при-

ближенных рассуждений человека и использование их в сложных

технических системах будущих поколений представляет сегодня одну

из важнейших проблем науки. Начало в этом направлении сделано бо-

лее 35 лет тому назад профессором Калифорнийского университета (Бер-

кли) Лотфи А. Заде. В этом плане любопытна точка зрения Л. Заде: «Я

считаю, что излишнее стремление к точности стало оказывать действие,

сводящее на нет теорию управления и теорию систем, так как оно при-

водит к тому, что исследования в этой области сосредоточиваются на

тех и только тех проблемах, которые поддаются точному решению. В

результате многие классы важных проблем, в которых данные, цели и

ограничения являются слишком сложными или плохо определенными

для того, чтобы допустить точный математический анализ, оставались

и остаются в стороне по той причине, что они не поддаются математи-

ческой трактовке. Для того чтобы сказать что-либо существенное для

проблем подобного рода, мы должны отказаться от наших требований

точности и допустить результаты, которые являются несколько размы-

тыми или неопределенными» [1].

Основная идея Лотфи Заде состояла в том, что человеческий спо-

соб рассуждений, опирающийся на естественный язык, не может быть

описан в рамках традиционных математических формализмов. Этим

формализмам присуща строгая однозначность интерпретации, а все, что

связано с использованием естественного языка, имеет многозначную

4

интерпретацию. Теория нечетких множеств (Fuzzy Sets, «fuzzy» – озна-

чает «нечеткий, размытый, пушистый») готова предоставить необходи-

мый аппарат, чтобы помочь решению этой трудной задачи.

Идеи Заде и его последователей находят применение при создании

систем, понимающих тексты на естественном языке, при создании пла-

нирующих систем, опирающихся на неполную информацию, при обра-

ботке зрительных сигналов, при распознавании образов, при управле-

нии техническими, социальными и экономическими системами, в

системах искусственного интеллекта и робототехнических системах.

Л. Заде подчеркивает: «По мере возрастания сложности системы наша

способность формулировать точные, содержащие смысл утверждения

о ее поведении уменьшается вплоть до некоторого порога, за которым

точность и смысл становятся взаимоисключающими» [1].

Можно выделить три периода в становлении, развитии и практичес-

ком применении теории нечетких множеств. Первый период, который

обычно связывают с концом 60-х – началом 70-х годов, характеризует-

ся становлением теоретических основ теории нечетких множеств, из-

ложенных в статьях Л. Заде. Второй период приходится на 70–80-е годы,

когда появились первые практические результаты применения создан-

ной теории. Третий период с конца 80-х годов до настоящего времени.

Этот период характеризуется бумом практического применения нечет-

кой теории в различных сферах науки и техники.

Новые подходы позволяют расширить сферу приложения систем

автоматизации за пределы применимости классической теории.

5

1. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯВ МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

1.1. Операции над нечеткими множествами и отношениями

1.1.1. Понятие нечеткого множества

Определение 1. Пусть E – универсальное множество, x – эле-

мент E. Нечетким множеством А в Е называется множество упоря-

доченных пар A = {μA (х)/х}, где μ

A(х) – характеристическая функ-

ция принадлежности (или просто функция принадлежности),

принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множе-

стве M (например, M = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принад-

лежности элемента x подмножеству A, μA: Е → М – функция принад-

лежности, отображающая Е в множество М. Если М = {0,1}, то A явля-

ется обычным множеством и его функция принадлежности совпадает с

характеристической функцией множества А. В дальнейшем будем пред-

полагать, что M = [0,1].

П р и м е р ы

Пусть E = {x1, x

2, x

3, x

4, x

5 }, M = [0,1]; A – нечеткое множество, для

которого μA(x1) = 0,3; μA(x2) = 0; μA(x3) = 1; μA(x4) = 0,5; μA(x5) = 0,9.

Тогда A можно представить в виде:

1) A = {0,3/x1; 0/x

2; 1/x

3; 0,5/x

4; 0,9/x

5 }, или

2) A = 0,3/x1 + 0/x2 + 1/x3 + 0,5/x4 + 0,9/x5, или

3)

З а м е ч а н и е. Здесь знак «+» не является обозначением операции

сложения, а имеет смысл объединения.

Нечеткое множество A называется п у с т ы м, если μA(х) = 0, x E∀ ∈ .

Носителем нечеткого множества A называется множество вида

=Ax

1x

2x

3x

4x

5

3,0 0 1 5,0 9,0

6

S(A) = supp(A) = {х / х ∈ E, μA (х) > 0}.

Нечеткое множество A называется н о р м а л ь н ы м, если выпол-

няется равенство supµ ( ) 1.Ax E

x∈

=

Нечеткое множество A называется в ы п у к л ы м, если выполняет-

ся неравенство

μA (αх

1 + (1 – α) х

2) ≥ min{μ

A (х

1), μ

A (х

2)}, 1,x∀ х

2 ∈ E, α [0,1]∀ ∈ .

Нечеткое множество строго опре-

деляется с помощью функции принад-

лежности, поэтому в случае функцио-

нального представления степени

принадлежности его можно предста-

вить графически (рис. 1.1).

Множеством уровня α (или α-сече-

нием) нечеткого множества A назы-

вается множество Aα= {х / х∈E,

μA (х) ≥ α}.

П р и м е р: A = 0,2/x1 + 0/x

2 + 0,5/x

3 + 1/x

4 , тогда A

0,3 = {x

3, x

4}, A

0,7 =

{x

4}.

Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A разло-

жимо по его множествам уровня в виде:

A = ∪αAα,

где αAα – произведение числа α на множество A, и α «пробегает» об-

ласть значений M функции принадлежности нечеткого множества A.

П р и м е р: A = 0,1/x1 + 0/x

2 + 0,7/x

3 + 1/x

4 представимо в виде:

A = 0,1(1,0,1,1) ∪ 0,7(0,0,1,1,) ∪ 1(0,0,0,1) =

= (0,1/x1 + 0/x

2 + 0,1/x

3 + 0,1/x

4) ∪ (0/x

1 + 0/x

2 + 0,7/x

3 + 0,7/x

4) ∪

∪ (0/x1 + 0/x

2 + 0/x

3 + 1/x

4) = 0,1/x

1 + 0/x

2 + 0,7/x

3 + 1/x

4 .

1.1.2. Операции над нечеткими множествами

Рассмотрим различные операции над нечеткими множествами, важ-

ные с практической точки зрения [1, 2, 6].

1. Равенство нечетких множеств: A и B равны, если x E∀ ∈ μA(x) =

= μB (x).

Обозначение: A = B.

μA

Рис. 1.1. Функция

принадлежностиE

1

7

2. Подмножество нечеткого множества. Говорят, что A содержит-

ся в B, если x E∀ ∈ μA(x) ≤ μ

B(x).

Обозначение: A ⊂ B.

3. Дополнение нечеткого множества: A и B дополняют друг друга,

если x E∀ ∈ μA(x) = 1 – μB(x).

Обозначение: или .B A A B= =

Очевидно, что .A A=4. Пересечение нечетких множеств: A∩ B – наибольшее нечеткое

подмножество, содержащееся одновременно в A и B: μA∩ B (x) = min

(μA(x), μ

B(x)).

5. Объединение нечетких множеств: A ∪ B – наименьшее нечеткое

подмножество, включающее как A, так и B, с функцией принадлежности

μA∪B

(x) = max(μA(x), μ

B(x)).

6. Разность нечетких множеств: A B A B− = ∩ с функцией принад-

лежности μA–B

(x) = min{μA(x), 1 – μ

B(x)}.

7. Алгебраическое произведение нечетких множеств: A • B с функ-

цией принадлежности μA • B

(x) = μA(x) μ

B(x).

8. Граничное произведение нечетких множеств: A × B с функцией

принадлежности μA × B (x) = max{μA(x) + μB(x) – 1, 0}.

9. Драстическое произведение нечетких множеств A × B с функци-

ей принадлежности

( ), если ( ) 1,μ μ

( ) ( ), если ( ) 1,μ μ μ

0 – в других случаях.

A B

B AA B

x x

x x x×

⎧ =⎪⎪= =⎨⎪⎪⎩

10. Aлгебраическая сумма нечетких множеств: A + B с функцией

принадлежности μA + B

(x) = μA(x) + μ

B(x) – μ

A(x) μ

B(x).

11. Граничная сумма нечетких множеств: A ++ B с функцией при-

надлежности μA ++ B (x) = min{μA(x) + μB(x), 1}.

12. Драстическая сумма нечетких множеств A ⊕ B с функцией

принадлежности

( ), если ( ) 0,μ μ

( ) ( ), если ( ) 0,μμ μ

1 – в других случаях.

A B

A B B A

x x

x x x⊕

=⎧⎪= =⎨⎪⎩

8

Между указанными выше операциями над нечеткими множествами

справедливо следующее соотношение:

∅ ⊆ A * B ⊆ A × B ⊆ A • B ⊆ A∩ B ⊆ A ∪ B ⊆ A + B ⊆ A + + B ⊆

⊆ A ⊕ B ⊆ E.

П р и м е р ы

Пусть:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x

2 + 0/ x

3 + 1/ x

4;

B = 0,7/ x1 + 0,9/ x

2 + 0,1/ x

3 + 1/ x

4;

C = 0,1/ x1 + 1/ x

2 + 0,2/ x

3 + 0,9/ x

4.

Здесь:

A ⊂ B, т. е. A содержится в B.

E – A = 0,6/ x1 + 0,8/x

2 + 1/x

3 + 0/x

4; E – B = 0,3/x

1 + 0,1/x

2 + 0,9/x

3 + 0/x

4.

A ∩ B = 0,4/x1 + 0,2/x

2 + 0/x

3 + 1/x

4.

A ∪ B = 0,7/x1 + 0,9/x

2 + 0,1/x

3 + 1/x

4.

A – B = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4; B – A = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

A ⊕ B = 0,6/x1 + 0,8/x

2 + 0,1/x

3 + 0/x

4.

Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.

На основе операции алгебраического произведения (по крайней мере

для целых, α эта основа очевидна) определяется операция возведения

в степень α нечеткого множества A, где α – положительное число.

Нечеткое множество Aα определяется функцией принадлежностиα αμ ( ) μ ( ).A Ax x= Частным случаем возведения в степень являются:

CON(A) = A2 – операция концентрирования, DIL(A) = A0,5 – операция

растяжения, которые используются при работе с лингвистическими

неопределенностями.

Проиллюстрируем эти понятия на рис. 1.2, 1.3.

1

A2 A

A0,5

9

А А

B

E

А

B

E

А B

E

B

E

1 1

11

Рис. 1.2. Основные операции над нечеткими множествами: а – подмножество

нечеткого множества; б – дополнение нечеткого множества; в – пересечение

нечетких множеств; г – объединение нечетких множеств

а)б)

в) г )

μ μ

μ μ

Рис. 1.3. Операции произведения и суммы нечетких множеств: а –алгебраи-

ческое произведения нечетких множеств; б – алгебраическая сумма

нечетких множеств

а) б)μμ

1,0 1,0

10

1.1.3. Понятие нечеткого отношения

Определение 2. Нечетким отношением R на множестве E = E1 × E2

называется нечеткое подмножество декартова произведения E1 × E

2,

которое характеризуется функцией принадлежности μR: E

1 × E

2 → M.

Если M = {0,1}, то R является обычным отношением. В дальнейшем

будем предполагать, что M = [0,1]. Значение μR (x, y) этой функции по-

нимается как некоторая субъективная мера выполнения отношения xRy.

П р и м е р ы

1. Пусть X = {x1, x2, x3}, Y = {y1, y2, y3, y4}, М = [0,1]. Нечеткое

отношение R = XRY может быть задано, к примеру, таблицей:

2. Пусть X = Y = (–∞, ∞), т. е. множество всех действительных чи-

сел. Отношение x >> y (x много больше y) можно задать функцией при-

надлежности:

2

0, если ,

1μ ( , ) если ,11

( )

,R

x y

x y y x

x y

≤⎧⎪⎪= <⎨⎪ +

−⎪⎩

3. Отношение R, для которого 2( )

μ ( , ) ,Rk x yx y e− −= при достаточно

больших k можно интерпретировать так: «x и y близкие друг к другу

числа».

В случае конечных или счетных уни-

версальных множеств очевидна интер-

претация нечеткого отношения в виде

нечеткого графа (слева), в котором

пара вершин (xi, x

j) в случае XRX со-

единяется ребром с весом μR(x

i, x

j),

x1

x2

x3

0,1

0,3

0,9

1

0,8

0,5

y1

y2

y3

y4

x1

0 0 1,0 3,0

x2

0 8,0 1 7,0

x3

1 5,0 6,0 1

XY

11

в случае XRY пара вершин (xi, y

j) соединяется ребром c весом μ

R(x

i, y

j).

4. Пусть X = {x1, x

2, x

3} и задано нечеткое отношение μ

R : X × X → [0,1],

представимое графом, приведенным

справа.

5. Пусть X = {x1, x

2} и Y = {y

1, y

2,

y3}, тогда нечеткий граф вида зада-

ет нечеткое отношение XRY.

Носителем нечеткого отношения R

называется подмножество декартова

произведения X × X вида S(R) = {(x, y):

μR(x, y) > 0}.

Множеством уровня α (или α-сечением) нечеткого отношения R

называется Rα = {(x, y): μR(x, y) ≥ α}.

1.1.4. Операции над нечеткими отношениями

Перейдем к рассмотрению операций над нечеткими отношения-

ми, некоторые из которых являются аналогами операций над нечет-

кими множествами, а некоторые присущи только нечетким отноше-

ниям [1, 2, 3, 6, 7, 9].

1. Нечеткое отношение, содержащее данное нечеткое отношение

или содержащееся в нем.

Пусть R1 и R2 – два нечетких отношения такие, что

( ) ( ) ( )1 2

, : μ , μ , ,R Rx y X Y x y x y∀ ∈ × ≤

тогда говорят, что R2 содержит R1 или R1 содержится в R2 .

Обозначение: R1 ⊆ R

2 .

П р и м е р:

211( )

0, ,μ ( , )

1 , ;R k x y

x yx y

e y x− −

>⎧⎪= ⎨− ≥⎪⎩

222 ( )

0, ,μ ( , )

1 , .R k x y

x yx y

e y x− −

>⎧⎪= ⎨− ≥⎪⎩

Отношения R1, R2 – отношения типа y >> x (y много больше x). При

k2 > k

1 отношение R

2 содержит R

1.

2. Объединение двух отношений R1 и R

2 обозначается R

1 ∪ R

2 и

определяется выражением

x1

x2

y1

y2

y3

0,9

0,3

0,1

0,2

0,41

12

( ) ( ) ( ){ }1 21 2μ , max μ , , μ , .R R R Rx y x y x y∪ =

П р и м е р ы

1. Ниже изображены отношения действительных чисел, содержатель-

но означающие: xR1y – «числа x и y очень близкие», xR

2y – «числа x и y

очень различны» и их объединение xR1 ∪ R2y – «числа x и y очень близ-

кие или очень различные».

Функции принадлежности отношений заданы на |y – x|.

1

1 2

2

μ ( , ), α,μ ( , )

μ ( , ), α.

RR R

R

x y y xx y

x y y x

− ≤=

− >

⎧⎨⎩

∪

где α – такое |y – x|, что ( ) ( )1 2

μ , μ ,R Rx y x y=2.

