第二章測量誤差

第二章測量誤差第二章測量誤差

誤差是指觀測量與已知值 ( 真值 ) 之間的差異情形，即『誤差 = 觀測值－已知值 ( 真值 ) 』 Error = Observed value - True value

概述概述測量時由於人為能力 (human skill) 、儀器構造(mechanical equipment) 及自然環境 (nature environment) 之種種影響，故任何測量工作，皆不能求得其真值，每次觀測值都會含有不可避免之誤差存在。

將觀測次數增加，其多於所必要者，即為多餘觀測 (redundancy) ，可藉此多餘觀測施行平差計算，以探討觀測之誤差與成果之精度；並取得多餘觀測之平均值，當作為最或是值 (most probable value) 。

任何測量作業應按測量目的之需求，釐定誤差界限，促使測量成果能達到需用之精度為目標。

觀測與觀測值的分類觀測與觀測值的分類構成測量工作的要素包括觀測者、測量儀器和

外界環境條件，稱為觀測條件。

同精度觀測和不同精度觀測在相同的觀測條件下，即用同一精度等級的儀

器、設備，用相同的方法和在相同的外界條件下，由具有大致相同技術水平的人所進行的觀測稱為同精度觀測，其觀測值稱為同精度觀測值或等精度觀測值。反之，則稱為不同精度觀測，其觀測值稱為不同（不等）精度觀測值。

觀測與觀測值的分類觀測與觀測值的分類

例如 : 兩人用同一經緯儀各自測得的一測回水

平角度屬於同精度觀測值若一人用 T2 經緯儀、一人用 NT2 經緯

儀測得的一測回水平角角度，或都用同一經緯儀，但一人測二測回，一人測四測回，各自所得到的均值則屬於不同精度觀測值。

觀測與觀測值的分類觀測與觀測值的分類直接觀測和間接觀測(Direct and Indirect Observations)為確定某未知量而直接進行的觀測，即被觀測量就是所求未知量本身，稱為直接觀測，觀測值稱為直接觀測值。

通過被觀測量與未知量的函數關係來確定未知量的觀測稱為間接觀測，觀測值稱為間接觀測值。

例如，為確定兩點間的距離，用鋼尺直接丈量屬於直接觀測；而視距測量則屬於間接觀測。

觀測與觀測值的分類觀測與觀測值的分類獨立觀測和非獨立觀測各觀測量之間無任何依存關係，是相互獨立的觀測，稱為獨立觀測，觀測值稱為獨立觀測值。

若各觀測量之間存在一定的幾何或物理條件的約束，則稱為非獨立觀測，觀測值稱為非獨立觀測值。

如對某一單個未知量進行重複觀測，各次觀測是獨立的，各觀測值屬於獨立觀測值。觀測某平面三角形的三個內角，因三角形內角之和應滿足 180° 這個幾何條件，則屬於非獨立觀測，三個內角的觀測值屬於非獨立觀測值。

相關名詞

真值（ true value）任何物理量正確之值，此值在測量中絕無法

獲得 (the true value of an observation is never known）

最或是值（ most probable value）與真值最近似之值

測量之誤差（ error）測量之觀測值與最或是值之差觀測值與真值之差稱為真誤差

誤差之來源誤差之來源 (sources of errors)(sources of errors)

（ 1 ）儀器誤差（ instrumental errors）：起因於儀器裝置及校正不完善所致。譬如量尺刻度的不均勻不準確

（ 2 ）人為誤差（ personal errors） - 觀測者：起因於人之視力與反應能力不同所致。

（ 3 ）自然誤差（ natural errors ） - 外在環境：

起因於日曬、風吹、溫度及大氣之折光與磁針偏差等自然現象之變化所致。

誤差之種類誤差之種類 (Types of errors)(Types of errors)

