МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ

УКРАЇНИ

ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ІВАНА ПУЛЮЯ

Кафедра: “Комп’ютерні науки”

К О Н С П Е К Т Л Е К Ц І Й

з дисципліни:

ТЕОРІЯ АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМ КОНТРОЛЮ ТА УПРАВЛІННЯ

для студентів напряму підготовки 6.050101 – Комп’ютерні науки

ТЕРНОПІЛЬ 2012

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ІВАНА ПУЛЮЯ

Кафедра: “Комп’ютерні науки”

К О Н С П Е К Т Л Е К Ц І Й

з дисципліни:

ТЕОРІЯ АВТОМАТИЗОВАНИХ СИСТЕМ КОНТРОЛЮ ТА УПРАВЛІННЯ

для студентів напряму підготовки 6.050101 – Комп’ютерні науки

ТЕРНОПІЛЬ 2012

Конспект лекцій з дисципліни “Теорія автоматизованих систем контролю та

управління” для студентів напряму підготовки 6.050101 – Комп’ютерні науки /

Уклад.: С.Ю. Прошин, – Тернопіль: ТНТУ 2012 – 150 с.

Конспект лекцій призначено для засвоєння студентами матеріалу з

дисципліни “Теорія автоматизованих систем контролю та управління”. Складено у

відповідності з навчальним планом підготовки бакалаврів напрямів 6.050101 –

Комп’ютерні науки.

Укладач: С.Ю. Прошин, асистент

Відпов. за випуск М.В. Приймак, професор

Рецензент

Зміст

Тема 1. Склад и структура автоматизованих систем....................................... 7 1.1 Автоматизовані системи їх склад і різновиди. Терміни і

визначення. Автоматизоване і автоматичне управління................... 7 1.2 Основні компоненти автоматизованих систем. Види забезпечення

автоматизованих систем. ...................................................................... 9 1.3 Основні властивості автоматизованих систем. ................................ 11

Тема 2. Інформаційна модель системи управління. ...................................... 12 2.1 Функціональна схема системи управління. ...................................... 12 2.2 Об’єкт управління. Функція управління. .......................................... 12 2.3 Простір досяжних станів. Простір допустимих управлінь.............. 15 2.4 Мета і завдання управління. ............................................................... 17 2.5 Прийняття рішень в умовах автоматизованого управління............ 17

Тема 3. Оптимальне управління. ..................................................................... 20 3.1 Задача оптимального управління. Критерії якості управління....... 20 3.2 Керовність, досяжність, спостережуваність. .................................... 21 3.3 Типові задачі оптимального управління. .......................................... 24

Тема 4. Адаптивне управління......................................................................... 25 4.1 Загальні поняття про адаптивне управління..................................... 25 4.2 Властивості самоналагоджуваних систем......................................... 27 4.3 Проектування самоналагоджуваних систем. .................................... 28

Тема 5. Загальні поняття системи автоматичного управління та їх будова30 5.1 Основні поняття та терміни. ............................................................... 30 5.2 Класифікація систем автоматичного управління. ............................ 31 5.3 Класифікація елементів автоматики. ................................................. 34 5.4 Принципи управління та їх порівняльна характеристика. ............. 37

Тема 6. Структурні схеми систем автоматичного управління. .................... 38 6.1 Основні елементи і їх позначення структурних схем САУ............. 38 6.2 Послідовне з’єднання ланок САУ. Паралельно-узгоджене

з’єднання ланок САУ. Паралельно-зустрічне з’єднання ланок САУ............................................................................................ 39

Тема 7. Перетворення структурних схем систем автоматичного управління.......................................................................................................... 40

7.1 Одноконтурні і багатоконтурні САУ................................................. 40 7.2 Еквівалентні перетворення структурних схем САУ. ....................... 42

Тема 8. Режими роботи систем автоматичного управління. ........................ 45 8.1 Статичний режим роботи САУ. ......................................................... 45 8.2 Динамічний режим роботи САУ........................................................ 48

Тема 9. Методи опису параметрів систем автоматичного управління........ 49 9.1 Передатна функція. Властивості передатної функції. ..................... 49 9.2 Вхідні і вихідні сигнали. Часові характеристики САУ. .................. 50

Тема 10. Регулювання та автоматичні регулятори. ....................................... 54

5

10.1 Математичні моделі об’єктів управління........................................ 54 10.2 Закони регулювання. Автоматичні регулятори. Класифікація

регуляторів. .......................................................................................... 57 Тема 11. Типові елементарні ланки систем управління та їх характеристики. ................................................................................................. 58

11.1 Пропорційна ланка. ........................................................................... 58 11.2 Інтегруюча ланка. .............................................................................. 59 11.3 Аперіодична ланка............................................................................. 61 11.4 Коливна ланка. ................................................................................... 63 11.5 Диференціююча ланка....................................................................... 65

Тема 12. Аналіз стійкості лінійних систем..................................................... 66 12.1 Загальні умови стійкості. .................................................................. 66 12.2 Запас стійкості.................................................................................... 70 12.3 Область стійкості. .............................................................................. 71

Тема 13. Алгебраїчні критерії стійкості. ........................................................ 72 13.1 Критерій Рауса-Гурвіця..................................................................... 72 13.2 Критерій Льєнара-Шіпара................................................................. 75

Тема 14. Частотні критерії стійкості. .............................................................. 75 14.1 Критерій Найквіста............................................................................ 75 14.3 Критерій Михайлова.......................................................................... 77 14.2 Логарифмічні частотні характеристики. ......................................... 78

Тема 15. Якість перехідних процесів в лінійних автоматичних системах регулювання....................................................................................................... 79

15.1 Поняття та показники якості перехідних процесів. ....................... 79 15.2 Показники якості при ступінчатому впливі.................................... 80 15.3 Показники якості при періодичних збуреннях............................... 81

Тема 16. Методи та критерії визначення якості перехідних процесів в системах управління. ........................................................................................ 83

16.1 Методи визначення якості перехідних процесів. ........................... 83 16.2 Кореневі критерії якості перехідних процесів................................ 86 16.3 Інтегральні критерії якості перехідних процесів. .......................... 90

Тема 17. Синтез лінійних систем управління. ............................................... 91 17.1 Основні поняття та постановка задачі............................................. 91 17.2 Етапи синтезу систем управління. ................................................... 92 17.3 Принципи синтезу алгоритмічної структури систем управління. 92

Тема 18. Методи синтезу систем управління................................................. 95 18.1 Введеня корегуючих пристроїв........................................................ 95 18.2 Часові методи синтезу систем управління ..................................... 95 18.3 Частотні методи синтезу систем управління. ................................. 99 18.4 Визначення оптимальних параметрів системи............................. 101

Тема 19. Синтез лінійних систем при випадкових сигналах...................... 104 19.1 Постановка задачі та характеристики випадкових сигналів. ...... 104

6

19.2 Перетворення випадкового сигналу лінійною динамічною ланкою. ............................................................................................... 108

19.3 Обчислення сигналу похибки замкненої системи. Мінімізація похибки............................................................................................... 111

Список літературних джерел ......................................................................... 115

7

Тема 1. Склад и структура автоматизованих систем. 1.1 Автоматизовані системи їх склад і різновиди. Терміни і

визначення. Автоматизоване і автоматичне управління.

Приведемо терміни і визначення основних понять в області автоматизованих систем (АС), встановлені ГОСТ 34.003-90. Даний стандарт розповсюджується на АС, використовувані в різних сферах діяльності (управління, дослідження, проектування і т.п.), в яких виконується обробка інформації.

Автоматизований процес – це процес, здійснюваний при сумісній участі людини і засобів автоматизації.

Ступінь автоматизації процесу оцінюється частиною (сігма) робіт виконаних на ЕОМ без участі людини. При σ=0 маємо неавтоматизоване (ручне, традиційне) управління. При σ=1 маємо автоматичне управління (ідеал). При 0<σ<1 маємо автоматизоване управління.

Автоматичний процес – це процес, здійснюваний без участі людини. Інформаційна технологія – це прийоми, способи і методи

застосування засобів обчислювальної техніки при виконанні функцій збору, зберігання, обробки, передачі і використання даних.

Інформаційна модель – це модель об'єкту, представлена у вигляді інформації, що описує істотні для даного розгляду параметри і змінні величини об'єкту, зв'язки між ними, входи і виходи об'єкту і що дозволяє шляхом подачі на модель інформації про зміни вхідних величин моделювати можливі стани об'єкту.

Управління – це сукупність цілеспрямованих дій, що включає оцінку ситуації і стану об'єкту управління, вибір дій, що управляють, і їх реалізацію.

Автоматизована система – це система, що складається з персоналу і комплексу засобів автоматизації його діяльності, реалізовує інформаційну технологію виконання встановлених функцій. Залежно від сфери автоматизованої діяльності автоматизовані системи розділяють:

− на АС управління (ОАСУ, АСУП, АСУТП, АСОВІ ГПС і ін.); − системи автоматизованого проектування (САПР); − АС наукових досліджень (АСНД); − АС обробки і передачі інформації (АСОІ); − АС технологічної підготовки виробництва (АСТПП); − АС контролю і випробувань (АСК); − системи, що автоматизують поєднання різних видів діяльності. Залежно від виду керованого об'єкту або процесу, автоматизовані

системи управління (АСОВІ) ділять на автоматизовані системи управління технологічними процесами (АСОВІ ТП), автоматизовані системи

8

управління підприємствами (АСУП), АСОУ – автоматизовані системи організаційного управління і т.д.

Інтегрованою автоматизованою системою (ІАС) називається сукупність взаємопов'язаних автоматизованих систем, в якій функціонування однієї з них залежить від результатів функціонування інших так, що цю сукупність можна розглядати як єдину АС. Наприклад, ИАС, об'єднуюча в одну систему АСУТП і АСОУ.

Під АСОВІ в широкому сенсі розуміють колективи людей, а також сукупність адміністративних і економіко-математичних методів, інформаційної бази, засобів обчислювальної техніки і зв'язку. Така сукупність дозволяє здійснювати оптимальне управління в різних сферах людської діяльності. Управління в АСОВІ полягає у виборі якнайкращих дій, що управляють, з множини можливих по заданому техніко-економічному критерію ефективності, з урахуванням інформації про стан об'єктів і зовнішнього середовища.

Показником, що характеризує ступінь відповідності технічних і економічних характеристик АС сучасним досягненням науки і техніки, є науково-технічний рівень автоматизованої системи (НТр АС).

Автоматизовані системи АС реалізують інформаційну технологію у вигляді певної послідовності інформаційно зв'язаних функцій, завдань або процедур, що виконуються в автоматизованому (інтерактивному) або автоматичному режимах.

Найширше автоматизація проводиться в управлінні виробництвами і технологічними процесами.

Автоматизована система управління технологічним процесом призначена для вироблення і реалізації дій, що управляють, на технологічний об'єкт управління.

Технологічний об'єкт управління (ТОУ) – це сукупність технологічного устаткування і реалізованого на нім по відповідних інструкціях або регламентах технологічного процесу виробництва.

До технологічних об'єктів управління відносяться: технологічні агрегати і установки, що реалізовують самостійний технологічний процес; окремі виробництва (цехи, ділянки) або виробничий процес всього промислового підприємства, якщо управління цим виробництвом носить в основному технологічний характер, тобто полягає в реалізації раціональних режимів роботи взаємозв'язаних агрегатів (ділянок, виробництв).

Спільно функціонуючі ТОУ управляюча ними АСУ ТП утворюють автоматизований технологічний комплекс (ATК). АСОВІ ТП є людино-машинною системою управління, що забезпечує автоматизований збір і обробку інформації, необхідної для оптимізації управління технологічним об'єктом відповідно до прийнятого критерію.

9

1.2 Основні компоненти автоматизованих систем. Види забезпечення автоматизованих систем.

В процесі функціонування автоматизована система є сукупністю

комплексу засобів автоматизації, організаційно-методичних і технічних документів і фахівців, що використовують їх в процесі своєї професійної діяльності.

Тому в процесі проектування АС або її частин розробляють наступні види забезпечення.

1. Організаційне забезпечення автоматизованої системи є сукупність документів, що встановлюють організаційну структуру, має рацію і обов'язку користувачів і експлуатаційного персоналу АС в умовах функціонування, перевірки і забезпечення працездатності АС.

2. Методичне забезпечення автоматизованої системи є сукупність документів, що описують технологію функціонування АС, методи вибору і застосування користувачами технологічних прийомів для отримання конкретних результатів при функціонуванні АС.

3. Технічне забезпечення автоматизованої системи є сукупність всіх технічних засобів, використовуваних при функціонуванні АС.

4. Математичне забезпечення автоматизованої системи є сукупність математичних методів, моделей і алгоритмів, застосованих в АС.

5. Програмне забезпечення автоматизованої системи є сукупність програм на носіях даних і програмних документів, призначених для відладки, функціонування і перевірки працездатності АС.

6. Інформаційне забезпечення автоматизованої системи є сукупність форм документів, класифікаторів, нормативної бази і реалізованих рішень за обсягами, розміщенням і формами існування інформації, вживаної в АС при її функціонуванні.

7. Лінгвістичне забезпечення автоматизованої системи є сукупність засобів і правил для формалізації природної мови, використовуваних при спілкуванні користувачів і експлуатаційного персоналу АС з комплексом засобів автоматизації при функціонуванні АС.

8. Правове забезпечення автоматизованої системи є сукупність правових норм, що регламентують правові відносини при функціонуванні АС і юридичний статус результатів її функціонування. Правове забезпечення реалізують в організаційному забезпеченні АС.

9. Ергономічне забезпечення автоматизованої системи є сукупність реалізованих рішень в АС за погодженням психологічних, психофізіологічних, антропометричних, фізіологічних характеристик і можливостей користувачів АС з технічними характеристиками комплексу засобів автоматизації АС і параметрами робочого середовища на робочих місцях персоналу АС.

10

Сукупність всіх компонентів АС, за винятком людей, є комплекс

засобів автоматизації (КЗА) автоматизованої системи. Сукупність засобів обчислювальної техніки, програмного

забезпечення і засобів створення і заповнення машинної інформаційної бази АС є програмно-технічним комплексом (ПТК) автоматизованої системи.

Програмно-технічний комплекс АС, призначений для автоматизації діяльності певного вигляду, є автоматизованим робочим місцем (АРМ).

Видами АРМ, наприклад, є АРМ оператора-технолога, АРМ проектувальника, АРМ бухгалтера і ін.

В процесі функціонування АС є сукупністю комплексу засобів автоматизації (КЗА), організаційно-методичних і технічних документів і фахівців, що використовують їх в процесі своєї професійної діяльності.

Проектні рішення по програмному, технічному і інформаційному забезпеченнях реалізують як вироби у вигляді взаємопов'язаної сукупності компонент і комплексів, що входять в склад АС (їх частин) з необхідною документацією.

Проектні рішення по решті видів забезпечень входять в склад АС (їх частин) як організаційно-методичні і експлуатаційні документи або реалізують в компонентах програмного, технічного або інформаційного забезпечень.

Проектні рішення математичного забезпечення реалізують, як правило, через програмне або, в окремих випадках, технічне забезпечення. Лінгвістичне забезпечення представляють і реалізують в інформаційному або програмному забезпеченні.

Перерахуємо основні елементи технічного, програмного і інформаційного забезпечення автоматизованої системи.

1. Пристрій, призначений для введення сигналів з об'єкту в АС і виведення сигналів на об'єкт, називається пристроєм зв'язку з об'єктом (пзО).

2. Частина програмного забезпечення АС, що є сукупністю програмних засобів, розроблених поза зв'язком із створенням даної АС, називається загальним програмним забезпеченням (ЗПЗ) автоматизованої системи. ЗПЗ АС є сукупністю програм загального призначення, призначених для організації обчислювального процесу і рішення задач обробки інформації, що часто зустрічаються.

3. Частина програмного забезпечення АС, що є сукупністю програм, розроблених при створенні даної АС, називається спеціальним програмним

забезпеченням (СПЗ) автоматизованої системи. 4. Інформація, що поступає в АС у вигляді документів, повідомлень,

даних, сигналів, необхідна для виконання функцій АС, називається вхідною інформацією автоматизованої системи.

11

5. Інформація, що отримується в результаті виконання функцій АС і видавана на об'єкт її діяльності користувачеві або в інші системи, називається вихідною інформацією автоматизованої системи.

6. Інформація, що відображає на даний момент часу стан об'єкту, на який направлена діяльність АС, називається оперативною інформацією

автоматизованої системи.

7. Інформація, запозичена з нормативних документів і довідників і використовувана при функціонуванні АС, називається нормативно-

довідковою інформацією автоматизованої системи.

1.3 Основні властивості автоматизованих систем.

Основною властивістю АС, що характеризується ступенем

досягнення мети, поставленої при її створенні, є ефективність

автоматизованої системи. До видів ефективності АС відносять економічну, технічну, соціальну і ін.

Комплексна властивість два або більш АС, що характеризується їх здатністю взаємодіяти при функціонуванні, називається сумісністю

автоматизованих систем. Сумісність АС включає технічну, програмну, інформаційну, організаційну, лінгвістичну і, при необхідності, метрологічну сумісність.

Здатність АС змінюватися для збереження своїх експлуатаційних показників в заданих межах при змінах зовнішнього середовища називається адаптивністю автоматизованої системи.

Комплексна властивість АС зберігати в часі у встановлених межах значення всіх параметрів, що характеризують здатність АС виконувати свої функції в заданих режимах і умовах експлуатації, називається надійністю автоматизованої системи. Надійність АС включає властивості безвідмовності і ремонтопридатності AC, а в деяких випадках і довговічності технічних засобів АС.

Властивість AC, що характеризується здатністю виконувати встановлений об'єм функцій в умовах дій зовнішнього середовища і відмов компонентів системи в заданих межах, називається живучістю

автоматизованої системи. Властивість АС, що характеризується здатністю виконувати свої

функції в умовах дії перешкод, зокрема від електромагнітних полів, називається завадостійкістю автоматизованої системи.

12

Тема 2. Інформаційна модель системи управління.

2.1 Функціональна схема системи управління. Функціональна схема системи управління представлена на

рисунку 2.1

Рисунок 2.1 – Функціональна схема системи управління: X – мета

управління; Y – стан об'єкту управління; Z – вихід об'єкту управління; U – дія, що управляє; F – збурююча дія зовнішнього середовища

2.2 Об’єкт управління. Функція управління. Систему автоматизованого управління умовно можна

представити такою, що складається з двох частин (рисунок 2.2): з об'єкту управління (ОУ) і управляючого пристрою (УП). Під об'єктом управління стосовно інженерних завдань мається на увазі будь-який технічний пристрій, процесом z(t) на виході якого належить управляти.

Управляючий пристрій, узагальнює усі управління, що входять в контур системи, елементи, використовувані з метою організації процесу управління. На вхід системи управління подається задаюча дія x(t), що визначає бажаний характер керованого процесу z(t). Управляючий пристрій на підставі інформації про процеси х(t) і z(t), а у ряді випадків і на підставі даних про збурення f(t) розраховує управління u(t), за допомогою якого впливає на об'єкт. При цьому

Прийняття рішень

Об’єкт управління

Зовнішнє средовище

Мета

управління Оцінка стану об’єкту

управління

Виконання рішень

Автоматизована система управління

F

UZ

X

Y

13

необхідно поставити процес z(t) у відповідність сигналу x(t), у рамках деякого формального опису цієї відповідності.

Рисунок 2.2 – Система автоматизованого управління

Для вирішення більшості завдань аналізу і синтезу систем управління необхідно мати математичну модель ОУ. Побудова математичної моделі полягає у встановленні ряду співвідношень, що дозволяють при кожних вхідних діях і початкових станах знайти сигнал на виході об'єкту управління.

Зазвичай модель отримують як математичне формулювання фізичних законів, яким підпорядкована робота ОУ. У загальному випадку ОУ є багатовимірним (рисунок 2.3, а і б), має l керованих процесів z1(t), z2(t),…, zl(t); m вхідних впливів (управлінь) u1(t), u2(t),..., um(t); k зовнішніх збурень f1(t), f2(t),.., fk(t).

а) б)

Рисунок 2.3 – Багатовимірний об'єкт управління : а) - скалярна форма входів/виходів; б) - векторна форма входів/виходів

Математичний запис фізичних законів, що визначають властивості безперервного об'єкту, в більшості випадків призводить до системи нелінійних диференціальних рівнянь, що зв'язують вихідні і вхідні процеси і їх похідні. Ця система може мати дуже складну

u1(t)

um(t)

u2(t)

·

.

.

z1(t)

z2(t)

zl(t)

ОУ

f1(t) f2(t) fk(t)

. . .

·

.

.

ОУ

F(t)

U(t) Z(t)

14

форму і, наприклад, у разі об'єкту з незалежними вихідними процесами бути представлена співвідношеннями виду

1

2

1 2

( ) ( )1 1 1

( )( )2 2 2

( ) ( )1 1 1 2 2 2

2

[ ( ), ( ),..., ( ); ( ), ( ),..., ( );

( ), ( ),..., ( );...; ( ), ( ),..., ( );

( ), ( ),..., ( ); ( ), ( ),..., ( );...;

( ), ( ),...,

i

m

k

n m

i i i i

mm

m m m

k k

k

k k

z t z t z t u t u t u t

u t u t u t u t u t u t

f t f t f t f t f t f t

f t f t f

ϕ &&

& &

& &

& ( )] 0, 1, .t i l= =

(2.1)

При l=1 об'єкт називають одновимірним.

Якщо функції , 1,i

i lϕ = , є лінійними відносно управляючих і керованих процесів і їх похідних, то об'єкт називають лінійним по

управлінню; аналогічно визначається лінійність по збуренню. Математична модель (2.l) в сучасній теорії систем набула

обмеженого поширення. Набагато частіше l диференціальних рівнянь (2.1), з яких i-e має порядок ni, представляють у вигляді системи з

ii

n n=∑ диференціальних рівнянь першого порядку, кожне з яких

дозволене відносно похідної. З цією метою в розгляд вводять п нових змінних у1 у2,..., уп, які

підбирають так, щоб систему (2.1) виявилось можливим представити у формі

1 2 1 2

1 2

( ) [ ( ), ( ),..., ( ); ( ), ( ),..., ( );

( ), ( ),..., ( )], 1, .

j j n m

k

y t y t y t y t u t u t u t

f t f t f t j n

ϕ=

=

& (2.2)

Цю систему називають нормальною формою Коши. Вихідні процеси ОУ виражаються через введені змінні - змінні стани - співвідношеннями виду

1 2 1 2 1 2( , ,..., ; , ,..., ; , ,..., ), 1, ,i i n m kz y y y u u u f f f i lθ= = (2.3) де функції iθ є в загальному випадку нелінійними. Система рівнянь (2.2) має бути еквівалентна початковій системі (2.1) в тому сенсі, що по рішенню (2.2) можна однозначно встановлювати рішення системи (2.1). Сукупність рівнянь (2.2) і (2.3) називають рівняннями стану.

Перехід від системи рівнянь у формі (2.1) до рівнянь стану не є однозначним, т. е. може бути здійснений різними шляхами. Одній і тій самій початковій системі рівнянь може відповідати декілька систем у формі Коші залежно від способу визначення змінних стану.

Вважатимемо, що рівняння стану об'єкту в загальному випадку у векторно-матричній формі мають вигляд

[ ][ ]

( ) ( ), ( ), ( ), ;

( ) ( ), ( ), ( ), .

Y t Y t U t F t t

Z t Y t U t F t t

Ψ

Φ

=

=

&

(2.4)

15

Тут Y(t) – n-мірний вектор стану з компонентами y1, y2,…, yn; U(t)

– m-мірний вектор управлінь з компонентами и1, и2,.., иm; Z(t) – l-мірний вектор керованих процесів із складовими z1, z2,…, zl; Ψ – n-мірна вектор-функція з компонентами ψ1, ψ2,…, ψn; Φ – l-мірна вектор-функція з компонентами φ1, φ2,…, φl.

Наявність самостійного аргументу t в (2.4) вказує на явну залежність вектор-функцій Ψ, Ф від часу, і такі об'єкти називають неавтономними. Фізично неавтономність означає, що до об'єкту окрім функції управління U(t) прикладені і інші зовнішні дії. За відсутності аргументу t систему (2.4) називають автономною.

Функції Ψ, Ф передбачаються однозначними, а рівняння стану задовольняють теоремі існування і єдиності рішення. Оскільки вектор Z(t) однозначно знаходиться по Y(t), U(t), то часто обмежуються об'єктами управління, що описуються тільки першим з рівнянь (2.4). При цьому приймають, що виходом об'єкту управління є вектор стану.

2.3 Простір досяжних станів. Простір допустимих управлінь. Розглянемо n-мірну систему координат, по осях якої

відкладатимемо величини у1, у2,...,уп. Графічно подібну систему можна відобразити лише при п=1, 2, 3; у решті випадків вона не піддається геометричній інтерпретації і вводиться як зручний для подальшого викладу абстрактний прийом. Простір, що характеризується цією системою координат, прийнято називати простором станів або фазовим простором.

Нехай в деякий момент часу t0 (зазвичай t0 = 0), використовуваний як початок відліку часу, змінні стани y1, y2,…, yn мають значення y1(t0), y2(t0),…, yn(t0), тобто вектор стану рівний Y(t0). Початок цього вектора знаходиться в точці 0 простори стану, а кінець – в точці М0, яку прийнято називати зображаючою точкою.