3. Пересечение двух отношений R1 и R

2. R

1 и R

2 обозначается

R1 ∩ R

2 и определяется выражением

( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2μ , min μ , , μ , .R R R Rx y x y x y∩ =

R1 и R

2

R1

1 R2

1

1

μ μ

μ –x y –x y

–x y

R1

R2

y1

y2

y3

y1

y2

y3

y1

y2

y3

x1

7,0 9,0 1

x1

1,0 0 8,0 x1

7,0 9,0 1 x2

1 7,0 5,0

x2

1 7,0 0 x2

3,0 4,0 5,0

R1 ∪ R

2

13

П р и м е р

Ниже изображены отношения: R1, означающее «модуль разности

|y – x| близок к α», R2, означающее «модуль разности |y – x| близок к

β», и их пересечение.

4. Дополнением отношения R называется нечеткое отношение Q с

функцией принадлежности

μQ

(x, y) = 1 – μR(x, y).

5. Композиция двух нечетких отношений: пусть R1 – нечеткое

отношение R1: X × Y → [0,1] между X и Y, и R2 – нечеткое отношение

R2: Y × Z → [0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z,

обозначаемое R1

• R2, определенное через R

1 и R

2 выражением

( )1 1 1 2

μ , maxmin{μ ( , ), ( , )},R R R Rx z x y y zy

= μi

называется (max-min)-композицией отношений R1 и R2, например:

R1

R2

R1°R

2

z1

z2

z3

z4

z1

z2

z3

z4

y1

y2

y3

y1

9,0 0 1 2,0 x1

3,0 6,0 1,0 7,0

x1

1,0 7,0 y2

y2

3,0 6,0 0 9,0 x2

9,0 5,0 1 5,0

x2

1 5,0 0 y3

1,0 1 0 5,0

XY

YZ

XZ

μ μ

μα

α

β

βγ

–x y –x y

–x y

R1 и R

2

R1

1 R2

1

1

14

1 1 11 21 21μ maxmin{μ μ

= (0,1 0,9) (0,7 0,3) (0,4 0,1) = 0,1 0,3 0,1 = 0,3,

( , ) ( , ), ( , )}i

R R R i R ix zy

x y y z

∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨

=�

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2μ , 0,1 0 0,7 0,6 0,4 1 0 0,6 0,4 0,6,R R x x = ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = ∨ ∨ =�

( )

( )

1 2

1 2

1 3

2 3

µ , 0,1

.............................

.............................

µ , 0,5.

R R

R R

x z

x z

=

=

�

�

З а м е ч а н и е. В данном примере вначале использован «аналити-

ческий» способ композиции отношений R1 и R

2 , т. е. i-я строка R

1 «ум-

ножается» на j-й столбец R2 с использованием операции (min)∧ , полу-

ченный результат «свертывается» с использованием операции (max)∨в μ (x

i, z

j).

Ниже приведены графы, соответствующие R1 и R

2, «склеенные» по

Y. В полученном графе рассматриваем пути от xi к z

j и каждому ставим

в соответствие минимальный из «весов» его составляющих. Затем

определяем максимум по всем путям из xi в z

j, который и дает иско-

мое μ (xi, z

j).

x1

x2

z1

z2

z3

z4

y1

y2

y3

0,1

0,7

0,5

0

0,2

0,1

0,9

00,3

0,6

00,9

0,50

1

0,4

1

1

z2

z3

z4

x1

x2

1

0,5

0,1

0,3

0,5

0,7

0,6

0,9

15

6. Свойства композиции. Операция композиции ассоциативна, т. е.

R3�(R2�R1) = (R3�R2)�R1,

дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна относи-

тельно пересечения

R3�(R2 ∪ R1) = (R3�R2) ∪ (R3�R1),

R3� (R

2 ∩ R

1) ≠ (R

3�R

2) ∩ (R

3�R

1).

Кроме того, для композиции выполняется следующее важное свой-

ство: если R1 ⊂ R

2, то R • R

1 ⊂ R • R

2.

Транзитивным замыканием нечеткого отношения называется не-

четкое отношение Q = R ∪ R2 ∪ R3 ∪ ... ∪ Rn, где раз

... .m

m

R R R R= � � ������

1.2. Арифметические операции над нечеткими числами

1.2.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных

Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется при

описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств [1, 2, 3].

Определение 3. Нечеткая переменная характеризуется тройкой

<α, X, A>,

где α – наименование переменной; X – универсальное множество (об-

ласть определения α); A – нечеткое множество на X, описывающее ог-

раничения на значения нечеткой переменной α (т. е. μA (х)).

Определение 4. Лингвистической переменной называется набор

<β , T, X, G, M >,

где β – наименование лингвистической переменной; Т – множество ее

значений (терм-множество), представляющих собой наименования не-

четких переменных, областью определения каждой из которых являет-

ся множество X (множество T называется базовым терм-множеством

лингвистической переменной); G – синтаксическая процедура, позволя-

ющая оперировать элементами терм-множества T, в частности генери-

ровать новые термы (значения), тогда G(T) – множество сгенерирован-

ных термов, называемое расширенным терм-множеством лингвистической

переменной; М – семантическая процедура, позволяющая превратить каж-

дое новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G,

в нечеткую переменную, т. е. сформировать соответствующее нечеткое мно-

жество.

16

П р и м е р

Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого изделия с помо-

щью понятий «малая толщина», «средняя толщина» и «большая

толщина», при этом минимальная толщина равна 10 мм, а максималь-

ная – 80 мм. Формализация такого описания может быть проведена с

помощью следующей лингвистической переменной:

<β, T, X, G, M>,

где β – толщина изделия; T – {«малая толщина», «средняя толщина»,

«большая толщина»}; X – [10, 80]; G – процедура образования новых

термов с помощью связок «и», «или» и модификаторов типа «очень»,

«не», «слегка» и др. Например: «малая или средняя толщина», «очень

малая толщина» и др.; М – процедура задания на X = [10, 80] нечетких

подмножеств A1= «малая толщина», A

2 = «средняя толщина», A

3 =

«большая толщина», а также нечетких множеств для термов из G(T) в

соответствии с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов

«и», «или», «не», «очень», «слегка» и др. операции над нечеткими множе-

ствами вида: A ∩ B, A ∪ B, A , CON(A) = A2, DIL( A) = A0,5 и др.

8010

1

Рис. 1.5. Функция принадлежности: А1 ∪∪∪∪∪ А

2 –

нечеткое множество «малая

или средняя толщина»

8010

1A

1A

2A

3

Рис. 1.4. Функции принадлежности нечетких множеств: А1 – «малая

толщина», А2 – «средняя толщина», А

3 – «большая толщина»

17

1.2.2. Понятие нечеткого числа

Определение 5. Нечеткие числа – нечеткие переменные, опреде-

ленные на числовой оси, т. е. нечеткое число определяется как нечет-

кое множество A на множестве действительных чисел R1 с функцией

принадлежности μA(х) ∈[0,1], где x – действительное число (x ∈ R1).

Нечеткое число А н о р м а л ь н о, если sup ( ) 1Ax E

x∈

μ = ; в ы п у к л о е, если

μA (aх

1 + (1–α) х

2) ≥ min{ μ

A (х

1), μ

A (х

2)}, 1,x∀ х

2∈R, α [0,1].∀ ∈

Подмножество S(A) ⊆ R1 называ-

ется носителем нечеткого числа А,

если S(A) = {х/х ∈ R1, μA (х) > 0}.

Нечеткое число А у н и м о д а-

л ь н о, если условие μA (х) = 1 спра-

ведливо только для одной точки дей-

ствительной оси. На рис. 1.4 число А2

является унимодальным, а число А1

не является унимодальным.

Нечеткое число А п о л о ж и -

т е л ь н о, если inf S(А) ≥ 0, и о т р и ц а т е л ь н о, если sup S(А) ≤ 0.

1.2.3. Принцип обобщения

Принцип обобщения – одна из основных идей теории нечетких мно-

жеств – носит эвристический характер и используется для расшире-

ния области применения нечетких множеств на отображения. Пусть X

и Y – два заданных универсальных множества. Говорят, что имеется

функция, определенная на X со значением в Y, если, в силу некоторого

закона f, каждому элементу x ∈ X соответствует элемент y ∈ Y. Когда

функцию f: X → Y называют отображением, значение f(x) ∈ Y, которое

она принимает на элементе x ∈ X, обычно называют образом элемен-

та x. Образом множества А ⊆ X при отображении называют множе-

ство f (A) ⊆ Y тех элементов Y, которые являются образами элементов

множества А.

Принцип обобщения для четких функций заключается в том, что

при заданном четком f: X → Y отображении для любого нечеткого

множества А, заданного на X, определяется нечеткое множество f(A)

на Y, являющееся образом A.

A B

0Рис. 1.6. Число А – отрицательное,

В – положительное

1

18

Пусть f : X → Y – заданное четкое отображение, а A = {μA (х) /х} –

нечеткое множество в X. Таким образом, А при отображении f является

нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:

1( )

( )μ ( ) μ ( ); ,sup Af A

x f yy x y Y

−∈= ∈

где f –1(y) = {x/f(x) = y}.

1.2.4. Операции над нечеткими числами

Для рассмотрения операций над нечеткими числами применим прин-

цип обобщения Заде. Пусть A1, A

2, ..., A

n – нечеткие числа с носителя-

ми S(A1), S(A

2), ..., S(A

n), а g: R1 × R1 × … × R1 → R1 – некоторая функ-

ция. Тогда согласно принципу обобщения нечеткое число В = g(A1, A

2,

..., An) определяется функцией принадлежности

11 2 2

1 2

μ ( ) supmin{μ μ μ )},

( , , ..., ) ,

( ), 1, 2, ..., .

( ), ( ), ... , (nB A A A n

n

i i

x a a a

g a a a x

a S A i n

=∈ =

=

Унарные операции над нечеткими числами

Если g – функция одного аргумента, а A – нечеткое число, то функ-

ция принадлежности образа g(A) имеет вид [10]

1

( )( )

1

sup µ ( ), если ( ) ,µ ( )

0, если ( ) .

Ag a x

g A

a xx

g x

g−

=−

⎧ ≠ ∅⎪= ⎨⎪ = ∅⎩

П р и м е р ы

иицарепоеинавонемиаН g(x) g(A) μg(A () x)

олсичанеинежонмУ сx сA μA(x с,)c/ � ,0

аничилевяантарбО /1 x /1 A μA

/1( x ,) x � ,0

ьнепетС xс Aс μA(x с/1 с,) � ,0

атненопскЭ eх eA μA

(gol( x ,0>x,))

яаксечиртемоногирТ nis (x) (nis A) μA

(niscra( x ))

19

Бинарные операции над нечеткими числами

Приведем основные арифметические операции (+, – , ×, :) над нечет-

кими числами A и В.

1. Операция сложения A + В двух нечетких чисел определяется сле-

дующей формулой:

1μ sup min{μ μ ( )}.( ) ( ),A B A B

y R

x yx y+∈

−=

2. Операция вычитания A – В двух нечетких чисел определяется

следующей формулой:

1μ ( ) sup min{μ ( ),μ ( )}.A B A B

y R

x x y y−∈

= +

3. Операция умножения A × В двух нечетких чисел определяется

следующей формулой:

0sup min{µ ( / )}, если 0;

µ ( )

max{µ (0),µ (0)}, если 0.

( ),µA By

A B

A B

x y xx

x

y≠

×

≠⎧⎪= ⎨⎪ =⎩

4. Операция деления A : В двух нечетких чисел определяется следу-

ющей формулой:

:μ ( ) supmin{μ ( ),μ ( )}.A B A By

x xy y=

Применим принцип обобщения

для операций взятия максимума и

минимума для нечетких чисел. Ре-

зультаты взятия max и min над не-

четкими числами A, В показаны на

рис. 1.7.

Далее рассмотрим другой под-

ход к определению арифметичес-

ких операций над нечеткими чис-

лами [11, 12].

Нечеткое число A можно представить через множества α-уровня

Aα следующим образом:

Рис. 1.7. Операции max (A, B) и

min (A, B)

A –

B –max –1min –

20

[ ]( ){ } α α

α α 1 2α 0,1

, где /μ α , .AA A A x E x a a∈

⎡ ⎤= = ∈ ≥ = ⎣ ⎦∪

Тогда арифметические операции определяются следующим образом.

1. Операция сложения A + В двух нечетких чисел

[ ]α α α α

1 1 2 2α 0,1

.,A B a b a b∈

⎡ ⎤⎣ ⎦+ = + +∪

2. Операция вычитания A – В двух нечетких чисел

[ ]α α α α

1 2 2 1α 0,1

,A B a b a b∈

⎡ ⎤− = − −⎣ ⎦∪ , так как число [ ]

α α

2 1α 0,1

.,B b b∈

⎡ ⎤− = − −⎣ ⎦∪

3. Операция умножения A × В двух нечетких чисел

[ ]α α α α

1 1 2 2α 0,1

.,A B a b a b∈

⎡ ⎤× = ⎣ ⎦∪

4. Операция деления A : В двух нечетких чисел

[ ]α α α α

1 2 2 1α 0,1

: / ,/ ,A B a b a b∈

⎡ ⎤= ⎣ ⎦∪

так как число [ ]

α α

2 11

0,11/ ,1/ .B b b−

α∈⎡ ⎤⎣ ⎦= ∪

П р и м е р ы

Выполнение арифметических операций над дискретными нечетки-

ми числами A = {0,1/5, 0,8/6, 0,4/7}, B = {0,2/4, 0,9/5, 0,3/6}:

A + B = {0,1/9, 0,2/10, 0,8/11, 0,4/12, 0,3/13};

A – B = {0,1/–1, 0,3/0, 0,8/1, 0,4/2, 0,2/3};

A × B = {0,1/20, 0,2/24, 0,1/25, 0,2/28, 0,8/30, 0,4/35, 0,3/42};

A : B = {0,1/0,83, 0,3/1,0, 0,3/1,17, 0,8/1,22, 0,1/1,25, 0,4/1,4, 0,2/1,5,

0,2/1,75}.

Выполнение арифметических операций над непрерывными нечетки-

ми числами приведены на рис. 1.8.

21

Основные свойства арифметических операций

В заключение остановимся на некоторых свойствах бинарных опе-

раций над нечеткими числами.

1. В общем случае число –A не является противоположным числу A,

т. е. (–A) + A ≠ 0;

2. Число 1/A не является обратным числу A, т. е. 1/A × A ≠ 1;

3. Операции сложения и умножения коммутативны и ассоциативны,

но в общем случае недистрибутивны, т. е.

A + B = B + A; A × B = B × A; (A + B) + C = A + (B + C);

(A × В) × C = A × (В × С);

A × (B + C) ≠ A × B + A × C;

A – B = A + (–B);

A × B = (–A) × (–B); (–A) × B = A × (–B) = –(A × B).

4. Свойство дистрибутивности выполняется в следующих случаях:

а) A – действительное число;

б) B и C – либо оба отрицательные, либо оба положительные;

в) B и C – симметричные нечеткие числа (т. е. B = –B, C = –C).

5. Основные свойства операций max и min:

1. min(A, B) + max (A, B) = A + B;

2. A + min(B, C) = min(A + B, A + C);

3. A + max(B, C) = max(A + B, A + C).

Рис. 1.8. Сложение, вычитание и деление нечетких чисел

μ

1,0

0,6

0,2

0 10 20 30 40 50

A : B B A – B A A + B

22

1.3. Практические вычисления арифметических операцийнад нечеткими числами

1.3.1. Нечеткие числа (L-R)-типа

Нечеткие числа (L-R)-типа – это разновидность нечетких чисел спе-

циального вида, т. е. задаваемых по определенным правилам с целью

снижения объема вычислений при операциях над ними [3, 10].

Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с по-

мощью невозрастающих функций на множестве неотрицательных дей-

ствительных чисел действительного переменного L(x) и R(x), удовлет-

воряющих свойствам:

а) L(–x) = L(x), R(–x) = R(x);

б) L(0) = R(0);

в) L(∞) = R(∞) = 0.

Очевидно, что к классу (L-R)-функций относятся функции, графики

которых имеют следующий вид (рис. 1.9):

Примерами аналитического задания (L-R)-функций могут быть

( ) , 0;p

xL x e p

−= ≥

1( ) , 0 и т. д.

1p

R x px

= ≥+

Пусть L(y) и R(y) – функции (L-R)-типа. Унимодальное нечеткое число

A с модой а (т. е. μA(a) = 1) c помощью L(y) и R(y) задается следую-

щим образом:

Рис. 1.9. L-R-функции

R

RR

R

11

1 1

μ μ

μ μ

23

при ,α

μ ( )

при ,β

A

a xL x a

xx aR x a

⎧ −⎛ ⎞ ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪= ⎨ ⎛ ⎞−⎪ ≥⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩где а – мода; α > 0, β > 0 – левый и правый коэффициенты нечеткости.

Таким образом, при заданных L(y) и R(y) нечеткое число (унимо-

дальное) задается тройкой A = (а, α, β).

Толерантное нечеткое число задается, соответственно, четырьмя

параметрами A = (а1, a2, α, β), где а1 и a2 – границы толерантности, т. е.

в промежутке [а1 a2] значение функции принадлежности равно 1.

Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-

типа приведены на рис.1.10.

Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R)-числами.

Отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также па-

раметры a, b нечетких чисел (а, α, β) и (а1, a

2, α, β) должны подби-

раться таким образом, чтобы результат операции (сложения, вычита-

ния, деления и т. д.) был точно или приблизительно равен нечеткому

числу с теми же L(y) и R(y), а параметры α- и β-результата не выходи-

ли за рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких

чисел, особенно если результат в дальнейшем будет участвовать в

операциях.

З а м е ч а н и е. Решение задач математического моделирования

сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требу-

ет выполнения большого объема операций над разного рода лингвис-

Рис. 1.10. Виды представления нечетких чисел L-R-типа

1

1 1

A1

A2

A3

A4

L R RL

RRL L

a a1

a2

a a

L = R

L ≠ R

24

тическими и другими нечеткими переменными. Для удобства испол-

нения операций, а также для ввода-вывода и хранения данных, жела-

тельно работать с функциями принадлежности (L-R)-типа. Нечеткие

множества, которыми приходится оперировать в большинстве задач,

являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из

возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств

является аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.

П р и м е р

1.3.2. Выполнение арифметических операций

над нечеткими числами

Пусть A и B – два нечетких интервала с полунепрерывными сверху

функциями принадлежности. Пусть f: R2 → R1 – функция непрерывная.

Тогда [10, 11, 12 ] множества α-уровня нечеткой величины f (A, B) связа-

ны с множествами α-уровней нечетких величин A и B при отображении

f следующим образом:

1. Если f – и з о т о н н а я функция, т. е. 1 2x x∀ ≥ , 1 2y y∀ ≥ , f(х1, у

1) ≥

f(х2, у

2), то

α α αα > 0[ ( , )] ( , ).f A B f A B∀ = Если Aα, Bα замкнутые ограни-

ченные интервалы вида α α α α

1 2 1 2, , , ,a a b b⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )α αто α 0,1 ,f A B∀ ∈ =

( ) ( )α α α α

1 1 2 2( , , , .f a b f a b⎡ ⎤= ⎣ ⎦2. Если f – а н т и т о н н а я функция, т. е. 1 2 1 2 1 1, , ( , )x x y y f x y∀ ≥ ∀ ≥ ≤

2 2( , ),f x y≤ то ( ) ( ) ( ) ( )α α α αα α 2 2 1 1α 0,1 ] , , , , .f A B f a b f a b⎡ ⎤∀ ∈ = ⎣ ⎦

ПЛмреТ (L-R еинелватсдерп-)

йиндерС A (= а, α, β)RL, α = β 0>

йылаМ A (= а, �, β)RL, α = �

йошьлоБ A (= а, α, �)RL, β = �

енозапаидвоньлетизилбирП A (= а1, а

2, α, β)

RL, α = β 0>

йыннеледерпО A (= а )0,0,RL, α = β 0=

йонлопанозйынзарбоонзаРитсоннеледерпоен

A (= а, �, �)RL, α = β = �

25

3. Если f – г и б р и д н а я функция, т. е. 1 2 1 2 1 1, , ( , )x x y y f x y∀ ≥ ∀ ≥ ≥

2 2( , ),f x y≥ то ( ) ( ) ( ) ( )α α α αα α 1 2 2 1α 0,1 , , , , .f A B f a b f a b⎡ ⎤∀ ∈ = ⎣ ⎦

Если A = (а1, а

2, α, β)

LR и B = (b

1, b

2, γ, δ)

LR – нечеткие (L–R) числа,

а операция f(A, B) над ними изотонная функция, то w: μf(A,B)

(w) = λвычисляется по следующим формулам:

1 11 1 1 1

1 1 2 2

1 12 2 2 2

α (λ), γ ( )), если ( , ),

1, если ( ) ( ),

( β (λ), δ (λ)), если (

(, ,

, ).

L b L w f a b

w f a b w f a b

f a R b R w f a b

f a − −

− −

⎧ − − λ ≤⎪

= ≤ ≤⎨⎪ + + ≥⎩

Если A = (а1, а

2, α, β)

LR и B = (b

1, b

2, γ, δ)

RL – нечеткие числа проти-

воположного типа (L–R и R–L), а операция f(A, B) над ними – гибридная

функция, то w: μf(A,B)

(w) = l вычисляется по следующим формулам:

1

1

11 2 1 2

1 2 2 1

12 1 2 1

( (λ), ( )), если ( , ),

1, если ( ) ( ),

( β (λ), (λ)), если ( ).

α

, ,

,

f a b L w f a b

w f a w f a

f a R b R w f a b

L

b b

−

−

−

−

⎧ + δ λ ≤⎪

= ≤ ≤⎨⎪ + + γ ≥⎩

−

Рассмотрим основные арифметические операции над нечеткими

числами.

1. Операция сложения f(x, y) = x + y изотонная функция. Если A и B

нечеткие интервалы (L-R)-типа, то A + B = (а1 + b

1, a

2 + b

2, α + γ, β + δ)

LR.

2. Операция вычитания f (x, y) = x–y гибридная функция. Если A и B

нечеткие интервалы противоположного типа (L-R и R-L)-типа, то A–B =

= (а1–b

2, a

2–b

1, α + δ, β + γ)

LR.

3. Операция умножения f (x, y) = xy изотонная функция на (R+)2. Если

A и B нечеткие интервалы (L–R)-типа и A > 0, B > 0, то

,

.

21 1 1 1

1 1

1 1 2 2

22 2 2 2

2 2

α ( α) 4αγ, если ,

2α

μ ( ) 1, если

β δ β δ) 4βδ, если

2βδ

γ γ

(

АВ

a ww a

w b w a b

b a a ww a b

b a bL b

a

bR

⎧ ⎛ ⎞+ − +⎪ ⎜ ⎟ ≤⎪ ⎜ ⎟γ⎝ ⎠⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ ⎛ ⎞− − + − +⎪ ⎜ ⎟ ≥⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

−

26

4. Операция деления f(x, y) = x/y гибридная функция на (R+)2. Если A и B

нечеткие интервалы противоположных типов (L-R и R-L) и A > 0, B > 0, то

,

,1 2

.

1 21 2

/ 2 1

1 22 1

, если /α δ

μ ( ) 1, если / /

, если /β γ

А В

a wbL w a

w

w a

w aR w a

w

b

b w a b

bb

⎧ −⎛ ⎞ ≤⎪ ⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪⎪= ⎨⎪ ⎛ ⎞−⎪ ≥⎜ ⎟⎪ +⎝ ⎠⎩

≤ ≤

1.3.3. Приближенные вычисления арифметических операций

над нечеткими числами

Если функцию f(A, B) нельзя рассчитать аналитически, то ее можно

вычислить либо поточечно, либо при непрерывных функциях L и R с

помощью приближенных формул, которые дают (L–R)-аппроксимацию

искомого результата.

Если A и B нечеткие числа (L-R)-типа, а функция f – изотонная, то

в окрестности ядра получаем (L-R)-аппроксимацию функции f(A, B) в

виде

f(A, B) ≅ (f(a1, b

1), f(a

2, b

2), f

x′(a

1, b

1)α + f

y′(a

1, b

1)γ, f

x′(a

2, b

2)β +

+ fy′(a

2, b

2)δ)

LR.

Другой способ аппроксимации заключается в следующем:

f(A, B) ≅ (f(a1, b

1), f(a

2, b

2), f(a

1, b

1) – f(a

1–α, b

1–γ), f(a

2 + β, b

2 + δ) –

– f(a2, b2))LR.

Таким образом, арифметические операции над нечеткими числами

(L-R)-типа примут следующий вид [10]:

1. Сложение:

(а1, a2, α, β)LR + (b1, b2, γ, δ)LR = (а1 + b1, a2 + b2, α + γ, β + δ)LR.

2. Вычитание:

(а1, a

2, α, β)

LR – (b

1, b

2, γ, δ)

RL = (а

1–b

2, a

2–b

1, α + δ, β + γ)

LR.

3. Умножение:

(а1, a

2, α, β)

LR·(b

1, b

2, γ, δ)

LR ≅ (а

1b

1, a

2b

2, b

1α + a

1γ, b

2β + a

2δ)

LR.

4. Деление:

(а1, a

2, α, β)

LR/(b

1, b

2, γ, δ)

RL ≅ (а

1/b

2, a

2/b

1, (b

2α + a

1δ)/b

22, (b

1β +

+ a2γ)/b12)LR.

27

1.4. Методы построения функций принадлежностинечетких множеств

Рассмотрим основные методы построения функций принадлежности

μA (х) элементов х ∈ E нечеткому множеству A [3, 5, 7, 8].

Существует ряд методов построения по экспертным оценкам функ-

ции принадлежности нечеткого множества. Различают две группы ме-

тодов: прямые и косвенные методы.

П р я м ы е методы определяются тем, что эксперт просто задает

правила определения значений функции принадлежности μA множества

A. Эти значения согласуются с его предпочтениями на множестве E.

Примеры прямых методов: непосредственное задание μA таблицей,

формулой, графиком. Как правило, прямые методы задания функции

принадлежности используются для измеримых величин, таких как ско-

рость, время, расстояние, давление, температура и т. д., или когда вы-

деляются полярные значения.

Прямые методы, основанные на непосредственном определении

функции принадлежности, должны использоваться только в том случае,

когда эксперты далеки от случайных ошибок и работают как «надеж-

ные и правильные приборы».

Во многих задачах при характеристике объекта можно выделить

набор признаков и для каждого из них определить полярные значения,

соответствующие значениям функции принадлежности, 0 или 1. При этом

используют следующую процедуру:

– определить список свойств, по которым оценивается объект;

– найти в этом списке полярные свойства и сформировать полярную

шкалу;

– для каждой пары полюсов оценит объект на то, как сильно он об-

ладает этим свойством.

Например, в задаче распознавания лиц можно выделить следующие

шкалы:

Признаки 0 1

x1

Высота лба Низкий Широкий

x2

Профиль носа Курносый Горбатый

x3

Длина носа Короткий Длинный

x4

Разрез глаз Узкие Широкие

28

Для конкретного лица A эксперт, исходя из приведенной шкалы,

задает μA (х) ∈ [0,1], формируя векторную функцию принадлежности

{μA (х1), μA (х2), …, μA (х9)}.

Также используются прямые методы для группы экспертов, когда,

например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый дол-

жен дать один из двух ответов: «этот человек лысый» или «этот че-

ловек не лысый», тогда количество утвердительных ответов, деленное

на общее число экспертов, дает значение m«лысый»

(данного лица).

К о с в е н н ы е методы определения значений функции принад-

лежности используются в случаях, когда нет элементарных измери-

мых свойств, через которые определяется интересующее нас нечет-

кое множество. В косвенных методах значения функции принадлежности

выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее сформулиро-

ванным условиям. Дополнительные условия могут налагаться как на вид

получаемой информации, так и на процедуру обработки.

К таким условиям могут относиться следующие:

– функция принадлежности отражает близость к заранее выделен-

ному эталону;

– при парном сравнении объектов, если один объект в α раз пред-

почтительнее второго, то второй объект оценивается в 1/α раз пред-

почтительнее первого; и т. д.

Косвенные методы основаны на более слабых предположениях об

экспертах как «измерительных приборах». Косвенные методы более

трудоемкие, чем прямые, но их преимущество в стойкости по отноше-

нию к искажениям в ответах. Один из наиболее известных методов

является метод парных сравнений, предложенных Т. Л. Саати. Если

бы значения функций принадлежности были нам известны, например,

μA (хi) = ωi, i = 1, 2, ..., n, то парные сравнения можно представить

матрицей отношений A = {aij}, где a

ij = ω

i/ω

j.

Признаки 0 1

x5

Цвет глаз Светлые Темные

x6

Форма подбородка Остроконечный Квадратный

x7

Толщина губ Тонкие Толстые

x8

Цвет лица Темный Светлый

x9

Очертание лица Овальное Квадратное

29

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предпола-

гается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симмет-

ричных относительно диагонали aij = 1/aij, т. е. если один объект в α раз

предпочтительнее другого, то второй объект оценивается в 1/α раз пред-

почтительнее первого. В этом случае

1, 1, ..., ,i

n

j j ij

a n i n=

ω = ω =∑

где n – наибольшее собственное значение матрицы A. В общем слу-

чае задача сводится к поиску вектора ωωωωω, удовлетворяющего уравне-

нию вида Aωωωωω = λmaxωωωωω, где λ

max – наибольшее собственное значение

матрицы A. Поскольку матрица A положительна по построению, решение

данной задачи существует и является положительным. Чем ближе λmax

к числу n, тем более верным является результат. Отклонение λmax

от n

используется как мера правильности результата (например, ε = (λmax

–

– n)/n). При ε = 0 имеем полную транзитивность суждений. Чем боль-

ше e, тем больше нетранзитивность суждений эксперта.

При формировании оценок парных сравнений, эксперта просят отра-

зить опыт следующим образом:

– установить какой из двух предлагаемых объектов более важен;

– оценить различия в виде ранга важности по определенной ранго-

вой шкале.

яичилзаР акнецояанневтсечаК яиненсяъбО

0 ьтсоминварсеН ыткеъбоьтавинварсалсымстеН

1 ьтсомичанзяавоканидО итсомичанзопынварытнемелЭ

3 еемичанзобалС -етчопдерпояиназакоптюувтсещуСон,мигурдданатнемелэогондоиин

ыньлетидебуеняиназакоп

5 еемичанзоньлиС иовтсьлетазакодеешорохтюувтсещуСомеыроток,ииретиркеиксечигол тугнежавеелобтнемелэотч,ьтазакоп

7 еемичанзондивечО -ьлетазакодеоньлетидебутеувтсещуС-елэогондоитсомичанзйешьлобовтс

мигурдданатнем

9 еемичанзонтюлосбА -итущоястеаджревтдопоньламискаМатнемелэогондояинетчопдерпьтсом

мигурддан

8,6,4,2 икнецоеынчотужеморП ссиморпмокмидохбоенадгоК

30

Для нахождения значений функции принадлежности можно восполь-

зоваться методом наименьших квадратов. Искомые значения получа-

ются при решении оптимизационной задачи:

2

1 1( ) ) min,( i

n n

j j ii j

f a n= =

= ω − ω →∑ ∑ω

�

1, 0, 1, ...,1

.n

i ni ii

ω = ω > ==∑

П р и м е р

В качестве иллюстративного примера рассмотрим следующую задачу.