（ 1) 錯誤（ mistakes ）或粗差（ gross error ）：錯誤之產生係由於人為之疏忽，無經驗或因

精神緊張 1 ）、不細心所引起

（ 2 ）系統誤差（ systematic errors ）：系統誤差常係由於儀器本身或儀器改正欠完

善之小誤差，經多次觀測後，累積成大錯誤

（ 3 ）偶然誤差 (accidental errors, random errors): 偶然誤差係由於儀器不夠精細，自然環境

之變化等所引起

誤差之消除誤差之消除

（ 1 ）錯誤增加測量次數，多加檢核工作，當可減少發生錯誤之機會。

（ 2 ）系統誤差於施測前需將儀器妥為檢點與校正、採用對稱觀測的方法或於施測後加以改正。

（ 3 ）偶然誤差改良測量技術及以計算或圖解方法平差改正之

偶然誤差性質偶然誤差，具有以下四個統計特性：1. 在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；

2. 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會大；絕對值越小的偶然誤差，其出現機率

3. 絕對值相等的正、負誤差出現的機會相等；4. 在相同條件下，對同一量進行重複觀測，偶然

誤差的算術平均值隨著觀測次數的無限增加而趨於零，即 1 2 .......

lim lim 0n

n nn n

越高

誤差曲線誤差曲線 (error density curve)(error density curve)

誤差之性質誤差之性質

(1)累積誤差其誤差總值為測量次數累積數，即誤差與觀測次數成比例。

(2)相消誤差 : 其誤差出現為偶然，或正或負，若以多次觀測可能減小或相消。

在測量工作中，無論如何小心從事，謹慎操作，其所測得之結果，總會多少有一點誤差，每一測量工作均可能產生誤差。(Every observation contains errors) 從事測量工作者，應熟諳誤差之性質，誤差可能產生之情況，儘量避免 ; 並應暸解測量工作精度之需求，採用適當方法及合適之儀器施測，以期達到預定之目標。

誤差之性質誤差之性質

較差 (discrepancy)

對同一量經二次觀測，此二次觀測之差，稱為較差較差甚小時，可表示觀測無重大錯誤 , 或亦表示偶然誤差甚小，但卻無法顯示出系統誤差之大小，蓋較差小並非表示系統誤亦小。

如以鋼捲尺測量距離，二次之較差為 0.002公尺 ,但由於尺本身之長度不準，或溫度變化所產生之誤差，則可能大於 0.002公尺以上，如無做其他校正，僅重複測量，並無法發現此系統誤差。

最或是值最或是值

(1)同一量複測數次

在同一環境下對某量多次複測所得之數個觀測值，求其平均值即為最或是值，觀測次數愈多，其平均值愈接近真值。

平均值接近真值平均值接近真值

觀測次數愈多，其平均值 L 愈接近真值 X

1 1 2 2

1 2

, ,

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]0

( ) [ ]

n n

n

l X l X X l

l nX

lX L X

n n

nn

L X

l l l lL

n n

其中算術平均值

nn 次同權直接觀測其最或是值為算術平均次同權直接觀測其最或是值為算術平均值值

設 l1,l2,…ln為同權直接觀測值， Z 為最或是值，則其剩餘誤差 residuals（改正值）為

1 1 2 2

2 2 21 2

2 2 21 2

1 2

1 2

1 2

, ,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

( ) [ ]

n n

n

n

n

n

n

Z l Z l Z l

Z l Z l Z l

d d dZ l Z l Z l

dZ dZ dZZ l Z l Z l

nZ l l l

l l l lZ L

n n

最小

算術平均值

例題例題 2-l2-l

一距離以鋼捲尺丈量三次，三次之觀測值分別為127.483公尺、 127.481公尺、 127.486公尺，試求其最或是值為若干公尺？解：最或是值

1127.483 127.481 127.486 127.483

3 公尺

例題例題 2-22-2

一經緯儀經詳細檢點、校正後，用其測量一水平角，重複觀測該角四次，其值各為、、、，試求該角最或是值為若干？解：最或是值 ( )

72 04'20"

72 04'20" 72 03'40" 72 04'00" 72 03'20"

