1

第 3 章 热量传递

西安建筑科技大学

粉体工程研究所

2

• 传导传热• 对流换热• 热辐射• 传热过程与换热器

3

3.1 概 述

传递过程动量传递能量传递

质量传递

流体力学传热学传质学

应用领域：各种工业窑炉及换热设备的设计；核能、火箭等尖端技术；太阳能、地热能和工业余热利用；农业、生物、地质、气象等部门。

主要传热问题：一类是求解局部或者平均的传热速率的大小；另一类求解研究对象内部的温度分布。

4

3.1.1 传热的基本方式与热流速率的基本方程

热力学第二定律：热量总是自发地、不可逆地从高温处流向低温处。

机理

热传导 热对流 热辐射

传热稳态

非稳态 t¶T

¹ 0¶

即：有温差存在，就会出现热量的传递。

5

热传导：两个相互接触的物体或同一物体的各部分之间由于温差而引起的热量传递现象，简称导热。通常发生在固体与固体之间。

通过平板的一维导热

1) 对于 x 方向上一个厚度为 dx 的微元层，单位时间内通过该层的导热热量

dtQ kA

dx=-

Q dtq k

A dx= =-

一维稳态导热傅里叶定律数

学表达式

6

热对流：依靠流体的运动，而引起流体与固体壁表面之间的传热。有流体参与，通常发生在气 - 固、液 - 固之间。

有相变的对流换热

对流换热量的基本计算式——牛顿冷却公式（ 1701 年提出）：

Q Ah t= D

q h t= D

引起流体流动的原因

导热热对流

共同作用 对流换热

自然对流

强制对流沸腾换热

凝结换热

辐射换热辐射

吸收

共同作用

7

热辐射：依靠物体表面对外发射可见和不可见的电磁波来传递能量。

辐射换热特征传热方式：非接触

能量的转移中伴随着能量形式的转换

影响因素：温度以及物体的属性和表面状况。

物体内能 电磁波能 物体内能

不需要直接接触。

8

斯蒂芬 - 玻尔兹曼（ Stefan-Boltzmann ）定律：

黑体是指能吸收投入到其表面上的所有热辐射能的物体。

4Q A Ts=

经验修正4Q A Te s=

四次方定律

例：两块非常接近的互相平行的壁面间的辐射换热 :

4 41 1 1 2( - )Q A T Te s=

8 2 45.67 10 w/(m K )s -= ´ 斯蒂芬 - 玻尔兹曼系数

e 物体辐射率，其值 <1

9

3.1.2 传热热阻类比热量传递与电量传递

变形

tq

kd

D=-

1t

q

h

D=

dtq k

dx=-

q h t= D类比

t

tq

R

D=

欧姆定律 : UI

R=

/ 1/tR k hd= 或

传热热阻

10

问题：冷、热流体通过一块大平壁交换热量的稳态传热过程。

传热过程包括三个环节，①热流体与壁面高温侧的热量传递；②穿过固体壁的导热；③壁面低温侧与冷流体的热量传递。

稳态，通过串联着的每个环节的热流量Q 相同。设平壁表面积为 A 。

1 1 1

1 2

2 2 2

( )

( )

( )

f w

w w

w f

Q Ah t t

AkQ t t

Q Ah t td

ì = -ïïïïïï = -íïïïï = -ïïî

1 2

1 2

( )

1 1f fA t t t

QRt

h k hd- D

= =+ +

解：

分析：

11

3.2 传导传热

3.2.1 基本概念温度场：某一时刻空间各点温度的分布。

( , , , )t f x y z t=

稳态温度场： ( , , )t f x y z=

一维稳态温度场 ： ( )t f x=

等温面与等温线：温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面；不同的等温面与同一平面相交，则在此平面上构成一簇曲线，称为等温线。