Требуется оценить важность показателей эффективности F = {f1,

f2, …, f

7} сложной системы. В результате опроса эксперта получена

матрица парных сравнений , 1, ..., 7,ijm i j ==М где mij показыва-

ет, во сколько раз по мнению эксперта μF(f

i) больше μ

F(f

j) (т. е. во

сколько раз fi показатель важнее fj показателя для принятия решения):

1 1/ 3 1/ 5 9 7 5 6

3 1 1/ 3 9 7 7 6

5 3 1 9 8 7 6

1/ 9 1/ 9 1/ 9 1 1/ 7 1/ 6 1/ 5 .

1/ 7 1/ 7 1/ 8 7 1 3 2

1/ 5 1/ 7 1/ 7 6 1/ 3 1 2

1/ 6 1/ 6 1/ 6 5 1/ 2 1/ 2 1

=M

Далее применяя итерационную процедуру для нахождения макси-

мального собственного числа λmax

и связанного с ним собственного

вектора mF, находим λ

max = 7,003; μ

F = (0,43; 0,682; 1,0; 0,046; 0,153;

0,133; 0,102).

Рассмотрим приближенный метод нахождения собственного век-

тора, соответствующего максимальному собственному числу, матри-

цы парных сравнений. Для чего находится построчное произведение

элементов матрицы М и из полученного результата извлекается ко-

рень n-й степени. Полученный вектор ϕ = (ϕ1, ϕ

2, …, ϕ

n) использует-

ся для нахождения вектора μF следующим образом:

31

11 1 11 1 1

1, ...,1 21 21 222 2 2 2 22

1 2 1 2 1, ...,

1 2 1 21, ...,

... max...

... ... max ....

... ... ...

... ...max

n ii nnn

nin Fn i n

nn n n nn n nn

n ini n

w w ww w ww w ww w w

ww w w w www w w w w

w w w w w ww w w w w w

=

=

=

ϕ× × × ϕ

ϕ ϕ× × × ϕ ϕ= ⇒ = ⇒ =

ϕϕ

× × ×ϕ

M µ

Проведем расчеты для исходных данных, приведенных в примере.

Вектор ϕϕϕϕϕ = (ϕ1, ϕ

2, …, ϕ

n) = (1,996; 3,086; 4,633; 0,183; 0,726; 0,555;

0,789) и соответственно вектор μμμμμF получился равным μμμμμF = (0,43; 0,666;

1,0; 0,04; 0,157; 0.112; 0.103).

1.5. Операции сравнения нечетких чисел

В процессе принятия решений при нечеткой исходной информации

необходимо производить выбор между различными нечеткими чис-

лами, т. е. следует определить процедуру сравнения нечетких чисел.

Все предложенные [5, 10, 11, 13, 16, 17] процедуры сравнения нечет-

ких чисел основаны на вычислении некоторой вещественной функ-

ции F(A, B) от нечетких чисел A, B, которая называется индексом

ранжирования [13].

Рассмотрим ряд индексов ранжирования:

1. Индекс ранжирования [5]:

1( ), ( )

( , ) sup min{μ ( ), μ ( ), μ ( , )},A B Ra S A b S B

F A B a b a b∈ ∈

=

где μR(a, b) – функция принадлежности нечеткого отношения предпоч-

тения между числами a, b. Например,

1, если ,

μ ( , )0, если .

Ra b

a ba b

≥⎧= ⎨ <⎩

Если F1(A, B) ≥ F

1(B, A), то A ≥ B.

32

Пример определения индекса ранжи-

рования приведен слева.

2. Индекс ранжирования, предложен-

ный в [17]:

F2(A, B) = F+(A) – F+(B), где

1

0

(α) (α)( ) α.

2A

F A dA− +

++= ∫

В этом случае, если F2(A, B) ≥ 0, то A ≥ B.

Нахождение F+(A), F

+(B) показано слева

3. Индекс ранжирования [13]:

2

1 13

μ ( ) μ ( )

( , ) ,

a a

A Ba b

a da b db

F A BC

=∫ ∫

где 2 2

1 1

μ ( ) μ ( ) ,a b

A Ba b

C a da b db= ∫ ∫

1 2 1 2( ) ( )( ) ( )

inf , sup , inf , sup .a S A b S Ba S A b S B

a a a a b b b b∈ ∈∈ ∈

= = = =

Если F 3(A, B) ≥ F 3(B, A), то A ≥ B.

4. Индекс ранжирования [13]:

0,5 1

0 0,54( , ) max{0, (1 μ ( ))} μ ( ) ,D DF A B x dx x dx= − +∫ ∫

где D = A/(A + B).

Если F4(A, B) ≥ F

4(B, A), то A ≥ B.

5. Индексы ранжирования [15]:

15 ( , ) sup min{μ ( ), μ ( )};A B

a bF A B a b

≥=

2

5 ( , ) sup inf min{μ ( ),Ab aa

F A B a≥

=

1 μ ( )};B b−3

5 ( , ) inf sup max{1 μ ( ), μ ( )};A Ba b a

F A B a b≤

= − 4

5 ( , ) 1 sup min{μ ( ),Aa b

F A B a≤

= −

μ ( )}.BF b

1,0

0

A B

F+(B)

F+(A)

μ

1,0

A B

0

F1(B,A)

F1(A, B)

μ

33

В этом случае, если ( ) ( )5 5, , ,i iF A B F B A≥ то A ≥ B (i = 1, 2, 3, 4).

Как показано в [15],

( ) ( ) ( ){ }2 35 5 5, max , , , ;iF A B F A B F A B≥

( ) ( ){ } ( )2 3 45 5 5min , , , , .F A B F A B F A B≥

6. Индекс ранжирования [12]:

F6(A, B) определяется алгоритмическим путем, в основе которого

лежит метод пропорций оптимума (метод М. З. Згуровского).

Метод Згуровского

Пусть A, B нечеткие числа. Введем операции max{A, B} и min{A, B}.

( ) ( ){ } ( )2 3 45 5 5min , , , , ,F A B F A B F A B≥

}min{ ,min{ , }

μ ( ) max min{μ ( ),μ ( )}A B A Bx a b

x a b=

= .

Обозначим через MP(A) вклад в

max{A, B} величины A, а через mp(A)

вклад в min{A, B} величины A, которые

вычисляются по следующим формулам:

{ }max{ , }min ( ), μ ( )MP( ) ;

μ ( )

A

A

A B x x dxA

x dx

μ=

∫∫

{ }min{ , }min μ ( ), μ ( )mp( ) .

μ ( )

A B A

A

x x dxA

x dx=

∫∫

Суть метода пропорций оптимума заключается в следующем:

1. Если MP(A) > MP(B) и mp(A) ≤ mp(B), то F6(A, B) = 1.

Если MP(A) > MP(B) и mp(A) > mp(B), то вычисляются сложные

пропорции.

A –B –

max –min –

1,0

34

2. Если MP(A) < MP(B) и mp(A) ≥ mp(B), то F6(A, B) = 0.

Если MP(A) < MP(B) и mp(A) < mp(B), то вычисляются сложные про-

порции.

3. Если MP(A) = MP(B) и mp(A) < mp(B), то F6(A, B) = 1.

Если MP(A) = MP(B) и mp(A) = mp(B), то F6(A, B) = 0,5.

Если MP(A) = MP(B) и mp(A) > mp(B), то F6(A, B) = 0.

Вычисление сложных пропорций

CMP(A) = MP(A)/(MP(A) + mp(A)),

cmp(A) = mp(A)/(mp(A) + MP(A)).

4. Если CMP(A) > CMP(B) и сmp(A) < cmp(B), то F6(A, B) = 1.

5. Если CMP(A) < CMP(B) и cmp(A) > cmp(B), то F6(A, B) = 0.

6. Если (CMP(A) = CMP(B) и сmp(A) = сmp(B)) и MP(A) + mp(A) >

> MP(B) + mp(B), то F6(A, B) = 1.

7. Если (CMP(A) = CMP(B) и сmp(A) = сmp(B)) и MP(A) + mp(A) <

< MP(B) + mp(B), то F6(A, B) = 0.

8. Если (CMP(A) = CMP(B) и сmp(A) = сmp(B)) и MP(A) + mp(A) =

= MP(B) + mp(B), то F6(A, B) = 0,5.

9. Если F6(A, B) = 1, то A > B.

10. Если F6(A, B) = 0, то A < B.

11. Если F6(A, B) = 0,5, то A = B.

Некоторые примеры расчета ин-

дексов ранжирования нечетких чи-

сел приведены в табл. 1.1.

Покажем расчет индексов ран-

жирования F3, F

4, F

6 для нечетких

чисел A1 = (1, 0, 4) и A

2 = (4, 4, 0).

1. Расчет индекса F3:

5 4

2 11 0 1

5

4

3 1 21

1 5( ) µ ( ) µ ( )4 4 4

5 1 1 5911 4952 ) 0,385;4 3844 4 4 384

1 1, (8

x x

A Ay xF A A y dy x dx dy dx

C

x dxC

C

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + = + = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

∫

A1

1,0

0 1 2 3 4 5

A2

μ

35

4 4

1 0 1 1

342

1

3 2 1 1 21 1 5( , ) μ ( ) μ ( ) )

4 441 1 1 94595 ) 0,615.

216 4 384

(

(2

xx

A Ay xF A A y dy x dx y dx

C C

xx dxC

d

x

= = + =

= + − = × =

−∫ ∫ ∫ ∫

−∫

2. Расчет индекса F4:

[ ] [ ] [ ]1 2 1 2α [0,1] [0,1] [0,1]

1 21 2

[0,1] [0,1]1 2 1 2

1,5 4α 4α, 4 , 1 4α, 9 4α ,

5 4α 41 4α, , ,

9 4α 1 4α 9 4α 1 4α

,A A A

AD D

A A

A

A

A A

∈ α∈ α∈

α∈ α∈

− + + −

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = =

= =+

∪ ∪ ∪

∪ ∪

0,5 1 0,5

4 1 2 1 110 0,59

1

0,5

1 1 5( ) max{0, (1 μ ( ))} μ ( ) 49

40,352.

5 4

, D D

xF A A x dx x dx dxx

x

xdx

−= − + = + +∫

−+ =∫+

∫ ∫

0.5 1 0.5

4 2 1 2 200 0.5

0,8 1

0,5 0,8

4 5( ) max{0, (1 µ ( ))} µ ( )4 4

9 4 0,725.4 4 4

, D D

xF A A x dx x dx dx

xx x

dxx x

dx

−= − + = +∫+

−+ + =∫ ∫+

∫ ∫

еыннадеындохсИяинаворижнарыскеднИ

F2

F3

F4

F6

A1

)1,1,2(= 1 0 5,0 5,0 5,0

A2

)2,2,2(= 1 0 5,0 5,0 5,0

A1

)2,1,2(= 1 52,0 816,0 856,0 1

A2

)2,2,2(= 1 52,0– 283,0 185,0 0

A1

)3,2,2(= 338,0 5,0– 404,0 435,0 0

A2

)2,3,3(= 1 5,0 38,0 966,0 1

A1

)4,0,1(= 526,0 1– 583,0 253,0 0

A2

)0,4,4(= 1 1 516,0 527,0 1

Таблица 1.1

1 15,F F

36

3. Расчет индекса F6:

Обозначим площади выделен-

ных фигур соответственно через B,

C, E (см. слева).

Произведем расчет простых

пропорций и сравним их согласно

алгоритму:

1MP( ) ,B CAB C E

+=+ +

2MP( ) ,B EAB C E

+=+ +

1 2mp( ) mp( ) .,B E B CA A

B C E B C E

+ += =+ + + +

Так как MP(A2) > MP(A

1) и mp(A

1) > mp(A

2) , то F

6(A

1, A

2) = 0 и

F6(A

2, A

1) = 1.

Следовательно, число A2 > A

1.

Таким образом, значение индекса ранжирования для конкретной пары

нечетких чисел дает основание решить вопрос, какое из двух чисел боль-

ше и с какой степенью.

1.6. Иллюстративные примеры

1.6.1. Задача сетевого планирования с нечетко заданными

длительностями операций

Процесс подготовки средств уп-

равления к работе показан слева.

Продолжительность операций

Aij (i, j = 1, …, 6) точно не известны

и представлены нечеткими интер-

валами (L-R)-типа. Исходные данные

для примера приведены в табл. 1.2.

Пусть известен самый ранний

срок начала проведения комплекса

операций обслуживания t0 = (1, 1, 1, 1)

LR. Для нахождения ранних сроков

начала отдельных операций ti (I = 1, …, 6) воспользуемся следующей

формулой:

A1

A2

B

C

E

0 1 2 3 4 5

1,0

μ

1

2

6

5

3 4

37

0

max{ },если 0;

, если 0,

ii

j jij Pi

i

t A Pt

t P

∈+ ≠⎧⎪= ⎨

=⎪⎩

где Pi – множество работ, предшествующих i-й работе. Тогда ранний

срок окончания всего комплекса операций tf = max{t

i, I = 1, …, 6}.

Пусть известен самый поздний срок окончания комплекса операций

обслуживания Tf = (20, 21, 1, 0)LR. Для нахождения поздних сроков на-

чала отдельных операций Ti (I = 1, …, 6) воспользуемся следующей

формулой:

min{ },если 0;

если 0,,

ii

j jj Si

f i

T A SiT

T S

∈− ≠⎧⎪= ⎨

=⎪⎩где S

i – множество работ, следующих за i-й работой.

Для операций max и min используем следующий вариант аппрокси-

мации с использованием формул (см. п.п. 1.3.2):

M = (m1, m

2, α, β)

LR, N = (n

1, n

2, γ, δ)

LR

max(M, N) ≅ (max(m1, n1), max(m2, n2), max(m1, n1) – max(m1 – α, n1 – γ),

max(m2

+ β, n2 + δ) – max(m

2, n

2))

LR,

min(M, N) ≅ (min(m1, n

1), min(m

2, n

2), min(m

1, n

1) – min(m

1–α, n

1–γ),

min(m2 + β, n2 + δ) – min(m2, n2))LR.

Результаты вычислений приведены в табл. 1.3:

(i, j) Aji

(i, j) Aji

)2,1( )3,1,3,3(RL

)4,3( )1,0,4,2(RL

)3,1( )1,0,3,2(RL

)5,3( )3,2,5,4(RL

)5,1( )1,1,4,3(RL

)5,4( )2,1,3,3(RL

)4,2( )0,0,2,1(RL

)6,4( )2,0,4,3(RL

)6,2( )4,1,11,8(RL

)6,5( )1,0,1,1(RL

Таблица 1.2

38

1.6.2. Оценивание денежных средств в бюджете

В рамках составления проекта бюджета предприятия рассматрива-

ются различные источники финансирования, причем некоторые из них

характеризуются неточностью оценки денежных сумм и малой надеж-

ностью. В примере рассматриваются четыре источника финансирова-

ния, обозначаемые буквами A, B, C, D.

Источник A: точен и надежен, ожидаемая сумма поступлений

100 ед.