72 04'00"72 03'40"

1

4

72 03'20"

72 03'55"

(2)相互間有一定關係之數量分別施測

(a) 數個觀測值總和應等於已知之固定值時

可計算其總和與固定值之差數，然後將此差數平均分配或以一定比例分配於該數個觀測值．即得各觀測值之最或是值


例題例題 2-32-3 (a)

以經偉儀測量一三角形之三內角，得其觀測值，分別為、、，試分別求其三角度之最或是值

42 12'38" 81 39'07" 56 08'06"

解：三角度觀測值之總和為 179 59'51"

三內角觀測值之總和與 180 之差為 9"平均改正於三觀測值中，得三內角之最或是值分別為 ( 各 +3 秒 )

42 12'41" 81 39'10" 56 08'09"

權權 (( 權數權數 ))

權又稱權數乃用於衡量一觀測值可靠程度的數。權之釐定方法有下列三種 :

(1)依主觀之決定 : 考量觀測者之經驗、儀器之性能、觀測之次數、觀測時之條件等，綜合以主觀的判斷以決定其權數之大小。

(2)同等精度重複觀測次數 : 依據出現重複次數以決定其權數上大小。

(3)依據權與中誤差之平方成反比之關係以決定其權數之大小。

1 2 3 2 2 2 21 2 3

1 1 1 1: : : : : : :n

n

P P P Pm m m m

例題例題 2-32-3 (b)

以經偉儀測量一三角形之三內角，分別觀測3 次、 4 次、6 次，得其觀測值如下，試求其各角之最或是值。

42 12'38" 81 39'07" 56 08'06"解：觀測次數的倒數為各角修正之權重 1/3:1/4:1/6

三角度觀測值之總和為179 59'51"三內角觀測值之總改正數為 9"各改正數＝總改正數 x （各權 /總權）按權重改正各觀測值之改正數為 +4”,+3”,+2”得三內角之最或是值分別為42o12’42”, 81o39’10”, 56o08’08”


(b)數個觀測值之總和應等於總量之觀測值時

可計算該數個觀測值之總和與總量觀測值之差數，然後將此差數平均改正於各觀測值，倘總量之觀測值亦係在同一環境、條件下作業，則改正時必須包括總量之觀測值 ; 如總量之觀測值，精度較高，且經確定者，則僅改正各分量之觀測值。總量觀測值如有分配改正數，其符號與各分量觀測值改正數之符號相反

例題例題 2-42-4

一水平角以經緯儀測量，得其觀測值為，今再將該角分為三部份，分別觀測其角度，得三觀測值為、、，試求各觀測值之最或是值

107 59'20"

24 15'20" 38 27'40" 45 16'00"

解：三觀測值之總和為 107 59'00"三角總量觀測值與該三角觀測值之總和，其間之差數為 20"

因觀測角共有四個，故應將該差數平均分配於四個觀測值內 ( 大角減 5 秒，各分角加 5 秒 )

測量之精度測量之精度

測量之精度常以測量誤差的大小來衡量，測量誤差愈大，則精度愈低；反之誤差愈小，精度愈高。

任何測量成果既然難免存有偶然誤差，為暸解其對成果之影響，仍以平差計算定出最或是值及衡量精度之誤差數值。

衡量精度之方法衡量精度之方法

(1) 平均誤差平均誤差 (average error)(average error) 為各偶然誤差絕對值之算術平均值

t =

真誤差 Δ亦無從獲得，故以剩餘誤差 v表示

t = 式中符號 [ ] 稱為高斯符號，表示總和之意。

1 2 3 n

n n

n


(2) 標準標準 (( 中中 )) 誤差誤差 (standard error)(standard error)各觀測值之真誤差若為、、…，即此組觀測值之中誤差為 m

1 2

2 2 2 21 2 3 nm

n n

1

mn

最或是誤差 = 觀測值 - 最或是值 ( 剩餘誤差或殘差 )

