数学实验是大学数学教学改革的内容。该内容的开设使得学生学会使用计算机中的数学软件去做计算和研究工作，而不再是花大量的时间去钻研计算技巧。本章介绍用 MATLAB 软件进行数学实验的方法。在 MATLAB 软件中， % 后的内容为注释内容，程序不执行，以下用“↘ ”表示回车。

背 景

第二章 一元微分学及其应用第一节 微积分运算实验

一、微积分运算的注意事项

二、极限运算

三、微分与导数运算

四、积分运算

五、解常微分方程

附录：MATLAB常用数学函数

非数值的微积分运算，在 MATLAB 中称为符号

一、微积分运算的注意事项

(1) 均需使用命令“ sym” 或“ syms” 创建符号变量和

(2) 先创建符号变量，然后才能创建符号表达式；

符号表达式，然后才能进行符号运算；

运算，使用时有以下要求：

求表达式极限的命令用“ limit”，基本用法见下表

ax

xf

)(lim

ax

xf )(lim

ax

xf )(lim

表达式 输入命令格式 备注

limit (f,x,a) 若 a=0 ，且是对 x 求极限，可简写为 limit(f)

limit (f,x,a,’left’) 趋于 a 的左极限

limit (f,x,a,’right’)

趋于 a 的右极限

二、极限运算

例 1 、求函数 f (x) = ax2+bx+c 的极限。

解 输入及结果如下：

f2 = a*x^2+3*x+c

>>syms a b c x

>>f = sym ('a*x^2+b*x+c');

>>f1 = limit (f,x,2)

f1 = 4*a+2*b+c

>>f2 = limit (f,b,3)

例 2、用导数定义求函数 f (x)=cos(x) 的导数。解 输入及结果如下：

ans = - sin(x)

>>syms t x

>>limit ( (cos (x+t)-cos (x) )/ t, t,0)

三、微分与导数运算

求导数用命令“ diff” ，相关的语法见下表

)(xfdx

d

)(2

2

xfdx

d

)(xfdx

dn

n

输入格式 含 义

diff(f)或 diff(f,x)diff(f,2)或 diff(f,x,2)diff(f,n)或 diff(f,x,n)diff(S,'x') 求表达式 S 关于 x 的导数

diff(S,'x',n) 求表达式 S 关于 x 的 n 次导数

例 3 、求函数 f (x) = ax2+bx+c 的导数。

解 输入及结果如下：

f4=0

>>syms a b c x>>f1=diff('a*x^2+b*x+c') f1=2*a*x+b>>f2=diff('a*x^2+b*x+c',2) f2=2*a>>f3=diff(f,a) f3=x^2>>f4=diff(f,a,2)

四、积分计算

运用命令“ int ” 可以求函数式的积分．但是，函数的积分不可能都存在，即使有时存在，也可能限于软件无法顺利表达出来．当 MATLAB 不能找到积分时，它将返回函数表达式．运用“ int ” 的语法见下表

dxxf )(

b

adxxf )(

输入格式 含 义

int(f)或 int(f,x)int(f,a,b)或 int(f,x,a,b)

解 输入及结果如下：

．

>>syms a b c x

>>f=sym('a*x^2+b*x+c');

>>f1=int(f)

f1 =1/3*a*x^3+1/2*b*x^2+c*x

例 4 、求 2( )ax bx c dx ，2 2

0( )dax bx c x ，

2( ) ,ax bx c da 2[ ( )d ]dax bx c a y

>>f4=int(int(f,a),x)

>>f2=int(f,x,0,2)

f2 =8/3*a+2*b+2*c

>>f3=int(f,a)

f3=1/2*a^2*x^2+b*x*a+c*a

f4 =1/6*a^2*x^3+1/2*b*x^2*a+c*a*x

五、解常微分方程

解微分方程的基本操作命令见下表

在求解微分方程中，用 Dy 表示 'y， D2y 表示 ''y ．

),(' yxfy

ayyxfy )0(),,('

byayyyxfy

)0(',)0(),',,(''

输 入 格 式 含　　　义

dsolve('Dy=f(x,y)','x') 求一阶微分方程 的通解

dsolve('Dy=f(x,y)','y(0)=a','x')

求一阶微分方程的特解

dsolve('D2y=f(x,y,Dy)','y(0)=a','Dy(0)=b','x')

求二阶微分方程的特解

例 5、求以下微分方程和微分方程组：

(1) 求 xy ' 的通解；

(2) 求 1 yy 的通解；

(3) 求 1 yy 满足初始条件 y(0)=1 ， Dy(0)=0

的特解。

解 输入及结果如下：

>>syms x y >>y=dsolve('Dy=x','x') y =1/2*x^2+C1 >>dsolve (‘D2y= Dy+1’,’x’) ans =-x+C1+C2*exp(x) >>dsolve('D2y= Dy+1','y(0)=1','Dy(0)=0','x')

ans =-x+exp(x)

(1)

(2)

(3)

MATLAB典型函数

含义 MATLAB典型函数

含义

abs(x) 求绝对值 tan(x) 正切值

sqrt(x) 求平方根值 cot(x) 余切值

exp(x) 指数运算 atan(x) 反正切值

sin(x) 正弦值 acot(x) 反余切值

cos(x) 余弦值 log(x) 自然对数

asin(x) 反正弦值 Log10(x) 常用对数

acos(x) 反余弦值    

附录： MATLAB 软件中部分常用函数表