64

THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi
Page 2: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi
Page 3: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

THESIS – SM 142501

GRACEFUL LABELING IN DOUBLE DRAGON GRAPH AND PENDANT DRAGON GRAPH RESTU RIA WANTIKA NRP 1213 201 030 SUPERVISOR Dr. Darmaji, S.Si., M.T. MAGISTER’S DEGREE MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA

2015

Page 4: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi
Page 5: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

PELABELAN (;RACEFUL PADA GRAF DRAGON GANDA DAN GRAF DRAGON PENDANT

T esis ini disusw1 Wltuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister Sains (M.Si.)

di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

oleh: RESTU RIA W ANTIK.A

NRP. 1213 201 030

Dr. annaJ S.Si., M.t. NIP. 196 \5 199412 1 001

& Dr. Chairul Imron, MJ!.Komp. NIP. 19611115 198703 1 003

~17_ Endah R ati M.P.,. S.Si., M.T., Ph.D. NIP. 19761213 200212 2 001

Tanggal Ujian : 9 Maret 2015 Peri ode Wisuda : September 201 5

(Pembimbing)

(Penguji)

(Penguji)

irmt:fr~ ~ Prof Dr. I}.. Adi Soeprijanto, M.T.

NIP. 1964,05 199002 I 001

Page 6: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

iii

PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF DRAGON GANDA DAN GRAF DRAGON PENDANT

Nama Mahasiswa : Restu Ria Wantika NRP : 1213201030 Jurusan : Matematika FMIPA-ITS Pembimbing : Dr. Darmaji, S.Si., M.T.

ABSTRAK

Pelabelan graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang memasangkan

unsur-unsur graf (simpul atau sisi) dengan bilangan (biasanya bilangan bulat positif). Jika domain fungsi adalah simpul, maka pelabelan disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan sisi, maka disebut pelabelan total (total labeling). Pelabelan graceful pada graf G adalah fungsi injektif f dari V (G) ke {0, 1, 2,…,q}, dengan q adalah ukuran graf G sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | ( ) ( )| maka label sisinya akan berbeda untuk semua sisi di G. Graf yang memenuhi pelabelan graceful disebut graf graceful. Dalam penelitian ini dikaji pelabelan graceful pada graf dragon yang dimodifikasi dengan menambahkan graf lingkaran pada bagian simpul akhir ekor graf dragon. Graf hasil modifikasi disebut graf dragon ganda dan dinotasikan 2 ( ) dengan . Modifikasi kedua dilakukan dengan menambahkan pendant pada setiap simpul kepala yang tidak terhubung pada graf lintasan. Hasil modifikasi yang demikian disebut dengan graf dragon pendant dan dinotasikan ( ) dengan , dan . Hasil penelitian menunjukkan bahwa graf dragon ganda 2 ( ) dengan dan adalah graf graceful dan graf dragon pendant ( ) dengan , dan adalah graf graceful Kata-kunci: pelabelan graceful, graf dragon ganda, graf dragon pendant

Page 7: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

iv

Page 8: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

v

GRACEFUL LABELING IN DOUBLE DRAGON GRAPH AND PENDANT DRAGON GRAPH

Name : Restu Ria Wantika NRP : 1213201030 Department : Mathematics FMIPA-ITS Supervisor : Dr. Darmaji, S.Si., M.T.

ABSTRACT

Labeling in a graph is a mapping (function) which maps the element of graph (vertex or edge) with a number (usually a positive integer). If the domain of function is vertex, the labeling called vertex labeling. Meanwhile, if the domain of function is edge, then it is called edges labeling. And if the domain are both vertex and edge, then it is called as total labeling. Graceful Labeling in a graph G is injective function f from V (G) to {0, 1, 2,…,q}, with q is size of graph G such that if edge of uv labeled by | ( ) ( )| then edges label will be different for all edges in G. A graph which satisfied graceful labeling is called graceful graph. In this research, we examined the graceful labeling on a dragon graph which was modified by adding circle graph at the end of dragon graphs tail vertex. Graph which was result of modification is called double dragon graph denoted by 2 ( ) with . Second modification was conducted by adding pendant in every head vertex that is not connected in path graph. That result is called pendant dragon graph and denoted by ( ) with , and . The result showed that double dragon graph with was graceful graph and pendant dragon graph with , and was graceful graph. Keyword : graceful Labeling, double dragon graph, pendant dragon graph