改正數 = 最或是值 - 觀測值i il L

中誤差中誤差

2

2

2 1 12

2 1 2 1 3 1

22

2

1,2 ,

[ ] [ ] 2 [ ]

[ ] 0 [ ] [ ]

[ ][ ][ ] [ ]

[ ]2

[ ] [ ] [ ] [ ]

i i

i i

i i i i

n n

n n

l X i n

l L

L X

n

n

nn

nn n

mm m

n n n n n

真誤差剩餘誤差兩式相減

1n

0

例題例題 2-62-6

各觀測值分別為 127.483 公尺、 127.481 公尺、 127.485公尺，最或是值為 127.483公尺，故各觀測值之剩餘誤差分別為

2＝ 127.481 － 127.483 ＝ -0.002 （公尺）

1 ＝ 127.483 － 127.483 ＝ 0.000 （公尺）

3＝ 127.485 － 127.483 ＝ 0.002 （公尺）各觀測值之中誤差為

2 2 2

0.000 0.002 0.0020.002

3 1m

公尺


(3) (3) 或是誤差或是誤差 (probable error)(probable error)

將各觀測值所得之偶然誤差之絕對值，依大小排序，取其中央之值，即為或是誤差，以 r 表示，即大於或是誤差出現之或然率與小於或是誤差出現之或然率相等。



衡量精度之方法衡量精度之方法由題目知在乙組的成果中有明顯的大誤差 (+10) 存在，

其可靠度是較甲組差，故可確定甲組的精度應較乙組高。由兩組的平均誤差相等來看，根本無法判定兩組成果之好

壞。由兩組的或是誤差結果來看，乙組的精度較甲組高，此與

事實並不符合。由兩組的標準誤差結果來看，甲組的精度較乙組高，此與

事實相符合。因為標準誤差的公式中有 [Pvv] 項，當有大誤差存在時，

因為平方和的效應，在有限的觀測量中可以很容易地被發現。而平均誤差與或是誤差則不易反映出大誤差的影響，只有當觀測量的數目達到一定的程度時，平均誤差與或是誤差才有存在的價值。

衡量精度之方法衡量精度之方法結論：精度之表示法主要有三種，分別為中誤差、平均

誤差及或是誤差，其中最能符合最小自乘法原理者為中誤差表示法。

中誤差值小者是精度高。權與中誤差的平方成反比，即

由於觀測量中的錯誤及系統誤差均須於平差計算前剔除或改正，因此改正數之意義便相當於偶然誤差 ( 雖然符號相反 ) ，換句話說影響成果精度的因素是偶然誤差。

2

1p

m

誤差比率誤差比率 (ratio of error)(ratio of error)

距離測量工作，使用中誤差有時不足以顯示觀測值精度的高低時，遂取中誤差與觀測值最或是值的比率以作判定，此比率稱誤差比率或相對誤差，亦稱距離測量的精度

假設測量距離之最或是值為，觀測值之中誤差為 m 則其精度 P 為

00

1mP

LLm

0L

相對誤差相對誤差

一段距離長 100公尺標準誤差

2 0.01m m1 0.01m m

另一段距離長 200公尺標準誤差試比較其精度

1

2

0.01 1

100 10,000

0.01 1

200 20,000

P

P

例題例題 2-72-7

某電子測距儀其中誤差為 ±(5mm+5ppm×D) ， D 為測量之距離，今測量得三段距離，分別為 40.000 公尺、 240.000 公尺、 640.000 公尺，試求該三段距離之精度各為若干 ? (1ppm=1mm/km=10-6)

解 :6

1

62

63

(0.005 5 10 40.000) 0.0052( )

(0.005 5 10 240.000) 0.0062( )

(0.005 5 10 640.000) 0.0082( )

m m

m m

m m

1 2 3

0.0052 1 0.0062 1 0.0082 1

40.000 7692 240.000 38710 640.000 78049P P P

容許誤差與最大誤差容許誤差與最大誤差

在測量作業中常把兩倍中誤差值作為容許誤差 (allowable error) ，又以三倍中誤差值為誤差極限，稱為最大誤差 (maximum error) ，超過最大誤差值者，認定係為錯誤 (mistake) ，而非偶然誤差，平差時該值應摒除不用。