Нехай далі до об'єкту прикладені дії U(t) і F(t). Підставимо їх в перше рівняння (2.4). Якщо тепер це рівняння вирішити за початкових умов Y(t0), то отримаємо рішення Y(t), U(t), F(t), Y(t0), t≥t0, залежне від всіх дій і початкових умов. Цьому рішенню при кожному t в просторі станів відповідатиме певна точка. Якщо всі ці крапки з'єднати кривій (рисунок 2.3), отримаємо траєкторію, звану траєкторією руху

об'єкту. Умовно можна прийняти, що точка, що зображає, в часі рухається в просторі станів, а що залишається нею в результаті слід і є траєкторією руху об'єкту.

16

Рисунок 2.4 – Траєкторія руху ОУ в просторі станів Припустимо, що момент t0 відповідає початку управління

об'єктом, тобто починаючи з цього моменту на об'єкт подається управління U(t).

Із-за конструктивних, енергетичних і інших особливостей об'єкту на його вхід не можуть подаватися довільні управління. Реальні управління повинні бути підпорядковані деяким обмеженням, наприклад вигляду

( ) , ; 1, .i i iu t c c const i m≤ = = (2.5) Сукупність обмежень формує область можливих значень

управляючих впливів. Позначимо цю область символом Ω(U) і назвемо областю допустимих управлінь.

Управління, що реально подаються на вхід ОУ, повинні належати області допустимих управлінь

( ) ( ).U t UΩ∈ (2.6) В цьому випадку управління називаються допустимими.

Аналогічно компоненти вектора стану y1(t), y2(t),..., yn(t) в загальному випадку також повинні задовольняти певним обмеженням, тобто вектор Y(t) в просторі станів не повинен виходити за межі деякої області Q, званою областю допустимих станів

( ) ( ).Y t Q Y∈ (2.7)

yn

y1

y2

M0

(t0)

(t1)

(t2)

Q

(T)

Q1

y2(t0) y1(t0)

yn(t0) 0

17

2.4 Мета і завдання управління. Нехай в області Q можна виділити деяку підобласть Q1

станів 1( )Q Q⊂ , які для нас з якихось причин є бажаними. Мета управління полягає в тому, щоб перевести об'єкт з

початкового стану Y(t0), в якому він знаходиться у момент t0, в кінцевий стан Y(T), що належить підобласті Q1 області допустимих станів, тобто . 1( )Y T Q∈ Момент t=T, відповідний моменту попадання об'єкту в бажаний кінцевий стан, може бути невідомим.

Для досягнення мети управління на вхід об'єкту необхідно подати відповідне управління.

Завдання управління полягає в тому, щоб в області допустимих управлінь (2.6) підібрати таке управління, при якому буде досягнута мета. Іншими словами, потрібно відшукати таке допустиме управління, визначене на тимчасовому відрізку [t0, Т] (де Т може бути наперед невідоме), при якому рівняння об'єкту управління при заданому початковому стані і відомому векторі F(t) мають рішення Y(t), що задовольняє обмеженню (7) при всіх і кінцевій умові

1( )Y T Q∈ . 2.5 Прийняття рішень в умовах автоматизованого управління.

Альтернатива ухвалюваних рішень приводить до необхідності використання різноманітних математичних моделей. Залежно від ступеня інформованості про стан керованого процесу, повнота і точність моделей об'єкту і системи управління, взаємодії з навколишнім середовищем, процес ухвалення рішення протікає в різних умовах.

1. Ухвалення рішень в умовах визначеності. У цьому завданні моделі об'єкту і системи управління вважаються заданими, а вплив зовнішнього середовища – неістотним. Тому між вибраною стратегією використання ресурсів і кінцевим результатом існує однозначний зв'язок, звідки витікає, що в умовах визначеності досить використовувати вирішальне правило для оцінки корисності варіантів рішень, приймаючи як оптимальне те, яке приводить до найбільшого ефекту. Якщо таких стратегій декілька, всі вони вважаються еквівалентними. Для пошуку рішень в умовах визначеності використовують методи математичного програмування.

2. Ухвалення рішень в умовах ризику. На відміну від попереднього випадку для ухвалення рішень в умовах ризику необхідно враховувати вплив зовнішнього середовища, який не піддається точному прогнозу.

18

Відомий тільки імовірнісний розподіл станів зовнішнього середовища. У цих умовах використання однієї і тієї ж стратегії може привести до різних результатів, вірогідність появи яких вважається заданою або може бути визначені. Оцінку і вибір стратегій проводять за допомогою вирішального правила, що враховує вірогідність досягнення кінцевого результату.

3. Ухвалення рішень в умовах невизначеності. Як і в попередньому завданні, між вибором стратегії і кінцевим результатом відсутній однозначний зв'язок. Крім того, невідомі також значення вірогідності появи кінцевих результатів, які не можуть бути визначені. В цьому випадку найбільш поширеним є використання критерію отримання максимального гарантованого виграшу.

4. Ухвалення рішень в умовах багатокритериальности.

Многокрітеріальность виникає у разі наявності декілька самостійних, таких, що не зводяться одна до іншої цілей. Наявність великої кількості рішень ускладнює вибір оптимальної стратегії. Одним з можливих шляхів рішення є використання методів моделювання.

При рішенні задач скорочується вибір варіантів в пошуку рішення, якщо при цьому засобами обчислювальної техніки реалізуються ті ж принципи, якими користується в процесі мислення чоловік.

Для того, щоб обмежити пошук рішення задачі шляхом поступового зменшення кількості варіантів, необхідно використовувати формалізовані знання, які є в наочній області. При рішенні задач за допомогою інтелектуальних технологій використовуються наступні методи:

− метод логічного висновку, заснований на техніці доказів, званій методом резолюцій і що використовує спростування заперечення (доказ «від осоружного»);

− метод структурної індукції, заснований на побудові дерева ухвалення рішень для розрізнення об'єктів з великої кількості даних на вході;

− метод евристичних правил, заснований на перейнятті досвіду у експертів-людей, а не на абстрактних правилах формальної логіки;

− метод машинної аналогії, заснований на уявленні інформації про порівнювані об'єкти в зручному вигляді, наприклад, у вигляді структур даних, званих фреймами.

Процес вироблення рішення на основі первинних даних можна розбити на два етапи: вироблення допустимих варіантів рішень шляхом математичної формалізації з використанням різноманітних моделей і вибір оптимального рішення на основі суб'єктивних чинників (рисунок 2.5).

19

Рисунок 2.5 – Процес ухвалення рішення на основі інформації

про стан об'єкту управління

Інформаційні потреби осіб, що ухвалюють рішення, у багатьох випадках орієнтовані на інтегральні техніко-економічні показники, які можуть бути отримані в результаті обробки первинних даних, що відображають поточну діяльність підприємства. Аналізуючи функціональні взаємозв'язки між підсумковими і первинними даними, можна побудувати так звану інформаційну схему, яка відображає процеси агрегації інформації. Первинні дані, як правило, різноманітні, інтенсивність їх надходження висока, а загальний об'єм на інтервалі, що цікавить, великий. З іншого боку, склад інтегральних показників відносно малий, а необхідний період їх актуалізації може бути значно нижче за період зміни первинних даних – аргументів.

Для підтримки ухвалення рішень необхідним є узагальнювальний аналіз, прогнозування і ситуативне моделювання.

В даний час прийнято виділяти два типи інформаційних систем підтримки ухвалення рішень.

Юридичні фактори

Емоційні фактори

Економічні фактори Особа, що приймає рішення

Оптимальне рішення

Допустимі варіанти рішень

Варіанти рішень

Соціальні фактори

Прийняття рішення на основі суб’єктивних факторів

Прийняття рішень на основі математичної моделі

Аналіз інформації

Критерії

Вплив середовища информации

Вплив вищестоящої системи

Інформація про стан об’єкту управління

Обмеження

20

1. Системи підтримки ухвалення рішень DSS (Decision Support System), здійснюючий відбір і аналіз даних, включають засоби доступу до баз даних і моделювання правив і стратегії ділової діяльності.

2. Системи оперативної аналітичної обробки OLAP (On Linе Analysis Processing) для ухвалення рішень використовують багатопроцесорну обчислювальну техніку і спеціальні методи багатовимірного аналізу.

При впровадженні автоматизованого управління процес повинен бути описаний математично. До математичних моделей пред'являються вимоги достатньої повноти і гнучкості опису з можливістю відтворення різних ситуацій при варіюванні параметрів і структури, а також простоти перевірки і тестування отриманих результатів.

Тема 3. Оптимальне управління.

3.1 Задача оптимального управління. Критерії якості управління.

У загальному випадку завдання управління має нескінченне число

рішенні, тобто існує нескінченне число допустимих управлінь, що переводять об'єкт з початкового стану в кінцеве відповідно до всіх введених обмежень. У цьому сенсі всі управління, що реалізовують мету управління, є рівноцінними. Проте до системи управління, як правило, пред'являється ряд вимог, що характеризують успішність просування по дорозі до мети управління.

Щоб судити про ступінь відповідності системи вимогам, що пред'являються до неї, вводять в розгляд числові показники, що відображають якісну сторону процесу руху до мети управління і формуючі поняття якості управління.

Формальна якість управління можна описати або у формі сукупності показників якості (значення перерегулювання, час регулювання, сталі помилки при типових діях і т. п.), або у формі деякого узагальненого показника, визначуваного всіма процесами Y(t), U(t), F(t), X(t).

Якість істотно залежить від конкретного виду управління U(t). При кожному управлінні, на якому досягається мета управління, показник якості прийматиме певне значення. Слід вибирати такі управління, при яких якість буде забезпечена відповідно до існуючих вимог.

При першому підході якість управління оцінюється сукупністю показників, що представляють, по суті, параметри реакції системи на деяку детерміновану вхідну дію, і властиво ранньому етапу розвитку теорії управління, хоча використовується і в даний час. Вибір раціонального управління в цьому випадку підміняється вибором структури і параметрів вхідного в управляючий пристрій, ланцюга, що коректує, який забезпечує показники якості, не гірші щодо їх заданих значень.

21

При другому підході якість управління описується деяким узагальненим показником, що є мірою ефективності досягнення мети управління засобами конкретного управління U(t). Узагальнений показник

якості – числова характеристика, в загальному випадку залежна від U(t),

Y(t), F(t), X(t), так що конкретним закону управління U(t) і процесам F(t),

X(t) відповідає певне значення показника якості. Узагальнений показник якості в кожному технічному завданні

призначається самостійно. Якість може містити різний фізичний сенс і відображати залежно від призначення об'єкту такі властивості системи управління, як, наприклад, енергетичні витрати на управління, точність підтримки заданого режиму роботи об'єкту управління, продуктивність і якість продукції, що випускається, витрати сировини або електроенергії і т.д.

Найбільш часто узагальнений показник якості представляється функціоналом, і його можна описати у формі інтегрального співвідношення

0

( ( ), ( ), ( ), ( ), ) ,T

t

J G U t Y t F t X t t dt= ∫ (3.1)

де функція G визначає конкретний фізичний сенс показника якості. Введення показника (3.1) дозволяє сформулювати завдання оптимального управління.

Завдання оптимального управління полягає в наступному: в області допустимих управлінь Ω(U) слід знайти таке допустиме управління U(t),

на якому показник якості (3.1) при заданих F(t), X(t)) досягає екстремального значення

, ( ) ( ),J extremum U t UΩ= ∈ (3.2) а об'єкт управління переводиться з початкового стану Y(t0) в кінцевий, залишаючись в області допустимих станів (7) при всіх [ ]Ttt ,0∈ .

Умову (3.2) в цьому випадку називають критерієм onтимальности

(термін застосовують і до самого показника J); управління, що задовольняє умовам завдання, називають оптимальним; рішення рівняння об'єкту управління, відповідне оптимальному управлінню і що задовольняє цілі управління, називають оптимальною траєкторією руху ОУ; систему управління, яка з позицій критерію (3.1) виявляється якнайкращою серед всіх інших систем, називають оптимальною.

3.2 Керовність, досяжність, спостережуваність.

При постановці завдання оптимального управління розглядалася

ситуація, в якій є нескінченне число допустимих управлінь, що переводять об'єкт із заданого початкового стану в потрібний кінцевий. Така ситуація

22

не можлива для реального ОУ, тому введемо в розгляд ряд понять, що дозволяють оцінити здійсненність управління.

Нехай є об'єкт, що описується в просторі станів рівняннями (2.4). Припустимо, що на управління U ніяких обмежень не накладено. Якщо можна підібрати таке управління U(t), за допомогою якого ОУ з будь-якого початкового стану Y(t0), відповідного будь-якому початковому моменту t0, можна за кінцевий час Т–t0 перевести в кінцевий стан спокою Y(T)= 0 або в інший бажаний стан, то об'єкт називають повністю керованим по Калману

(Kalman R. ввів це поняття), а вказану властивість об'єкту називають керованістю.

Фізично механізм прояву поняття керованості полягає в тому, що управління U(t) повинне робити вплив на всі компоненти вектора стану Y(t). Завдання оптимального управління можна ставити застосовно лише до об'єктів, керованих по Калману.

Виявлення умов, при яких об'єкт виявляється повністю керованим, є вельми складним завданням. Найбільш розвинені методи її рішення для лінійних стаціонарних об'єктів. Якщо об'єкт управління описується рівнянням

( ) ( ) ( );

( ) ( ) ( ),

Y t AY t BU t

Z t CY t DU t

= +

= + (3.3)

де А, В, С, D – постійні матриці належної розмірності, то необхідна і достатня умова Калмана повної керованості цього об'єкту зводиться до наступної. Складається матриця керованості

( )2 1... ,nK B AB A B A B−= (3.4)

що є прямокутною матрицею розмірності п×пт, де п і т – розмірності векторів стану і управління відповідно.

Об'єкт повністю керований тоді, коли ранг цієї матриці рівний п.

Практично це означає, що серед пт стовпців матриці K повинні бути лінійно незалежні п стовпців. Якщо управління є скалярним і В – вектор, умова повної керованості зводиться до невиродженості квадратної п-матриці К. Керованість є внутрішньою властивістю об'єкту, оскільки вона обумовлена тільки властивостями матриць А і У в структурі рівняння ОУ.

При формулюванні умов керованості вважаємо, що на управління обмежень не накладене, тому приведені умови керованості відображають потенційні здібності об'єкту бути керованим. Оскільки в багатьох реальних умовах на U(t) накладаються обмеження, то потенційно повністю керований об'єкт практично може виявитися некерованим у зв'язку з тим, що в обмеженій області допустимих управлінь не вдасться відносно Y(t0) підібрати допустимі управління, що переводять об'єкт з Y(t0) в Y(T)=0.

У цих випадках виникає питання про існування оптимального управління для даного об'єкту при конкретних обмеженнях і початкових

23

станах. Відповідні дослідження проводяться з використанням поняття досяжності.

Стан (Y(T), Т) називають досяжним з початкового стану (Y(t0), t0) відносно Ω(U), якщо знайдеться таке )()( UtU Ω∈ , при якому об'єкт за

кінцевий час Т–t0 переводиться з Y(t0) в Y(T). Сукупність всіх досяжних станів утворює множину ΓТ, яка

називається областю досяжних станів в момент Т з (Y(t0), t0) по відношенню до Ω(U). Якщо Т→∞, то область ΓТ розширюється і перетворюється на область керованості Г∞.

Ставити завдання оптимального управління має сенс в тому випадку, якщо передбачений завданням кінцевий стан об'єкту належить області досяжних станів. Виявлення цих областей – складна проблема, що входить в загальну проблему існування рішення задач оптимального управління, що не розглядається тут.

У більшості технічних постановок завдань відповідні умови виконуються, в цьому сенсі твердження про численність шляхів рішення задачі управління опиняються обгрунтованими.

При постановці завдання оптимального управління передбачався відомим початковий стан Y(t0). При інженерному підході до проблеми це положення вірне, якщо вектор стану Y(t) можна зміряти.

Проте реально вимірюються не компоненти вектора стану, деякі з яких можуть і не мати явного фізичного сенсу, а вихідні і вхідні координати об'єкту, тобто вектори Z(t) і U(t).

У цих умовах виникає необхідність за спостереженнями за виходом об'єкту Z(t) і його входом U(t) на деякому кінцевому тимчасовому відрізку [t0, Т] відновлювати початковий стан об'єкту Y(t0). Можливість подібного відновлення називається спостережуаваністю.

Говорять, що деякий стан Y(t0) спостережуваний, якщо при заданому U(t) існує такий кінцевий проміжок часу Т–t0, що знання входу об'єкту U(t)

і виходу Z(t) на цьому проміжку достатньо для визначення Y(t0). Якщо кожен стан Y(t) у будь-який момент t0 є спостережуваним, то об'єкт по Калману називають повністю спостережуваним.

Проблема спостережуваності, як і керованості, найпростіше вирішується для лінійних стаціонарних об'єктів. З цією метою на підставі рівняння стану ОУ складається матриця спостережуваності.

( )2 1( ) ... ( ) ,T T T T T T n TH C A C A C A C−= (3.5)

що має розмірність n×nl, де l – розмірність вектора Z(t).

Для повної спостережуваності об'єкту необхідно і достатньо, щоб ранг матриці Н був рівний п, тобто щоб серед nl стовпців цієї матриці п стовпців були лінійно незалежні.

24

Якщо об'єкт одновимірний і С – вектор-рядок, то умова спостережуваності зводиться до вимоги невиродженості матриці Н, тобто до не рівності нулю визначника цієї матриці.

Спостережуваність, як і керованість, відображає внутрішні властивості об'єкту. При розгляді проблем оптимального управління вважатимемо, що умови керованості, спостережуваності і досяжності виконуються.

3.3 Типові задачі оптимального управління.

Розглянемо найбільш поширені варіанти завдань оптимального управління.

Сформульоване завдання оптимального управління припускає, що оптимальне управління U(t) шукається як функція часу t. Такій стратегії управління відповідає розімкнена система, що не має зворотних зв'язків і що працює фактично в програмному режимі. Таке завдання називають завданням оптимального програмного управління.

На практиці часто здійснюється пошук оптимального управління у функції векторів стану, задаючої дії і обурення, тобто у формі U(Y(t), X(t), F(t)). Цьому відповідає комбінована система управління, що володіє каналами зворотного зв'язку і компенсації обурень, має переваги як управління в порівнянні з розімкненими системами.

Завдання управління в цьому випадку зводиться до розробки такого алгоритму пристрою, що управляє, при якому на підставі інформації про Y(t), X(t), F(t) в кожен момент часу обчислюється допустиме управління, що доставляє екстремум показнику якості. У разі автономної системи оптимальне управління шукається як функція стану U(Y(t)).

Подібні завдання оптимізації, що супроводжуються організацією оптимальних процедур U(Y(t), X(t), F(t)) або U(Y(t)) і що приводять до систем із зворотними зв'язками прийнято називати завданнями синтезу

оптимальних управлінь. У інженерному відношенні ці завдання представляють більший інтерес, чим завдання оптимального програмного управління, оскільки приводять до замкнутих систем, але в математичному відношенні їх рішення часто виявляється складнішим.

Рішення оптимальних задач істотно визначаються обмеженнями на стани ОУ і час управління. За цими ознаками виділяються наступні види завдань.

1. Завдання без обмеження на змінні стани. У цих випадках умови (2.7) знімаються і змінні стани можуть належати всьому простору стану.

2. Завдання з фіксованим часом. Тут час T є відомим фіксованим величиною.

3. Завдання із закріпленим правим кінцем траєкторії. У цих випадках множина Q1 бажаних значень вектора Y(Т) складається з єдиної

25

крапки, в яку повинен потрапити вектор Y(t) при t= T. Якщо множина Q1

представляє підобласть простору станів, використовують термін «завдання з рухомим правим кінцем».

4. Завдання з вільним правим кінцем. Тут зазвичай кінцевий момент часу Т зафіксований, але обмеження на положення вектора Y(Т) відсутні, тобто кінець вектора Y(Т) може знаходитися в будь-якій точці простору стану.

Тема 4. Адаптивне управління.

4.1 Загальні поняття про адаптивне управління.

Для математичного формулювання і подальшого рішення задачі

синтезу оптимальної системи управління необхідно мати в своєму розпорядженні відомості про об'єкт управління і умови роботи системи. Об'єкт управління має бути математично описаний, тобто знайдено його диференціальне рівняння або який-небудь аналог рівняння. Також мають бути в детермінованому або ймовірнісному сенсі відомі властивості задаючих і збурюючих дій. Наявність такої апріорної інформації дозволяє синтезувати систему, що має потрібні показники якості.

В багатьох реальних ситуаціях інформація про властивості об'єкту управління і зовнішні дії виявляється недостатньої для побудови системи з необхідними показниками якості. Ця недостатність може носити двоякий характер.

В першому випадку на етапі проектування структури і розрахунку параметрів пристрою управління можуть виявитися повністю або частково невідомими властивостей ОУ і зовнішніх дій. Система управління в процесі функціонування сама повинна автоматично заповнювати недостатню інформацію і у міру її вступу змінювати структуру і параметри УП так, щоб показник якості або досягав екстремального значення, або відповідав заданим обмеженням.

Після відновлення всієї недостатньої інформації при незмінних в подальшому властивостях ОУ і зовнішніх дій процес зміни структури і параметрів УП припиняється, і система працює в звичайному режимі.

В другому випадку є вихідні відомості про властивості ОУ і зовнішніх дій, що дозволяють синтезувати УП. Проте в процесі роботи системи ці властивості через різні причини можуть змінюватися, тому заздалегідь достовірно прогнозувати характер змін не удається. Можуть змінюватися рівняння ОУ або вхідні в нього параметри. Зовнішні дії можуть виявитися нестаціонарними, наприклад, із спектром, що змінюється. Залежно від обстановки змінюється вигляд задаючого сигналу X(t).

26

Всі ці зміни, якщо відбуваються в чималому діапазоні, можуть привести до того, що управляючий пристрій, спроектований в орієнтації на деяку початкову інформацію, в нових умовах вже не забезпечить відповідність показника якості існуючим обмеженням.

Якість може виявитися неекстремальною, тобто у нових умовах система не буде оптимальною або вийде з необхідного діапазону. Щоб досягти екстремуму в умовах, що змінилися, або ввести показник якості в заданий діапазон, знову одночасно із зміною властивостей ОУ і зовнішніх дій необхідно змінювати структуру і параметри УП. Окрім приведених випадків зміни властивостей ОУ і зовнішніх дій може існувати ситуація, коли необхідна для синтезу УП інформація може бути як не відома на початковому етапі, так і піддаватися непрогнозованим змінам в подальшому.

Спільним для відмічених випадків є те, що система управління в процесі функціонування повинна реагувати на зміни властивостей ОУ і зовнішніх дій. На підставі результатів обробки відповідної інформації система повинна пристосовуватися до нових умов шляхом зміни структури і параметрів УП так, щоб показник якості кожного разу досягав екстремального значення або знаходився в заданому діапазоні.

Такі системи автоматичного управління прийнято називати адаптивними, а процес зміни структури і параметрів УП, здійснюваний на підставі інформації про властивості ОУ і зовнішніх дій і що забезпечує пристосовність системи до умов роботи, що змінюються, адаптацією.

Якщо адаптація обумовлена лише відсутністю початкової інформації про властивості ОУ і зовнішніх дій і після її заповнення через незмінність цих властивостей необхідна якість управління забезпечується при незмінних структурі і параметрах УП, адаптацію прийнято називати однократною. У решті випадках корекція управляючого пристрою здійснюється кожного разу при зміні властивостей ОУ або зовнішніх дій, і адаптація називається багатократною.

Адаптацією називається процес зміни параметрів, структури системи і дій, що управляють, на основі поточної інформації з метою досягнення визначеного, зазвичай оптимального, достатки системи при початковій невизначеності і умовах роботи, що змінюються.

Використання принципів адаптивного управління дозволяє: − побудувати систему відповідно до вимог, що пред'являються, до її

якості при обмеженій початковій (апріорною) інформації про властивості об'єкту управління і зовнішніх дій;

− забезпечити відповідність якості управління заданим вимогам в процесі функціонування системи в умовах властивостей ОУ і зовнішніх дій, що змінюються, шляхом раціонального пристосування системи до умов, що змінюються.

27

4.2 Властивості самоналагоджуваних систем.

Прийнято виділяти наступні класи адаптивних систем:

самоналагоджувальні, такі, що самоорганізовані і самоалгоритмізовані. Під самоналагоджувальними розуміють такі адаптивні системи, в

яких адаптація забезпечується лише за рахунок зміни параметрів УП. Якщо ж адаптація досягається за рахунок зміни структури УП або алгоритму управління, то системи прийнято називати такими, що відповідно самоорганізовуються або самоалгоритмізовуються. В даний час найбільш розроблені самоналагоджувальні системи (СНС). У багатьох сучасних літературних джерелах цей найбільш розроблений клас систем часто називають узагальненим терміном «адаптивні системи».

Залежно від вимог, що пред'являються до якості управління, доцільно виділити СНС із стабілізацією і з оптимізацією якості. У першому випадку система забезпечує незмінний заданий рівень якості, що описується деяким заздалегідь обумовленим чином, при зміні властивостей об'єкту управління і зовнішніх дій; у другому випадку якість, що характеризує або процес управління, або процес адаптації, повинна досягати екстремального значення за всіх можливих умов роботи системи.

Відповідність якості управління вимогам, що пред'являються, в СНС досягається за рахунок зміни параметрів УП. Ці зміни здійснюють на підставі пошуку таких значень параметрів, при яких якість управління відповідає потрібному значенню, або аналітичного розрахунку потрібних значень параметрів.

У першому випадку, використовуючи спеціальні пробні дії, задають відхилення параметрів УП і вимірюють відповідну зміну показника якості. Потім, аналізуючи цю інформацію, міняють параметри в напрямі, що приводить до потрібного значення показника якості.