Page 9: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

vi

Page 10: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah

melimpahkan rahmat dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis

yang berjudul “PELABELAN GRACEFUL PADA GRAF DRAGON GANDA

DAN GRAF DRAGON PENDANT” ini terselesaikan dengan baik. Tesis ini

merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam memperoleh gelar Magister di

Program Studi Magister Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh

Nopember.

Penyusunan Tesis ini tidak lepas dari bimbingan, bantuan, dan dukungan

moral maupun spiritual dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan

terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:

1. Bapak, Ibu, Adek beserta keluarga tercinta yang selalu memberikan

dukungan, doa, dan motivasi agar penulis dapat menyelesaikan Tesis ini.

2. Dr. Darmaji, S.Si., M.T. selaku dosen pembimbing tesis yang telah

memberikan motivasi, arahan, masukkan, dam bimbingan selama penulis

menyelesaikan Tesis ini.

3. Prof. Dr. Erna Apriliani, M.Si, selaku Ketua Jurusan Matematika Institut

Teknologi Sepuluh Nopember.

4. Dr. Chairul Imron, MI.Komp dan Endah Rokhmati MP, S.Si.,M.T selaku

dosen penguji yang telah memberikan masukkan dan juga motivasi kepada

penulis sehingga Tesis ini dapat terselesaikan dengan baik.

5. Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal dan ilmu

pengetahuan serta staf administrasi Program Studi Magister Matematika

atas segala bantuannya.

6. Geng belum tau namanya, rahma, winda, Saiful, teman senasib bidang graf

dan sahabat penulis lainnya atas semua dukungan, bantuan, dan

semangatnya selama proses penulisan Tesis ini.

7. Keluarga besar Pascasarjana Matematika 2013 ITS, dan semua pihak yang

telah membantu proses penulisan Tesis ini yang tidak dapat penulis

sebutkan satu persatu. Terima kasih.

Page 11: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

viii

Semoga Tuhan memberikan anugerah dan karunia-Nya kepada semua pihak yang

telah membantu penulis dalam menyelesaikan Tesis ini.

Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tesis ini masih banyak

kekurangan, sehingga kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan

untuk perbaikan kedepannya. Akhirnya semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi

pembaca, khususnya mahasiswa Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Surabaya, 23 Maret 2015

Penulis

Page 12: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN i

ABSTRAK iii

ABSTRACK v

KATA PENGANTAR vii

DAFTAR ISI ix

DAFTAR GAMBAR xi

DAFTAR SIMBOL xiii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Manfaat Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

BAB II DASAR TEORI 2.1 Terminologi Dasar Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2 Beberapa Graf Sederhana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Fungsi……………………………………………………………… 7 2.4 Amalgamasi………………………………………………………... 8 2.5 Graf Dragon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……. 9 2.6 Graf dragon ganda…………………………………………………. 9 2.7 Graf dragon pendant………………………………………............ 10 2.8 Pelabelan Graf

2.8.1 Definisi Pelabelan Graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.8.2 Pelabelan Graceful………………………. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 BAB III METODE PENELITIAN

3.1 Tahapan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pelabelan graceful pada graf dragon ganda 2D3 (2) dan graf Jointsum dari copy sikel………………………………………… 15

4.2 Pelabelan graceful pada graf dragon ganda …………………… 18 4.3 Pelabelan graceful pada graf dragon pendant …………………… 28

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ………………………………………………………. 43 5.2 Saran………………………………………………………………. 43

DAFTAR PUSTAKA 45

ix

Page 13: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

x

Page 14: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Graf Sederhana dan bukan sederhana……………………………. 6