12

温度梯度：自等温面上某点到另一个等温面，以该点法线方向的温度变化率为最大。以该点法线方向为方向，数值正好等于这个最大温度变化率的矢量称为温度梯度，用 gradt 表示，正向是朝着温度增加的方向。

tgradt n

n

¶=

¶

t t tgradt i j k

x y z

¶ ¶ ¶= + +

¶ ¶ ¶

导热基本定律——傅里叶定律：

n

tdQ k dA

n

¶=-

¶n

n

dQ tq k

dA n

¶= =-

¶

tq kgradt k n

n

¶=- =-

¶

13

3.2.2 物质的导热系数q

ktn

n

=-

¶¶

qk

gradt=

-

导热系数：物体中单位温度降度单位时间通过单位面积的导热量。是物质的固有属性之一，衡量物质的导热能力，大小取决于材料的成分、内部结构、密度、温度、压力和含湿量。

非金属金属 kk

k k k> >固 液 气

nk k>晶体 定形

随 T ,

金属k 非金属k

随 T ,

气体k 液体k 规律不同。

不同物质的导热系数

保温材料：导热系数不大于 0. 2w/(m.k) 。保温机理：多孔状。

一般工程应用压力范围内，认为 k仅与温度有关， (1 )0k k bt

14

3.2.3 导热微分方程与定解条件

( )2de q k Pt u

d

mf

t r r r r= + Ñ - Ñ× +能量方程：

微元体热力学能 ( 内能 )增量：t de

c dxdydz md

rt t

¶=

¶

微元体内热源的生成热 :q

Qdxdydz mr

=

可逆膨胀功： ( )• 0P

u

rÑ =

摩擦耗散功： 0mfr

=

( ) ( ) ( )t t t t

c k k k Qx x y y z z

rt

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶= + + +

¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

1 ）直角坐标系

2 2 2

2 2 2( )

t t t t Qa

x y z c

t r¶ ¶ ¶ ¶

= + + +¶ ¶ ¶ ¶

15

① 导热系数为常数

② 导热系数为常数、无内热源2 2 2

2 2 2( )

t t t ta

x y zt¶ ¶ ¶ ¶

= + +¶ ¶ ¶ ¶

③ 导热系数为常数、稳态导热

④导热系数为常数、无内热源、稳态导热

2 2 2

2 2 20

t t t Q

x y z k

¶ ¶ ¶+ + + =

¶ ¶ ¶ 泊松方程

2 2 2

2 2 20

t t t

x y z

¶ ¶ ¶+ + =

¶ ¶ ¶拉普拉斯

方程

⑤导热系数为常数、无内热源、一维稳态导热 2

20

t

x

¶=

¶

热扩散率内部温度均匀化的能力

k

ca

r=

16

2 ）径向坐标系

圆柱坐标系 球坐标系

2

1 1( ) ( ) ( )

t t t tc kr k k Q

r r r r z zr

t ff¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= + + +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

22 2 2 2 2

1 1 1( ) ( ) ( sin )