У другому випадку значення параметрів встановлюють на основі аналітичного аналізу умов, при яких будуть задоволені обмеження на якість управління. Відповідно СНС в першому випадку називають пошуковими, в другому – аналітичними (безпошуковими). Якщо обидва випадки використовуються одночасно, СНС прийнято називати комбінованими.

Крім того, існують СНС з налаштуванням по зовнішніх діях і по характеристиках ОУ. У першому випадку необхідність використання принципів адаптації викликана широким діапазоном зміни властивостей зовнішніх дій. У другому випадку адаптація дозволяє усунути вплив властивостей ОУ, що змінюються, на показники якості управління.

Узагальнена схема адаптивної системи (рисунок 4.1) є дворівневою конструкцією, нижній рівень якої представляє основну систему управління, а верхній – сукупність пристроїв, використовуваних для

28

цілеспрямованої зміни властивостей основної системи відповідно до сформульованих цілей адаптації.

Рисунок 4.1 – Узагальнена схема адаптивної системи

Пристрій адаптації (ПА), що формує верхній рівень системи,

отримує необхідну інформацію про зовнішні дії, достаток системи, сигналах, що управляють, на вході ОУ і, проаналізувавши ці дані, встановлює міра відповідності критерію якості основної системи тим вимогам, які до нього пред'являються.

Якщо критерій якості цим вимогам не задовольняє, в ПА виробляються команди, під дією яких змінюються структура і параметри або лише параметри УП таким чином, що критерій якості приводиться у відповідність існуючим вимогам.

4.3 Проектування самоналагоджуваних систем.

При проектуванні адаптивних систем можна виділити декілька

етапів, які є типовими. 1. Методами теорії автоматизованого управління, у тому числі і

оптимального, знаходять структуру пристрою, що управляє, в припущенні, що необхідні для цього характеристики об'єкту і зовнішніх дій відомі. Відповідний пристрій управління називають ідеальним.

2. Залежно від підходу, покладеного в основу побудови адаптивної системи, визначають структуру адаптивної системи.

3. Розробляють алгоритм адаптації, тобто встановлюють таке правило зміни параметрів і структури (значно частіше за параметри) УУ, при якому система набуває властивості пристосованості до зміни характеристик OУ і зовнішніх дій.

4. Проводять обґрунтування працездатності системи, яке повинне підтвердити, що закладені в основу адаптивної системи принципи дійсно приводять до очікуваного ефекту.

УП

ПА

ОУ

F(t)

U(t) X(t)

Y(t)

29

Структуру адаптивної системи в даний час найчастіше призначають відповідно до прямого (безідентифікаційного) і ідентифікаційного підходів.

При безідентифікаційному підході у складі управляючого пристрою передбачається група параметрів, що набудовуються, які повинні забезпечити здатність системи адаптуватися до зміни властивостей ОУ і зовнішніх дій, а також встановлюється залежність показника якості управління від варійованих параметрів УП. Якщо характеристики ОУ і зовнішніх дій відомі, змінні параметри приймають значення, що забезпечують заданий або екстремальний рівень показника якості.

При зміні характеристики зовнішніх дій мінятимуться значення показника якості і відрізнятися або від наказаного значення, або від екстремального рівня. При безідентифікаційному підході змінні параметри відстежують зміни характеристик OУ і зовнішніх дій і самі міняються таким чином, що при зміні цих характеристик знову встановлюється відповідність між значенням показника якості і вимогами до нього.

Мета адаптації в даному випадку збігається з метою управління: забезпечити на всіх режимах роботи системи незмінний або оптимальний рівень показника якості управління.

При ідентифікаційному підході зазвичай передбачається, що характеристики ОУ і зовнішніх дій відомі з точністю до групи параметрів, які в процесі роботи системи можуть змінюватися. Відповідно до спільних положень теорії автоматичного управління встановлюють залежність варійованих параметрів ідеального УУ від параметрів ОУ і зовнішніх дій, які в подальшому яким-небудь чином оцінюють (ідентифікують).

Отримані оцінки цих параметрів підставляють у вираження для параметрів УУ, що набудовуються, чим і досягають ефекту пристосованості. Для проведення етапу ідентифікації вводиться спеціальний критерій, який може збігатися, а може і відрізнятися від критерію, що характеризує якість управління відповідно до спільної мети управління. Реалізація ідентифікаційного підходу часто приводить до адаптивних систем з моделлю, що набудовується, тоді як реалізація безідентифікаційного підходу приводить до адаптивних систем з еталонною моделлю.

При побудові адаптивних систем управління слід враховувати умови застосовності принципів адаптації.

Перш за все, процес зміни характеристик ОУ і зовнішніх дій має бути повільнішим, ніж процеси в каналах адаптації. Це необхідно для того, щоб при роботі системи в реальному масштабі часу параметри, що набудовуються, встигали відстежувати зміни неконтрольованих характеристик. Це означає, що за час, необхідний для перебудови параметрів УП, характеристики ОУ і зовнішніх дій практично не

30

змінюються. Дане положення відоме як гіпотеза про квазістаціонарну характеристик ОУ і зовнішніх дій.

Крім того, мають бути забезпечені умови узгодженості пристрою управління, з одного боку, і ОУ і зовнішніх дій – з іншою. Ця узгодженість необхідна для того, щоб у всьому діапазоні зміни параметрів об'єкту управління і зовнішніх дій встановити такі значення параметрів УП, при яких досягається основна мета управління, визначувана вимогами до якості управління.

Тема 5. Загальні поняття системи автоматичного управління

та їх будова.

5.1 Основні поняття та терміни. Автоматика – технічна наука, яка розробляє принципи побудови

автоматичних систем та необхідних для них засобів, методи аналізу і синтезу цих систем.

Управління технічним процесом – цілеспрямована діяльність, направлена на досягнення бажаних результатів (отримання прибутку, мінімальної собівартості продукції, забезпечення її якості) на основі отримання та обробки інформації про стан об’єкта та умови його роботи. В процесі керування виконується ряд операцій, які відповідають таким етапам:

− збір інформації про стан об’єкта та зовнішнє середовище; − аналіз та обробка інформації; − прийняття рішень на основі необхідної інформації; − реалізація керуючих дій за допомогою технічних засобів. Виконання цих операцій забезпечує автоматичний контроль процесу,

пуск та зупинку технологічних агрегатів, підтримання необхідних режимів при виконанні вимог надійності та стійкості.

Збурючими називаються дії, які виводять об'єкт із стану рівноваги, тобто порушують його матеріальний або енергетичний баланс.

Регулюючі (управляючі) називаються дії, які відновлюють колишню рівновагу об'єкту або що переводять його в новий стан рівноваги.

У технічних об'єктах і збурюючі, і регулюючі дії зводяться до зміни подачі (відведення) речовини або енергії, тільки перші виникають стихійно, другі здійснюються цілеспрямовано. Очевидно, що для здійснення регулюючих дій потрібні відповідні ресурси матеріалів або енергії, без яких управління неможливе.

Вихідна величина об'єкту y характеризує стан об'єкту і називається регульованою (керованою) величиною

Система автоматичного керування (управління) – сукупність об’єкта та автоматичного пристрою керування.

31

Автоматизована система керування передбачає участь у формуванні керуючих дій людини (особи, яка приймає рішення - ОПР). Автоматизовані системи створюються для складних об’єктів, де участь людини в прийнятті рішень є визначальною, а для цього необхідно отримати та переробити великі масиви інформації.

Автоматичні системи забезпечують виконання всіх функцій керування без участі людини (автоматично), але для обслуговування, ремонту та налагодження потрібні кваліфіковані спеціалісти.

Автоматичні системи регулювання (САУ) – сукупність об’єкта та пристрою керування (автоматичного регулятора), процес функціонування яких характеризується тим, що відомі задані значення регульованих координат xзд(t). Допускається також термін “системи автоматичного регулювання” (САР). Далі буде показано, що в процесі регулювання повинна виконуватись вимога x(t)→xзд(t), x – поточне значення регульованої координати.

Автоматична система керування структурно може подаватись по-різному. Структура – це сукупність частин системи, на які вона може поділятись за певними ознаками, та зв’язків між ними. Виділяють такі види структур :

- алгоритмічна – сукупність частин, призначених для виконання алгоритмів перетворення інформації у відповідності до алгоритма функціонування;

- функціональна – сукупність частин, призначених для виконання окремих функцій системи (отримання інформації, її перетворення, передача сигналів і інш.);

- конструктивна (технічна) - сукупність частин як окремих конструктивних елементів.

5.2 Класифікація систем автоматичного управління.

У сучасній техніці використовується величезне число автоматичних

пристроїв і систем, проте їх призначення обмежується вирішенням лише декількох основних завдань автоматизації: сигналізації, контролю, блокування і захисту, пуску і зупинки, управління. Відповідно до цих завдань підрозділяються і системи автоматики.

Системи автоматичної сигналізації (САС) призначені для сповіщення обслуговуючого персоналу про стан технологічної установки або технологічного процесу, що протікає в ній.

Системи автоматичного контролю (САК) здійснюють без участі людини контроль (тобто вимірювання і порівняння з нормативними показниками) різних величин, що характеризують роботу технічної системи. Часто використовують системи централізованого контролю

32

(СЦК), в яких вся технологічна інформація збирається і обробляється на центральному пульті управління.

Системи автоматичного блокування і захисту служать для запобігання виникненню аварійних ситуацій в ТС.

Системи автоматичного пуску і зупинки забезпечують включення, перемикання і відключення компонентів ТС наперед заданою програмою.

Системи автоматичного управління (САУ) призначені для управління роботою ТС та процесами, що протікають в них.

Найважливішими і найбільш складнішими з перерахованих систем є системи автоматичного управління.

При найбільш простих цілях управління (підтримка постійного значення величини, зміна величини за заданою програмою і ін.) процес управління називають регулюванням. Об'єкти управління - об'єктами

регулювання (ОР), управляючі пристрої - автоматичними регуляторам, а системи автоматичного управління - системами автоматичного

регулювання (САР). Автоматичне регулювання – це одна з найважливіших функцій

автоматичного управління, без здійснення якої неможлива робота більшості систем управління. У складних системах управління, особливо з використанням ЕОМ, управлінням називають процес вироблення необхідного рішення, а регулюванням - його реалізацію на об'єкті.

Одно- та багатовимірні системи. Ця ознака передбачає виділення класів систем за кількістю вихідних змінних об’єкта. Тут виділяються ще два підкласи для багатовимірних систем :

- системи незв’язаного регулювання, коли є кілька регульованих координат х і відповідних автоматичних регуляторів, які не зв’язані між собою і утворюють сепаратні контури. В той же час регульовані координати можуть бути зв’язаними через об’єкт; - системи зв’язаного регулювання, коли автоматичні регулятори для різних х зв’язані додатковими зв’язками, за рахунок чого досягається автономність регулювання окремих Х. Лінійні та нелінійні системи. Основними методами дослідження

автоматичних систем є їх математичне моделювання.Математичні моделі реальних систем повинні з необхідною точністю відобразити їх характеристики, що приводить до складних нелінійних залежностей. В складі реальних систем є завжди елементи з нелінійними характеристиками. З математичної точки зору наявність нелінійних залежностей не дозволяє отримати загальні розв’язки задач аналізу та синтезу, значно ускладнює дослідження систем. В теорії автоматичного керування найбільш повно розроблені методи дослідження лінійних систем, хоча це є певною ідеалізацією. Системи називають :

- лінійними, якщо вони описуються лінійними залежностями. Для таких систем виконується принцип суперпозиції (накладання) :

33

реакція системи на будь-яку комбінацію зовнішніх діянь дорівнює сумі реакцій на кожне з них, прикладених окремо. Це відповідає адитивній функції, наприклад : x(U,Z) = x(U) + x(Z). - нелінійними, якщо в їх складі є хоча б один елемент з нелінійними характеристиками. Для спрощення задач аналізу і синтезу виконують лінеаризацію

нелінійних характеристик, що дає можливість замінити реальну нелінійну систему еквівалентною лінійною (лінеаризованою).

Стаціонарні і нестаціонарні системи. В процесі функціонування системи відбуваються змінювання характеристик не лише зовнішнього середовища, а й окремих їх частин, тому виділяють :

- стаціонарні системи, параметри та характеристики яких не змінюються з часом. Динаміка таких систем описується диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами; - нестаціонарні системи, в яких змінюються характеристики та параметри з часом, а поведінка цих систем в динаміці описується диференціальними рівняннями із змінними коефіцієнтами, значення яких залежить від часу. При дослідженні цих систем необхідно враховувати не лише величину збурення, а й момент його прикладання. Системи неперервної та дискретної дії. За характером зміни

сигналів системи діляться на : - неперервної дії (неперервні, аналогові), всі сигнали в яких є неперервними функціями часу; - дискретної дії (дискретні), в яких є елементи, що перетворюють неперервні сигнали в стрибкоподібні або послідовність імпульсів (релейні, імпульсні, цифрові). Екстремальні, адаптивні та оптимальні системи. В системах

керування функціонують об’єкти, статичні характеристики яких можуть мати точку екстремуму, в якій досягаються найвищі техніко-економічні показники роботи. За допомогою спеціальних керуючих дій система підтримує режим роботи об’єкта в околі екстремальної точки, яка змінює своє положення з часом. Такі системи називають екстремальними. Адаптивні системи мають властивість пристосовування до змінюваних характеристик зовнішнього середовища та параметрів об’єкта. Це відбувається за рахунок змінювання структури системи та (чи) параметрів окремих її частин. Оптимальні системи призначені для досягнення найкращих результатів роботи протягом певного часу у відповідності з критерієм оптимальності (керування) в конкретних умовах з урахуванням існуючих ресурсів та обмежень. Це найбільш складні системи, в яких використовуються спеціальні математичні методи, а для їх реалізації потрібні ЕОМ з відповідним програмним забезпеченням.

34

5.3 Класифікація елементів автоматики. Елементи автоматики надзвичайно різноманітні за виконуваних

функцій, конструкції, принципу дії, характеристикам, фізичної природи перетворюваних сигналів і т.д.

1) В залежності від того, як елементи отримують енергію, необхідну для перетворення вхідних сигналів, вони діляться на пасивні і активні.

Пасивні елементи автоматики - це елементи, у яких вхідний вплив (сигнал xвх) перетворюється на вихідний вплив (сигнал хвих) за рахунок енергії вхідного сигналу (наприклад, редуктор).

Активні елементи автоматики для перетворення вхідного сигналу використовують енергію від допоміжного джерела (наприклад, двигун, підсилювач).

2) В залежності від енергії на вході і виході елементи автоматики поділяються на:

- Електричні; - Гідравлічні; - Пневматичні; - Механічні; - Комбіновані. 3) По виконуваних функцій в системах регулювання і управління

елементи автоматики поділяються на: - Давачі; - Підсилювачі; - Виконавчі пристрої; - Реле; - Обчислювальні елементи; - Погоджувальні елементи; - Допоміжні елементи і т.д. Давачі сприймають інформацію, яка надходить на їх вхід, про

керовану величину об'єкта управління і перетворять її в форму, зручну для подальшого використання в пристрої автоматичного управління. Більшість давачів перетворює вхідний неелектричних сигнал xвх у вихідний електричний сигнал хвих. В залежності від виду вхідного неелектричного сигналу хвх виділяють:

- Давачі механічних величин (давачі переміщення, давачі швидкості, давачі прискорення і т.д.);

- Давачі теплових величин (давачі температури); - Давачі оптичних величин (давачі випромінювання) тощо. Часто застосовуються давачі з подвійним перетворенням сигналу,

наприклад, вхідний неелектричних сигнал хвх спочатку перетвориться в переміщення, а потім переміщення перетвориться у вихідний електричний сигнал хвих.

35

Так, наприклад, в системі автоматичного регулювання висоти польоту літака, зміна барометричного тиску, що виникає при зміні висоти польоту, перетворюється спочатку в механічне переміщення центру анероїдний коробки, а потім у напругу, що вимірюється за допомогою потенціометра.

Підсилювачі - це елементи автоматики, які здійснюють кількісне перетворення, посилення потужності вхідного сигналу хвх. В деяких випадках одночасно з кількісним перетворенням, підсилювачі здійснюють і якісне перетворення (наприклад, перетворення постійного струму в змінний, в пневматичних і гідравлічних підсилювачах здійснюється перетворення переміщення в зміна тиску).

Залежно від виду енергії, одержуваної підсилювачем, останні діляться на:

- Електричні; - Гідравлічні; - Пневматичні; - Електрогідравлічні; - Електропневматичні. Найбільшого поширення набули електричні підсилювачі, що мають

високу чутливість, великий коефіцієнт посилення і зручні в експлуатації. Виконавчі пристрої відносяться до елементів автоматики, що

створюють керуючі впливи на об'єкт управління. Вони змінюють стан або положення регулюючого органу об'єкта таким чином, щоб регульований параметр відповідав заданому значенню. До виконавчих пристроїв, що створює керуючий вплив у вигляді сили або обертального моменту, відносяться силові електромагніти, електромагнітні муфти, двигуни.

Двигуни в залежності від виду застосовуваної для роботи енергії можуть бути:

- Електричними; - Гідравлічні; - Пневматичними. В якості виконавчих пристроїв, що змінюють стан регулюючого

органу, можуть використовуватися підсилювачі або реле. Реле - це елементи автоматики, у яких зміна вихідного сигналу (хвих)

відбувається дискретно (тобто стрибкоподібно) при досягненні вхідним сигналом (хвх) певного значення, що викликає спрацьовування реле.

Це значення вхідного сигналу називається рівнем спрацьовування реле.

Потужність вхідного сигналу (хвх), що викликає спрацьовування реле, значно менше потужності, якою реле може управляти. Тому реле використовується і як підсилювальний, і як виконавчий елемент.

Реле часто використовуються і як автоматично керовані комутатори сигналів в багатоканальних системах збору та передачі даних, в яких

36

обробляється інформація від десятків, сотень і навіть тисяч давачів. Вони застосовуються також у системах контролю, сигналізації, блокування і захисту.

Обчислювальні елементи в пристроях автоматичного управління здійснюють математичні перетворення з отриманими на їх вхід сигналами. Ці операції здійснюються з метою забезпечення заданого алгоритму роботи системи.

У простому випадку обчислювальні елементи виконують окремі математичні операції, такі як алгебраїчне сумування, диференціювання, інтегрування, логічне додавання, логічне множення і т.д.

У замкнутих САУ необхідно здійснювати підсумовування сигналу давача і сигналу зворотного зв'язку. В коригувальних пристроях використовується диференціювання та інтегрування сигналів. Для виконання цих операцій головним чином використовуються обчислювальні елементи аналогового типу.

У складніших випадках як ОЕ може використовуватися мікропроцесор, спеціалізовані та уніфіковані ЕОМ цифрового і аналогового типів або комплекс цих машин. Такі завдання автоматичного управління, як оптимізація, створення адаптивних САУ, використання алгоритмів управління, заснованих на імовірнісних і статистичних методах обробки сигналів, неможливо здійснити без застосування ЕОМ.

Погоджуючі та допоміжні елементи включаються в пристрій автоматичного управління для поліпшення його параметрів, розширення функціональних можливостей основних елементів і т.д.

В якості узгоджувальних елементів часто використовують трансформатори, редуктори, що дозволяють узгодити параметри виконавчого елементу з параметрами об'єкта управління.

У системах автоматичного управління, в яких як ОЕ використовується мікропроцесор або ЕОМ, часто виникає необхідність узгодження ЕОМ з давачами інформації та виконавчими елементами аналогового типу, широко вживаними в автоматиці. Для цієї мети на вході ЕОМ встановлюються аналого-цифрові перетворювачі (АЦП). Аналого-цифрові перетворювачі перетворять механічний сигнал (переміщення, швидкості і т.д.) або електричний сигнал (напруги, сили струму, опору і т.д.), що отримується від аналогових давачів, в дискретний кодовий сигнал, здатний сприйматися ЕОМ.

Керуючий вплив в таких системах отримують в дискретної формі як результат обробки в ЕОМ інформації, що надійшла.

Якщо пристрій автоматичного керування в якості виконавчого елемент використовуються електродвигуни постійного або змінного струму, електромагнітні муфти, підсилювачі потужності постійного або змінного струму і т.д., то виникає потреба зворотного перетворення

37

дискретного сигналу ЕОМ в аналоговий сигнал, що сприймається виконавчим елементом.

Це завдання вирішується за допомогою цифро-аналогових перетворювачів (ЦАП).

Вони перетворять кодовий сигнал, отриманий від ЕОМ, в переміщення, напруга, струм, частоту і т.д.

Допоміжні елементи автоматики – це стабілізатори напруги або струму, комутатори і розподільники, генератори напруги спеціальної форми («пила»), формувачі імпульсів, індикаторні й реєструючі прилади, сигнальні та захисні пристрої.

Ці елементи автоматики, не будучи принципово необхідними для роботи пристрою автоматичного управління, в той же час дозволяють збільшити точність і стабільність його роботи, полегшують наладку і експлуатацію, розширюють можливості використання цього пристрою при створенні САУ.

5.4 Принципи управління та їх порівняльна характеристика. При створенні різних систем автоматичного управління для об’єктів

різної природи та призначення використовуються загальні принципи : - За відхиленням. Схема відповідає структурі, яка складається з

автоматичного регулятора та об’єкта, охоплених від’ємним зворотнім зв’язком. Це найбільш поширений принцип управління, завдяки його універсальності: з якої б причини не відбулось відхилення ∆х = xзд(t) – x(t), автоматичний регулятор формує сигнал Uрег, який поступає на об’єкт і зменшує похибку ∆х. Такий зворотній зв’язок називають головним. В той же час в цьому принципі закладено його основний недолік: автоматичний регулятор починає працювати лише після появи значного відхилення ∆х ≠ 0;

- За збуренням. В цьому випадку автоматичний регулятор розпочинає свою роботу одразу після виникнення збурення Z, ще до появи ∆х, але проблема полягає в тому, що реалізація цього принципу вимагає вимірювання всіх без винятку збурень, а це практично неможливо. Застосування цього принципу обмежується тими випадками, коли процес функціонування об’єкта визначається незначною кількістю збурень, які можна вимірювати та використовувати для керування;

- Комбінований. При реалізації цього принципу обирається одне (або два – три) найбільш суттєве збурення, яке можна виміряти і перетворити за допомогою компенсатора К. Це дає можливість виконати умову інваріантності (незалежності) регульованої координати х від збурення Z, тоді ∆х тотожньо дорівнює нулю ( ∆х ≡ 0). Ця частина системи називається розімкненим контуром, і він є головним. Дію невимірюваних збурень, які завжди є в системі, компенсує допоміжний замкнений контур за

38

відхиленням. Комбіновані системи дають можливість забезпечити необхідну якість процесу керування, але виникають проблеми щодо їх синтезу, зокрема з виконанням вимог фізичної реалізованості для складних об’єктів;

- Адаптації. Система сама має можливість пристосуватись до змінюваних умов роботи, що вимагає застосування складних алгоритмів та ЕОМ при їх реалізації.

Тема 6. Структурні схеми систем автоматичного управління. 6.1 Основні елементи і їх позначення структурних схем САУ.

Структурною схемою автоматичної системи називається умовне графічне зображення її елементів (ланок) та зв’язків між ними з визначенням перетворень сигналів за допомогою передаточних функцій цих елементів. При аналізі структурних схем враховуються лише інформаційні аспекти, в першу чергу напрямок передачі сигналів. На структурних схемах крім динамічних ланок з фіксованими виходами та входами, зображаються також суматори або елементи порівняння кількох сигналів та вузли (точки розгалуження сигналів). В задачах аналізу та синтезу САУ структурні схеми приводять до зручного виду за рахунок перетворень, для чого існують певні правила. В основі цих перетворень лежить фундаментальне правило : вихід елемента – відображення входу за допомогою передаточної функції, тобто x(p) = W(p)×U(p).

Елементи показуються простими геометричними фігурами, а зв'язки між ними – сполучними лініями із стрілками, що показують напрям передачі сигналу.

Структурні схеми містять наступні елементи. 1) Ланки спрямованої дії, що характеризуються передавальними

формулами.

Рисунок 6.1 – Ланка спрямованої дії

2) Елемент сумування y=x1+x2.

Рисунок 6.2 – Елемент сумування

39

3) Елемент віднімання y=x1–x2.

Рисунок 6.3 – Елемент віднімання

4) Лінії зв'язку показують напрям передачі сигналів і з'єднання

елементів. 5) Точок розгалуження сигналів, з яких сигнал розходиться по лініях.

6.2 Послідовне з’єднання ланок САУ. Паралельно-узгоджене з’єднання ланок САУ. Паралельно-зустрічне з’єднання ланок САУ.

В структурних схемах зустрічаються типові з’єднання, для яких

відомі вирази еквівалентних передаточних функцій. При послідовному з’єднанні елементів (рисунок 6.4) вихідного

попереднього є входом наступного і сигнал передається в одному напрямі.

Рисунок 6.4 – Послідовне з’єднання ланок САУ

Для послідовного з’єднання елементів еквівалентна передаточна

функція – добуток передатних функцій цих елементів. При дослідженні статичного режиму загальний коефіцієнт передачі також є добутком коефіцієнтів передачі окремих елементів

Рисунок 6.4 – Параленльно-узгоджене з’єднання ланок САУ

X1(p)

X(p)

W2(p)

W1(p)

Wn(p) Xn(p)

U(p)

X n (p) = X(p) X1 (p) U(p)

… W2(p) Wn (p)

X2 (p)

W1(p)

40

При паралельно-узгодженому з’єднанні елементів (рисунок 6.4) вхідний сигнал поступає одночасно на всі елементи, а вихід системи – сума виходів елементів.