Gambar 2.2 Graf Lingkaran…………………………………………………… 6

Gambar 2.3 Graf Lintasan……………………………………………………... 7

Gambar 2.4 Fungsi Satu-satu………………………………………………….. 7

Gambar 2.5 Fungsi Surjektif…………………………………………………... 8

Gambar 2.6 Fungsi Bijektif………………………………………………….... 8

Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4……………………………….. 9

Gambar 2.8 Graf Dragon………………………………………………………. 9

Gambar 2.9 Graf Dragon Ganda………………………………........................ 9

Gambar 2.10 Graf Dragon Pendant……………………………......................... 10

Gambar 2.11 (a). Pelabelan Simpul, (b). Pelabelan Sisi c) Pelabelan Total…… 10

Gambar 2.12 (a). Pelabelan Graceful Skolem (b). Pelabelan Graceful Ganjil … 11

Gambar 2.13 Contoh pelabelan graceful pada graf dengan ‖ ‖ = | | -1 (a) dan graf dengan ‖ ‖ | | -1 (b)……………………………...

12

Gambar 4.1 Contoh pelabelan menurut Lekha………………………………. 16

Gambar 4.2 Pelabelan Graf dragon ganda 2 …………………………… 16

Gambar 4.3 Pelabelan Graf dragon ganda 2 …………………………… 17

Gambar 4.4 Graf Dragon Ganda 2 …………………………………… 18

Gambar 4.5 Graf Dragon Ganda 2 ……………………………………… 23

Gambar 4.6 Graf Dragon Ganda 2 …………………………………… 24

Gambar 4.7 Graf Dragon Ganda 2 ……………………………………… 27

Gambar 4.8 Graf Dragon Pendant …………………………………… 29

Gambar 4.9 Graf Dragon Pendant …………………………………… 32

Gambar 4.10 Graf Dragon Pendant …………………………………… 32

Gambar 4.11 Graf Dragon Pendant …………………………………… 34

Gambar 4.12 Graf Dragon Pendant …………………………………… 35

Gambar 4.13 Graf Dragon Pendant …………………………………… 37

Gambar 4.14 Graf Dragon Pendant …………………………………… 38

Gambar 4.15 Graf Dragon Pendant …………………………………… 41

xi

Page 15: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

xii

Page 16: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

DAFTAR SIMBOL

G = (V, E) Sebarang graf tak berarah dengan V adalah himpunan tak kosong dari semua simpul dan E adalah himpunan sisi

V (G) Himpunan simpul dari graf G E(G) Himpunan sisi dari graf G Cn Notasi dari graf lingkaran order n Pn Notasi dari graf lintasan order n Dn (m) Notasi dari graf dragon order n dan ukuran m 2Dn (m) DPn (m)

Notasi dari Graf dragon ganda order n dan ukuran m Notasi dari Graf dragon pendant order n dan ukuran m

| | Order graf G ‖ ‖ Ukuran graf G

xiii

Page 17: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

xiv

Page 18: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

1

BAB I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu di Matematika adalah teori graf. Teori graf pertama

kali ditulis oleh ahli matematika dari Swiss, Leonhard Euler, pada tahun 1736.

Euler mencoba menyelesaikan persoalan jembatan Konigsberg. Konigsberg

sendiri adalah sebuah kota yang terletak di Prusia timur, sekarang bernama

Kaliningrad, sebuah kota yang termasuk dalam wilayah Rusia. Dalam tulisannya,

Euler mencoba solusi atas permasalahan bagaimana menyeberangi semua

jembatan itu tepat satu kali dari tempat berangkat sampai kembali ke tempat

semula.

Saat ini, pelabelan graf menjadi topik yang banyak mendapat perhatian,

karena model- model yang ada pada pelabelan graf berguna untuk aplikasi yang

luas antara lain pelabelan graf graceful pada graf pot, pelabelan graceful pada graf

duplikasi simpul dan graf duplikasi sisi dari graf sikel Cn , pelabelan graceful pada

graf lintasan menggunakan program php dan javascrip, pelabelan harmonis,

pelabelan super dan lain-lain. Hingga saat ini pemanfaatan teori pelabelan graf

banyak memiliki peranan terutama pada sektor komunikasi, transportasi,

penyimpanan data komputer, dan pemancar frekuensi radio.