Источник B: сумма финансирования изменяется от 40 до 100 ед. в

зависимости от коньюнктуры, но с наибольшей вероятностью можно

ожидать поступления размером от 50 до 70 ед.

Источник C: разумно полагать, что финансирование будет предос-

тавлено и составит сумму 100–110 ед., но решение пока не принято и

нельзя полностью исключить вариант отказа от финансирования.

Источник D: очень не надежен потому, что новый и неустойчивый.

Можно ожидать поступления от 20 ед. и выше, но в любом случае не

более 30 ед.

Финансовые поступления можно представить с помощью нечет-

ких величин. Каждая нечеткая величина рассматривается как объе-

динение трапециевидных и не обязательно нормальных нечетких

чисел:

Mi = (m

iq, m

i2, α

i, β

i, h

i),

где m1i, m2i – соответственно нижнее и верхнее модальные значения

нечеткого числа Mi; α

i, β

i – левый и правый коэффициенты нечеткости;

hi – высота нечеткого числа.

i тобаралачанкорсйиннаР тобаралачанкорсйиндзоП

1 )1,1,1,1( )2,8,01,6(

2 )4,2,4,4( )1,5,31,9(

3 )2,1,4,3( )1,5,51,21(

4 )3,1,8,5( )1,4,71,61(

5 )5,2,11,8( )0,2,02,91(

6 )8,3,51,21( )0,1,12,02(

Таблица 1.3

39

Используя результаты, полученные в подразд. 1.2–1.3, заметим, что

сумма двух трапециевидных чисел Mi + M

j также будет трапециевид-

ным числом (m1, m

2, α, β, h), где h = min{h

i, h

j} (эффект среза); α = h(α

i/

hi + α

j/h

j); β = h(β

i/h

i + β

j/h

j); m

1 = m

iq + m

j1 – α

i – α

j + α; m

2 = m

i2 + m

j2

+ βi + ββj – β.

В результате суммирования указанных источников финансирования

получаем S = A + B + C + D = (250, 280,

10,30,1) ∪ (145, 185, 5, 15, 0,5) ∪ (165, 209,

5, 21, 0,5) ∪ (268, 306, 8, 34, 0.8).

Полученный результат можно интер-

претировать следующим образом: об-

ласть наиболее вероятного финансирова-

ния простирается в диапазоне 250–280 ед.,

превышение суммы 280 ед. возможно, но

менее вероятно (0.8); маловероятно и то, что поступления не составят

более 150–200 ед. (0.5). В любом случае они не могут опуститься

ниже 140 ед. и подняться выше 340 ед.

A

0 100

1,0

μ

1009080706050400

1,0B

μ

A = (100,100,0,0,1) B = (50,70,10,30,1)

D = (20,20,0,10,0,8) И (0,0,0,0,1)

1000

1,0C

0,5

110

0,8

3020

1,0

0

μμ

C = (100,110,0,0,1) И (0,0,0,0,0,5)

S

0,8

140

1,0

0,5

230 240 290 340

μ

40

1.6.3. Стабилизация перевернутого маятника

Контроллеры нечеткой логики – наиболее важное приложение теории

нечетких множеств. Их функционирование немного отличается от рабо-

ты обычных контроллеров тем, что для описания системы используются

знания экспертов вместо дифференциальных уравнений. Эти знания мо-

гут быть выражены естественным образом с помощью лингвистических

переменных, которые описываются нечеткими множествами.

Ярким примером применения нечетких контроллеров является экс-

перимент по стабилизации перевернутого маятника. Проблема состоит

в балансировке вертикальной мачты, подвижно закрепленной нижним

концом на тележке, которая может двигаться только в двух направлени-

ях – влево или вправо (см. рис. 1.11).

Существуют две модели для определения необходимого движения

платформы: математическая и лингвистическая. Математическая мо-

дель содержит нелинейные члены в дифференциальных уравнениях, ко-

торые линеаризуются и упрощаются в предположении очень малых уг-

лов отклонения маятника. Это, однако, увеличивает время расчета

дифференциальных уравнений, описывающих кинематику маятника.

Очень трудно стабилизировать короткий и легкий маятник (5 мм в диа-

метре, 15 см длины и вес 3,5 г). Кроме того, если размер и вес маятника

изменяются, то параметры уравнений должны быть изменены. Для прак-

тической реализации в реальном масштабе времени такой путь по су-

ществу не приемлем.

С другой стороны, человек, даже не обладая ни физическими, ни

математическими знаниями о динамике перевернутого маятника, об-

ретает умение его стабилизации методом проб и ошибок. Это умение

Нечетный

контролер

Формирователь

постояного

тока

Датчик угла и

угловой скорости Сервомотор

постоянного

тока

d/dt

+ –ω

θ

θ

Рис. 1.11. Схема стабилизации перевернутого маятника

41

может быть описано лингвистическими правилами, содержащими не-

четкость. Например: «Если угол положительный низкий (ПН) и угловая

скорость приблизительно нуль (0), то скорость движения платформы

должна быть положительная низкая (ПН)».

Правила управления сведены в табл. 1.4:

где ОВ – отрицательное высокое (большое) значение, ОН – отрица-

тельное низкое (малое) значение, 0 – нуль и т. д.

Во-первых, мы должны определить (субъективно), что такое высокая

скорость, низкая скорость и т. п. для платформы. Это делается описани-

ем функции принадлежности для нечетких множеств (см. рис. 1.12).

То же самое делается для угла между платформой и мачтой маятни-

ка и для угловой скорости изменения этого угла (см. рис. 1.13).

Пусть заданы реальные значения угла и угловой скорости (рис. 1.13–1.14.

Применим правило: «Если угол равен нулю и угловая скорость равна

нулю, тогда скорость равна нулю» к реальным значениям переменных.

Реальное значение угла принадлежит нечеткому множеству «нуль»

со степенью 0,75.

ьтсорокС логУ

ВО НО О НП ВП

ВО – – ВО – –

НО – – НО О –

О ВО НО О НП ВП

НП – О НП – –

ВП – – ВП – –

Таблица 1.4

Рис. 1.12. Скорость платформы

ОВ

Скорость

ОН ПН ПВ1

0

О

42

Реальное значение угловой скорости принадлежит нечеткому мно-

жеству «нуль» со степенью 0,4:

Так как две части условий правила объединяются по И, то вычисля-

ем min {0,75; 0.4} = 0,4 и уменьшаем нечеткое множество «нуль» для

переменной «скорость» до этого уровня (в соответствии с рассматри-

ваемым правилом).

Только четыре правила приводят к результату. Объединим их в

одно решение.

0,75

min

0,4

1

0

01

0

Реальный

угол

Реальная

угловая

скорость

0

01

0,4 Скорость

0

ОВ

Угол

ОН ПН ПВ1

0

0

Реальный

угол

Рис. 1.13. Угол отклонения мачты

маятника

ОВ

Угловая

скорость

ОН ПН ПВ1

0

0

Реальная

угловая

скорость

Рис. 1.14. Угловая скорость

мачты

43

Таким образом, результатом правила: «Если угол равен нулю и угло-

вая скорость отрицательная низкая, тогда скорость отрицательная низ-

кая» является:

Результатом правила: «Если угол положительный малый и угловая ско-

рость равна нулю, тогда скорость – положительная низкая» является:

Результатом правила: «Если угол положительный малый и угловая

скорость отрицательная низкая, тогда скорость равна нулю» является:

Реальная угловая

скорость

0,75

min

0,4

1

0

0,6

1

0

Реальный угол0

0

1

0,6

Скорость

ОН

ОН

Реальная

угловая скорость

0,25

min

0,4

1

0

01

0 Реальный угол

ПН

0

1

0,25

Скорость

ПН

44

Объединение этих четырех результатов дает общее решение:

Таким образом, решением контрол-

лера нечеткой логики является нечет-

кое множество (для скорости). Далее

необходимо выбрать одно значение для

представления конечного выходного

значения. Существует несколько эври-

стических методов (методов дефаз-

зификации), один из которых, напри-

мер, предполагает выбирать в качестве

конечного значения центр тяжести не-

четкого множества.

Отметим следующие особенности нечеткого контроллера:

1. Одни и те же правила пригодны для стабилизации двух маятни-

ков: первый – диаметр 5 мм, длина 15 см, вес 3,5 г и второй – диаметр

10 мм, длина 50 см, вес 50 г.

2. Контроллер работает (правда, менее устойчиво), даже если одно

из правил управления игнорируется, что очень важно с точки зрения

надежности системы.

3. Нечеткий контроллер успешно работает при небольших программ-

ных ошибках (например, замене ПН на ПВ).

min

0,6

1

0

ОН1

ПН

Реальный

угол

Реальная

угловая

скорость

0

01

0,25

Скорость 0

0,25

Решение

ОН1

0

0

Скорость

ПН

45

1.6.4. Области применения нечеткого управления

В общих словах определим области применения нечеткого управления.

Использование нечеткого управления рекомендуется для очень

сложных процессов, когда не существует простой математической

модели для нелинейных процессов высоких порядков, если должна

производиться обработка (лингвистически сформулированных) экс-

пертных знаний.

Использование нечеткого управления не рекомендуется, если при-

емлемый результат может быть получен с помощью общей теории уп-

равления, уже существует формализованная и адекватная математи-

ческая модель.

В заключение приведем примеры использования реального нечетко-

го управления:

– использование Агентство космических исследований (NASA) не-

четкой логики в маневрах стыковки;

– автоматическое управление воротами плотины на гидроэлектрос-

танциях;

– наведение телекамер при трансляции спортивных событий;

– эффективное и стабильное управление автомобильными двига-

телями;

– управление экономичной скоростью автомобилей;

– системы прогнозирования землетрясений;

– диагностика рака в медицине;

– распознавание рукописных символов в карманных компьютерах

(записных книжках);

– распознавание движения изображения в видеокамерах;

– автоматическое управление двигателем пылесосов с автомати-

ческим определением типа поверхности и степени засоренности;

– однокнопочное управление стиральными машинами;

– вспомогательные средства полета вертолетов;

– управление скоростью линий и температурой при производстве

стали;

– управление метрополитенами для повышения удобства вождения,

точности остановки и экономии энергии;

– оптимизация потребления бензина в автомобилях;

– повышение чувствительности и эффективности управления лифтами;

– повышение безопасности функционирования ядерных реакторов.

46

2. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ В МОДЕЛЯХПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

2.1. Классификация мер неопределенности

В современных условиях учет факторов неопределенности и непол-

ноты информации является неотъемлемой принадлежностью сложных

технических систем. Причем традиционный путь учета факторов нео-

пределенности на основе вероятностного и статистического моделиро-

вания зачастую оказывается неадекватным решаемым задачам и при-

вести к неверным результатам.

Указанные ситуации на практике характеризуются:

– неполнотой или отсутствием знаний о поведении отдельных входя-

щих в систему элементов и подсистем, а также взаимосвязей между

ними;

– ограниченной возможностью экспериментального исследования

процессов управления техническими средствами, а также необоснован-

но высокой стоимостью экспериментов, не позволяющей получить дос-

таточную статистическую информацию о наиболее важных характери-

стиках системы;

– многоцелевым, многокритериальным, многофункциональным ха-

рактером задач управления технических средств в сложных иерархи-

ческих структурах;

– качественными оценками условий функционирования сложных тех-

нических систем;

– во многих случаях человек (эксперт, группа экспертов) представ-

ляет собой единственный источник сведений о разрабатываемых бло-

ках, подсистемах управления и системы в целом.

Во всех перечисленных случаях возникает необходимость поиска

иных, отличающихся от традиционных, путей решения проблемы нео-

пределенности. При этом необходимо отметить, что указанные причи-

ны отражают объективно недостаточную информированность лица, при-

нимающего решение (ЛПР), о возможных количественных значениях

47

факторов, а сам процесс управления техническими средствами базиру-

ется на некоторых субъективных суждениях ЛПР, отражающих его соб-

ственный опыт как эксперта.

Существуют различные интерпретации понятия вероятности. Это – клас-

сическая частотная интерпретация Лапласа, субъективная вероятность по

Байесу, субъективная вероятность по Де Финетти, Сэвиджу. Наиболее со-

держательной с математической точки зрения является аксиоматическая

трактовка вероятности A. Н. Колмогорова с позиций теории меры.

Как известно, мерой называется функция множества m: P(X) → R+,

удовлетворяющая следующим трем аксиомам:

1) ∀ A ⊆ X ⇒ m(A) ≥ 0, m(∅) = 0;

2) A ⊆ B ⇒ m(A) ≤ m(B);

3) если A, B ∈ P(X) и A ∩ B = ∅, то m(A ∪ B) = m(A} + m(B).

Здесь P (X) – множество всех подмножеств X (σ-алгебра), а R+ =

= [0, ∞] – множество положительных действительных чисел.

При R+ = [0, 1] эти аксиомы определяют вероятностную меру.

Под субъективной вероятностью понимается степень уверенности в

данном событии, возникающая у человека на основе известных ему

данных. Эта степень уверенности всегда зависит от индивидуального

опыта и поэтому различна для разных людей.

Субъективную вероятность можно рассматривать как индивидуаль-

ный способ обработки тех аспектов субъективных данных, которые

доступны индивидуальному суждению. Однако чаще всего такие суж-

дения неаддитивны. В отличие от субъективной вероятности, нечеткая

мера свободна от весьма ограничительного требования аддитивности,

что делает ее особенно привлекательной для решения ряда задач при

наличии неопределенности типа нечеткости.

В последнее время возрастает потребность в новых подходах к ма-

тематическому описанию информации, характеризующейся высоким

уровнем неопределенности. Один из возможных подходов может осно-

вываться на обобщении понятия меры и определения понятия нечеткой

меры и интеграла.

Пусть X – произвольное множество, а β – поле борелевских мно-

жеств (δ-алгебра) на X. Дадим определение понятия нечеткой меры.

Определение. Функция g (•), определяемая в виде g: β → [0, 1],

называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим ус-

ловиям:

48

1) ∀ A ⊆ X ⇒ g(A) ≥ 0, g(∅) = 0; g(X) = 1;

2) если A, B ∈ β и A ⊆ B, то g (A) ≤ g (B) (монотонность);

3) если Fi ∈ β и {Fi, i = 1, 2, …} является монотонной последователь-

ностью 1 2 ... ...,iF F F⊇ ⊇ ⊇ ⊇ то lim ( ) (lim )i ii i

g F g F→∞ →∞

= (непрерывность).

Тройка (X, β, g) называется пространством с нечеткой мерой. Для

нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие адди-

тивности: g(A U B) ≠ g(A) + g(B).

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких

мер используется общее понятие «степень нечеткости». В общем слу-

чае это понятие включает в себя «степень важности», «степень уверен-

ности» и как отдельный случай – «степень принадлежности» в теории

нечетких множеств. Нечеткая мера, таким образом, может интерпре-

тироваться различными способами в зависимости от конкретного при-

менения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некото-

рого элемента x ∈ X множеству E ⊂ X .Очевидно, что для пустого

множества эта степень принадлежности равна 0, а для x ∈ F (F ⊂ E)

равна 1, т. е. степень принадлежности для x ∈ F будет больше, чем для

x ∈ F, если (F ⊂ E). Если степень принадлежности x0 ∈ F равна g(x

0, E),

а вместо Е задано нечеткое подмножество μA ∈ F(X), то

0 0 0( , ) μ ( )* ( , ) μ ( ).A AX

g x A x g x x= =∫ i

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения «x0 ∈ A» рав-

на степени принадлежности x0 нечеткому подмножеству μ

A.

Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер

включает в себя понятие степени принадлежности теории нечетких

множеств.

Рассмотрим несколько примеров мер неопределенности.

2.1.1. Нечеткие меры Сугено

Наиболее конструктивными нечеткими мерами являются меры Су-

гено [3], построенные по следующему λ-правилу (λ-нечеткие меры).

Пусть A, B ∈ β, A ∩ B = ∅. Тогда

λ λ λ λ( ) ( ) ( ) λ ( ) ( ).g A B g A g B g A g Bλ ∪ = + + ⋅ ⋅ (2.1)

В случае A U B = X будем называть выражение (2.1) условием нор-

мировки для gλ-мep. Очевидно, что gλ(X) = l; gλ(∅) = 0. Параметр

49

g∈(X)–1, +∞) называется параметром нормировки gλ-меры. При

λ > 0, gλ(A ∪ B) > gλ(A) + gλ(B) имеем класс супераддитивных мер, а

при –1 < λ < 0, gλ(A ∪ Β) < gλ(A) + gλ(B) получаем класс субаддитив-

ных мер.

Легко убедиться, что если \ , βA X A A= ∈ , то из (2.1) следует

λλ

λ

1 ( )( ) .

1 ( )λg A

g Ag A

−=+ (2.2)

В общем случае, когда A и B – произвольные подмножества множе-

ства X, т. е. A, B ∈ β, A ∩ B ≠ ∅ выражение (2.2) приобретает вид

λ λ λ λλ

λ

( ) ( ) ( ).

1 λ ( )

( ) ( )( ) A B g A g B

g A B

g A g B gg A B λ ∩ + λ

+ ∩+ −∪ = (2.3)

2.1.2. Супераддитивные меры

Меры Дирака. Класс мер Дирака определяется соотношением

01 приβ

0 – в противном случае

x A,A m(A)

,

∈⎧∀ ∈ = ⎨

⎩ (2.4)

где x0 – заданный элемент в X.

Функция доверия (belief function) [3] – мера, удовлетворяющая сле-

дующим аксиомам:

1) ( )β 0 1,A b A∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ b(∅) = 0; b(X) = 1,

1 11

11 2

2) ,..., ( ... ( )

... ( 1) ( ... ).

) ( )i ji

n n i i j

nn

nA A b A A b A A

b A A

b A

A

<=+

∀ ∈β ∪ ∪ ≥ − ∩ +

+ + − ∩ ∩

∑ ∑

∩ (2.5)

В случае, когда card (β) = 2, получаем:

, β,A B∀ ∈ b(A ∪ B) ≥ b(A) + b(B) – b(A ∩ B) (свойство суперадди-

тивности).

Другое определение меры доверия. Пусть m: β → [0, 1], удовлетво-

ряющая следующим аксиомам:

1) m(∅) = 0;

2) ( ) 1.A

m A∈β

=∑ (2.6)

50

Тогда β ( ) ( )B A

A b A m B⊂

∀ ∈ = ∑ является функцией доверия.

Согласованная функция доверия (consonant belief function) [3] – мера,

удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ( )β 0 1,A b A∀ ∈ ⇒ ≤ ≤ b(∅) = 0; b(X) = 1,

2) ( ) min{ ( ), ( )}.A b A B b A b B∀ ∈β ∩ = (2.7)

2.1.3. Субаддитивные меры

Мера правдоподобия – определяется следующим образом [3]:

( ) 1 ( ), ,P A b A A= − ∀ ∈βгде b – функция доверия.

Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ( )β 0 1,A P A∀ ∈ ≤ ≤ P(∅) = 0; P(X) = 1,

1 11

11 2

2) β ( ... ) ( ) ( )

... ( 1) ( ... ).

,...,n

n n i i ji ji

nn

A P A A P A P A A

P A A A

A<=

+

∀ ∈ ∪ ∪ ≤ − ∪ +∑ ∑

+ + − ∪ ∪ ∪ (2.8)

Другой способ определения меры правдоподобия . Пусть m – мера,

удовлетворяющая свойствам (2.6), тогда ( ) ( )B A

A P A m B∩ ≠Ο

∀ ∈β = ∑ .

Мера возможности. Мерой возможности [3] называется функция

П:β → [0,1], удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) ( )β 0 П 1,A A∀ ∈ ≤ ≤ П(∅) = 0; П(X) = 1,

2) 1 11,...,

, ..., β ( ... ) sup П( ).n n ii n

A A P A A A=

∀ ∈ ∪ ∪ = (2.9)

Соотношение между рассмотренными нечеткими мерами иллюст-

рируются с использованием кругов Эйлера на рис. 2.1.

51

2.2. Параметрические нечеткие меры

Рассмотрим два класса параметрических нечетких мер: λ-нечеткие

меры Сугено и ν-нечеткие меры Цукамото. Указанные нечеткие меры

имеют важное практическое приложение при решении задач моделиро-

вания нечетких систем.

2.2.1. Понятие λ-нечеткой меры Сугено

Сугено (Суджено, Sugeno) ввел теорию нечетких интегралов и поня-

тие нечеткой меры. Кроме того, он предложил λ-нечеткую меру как

частный случай нечеткой меры и сообщил о некоторых вариантах ее

применения.

По сравнению с другими нечеткими мерами λ-нечеткая мера до-

пускает более естественную интерпретацию. Сугено определил функ-

цию F-распределения λ-нечеткой меры для бесконечного случая и ее

функцию F-плотности для конечного случая. Поскольку функция плот-

ности распределения играет важную роль в теории вероятностей и ста-

тистики, то может оказаться очень полезной попытка определить по

аналогии и функцию λ-плотности.

Рассмотрим случай, когда X = {х1, х

2, …,х

n} – конечное множество.

Нечеткая мера gλ, удовлетворяющая λ-правилу (2.1) с параметром нор-

мировки –1 < λ < ∞ алгебры всех подмножеств (X, 2X), строится следу-

ющим образом.

Рис. 2.1: 1 – нечеткие меры (исключая меру Дирака); 2 – gλλλλλ – меры, λ ∈ λ ∈ λ ∈ λ ∈ λ ∈ (–1; + ∞) ∞) ∞) ∞) ∞);3 – вероятностная мера ( λλλλλ = 0); 4 – функции доверия; 5 – меры правдоподобия;

6 – согласованные функции доверия (мера необходимости); 7 – мера возможности

1

6 7

7 5

23

λ > 0 λ < 0

λ=0

52

Пусть 0 ≤ gi ≤ 1, 1 ≤ i ≤ n, где gi ≡ g({xi}). При условии, что величины

gi(i = 1, ...,n) заданы, для любого подмножества X ′ ⊂ X можно получить

удовлетворяющую λ-правилу меру λ

1( ) { (1 λ 1 }λ

) .i

i

x Xg X g

′∈′ = + −∏ (2.10)

Поэтому величины gi будут называться нечеткой плотностью

λ-нечеткой меры Сугено. Параметр нормировки λ находится из следу-

ющего соотношения:

1

1 (1 λ 1} 1, 1 λ .λ

{ )n i

ig

=+ − = − < < ∞∏ (2.11)

З а м е ч а н и я:

1. Поясним, что –1 < λ < ∞ .

Так как ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ λ1 ( ) ,λ

g X g A A g A g A g A g Aλ λ λ= = ∪ = + λ+ то

( ) ( )( )

λ

λ

λ

10.

1 λ

g Ag A

g A

−= ≥

+ ⋅ Очевидно, что, ( )1 0,A g Aλ∀ ∈β + λ ⋅ > сле-

довательно, 1λ > sup 1

( )A g A∈β λ

− = − .

2. Правильность выражения (2.10) доказывается методом индукции.

Если X = {х1, х

2}, то { }( ) 1 2 1 2 1

λ 1 2

1, λ {(1 λ )λ

g x x g g g g g= + + = +2(1 ) 1.g+ λ −

Пусть выражение (2.10) верно для X = {х1, х

2, …, х

k}. Докажем, что

оно выполняется для X = {х1, х

2, …, х

k+1}.

{ }( ) { }( ) { }( ){ }( ){ }

1 11 2 1 1 2 λ 1 2

1λ 1 2

11

11

,..., λ

(1 λ )(1 λ ) 1

1(1 (1 1)(1 λ ) 1 (1 λ 1}.

λ

, ,..., , , ,...,

1, ,...,

λ

1) { )

k kk k k

kk

k ki k i

ii

g x x x g x x x g g g

g g

g g g

x x x

x x x

l l

ll

+ ++

+

++

==

= + +

= + + −

⎧ ⎫= + + − + − + −∏⎨ ⎬⎩ ⎭

=

=

=∏

Уравнение (2.11) при известных g i является полиномом n–1-го по-

рядка от λ.

Для нахождения корня рассматриваемого уравнения воспользуемся

ниже приведенной теоремой.

53

ТЕОРЕМА

Уравнение (2.11) при условии, что 0 < g < 1, n > 1, в интервале λ ∈ (–1,

∞) имеет ровно одно решение.

Доказательство. Для доказательства указанного утверждения не-

обходимо показать, что функция

1

1(λ) (1 λ ) 1 1

ni

if g

=

⎡ ⎤= + − −∏⎢ ⎥λ ⎣ ⎦

при приведенных в теореме условиях обладает следующими свой-

ствами:

1) λ –1lim (λ)f→

< 0 ;

2) lim (λ)fλ→∞

> 0 ;

3) (λ) 0f ′ > , т. е. функция строго возрастающая.

Покажем это:

1) λ –1 1

lim (λ) (1 ) 0;n

i

i

f g→ =

= − − < ∏

2) 1

λ 2

lim (λ) lim ( (1 λ ) 1) .n

i

i

f g g→∞ λ→∞ =

= + − = ∞ > 0∏Докажем свойство 3.

1-й с л у ч а й: l > 0.

f(λ) = [(g1(1 + λg2)…(1 + λgn) + (1 + λg1)g2(1 + λg3) ... (1 + λgn) +

+ (1 + λg1)(1 + λg2)...(1 + λgn–1)gn –1)λ – (1 + λg1)...(1 + λgn) + 1 + λ]/λ2 =

= [λg1(1 + λg2) ... (1 + λgn) + (1 + λg1)λg2( 1+ λg3) ... (1 + λgn) +

+ (1 + λg1) ... (1 + λgn–1)λgn – (1 + λg1) ... (1 + λgn) + 1]/λ2 = [Δ1 +

+ Δ2 + ... +Δn-1 + Δn]/ λ2 > 0 ,

где

ΔI = λgi(1 + λgi+1) ... (1 + λgn)[(1 + λg1)(1 + λg2)...(1 + λgi–1)–1] > 0,

i = 1,2, ..., n.

2-й с л у ч а й: l < 0.

Проведем доказательство методом индукции.

54

Пусть n = 2.

f (λ)|n = 2 = [λg1(1+λg2) + (1+λg1)λg2 – (1+λg1)(1+λg2)+1]/λ2 =

=[(1+λg1)λg2 – (1+λg2) + 1]/ λ2 = g1g2 > 0.

Пусть утверждение верно для n = k, т. е. f’ (λ)|n = k

= [λg1(1+λg2)...

...(1+λgk) + (1+λg1)λg2(1+λg3)...(1+λgk) + (1+λg1)... (1+λgk–1)λgk –

– (1+λg1) ... (1+λgk) + 1]/λ2 > 0.

Докажем для n = k+1 f’ (λ)|n=k+1

= [λg1(1+λg2)...(1+λgk+1) +

+ (1+λg1)λg2(1+λg3). . .(1+λgk+1)+ +(1+λg1). . .(1+λgk)λgk+1 –

– (1+λg1)...(1+λgk+1)+1]/λ2 = f’ (λ)|n = k

+ [λ2g1gk+1(1+λg2)...(1+λgk) +

+(1+λg1)λ2g2gk+1(1+λg3)...(1+λgk)+ ...+(1+λg1)(1+λg2)...(1+λgk–1)λ2gkgk+1 –

– λgk+1(1+λg1) ... (1+λgk)] /λ2 > 0.

3-й с л у ч а й: λ = 0.

λ 0

(λ) limf→

′ = [λg1(1+lg2) ... (1+λgn) + (1+λg1)λg2(1+λg3) ... (1+λgn) +

+ (1+λg1)...(1+λgn–1)λgn – (1+λg1)...(1+λgn)+1]/λ2 = [(g1(1+λg2)...(1+λgn) +

+λg1λg2(1+λg3)...(1+λgn) + λg1...(1+λgn–1)gn) + (g1λg2(1+λg3)...(1+λgn) +

+(1+λg1)g2(1+λg3) ...(1+λgn) + (1+λg1)λg2...(1+λgn–1)gn) +...+((1+λg1)

(1+λg2) ... (1+λgn–1)gn) + g1(1+λg2)(1+λg3)...(1+λgn–1)λgn+... +(1+λg1)...

... (1+λgn–2)gn–1λgn) – (g1(1+λg2)...(1+λgn) + (1 + λg1)g2(1 + λg3)...(1 +

+ λgn) +(1 + λg1) ... (1 + lgn–1)gn]/2λ = g1g2 + g1g3 +...+ g1gn + g2g3 + g2g4 +... +

+ g2gn + g3g4 + g3g5 + ... + g3gn +...+ gn–1gn > 0.

Теорема доказана.

Рассмотрим случай, когда X = R1 – вся вещественная ось.

Пусть b есть σ-алгебра в R1. Тогда вероятностная мера P есть ото-

бражение

:β (0,1), ( ) ,P P A pdxA

→ ≡ ∫

где величина P(A) означает вероятность того, что W ∈ A (W – случай-

ная переменная, принимающая значение в R1). Аналогичным образом

можно рассмотреть некоторый тип функции плотности для простран-

ства λ-нечеткой меры (R1, β, gλ. Пусть h – отображение R1 в R+ и

λ λ( ) , где (ln(1 λ)) / λ, 1 .

R

h x dx N N= ≡ + − < λ < ∞∫ (2.12)

Тогда λ-нечеткая мера gλ: β → [0,1] задается соотношением

55

λ

λ ( )( ) 1 / λ.A

h x dxg A e

⎛ ⎞∫⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.13)

Выражение (2.13) можно представить в другой форме [3, 5]:

pλ ( ) ((1 λ) 1)/λg A = + − (2.14)

или

λp

λ

λ

0( ) λe ,

Ntg A dt= ∫ (2.15)

где

/ .A R

p hdx hdx≡ ∫ ∫

Рассмотрим функцию F-распределения.

Пусть X совпадает с R1 и функция ( ) ( )z

H z p x dx−∞

= ∫

обладает свойствами функции распределения вероятностей:

1) если x < z, то H(x) ≤ H(z); 2) lim ( ) ( );x a

H x H x→

= 3)–

lim ( ) 0;x

H x→ ∞

=

4) l im ( ) 1.x

H x→+∞

=

Следовательно, чтобы сохранить связь между функцией F-плотнос-

ти и функцией F-распределения, следует F-распределение представлять

в виде

λ( ) ( ) ,x

H x h x dx−∞

= ∫

а свойство 4 нужно заменить на 4a: λlim ( ) ln(1 λ) / λ.H xx

= +→ ∞

Таким образом, λ-нечеткая мера задается формулой

λ

λ( ( ) ( ))( , ] (( , )) 1/ λ{ 1}.H b H aa b Rg a b e −∀ ⊂ = −

56

У т в е р ж д е н и е 1: λ-нечеткую меру Сугено для случая X = R

можно представить в виде как и в случае X конечного множества.