В даному випадку еквівалентна передаточна функція – сума передаточних функцій елементів, але додавання сигналів в певній точці можливе за умови, що вони мають одну розмірність

В автоматичних системах найбільш характерним з’єднанням елементів є зустрічно-паралельне, тобто при наявності зворотнього зв’язку (рисунок 6.5).

Рисунок 6.5 – Зустрічно-паралельне з’єднання елементів

а) з одиничним зворотнім зв’язком, б) з елементом в ланцюзі зворотньогозв’язку.

За знаком зворотній зв’язок може бути від’ємним або додатнім, що

показано на вході елемента порівняння ЕП. При з’єднанні елементів, де використовується зворотній зв’язок,

еквівалентна передаточна функція завжди є дробом, в чисельнику якого передаточна функція прямої ланки, а знаменник – одиниця “±” добуток передаточних функцій прямої ланки та зворотнього зв’язку, причому знак “+” відповідає від’ємному зворотньому зв’язку.

Тема 7. Перетворення структурних схем систем автоматичного

управління.

7.1 Одноконтурні і багатоконтурні САУ. При необхідності проводять перетворення структурних схем,

приводять їх до необхідного виду за рахунок тотожніх змінювань. Це означати, що початкова і кінцева структурні схеми повинні бути тотожніми щодо перетворень сигналів.

Замкнуту систему називають одноконтурною, якщо при її розмиканні в якій або точці отримують ланцюжок з послідовно сполучених елементів (рисунок 6.6а).

б)

– (+)

∆X(p) Xзд (p) X(p) W1(p)

W2(p)

а)

– (+)

EП X(p) ∆X(p) Xзд (p)

W(p)

41

Рисунок 6.6 – Одноконтурна САУ

Ділянка кола, що складається з послідовно сполучених ланок,

сполучає точку прикладення вхідного сигналу з точкою знімання вихідного сигналу називається прямим ланцюгом (рисунок 6.6б, передавальна функція прямого ланцюга Wп = W0 W1 W2). Ланцюг з послідовно сполучених ланок, що входять в замкнутий контур називають розімкненим ланцюгом (рисунок 6.6в, передавальна функція розімкненого ланцюга Wp = W1 W2 W3 W4). Виходячи з приведених вище способів еквівалентного перетворення структурних схем, одноконтурна система може бути представлена однією ланкою з передавальною функцією: Wекв = Wп/(1 ± Wp) – передавальна функція одноконтурної замкнутої системи з негативною ОС дорівнює передавальній функції прямого ланцюга, що ділиться на одиницю плюс передавальна функція розімкненого ланцюга. Для позитивної ОС в знаменнику знак мінус. Якщо змінити точку зняття вихідного сигналу, то міняється вид прямого ланцюга. Так, якщо рахувати вихідним сигнал y1 на виході ланки W1, то Wp = W0 W1. Вираз для передавальної функції розімкненого ланцюга не залежить від точки зняття вихідного сигналу.

Окрім одно контурних існують також багатоконтурні замкнені системи (рисунок 6.7). Щоб знайти еквівалентну передавальну функцію для даної схеми потрібно спочатку здійснити перетворення окремих ділянок.

42

Рисунок 6.7 – Багатоконтурні замкнена система

Якщо багатоконтурна система має зв'язки (рис.33), що

перехрещуються, то для обчислення еквівалентної передавальної функції потрібні додаткові правила.

7.2 Еквівалентні перетворення структурних схем САУ.

Різні способи перетворення структурних схем полегшують

визначення ПФ складних САУ і дають можливість звести багатоконтурну систему до еквівалентної їй одноконтурної схеми.

Перетворення структурної схеми має здійснюватися на підставі правил. Правила перетворення структурних схем можна знайти в довідковій літературі, а основні з них наведено в таблиці 7.1.

При виконанні перетворень слід кожне наявне в схемі типове з'єднання замінити еквівалентним ланкою. Потім можна виконати перенос точок розгалуження та суматорів, щоб у реформованій схемою утворилися нові типові з'єднання ланок. Ці сполуки знову заміняються еквівалентними ланками, потім знову може знадобитися перенесення точок розгалуження та суматорів і т. д.

43

Таблиця 7.1 – Правила еквівалентних перетворень

Структурна схема Перетворення

Вихідна Еквівалентна

Згортання послідовного

з’єднання

Згортання паралельного

з’єднання

Згортання зворотного

зв’язку

Перенесення вузла через

ланку вперед

Перенесення вузла через ланку назад

Перенесення суматора через ланку вперед

Перенесення суматора через

ланку назад

Перенесення прямого

зв’язку через ланку

44

Продовження таблиці 7.1

Перенесення вузла через

суматор вперед

Перенесення вузла через

суматор назад

Таким чином, перший спосіб перетворення структурних схем

полягає в безпосередньому використанні правил, наведених в табл. 7.1. Незручність використання цього підходу полягає в тому, що порядок застосування формул тут досить довільний, можливі хибні кроки, які ускладнюють пошук рішення. Другий спосіб для отримання ПФ багатоконтурною системи полягає в використанні моделі системи у вигляді сигнального графа.

Сигнальний граф дозволяє графічно описати лінійні зв'язки між змінними, він складається з вузлів (вершин) і спрямованих гілок, які їх з'єднують.

Гілка відповідає блоку структурної схеми, вона відображає залежності між вхідною і вихідною змінними. Сума всіх сигналів, що входять у вузол, утворює відповідну цьому вузлу змінну.

Послідовність гілок між двома вузлами називається шляхом. Контуром називається замкнутий шлях, який починається і закінчується в одному і тому ж вузлі, причому жоден вузол не зустрічається на цьому шляху двічі. Коефіцієнт передачі контуру - це добуток всіх вхідних в нього дуг. Контури називаються недотичними, якщо вони не мають спільних вузлів.

Сигнальний граф однозначно відповідає структурній схемі. Нехай X(s) та Y(s) вхідна і вихідна змінні системи. Тоді для

обчислення ПФ системи управління по її графу можна скористатися формулою Мейсона:

де Рі – і-й шлях від входу до виходу; N – кількість шляхів; ∆ –

визначник графа; ∆і – додатковий множник для шляху. Визначник графа знаходиться за формулою:

45

де ∑=

K

kk

L1

– сума коефіцієнтів передачі всіх окремих контурів;

∑==

QM

qmqm

LL,

1,1

– сума добутків всіх можливих комбінацій з двох

недотичних контурів;

l

LSR

lsrsrLLL∑

===

,,

1,1,1

– сума добутків всіх можливих комбінацій з трьох

недотичних контурів; Додатковий множник для i-го шляху дорівнює визначнику графа, в

якому прирівняні до нуля коефіцієнти передачі контурів, що дотикаються до цього шляху.

Використання сигнальних графів і застосування формули Мейсона дозволяє алгоритмізувати процес спрощення структурної схеми.

Тема 8. Режими роботи систем автоматичного управління.

8.1 Статичний режим роботи САУ.

Режим роботи САУ, в якому керована величина і всі проміжні

величини не змінюються в часі, називається сталим, або статичним режимом. Будь-яка ланка і САУ в цілому в цьому режимі описується рівняннями статики виду y = F(u, f), в яких відсутній час t. Відповідні ним графіки називаються статичними характеристиками. Статична характеристика ланки з одним входом u може бути представлена кривій y = F (рисунок 8.1). Якщо ланка має другий вхід по збуренню Z, то статична характеристика задається сімейством кривих y = F(u) при різних значеннях Z або y = F(Z) при різних u.

Рисунок 8.1 – Статичні характеристики ланок САУ

Так прикладом однієї з функціональних ланок системи регулювання

води в баку являється звичайний важіль. Рівняння статики для нього має вигляд y = Ku. Його можна зображувати ланкою, функцією якої є

46

посилення (чи послаблення) вхідного сигналу в K разів. Коефіцієнт K = y/u, рівний відношенню вихідної величини до вхідної, називається коефіцієнтом посилення ланки. Коли вхідна і вихідна величини мають різну природу, його називають коефіцієнтом передачі.

Статична характеристика цієї ланки має вигляд відрізку прямої лінії з нахилом a=arctg(L2/L1)=arctg(К) (рисунок 8.2). Ланки з лінійними статичними характеристиками називаються лінійними.

Рисунок 8.2 – Лінійна статична характеристики

Знаючи статичні характеристики окремих ланок (рисунок 8.3), можна

побудувати статичну характеристику САУ (рисунок 8.4). Якщо усі ланки САУ лінійні, то САУ має лінійну статичну характеристику і називається лінійною. Якщо хоч би одна ланка нелінійна, то САУ нелінійна.

Рисунок 8.3 – Статичні характеристики окремих ланок однієї САУ

Рисунок 8.4 – Статична характеристика всієї САУ

Ланки, для яких можна задати статичну характеристику у вигляді

жорсткої функціональної залежності вихідної величини від вхідної, називаються статичними. Якщо такий зв'язок відсутній і кожному

47

значенню вхідної величини відповідає множина значень вихідної величини, то така ланка називається астатичною. Зображувати його статичну характеристику безглуздо.

Якщо на керований процес діє збурення Z, то важливе значення має статична характеристика САУ у формі y = F(z) при y0 = const. Можливі два характерні види цих характеристик (рисунок 8.5). Відповідно до того, яка з двох характеристик властива для цієї САУ, розрізняють статичне і

астатичне регулювання.

Рисунок 8.5 – Статична і астатична характеристики

Статичні регулятори працюють при обов'язковому відхиленні e

регульованої величини від необхідного значення. Це відхилення тим більше, чим більше збурення Z. Це закладено в принципі дії регулятора і не є його похибкою, тому це відхилення називається статичною помилкою регулятора.

Статизм d САУ, характеризує наскільки сильне значення регульованої величини відхиляється від необхідного значення при дії обурень, і дорівнює тангенсу кута нахилу статичної характеристики, побудованої у відносних одиницях: d = tg(a).

В деяких випадках статична похибка недопустима, тоді переходять до астатичного регулювання, при якому регульована величина в сталому режимі набуває точно необхідного значення незалежно від величини збурюючого чинника. Статична характеристика астатичної САУ не має нахилу (рисунок 8.5в). Можливі неточності відносяться до похибок конкретної системи і не є закономірними.

Для того, щоб отримати астатичне регулювання, необхідно в регулятор включити астатичну ланку.

Переваги і недоліки статичного і астатичного регулювання : статичні регулятори мають статичну похибку; астатичні регулятори статичної похибки не мають, але вони більше інерційні, складні конструктивно і більш дорожчі.

Забезпечення необхідної статичної точності регулювання є першим основним завданням при розрахунку елементів САУ.

48

8.2 Динамічний режим роботи САУ. Для автоматичних систем регулювання основним режимом є

динамічний, який характеризується зміною регулювальних координат Х за часом t. Система управління постійно перебуває під впливом збурень або змінюваного сигналу Хзд.

а) б)

Рисунок 8.6 – Перехідні процеси в автоматичній системі регулювання а – відносно збурення Z0; б – відносно зміни завдання Хзд;

1- коливальний, 2 – аперіодичний Вид перехідного процесу залежить від сигналів, які його викликали,

а також від властивостей об’єкта та регулятора. Таким чином, при розв’занні задач аналізу та синтезу системи регулювання необхідно мати математичні моделі елементів і систем в цілому, а в першу чергу – їх динамічні характеристики. Для цієї мети в теорії автоматичного керування використовуються: диференціальні рівняння, передаточні функції, частотні характеристики, часові характеристики.

Зважаючи на інерційність ланок, регулювання не може здійснюватися миттєво.

Розглянемо САУ, яка знаходиться в сталому режимі, що характеризується значенням вихідної величини y = y0. Нехай у момент t = 0 на об'єкт впливав який - або збурюючий чинник, відхиливши значення регульованої величини. Через деякий час регулятор поверне САУ до первинного стану (з урахуванням статичної точності). Якщо регульована величина змінюється в часі за аперіодичним законом, то процес регулювання називається аперіодичним.

Таким чином, основним режимом роботи САУ вважається динамічний режим, що характеризується протіканням в ній перехідних процесів. Тому другим основним завданням при розробці САУ є аналіз динамічних режимів роботи САУ.

Поведінка САУ або будь-якої її ланки в динамічних режимах описується рівнянням динаміки y(t) = F(u, z, t), зміна величин, що описує, в часі. Як правило, це диференціальне рівняння або система

Х

t

2

1

2

1 Х

t

Хзд1

Хзд2

49

диференціальних рівнянь. Тому основним методом дослідження САУ в динамічних режимах є метод рішення диференціальних рівнянь. Порядок диференціальних рівнянь може бути досить високим, тобто залежністю пов'язані як самі вхідні і вихідні величини u(t), z(t), y(t), так і швидкості їх зміни, прискорення і так далі. Тому рівняння динаміки в загальному вигляді можна записати наступним чином:

F(y, y ', y",.., y(n), u, u ', u",.., u(m), z, z ', z ",.., z(k)) = 0. (8.1)

Тема 9. Методи опису параметрів систем автоматичного управління.

9.1 Передатна функція. Властивості передатної функції.

В теорії автоматичного управліннячасто використовують операторну

форму запису диференціальних рівнянь. При цьому вводиться поняття диференціального оператора p = d/dt так, що, dy/dt = py, а pn = dn/dtn. Це лише інше позначення операції диференціювання. Зворотна диференціюванню операція інтеграції записується як 1/p. У операторній формі початкове диференціальне рівняння записується як алгебра:

a0p(n )

y + a1p(n -1 )

y + ... + any = (a0p(n ) + a1p

(n -1 ) + ... + an)y = =(b0p

(m ) + b1p(m -1 ) + ... + bm)u

Не потрібно плутати цю форму запису з операційним численням хоча би тому, що тут використовуються безпосередньо функції часу y(t), u(оригінали), а не їх зображення Y(p), U(p), що отримуються з оригіналів по формулі перетворення Лапласа. В той же час за нульових початкових умов з точністю до позначень запису дійсно дуже схожі. Ця схожість лежить в природі диференціальних рівнянь. Тому деякі правила операційного числення застосовані до операторної форми запису рівняння динаміки. Так оператор p можна розглядати в якості співмножника без права перестановки, тобто py≠yp. Його можна виносити за дужки і тому подібне

Тому рівняння динаміки можна записати також у виді:

upWupD

pKu

apapa

bpbpby

n

nn

m

mm

⋅==++++++

=−

−

)()(

)(

...

...1

10

1

10

Диференціальний оператор W(p) називають передатною функцією. Вона визначає відношення вихідної величини ланки до вхідної в кожен момент часу: W(p) = y(t)/u(t), тому її ще називають динамічним коефіцієнтом підсилення. У сталому режимі d/dt = 0, тобто p = 0, тому передатна функція перетворюється на коефіцієнт передачі ланки K = bm/an.

Знаменник передавальної функції n

nn apapapD +++= − ...)( 1

10

називають характеристичним поліномом. Його корені, тобто значення p,

50

при яких знаменник D(p) перетворюється на нуль, а W(p) прагне до нескінченності, називаються полюсами передатнї функції.

Чисельник m

mm bpbpbpK +++= − ...)( 1

10 називають операторним коефіцієнтом передачі. Його корені, при яких K(p) = 0 і W(p) = 0, називаються нулями передатної функції.

Ланка САУ з відомою передатною функцією називається динамічною ланкою. Вона зображається прямокутником, усередині якого записується вираження передатної функції. Тобто це звичайна функціональна ланка, функція якої задана математичною залежністю вихідної величини від вхідної в динамічному режимі. Для ланки з двома входами і одним виходом мають бути записана дві передатні функції по кожному з входів. Передатна функція є основною характеристикою ланки в динамічному режимі, з якої можна отримати усі інші характеристики. Вона визначається тільки параметрами системи і не залежить від вхідних і вихідних величин. Наприклад, однією з динамічних ланок є інтегратор. Його передавальна функція Wи(p) = 1/p.

9.2 Вхідні і вихідні сигнали. Часові характеристики САУ.

Для оцінки динамічних властивостей системи і окремих ланок

прийнято досліджувати їх реакцію на типові вхідні впливи, які найповніше відбивають особливості реальних збурень. По-перше, це дозволяє порівнювати окремі елементи між собою з точки зору їх динамічних властивостей. По-друге, знаючи реакцію системи на типові впливи, можна судити про те, як вона проводитиметься при складних змінах вхідної величини.

Найбільш поширеними типовими впливами є: ступінчаста,

імпульсна і гармонійна дії. Будь-який сигнал u(t), що має складну форму, можна розкласти на суму типових впливів ui(t) і досліджувати реакцію системи на кожну із складових, а потім, користуючись принципом суперпозиції, отримати результуючу зміну вихідної величини y(t) підсумовуючи отримані що таким чином становлять вихідного сигналу yi(t).

Особливо важливе значення в теорії автоматичного управління надають ступінчастого впливу (функція Хевісайда)

<

≥=

.00

,0,1)(1

tпри

tприt

Усі інші дії можуть бути зведені до нього. Так, наприклад, реальний імпульсний сигнал може бути представлений двома ступінчастими сигналами однакової величини, але протилежними по знаку, поданими один за іншим через інтервал часу ∆t (рисунок 9.1).

51

Рисунок 9.1 – Представлення вхідних дій

Залежність зміни вихідної величини системи від часу при подачі на її

вхід одиничної ступінчастої дії за нульових початкових умов називається перехідною характеристикою і позначається h(t).

Не менш важливе значення в теорії автоматичного управління приділяється імпульсній перехідній характеристиці, яка описує реакцію системи на одиничну імпульсну дію за нульових початкових умов, означають ω(t). Одиничний імпульс фізично представляє з себе дуже вузький імпульс, ширина якого прагне до нуля, а висота – до нескінченності, що обмежує одиничну площу. Математично він описується дельта-функцією d(t) = 1'(t).

Перехідна і імпульсна перехідна характеристики називаються часовими характеристиками. Кожна з них являється вичерпною характеристикою системи і будь-якої її ланки за нульових початкових умов. По ним можна однозначно визначити вихідну величину при довільній вхідній дії.

Взявши похідну від перехідної функції можна отримати вираження для імпульсної перехідної функції ω(t) = h'(t).

52

9.3 Частотні характеристики САУ. Якщо подати на вхід системи з передатною функцією W(p)

гармонійний сигнал ),sin(cos)( tjtUeUtu

m

tj

mωωω +==

то після завершення перехідного процесу на виході встановляться гармонійні коливання

ϕωϕω jtj

m

tj

meeYeYty == + )()(

з тією ж частотою ω, але іншими амплітудою і фазою, залежними від частоти ω збурюючої дії. По їм можна судити про динамічні властивості системи. Залежності, що зв'язують амплітуду і фазу вихідного сигналу з частотою вхідного сигналу, називаються частотними характеристиками (ЧХ). Аналіз ЧХ системи з метою дослідження її динамічних властивостей називається частотним аналізом.

Підставимо вирази для u(t) і y(t) в рівняння динаміки ubpbpbyapapa

m

mm

n

nn )...()...( 1

10

1

10 +++=+++ −− Врахуємо, що

,ujejUepUpu tj

m

tj

mωω ωω ===

а значить .)()( ujejUeUpup ntjn

m

tj

m

nn ωω ωω === Аналогічні співвідношення можна записати і для лівої частини

рівняння. По аналогії з передатною функцією можна записати:

ujWuajaja

bjbjby

n

nn

m

mm

⋅=++++++

=−

−

)(...)()(

...)()(1

10

1

10 ωωωωω

W(jω), рівна відношенню вихідного сигналу до вхідного при зміні вхідного сигналу за гармонійним законом, називається частотною

передатною функцією. Легко помітити, що вона може бути отримана шляхом простої заміни p на jω у виразі W(p).

W(jω) є комплексна функція, тому: )()()()( )( ωωωω ωϕ jQPeAjW j +==

де P(ω) – істотна частотна характеристика; Q(ω) – уявна частотна

характеристика; А(ω) – амплітудна частотна характеристика (АЧХ) : ϕ(ω) – фазова частотна характеристика (ФЧХ). АЧХ дає відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів, ФЧХ – зміщення по фазі вихідної величини відносно вхідної :

.)(

)()(

,)()()( 22

ωω

ωϕ

ωωω

Q

Parctg

QPY

UA

m

m

=

+==

53

Якщо W(jω) зображувати вектором на комплексній площині, то при зміні ω від 0 до + ∞ його кінець викреслюватиме криву, яка називається годографом вектора W(jω), або амплітудно-фазовою частотною

характеристикою (АЧФХ) (рисунок 9.2).

Рисунок 9.2 – Годографом вектора W(jω) (АЧФХ)

Гілка АФЧХ при зміні ω від –∞ до 0 можна отримати дзеркальним

відображенням цієї кривої відносно істотної осі. У теорії автоматичного управління широко використовуються

логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ) (рисунок 9.3): логарифмічна амплітудна ЧХ (ЛАЧХ) L(ω) і логарифмічна фазова ЧХ

ϕ(ω). Вони отримуються шляхом логарифмування передавальної функції : ).()](ln[]ln[)](ln[])(ln[)](ln[ )()( ωϕωωωω ωϕωϕ +=+== AeAeAjW

jj

Рисунок 9.3 – Логарифмічні частотні характеристики

ЛАЧХ отримують з першого доданку, який з міркувань

масштабування множиться на 20, і використовують не натуральний логарифм, а десятковий, тобто L(ω) = 20lgA(ω). Величина L(ω)

54

відкладається по осі ординат в децибелах. Зміна рівня сигналу на 10 дБ відповідає зміні його потужності в 10 разів. Оскільки потужність гармонійного сигналу Р пропорційна квадрату його амплітуди А, то зміні сигналу в 10 разів відповідає зміна його рівня на 20дБ, оскільки

lg(P2/P1) = lg(A22/A1

2) = 20lg(A2/A1). По осі абсцис відкладається частота ω в логарифмічному масштабі.

Тобто одиничним проміжкам по осі абсцис відповідає зміна ω в 10 разів. Такий інтервал називається декадою. Оскільки lg(0) = –∞, то вісь ординат проводять довільно.

ЛФЧХ, що отримується з другого доданку, відрізняється від ФЧХ тільки масштабом по осі ω. Величина ϕ(ω) відкладається по осі ординат в градусах або радіанах. Для елементарних ланок вона не виходить за межі:

πϕπ +≤≤− . ЧХ є вичерпними характеристиками системи. Знаючи ЧХ системи

можна відновити її передавальну функцію і визначити параметри.

Тема 10. Регулювання та автоматичні регулятори.

10.1 Математичні моделі об’єктів управління. Об’єкти управління мають різне призначення, в них протікають різні

процеси, вони відрізняються конструкцією, але з точки зору процесу керування ними можна виділити деякі загальні особливості і властивості :

− самовирівнювання – властивість об’єкта переходити самостійно з одного рівноважного стану в інший після нанесення певного вхідного сигналу, збурення. Наприклад, теплообмінні процеси при змінюванні навантаження самостійно переходять з одного стану рівноваги в інший з різними температурами середовища, збірники, в яких відбувається вільний витік рідини. Самовирівнювання – це наслідок внутрішнього від’ємного зворотного зв’язку в стійкому об’єкті, що проявляється як вплив значення регульованої координати на приток та (чи) виток речовини або енергії. Ця властивість об’єкта полегшує процес регулювання, зменшує відхилення регульованих координат;

− інерційність, що проявляється в тривалості перехідних процесів і оцінюється постійними часу Т. Як відзначалось вище, тривалість перехідного процесу tn = (3-4)Т;

− ємність – кількість речовини чи енергії, яку може накопичувати та витрачати об’єкт в процесі регулювання. Для гідравлічних об’єктів – маса речовини, для теплових – кількість теплоти, для рухомих – момент інерції.

− запізнювання – час між подачею вхідного сигналу та моментом появи вихідної змінної. Розрізняють транспортне (чисте) запізнювання

55

ντ lзп= (l – довжина шляху, v – швидкість) та перехідне, або ємкісне,

яке викликається наявністю в об’єкті кількох ємкостей та опорів між ними. Методи отримання математичних моделей (ММ) об’єктів можна

поділити на ряд класів, в результаті чого отримують : − Аналітичні ММ (неформальні). При їх виведенні

використовуються фундаментальні закони перетворення речовини та енергії, тепло- та масообміну, гідродинаміки та інше. В результаті отримують ММ, які описують клас об’єктів, є універсальними, і саме в цьому їх значущість і перевага перед іншими моделями. В той же час отримання аналітичних ММ потребує розкриття природи та механізмів процесів, що приводять до громіздких і незручних для використання математичних моделей. Крім того, при виведенні аналітичних ММ не можна обійтись без певних спрощень, що зменшує цінність цих ММ. В теорії автоматичного керування аналітичні моделі розробляють для елементарних об’єктів і приводять до зручного виду, наприклад до стандартної форми диференціальних рівнянь.

− Формальні моделі, для отримання яких використовується метод “чорного ящика”, коли не розкривається природа процесів, які протікають в об’єкті, а знаходяться такі математичні залежності, які з прийнятною точністю описують зв’язок між вхідними і вихідними змінними. Формальні моделі отримують експериментальним шляхом та перевіряють їх методами комп’ютерного моделювання;

− Комбіновані, які певною мірою об’єднують аналітичні та формальні методи, наприклад структура моделі визначається після вивчення природи об’єкта, а параметри моделі оцінюються експериментально.

