ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА

ВАЉЕВО

ШКОЛСКА 2011/12. ГОДИНАПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР

НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ:КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ

ТЕМА 4.ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ

ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ

ВАЉЕВО, 22.02.2012.

НАСТАВНА ТЕМА 4.

ФУНКЦИЈА ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ

ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ

УСЛОВНИ ЕКСТРЕМИ

1.1. ПОЈАМ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ

Нека је X = R х R = R2 = {(x,y) | x R y R} и нека је Z = R. Функција f: Х Z која сваком уређеном пару (х, у) из Х додељује неки елеменат z из Z, назива се функција две независно променљиве и симболички записује z = f (х, у).

Променљиве х и у су независно променљиве, а променљива z је зависно променљива јер се њена вредност мења ѕависно од правила f и независно променљивих х и у.

Скуп X = D(f) R2 назива се домен функције, а скуп Z R кодомен функције f.

Функција z = f (х, у) има своје геометријско тумачење.

1.1. ПОЈАМ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО ПРОМЕНЉИВЕ

Пример 1: Дата је функција z = 3 – х – у. Одредити њену област дефинисаности. Шта представља дата функција у геометријском смислу?

Пример 2: Одредити област дефинисаности функције .

Пример 3: За које вредности х и у је

дефинисана функција .

22 yx25z

2y1

xz

1.2. ОСОБИНЕ ФУНКЦИЈА ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ

За особине функција две променљиве важе слични принципи као и код функција једне променљиве. Дакле, одређују су област дефинисаности, нуле, знак функције, парност, непарност, граничне вредности функције, изводи, монотоност, ...

Пример 4: Дата је функција z = х2 + у2 – 2х – 99 . Одредити особине дате функције.

1.3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ

Функција z = f (х, у) тежи коначној граничној вредности В, кад х тежи ка а и у тежи ка b, ако за произвољно, унапред задато ( 0), постоји () 0 такво да када је х – а и у - b , онда f (х, у) – В .

Симболички се ово записује

byax

B)y,x(flim

1.3. ГРАНИЧНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ

Пример 5: Одредити

yx

23

2y1x

32

.yx

5lim)b

;)4yx(lim)a

1.4. НЕПРЕКИДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ

Функција z = f (х, у) је непрекидна у тачки М (а, b) ако је .

Пример 6: Функција z = 3х + 2у – 1 је непрекидна у тачки (2, 2).

Пример 7: Функција z = [х] + [у] – 1 није непрекидна у тачки (3, 4).

byax

)b,a(f)y,x(flim

1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ

Парцијалним изводом првог реда функције z = f (х, у) по аргументу х у тачки М (а, b) назива се вредност прог извода функције f (х, b) у тачки М.

Ово се симболички означава

Парцијалним изводом првог реда функције z = f (х, у) по аргументу у у тачки М (а, b) назива се вредност прог извода функције f (а, у) у тачки М.

Ово се симболички означава

x)M(f

)M(fx

y)M(f

)M(fy

1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ

Пример 8:

Ако је z = f (х, у) = 3х2у3 + 3х – 2у + 5 одредити:

y)y,x(f

)dx

)y,x(f)c

y)1,3(f

)bx

)2,1(f)a

1.5. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕЊИВЕ

Важне напомене: Парцијални извод првог реда функције

z = f (х, у) по аргументу х или аргументу у тачки М (а, b) је број.

Све тачке у којима постоји парцијални извод по х или парцијални извод по у образују функције fх`(х, у) или fу`(х, у).

Практично парцијални извод по х се добија по свим правилима диференцирања тако што се променљива у третира као константа

Практично парцијални извод по у се добија по свим правилима диференцирања тако што се променљива х третира као константа

1.6. ТОТАЛНИ ДИФЕРЕНЦИЈАЛ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ ПРОМЕНЉИВЕ

Нека функција z = f (х, у) у тачки М(х,у) има парцијалне изводе и нека су они непрекидни. Тада се ираз

назива тотални диференцијал функције z = f (х, у)

Пример 9: Одредити тотални диференцијал функције z = хеу + х - у2 + 3.

dyyz

dxxz

)y,x(dfdz

Парцијалним изводима другог реда функције z = f (х, у) називају се парцијални изводи парцијалних извода функције првог реда.