Доказательство. Пусть Ei ≡ (ai, bi], i ≡ 1, ..., n и Ei ≡ (an, bn] – попар-

но непересекающиеся подмножества R и пусть g i ≡ gλ(Ei) =

= 1/ ( 1).Ei

hdx

eλ ∫

λ − Таким образом, получаем λ

1 λ (i

hdxEie g i∫

= + =

1, ..., ).n= Тогда λ

( ) 1/ λ{ 1} 1/ λ{ (1 λ ) 1}.i Ei

iii

i

hdxg E e gλ

∑ ∫= − = + −∏∪

Когда 1 1, ( 1, ..., 1) и ,i i na b a i n b+= −∞ = = − = +∞ получаем gλ(R) = 1,

что и завершает доказательство.

2.2.2. Понятие ν-нечеткой меры Цукамото

Определение. Нечеткая мера gν называется ν-нечеткой мерой

Цукамото, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ( ) 1; ( ) 0;g X gν ν= ∅ =

2) , : ( ) ( );A B B A B g A g Bν ν∀ ∈ ⊆ ⇒ ≤

3) если : и : 0

(1 ) sup ( ) ( ), 0.

i i j

i i ii N i Ni N

i N A B i j A A

g A g A g Aν ν ν∈ ∈∈

∀ ∈ ∈ ∀ ≠ ∩ = ⇒

⎛ ⎞= − ν + ν ν ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑∪

Приведенная ν-нечеткая мера является расширением известной

меры Цукамото, для которой ν ∈ [0,1]. Нетрудно видеть, что при ν = 0

gν-мера является мерой возможности, при ν = 1, gν-мера является

вероятностной мерой, а при ν > 1, gν-мера описывает неопределен-

ность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или воз-

можности.

Условие нормировки для gν-меры в случае счетного множества X

имеет вид

( ) (1 ) max 1,i ii N i N

g X g gν∈ ∈

= − ν + ν =∑где

{ }( ), .i i ig g x x Xν= ∈

57

Если X = R, то для нечеткой плотности fν(x): X→[0,1] gν-мера имеет

вид ( ) (1 ) sup( ( )) ( ) .i N X

g X f x f x dxν ν ν∈

= − ν + ν∫У т в е р ж д е н и е 2:

1 ( )max( ,1 ( )), 1,

( )1 ( )

min( ,1 ( )), [0,1].

g Ag A

g Ag A

g A

νν

νν

ν

−⎧ − ν ν >⎪ ν= ⎨ −⎪ − ν ν ∈ν⎩

Доказательство. Используя следующее свойство: , : max{ , }a b R a b∀ ∈ =

/ 2 / 2a b a b= + + − и условие нормировки gν-меры, получаем

1 ( ) (1 )( ( ) ( ) / 2

( ) ( ) / 2) ( ( ) ( )).

g X g A g A

g A g A g A g A

ν ν ν

ν ν ν ν

= = − ν − +

+ + + ν +

Тогда, если ( ) ( )g A g Aν ν≤ , то ( ) (1 ( ) /g A g Aν ν= − ν , а при ( )g Aν >

( ) / ( ) 1– ( ).g A g A g Aν ν ν> = νДоказательство окончено.

Отказ от обязательного для вероятностной меры условия адди-

тивности создает определенную свободу с частными мерами, что

для ряда задач прикладного характера может быть весьма успешно

использовано.

Изложенное показывает, что с формальной точки зрения λ-нечеткая

мера и ν-нечеткая мера являются столь же обоснованными, как и час-

тный случай (λ = 0, ν = 1) – вероятностная мера.

Введение λ-нечеткой меры и ν-нечеткой меры полезно по следую-

щим причинам:

1. С их помощью можно поставить на фундамент теории меры

проблематику широкого круга прикладных задач оценивания и выбора

в условия неопределенности, имеющих невероятностный характер.

2. Позволяют подойти к решению задач принятия решений, связан-

ных с использованием оценок событий, выдаваемых человеком, мыш-

ление и возможности по учету различных факторов которого обычно не

удовлетворяют требованию аддитивности.

58

3. Особое место занимают задачи по оценке явлений единичного,

случайного характера, для которых частотная вероятностная концеп-

ция неприемлема.

2.3. Нечеткий интеграл

Введение данного понятия связано со стремлением к разработке в

нечеткой математике аналогов, используемых в статистике и теории

вероятностей понятий среднего и математического ожидания. Поскольку

указанные понятия базируются на свойстве аддитивности вероятнос-

тной меры, а нечеткие меры более широкий класс мер, разработка

указанных аналогов привела к построению принципиально новой мате-

матической конструкции.

Определение. Нечеткий интеграл от функции h: X → [0, 1] на мно-

жестве A ⊆ X по нечеткой мере g определяется как

αα [0,1]

( ) sup (α ( ))

A

h x g g A H∈

= ∧ ∩∫ �

где α { | ( ) α}.H x h x= ≥ Нечеткий интеграл принято также называть не-

четким ожиданием или FEV (fuzzy expected value).

Определение. Нечеткий интеграл от функции h: X → [0, 1] на не-

четком множестве A = {x, μA(x)} по нечеткой мере g определяется как

( ) (μ ( ) ( )) .AA A

h x g x h x g= ∧∫ ∫� � (2.16)

Отметим основные свойства нечетких интегралов.

Пусть a ∈ [0,1], (E, F ⊆ X ) и h: X → [0,1].

1. ( )E E

a h g a h g∨ = ∨∫ ∫� � .

2. ( )E E

a h g a h g∧ = ∧∫ ∫� � .

3. 1 2 1 2( )E E E

h h g h g h g∨ ≥ ∨∫ ∫ ∫� � � .

4. 1 2 1 2( )E E E

h h g h g h g∧ ≤ ∧∫ ∫ ∫� � � .

59

5.

E F E F

h g h g h g∪

≥ ∨∫ ∫ ∫� � � .

6.

E F E F

h g h g h g∩

≥ ∧∫ ∫ ∫� � � .

Можно показать, что понятие нечеткого интеграла сходно с поняти-

ем интеграла Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на

непересекающиеся подмножества (рис. 2.2) .

1: , , , 1... .i i i j

iE X E E E i j i n

== ∪ ∩ = ∅ ≠ =

Пусть 1

( ) α ( )i

n

i Ei

h x f x=

= ∑ ступенчатая возрастающая функция (h: X

→ [0,1]), где α [0,1], ,ii i EE X f∈ ⊂ – характеристическая функция обыч-

ного множества Ei, т. е. ( ) 1

iEf x = , если , ( ) 0,ii E ix E f x x E∈ = ∉ . Пусть l

есть мера Лебега. Интеграл Лебега от функции h по множеству A опре-

деляется как

, ( ) 0, ,ii E ix E f x x E∈ = ∉ (2.17)

где 1 2 3{1, 2, 3 .... };α α α ... α .ni I n∈ = ≤ ≤ ≤ Введем множества i iF E= ∪

1 ...i nE E+∪ ∪ ∪ , i = 1, 2, …, n.

Рис. 2.2. Построение ступенчатой функции

1,0

h(x)

En

Fn

Fn–1

E1

E2

0

α0

α1

α2

αn

μ

F1

60

Тогда h(x) можно определить в виде

1,( ) max min(α , ( ))

ii Fi n

h x f x=

=

и получаем следующее по аналогии с определением обычного интегра-

ла выражение для нечеткого интеграла:

1( ) ( ) max min(α , ( )).i i

i nA

h x g g A F=

= ∩∫ � i (2.18)

Оба интеграла – лебегов и нечеткий – можно сравнить, используя

вероятностную меру-[18]. Если (X, B, Р) – вероятностное пространство,

а h: X → [0,1] есть B-измеримая функция, то имеем, что

1( ) ( ) ( ) .4

X X

h x P h x dP− ≤∫ ∫� i (2.19)

Сравнительно легко осуществлять расчет нечеткого интеграла в слу-

чае конечного множества X и соответственно конечного числа α, для

которых требуется определить g(Hα).

Для этого необходимо воспользоваться следующим утверждени-

ем [18].

У т в е р ж д е н и е. Если функция h(x) принимает n + 1 значение αi,

то соответственно множество значений g(Hαi), отличных от 0 и 1, со-

стоит из n элементов. В последовательности из 2n + 1 элементов, со-

ставленной из элементов {αi} и {g(Hαi

)}, расположенных в порядке

возрастания, значение срединного n + 1 элемента равно значению FEV(h).

На рис. 2.3 приведен пример графической интерпретации нахожде-

ния значения нечеткого интеграла для X = R1

α[0,1]

( ) ( ) sup (α ( ))

X

FEV h h x G G Hα∈

= = ∧∫ � , где α { | ( ) α}H x h x= ≥ .

В качестве примеров рассмотрим вычисления нечеткого интеграла

для конечных множеств в случаях gλ- и gv-мер.

П р и м е р

Пусть задано пятиэлементное множество X = {xi}, i ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.

Каждому элементу xi ∈ X соответствуют значения нечетких плотнос-

тей gi из табл. 2.1.

61

Согласно условию нормировки для gl-меры получаем λ = 0,25. Зна-

чение нечеткого интеграла

[0,1]sup [α ]S gα

α∈= ∧

,

где α

1 ( (α 1) 1); { | ( ) α},α [0,1],i ii H

g g H i h xα

α∈

= + − = ≥ ∈λ ∏ i принимает зна-

чение S = 0,4379.

Для gν-меры из условия нормировки можно получить

5

15 5

11

(1 )1,127.

ii

i iii

gv

g g

=

==

− ∨= =

− ∨∑При этом значение нечеткого интеграла для gν -меры S = 0,448.

i 1 2 3 4 5

gi

071,0 752,0 612,0 212,0 160,0

h( ix ) 5,0 7,0 1,0 2,0 3,0

Таблица 2.1

Рис. 2.3. Графическая интерпретация нечеткого интеграла

C

0,1

FEV(h)

Hα

X

α

0,1

h(x)

y = αy = G(Hα)

α

62

2.4. Примеры использования нечетких мер иинтеграла в процессах принятия решений

П р и м е р 1

Рассмотрим технический комплекс управления подвижным объек-

том, состоящий из 10 средств четырех типов {ω1, ω

2, ω

3, ω

4}. Количе-

ство средств каждого типа и интенсивность обмена информацией тех-

нических средств с подвижным объектом в процессе управления им

заданы в табл. 2.2.

Определим среднее взвешенное и нечеткое ожидание интенсивно-

сти обмена информацией всего технического комплекса. Для этого в

качестве меры, определяющей важность использования в процессе уп-

равления каждого типа средств, примем g(ω1) = 0,2, g(ω2) = 0,4,

g(ω3) = 0,2, g(ω

4) = 0,2 как отношения количества средств данного

типа к общему числу всех средств. Введенная мера обладает свой-

ствами вероятностной меры.

Тогда среднее взвешенное значение интенсивности вычисляется по

формуле4

1

( ) ( ).i ii

E g h=

= ω ω∑ i

E = 0,2·0,2 + 0,4·0,25 + 0,2·0,3 + 0,2·0,99 = 0,398.

Для расчета нечеткого среднего FEV(h) воспользуемся утвержде-

нием из подразд. 2.3:

α1 = 0,2; g(Hα1

) = g({ω1, ω

2, ω

3, ω

4}) = 1;

α2 = 0,25; g(Hα2

) = g({ω2, ω

3, ω

4}) = 0,4+0,2+0,2 = 0,8;

α3 = 0.3; g(Hα3

) = g({ω3, ω

4}) = 0,2+0,2 = 0,4;

α4 = 0.99; g(Hα4

) = g({ω4}) = 0,2.

Таблица 2.2

автсдерспиТ ω1

ω2

ω3

ω4

втсдерсовтсечилоК 2 4 2 2

(йеицамрофнианембоьтсонвиснетнИ h(ω )) 2,0 52,0 3,0 99,0

63

Расположим все полученные значения αi

и g(Hαi) ≠ 1 в порядке

возрастания, получим последовательность (0,2; 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,8;

0,99). Значение срединного элемента этой последовательности равен

FEV(h) = 0,3.

Значение FEV(h) = 0,3 более адекватно отражает интенсивность ра-

боты средств в рассматриваемом комплексе, чем значение математи-

ческого ожидания Е = 0,398. Отличие E от FEV(h) связано с интенсив-

ностью работы лишь двух средств комплекса, составляющих небольшую

часть от общего числа средств. Таким образом, для ряда практичес-

ких задач нахождение FEV целесообразно даже при использовании ад-

дитивных мер, не говоря уже о тех задачах, для которых используются

неаддитивные меры.

П р и м е р 2

Основные особенности и соответствующие проблемы, связанные

с решением задач многокритериальной оптимизации, имеют скорее не

вычислительный, а концептуальный характер, так как невозможно

строго математически доказать, что выбранная в конкретных услови-

ях ЛПР-альтернатива из числа недоминируемых (не улучшаемых од-

новременно по всем показателям) является наилучшей. Построение

множества Парето не снимает многокритериальной неопределеннос-

ти, а является первым шагом на пути ее преодоления. Для корректно-

го решения указанной проблемы (поиск наилучшей альтернативы) не-

обходимо получение дополнительной информации от ЛПР, на основе

которой формируется соответствующее результирующее отношение

предпочтения (правило согласования).

На различных этапах жизненного цикла разработки проектных ре-

шений (ПР) возрастают потребности в получении и обработке все бо-

лее сложной и неточной информации. Причем значительная часть этой

информации недоступна в форме точных, четко определенных значе-

ний. Как показывает анализ, учет факторов неопределенности и непол-

ноты информации является неотъемлемой принадлежностью сложных

ПР. Обычно не существует, да и невозможно получить достаточной

статистической информации о различных параметрах ПР. Причем тра-

диционный путь учета факторов неопределености на основе вероятнос-

тного и статистического моделирования в ряде ситуаций может ока-

заться неадекватным решаемым задачам и привести к неверным

результатам.

64

В интересах решения проблемы конструирования обобщенных пока-

зателей эффективности для оценки различных вариантов разрабатыва-

емых ПР предлагается использовать нечетко-возможностный подход

для формализации неопределенности стоящих целей создания и разра-

ботки ПР и разрешения многокритериальной неопределенности.

Преимущества теории возможностей, основанной на идее нечеткого

множества, заключается в том, что она позволяет количественно опи-

сывать суждения, характеризовать неопределенность и моделировать

неточность при разработке ПР.

Предположим, что общий показатель эффективности разрабатывае-

мых ПР выражается в виде иерархии n частных показателей эффектив-

ности F = {Fi, i = 1, 2, ...,n}, которые оценивают варианты ПР из множе-

ства W = {w}. На практике число проектов W является конечным и

достаточно малым, так что их можно перечислить непосредственно.

В качестве частных показателей Fi, как правило, выступают показа-

тели целевой, технической, экономической эффективности и др. Част-

ные показатели эффективности Fi(X

1, X

2, ..., X

m, Z) зависят от различ-

ных структурных, конструктивных и других параметров (Xj) ПР и от

влияния внешней среды (Z) на различных этапах жизненного цикла сис-

темы. Эта взаимосвязь параметров и показателей эффективности ПР

может задаваться не только в аналитическом, но и в алгоритмическом

виде путем построения различных моделей функционирования системы

(многоструктурный, многомодельный подход [14, 15] ).