Suatu graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dengan V

adalah himpunan tak kosong simpul dan E adalah himpunan pasangan tak terurut

dari simpul-simpul yang disebut sisi. Order dari G yang menyatakan banyaknya

simpul di G dinotasikan dengan | | dan ukuran dari G yang menyatakan

banyaknya sisi di G dinotasikan dengan ‖ ‖. Graf G disebut finite atau

berhingga jika himpunan simpul adalah berhingga, atau graf yang jumlah

simpulnya adalah n berhingga. Graf infinite atau tak berhingga adalah graf yang

jumlah simpulnya tidak berhingga. Graf trivial adalah graf berorder satu dengan

himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.

Page 19: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

2

Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang

memasangkan unsur-unsur graf (simpul atau sisi) dengan bilangan (biasanya

bilangan bulat). Jika domain dari fungsi adalah simpul, maka pelabelan

disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi, maka

disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan sisi,

maka disebut pelabelan total (total labeling). Pelabelan graceful pada graf G

adalah fungsi injektif f dari V (G) ke {0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi

uv dilabeli dengan | ( ) ( )| maka label sisinya akan berbeda untuk

semua sisi di G. Graf yang memenuhi pelabelan graceful dinamakan graf

graceful.

Allesandra pada tahun 2014 menunjukkan bahwa graf pendant dengan

dengan 3,4 (mod 8) memiliki pelabelan graceful, Cavalier pada tahun

2006 menunjukkan bahwa semua graf pohon adalah graceful dan Eshghi pada

tahun 2002 menunjukkan bahwa beberapa graf merupakan graf graceful antara

lain graf roda dengan 3, R2n dengan n ≥ 3, graf helm dengan 3

dan graf dragon ( ) dengan 3 dan 1. Tri lusia (2008)

menunjukkan bahwa graf digraf lintasan merupakan digraf graceful dengan n

genap dan digraf bipartite lengkap merupakan digraf graceful.

Beberapa contoh graf graceful dapat diperoleh dari Galian (2013) antara

lain graf lingkaran ( ) dengan n adalah n 0 (mod 4) dan n 3 (mod 4), graf

bintang, graf lintasan, graf dragon, graf gir, graf caterpillar, graf banana, pohon,

graf lobster dan graf kembang api.

Hal yang menarik dalam pelabelan graceful adalah, pertama, pemberian

label pada simpul sedemikian sehingga jika sisinya mendapat label harga

mutlak dari selisih pelabelan kedua simpul yang terhubung langsung (adjacent)

maka hasilnya berbeda. Kedua, pembentukan pola dari graf yang telah

mendapatkan label sehingga dapat dirumuskan. Sebuah graf baru dapat

dibangun dari sebuah graf yang well known dengan mengenakan operasi

tertentu. Hal yang menarik dalam pelabelan graceful adalah membuktikan

apakah graf baru tersebut juga memenuhi pelabelan graceful.

Pada penelitian ini graf yang akan digunakan adalah graf dragon yang

telah dimodifikasi yaitu graf dragon ganda dan graf dragon pendant.

Page 20: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

3

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan dalam

penelitian ini adalah :

1. Menunjukkan apakah graf dragon ganda dan graf dragon pendant

merupakan graf graceful atau bukan.

2. Menentukan konstruksi pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan

graf dragon pendant. 1.3 Tujuan Penelitian

1. Mengetahui apakah graf dragon ganda dan graf dragon pendant merupakan

graf graceful atau bukan.

2. Mengonstruksi pelabelan graceful apabila graf dragon ganda dan graf

dragon pendant merupakan graf graceful.

1.4 Batasan Masalah

Pelabelan graceful pada sebuah graf merupakan NP-complete problem.