1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА

xz

yyxz

)y,x(fyz

xxyz

)y,x(f

y

z)y,x(f

xz

xx

z)y,x(f

2

xy

2

yx

2

2

yy2

2

xx

xz

yyxz

)y,x(fyz

xxyz

)y,x(f

yz

yy

z)y,x(f

xz

xx

z)y,x(f

2

xy

2

yx

2

2

yy2

2

xx

Диференцијал другог реда функције z = f (х, у) називају се диференцијал диференцијала првог реда функције. Дакле,

1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА

xz

yyxz

)y,x(fyz

xxyz

)y,x(f

y

z)y,x(f

xz

xx

z)y,x(f

2

xy

2

yx

2

2

yy2

2

xx

22

222

2

22 )dy(

y

zdydx

yxz

2)dx(x

z)dz(dzd

Пример 10: Дата је функција z = (2х + 3у)2. Одредити парцијалне изводе другог реда.

Пример 11: Одредити парцијалне изводе другог реда и диференцијал функције z = (х + у)3 .

1.7. ПАРЦИЈАЛНИ ИЗВОДИ И ДИФЕРЕНЦИЈАЛИ ВИШЕГ РЕДА

У једном послу функција добити у динарима је дефинисана релацијом

d = 14xy(300 – x – y)

где је х број број радних дана, а у број радника који реализују дати посао. Одредити број радника и број радних дана тако да се оствари максимална добит. Колика је та добит?

1.8. ДЕФИНИЦИЈА МАКСИМУМА И МИНИМУМА

Функција z = f (х, у) има локални максимум у тачки М (а, b), ако је за све тачке (х, у) довољно блиске тачки М (а, b ) важи f (а, b ) > f (х, у).

Функција z = f (х, у) има локални максимум у тачки М (а, b), ако је за све тачке (х, у) довољно блиске тачки М(а, b ) важи f (а, b ) < f (х, у).

1.9. ЕЛЕМЕНТАРНО ОДРЕЂИВАЊЕ МАКСИМУМА И МИНИМУМА

Пример 1: Дата је функција z = х2 + у2 + 2. Одредити локални минимум дате функције.

Пример 2: Дата је функција z = 2х - х2 + 4у - у2 . Одредити локални максимум дате функције.

Пример 3: Одредити екстремне вредности функције z = х3 + 3ху2 – 15х – 12у.

1.10. ПОТРЕБАН УСЛОВ ДА ФУНКЦИЈА ИМА ЕКСТЕМНУ ВРЕДНОСТ

Ако функција f (х, у) достиже екстемну вредност у тачки М (а, b), тада су први парцијални изводи функције f (х, у) у тачки М (a, b) једнаки нули или не постоје, тј.

Тачке у којима су парцијални изводи првог реда једнаки нули или не постоје зову се стационарне тачке те функције.

0y

)b,a(fи0

x)b,a(f

1.11. ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ЕСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА

Нека је М (а, b) стационарна тачка функције z = f (х, у). Тада:

а) Ако је d2f (a, b) < 0, oнда је f(a, b) максимум функције f (х, у);

b) Ако је d2f (a, b) > 0, oнда је f(a, b) минимум функције f (х, у);

с) Ако је d2f (a, b) мења знак при проласку кроз (а, b), oнда је f(a, b) није екстремна вредност функције f (х, у);

1.12. ЕКВИВАЛЕНТНА ТЕОРЕМА ЗА ДОВОЉАН УСЛОВ ЗА ЕКСТРЕМНЕ

ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА

Нека је М (а, b) стационарна тачка функције z = f (х, у). Ако је А = fхх (а, b), В = fху (а, b) и

C = fуу (а, b) и = АС – В2. Тада за:

а) > 0, функција f (х, у) има естремум и то * максимум ако је А < 0 (или С < 0);

* минимум ако је А > 0 (или С > 0)

b) < 0, функција f (х, у) нема екстремум;

с) = 0, онда питање екстеремума функције у тачки М (a, b) остаје отворено и тражи додатна истраживања.