sin sin

t t t tc kr k k Q

r r r r rr q

t q ff q q q¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

= + + +¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶

17

定解条件包括：几何条件 、物理条件 、初始条件和边界条件。

三类边界条件

第一类边界条件 wst t=

非稳态稳态 wt 常数=

( )wt f t=第二类边界条件

wsq q= 或 w

s

qt

n k

¶- =

¶ 非稳态

稳态 wq =常数

( )wq f t=

第三类边界条件： ft h

( )fss

tk h t t

n

¶- = -

¶

稳态

非稳态

hft 与时间无关

hft 与时间函数关系

几何条件： 给定导热体的几何形状、尺寸及相对位置

物理条件：

=0 时，导热体内的温度分布。稳态无初始条件。

导热体各物理参数的大小、内热源分布状况

边界条件： 给定导热体各边界上的热状态。

初始条件：

18

3.2.4 稳态导热分析与计算

① 通过单层平壁的导热

1) 一维稳态导热

已知 : 平壁的两个表面分别维持均匀且恒定的温度 tw1和 tw2 ，无内热源，壁厚为 δ 。 解：导热系数 k 常数，无内热源、一维、稳态导热微分方程式

2

20

d t

dx= t=C1x+C2

x= 0 时 t= tw1

x=δ时 t= tw2

2 11

w ww

t tt x t

d-

= +

2 1w wt tdt

dx d-

=

1 2( )w wk t t kq t

d d-

= =- D

表面积为 A k

Q A td

=- D

19

② 通过多层平壁的导热已知：各层的厚度 δ1、 δ2、 δ3 ，各层的导热系数 k1 、 k2和 k3 及多层壁两表面的温度 tw1和 tw4 。

解： 1 2 1

1

2 3 2

2

3 4 3

3

w w

w w

w w

t t

q k

t t

q k

t t

q k

d

d

d

üï- ï= ïïïïïï- ï= ýïïïï- ïï= ïïïþ

1 4 31 2

1 2 3

w wt t

q k k k

dd d-= + +

1 4

31 2

1 2 3

w wt tq

k k k

dd d-

=+ +

1 ( 1)

1

w w m

ni

i i

t tq

k

d+

=

-=

å

求：各层间分界面上的温度。

12 1

1w wt t q

k

d= -

33 4

3w wt q t

k

d= -

20

R1

R2

R4

R3

1 4

131 2 4

1 2 3 4

( )

w wt tq

k k k k

dd d d-

-=

+ + +

131 2 4

1 2 3 4

( )Rtk k k k

dd d d-= + + +

21

③ 通过圆筒壁的导热已知：一个内外半径分别为 r1 、 r2 的圆筒壁，其内、外表面温度分别维持均匀恒定的温度 t1和t2 。 求：通过圆筒壁的导热量及壁内的温度分布。解：

( ) 0d dt

rdr dr

= 1 2lnt C r C= + 2 11 1

2 1

ln( / )ln( / )

t tt t r r

r r

-= +

1 2

2 1ln( / )

t tkq k

r rr r

t -= =

¶¶

- 1 2

2 1

2 ( )2

ln( / )

kl t tQ qrl

r r

pp

-= =

2 1ln( / )

2k

d dtR

Q klpD

= =

1 4

2 1 1 3 2 2 4 3 3

2 ( )

ln( / ) / ln( / ) / ln( / ) /

l t tQ

d d k d d k d d k

p -=

+ +

r = r1 时 t = t1 r = r2 时 t = t2

通过多层圆筒壁的导热

一维、稳态、无内热源柱体导热 R1 R2 R3

22

④多维稳态导热

a 、二维、稳态导热问题分析解法

矩形区域中的二维稳态导热2 2

2 20

t t

x y

¶ ¶+ =

¶ ¶（ 0＜ x＜ b， 0＜ y＜ δ ）

üïïýïïþ

例：二维矩形物体的三个边界温度均为 t1 ，第四个边界温度为 t2 ，无内热源，导热系数 k 为常数，确定物体中的温度分布。

解：

1

2 1

t t

t t

-Q=

-

(0, ) 0; ( , ) 0

( ,0) 0; ( , ) 1

y b y

x x d

üQ = Q = ïïýïQ = Q = ïþ

2 2

2 20

x y

¶ Q ¶ Q+ =

¶ ¶

用分离变量法，设 Θ(x,y)=X(x)·Y(y) ，并利用傅里叶级数，得：1

1

2 ( 1) 1 sinh( / )( , ) sin

sinh( / )

n

n

n x n y bx y

n b n b

p pp pd

+¥

=

- +Q = å

过余温度1(0, ) ;t y t=

1( , )t b y t=

1( ,0) ;t x t=2( , )t x td =

23

b 、形状因子法

1 2( )Q k tS t= -

AS

d=

Q k tA

d= D

例：一传达室，室内面积为 3×4(m2) ，高度为 2.8m ，红砖墙厚度为 240mm ，红砖的导热系数为 0.43W/(m.K) 。已知墙内表面温度为 20℃ ，外表面温度为－ 5 ℃ ，求通过传达室四周墙壁的散热量。解：