Oleh karenanya dalam penelitian tesis ini graf dibatasi pada graf dragon

ganda dengan , dan dan graf dragon pendant

dengan , dan , . 1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memberikan pengetahuan yang baru

dalam bidang teori graf, khususnya dalam pelabelan graf, yaitu mengetahui

pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon pendant. Selain

itu dapat digunakan sebagai pengembangan ilmu pengetahuan dalam

masalah pelabelan untuk penelitian berikutnya.

Page 21: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

4

Page 22: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

5

BAB II DASAR TEORI

2.1 Terminologi Dasar Graf

Sebuah Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis

dengan notasi G = (V, E) terdiri atas himpunan V = { } dengan

V adalah himpunan tak kosong dari simpul (vertex) yang disebut himpunan

simpul, dan himpunan E = { }, dimana anggotanya disebut sisi.

Order dari G yang menyatakan banyaknya simpul di G dinotasikan dengan

| | dan ukuran dari G yang menyatakan banyaknya sisi di G dinotasikan

dengan ‖ ‖ (Gross, 2006).

Sisi e = (u, v) dikatakan menghubungkan simpul u dan v. Jika e = (u, v)

adalah sisi pada graf G, maka u dan v disebut terhubung langsung (adjacent),

u dan e serta v dan e disebut terkait langsung (incident). Untuk selanjutnya, sisi

e = (u,v) akan ditulis e = uv. Banyak sisi yang terkait langsung dengan simpul v

dinamakan derajat simpul v, ditulis d(v).

Graf G disebut finite atau berhingga jika himpunan simpul adalah

berhingga, atau graf yang jumlah simpulnya adalah n berhingga. Graf infinite atau

tak berhingga adalah graf yang jumlah simpulnya tidak berhingga. Graf trivial

adalah graf berorder satu dengan himpunan sisinya merupakan himpunan kosong.

Sebuah sisi graf yang menghubungkan sebuah simpul dengan dirinya

sendiri dinamakan gelung (loop). Jika terdapat lebih dari satu sisi yang

menghubungkan dua simpul u dan v pada suatu graf maka sisi-sisi tersebut disebut

sisi rangkap (multiple edges).

Graf yang tidak memiliki sisi rangkap dan tidak memiliki gelung disebut

graf sederhana. Sedangkan sebuah graf yang memiliki sisi rangkap tetapi tidak

memiliki gelung disebut graf rangkap.

Pada Gambar 2.1 (a) adalah contoh graf sederhana, sedangkan pada

Gambar 2.1 (b) adalah contoh bukan graf sederhana dimana sisi merupakan

gelung dan sisi merupakan sisi rangkap (Budayasa, 2007).

Page 23: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

6

u

v w

xe1

e2

e3

e4

p

q r

s

e1

e2 e3

e4e5

e6

Gambar 2.1 Graf sederhana dan graf bukan sederhana

2.2 Beberapa Graf Sederhana

Terdapat beberapa jenis graf sederhana. Berikut ini contoh-contoh

graf sederhana beserta definisinya.

a. Graf Lingkaran (Cycle Graph)

Graf lingkaran adalah sebuah graf yang setiap simpulnya

berderajat dua. Graf lingkaran dinotasikan dengan Cn, dengan

n merupakan banyaknya simpul pada graf lingkaran. Penggambaran graf

lingkaran tidak penting, yang terpenting adalah setiap simpul pada graf

lingkaran berderajat dua. Adapun gambar dari graf lingkaran disajikan

pada Gambar 2.2.

C3 C4 C6

Gambar 2.2: Graf Lingkaran

b. Graf lintasan ( Path graph)

Graf lintasan adalah graf yang memiliki n simpul dimana

simpul ujung dan akhir memiliki derajat satu dan simpul lainnya

memiliki derajat dua. Simpul v1 disebut simpul ujung, sedangkan vn

(a) (b)

Page 24: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

7

disebut simpul akhir. Graf lintasan dinotasikan dengan Pn dengan n

adalah order pada graf lintasan. Adapun gambar dari graf lingkaran

disajikan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3. Graf lintasan (P5)