提高精度之原則提高精度之原則

測量人員欲得到高精度的觀測值，基本條件為具備優良的測量技術，使用精密的儀器，並且需檢點校正。

欲提高測量成果的精度，有下列三原則：(1)改良觀測方法(2) 重複測量或多餘觀測取平均值優於單

次觀測值。(3)使用精密的儀器

誤差傳播定律誤差傳播定律

如一測量成果為由其他數個獨立觀測值(independent observed value) 經計算而求得者，即該成果為一組獨立觀測值之函數時，則諸觀測值之誤差必影響該成果。

各觀測值之各自中誤差，其影響到測量成果中誤差之關係稱為誤差傳播定律 (law of

error propagation) 。



l.倍數假設測量成果 y 為觀測值 x 之 a 倍，則

a 為一常數並無誤差。倘 x 之中誤差為 m ，則用 a 乘後其誤差亦增大 a 倍，故 y 之中誤差為

y a x

ym a m


2.和 ( 差）數假設測量成果 y 為觀測值及之和 1 2y x x 1x 2xy 之中誤差為 my ，1x 及2x 之中誤差為 1m及 2m

觀測 n 次，剩餘誤差為

1 11 21

2 12 22

1 2

y

y

yn n n

v v v

v v v

v v v


將上式平方後相加

2 2 21 2 1 22yv v v v v

2 21 2 1 22

y

v v v vm

n n n

2 21 2

y

v vm

n n

2 21 2ym m m


若測量成果 y 為 n 個觀測值之和（差）時n 個觀測值、、各自中誤差為、

1x 2x nx

1m

nm2m

如 n 個獨立觀測值精度相同，則

2 2 2 21 2 3y nm m m m m

1 2 3 nm m m m m

2ym n m m n


3.直線函數

0 1 1 2 2 n ny a a x a x a x

2 22 2

1 1 2 2 3 3y n nm a m a m a m a m

若諸觀測值之精度相同

1 2 3 nm m m m m

ym m aa


4.任意函數設 y 為獨立觀測值之任意函數，

此函數之中誤差 22 2

2 2 21 2

1 2y n

n

f f fm m m m

x x x

1 2( , . . . . )ny f x x x

解算誤差傳播的題目可分為三個步驟：一、先獲得未知數與觀測量之間的函數關係

（即計算公式）。二、求未知數對各個觀測量的偏微分值。三、將各觀測量的偏微分值及中誤差值代入

一般式計算未知數中誤差。

例題例題 2-82-8

， AB 、 BC 之最或是值及其中誤差分別為，

公尺，試求 AC 之最或是值及其中誤差。

AC AB BC 151.36 0.02AB 93.45 0.03BC

解： AC=151.36 ＋ 93.45 ＝ 244.81 （公尺）

2 2AC AB BCm m m 2 2

0.02 0.03 0.04

244.81 0.04AC AB BC 公尺

例題例題 2-92-9

如圖所示，平面三角形 ABC 中，已測得邊長、角度之最或是值及其中誤差各為

，試計算 C邊及 β角之最或是值及中誤差。

600.25 0.15a m m

43 20'20" 20" 56 04'20" 20"

C

例題例題 2-9[2-9[ 解 ]

（ 1 ）求 AB邊之最或是值 c ，由正弦定律

sin 600.25 sin56 04'20"725.69

sin sin 43 20'20"

ac m

（ 2 ） AB邊之中誤差 22 2

2 2 2 2

2 22 2 22

2

sin cos sin cos

sin sin sin

0.0350

c a

a

c c cm m m m

a

ma a mm

0.19cm m

例題例題 2-9[2-9[ 解 ]

（ 3 ） β角之最或是值

180 180 43 20'20" 56 04'20"