11

3 2.835

0.24

AS m

d´

= = =

3 0.54 0.54 2.8 1.512S l m= = ´ =

22

4 2.846.67

0.24

AS m

d´

= = =

( )1 2 32 2 4 2185.10Q S S S k t W= + + D =

形状因子

24

3.2.5 非稳态导热

瞬态导热：物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值周期性导热：物体的温度随时间周期性变化

非稳态导热基本概念

物体的温度变化过程：

t 1

t 0 0

1

2

34

非正规状态阶段

正规状态阶段

温度分布主要受初始温度分布控制

温度分布主要取决于边界条件及物性

25

1. h kR R

2. h kR R

以第三类边界条件为重点t

tf

h

tf

h

x

0

问题的分析 如图所示，存在两个换热环节：a 流体与物体表面的对流换热环节 b 物体内部的导热

1hR h

kR k

有如下三种可能：

对流换热很快，忽略对流

传导换热很快，忽略导热

都存在

k

h

R

R

0k

h

R

R

k

h

R

R有限大小3. h kR R

26

毕渥数－ Bi

Bi 准数对无限大平壁温度分布的影响

Bi 0Bi Bi 有限大小

与外界条件无关

与内部条件无关

同时受内部、外界条件影响

1k

h

R k hBi

R h k

27

集总参数法分析求解

1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致分析方法。此时 ，温度分布只与时间有关，即 ，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。

0Bi )(ft

2 温度分布如图所示，任意形状的物体，参数均为已知

00 t t 时，

将其突然置于温度恒为 t 的流体中

0 or 0,h

Bi h or kk

＝ ， ，

28

忽略内部热阻（ t=f() ）、非稳态、有内热源，能量方程可化为：

d

dtVctthA -)(

00)0(

-

tt

dd

VchA初始条件初始条件

控制方程控制方程

t Q

c

其中 应看成是广义热源，即界面上交换的热量可折算成整个物体的体积热源

Q

)( ttAhVQ

集总参数法方程

令过余温度＝ t－ t ，有：积分

0 0d

cV

hAd

)exp(00

cV

hA

tt

tt

29

对上式进行整理，得：

0

Aexp( )

h

V c

k

k

A

Vl

k

c

20

exp( ) exp( )v v

l a

l

hBi Fo

k

令： 为时间常数，表示物体蓄热量与表面换热量之比hA

cVc

当＝ c ：0 0

exp( 1) 0.368 36.8%t t

t t

当＝ 4c ：0

exp( 4) 1.83%

工程上认为此时已达到热平衡状态

当＝ 0 ： 0

0 0

exp(0) 1 100%t t

t t

1

hl l kBi

k h

物体内部导热热阻物体表

＝面对流换热热阻

2 2F

lo

l a

换热时间边界热扰动扩散到 面积上所需的时间

Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部，物体内度就越接近周围介质的温度。

30

20 0

exp( ) exp( )v v

l at t hBi Fo

t lt k

在物体内部导热热阻可以忽略时，上式适用于冷却，加热场合，又称为牛顿冷却或牛顿加热。

对于球、板和柱体，当 Bi满足：

M＜k

AVhBiv 1.0

)/(

无限大平板， M＝ 1

无限长圆柱， M＝1/2球， M＝ 1/3

可以采用集总参数法进行分析。采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于 5%

31

例：一直径为 5cm 的钢球，初始温度为 450℃ ，突然被置于温度为 30℃ 的空气中。设钢球表面与周围环境间的表面传热系数为24W/(m2·K) ，试计算钢球冷却到 300℃ 所需的时间。已知钢球的c=0.48 kJ/(kg·K)， ρ=7753 kg/m3， k=33 W/(m·K) 。 【解 】 首先检验是否可用集总参数法。

钢球 M=1/3

0333.01.000606.03)4/(

3

4)/(

23

M＜k

Rh

k

RRh

k

AVhBiv

符合条件

24 1

3

24 4 (0.025)7.74 10

47753 480 (0.025)

3

hAs

cV

)1074.7exp(30450

30300 4

0

tt

tt解得 τ=570 (s)

32

小结

• 稳态导热微分方程，平板、多层平板、圆筒、多层圆筒壁导热（一维）

• 非稳态导热的一些概念， Bi准数、 Fo准数、集总参数法