2.3. Fungsi

a. Injektif

Suatu fungsi f dari X ke Y dikatakan fungsi satu satu (one to one) atau

injective jika tidak ada dua elemen berbeda di X yang dipetakan kepada satu

elemen yang sama di Y. Dengan kata lain, jika dan maka

Gambar 2.4 Fungsi satu-satu

b. Surjektif

Fungsi f dikatakan fungsi pada (onto) atau surjektif jika f adalah suatu

fungsi dari X ke Y dan range dari f adalah Y, maka f dikatakan fungsi pada

(onto). Definisi fungsi pada (onto) dapat dinyatakan dengan notasi

Page 25: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

8

Gambar 2.5 Fungsi Surjektif

c. Bijektif

Apabila fungsi f memenuhi fungsi injektif dan surjektif

maka f dinamakan fungsi bijektif. Contoh fungsi bijektif disajikan pada

Gambar 2.6

Gambar 2.6 Fungsi Bijektif

2.4. Amalgamasi

Dalam membentuk sebuah graf baru, salah satu cara yang dapat

dilakukan dengan menggunakan operasi amalgamasi. Amalgamasi simpul

dari pasangan simpul graf bersama adalah graf yang diperoleh

dengan menggabungkan simpul dan menjadi satu simpul. Notasi yang

digunakan untuk menyatakan operasi amalgamasi adalah “ ” (Ardiansyah,

2013).

Selanjutnya, diberikan graf G dan H yang ditunjukkan pada

Gambar 2.7, jika dilakukan amalgamasi dari simpul dan maka operasi

amalgamasi dinotasikan dengan

=

Page 26: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

9

Dimana R adalah graf baru yang terbentuk

Gambar 2.7. Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4

2.5 Graf Dragon

Graf dragon adalah graf yang diperoleh amalgamasi simpul graf

lingkaran dan graf lingkaran. Graf lingkaran pada graf dragon dinamakan

kepala dan graf lintasan pada graf dragon dinamakan ekor. Graf dragon

dinotasikan dengan Dn (m) dimana n merupakan order pada graf lingkaran

dan m merupakan ukuran pada graf lintasan.

2.6 Graf Dragon Ganda

Graf dragon ganda adalah graf yang dibentuk dari amalgamasi simpul

dari graf dragon dan graf lingkaran. Graf dragon ganda dinotasikan 2Dn (m).

Gambar 2.9. Graf dragon ganda 2

Gambar 2.8. Graf Dragon 𝐷

G: H: R:

Page 27: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

10

2.7 Graf Dragon Pendant

Graf dragon pendant adalah graf dragon yang pada setiap simpul

bagian kepala yang tidak terhubung dengan ekor ditambahkan pendant. Graf

dragon pendant dinotasikan DPn (m).

Gambar 2.10. Graf dragon pendant DP5 (3)

2.8 Pelabelan Graf

2.8.1 Definisi dan Jenis Pelabelan Graf

Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan (fungsi) yang

memasangkan unsur-unsur graf (simpul atau sisi) dengan bilangan (biasanya

bilangan bulat). Jika domain dari fungsi adalah simpul, maka pelabelan

disebut pelabelan simpul (vertex labeling). Jika domainnya adalah sisi,

maka disebut pelabelan sisi (edge labeling), dan jika domainnya simpul dan

sisi, maka disebut pelabelan total (total labeling) (Gallian, 2013). Pada

Gambar 2.11 dapat dilihat perbedaan antara pelabelan ketiganya dimana

pelabelan simpul hanya pada simpul saja yang dilabeli, pelabelan sisi hanya

pada sisi saja yang dilabeli dan pelabelan total keduanya dilabeli yaitu sisi

dan simpul.