Порядок отримання аналітичних ММ для елементарних об’єктів може бути таким :

− вивчаються в загальному вигляді природа об’єкта, процеси, які протікають в ньому, визначаються регульовані координати, збурення та можливі дії керування, складається так звана параметрична схема. Кількість регульованих координат визначає порядок математичної моделі;

− складаються рівняння матеріального та енергетичного балансів, визначаються математичні моделі для розкриття складових цих балансів;

− виконуються процедури лінеаризації нелінійних залежностей, приймаються припущення, які можуть спростити математичну модель, наприклад щодо зосередженості параметрів, постійних значень констант процесів і інш.;

− розглядаються порушення балансів і приймається припущення, що швидкість змінювання регульованих координат пропорційна величині небалансу. Диференціальні рівняння приводяться, по можливості, до стандартної форми;

56

− аналізуються отримані математичні моделі, складаються структурні схеми, проводиться комп’ютерне моделювання.

Аналітичні ММ повинні бути адекватними (відповідними) об’єкту та задачі, з необхідною точністю відтворювати статичні та динамічні властивості, бути зручними, наочними та, по можливості, простими.

В ряді випадків можна скористатись при математичному моделюванні конкретних апаратів типовими моделями, до яких можна віднести :

− модель ідеального витіснення; − модель ідеального змішування; − однопараметрична дифузійна модель; − комбіновані моделі. Модель ідеального витіснення. Приймається поршнева течія рідини

без перемішування вздовж потоку при рівномірному розподілі речовини (енергії) в напрямку, перпендикулярному рухові. Час перебування всіх часток в системі однаковий та дорівнює відношенню об’єму до об’ємної витрати рідини. Рівняння моделі :

X

CW

t

C

∂∂

−=∂∂

де : С – концентрація речовини; W – лінійна швидкість; Х – координата.

Модель ідеального змішування. Приймається рівномірний розподіл речовини (енергії) в потоці :

)(вихвхV

V

dt

dCСCcвих −⋅=

де : Vс – об’ємна швидкість потоку; V – об’єм системи. Однопараметрична дифузійна модель. Основою тут є модель

ідеального витіснення, тобто поршневий потік, але при наявності зворотного перемішування, яке формально визначається законом дифузії. При складанні моделі приймаються припущення : зміна концентрації речовини (енергії) – неперервна функція координати (відстані); концентрація в даному поперечному перерізі постійна; об’ємна швидкість потоку та коефіцієнт поздовжнього перемішування не змінюється по довжині та перерізу потоку :

2

2

X

C

LXC

tC Дw

∂∂

∂∂

∂∂ ⋅+⋅−=

де : ДL – коефіцієнт турбулентного перемішування (дифузії). Знаходиться експериментально.

Одним з методів експериментального визначення характеристик об’єкта є так званий пасивний, коли використовуються дані, які характеризують роботу об’єкта в режимі нормальної експлуатації, без внесення додаткових сигналів. Ці методи об’єднуються в окремий напрям – ідентифікація. Використовуються також спеціальні методи планування експериментів.

57

10.2 Закони регулювання. Автоматичні регулятори. Класифікація регуляторів.

В попередніх розділах було показано, що в автоматичних системах

завжди формуються керуючі дії, спрямовані на забезпечення бажаного режиму функціонування об’єкта з урахуванням діючих збурень та характеристик об’єкта і зовнішнього середовища. Пристрій керування, а в автоматичних системах керування – автоматичний регулятор постійно перетворює отримувану інформацію в сигнал керування, який залежить в загальному випадку від відхилення ∆Х, збурення Z, а також від інтегральних показників та похідної регульованої координати. Ця залежність називається законом регулювання (керування). В теорії автоматичного керування використовуються два підходи до вибору та застосування автоматичних регуляторів :

− визначення необхідного закону керування, виходячи з властивостей об’єкта та вимог до якості системи. В цьому випадку закон керування – математична залежність, яка може бути довільної форми будь-якої складності. В технічній літературі процедури отримання необхідного закону керування називають аналітичним конструюванням регуляторів;

− застосування типових законів керування, тоді для конкретного випадку обирається один з них та проводиться підбір параметрів (настроювання) для конкретних умов, тобто здійснюється параметричний

синтез автоматичних регуляторів. При реалізації законів керування технічними засобами автоматичні

регулятори можуть бути неперервними (аналоговими) та дискретними. В неперервних вхідні та вихідні сигнали регуляторів є неперервними функціями часу, в дискретних, до яких відносяться релейні (позиційні), імпульсні та цифрові, вихідний сигнал має стрибкоподібну форму або є послідовністю імпульсів.

До типових неперервних законів керування відносяться : − пропорційний (статичний) :

ХKUрегрег∆⋅= ,

де : Крег – коефіцієнт передачі регулятора, ∆Х=Хзд-X(t); − інтегральний (астатичний) :

∫ ∆Χ=nt

ін

регрегdtKU

0

,

− диференціальний :

dt

d

дрегKU )(∆Χ=

− пропорційно-диференціальний :

dt

d

дрегрег КХKU )(∆Χ+∆⋅=

− пропорційно-інтегральний :

58

∫ ∆Χ+∆Χ=nt

ін

регрегрегdtKКU

0

− пропорційно-інтегрально-диференціальний :

dt

d

д

t

Т

K

регрегКdtКU

n

і

рег )(

0

∆Χ+∆Χ+∆Χ= ∫

де: Кд – коефіцієнт диференціювання, часом його замінюють добутком Кд∙Тд (Тд – час диференціювання), Ті – час інтегрування (ізодрому).

У відповідності до наведених законів автоматичні регулятори називають : П-,І-, Д-, ПД-, ПІ- та ПІД-регуляторами. Ці закони керування та відповідні їм автоматичні регулятори є певною мірою універсальними, тобто можуть застосовуватись на різних об’єктах, в різних системах. Універсальність їм придає можливість змінювання в певних межах постійних коефіцієнтів рівнянь, які називають параметрами настроювання (настройки). У відповідності з цими параметрами настройки є: Крег, К

інрег,

Кд, Ті. В сучасних технічних засобах, в тому числі в мікропроцесорних контролерах передбачається можливість використання найбільш універсального ПІД-регулятора, який може реалізувати і більш прості закони, наприклад при Ті→∞ і Кд=0 ПІД-регулятор перетворюється в П-регулятор.

Тема 11. Типові елементарні ланки систем управління та їх

характеристики.

11.1 Пропорційна ланка. Пропорційну ланку ще називають безінерційною або підсилюючою.

Це ланка, для якої у будь-який момент часу вихідна величина пропорційна вхідною.

Її рівняння: у(t)= ku(t). Передатна функція: W(p)=k. Перехідна характеристика: h(t)=k1(t). У відповідь на одиничну ступінчасту дію сигнал на виході миттєво

досягає величини в k раз більшу, ніж на вході і зберігає це значення (рисунок 11.1). При k=1 ланка ніяк себе не проявляє, а при k =–1 – інвертує вхідний сигнал.

59

Рисунок 11.1 – Деякі характеристики і інтерпретація пропорційної ланки

Будь-яка реальна ланка володіє інерційністю, але з певною точністю

деякі реальні ланки можуть розглядатися як безінерційні, наприклад, жорсткий механічний важіль, редуктор, потенціометр, електронний підсилювач, тощо.

Частотні характеристики пропорційної ланки Передатна функція: W(p)= k. АФЧХ: W(jω) = k. ВЧХ: P(ω) = k. МЧХ: Q(ω) = 0. АЧХ: A(ω) = k. ФЧХ: φ(ω) = 0. ЛАЧХ: L(ω) = 20lg k.

Рисунок 11.2 – Деякі частотні характеристики пропорційної

ланки Деякі частотні характеристики показані на рисунку 11.2. Ланка

пропускає всі частоти однаково із збільшенням амплітуди в до раз і без зрушення по фазі.

11.2 Інтегруюча ланка.

Інтегруючу ланку ще називають астатичною. Її рівняння

∫=t

dttukty0

)()( або kudt

dy= або py=ku

Передатна функція: p

kpW =)( .

60

Перехідна характеристика: ktdttktht

== ∫0

)(1)(

Інтерпретація інтегруючої ланки наведена на рисунку 11.3.

Рисунок 11.3 – Деякі характеристики і інтерпретація пропорційної ланки

При k=1 ланка є “чистий” інтегратор W(p)= 1/p. Інтегруюча ланка

необмежено "накопичує" вхідну дію. Приклади интегруючих ланок: електродвигун, поршневий гідравлічний двигун, ємність і т.п. Введення його в САУ перетворює систему на астатичну, тобто ліквідовує статичну похибку.

Частотні характеристики інтегруючої ланки Передавальна функція:

p

kpW =)(

Часто о озглядається окремий випадок, коли k=1, тобто

ppW

1)( =

АФЧХ: 2/11)( π

ωωω je

jjW −== .

ВЧХ: P(ω) = 0.

МЧХ: ω

ω1

)( −=Q .

АЧХ: ω

ω1

)( =A .

ФЧХ: φ(ω) = –π/2. ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(1/ω) = – 20lg(ω).

61

Рисунок 11.4 – Деякі частотні характеристики інтегруючої ланки

Частотні характеристики показані на рисунку 11.4. Всі частоти ланка

пропускає із запізнюванням по фазі на 90о. Амплітуда вихідного сигналу збільшується при зменшенні частоти, і зменшується до нуля при зростанні частоти (ланка "завалює" високі частоти). ЛАЧХ є прямою, що проходить через точку L(ω) = 0 при ω = 1. При збільшенні частоти на декаду ордината зменшується на 20lg10 = 20дБ, тобто нахил ЛАЧХ рівний – 20 дБ/дек (децибел на декаду).

11.3 Аперіодична ланка.

Аперіодичну ланку ще називають інерційною ланкою першого

порядку. Її рівняння динаміки

kuydt

dyT =+ або Tpy+y=ku

Передатна функція: 1

)(+

=Тp

kpW .

Перехідна характеристика:

)1()( T

t

ekth−

−= Перехідна характеристика має вигляд експоненти (рисунок 11.5), по

якій можна визначити передавальний коефіцієнт, рівний сталому значенню h(t), і постійну часу Т за часом t, відповідному точці перетину дотичної до кривої на початку координат з її асимптотою. При великих Т ланка на початковій ділянці може розглядатися як інтегруюча, при малих Т ланку приблизно можна розглядати як безінерційну. Приклади аперіодичної ланки: термопара, електродвигун, чотириполюсник з опору і ємностей або опору і індуктивності.

62

Рисунок 11.5 – Деякі характеристики і інтерпретація аперіодичної ланки

При k=1 отримуємо наступні вирази частотних характеристик.

Передавальна функція: ;1

1)(

+=

TppW

АФЧХ: 2)(1

1

1

1)(

T

Tj

TjjW

ωω

ωω

+−

=+

= .

ВЧХ: 2)(1

1)(

TP

ωω

+= .

МЧХ: 2)(1

)(T

TQ

ωω

ω+

= .

АЧХ: 2

2

1

)(1)(

T

T

A

AA

ω

ωω

+== .

ФЧХ: φ(ω) = φ1– φ2.= – arctg(ωT) ЛАЧХ: L(ω) = 20lg(A(ω)) = – 10lg(1+(ωT)2). Тут A1 і A2 – амплітуди чисельника і знаменника ЛФЧХ; φ1 і φ2. –

аргументи чисельника і знаменника ЛФЧХ: Частотні характеристики показані на рисунку 11.6. АФЧХ є півколо

радіусом 1/2 з центром в точці P = 1/2. При побудові асимптотичними ЛАЧХ вважають, що при ω < ω1 = 1/T можна знехтувати (ωT)2виразі для L(ω), тобто L(ω) ≈ –10lg1 = 0. При ω > ω1 нехтують одиницею у виразі в дужках, тобто L(ω) ≈ –20lg(ωT). Тому ЛАЧХ проходить уздовж осі абсцис до частоти, що сполучає, потім – під нахилом – 20 дб/дек. Частота ω1 називається сполучною частотою. Максимальна відмінність реальних ЛАЧХ від асимптотичних не перевищує 3 дб при ω= ω1.

Рисунок 11.6 – Частотні характеристики аперіодичної ланки

63

ЛФЧХ асимптотика прагне до нуля при зменшенні ω до нуля (чим менше частота, тим менше спотворення сигналу по фазі) і до – π//2 при зростанні ω до нескінченності. Перегин в крапці ω= ω1 при φ(ω) = – π/4. ЛФЧХ всіх аперіодичних ланок мають однакову форму і можуть бути побудовані по типовій кривій з паралельним зрушенням уздовж осі частот.

11.4 Коливна ланка. Коливну ланку ще називають інерційною ланкою другого порядку.

ЇЇ рівняння: kuypyTypT =++ 2

22

1 Передатна функція:

1)(

2

22

1 ++=

pTpT

kpW

Рішення рівняння залежить від співвідношення постійних часу T1 і T1, яке визначає коефіцієнт загасання

1

2

2T

Tr = .

Можна записати

12)(

22 ++=

prTpT

kpW

де T = T1. Якщо r≥1, то знаменник W(p) має два істотних корені p1 и p2 и

розкладається на два співмножника: T2p

2 + 2rTp + 1 = T2 (p – p1).(p – p2). Таку ланку можна розкласти на дві аперіодичні ланки першого

порядку, тому вона не є елементарною. При r<1 корені полінома знаменника W(p) комплексно спряжені:

p1,2 =α±jω. Перехідна характеристика є виразом, що характеризує затухаючий коливальний процес із згасанням α і частотою ω (рисунок 11.7). При r=0 коливання носять незгасаючий характер. Така ланка є окремим випадком коливної ланки і називається консервативною. Прикладами коливної ланки можуть служити пружина, що має заспокійливий пристрій, електричний коливальний контур з активним опором, тощо. Знаючи характеристики реального пристрою можна визначити його параметри як коливної ланки. Передавальний коефіцієнт k рівний сталому значенню перехідної функції.

64

Рисунок 11.7 – Деякі характеристики і інтерпретація коливної ланки

При k = 1 передатна функція ланки:

12

1)(

22 ++=

prTpTpW .

З причини складності виведення виразів для частотних характеристик розглянемо їх без доказу, вони показані на рисунку 11.8.

Рисунок 11.8 – Частотні характеристики коливної ланки Асимптотична ЛАЧХ коливальної ланки до частоти, що сполучає

ω1= 1/T1 співпаде з віссю абсцисс, при подальшому збільшенні частоти йде з нахилом – 40 дб/дек. Тобто високі частоти коливної ланки "заваливалює" сильніше, ніж аперіодична ланка.

Реальна ЛАЧХ при ω≈ω1 значно відрізняється від асимптотичної. Ця відмінність тим істотніше, чим менше коефіцієнт демпфування r. Точну криву можна побудувати, скориставшись кривими відхилень, які приводяться в довідниках. У граничному випадку r=0 отримуємо консервативну ланку, в якої при ω≈ω1 амплітуда вихідних коливань прямує до нескінченності.

ЛФЧХ при малих частотах асимтотично прагне до нуля. При збільшенні частоти до нескінченності вихідний сигнал повертається по фазі щодо вхідного на кут, що прямує в границі до, –180о. ЛФЧХ можна побудувати за допомогою шаблону, але для цього потрібний набір шаблонів для різних коефіцієнтів демпфування. При зменшенні коефіцієнта демпфування АФЧХ наближається до осі абсцис і в границі у консервативної ланки вона вироджується в два промені по осі абсцис, при

65

цьому фаза вихідних коливань стрибком міняється від нуля до –180о під час переходу через спряжену частоту (рисунок 11.9).

Рисунок 11.9 – Частотні характеристики коливної ланки при малих

частотах

11.5 Диференціююча ланка. Розрізняють ідеальну і реальну диференціюючі ланки. Рівняння

динаміки ідеальної ланки:

dt

dukty =)( або у = kpu.

Тут вихідна величина пропорційна швидкості зміни вхідної величини.

Передатна функція: W(p)= kp. При k=1 ланка здійснює чисте диференціювання W(p)=р. Перехідна характеристика: h(t)= k 1’(t)= d(t). Ідеальну диференціюючу ланку реалізувати неможливо, оскільки

величина сплеску вихідної величини при подачі на вхід одиничного ступінчастого впливу завжди обмежена. На практиці використовують реальні диференціюючі ланки, що здійснюють наближене диференціювання вхідного сигналу.

Рівняннятакої ланки: Тру + у = kTpu.

Передатна функція:

1)(

+=

Тp

kTppW

При малих Т ланку можна розглядати як ідеальне диференціюючу. Перехідна характеристика:

.)( T

t

keth−

= При подачі на вхід одиничної ступінчастої дії вихідна величина

виявляється обмежена по величині і розтягнута в часі (рисунок 11.10). По перехідній характеристиці, що має вид експоненти, можна визначити коефіцієнт передачі k і постійну часу Т. Прикладами таких ланок можуть

66

бути чотириполюсник з опору і ємності або опору і індуктивності, демпфер, тощо. Диференціюючі ланки є головним засобом, використовуваним для покращення динамічних властивостей САУ.

Рисунок 11.10 – Деякі характеристики і інтерпретація

диференціюючої ланки Окрім розглянутих є ще ряд ланок, на яких детально зупинятися не

будемо. До них можна віднести ідеальну форсуючу ланку W(p)= Tp + 1, яка практично не реалізовується; реальну форсуючу ланку

1

1)(

2

1

++

=pТ

pТpW при T1 >> T2),

ланка запізнення – pTepW −=)( та деякі інші.

Тема 12. Аналіз стійкості лінійних систем.

12.1 Загальні умови стійкості. Стійкість автоматичних систем – це їх властивість повертатись в

початковий стан після того, коли будь-яка дія вивела систему з цього стану. Ознакою стійкості є збіжні перехідні процеси, наприклад для систем стабілізації

∞→→−=∆ ttXtXtX зд ,)()()( 0

де: )(),( tXtXзд

- відповідно задане та поточне значення регульованої координати.

Лінійна САУ може знаходитись в трьох станах: бути стійкою, нестійкою та на межі стійкості (рисунок 12.1). Варто відзначити, що коли лінійна САУ знаходиться в одному з двох останніх станів, вона непрацездатна. Важливо також відзначити, що форма перехідного процесу, а також його показники (амплітуда, тривалість) при оцінці стійкості значення не мають, головне – перехідні процеси повинні бути збіжними. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що стійкість САУ є умовою необхідною, але недостатньою, але в задачах аналізу і синтезу САУ в першу чергу оцінюється стійкість системи. Наведена умова відповідає

67

стійкості системи в усталеному стані. В реальних умовах на систему постійно діють збурення, тому умова стійкості може відповідати вимозі: регульована координата повинна бути обмеженою при дії обмежених за велечиною збурень. В задачах аналізу та синтезу проблема стійкості ставить не лише визначення цієї оцінки, а також факторів, від яких залежить стійкість.

Рисунок 12.1 – Перехідні процеси системи: а) – стійкої; б) – нестійкої; в) - на межі стійкості

Враховуючи, що стійкість лінійних САУ залежить від вільного руху

системи, можна записати відповідне однорідне диференціальне рівняння:

0011

1

1 =++++−

−

− Xadt

dXa

dt

Xda

dt

Xda

n

n

nn

n

n K

Змушена складова руху системи, яка відповідає певному виду

зовнішньої дії, на стійкість не впливає. Тоді математичним визначенням стійкості є:

0lim =∞→

X(t)t

Зрозуміло, що вихідна змінна системи буде наближатись до змушеної складової, яка визначається правою частиною диференціального рівняння, а при виконанні вказаної умови стійкість називається асимптотичною. Тоді для нестійкої системи

∞=∞→

X(t)tlim

На межі стійкості в системі виникає перехідний процес з постійною амплітудою (рис. 12.1,в).

Вільна (перехідна) складова перехідного процесу, яка визначає стійкість системи, є розв’язком наведеного однорідного диференціального рівняння :

∑=

⋅=n

iin

tieCtX

1

)(λ

,

iC - постійні інтегрування, які залежать від початкових умов;

iλ - корені характеристичного рівняння:

t

X

б) в)

t

X

t

X

а)

68

001

1

1 =++++ −− apapapa n

n

n

nK

Таким чином )(tXn

має суму складових, кількість яких визначається порядком системи n. В загальному випадку в рівнянні оператор p замінюється на комплексну змінну λ. Тоді корені рівняння рівняння є комплексними та утворюють пари спряжених комплексних чисел

iiiijβαλ ±=+1,

Дійсна частина кореня i

α може бути додатною або від’ємною. Перехідна складова )(tX

n прямує до нуля лише тоді, коли кожна складова

0→⋅tieC

i

λ. Тоді можна визначити залежність стійкості системи від

коренів характеристичного полінома: − корені дійсні: α±=2,1X . Якщо 0<α , то в системі виникає

неколивальний (аперіодичний) перехідний процес, який при ∞→t прямує до нуля, тобто система стійка. При 0>α перехідний процес розбіжний, тобто система нестійка (рисунок 4.2а);

− корені комплексні попарно спряжені (рисунок 4.2б) викликають коливальний перехідний процес, причому при 0<α – збіжний;

− корені уявні (рисунок 4.2в) відповідають перехідному процесу у вигляді синусоїди (система на межі стійкості).

Рисунок 12.2 – Залежність )(tX

n від коренів характеристичного полінома

Може бути також нульовий корінь, тоді значення Х приймає

постійну величину. Наведений матеріал дозволяє зробити такі висновки: − перехідний процес в системі – сума коливальних та аперіодичних

складових, при цьому кожна коливальна складова відповідає парі комплексних спряжених коренів, а кожна аперідична складова – дійсному кореню;

− загальною умовою загасання всіх складових і перехідного процесу в цілому є від’ємність дійсних частин всіх коренів характеристичного рівняння системи, тобто полюсів (нулів знаменника) передаточної функції системи;

69

− якщо є хоча б один корінь з додатньою дійсною частиною, то йому відповідає розбіжна складова перехідного процесу, тобто система нестійка;

− при наявності уявних коренів характеристичного рівняння в системі виникають назагасаючі коливання з частотою, яка дорівнює

iβ –

границя стійкості.

Рисунок 12.3 – Розташування коренів характеристичного рівняння на

комплексній площині Розташування коренів характеристичного полінома на комплексній

площині показано на рисунку 12.3. Для стійкості системи всі корені повинні лежати в лівій напівплощині , а уявна вісь є межею стійкості. На межі стійкості може розташовуватись нульовий корінь або пара чисто уявних коренів. Необхідною, але недостатньою, умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного полінома.

Для отримання характеристичного полінома можна використивувати передаточні функції системи, наприклад для замкненої системи відносно зміни завдання:

)(1

)()(

pW

pWpW

роз

роз

зд +=

Подамо )( pWроз

у вигляді:

)(

)()(

pQ

pRpW

роз= ,

тоді

)(

)(

)()(

)(

)(

)(1

)(

)(

)(pD

pR

pRpQ

pR

pQ

pR

pQ

pR

pWзд

=+

=+

= ,

де: D – характеристичний поліном, який співпадає з лівою частиною рівняння системи.

70

Розв’язуючи проблему стійкості, знаходять відповіді на ряд частинних питань:

− визначають структуру системи, в якій забезпечується стійкість; − оцінюють межі змінювання параметрів системи, за яких вона

зберігає стійкість та їх критичні значення, які виводять систему на межу стійкості (будують область стійкості);

− формують ряд додаткових заходів щодо збереження чи забезпечення стійкості, наприклад введення додаткових елементів чи зв’язків.

Таким чином, стійкість системи визначають на основі аналізу перехідного процесу або коефіцієнтів та коренів характеристичного поліному. В теорії автоматичного керування є ще один ефективний метод оцінки стійкості – використання критеріїв стійкості – узагальнених показників, які не потребують розв’язувати рівняння системи. Використовуються алгебраїчні та частотні критерії.

12.2 Запас стійкості.

Реальні системи повинні бути не лише стійкими, а й забезпечувати

запас стійкості, тобто зберігати стійкість при змінюваних умовах роботи та параметрів системи. Фактично це означає, що система за своїми властивостями повинна бути на певній відстані від межі стійкості. Запас стійкості встановлюється в зв’язку з тим, що:

− розрахунок системи приводиться з використанням спрощених, ідеалізованих моделей, які не враховують ряд факторів, важливих для роботи системи;

− проводиться лінеаризація математичних залежностей, а саме нелінійності відіграють суттєву роль при роботі системи;

− параметри окремих елементів, особливо об’єкта, можуть значно змінюватись в процесі роботи, наприклад коефіцієнти теплопередачі.

Наведені фактори приводять до того, що стійка системи за розрахунками при практичному використанні може виявитись нестійкою.

Запас стійкості можна оцінювати за розташуванням коренів характеристичного рівняння на комплексній площині: чим далі вліво від уявної осі будуть розташовані корені, тим більшим буде запас стійкості. Для оцінки запасу стійкості можна використовувати і частотний критерій Найквіста, який буде розглянуто нижче, а саме – за віддаленням АФХ розімкненої системи )( ωjW

роз від “небезпечної” точки (–1; j0) на

комплексній площині. Кількісно оцінюють запас стійкості системи за амплітудою (модулем) та фазою. Запас стійкості за амплітудою (модулем) показує, на скільки можна збільшити коефіцієнт передачі системи, щоб вона вийшла на межу стійкості. При розрахунках цей запас береться подвійним. Запас стійкості по фазі показує, на скільки повинно зрости

71

запізнювання на частоті зрізу зр

ω , щоб система вийшла на межу стійкості.

При розрахунках приймається запас по фазі 030≥ .

12.3 Область стійкості. При створенні та експлуатації автоматичних систем часто необхідно

визначати вплив змінюваних параметрів системи на стійкість. Область стійкості будується в координатах, якими є змінювані параметри і виділяє простір, в кожній точці якого система стійка. Лінія або поверхня, які обмежують область стійкості, є межею області. Коли змінюваних параметрів два, наприклад Kрег і Ti для ПІ-регулятора, тоді область стійкості виділяється на площині Kрег – Ti. Для позначення області стійкості лінія (межа стійкості) штрихується, при цьому штриховка направляється всередину області. Межа області може будуватись шляхом багатократного застосування одного з критеріїв стійкості при різних значеннях змінюваних параметрів.