1.13. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ

Пример 4: Дата је функција z = 3х + 4у + 5. Одредити екстремне вредности дате функције.

Пример 5: Дата је функција z = х2 + 4у2 – 2х – 24у. Одредити екстремне вредности дате функције.

Пример 6: Одредити екстремне вредности функције z = ху + 6.

1.13. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ

Пример 7: Дата је функција z = х2 + у2 + 2. Одредити локални минимум дате функције.

Пример 8: Дата је функција z = 2х - х2 + 4у - у2 . Одредити локални максимум дате функције.

Пример 9: Одредити екстремне вредности функције z = х3 + 3ху2 – 15х – 12у.

1.14. ПРАКТИЧНО ОДРЕЂИВАЊЕ ЕКСТРЕМНИХ ВРЕДНОСТИ

Пример 10: Збир бројева а, b и с је 12. Одредити бројеве а, b и с тако да њихов производ буде највећи.

Пример 11: У једном послу функција добити у

динарима је дефинисана релацијом z = 14ху (300 - х - у), где је х број број радних дана, а у број радника који реализују дати посао. Одредити број радника и број радних дана тако да се оствари максимална добит. Колика је та добит?

УСЛОВНА ЕКСТРЕМНА ВРЕДНОСТ ФУНКЦИЈЕ ДВЕ НЕЗАВИСНО

ПРОМЕНЉИВЕ

1.15. УСЛОВНЕ ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА

Условним екстремумом функције z = f (х, у) назива се екстремум дате функције при чему променљиве х и у задовиољавају додатни услов (х, у) = 0.

За одређивање условних екстремних вредности формира се такозвана функција Лагранжа:

F (x, y) = f (x, y) + (х, у)

где је неодређена Лагранжова константа.

1.16. ПОТРЕБАН УСЛОВ ДА ФУНКЦИЈА ИМА УСЛОВНИ ЕКСТРЕМУМ

Потребан услов за постојање условног екстремума своди се на систем од три једначине:

(х, у) = 0 .

Из овог система једначина се одређују вредности за х, у и , где одговарајуће тачке (х, у) представљају потенцијалне кандидате за тачке условног екстремума.

0y

)y,x(y

)y,x(fy

)y,x(F

0x

)y,x(x

)y,x(fx

)y,x(F

1.17. ПОСТУПАК ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ УСЛОВНОГ ЕКСТРЕМУМА

Питање о постојању и карактеру условног екстремума у тачкама које потенцијално то могу бити решава се израчунавањем знака дугог диференцијала Лагранжове функције у тим тачкама

при чему су dx и dy везани релацијама:

22

222

2

22 )dy(

y

Fdydx

yxF

2)dx(x

FFd

.0dydxи0dyy

dxx

d 22

1.18. ПОСТУПАК ЗА ОДРЕЂИВАЊЕ УСЛОВНОГ ЕКСТРЕМУМА

Уколико је: d2F (а,b) < 0, онда функција f(x,y) има

условни максимум у тачки (а,b) d2F (а,b) > 0, онда функција f(x,y) има

условни минимум у тачки (а,b) d2F мења знак при пролазу кроз тачку (а,b)

, онда та тачка није тачка условног екстремума.

1.19. ПРИМЕРИ

Пример 12: Дата је функција z = 3х + 4у + 5, при чему је х2 + у2 = 25. Одредити условне екстремуме дате функције.

Пример 13: Дата је функција z = х2 + у2 . Одредити условне екстремуме при услову 3х + 2у = 6.

Пример 14: Одредити условне екстремне вредности функције z = (х – 2)(у + 3) при услову х + у = 1.