Gambar 2.11: (a). Pelabelan Simpul, (b). Pelabelan Sisi c) Pelabelan Total

Page 28: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

11

Adapun beberapa jenis pelabelan antara lain pelabelan skolem graceful dan pelabelan graceful ganjil. Pelabelan skolem graceful adalah fungsi injektif dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan { 1, 2,…,n} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | | maka label sisinya { 1, 2,…,q}. Pelabelan graceful ganjil adalah fungsi injektif dari himpunan simpul V ke himpunan bilangan {0, 1, 2,…,2q-1} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | | maka label sisinya {1,3,5,…,2q-1} (Gallian, 2013). Adapun contoh pelabelan skolem graceful dan pelabelan graceful ganjil disajikan pada Gambar 2.12

2 3

4

12

3

11 5

3

05

3

1

Gambar 2.12: (a). Pelabelan Skolem Graceful (b). Pelabelan Graceful Ganjil

Pada Gambar 2.12 dapat dilihat perbedaan antara pelabelan skolem

graceful dan pelabelan graceful ganjil adalah pada pelabelan simpul pada

graceful ganjil menggunakan label 0 . Sedangkan pada skolem graceful

menggunakan label 1. Pada pelabelan sisi merupakan akibat dari pelabelan

simpul yang diperoleh dari selisih dua simpul yang berhubungan langsung. Pada

pelabelan graceful ganjil sisi terlabeli integer ganjil sedangkan pada pelabelan

skolem graceful sisi terlabeli dengan integer tanpa 0.

2.8.2 Pelabelan Graceful

Pelabelan graceful pada graf G adalah fungsi injektif f dari V (G) ke

{0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan | |

maka label sisinya akan berbeda untuk semua sisi di G (Gallian, 2013).

(a) (b)

Page 29: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

12

Adapun aturan pelabelan graceful sebagai berikut :

i. Memberikan label pada simpul suatu graf G yang memenuhi fungsi injektif dari himpunan simpul ke himpunan bilangan bulat tak negatif {0, 1, 2, ..., q}.

ii. Akibat dari point (i) adalah semua sisi uv yang dilabeli | f(u) – f(v) | memiliki hasilnya berbeda untuk semua sisi di G.

Pada Gambar 2.13 diberikan contoh pelabelan graceful pada graf lintasan dengan ‖ ‖ = | | -1 (a) dan graf dragon dengan ‖ ‖ | | -1 (b).

1 2 4 0 3

1 2 4 3

Gambar 2.13. Contoh pelabelan graceful pada graf dengan ‖ ‖ = | | - 1 (a) dan graf dengan ‖ ‖ | | -1 (b)

Dapat dilihat bahwa pada Gambar 2.11 (a) himpunan {0, 1, 2,3,4 } terpakai seluruhnya untuk melabelkan simpul pada graf. Sedangkan pada Gambar 2.12 (b), himpunan {0, 1, 2, ..,8} hanya terpakai sebagaian saja yaitu {0, 1,2,3,4,6,7,8} untuk melabelkan simpul pada graf. Secara umum bila graf G memiliki jumlah sisi ‖ ‖ =| | -1 , maka label terpakai seluruhnya, bila graf G memiliki jumlah sisi ‖ ‖ | | -1, maka label tidak seluruhnya terpakai. Pada Gambar 2.13 warna merah merupakan bobot sisi yang diperoleh dari selisih dua simpul yang berhubungan langsung. Pada Gambar 2.13 (a) terlihat bahwa semua sisinya berbeda yaitu {1, 2,3,4} dan pada Gambar 2.13 (b) semua sisinya berbeda yaitu {1, 2,3,4,6,7,8}.

(b) (a)

Page 30: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

13

BAB III METODE PENELITIAN

Pada bagian ini diuraikan metode penelitian yang digunakan untuk mencapai

tujuan penelitian.

3.1 Tahapan penelitian

1. Studi literatur dan pemahaman konsep

Pada tahap ini dilakukan studi literatur dari beberapa referensi buku,

artikel, jurnal dari berbagai sumber mengenai penelitian pelabelan

graceful pada graf.