Розглянемо приклад побудови області стійкості для статичної системи третього порядка, передаточна функція якої задана у вигляді:

)1)(1)(1()(

321

321

+++=

pTpTpT

KKKpW ,

що відповідає трьом послідовно з’єднаним аперіодичним ланкам з коефіцієнтами передачі Ki та постійними часу Ti, 3,1=i . Характеристичний поліном системи приймає вигляд:

)1)(1)(1()( 321321 ++++= pTpTpTKKKD λ або:

01

2

2

3

3)( aaaaD +++= λλλλ , де:

3210321131322123213 1;;; KKKaTTTaTTTTTTaTTTa +=++=++== Позначимо: KKKK =321 , K – коефіцієнт передачі системи. Для визначення області та межі стійкості можна застосувати

алгебраїчний критерій Рауса-Гурвиця (буде розглянутий в наступній темі), тоді умовою стійкості буде:

0321 >TTT 0313221 >++ TTTTTT

0321 >++ TTT 01 >+ K

Будемо вважати, що змінюваними параметрами є Т1 та К, тоді область стійкості будується в площині цих параметрів (рисунок 12.4).

72

Рисунок 12.4. Область стійкості системи

Нерівності, наведені вище не мають особливої цінності, тому що в

реальних системах завжди розглядаються додатні значення Т1,Т2,Т3. К за абсолютним значенням повинно бути менше одиниці, тобто система втратить стійкість при наявності додатного, а не від’ємного зворотного зв’язку. Коли К зростає, система також виходить на межу стійкості, а потім стає нестійкою, що видно з виразу для визначника 3∆ :

0)1())(( 3213213132210312 >+−++++=− KTTTTTTTTTTTTaaaa З цього виразу можна отримати значення критичного коефіцієнта

передачі системи:

1111

)(121

321 −

++

++=

TTTTTTK

кр

Для стійкої системи К<Ккр . Межа (1) для області стійкості (рис.12.4) відповідає умові, наведеній вище, для різних значень змінюваного параметра Т1, при яких К=Ккр. Межа (2) відповідає умові

1,01 =>+ KK Межа (3) відповідає умові Т1=0. Необхідно підкреслити ще раз, що збільшення коефіцієнта передачі

системи підвищує її точність, але може привести до втрати стійкості. Цікавою особливістю є те, що критичне значення коефіцієнта передачі Ккр не залежить від абсолютних значень постійних часу, а визначається лише їх відношенням

Тема 13. Алгебраїчні критерії стійкості.

13.1 Критерій Рауса-Гурвіця.

Алгебраїчні критерії встановлюють необхідні та достатні умови

стійкості на основі визначників, складених з коефіцієнтів характеристичного рівняння системи. Англійський математик Є. Раус (1877 р.) та швейцарський математик А. Гурвіц (1893 р.) в різній формі запропонували критерій, згідно якого умови стійкості зводяться до

73

виконання нерівностей, які зв’язують коефіцієнти рівняння системи. Для розв’язання прикладних задач ці критерії об’єднують в один – Рауса-Гурвіца. В загальному випадку ці критерії призначались для розв’язання чисто математичної задачі – дослідження стійкості розв’язків лінійного диференціального рівняння. Вище було показано, що за допомогою такого рівняння описується поведінка лінійної САУ.

На основі характеристичного полінома:

01

1

1)( aaaaD n

n

n

n++++= −

− λλλλ K (13.1) складається визначник:

024

13

42

531

642

7531

00

000

000

000

00

00

aaa

aa

aaa

aaa

aaaa

aaaa

nnn

nnn

nnnn

nnnn

n

K

K

M

K

K

K

K

−−

−−−

−−−

−−−−

=∆ (13.2)

Вираз (13.2) називається визначником Гурвиця і при його складанні

виконуються правила: − визначник має n рядків та n стовпців, в першому рядку

розташовуються “непарні” коефіцієнти, після чого рядок доповнюється до числа n нулями;

− другий рядок включає всі “парні” коефіцієнти і також доповнюється нулями до числа n;

− третій та четвертий рядки отримують зсувом вправо відповідно першого та другого рядків на один елемент, а зліва проставляється нуль. Аналогічно отримують і наступні рядки;

− в головній діагоналі визначника розташовуються всі коефіцієнти, крім

na .

Критерій стійкості Рауса-Гурвиця формулюється так: автоматична система, яка описуються характеристичним поліномом (13.1) стійка, якщо при 0>

na визначник

n∆ та всі його діагональні мінори додатні. (Мінор –

визначник, складений з елементів, розташованих на перетині будь-яких k рядків та k стовпців визначника). У виразі (13.2) мінори виділені пунктиром.

Останній стовпець визначника n∆ має лише один елемент 00 >a ,

тому використовується відома залежність:

10 −∆⋅=∆nn

a ,

74

яка розподається на дві за умови 0=∆n

: 0,0 10 =∆= −na . Коли 0=∆

n,

система знаходиться на межі стійкості. При цьому при 00 =a існує один нульовий корінь (аперіодична межа стійкості), а при 01 =∆ −n

існує пара уявних коренів (коливальна межа стійкості).

Розглянемо використання алгебраїчного критерію для системи різних порядків. Для системи першого порядку характеристичний поліном має вигляд:

01)( aaD += λλ , а умова стійкості:

0, 101 >=∆ aa . Для системи другого порядку:

01

2

2)( aaaD ++= λλλ ,

0,0,,00

021101

00

1

2 >>=∆>==∆ aaaaaaa

a,

Таким чином, для системи першого і другого порядків необхідною і достатньою умовою стійкості є додатність всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.

Для системи третього порядку:

01

2

2

3

3)( aaaaD +++= λλλλ ,

02

13

02

3

0

0

0

aa

aa

aa

=∆

Умови стійкості:

0,0,0,0 2033012

13

02

2213 >∆=∆>−==∆>=∆> aaaaaaa

aaaa

Остання нерівність за умови 00 >a потребує 02 >∆ . Таким чином, для системи 3-го порядку забезпечення стійкості вимагає не лише додатності всіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, а й певного співвідношення між ними.

Для системи 4-го порядку:

01

2

2

3

3

4

4)( aaaaaD ++++= λλλλλ

024

13

24

13

4

0

00

00

00

aaa

aa

aa

aa

=∆

Умова стійкості:

75

0;00

0

;0;0;0

3040

2

321

4

3

3213

41322314

>∆=∆>−∆=−∆=∆

>−=∆>=∆>

aaaaa

aaa

aaaaaa

Для систем високих порядків ( 3≥n ) використання алгебраїчного критерія Рауса-Гурвиця стає незручним і потребує громіздких виразів. Крім того, цей критерій не дає можливості визначити, які заходи необхідно здійснити для забезпечення стійкості.

13.2 Критерій Льєнара-Шіпара

В теорії автоматичного управління використовується також

алгебраїчний критерій Льєнара-Шіпара (1914 р.), який спрощує використання критерія Рауса-Гурвиця. Доведено, що необхідною і достатньою умовою стійкості при 0>

ia є вимога додатності всіх

визначників з парними індексами K0,0 42 >∆>∆ або всіх визначників з непарними індексами K0,0 31 >∆>∆ .

Тема 14. Частотні критерії стійкості.

14.1 Критерій Найквіста.

Один з частотних критеріїв був запропонований в 1932 р.

американським фізиком Х. Найквістом, який досліджував властивості електронних підсилювачів із зворотніми зв’язками. Цей критерій потім став одним з найбільш уживаних при дослідженнях стійкості автоматичних систем.

На відміну від інших критеріїв, заснованих на аналізі характеристичного рівняння системи, цей критерій використовує амплітудно-фазову характеристику розімкненої системи

)()()( ωωω jWjWjWокрегроз

⋅= , тобто послідовне з’єднання (добуток)

відповідних характеристик і передаточних функцій автоматичного регулятора і об’єкта по каналу керування. Саме це забезпечує наочність та зручність використання критерію, можна застосовувати експериментальні динамічні характеристики об’єкта. Цей критерій особливо зручний для одноконтурних систем, які можна представити у вигляді типових ланок.

Основне застосування критерію Найквіста відноситься до систем, які є стійкими в розімкненому стані, що виконується в більшості випадків для технологічних об’єктів. Для цього випадку критерій Найквіста формулюється так: автоматична система управління стійка, якщо амплітудно-фазова характеристика розімкненої системи )( ωjW

роз не

охоплює точку з координатами (–1; j0) (рисунок 14.1).

76

Рисунок 14.1 – Амплітудно-фазові характеристики

розімкненої системи (статичної) Годограф (1) відповідає стійкій системі, (3) – нестійкій, (2) – на межі

стійкості. Цей випадок справедливий для статичних систем. Для астатичних систем відповідні характеристики наведені на рисунок 14.2.

Рисунок 14.3 – Амплітудно-фазові характеристики

розімкненої системи (астатичної) При подальшому аналізі використовуються такі значення частоти: − частота зрізу, коли А(ω) (модуль

зррозjW ωω −=1))( ;

− частота, при якій фазовий зсув πωπωϕ −−=)( .

Тоді умова знаходження системи на межі стійкості буде:

πωω =

зр

Якщо проаналізувати проходження гармонійного сигнала через систему, то роль особливої точки (–1; j0) полягає в тому, що:

77

− вона відповідає претворенню від’ємного зворотнього зв’язку в додатній;

− вона є межею між режимами підсилення і ослаблення зовнішнього сигналу системою.

Може бути випадок, коли системи є нестійкою, в розімкненому стані. Тоді критерій Найквіста формулюється так: САУ буде стійкою, коли

)( ωjWроз

охоплює 2l разів точку з координатами (–1; j0) , l – число правих

коренів характеристичного рівняння розімкненої системи. Критерій Найквіста зручно використовувати для аналізу систем, які

мають в своїй структурі ланки запізнювання. В цьому випадку АФХ розімкненої системи можна подати у вигляді:

зп

оснроз

jejWjW

ωτωω −⋅= )()( ,

де: )( ωjWосн

- АФХ основних елементів системи;

зпje

ωτ− - АФХ ланки запізнювання.

Наявність ланки запізнювання погіршує, як правило, стійкість і існує критичне запізнювання, при якому система виходить на межу стійкості – кр

зпω .

14.3 Критерій Михайлова.

Частотний критерій стійкості А.В. Михайлова (1936 р.) заснований

на аналізі характеристичного полінома системи, в який підставляється ωλ j= :

01

1

1 )()()()( ajajajajD n

n

n

n++++= −

− ωωωω K (14.1) Вираз (14.1) можна подати у вигляді суми дійсної та уявної частини:

)()()( ωωωDD

jVUjD += , де: )(ω

DU – дійсна частина, складена з членів з парними

степенями ω ; )(ω

DV – уявна частина, яка утримує члени з непарними степенями ω . Кожному фіксованому значенню ω відповідає комплексне число, яке

можна зобразити вектором на комплексній площині. При змінюванні ω від 0 до ∞ цей вектор описує криву, яка називається годограф Михайлова. За видом годографа можна оцінювати стійкість системи. При 0=ω функція

0)( ajD =ω , що випливає з виразу (14.1), а при ∞→ω функція )( ωjD необмежено зростає, але проходить різну кількість квадрантів в залежності від порядку системи.

Критерій стійкості Михайлова формулюється так: автоматична система керування, якій відповідає рівняння (14.1), стійка, якщо при змінюванні ω від 0 до ∞ годограф )( ωjD огинає проти годинникової

78

стрілки початок координат та проходить n квадрантів (n – порядок системи). Якщо система знаходиться на межі стійкості, то годограф проходить через початок координат (це відповідає наявності пари спряжених коренів).

Рисунок 14.4 – Годограф Михайлова

На рисунку 14.4 годограф (1) відповідає стійкій системі (n=4), (2) –

на межі стійкості, (3) – нестійкій. При практичному використанні годографа Михайлова спочатку знаходять точки перетину його з координатними осями: при 0)( =ω

DU знаходять частоту, коли )( ωjD

пересікається з уявною віссю і підставляють її значення у вираз для )(ωD

V . Коли знайдено умови, за яких )( ωjD перетинає осі координат, тобто знайдено нулі )(ω

DU і )(ω

DV , то повністю годограф будувати не потрібно:

стійкість має місце, якщо нулі )(ωD

U та )(ωD

V чергуються з ростом ω , починаючи з 0=ω , тобто 0)( =ω

DV , а 0)( >ω

DU .

Якщо систему можна розбити на ланки, то годограф )( ωjD можна отримати за правилами перемноження векторів.

14.2 Логарифмічні частотні характеристики.

Для оцінки стійкості системи можна використовувати також

логарифмічні частотні характеристики. Це засновано на висновках, які випливають з критерію стійкості Найквіста: система буде стійкою тоді, коли при досягненні фазовою частотною характеристикою значення –180о логарифмічна частотна характеристика буде від’ємною (криві (1), рисунок 14.5). Це значить, що АФХ розімкненої системи не охоплює точку (–1; j0). Кривим (3) рисунку 14.5 відповідає нестійка система, (2) – на межі стійкості.

79

Рисунок 14.5 – Логарифмічні частотні характеристики статичної системи

Тема 15. Якість перехідних процесів в лінійних автоматичних

системах регулювання.

15.1 Поняття та показники якості перехідних процесів. Якість автоматичних систем регулювання в цілому визначається

комплексом показників: надійністю, вартістю, відповідністю світовому науково-технічному рівню, точністю. В теорії та практиці автоматизації поняття “якість системи”, “якість керування” зводиться в першу чергу до якості перехідних процесів відносно збурення та зміни завдання та забезпечення необхідної точності в усталеному режимі. В попередньому розділі відзначалось, що стійкість системи необхідна, але недостатня умова її працездатності, тому після перевірки та забезпечення стійкості системи розглядаються можливості гарантування якості процесів керування. При цьому якість перехідних процесів необхідно розглядати відносно збурень та зміни завдання. Якість перехідних процесів визначається властивостями як об’єкта, так і автоматичного регулятора, а показники або оцінки якості формуються, виходячи з технологічних вимог до функціонування об’єкта.

Для порівняння якості різних САУ досліджується їх реакція на типові дії. Звичайно це ступінчаста функція, як один з найбільш несприятливих видів збурень. Для систем, що працюють з періодичними збуреннями, доцільно оцінювати якість управління при гармонійній дії. Усі інші збурення можна розкласти на ступінчасті дії з використанням інтеграла Дюамеля, або в ряд Фур'є.

80

Усі сучасні методи аналізу якості управління можна розділити на прямі методи аналізу по кривій перехідного процесу або за частотними характеристиками, і непрямі методи, що дозволяють, не вирішуючи диференціального рівняння, визначити деякі показники якості процесу управління; до них, зокрема, відносяться кореневі, інтегральні і частотні методи.

15.2 Показники якості при ступінчатому впливі.

Нехай на САУ при t=0 впливає збурюючий чинник f у вигляді

одиничної ступінчастої функції. За нульових початкових умов динамічний режим описується перехідною характеристикою h(t) = ∆y(t) = y(t) – y0 = –e(t)(рис.85). По ній можна визначити усі найбільш важливі показники якості управління.

1. Статична помилка eуст = y0 – yуст = – hуст – це різниця між наказаним і дійсним значенням керованої величини в сталому режимі. Для статичних систем статична помилка відмінна від нуля (рисунок 15.1а) і пропорційна величині збурюючого чинника f (у лінійних САУ) та коефіцієнту передачі системи по цьому збуренню, а для астатичних дорівнює нулю (рисунок 15.1б).

Рисунок 15.1 – Показники якості при ступінчатому впливі

2. Час перехідного процесу tпп – це час від моменту дії, починаючи з

якого коливання керованої величини не перевищують деякого наперед заданого значення, тобто |h(t) - hуст| ≤∆. Зазвичай приймають ∆= 0.05hуст.

3. Перерегулювання σ – це максимальне відхилення керованої величини від сталого значення, виражене у відносних одиницях:

σ=уст

уст

h

hh −1max . Тут hmax1 – значення першого максимуму перехідної

характеристики. При великих перерегулюваннях можуть виникнути значні динамічні зусилля в механічній частині системи, електричні перенапруження і тому подібне. Допустиме значення σ визначається з

81

досвіду експлуатації. зазвичай воно складає 0.1..0.3, іноді допускається до 0.7.

4. Частота коливань T

πω

2= , де T – період коливань.

5. Число коливань n за час tпп. 6. Декремент затухання k, рівний відношенню двох суміжних

перерегулювань:

уст

уст

hh

hhk

−

−=

2max

1max.

Рисунок 15.2 – Діаграма показників якості

При створенні САУ допустимі значення показників якості

обмовляються технічними умовами, що можна представити у вигляді діаграми показників якості. Це область, за межі якої не повинна виходити перехідна характеристика (рисунок 15.2).

15.3 Показники якості при періодичних збуреннях.

Періодичні обурення можна розкласти в ряд Фур'є, тому їх дію

зручно аналізувати за частотними характеристиками, що показують, як ланка перетворить гармонійний сигнал.

Зазвичай використовують АЧХ замкнутої САУ (рисунок 15.3), яку легко побудувати по АФЧХ розімкненої САУ )( ωjW

p, по формулі

)(1

)(

ω

ω

jW

jWA

p

p

з +=

По цій кривій можна отримати ряд показників якості.

82

Рисунок 15.3 – АЧХ замкнутої САУ

1. Показник коливальності M – це відношення максимального

значення АЧХ замкнутої САУ до її значення при ω=0, тобто M = Aзmax(ω)/Aз(0). Оскільки

11)0(1

)0()0( ≈

+=

+=

p

p

p

p

зK

K

W

WA ,

при Kp>>1, то M≈Aзmax(ω). Він характеризує схильність системи до коливань і не повинен перевищувати 1.5.

2. Резонансна частота системи ωp – це частота, при якій коливання проходять через систему з найбільшим підсиленням, а АЧХ досягає максимуму.

3. Смуга пропускання системи – це інтервал частот від ω= 0 до ω=ω0,

на якому виконується умова 707,02

)0()( 0 ≈≤ з

з

AA ω . Якщо вона висока, то

система відтворюватиме високочастотні перешкоди. 4. Частота зрізу ωср – частота при якій АЧХ замкнутої САУ набуває

значення, рівного одиниці. По ній можна судити про тривалість

перехідного процесу cp

nnt

ωπ2

)2...1(≈ .

5. Схильність САУ до коливань характеризують також її запаси стійкості по модулю (допускається від 6 до 20дБ) і по фазі (допускається від 30 до 60 градусів).

83

Тема 16. Методи та критерії визначення якості перехідних процесів в системах управління.

16.1 Методи визначення якості перехідних процесів.

Якість перехідних процесів САУ можна визначити за частотними,

кореневими або інтегральними критеріями. Найбільшу наочність мають частотні критерії якості, які

використовують властивості частотних характеристик замкненої та розімкненої системи. Так, за видом амплітудно-частотної характеристики замкненої системи за зміною завдання (рисунок 16.1) можна визначити частотний показник коливальності:

)0(

)(

A

AM M

ω=

Рисунок 16.1 – Амплітудно-частотна характеристика замкненої системи

Чим більше це відношення, тим сильніша коливальність і, як

наслідок, тривалість перехідного процеса п

t . Якість вважається задовільною при 5.11.1 ÷=M . Непрямими частотними показниками швидкодії системи є характерні частоти: резонансна

pω , незагасаючих

коливань 0ω (часто можна прийняти p

ωω ≈0 ) та частота пропускання

03 ωω ⋅≈n

. За амплітудно-фазовою характеристикою розімкненої системи

)( ωjWроз

(рисунок 16.2) можна визначити запас за амплітудою:

)(1πωAA −=∆

та за фазою:

)(зр

ωϕπϕ −=∆

84

Рисунок 16.2 – Показники запасу стійкості

Ці показники фактично характеризують віддаленість кривої )( ωjW

роз

від критичної точки на комплексній площині з координатами (–1; j0). Раніше відзначалось, що при проектуванні систем приймається запас стійкості за амплітудою 6.05.0 ÷=∆A і за фазою 06030 ÷=∆ϕ . Такі показники запасу стійкості забезпечують і необхідну якість перехідних процесів.

Між частотними та часовими характеристиками системи існує однозначний зв’язок. Так визначено, що перехідна функція замкненої системи може визначатись за дійсною )(ωU або уявною )(ωV частотними характеристиками замкненої системи:

,)sin()(2

)(0

ωω

ωωπ

dtU

th ∫∞

=

,)cos()(2

)0()(0∫∞

+= ωω

ωωπ

dtV

Uth

де: )(th – перехідна функція замкненої системи, тобто часова характеристика при одиничному ступінчатому впливі.

Для оцінки якості перехідних процесів можна використовувати дійсну частотну характеристику замкненої системи, наприклад за зміною завдання (рис.5.6). Інтервал частот

позω÷0 – називається інтервалом

позитивних частот, cω÷0 – суттєвих. Після

cω )(ωU мало впливає на

якість перехідного процесу. Якщо для частоти n

ωω > виявиться, що )0(2.0)( UU ⋅<ω , то в першому наближенні можна приймати до уваги

лише інтервал позитивності nω÷0 . Значення U(0) при частотах

nωω > та

cωω > впливає лише на початок перехідного процесу і їх можна

85

відкинути, а початок U(ω) визначає головним чином кінцеву частину перехідного процесу.

Рисунок 16.3 – Дійсна частотна характеристика замкненої системи Аналіз наведених інтегралів та графіку U(ω) (рисунок 16.3) дає

можливість зробити такі оцінки щодо якості перехідного процесу: − статична похибка )(∞X після нанесення одиничного стрибка

дорівнює U(0). Якщо це зміна завдання, то U(0)=1 або деякому коефіцієнту К0 (з урахуванням відтворення зміни завдання). При оцінці характеристик відносно збурення U(0)→min, а в астатичній системі U(0)=0;

− порівняння графіків (рисунки 16.4а та 16.4б) показує відповідність )(th та )(ωU . При наявності екстремума )(ωU перехідний процес

коливальний, при відсутності – аперіодичний;

− перехідний процес тим швидше загасає, чим більше значення nω (при цьому менша інерційність);

− для мінімально-фазових систем замість )(ωU можна використовувати )(ωA .

Рисунок 16.4 – Дійсна частотна (а) та перехідна (б) характеристики

замкненої системи

86

16.2 Кореневі критерії якості перехідних процесів. Кореневі критерії якості дають можливість оцінити або задати

показники перехідного процесу за розташуванням коренів характеристичного полінома на комплексній площині. При цьому необхідно аналізувати не лише полюси (як при аналізі стійкості), а й нулі передаточної функції системи. Наприклад, передатна функція замкненої системи відносно збурення має вид:

)(

)(

)(1

)()(

pD

pM

pW

pWpW

роз

озб

зб=

+= ,

де:

0

1

1

1

1)( bpbpbpbpMm

m

m

m++++= −

− K

0

1

1

1

1)( apapapapDn

n

n

n++++= −

− K Розклавши багаточлени M(p) i D(p) на множники, передатну функцію

можна виразити так:

∏

∏

=

=

−

−=

n

in

m

jm

зб

i

i

pa

pb

pW

1

10

)(

)()(

λ

λ

де: ii 0

,λλ - відповідно полюси та нулі передаточної функції. При цьому

значення нулів залежить від місця, де прикладене діяння. Розглянемо частинний випадок, коли передаточна функція не має

нулів:

∏=

−=

n

in

m

зб

ipa

bpW

1

)()(

λ

Для цього випадку перехідний процес, який визначається лише полюсами )( pW

зб, має вид:

∑=

=n

in

tiieCtX

1

)(λ

Як відомо в цьому перехідному процесі є аперіодична та коливальні складові (відповідно визначаються дійсними та попарно спряженими комплексними коренями). Тоді можна знайти тривалість найбільш тривалої та коливальність найбільш коливальної складових, що і визначить ці оцінки всього перехідного процесу (їх верхні границі).

87

Рисунок 16.5 – Ступінь стійкості системи

Критерій тривалості – ступінь стійкості η (рисунок 16.5) показує

відстань від уявної осі (яка є межею стійкості) до найбільшого кореня характеристичного рівняння замкненої системи. Час затухання окремої

складової перехідного процесу визначається величиною tie

α, або iT

t

e

−

, де

ii

Tα1

= - постійна часу загасання, iα дійсна частина і-го кореня

характеристичного рівняння. Тривалість певної складової ini

Tt 3≈ , тобто

вона обернено пропорційна абсолютному значенню дійсної частини відповідного кореня. Таким чином, самою тривалою складовою є така, яка визначається коренем з мінімальною величиною дійсної частини:

minαη =

Тоді тривалість перехідного процесу буде:

η3

≤n

t

Назва показника “ступінь стійкості” пов’язана з тим, що η показує фактично відстань від межі стійкості.

Критерій коливальності – ступінь коливальності. Коливальність коливальної складової перехідного процесу

)(siniii

teCti ϕβ

α+

визначається відношенням амплітуд перехідного процесу:

iiti

iti

e

eC

eC

X

X

i

iτα

α

τα

==+

1

1

max1

max2

)(

де: iiβπτ /2= – період коливань даної складової. Тоді коливальність

дорівнює i

i

eβ

πα2

, а при 0<iα буде i

i

eβ

απ2−

. Таким чином, мірою

коливальності є відношення i

i

αβ

: чим більше це відношення, тим більше

88

коливальність складової перехідного процесу, а найбільш коливальною є складова, для якої це відношення буде максимальним:

maxαβ

µ =

На комплексній площині корінь, який визначає найбільшу

коливальність, відповідає куту i

iarctgαβ

γ = (рисунок 16.7).