80 35'20"

（ 4 ） β角之中誤差

222 22 2 2 2 2

2 2

1 1

20 20 800

m m m m m

28"m

例題例題 2-102-10

測得圓半徑 r 之最或是值及其中誤差為，試求圓周長 l 和圓面積 A 之最或是值及中誤差。

16.15 0.005m

解： 2 2 16.15 101.47l r

2 0.05 0.31l r

lm m

r

22 16.15 819.40A r

2

2 16.15 0.05 5.07

A r r

Am m r m

r

l=101.47 0.31公尺， A=819.40 5.07 平方公尺

同精度觀測最或是值的中誤差

例題例題 2-112-11

觀測值中誤差

最或是值中誤差

對某角進行 5 次同精度觀測，觀測結果如下表，試求其觀測值的中誤差，及最或是值的中誤差。

最或是值

最小自乘法原理最小自乘法原理 (Least squares)(Least squares)

同精度之觀測，其最或是值須使剩餘誤差之平方和為最小。

而所謂最或是值者為同精度直接觀測某量多次之算術平均值

2 2 2 21 2 3 nv v v v vv 最小

對於不等權之觀測，最小自乘法原理可解釋為其最或是值須使剩餘誤差之權平方和為最小

2 2 2 21 1 2 2 3 3 n nPv P v Pv P v Pvv 最小


權又稱權數乃用於衡量一觀測值可靠程度的數。權之釐定方法有下列三種 :

(1)依主觀之決定 : 考量觀測者之經驗、儀器之性能、觀測之次數、觀測時之條件等，综合以主觀的判斷以決定其權數之大小。

(2)同等精度重複觀測次數 : 依據出現重複次數以決定其權數上大小。

(3)依據權與中誤差之平方成反比之關係以決定其權數之大小。

1 2 3 2 2 2 21 2 3

1 1 1 1: : : : : : :n

n

P P P Pm m m m


測量一角度兩次，每次所用之經緯儀不同，根據經驗第一次所用之經緯儀可量至 10” 之精度，設其權為，第二次所用之經緯儀可量至 6” 之精度，其權為於是兩權之比可定為

1 2 2 2

1 1: : 36 :100 9 : 25

10 6P P

1P

2P


在水準測量及導線測量，權 (P)與觀測長度(L)成反比

1 21 2

1 1 1: :P P P

L L L 或

依測量員主觀之認定，其情形優者觀測一次所得之值，足抵其情形劣者兩次所得之平均值，於是可給予前者觀測值之權為 2 ，後者觀測值之權為 1 ，但因主觀認定。除非有具體數據可供判斷，否則較少應用。


以同等精度直接量得二點間距離，先量 2 次得平均值 59.45公尺，其次量測 6 次共計 8 個觀測值之平均為 59.43公尺，此外再量 2 次共得 10個觀測值之平均為 59.44公尺，故各個平均值之觀測次數為 59.44 公尺 10 次、 59.43 公尺 8 次、 59.45

公尺 2 次，設 59.44公尺之權為， 59.43公尺為， 59.45公尺為。即其權之比為

=10 ： 8 ： 2 ＝ 5 ： 4 ： 1 1 2 3: :p p p

1P 2P

3P

觀測量的加權平均值對同一個未知數進行重複觀測，測得 n 個觀測

量為：，又因為重複觀測過程中，觀測量之間的精度可能不同，利用觀測量本身的精度定義出重要性的高低，稱之為『權』，即每個觀測量都可獲得一個權值為：，最後在計算各個觀測量的加權平均值，當作觀測成果，稱為最或是值。即

1 2 n, , ,

1 2 nP ,P , ,P

1 1 2 2 n n

1 2 n

PP P PL

P P P P

L [ ]l

Ln

等權最或是值

例題例題 2-122-12

123.0

( 1)[ ] (3 1)[1.15]

7.3

pM

n p

mm

例題例題 2-132-13

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第二章 測量誤差

第二章測量誤差