При этом сведения о параметрах и внешней среде носят неточный,

неопределенный характер, особенно на этапах проектирования, созда-

ния, развития ПР. Имеется значительная неопределенность в возмож-

ностях достижения характеристик системы тех или иных своих значе-

ний. В связи с этим полагаем, что возможности параметров реализации

заданы в виде нечетких множеств Xj = (x

j, μ

j(x

j)), Z = (z, ν(z)). Здесь

μj(xj), ν(z) – возможности того, что параметры Xj, характеристики внеш-

ней среды Z могут принимать соответственно значения xj, z.

Учитывая вышесказанное считаем, что частные показатели эф-

фективности ПР будут представлены в виде нечеткого события Fi:

W → ℜ(Yi), где для каждого варианта w ∈ W F

i(w) ⊆ Y

i является

нечетким множеством Fi(w) = (f

i, μ

Fi(w)(f

i)), f

i ∈ Y

i – значения пока-

зателя Fi, μFi(w) – функция принадлежности. При этом μFi(w)(fi) ин-

терпретируется как возможность того, что показатель эффектив-

ности Fi примет значение f

i для проекта w ∈ W.

65

Таким образом, задача заключается в выработке обобщенного по-

казателя эффективности ПР (F), представляющего собой некоторую

операцию над нечеткими событиями F(w) = H(F1(w), F2(w), ..., Fn(w))

,W∀∈ объединяющего частные показатели эффективности и учиты-

вающего их влияние на оценку вариантов ПР на различных этапах жиз-

ненного цикла.

В зависимости от особенностей разрабатываемых ПР частные по-

казатели эффективности, как правило, носят неравнозначный по важно-

сти характер. Распространенным методом выражения различий крите-

риев по важности является назначение каждому из них некоторого веса

с последующим суммированием этих весов в рамках операции свертки.

Данный подход, как показывает анализ [14, 15], приводит к потерям в

эффективности применения ПР. Указанные потери вызваны тем, что

коэффициенты в свертке частных показателей эффективности не учи-

тывают нелинейный характер влияния показателей Fi друг на друга и в

целом на обобщенный показатель эффективности ПР. Для того чтобы

избежать указанные недостатки и учесть нечетко-возможностное пред-

ставление частных показателей эффективности, в настоящей работе

предлагается при построении обобщенного показателя эффективности

ПР нечетко-возможностная свертка, основанная на нечеткой мере и

нечетком интеграле [ 3, 5, 10 ].

Пусть gi (i = 1, ..., n) (0 < g

i< 1) коэффициенты важности отдельно

взятых частных показателей эффективности при построении обобщен-

ного показателя. Данная информация может быть получена от экспер-

тов с применением методов экспертного оценивания [14]. Учет влияния

совокупности различных показателей Fi, i ∈ M (M = {1,2, ...,n}) на оцен-

ку вариантов из множества W предлагается осуществлять путем пост-

роения конструктивной λ-нечеткой меры Сугено на конечном множе-

стве частных показателей Fi, i ∈ М, где g

i – плотность распределения

этой нечеткой меры. Мера Сугено для рассматриваемого случая имеет

следующий вид [3, 5]:

{ }( ) ( )1

1 1, 1 1 / λ, .i ii M

G F i M g M Mλ∈

⎡ ⎤=∈ = + λ − ⊆⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∏

Следует указать, что значение λ находится из условия нормировки

λ-нечеткой меры Сугено

66

( )1

1 1 / 1, 1 .n

ii

g=

⎡ ⎤+ λ − λ = − < λ < ∞⎢ ⎥

⎣ ⎦∏ (2.20)

Обобщенный показатель эффективности ПР предлагается констру-

ировать в виде нечеткой свертки, позволяющей гибко учитывать нели-

нейный характер влияния частных показателей. Для чего используем

понятие нечеткого интеграла по λ-нечеткой мере Сугено [3, 5]:

[ ]( )α

α 0,1

( ) sup min{α, ( )},e w h G G F wλ λ∈

= =∫ �

где Fα(w) = {Fi| h(F

i, w) ≥ α} – множество показателей, степень влияния

которых на оценку варианта w ∈ W превышает порог α; h:FxW → [0,1] –

оценочная функция.

В качестве оценочной функции h будем считать значения частных

показателей эффективности, приведенных к безразмерному виду с но-

сителем нечеткого множества Fi(w) (i = 1, ...,n; w ∈ W) в интервале [0,1]

с помощью следующего преобразования:

( ) ( )( )( )/ ,μ ,i i i Fi w iF w f K f=�

где ( )( )μ 0

max max { }.Fi w i

i iw W f

K f∈ >

=

Рассмотрим частный случай предложенного подхода к разрешению

многокритериальной неопределенности. Пусть частные показатели эф-

фективности ПР из множества F = {Fi, i = 1,2, ...,n} принимают четкие

значения, т. е. Fi: W → [0, ∞), i = 1,2, …n, где W = {w

j, j = 1,2, …, m}.

В этих условиях методика построения обобщенного показателя эф-

фективности e(wj) для каждого варианта w

j и выбор среди них наилуч-

шей альтернативы состоит из следующих шагов.

Ш а г 1. Построение оценочной функции h: FxW → [0,1] путем нор-

мировки частных показателей Fi, i = 1,2, ...,n.

Ш а г 2. Проведение экспертного опроса для нахождения коэффици-

ентов важности отдельно взятых показателей эффективности ПР gi (i =

= 1, ..., n) (0 < gi < 1).

Ш а г 3. Построение λ-нечеткой меры Сугено, характеризующей

важности различных совокупностей показателей из множества F при

принятии решений. Для чего осуществляется нахождение корня из ин-

тервала (–1, ∞) следующего полинома n-1-го порядка

67

( )1

1 λ 1 / λ 1.n

ii

g=

⎡ ⎤+ − =⎢ ⎥

⎣ ⎦∏

Ш а г 4. Вычисление значения результирующего показателя эффек-

тивности на основе нечеткой свертки частных показателей

[ ]λ α

α 0,1

sup min{α, ( ( ))},( ) jj G F we w h G∈

λ= =∫ �

где

Fα(wj) = {F

i| F

i,(w

j) ≥ α}, w

j ∈ W,

( )( ) ( )( )

α

α 1 1 / λ.F F wi j

j iG F w g∈

λ⎡ ⎤

= + λ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∏Ш а г 5. Нахождение варианта w

j0 ∈ W, доставляющего обобщенно-

му показателю максимальное значение:

( ) )(0 .max

j

j

e wj

w W

e w∈

=

Применим рассмотренный алгоритм для выбора рационального ПР

из множества W = {w1

,w2

,w3}, состоящего из трех вариантов, по трем

показателям эффективности F = {F1 ,F2 ,F3}. Исходные данные приве-

дены в табл. 2.3.

1. Построение λ-нечеткой меры Сугено (расчет коэффициента нор-

мировки λ):

(1 0, 2λ)(1 0, 6λ)(1 0, 4λ) 11

λ

+ + + − = ⇒

⇒ 0,048λ2 + 0,44λ + 0,2 = 0 ⇒ λ1 ≈ –0,48; λ

2 ≈ –8,69 (параметр должен

быть в области –1 < λ < ∞) ⇒ λ ≈ –0,48.

Таблица 2.3

F gi

w1

w2

w3

F1 2,0 3/1 9/4 9/2

F2 6,0 3/1 6/1 2/1

F3

4,0 7/1 7/2 7/4

68

2. Расчет обобщенного показателя для варианта w1:

(расчет уровней αi и значений важности множества показателей, удов-

летворяющих требованию αi Gλ(Fαi(w1)) для варианта w1:

α1 = 1/7; Fα1

(w1) = {F

1, F

2, F

3} ⇒ Gλ(Fα1

(w1)) = 1 ⇒

⇒ min{α1, Gλ(Fα1(w1))} = 1/7;

α2 = 1/3; Fα2

(w1) = {F

1, F

2} ⇒

⇒ Gλ(Fα2(w

1)) =

(1 0, 2λ)(1 0, 6λ) 1

λ

+ + − ≈ 0,742 ⇒

⇒ min{α2, Gλ(Fα2

(w1))} = 1/3;

α3 > 1/3; Fα3

(w1) = ∅ ⇒ Gλ(Fα3

(w1)) = 0 ⇒

⇒ min{α3, Gλ(Fα3(w1))} = 0;

– (определение максимального из минимальных значений): e(w1) =

= max{1/7,1/3,0} = 1/3 – значение обобщенного показателя для вари-

анта w1.

3. Расчет обобщенного показателя для варианта w2:

α1 = 1/6; Fα1

(w2) = {F

1, F

2, F

3} ⇒ Gλ(Fα1

(w2)) = 1 ⇒

⇒ min{α1, Gλ(Fα1(w2))} = 1/6;

α2 = 2/7; Fα2

(w2) = {F

1, F

3} ⇒

( )2 2(1 0, 2λ)(1 0, 4λ) 1

( ) 0,56λ

G F wλ α+ + −⇒ = ≈ ⇒

⇒ min{α2, Gλ(Fα2

(w2))} = 2/7;

α3 = 4/9; Fα3

(w2) = {F

1} ⇒

⇒ Gλ(Fα3(w2)) = 0,2 ⇒ min{α3, Gλ(Fα3(w2))} = 0,2;

α4 > 4/9; Fα4

(w2) = ∅ ⇒ Gλ(Fα4

(w2)) = 0 ⇒

⇒ min{α4, Gλ(Fα4

(w2))} = 0;

2( ) max{1/ 6, 2 / 7, 0, 2, 0} 2 / 7e w = = – значение обобщенного показате-

ля для варианта w2.

4. Расчет обобщенного показателя для варианта w3:

α1 = 2/9; Fα1

(w3) = {F

1, F

2, F

3} ⇒ Gλ(Fα1

(w3)) = 1 ⇒

⇒ min{α1, Gλ(Fα1

(w3))} = 2/9;

69

α2 = 1/2; Fα2

(w3) = {F

2, F

3} ⇒

( )2 3(1 0, 6λ)(1 0, 4λ) 1

( ) 0,88λ

G F wλ α+ + −⇒ = ≈ ⇒

⇒ min{α2, Gλ(Fα2

(w3))} = 1/2;

α3 = 4/7; Fα3

(w3) = {F

3} ⇒

⇒ Gλ(Fα3(w3)) = 0,4 ⇒ min{α3, Gλ(Fα3(w3))} = 0.4;

α4 > 4/7; Fα4

(w3) = ∅ ⇒ Gλ(Fα4

(w3)) = 0 ⇒

⇒ min{α4, Gλ(Fα4

(w3))} = 0.

3( ) max{2 / 9,1/ 2, 0, 4, 0} 1/ 2e w = = – значение обобщенного показателя

для варианта w3.

5. Нахождение наилучшего варианта wj0

∈ W.

Выбор варианта, который доставляет обобщенному показателю наи-

лучшее значение:

o 3 arg max ( ).j

j jw W

w w e w∈

= =

Таким образом, наилучший из предложенных вариантов ПР являет-

ся третий вариант.

Библиографический список

1. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его примене-

ние к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и

связь, 1982.

3. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного ин-

теллекта / Под ред. Д. А. Поспелова. М.: Наука, 1986.

4. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т. Тэтано, К. Асаи,

Сугэно. М.: Мир, 1993.

5. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние дости-

жения / под ред. Р. Ягера М.: Радио и связь, 1986.

6. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой ис-

ходной информации. М.: Наука, 1981.

7. Борисов А. Н., Крумберг О. А., Федоров И. П. Принятие реше-

ний на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига: Зинат-

не, 1990.

70

8. Малышев Н. Г., Берштейн Л. С., Боженюк А. В. Нечеткие мо-

дели для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.

9. Беллман Р., Заде Л. Вопросы принятия решений в расплывчатых

условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир,

1976.

10. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к пред-

ставлению знаний в информатике. М.: Радио и связь, 1990.

11. Зайченко Ю. П. Исследование операций. Нечеткая оптимизация.

Киев: Выща школа, 1991.

12. Згуровский З. М. Интегрированные системы оптимального уп-

равления и проектирования: учеб. пособие. К.: Выща школа, 1990.

13. Райфа Г. Анализ решений М.: Наука, 1974.

14. Военная системотехника и системный анализ / под ред. Б. В. Со-

колова; ВИКУ им. А. Ф. Можайского,1999.

15. Резников Б. А. Системный анализ и методы системотехники. Ч. 1 /

МО СССР. 1990.

16. Tong R.M., Bonnosone P. P. Linguistic Approach to Decision Making

with Fuzzy Sets // IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics. 1981. Vol.

10. № 1.

17. Shafer G. A. Mathematical Theory of Evidence. – Princeton: Princeton

Univ. Press, 1976.

18. Кандель А., Байатт У. Нечеткие множества, нечеткая алгебра,

нечеткая статистика // ТИИЭР. 1978. Т. 66. № 12.

71

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................... 31. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА И ОТНОШЕНИЯ В МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ .............................................................................. 5

1.1. Операции над нечеткими множествами и отношениями ................... 51.1.1. Понятие нечеткого множества .................................................... 51.1.2. Операции над нечеткими множествами ..................................... 61.1.3. Понятие нечеткого отношения .................................................... 101.1.4. Операции над нечеткими отношениями .................................... 11

1.2. Арифметические операции над нечеткими числами ......................... 151.2.1. Понятие нечеткой и лингвистической переменных ................... 151.2.2. Понятие нечеткого числа ............................................................. 171.2.3. Принцип обобщения ................................................................... 171.2.4. Операции над нечеткими числами ............................................. 18

1.3. Практические вычисления арифметических операций над нечеткими числами ........................................................................ 22

1.3.1. Нечеткие числа (L-R)-типа ........................................................... 221.3.2. Выполнение арифметических операций над нечеткими числами ........................................................................................ 241.3.3. Приближенные вычисления арифметических операций над нечеткими числами ............................................. 26

1.4. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств ............................................................................... 271.5. Операции сравнения нечетких чисел ................................................... 311.6. Иллюстративные примеры ................................................................... 36

1.6.1. Задача сетевого планирования с нечетко заданными длительностями операций .......................................................... 361.6.2. Оценивание денежных средств в бюджете .................................. 381.6.3. Стабилизация перевернутого маятника ..................................... 401.6.4. Области применения нечеткого управления .............................. 45

2. НЕЧЕТКИЕ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ В МОДЕЛЯХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 462.1. Классификация мер неопределенности ............................................... 46

2.1.1. Нечеткие меры Сугено ................................................................ 482.1.2. Супераддитивные меры ............................................................... 502.1.3. Субаддитивные меры ................................................................... 51

2.2. Параметрические нечеткие меры ........................................................ 512.2.1. Понятие λ-нечеткой меры Сугено ............................................... 512.2.2. Понятие ν-нечеткой меры Цукамото .......................................... 57

2.3. Нечеткий интеграл ................................................................................. 582.4. Примеры использования нечетких мер и интеграла в процессах принятия решений ................................................................................ 62

Библиографический список ........................................................................... 69

72

Учебное издание

Павлов Александр Николаевич

Соколов Борис Владимирович

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙВ УСЛОВИЯХ

НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ

Учебное пособие

Редактор Г. Д. Бакастова

Компьютерный набор и верстка Н. С. Степановой

Сдано в набор 06.09.05. Подписано в печать 28.11.05 Формат 60×84 1/16. Бумага

офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 4,24. Усл. кр.-отт. 4,37. Уч.-изд. л. 4,0.

Тираж 120 экз. Заказ №

Редакционно-издательский отдел

Отдел электронных публикаций и библиографии библиотеки

Отдел оперативной полиграфии

СПбГУАП

190000, Санкт-Петербург, ул. Б. Морская, 67