Рисунок 16.7 – Ступінь коливальності системи

В практичних розрахунках використовують показник µβ

α 1==m ,

який приймають в межах 5.02.0 ÷=m . Варто зауважити, що в системі довільного порядку найбільш швидкий аперіодичний перехідний процес має місце, коли всі n коренів рівні. На комплексній площині корінь, який визначає найбільш коливальну складову, відповідає найбільшому значенню кута γ (рис.5.9).

Для визначення критеріїв якості η та µ можна використовувати критерії стійкості Рауса-Гурвиця або Михайлова. В задачах синтезу систем обирають один - два параметри, які можуть змінюватись в певних межах, і визначають їх вплив на степінь стійкості η побудовою області стійкості в площині, наприклад η і одного з параметрів системи. Можна отримати також лінії однакового ступіню стійкості з різними значеннями η .

При використанні критеріїв η і µ необхідно враховувати, що оцінки тривалості та коливальності перехідних процесів є граничними, тобто перехідний процес в системі може мати кращу якість. Якщо розглядати загальний випадок, коли передаточна функція системи має нулі, то це відповідає наявності правої частини рівняння, тому оцінка якості може бути неточною, але завжди якість перехідних процесів тим краще, чим більше η і менше µ .

В технічній літературі наводиться приклад оптимального розташування коренів характеристичного полінома та значення відповідних коефіцієнтів. Для реальних систем значна частина

89

коефіцієнтів характеристичного рівняння фіксована, тому свобода вибору щодо розташування коренів обмежена. В цьому випадку обирають два - три корені, які визначають якість перехідних процесів, а решту розташовують в глибині комплексної напівплощини шляхом обмежень на дійсні частини. При цьому відношення уявної та дійсної частини цих коренів не регламентується, оскільки швидкість загасання буде значною та виявлятись лише на початку перехідного процесу.

Визначення показників η та µ за рівнянням з відомими коефіцієнтами – трудомістка задача, тому частіше розв’язується обернена задача – визначення коефіцієнтів рівнянь та параметрів системи, при яких всі корені лежать в області із заданими значеннями η і µ . Для систем невисоких порядків розроблено метод кореневого годографа, коли на комплексній площині будуються траекторії (годографи) переміщення коренів характеристичного рівняння при зміні параметрів системи, що приводить до бажаного розташування цих коренів.

Вплив розташування коренів на якість перехідного процесу та стійкість добре ілюструє діаграма І.О.Вишнеградського (1876 р.), побудована для систем третього порядку (рисунок 16.8).

Рисунок 16.8 – діаграма І.О.Вишнеградського

Характеристичне рівняння системи:

001

2

2

3

3 =+++ apapapa приводиться до нормованого вигляду шляхом ділення на а0 і

введення нової змінної 3

0

3

a

app ⋅= :

012

2

1

3

=+++ pApAp

90

де: 3

0

2

3

21

aa

aA

⋅= ;

3 3

03

12

aa

aA

⋅= .

Приймаючи А1>0, A2>0 в площині параметрів А1-A2 будується область стійкості, яка розділяється на три складові:

І – обмежена лініями abc, відповідає трьом дійсним кореням (різним), що приводить до аперіодичних процесів;

ІІ – обмежена лініями abd, відповідає парі комплексним коренів та одному дійсному, розташованому ближче до уявної осі – монотонний перехідний процес;

ІІІ – обмежена лінією dbc та межею стійкості, відповідає також парі комплексних коренів та одному дійсному, але до уявної осі ближче знаходяться комплексні корені – коливальний перехідний процес.

16.3 Інтегральні критерії якості перехідних процесів.

Одними з найбільш зручних для оцінки якості перехідних процесів є

інтегральні критерії якості, особливо при використанні комп’ютерного моделювання. Це узагальнені показники, які фактично дають оцінку величини площі під кривою перехідного процесу, і тоді однозначно формулюється вимога зменшення відхилення та тривалості перехідного процесу. Використовуються такі інтегральні критерії:

− лінійний

∫∆=nt

XdtI0

1 ;

− квадратичний

∫ ∆=n

t

dtXI0

2

2 )( ;

− покращений квадратичний

∫

∆+∆=

pt

dtdt

XdTXI

в0

2

22

3 )(

Лінійний інтегральний критерій 1I є найбільш простим, його зручно використовувати для оцінки якості аперіодичних перехідних процесів, а для коливальних необхідно визначати площі різного знаку під кривими і складати їх за абсолютним значенням. Оцінка min1 →I може привести до перехідного процесу з малим відхиленням, але з недостатнім затуханням.

Найбільш зручним є квадратичний інтегральний критерій 2I . При його використанні найбільшу вагу мають перші амплітуди, що також може привести до перехідних процесів з недостатнім затуханням. Цей критерій безпосередньо зв’язаний з характеристиками системи, його значення можна знайти за формулою Релея:

91

ωωω djZjWT

Iзбур

2

0

2

2 )()(1

⋅= ∫∞

де: )( ωjWзбур

- АФХ замкненої системи за каналом збурення;

)( ωjZ - Фур’є-перетворення збурення. Урахування в критерії 3I швидкості відхилення змінної розширює

діапазон його застосування, а ваговий коефіцієнт Тв безпосередньо

пов’язаний з часом перехідного процесу: 36n

в

nt

Tt

≤≤ , де n

t - бажана

тривалість перехідного процесу. Квадратичний інтегральний критерій можна обчислити за коефіцієнтами передаточної функції системи без побудови перехідного процесу.

Різні інтегральні критерії зв’язані між собою та з прямими показниками якості перехідних процесів. Так зменшення 2I приводить до зменшення 1I , 1, Aψ , а також до збільшення

nt (зменшення запасу стійкості

системи). В проектних розрахунках зв’язують безпосередньо значення 2I з 9.07.0 ÷=ψ при обмеженні на А1.

Критерії якості перехідних процесів залежать від сукупності характеристик системи, тому в процесі розробки САУ відбирають найбільш суттєві фактори, наприклад відомий сильний вплив відношення

T

зпτ

(зпτ - час запізнювання, Т - постійна часу об’єкта) на значення критерія

2I та динамічну похибку А1. Суттєво змінюється значення критеріїв та показників якості при змінюванні коефіцієнта регулятора Крег та коефіцієнтів передачі об’єкта за каналами керування Кок та збурення Кзб.

Тема 17. Синтез лінійних систем управління.

17.1 Основні поняття та постановка задачі.

Задачі синтезу є оберненими до задач аналізу : в них необхідно

визначити структуру та параметри системи за поставленими показниками якості. Виходячи з цього, розрізняють параметричний та структурний синтез САУ. Прикладом простої задачі параметричного синтезу є визначення коефіцієнта передачі розімкненої системи за відомою похибкою або за умовою мінімуму інтегральної ланки.

Таким чином, синтезом автоматичної системи називають процедури визначення структури та параметрів системи за необхідними (заданими) показниками якості. Процедури синтезу є формалізованими, що забезпечує єдиність результату на відміну від неформалізованих прийомів вибору системи на основі досвіду та інших факторів, якими користується

92

розробник системи. В загальному випадку необхідно визначити алгоритмічну та функціональну структуру системи.

Алгоритмічну структуру системи (або її частину) знаходять за допомогою математичних методів на основі вимог, які записані в чіткій математичній формі. В цьому розумінні створення алгоритмічної структури називають теоретичним синтезом або аналітичним конструюванням системи керування. Добре відома задача аналітичного конструювання оптимальних регуляторів.

Синтез функціональної або технічної структури передбачає формування комплексу виконуваних функцій та технічних засобів для їх реалізації, узгодження характеристик різних елементів та зв’язків між ними. Крім того, виконувані функції повинні певним чином розподілятись між пунктами управління. В загальному випадку синтез функціональної та технічної структур не може бути повністю формалізованим, а розв’язання технічних проблем виходить за рамки теорії автоматичного керування.

17.2 Етапи синтезу систем управління.

В цілому можна виділити такі етапи синтезу систем керування : − формування сукупності функціонально необхідних елементів

(датчики, автоматичні регулятори, перетворювачі, виконавчі механізми, регулюючі органи). Ці елементи складають незмінну частину системи;

− вибір додаткових елементів для забезпечення необхідної якості системи : компенсаторів, пристроїв корекції, введення додаткових сигналів, наприклад за похідними від змінних;

− визначення оптимальної структури на основі компромісу між точністю і якістю та простотою і надійністю;

− параметрична оптимізація, тобто визначення значень настройок регулятора і інших елементів, які забезпечують найкращим чином вимоги до системи.

17.3 Принципи синтезу алгоритмічної структури систем управління

Для виконання процедур синтезу системи керування повинні бути

відомими передатні функції об’єкта за каналами зміни керування Wок(p) та збурення Wозб(р), кількісні оцінки збурень, а також перешкоди в каналах завдання та вимірювання. Найкращою (ідеальною) буде система, яка найбільш точно відтворює на виході корисні сигнали (завдання) і максимально зменшує або компенсує дію збурення.

Розглянемо приклади визначення ідеальної структури системи керування.

Розімкнена система.

93

Рисунок 17.1 – Алгоритмічні структури ідеальних розімкнених систем.

Коли на об’єкт не діє збурення (рисунок 17.1а), то передатну

функцію регулятора можна отримати у вигляді :

(p)

1(p)

ок

регW

W =

В цьому випадку забезпечуєтся повна (структурна) компенсація інерційності об’єкта, і система буде миттєво відтворювати на виході об’єкта сигнал Х=Хoptзад, який формується спеціальним фільтром з передаточною функцією Wopt(p). Цей фільтр повністю пропускає корисний сигнал завдання Хзд та зменшує вплив перешкоди Xn. Якщо на виході об’єкта діє збурення Z, яке можна вимірювати, то його компенсацію забезпечують введенням додаткового сигналу. В цьому випадку також для регулятора обирають передатну функцію , тоді Wрег(p)*Wок(p) = 1, тобто корисна складова вихідного сигналу Х буде компенсувати Z. Якщо збурення Z не можна вимірювати, то система створюється по замкненій схемі з використанням сигналу зворотного зв’язку.

В ідеальній замкненій системі використовується метод непрямого вимірювання збурення Z за допомогою моделі об’єкта (рисунок 17.2).

Рисунок 17.2 – Алгоритмічна структура ідеальної замкненої системи.

94

Передатна функція моделі Wм(p) і об’єкта Wок(p) повинні бути однаковими :

Wм(p) = Wок(p), тоді сигнал 1∆Χ дорівнює :

zимzиимХXХХХХ =−+=−=∆Χ )(1

де : Хu , Хuм – сигнал об’єкта та моделі, викликані сигналом регулятора U, а Xz – складова, яка визначається збуренням Z. На розрахунковому режимі Хu = Хuм. Таким чином, дія збурення Z оцінюється складовою сигналу Xz , яка вводиться в автоматичний регулятор.

Коли на систему діють збурення Z і перешкода Xn, то в структуру системи необхідно також ввести фільтр для формування оптимального значення Хoptзд.

В ідеальній системі використовується передаточна функція )(1

pWок ,

що створює принципову основу для структурного і параметричного синтезу системи керування, це – метод компенсації інерційності об’єкта. В практичних задачах реалізувати обернену передаточну функцію об’єкта точно неможливо, тому застосовується частинна

компенсація інерційності об’єкта. Наприклад, послідовно з

інерційним об’єктом, передаточна функція якого :

)1)...(1()1( 21)( ++⋅+= pTpTpT

K

ок n

окpW

(Т1>Т2>Т...Тn – постійні часу), включають форсуючу ланку першого – другого порядків з передаточною функцією :

)1)(1()(21++= pTpTKpW

KKkk

причому :

окКККККТТТТ 1

21 ,,21

===

Не дивлячись на те, що точно реалізувати передаточні функції

)(1

pWок та Wk(p) неможливо, основний принцип структурно-параметричної

оптимізації систем керування полягає в тому, що автоматичний регулятор

(пристрій управління) повинен включати передаточну функцію )(1

pWок або

близьку до неї. Передаточна функція регулятора буде :

)()()(

)(1

1

)(

)(pокW

pмWpоптW

pокWопт pW

регpW ⋅

−

⋅=

Приймаючи, що Wм(p) = Wок(p), отримаємо :

95

)(1

)(1)()( pWpW

pW

рег окопт

оптpW ⋅= −

Ланка з передаточною функцією Wопт(p) здійснює оптимальну фільтрацію зовнішніх сигналів та формує Хoptзд..

Тема 18. Методи синтезу систем управління.

18.1 Введеня корегуючих пристроїв.

При синтезі САУ вважається, що основна частина системи вже

задана, що зазвичай має місце. Вимагається синтезувати ланки, що коригують, тобто вибрати їх схему і параметри. При цьому необхідно, щоб в результаті корекції САУ забезпечувався необхідний запас стійкості; точність управління в сталих режимах і якість управління в динамічних режимах.

Корегуючий пристрій можна включити послідовно, паралельно-узгоджено або паралельно-зустрічно (за схемою із зворотним зв'язком).

Корегуючі пристрої синтезують на підставі вимог до властивостей САУ. Для цього необхідно знати передатну функцію реальної САУ Wреал, яка чим те не задовольняє розробника, і бажану передавальну функцію Wбаж, яку повинна мати САУ в результаті коригування її властивостей.

При синтезі пристроїв, що коригують, спочатку визначаю передавальну функцію можливого послідовного пристрою, що коригує, виходячи із співвідношення: Wп = Wбаж /Wреал. Потім з'ясовують, при яких передавальних функціях паралельно-узгодженого Wпу і паралельно-зустрічного Wпз пристроїв, що коригують, буде отриманий той же ефект. Після цього вирішують, яке з них доцільніше і простіше створити. При цьому виходячи з рис.103 можна записати: Wбаж = WWп = W1W2.(W3 + Wпу ) = W(1 + Wпу/W3) = W/(1 + W2Wпз), де W = W1W2W3. З цього співвідношення можна визначити формули переходу від одного пристрою, що коригує, до іншого.

18.2 Часові методи синтезу систем управління .

В основі часових методів синтезу лежить можливість отримання

перехідних процесів, які відповідають заданим показникам якості при використанні різних законів керування.Ці методи називають також прямими. Необхідно відзначити, що отримати результати синтезу прямим методом можливо лише для ідеальних систем, без урахування нелінійностей, фізичних явищ при передачі та перетвореннях сигналів і т.д., тому ці методи мають, в першу чергу, методологічне значення, що дає можливість отримати загальні положення та залежності.

96

Рисунок 18.1 – Структура одноконтурної САУ.

Приклад 1. Система складається з пропорційного регулятора та

об’єкта 1-го порядку із самовирівнюванням. Аналіз системи виконується в такому порядку :

− записуються необхідні передаточні функції : регулятора – Wрег(p) = Kрег

об’єкта – за каналом керування – 1)( += Tр

K

ок

окpW

за каналом збурення – 1)( +=Tp

K

озб

озбpW

− визначаються передаточні функції замкненої системи : =відносно зміни завдання – Wзд(p)

11)(1

)(

1

1)( +⋅+

⋅

+ ===+

+

pT

K

K

K

pW

pW

зд сист

сист

регTp

окK

регTp

окК

роз

розpW

де : Ксист – коефіцієнт передачі системи – окрег

окрег

КК

КК

систК ⋅+

⋅= 1

Тсист. – постійна часу системи – окрег КК

Т

систТ ⋅+= 1

= відносно збурення – Wзб(p)

11)(1

)(

1

1)( +⋅++ ===+

+

рТ

К

KpW

pW

зб сист

сист

регTpокK

TpозбK

роз

озбpW

де : окрег

озб

КК

К

систК += 1

окрег КК

Т

систТ += 1

− отримують перехідні процеси, наприклад за допомогою оберненого перетворення Лапласа при стрибкоподібному вхідному сигналі:

97

[ ]p

pW

зд

здLtX)(1)( −=

[ ]p

pW

збур

збурLtX)(1)( −=

Перехідний процес відносно зміни завдання показано на рис.18.2.

Рисунок 18.2 – Перехідні процеси відносно зміни завдання

(Крег 1>Крег 2>Крег 3). Система з точки зору динаміки еквівалентна аперіодичній ланці з

передаточною функцією (6.12). Перехідний процес описується рівнянням :

)1()( систTt

систKtX

−

−= l Характеристичне рівняння системи Тсист р+1=0 має один дійсний

корінь сист

Tp 1−= , що відповідає аперіодичному процесу. При зміні Крег

змінюються лише числові значення кореня, а перехідний процес залишається аперіодичним. Збільшення Крег змінює загальний коефіцієнт передачі системи та її постійну часу. Зменшення Тсист скорочує час регулювання та зменшує статичну похибку (рис. 18.2),тобто застосування П-регулятора покращує властивості системи, але статична похибка залишається. Такий же характер мають перехідні процеси відносно збурення (рисунок 18.3).

Рисунок 18.3 – Перехідні процеси відносно збурення (Крег 2>Крег 1).

В реальних системах необхідно враховувати динамічні властивості

датчиків виконавчих механізмів регулюючих органів, що може привести до коливальних процесів і навіть до втрати стійкості при Крег 1→∞ .

98

Задача параметричного синтезу в цьому випадку полягає у визначенні такого Крег, при якому ∆Хст≤Хст доп за умови виконання інших обмежень, наприклад щодо стійкості.

Приклад 2. САУ складається з П-регулятора та об’єкта без самовирівнювання. Приймемо, що передаточні функції об’єкта за каналами керування та збурення будуть відповідно :

p

K

ококpW =)(

p

K

озбозбpW =)(

) Після виконання дій, які визначені в попередньому прикладі,

отримаємо такі результати : − передатна функція замкненої системи відносно зміни завдання ,

але Ксист.=1, а оурег ККсистТ ⋅= 1

. : перехідний процес не має статичної

похибки; − в передатній функції відносно збурення значення параметрів такі :

окрег

озб

КК

К

систК ⋅=

окрег ККсистТ ⋅= 1

.

Приклад 3. САУ включає І-регулятор з передаточною функцією

p

Kiрег

pW =)( та об’єкт без самовирівнювання з передатною

функцією Tp

K

озб

озбpW =)( . Передатна функція замкненої системи

відносно збурення буде :

окірег

озб

TpокK

pірегK

TpозбK

KKTp

pKpW⋅+

⋅

⋅+== 2

1)(

Даному виразу відповідає перехідний процес :

ttX T

KK

TKK

K окірег

окірег

озб ⋅⋅= ⋅

⋅⋅ sin)(

Таким чином, перехідний процес – це синусоїда з амплітудою

ТКК

К

окірег

озб

⋅⋅ і частотою Т

КК окірег ⋅=ω , тобто ідеалізована система

знаходиться на межі стійкості. Реальна система з урахуванням характеристик додаткових елементів та нелінійностей буде нестійкою. Це підтверджує висновок про те, що І-регулятор не може працювати на

99

об’єкті без самовирівнювання, тому що в цьому випадку система є структурно нестійкою.

Для прикладів з ПІ- та ПІД- регуляторами часовий аналіз приводить до громіздких виразів, не зручних для роботи. Такі системи зручно досліджувати за допомогою комп’ютерного моделювання, застосовуючи програмні засоби SIAM та MATLAB.

18.3 Частотні методи синтезу систем управління.

Для виконання задач аналізу та синтезу САУ використовуються різні

частотні характеристики. Частотні характеристики розімкненої системи отримуються на основі

виразу :

)()()( ωωω jWjWjWокрегроз

⋅= ,

Підставляючи в даний вираз передатні функції регулятора і об’єкта при p=jω, отримують частотну характеристику розімкненої системи.

Однією із задач дослідження САУ є визначення умов її знаходження на межі стійкості, що відповідає критичним значенням настройок регулятора. Користуючись частотними характеристиках, можна отримати також параметри системи, які забезпечують заданий запас стійкості за модулями і фазою (рисунок 18.4).

Рисунок 18.4 – Визначення запасу стійкості САУ.

Якщо на фазовій площині нанести коло радіусом r=1, то можна

визначити : − запас стійкості по модулю С, який показує, на скільки повинен

змінитись модуль Wроз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості; − запас стійкості по фазі – кут γ, який показує, на скільки повинен

змінитись зсув по фазі в розімкненій системі при існуючому модулі

100

Wроз(jω), щоб система вийшла на межу стійкості. Запас стійкості безпосередньо зв’язаний з величиною максимуму АЧХ замкненої системи відносно зміни завдання :

)(1

)()(

ω

ωωjW

jW

ВА

ОА

зд роз

розА+

==

В залежності від розташування Wроз(jω) на комплексній площині змінюється вид АЧХ. При ω=0 Wроз(jω)→∞, ОА=ВА, Азд(0)=1. При збільшенні частоти т.А переміщується угору, тоді можливі такі випадки:

− якщо Wроз(jω) знаходиться достатньо далеко від точки В(–1; j0), то відрізок ВА буде завжди більшим відрізка ОА. При ω→∞ ВА=1, ОА→0, Азд(ω)→0;

− якщо Wроз(jω) проходить достатньо близько від т. В(–1; j0), то відрізок ВА при низьких частотах <ОА, тому в діапазоні частот [ω=0, ωрез] Азд(ω) зростає до максимуму. При ω→∞ ОА→0, ВА=1, Азд(ω)→0 (рис.6.16,крива 2).Чим ближче Wроз(jω) до точки В(–1; j0), тим більший максимум Азд(ω);

− якщо Wроз(jω) проходить через точку В(–1; j0), то max Азд(ω)→∞, ВА→0.

Таким чином, чим більший max Азд(ω), тим ближче годограф Wроз(jω) до точки В(–1; j0), тим менший запас стійкості. Для забезпечення необхідного запасу стійкості Wзд(jω) повинна розташовуватись на певній відстані від точки В(–1; j0), тобто не повинно перевищуватись деяке значення відношення :

МАВА

ОА

зд ==)(ω

де : М – показник коливальності

)0(

)(

зд

реззд

А

АМ

ω=

Рисунок 18.5 – До визначення запасу стійкості.

101

Таким чином, для того, щоб max Азд(ω) не перевищував деякої заданої наперед величини, Wроз(jω) не повинна заходити в область, обмежену колом радіусом r (рисунок 18.5) :

12 −=

М

Мr

центр якого розташований на відстані :

10 2

2

−=

М

МR

18.4 Визначення оптимальних параметрів системи

Однією з центральних задач прикладної теорії автоматичного

керування є визначення оптимальних параметрів, зокрема значень настройок регуляторів. Для цього використовуються різні методи : аналітичні, графо-аналітичні та за наближеними залежностями.

При однаковій коливальності перехідні процеси в САУ можуть мати різну тривалість, статичну та динамічну похибку та інше. В умовах непередбачуваних збурень необхідно забезпечити задану якість перехідних процесів. Оптимальними настройками регуляторів будуть такі, які забезпечують досягнення найкращих результатів в конкретній ситуації при існуючих ресурсах та обмеженнях у відповідності до обраного критерія. Можна записати таку залежність :

А*=argextr I, U∈Ωu

де: А* - вектор оптимальних значень параметрів настройок регулятора (Крег, Ті, Тд); І – критерій оптимальності; U – сигнал керування. В задачах знаходження оптимальних значень параметрів настройок регуляторів використовуються також математичні моделі об’єкта та формуються обмеження на координати стану Х, вихідні змінні У та збурення Z, що було розглянуто вище.

Загальний критерій оптимальності для САУ формується так: система повинна найкраще (найбільш точно) відпрацьовувати корисні сигнали, в першу чергу вектор сигналу завдання Хзд та компенсувати або принаймні зменшувати дію збурення Z. При цьому необхідно враховувати, що зовнішні сигнали мають різні частотні спектри, а складові гармоніки при проходженні через систему змінюються за амплітудою та фазою.

Абсолютна фільтрація (компенсація) збурень забезпечується, коли АЧХ системи відносно збурення дорівнює нулю у діапазоні частот від ω=0 до ω→∞, тобто :

.0)(

)()( ==

ωω

ωjZ

jXjW

збур

Вимога точного відтворення Хзд потребує, щоб :

102

.1)(

)()( ==

ωω

ωjZ

jXjW

зд

В реальних системах наведені залежності не можуть виконуватись точно, тому оптимальними параметрами настройок вважаються такі, які забезпечують максимальне наближення АЧХ реальної системи до характеристик ідеальної. Крім того, оптимізацію настройок неможливо забезпечити у всьому діапазоні частот, а для інерційних технологічних об’єктів найбільш “небезпечними” є низькі частоти.

Одним з методів отримання значень оптимальних настройок регуляторів є введення поняття фільтра для збурення Z (рис.6.19) та перенесення його на вхід системи.

Для розрахунку оптимальних настройок автоматичних регуляторів використовуються також розширені частотні характеристики (РЧХ). На відміну від звичайних при отриманні РЧХ вхідний сигнал має вигляд:

tmetUU ωω −⋅⋅= sinmax або в показниковій формі :

tjtm eeUU ωω ⋅⋅= −max

де: m – постійний параметр. Як видно з останніх виразів амплітуда коливань Umaxe

-mωt зменшується і викликані цим сигналом змушені коливання будуть мати такі ж значення частот і степені затухання, але відрізнятись за амплітудою і фазою :

)(max

ϕωω −− ⋅⋅= tjtm eeХХ

m

А

ААе πψ 21

1

31 −− −==

Тоді розширена частотна характеристика буде мати вигляд :

ϕωω

ϕωω

ω j

U

X

eeU

eeXejmW tjtm

tjtm −

⋅⋅

⋅⋅ ⋅== −

−−

max

max

max

)(max),(

Для визначення РЧХ в передаточну функцію необхідно підставити

р=(j-m)ω. При m=0 це відповідає звичайним (нормальним) частотним характеристикам

Методика розрахунку настройок регулятора по аналогії з критерієм стійкості Найквіста базується на твердженні : якщо розімкнена система має ступінь коливальності не нижче заданого, то замкнена система буде мати такі ж показники тоді, коли РЧХ розімкненої системи пройде через точку з координатами (–1; j0).

Розрахунок виконують в такій послідовності : − визначають параметри регулятора, при яких система має запас

стійкості не нижче заданого;

103

− з попередньої умови обирають такі настройки, які забезпечують мінімум обраного критерія (лінійного або квадратичного).

Процес пошуку точки оптимальних настройок можна алгоритмізувати.

Рисунок 18.7 – Ілюстрація алгоритму покрокової оптимізації, а – криві

рівного ступеню затухання, б – перехідні процеси Алгоритм покрокової оптимізації включає такі етапи : − з початкових точок 1 або 2 (рисунок 18.7) здійснюється вихід на

високочастотну частину лінії рівного ступеню затухання, для чого приймається явно завищені значення Ті та довільне значення Крег. Ці настройки можуть попасти в зону аперіодичності (т.1 і відповідний перехідний процес 1) або значної коливальності (т.2, 2). Далі при Ті=const, змінюючи Крег, добиваються, щоб перехідний процес мав коливальну складову (т.3, 3) при ψ=0,75÷0,9;

− при Крег=const зменшенням Ті добиваються, щоб повністю зникла аперіодична складова (точки 4,5 та перехідні процеси 4,5). При наближенні до т.5 необхідно зменшити крок змінювання Крег;

− зміною Крег при Ті=Тіopt добиваються потрібного ступеню

коливальності (т.6,6). Розроблено також наближені методи розрахунку настройок

регуляторів, які дають перші оцінки цих параметрів. Часто динамічні властивості об’єкта можна подати у вигляді послідовного з’єднання двох елементарних ланок : аперіодичної та запізнювання. Тоді передаточна функція буде :

зпок p

Тp

К

ок epWτ−

+ ⋅= 1)(

де: Кок, Т, τзп – відповідно коефіцієнт передачі об’єкта по каналу керування, постійна часу та час запізнювання можуть визначатись експериментально.

Другим наближеним методом розрахунку параметрів настройок регуляторів є метод незагасаючих коливань (в технічній літературі його називають методом Ціглера-Нікольса).

104

Тема 19. Синтез лінійних систем при випадкових сигналах.

19.1 Постановка задачі та характеристики випадкових сигналів.

В попередніх розділах функціонування САУ оцінювалось при дії детермінованих сигналів (ступінчаста функція, дельта-функція, гармонійний сигнал) і відповідно оцінювались показники якості перехідних процесів. Для виявлення загальних властивостей САУ та оцінок закономірностей їх функціонування такий підхід виправданий.

Для реальних систем зовнішні сигнали (збурення та завдання) є випадковими, значення яких мають ймовірнісний характер. Наприклад, змінювання витрат матеріальних потоків, їх концентрацій та температур і інш. Не передбачуваним чином змінюються і властивості об’єкта, наприклад коефіцієнти тепло- та масообміну, а також перешкоди, які діють в каналах вимірювання.

Випадкова величина характеризується тим, що її значення не можна точно передбачити, воно визначається не контрольованими причинами (наприклад, кидання монети).

Випадковий сигнал (процес) – функція часу, значення якої в кожний момент є випадковою величиною. В теорії ймовірностей користуються також рівнозначними термінами – “стохастичний процес” і “ймовірнісний процес”. Випадкові сигнали (процеси) на відміну від детермінованих не можна описати однією функцією часу, тому використовується множина характеристик, які в комплексі оцінюють ймовірнісні властивості сигналу. Функція x(t), яку отримують за результатами експериментальних спостережень, називають реалізацією випадкового сигналу, а Т – довжина реалізації.

В теорії автоматичного управління використовують ряд характеристик випадкових сигналів, наприклад, математичне сподівання, дисперсія, середньоквадратичне відхилення, кореляційні функції, спектральні щільності та інші. Приймається також ряд припущень та гіпотез. В першу чергу визначається стаціонарність випадкового сигналу. Стаціонарним випадковим сигналом називають такий, статистичні характеристики якого не змінюються з часом. Для нестаціонарного випадкового сигналу ці характеристики з часом змінюються.

Сутність статистичного підходу до аналізу і синтезу систем керування полягає в тому, що оцінки якості орієнтовані не на крайні, найбільш “важкі” умови роботи, які зустрічаються рідко, а на середні, найбільш ймовірні. При цьому необхідно врахувати, що при дії випадкових збурень в системі практично не наступає усталений режим, вона постійно переходить з одного режиму в інший. За такими ж законами змінюється регульована координата x(t) і сигнал похибки ∆x(t) (в цьому випадку

похибку позначають ε(t)).

105

Математичний апарат аналізу стаціонарних випадкових процесів засновано на гіпотезі ергодичності. Це означає, що статистичні характеристики великої кількості довільно обраних реалізацій стаціонарного випадкового сигналу співпадають із статистичними характеристиками однієї реалізації достатньо великої довжини Т. Таким чином усереднення за множиною реалізацій стаціонарного випадкового сигналу можна замінити усередненням за часом однієї, достатньо довгої реалізації. Це значно полегшує експериментальні дослідження статистичних характеристик стаціонарних сигналів та спрощує розрахунок систем.

Середнє значення випадкового сигналу на кінцевому інтервалі часу оцінюється так:

∫=T

0

T

_

X(t)dtT

1X .

При Т→∞ з урахуванням гіпотези ергодичності середнє значення випадкового сигналу буде дорівнювати математичному сподіванню:

∫=∞→

T

Tx X(t)dt

Tm

0

1lim

В практичних розрахунках знак lim опускається, а під

характеристиками випадкового процесу розуміють їх оцінки. При експериментальних дослідженнях реалізація випадкового

сигналу задана N дискретними значеннями з інтервалом ∆. Тоді середнє

значення наближено оцінюється так:

∑≈=

N

ii

XN

X1

1

стаціонарний випадковий сигнал можна розглядати як суму:

(t)XmX(t)x

o

+= ,

де mx – математичне сподівання, (t)Xo

- змінна складова. Тоді:

xX(t)-m(t)X =

o

Таку функцію називають центрованим випадковим процесом, його

середнє значення дорівнюю нулю. Спектри сигналів Х(t) і (t)Xo

співпадають, тому часто в задачах аналізу та синтезу САУ замість X(t)

можна використовувати (t)Xo

, крім випадків, коли розглядаються ці стани окремо.

Дисперсія стаціонарного випадкового сигналу xD дорівнює середньому значенню квадрата відхилень сигналу від математичного сподівання:

106

∫ ∫==T T

xxdt(t))X(

Tdt)(X(t)-m

TD

0 0

22 11 o

Дисперсія характеризує розкидання миттєвих значень сигналу навколо mx . Чим більші пульсації випадкового сигналу, тим більше дисперсія, яка має розмірність величини X в квадраті. Дисперсію можна розглядати також як середнє значення потужності змінної складової сигналу. Для оцінки міри розкидання випадкового сигналу можна використовувати середньоквадратичне відхилення

xD

x=δ

При розрахунку автоматичних систем важливим є така властивість:

дисперсія суми або різниці незалежних випадкових сигналів (t)X(t)XX(t) 21 ±= дорівнює сумі дисперсій цих сигналів

21 xxxDDD +=

Важливою ймовірнісною характеристикою випадкового процесу є

функція розподілу. Якщо прийняти, що для випадкової величини X ймовірність її значення має оцінку x , то функція розподілу буде:

x)p(XF(x) <= Для неперервного випадкового процесу ймовірність того, що його

значення потрапить у деякий проміжок, 21 xXx ≤≤ визначається різницею функцій розподілу:

)F(x)F(x)xXp(x 1221 −=≤≤ Похідна від функції розподілу

dx

dF(x)W(x) =

називається цільністю розподілу, або диференціальною функцією

розподілу. В практичних задачах приймаються нормальний, або гаусівський закон розподілу (рисунок 19.1).

Рисунок 19.1 – Щільність розподілу випадкової величини Х.

107

Крива щільності розподілу ймовірностей для випадкової величини симетрична відносно значення Хm (центру розподілу).

Математичне сподівання та дисперсія є важливими числовими оцінками випадкового сигналу, але вони не характеризують його повністю, наприклад за цими оцінками не можна отримати інформацію про швидкість змінювання сигналів з часом.

Кореляційна функція випадкового процесу Х(t) - математичне

сподівання добутку миттєвих значень центрованого сигналу (t)Xo

,

розділених проміжком часу τ:

∫ +=T

xτ)dt(tX(t)X

TR

0

1)(

oo

τ

Значення τ змінюється від нуля до максимального τмакс. Кожному фіксованому значенню τ відповідає числове значення функції )(R x τ .

Для конкретного випадкового сигналу кореляційна функція (її називають також автокореляційною) характеризує ступінь тісноти зв’язку (кореляції) між попередніми і наступними значеннями сигналу. При

збільшенні τ зв’язок між значеннями (t)Xo

і τ)(tX +o

зменшується, тому

)(τx

R також зменшується. При значних τ→∞ значення (t)Xo

і τ)(tX +o

практично незалежні.

Спектральна щільність стаціонарного випадкового сигналу (t)Xo

характеризує розподіл енергії серед його гармонік. Це випливає з того, що

на кінцевому інтервалі часу Т для функції (t)XT

існує пряме перетворення Фур’є:

∫∞

∞=

-

dtt-j

(t)eX(jX TT

ωω

o

)

Зображення Фур’є X(jω) неперіодичного сигналу X(t) характеризує розподіл відносних амплітуд сигналу вздовж осі частот (спектральна

щільність амплітуд), а функція 2

)ωX(j характеризує розподіл енергії

сигналу серед його гармонік. Якщо поділити функцію 2

)ω(jXT

на довжину

T випадкового сигналу, то це буде визначати розподіл потужності

кінцевого сигналу (t)X T

0

серед його гармонік. Якщо ∞→T , то функція 2

)ω(jXT

буде мати межу:

/T(jX(ST

Tx

2)lim) ωω

∞→=

Це і є спектральна щільність потужності випадкового сигналу (в подальшому спектральна щільність). Можна стверджувати також, що

108

спектральна щільність випадкового сигналу X(t) характеризує розподіл квадратів відносних амплітуд гармонік сигналу вздовж осі ω.

Методи аналізу і синтезу систем при випадкових сигналах об’єднуються в окремий розділ загальної теорії управління – статистичну динаміку, яка розглядає три взаємозв’язані проблеми:

− визначення статистичних характеристик випадкових сигналів при заданій структурі системи та параметрах об’єкта і регулятора;

− визначення оптимальних параметрів регулятора (в загальному вигляді – пристрою керування);

− визначення оптимальної структури системи або пристою керування при відомих характеристиках зовнішніх сигналів.

Реальні випадкові процеси, які діють на об’єкти керування, мають різні властивості та характеристики. В задачах аналізу та синтезу САУ зручно використовувати типові випадкові сигнали, які мають відомі характеристики. Така ідеалізація часто використовується в теорії автоматичного керування: раніше розглядались типові детерміновані сигнали, типові елементарні ланки. Кореляційні функції і спектральні щільності типових сигналів – достатньо прості функції аргументів τ і ω , а параметри цих функцій можна визначити за експериментальними даними. До типових випадкових сигналів відносяться:

− білий шум з обмеженою широтою спектра. Спектральна щільність цього сигналу описується функцією:

>

<=

, при,0

при,S)(S

C

CX

x

0

ωω

ωωω

де 0XS - інтенсивність білого шуму, Cω - смуга частот.

− сигнал з експоненційною кореляційною функцією: τxα

xx eD)(R−

=τ − сигнал з експоненційно-косинусною кореляційною функцією:

τβτ τα

x

x

xxeDR cos)( −=

19.2 Перетворення випадкового сигналу лінійною динамічною

ланкою.

Якщо на вході лінійної стійкої ланки або системи діє стаціонарний випадковий сигнал, то на виході теж буде стаціонарний випадковий сигнал, але з іншими статистичними характеристиками – математичним сподіванням, дисперсією, кореляційною функцією та спектральною щільністю.

Вхідний та вихідний сигнали запишемо у вигляді

)()( tXmtXx

o

+=

109

)()( tYmtYy

o

+=

З урахуванням принципу суперпозиції для лінійних систем, можна прийняти, що кожна складова )(tY визначається окремо: my- за

результатом перетворення mx, )(tYo

- за результатом перетворення )(tXo

. Тоді для оцінки my можна використати рівняння статики:

kmWmmxxy⋅=⋅= )0(

Для оцінки змінної складової )(tYo

можна скористатись інтегралом згортки для моменту часу vt = :

∫∞

−=0

)()()( dvvWvtXtYo

де: )(vw - вагова функція. В подальшому будуть розглядатись лише центровані сигнали, то

значок “o” опускається. Фур’є – перетворення вагової функції )(tw буде

dtetwjW jwt∫∞

−=0

)()( ω

Взаємна кореляційна функція сигналів x(t) і у(t) має вигляд

∫∞

−=0

)()()( ϑϑϑττ dWRRxxy

Дане інтегральне співвідношення відоме як рівняння Вінера-Хопфа і співпадає за формою з інтегралом згортки, тому взаємну кореляційну функцію )(τ

xyR можна розглядати як реакцію системи на сигнал, який має

кореляційну функцію )(τx

R . Якщо на вхід ланки або системи поступає випадковий сигнал у

вигляді білого шуму, то вираз для )(τy

R набуває виду:

110

1 )()()( ϑϑτϑτ dWWRy

+= ∫∞

,

а дисперсія вихідного сигналу:

dttWRDyy ∫

∞

==0

2))(()0(

визначається інтегралом від квадрату вагової функції. Якщо сигнал відрізняється від білого шуму, то в останнє рівняння потрібно підставити вагову функцію еквівалентної ланки, яка включає формуючий фільтр, тобто елемент, що задає (формує) потрібні характеристики випадкового процесу.

При розв’язанні задач аналізу і синтезу зручно користуватись співвідношеннями між спектральними характеристиками вхідного і

110

вихідного сигналів. Взаємна спектральна щільність сигналів x(t) і у(t) зв’язані однозначно, що випливає з виразу:

∫∞

∞−

−= ττω ωτ deRjS j

xyxy)()(

Підставляючи замість )(τxy

R інтеграл Вінера-Хопфа, після

перетворень отримують зручну залежність: )()()( ωωω jWSjS

xxy=

Це рівняння можна розв’язати відносно АФХ )( ωjW і отримати характеристики об’єкта за експериментальними реалізаціями сигналів x(t) і у(t). Для цього спочатку обчислюють кореляційні функції )(τ

xR і )(τ

xyR , а

потім переходять до спектральних щільностей )(ωx

S . Спектральна щільність вихідного сигналу буде:

∫∞

∞−

−= ττω ωτ /)()( ceRS j

yy

Після перетворень отримують одну з найбільш важливих залежностей:

2)()()( ωωω jWSS

xy= ,

яка має чіткий фізичний зміст: спектральна щільність вихідного сигналу дорівнює спектральній щільності вхідного, помноженому на квадрат амплітудно-частотної характеристики ланки (системи). Останній вираз можна отримати і з таких фізичних уявлень: АЧХ )( ωjW при кожному

значенні аргументу визначає відношення амплітуд гармонік вхідного і вихідного сигналів, а спектральні щільності )(ω

xS і )(ω

yS при фіксованих

значеннях ω дорівнюють квадратам відносних амплітуд гармонік. Можна записати ще один важливий вираз:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

== ωωωπ

ωωπ

djWSdSDxyy

2)()(

2

1)(

2

1

Співвідношення є основою для введення поняття формуючого фільтра – динамічної ланки, яка перетворює вхідний сигнал у вигляді білого шуму в вихідний із заданими статистичними характеристиками. Приймаючи інтенсивність білого шуму 10 =S при всіх значеннях частоти ω , спектральна щільність сигналу )(tx на виході формуючого фільтра буде:

2

1)(фx

WS =ω ,

тобто для отримання на виході фільтра випадкового сигналу з бажаною функцією )(ω

xS необхідно, щоб квадрат АЧХ фільтра дорівнював

спектральній щільності сигналу, який формується з білого шуму.

111

Послідовне з’єднання формуючого фільтра та досліджуваної ланки – еквівалентна ланка:

)()()( ωωω jWjWjWфe

=

Метод формуючого фільтра полягає в тому, що при статистичному аналізі систем керування перед досліджуваною ланкою або системою включають формуючий фільтр з амплітудно-фазовою характеристикою, яка відповідає спектральним властивостям реального вхідного сигналу x(t) , а характеристики вихідного сигналу у(t) визначають при подачі на вхід еквівалентної ланки чи системи білого шуму. Такий перехід від дослідження реальної ланки до дослідження еквівалентної спрощує задачу аналізу. Наприклад, для визначення дисперсії вихідного сигналу досліджуваної ланки достатньо отримати вагову функцію )(tW

e

еквівалентної ланки, тоді :

∫∞

=0

2)( dttWD

ey,

або

∫∞

∞−

= ωωπ

djWDey

2)(

2

1.

19.3 Обчислення сигналу похибки замкненої системи.

Мінімізація похибки.

Для алгоритмічної структури замкненої системи приймається, що на систему діють випадкові сигнали перешкоди

пX і збурення

збX з відомими

спектральними щільностями )(ωп

S і )(ωзб

S . Сигнал завдання зд

X також є випадковим із спектральною щільністю )(ω

здS . Приймається, що всі три

сигнали центровані, тому сигнал похибки ε також центрований. Якщо зовнішні сигнали не корельовані між собою, тоді:

збпздεεεε ++= ,

де: здε обумовлена неточним відтворенням сигналу завдання

здX , а

складові пε і

збε - неповним подавленням перешкоди

пX і збурення

збX .

Відповідно дисперсія сигналу похибки має три складові:

збпздDDDD εεεε ++=

Кожну з цих дисперсій можна визначити незалежно одну від іншої:

∫∞

∞− += ω

ωω

πε djW

SDроз

здзд

2

)(1

1)(

2

1

ωω

ωπε d

jWSD

роз

збп

2

)(1

1)(

2

1∫∞

∞− +−=

112

∫∞

∞− +−= ω

ωω

πε djW

SDроз

збзб

2

)(1

1)(

2

1

Якщо зовнішні сигнали корельовані між собою, то складові похибки також будуть корельованими, а повну дисперсію можна знайти інтегруванням загальної спектральної щільності . При урахуванні конкретних значень )( ωjW

роз і )(ωS вирази дисперсій інтегрувати

складно, тому використовуються наближені обчислення квадратичних інтегрованих оцінок. Для систем із запізнюванням застосовують заміну

зпpe

τ− дробово-раціональними функціями.

Рисунок 19.2 – Залежність дисперсії сигналу похибки від коефіцієнта передачі розімкненої системи

Як видно з рисунку 19.2, існує оптимальне значення коефіцієнта

передачі системи K , при якому дисперсія похибки εD мінімальна. При цьому залежність складових

здDε і

пDε від K різна.

Синтез САУ при дії випадкових сигналів зводиться до виконання загальної вимоги: максимально точно відтворювати

здX та компенсувати

чи зменшувати вплив збурення. Виконання умов точності можна звести до вимоги мінімізації дисперсії

min,→x

D або допx

DD ≤ В задачі синтезу САУ при випадкових сигналах передбачається, що

система повинна відтворювати не сам сигнал завдання )(tXзд

, а деякий ідеальний сигнал )(tX

ід:

),(*)()( рФtXtXідздід

= де: )( рФ

ід - заданий оператор (передаточна функція ідеального

перетворення вхідного сигналу).

113

Вид оператора )( рФід

залежить від призначення системи: в системах стабілізації та слідкуючих .1)( =рФ

ід Якщо в системі діє зворотній зв’язок

з коефіцієнтом зз

К , то оператор ззід

КрФ /1)( = . Перетворення сигналу )(tX

зд спотворюється дією перешкоди

пX , тому сигнал на виході системи

)(tX відрізняється від ідеального на величину похибки ε ( )()( tXtX

ід−=ε ). Таким чином, ставиться задача синтезу такої структури

системи, яка забезпечує наближення до ідеального перетворення сигналу оператором )( рФ

ід. Ця задача з останньою умовою була розв’язана

Н.Вінером. Передбачається, що вхідний сигнал зд

X і перешкода п

X не корельовані між собою, тоді складові похибки

здε і

пε будуть

незалежними, а спектральну щільність сигналу ε можна визначити так:

,)()()()()()()()(22

ωωωωωωωω εεε jФSjФjФSSSSпідздпзд

+−=+=

де: )(),( ωω jФjФід

- відповідно амплітудно-фазові характеристики ідеального оператора і реальної системи.

Дисперсія сигналу похибки буде:

∫∞

∞−

+−= ωωωωωωπε djФSjФjФSD

підзд))()()()()((

2

1 22

Дане рівняння приведено до виду, коли функція )( ωjФ входить в один доданок підінтегрального виразу:

∫∞

∞− +−++

+= ω

ωω

ωωωωωω

ωωωω

πε d

пS

здS

здSj

ідФ

jФSSjФSS

SSD

пздід

пзд

пзд ))()(

)()()())()(()(

)()(

)()((

2

12

2

Умовою мінімуму εD буде:

,0)()(

)()()( =

+−

ωωωω

ωпзд

здід

SS

SjФjФ

Звідки оптимальна передаточна функція замкненої системи:

)()(

)()()(

ωωωω

ωпзд

здід

оптSS

SjФjФ

+=

Якщо перешкода відсутня, то: )()( ωω jФjФ

ідопт=

Якщо інтенсивність перешкоди набагато більша рівня корисного сигналу, тобто вона є білим шумом і )()( ωω

здпоSS >> , то 1)( =ωjФ

ід, а

)(

)()(

ωω

ωпо

зд

ідS

SjФ ≈ ,

тобто повторює форму кривої спектральної щільності завдання. Оцінка мінімальної дисперсії εD визначається першим доданком

підінтегрального виразу дисперсі сигналу, що приводить до висновку:

114

гранично досяжна точність системи тим вища, чим менше перекриваються спектри сигналів завдання і перешкоди.

В більшості практичних задач залежність визначення похибки фізично не може реалізуватись повністю. Таким чином, отримані результати є теоретичною межею, до якої необхідно наблизити систему. Крім того, синтезована система повинна мати відповідні показники точності і при детермінованих сигналах. На точність системи впливають також запізнювання та рівень перешкоди ).(ω

поS

115

Список літературних джерел

1. Автоматизированное проектирование систем управления [пер. с англ.] / Под ред. М. Джамшиди; Ч. Д. Хергета. — М. : Машиностроение, 1989. — 340 с. : ил.

2. Автоматизація технологічних процесів і виробництв харчової промисловості: [підр. для ст. вищ. навч. закл.] / Ладанюк А.П.,Трегуб В.Г., Ельперін І.В., Цюцюра В.Д. – К.: Аграрна освіта, 2001 – 224 с.

3. Денисова Л.А. Системы автоматизированного управления: учеб. пособие / Л.А. Денисова, Е.М. Раскин. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. – 80 с.

4. Гоголюк П.Ф., Теорія автоматичного керування [навчальний посібник]/ П.Ф.Гоголюк, Т.М.Гречин.– Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2009.– 280 с.– (МОН України. НУ “Львівська політехніка”) ISBN: 978-966-553-725-0

5. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. / Иващенко Н.Н. – М.: Наука, 1978. – 736 с

6. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. 2-ге виданання / Зайцев Г.Ф. К.: Вища шк. Головне вид-во, 2009.— 431 с. ISBN 5-11-000225-8.

7. Залманзон Л.А. Беседы об автоматике и кибернетике / Залманзон Л.А. – М.: Наука, 1981. – 416 с.

8. Ковалюк О. О. Моделі прийняття рішень в управлінні розподіленими динамічними системами. Монографія / В. М. Дубовой, О.О. Ковалюк– Вінииця: УНІВЕРСУМ – Вінниця, 2008. – 185 c.

9. Ладанюк А.П. Теорія автоматичного керування [курс лекцій] / Ладанюк А.П. – К.: НУХТ, 2004 –124 с.

10. Лазарева Т. Я Основы теории автоматического управления [учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. ] / Лазарева Т.Я., Мартемьянов Ю.Ф. Там-бов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 352 с. ISBN 5-8265-0149-9

11. Методы классической и современной теории автоматического управления: [учебник: в 5 т.] / под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

12. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования [учеб. для вузов] / И.П. Норенков. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2006. – 448 с.

13. Попович М.Г. Теорія автоматичного керування: [підручник] / Попович М.Г., Ковальчук О.В. – К.: Либідь, 1997. – 544с.

14. Советов Б.Я. Теоретические основы автоматизированного управления: [учебник для вузов] / Б.Я. Советов, В.В. Цехановский, В.Д. Чертовской. − М.: Высш. школа, 2006. – 463 с.

15. Солодовников В.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования [учебное пособие для

116

приборостроительных специальностей вузов] / В. В. Солодовников, В. Н. Плотников, А. В. Яковлев . – М. : Машиностроение, 1985 . – 536 с.

16. Солодовников В.В. Теория сложности и проектирование систем управления / Солодовников В.В., Тумаркин В.И. – М.: Наука. 1990. – 168 с.

17. Уидроу Б. Адаптивная обработка сигналов: [пер. с англ.] / Уидроу Б., Стирнз С. – М.: Радио и связь, 1989. – 440 с.

18. Фельтбаум А.А. Методы теории автоматического управления. / Фельтбаум А.А., Бутковский А.Г. – М.: Наука, 1971. – 744 с.