2. Analisis

a. Melakukan observasi terhadap graf yang diteliti.

b. Melakukan pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon

pendant dengan menggunakan beberapa cara antara lain :

Trial

Trial yang dimaksudkan pada penelitian ini adalah mencoba

kemungkinan-kemungkinan dalam melabeli simpul pada graf

dragon ganda dan graf dragon pendant berdasarkan penelitian

sebelumnya sedemikian sehingga jika sisinya mendapat label harga

mutlak dari selisih kedua simpul yang terhubung langsung

(adjacent) maka hasilnya berbeda.

Pendeteksian pola

Apabila ditemukan label simpul yang memenuhi pelabelan

graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon pendant maka

metode pendeteksian pola digunakan untuk merumuskan pola

secara umum.

Page 31: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

14

Adapun cara pelabelan yang dilakukan pada graf dragon ganda dan

graf dragon pandant adalah melabeli simpul kepala pada graf dragon ganda

dan graf dragon pendant kemudian dilanjutkan melabeli simpul ekor pada

graf dragon ganda dan graf dragon pendant.

3. Evaluasi

Pada tahap ini melakukan evaluasi terhadap analisa yang telah

dilakukan pada pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon

pendant. Apabila graf dragon ganda dan graf dragon pendant tidak

memenuhi aturan pelabelan graceful maka dicari alasan mengapa graf

tersebut tidak memenuhi aturan tersebut.

4. Menyusun laporan

Laporan penelitian disusun dalam bentuk hasil dan pembahasan

pada bab 4 yang dilanjutkan dengan pada bab 5.

Page 32: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

15

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dibahas mengenai pelabelan graceful pada graf dragon ganda

dan graf dragon pendant. Pada penelitian ini graf dragon ganda yang diteliti

adalah = 3, dan = 4, sedangkan graf dragon pendant yang

diteliti adalah = 3,4, 5 dan 6 dengan .

4.1. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda 2D3 (2) dan graf Jointsum dari dua copy sikel

Graf dragon ganda adalah graf yang dibentuk dari amalgamasi simpul dari

graf dragon dan graf lingkaran. Graf dragon ganda dinotasikan 2Dn (m). Untuk

m =1 graf dragon ganda mempunyai nama lain yang disebut dengan graf Jointsum

dari dua copy sikel.

Pelabelan graceful pada graf Jointsum dari dua copy sikel telah diteliti oleh

Lekha menyatakan bahwa Jointsum dari dua copy sikel merupakan pelabelan

graceful (Lekha, 2012). Hanya saja setelah mencermati hasil dari pelabelan

tersebut dan mengimplementasikannya pada graf dengan n =3 dengan pola umum

sebagai berikut

Untuk ≤ 𝑖 ≤ −

𝑓(𝑣 ) = ( + )

−𝑖 +

, untuk 𝑖 gasal

= + 𝑖 +

, untuk 𝑖 genap

Untuk +

≤ 𝑖 ≤ −

𝑓(𝑣 ) = ( + )

−𝑖 +

, untuk 𝑖 genap

= + 𝑖 +

, untuk 𝑖 gasal

Page 33: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

16

𝑓(𝑣 ) = 0

Untuk ≤ 𝑖 ≤

𝑓(𝑣 ) = ( + ) −𝑖 −

, untuk 𝑖 gasal

=𝑖 + −

, untuk 𝑖 genap

Penulis menemukan sebuah kesalahan bila pelabelan dilakukan. Berikut akan

ditunjukkan pelabelan yang mengikuti hasil pelabelan pola umum dari Lekha

Gambar 4.1. Contoh pelabelan menurut Lekha

Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa ada label sisi yang sama yaitu 5.

Hal ini tidak sesuai dengan definisi dari pelabelan graceful yaitu fungsi

injektif f dari V (G) ke {0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli

dengan |𝑓( ) − 𝑓(𝑣)| maka label sisinya akan berbeda. Dari permasalahan

di atas peneliti melakukan revisi pada n = 3 yaitu sebagai berikut

Gambar 4.2. Pelabelan graf dragon ganda 2D3 (1)

Page 34: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

17

Berikut akan ditunjukkan pelabelan graceful pada graf dragon ganda

dengan = , hal ini dilakukan karena untuk = memiliki pelabelan

yang unik. Adapun pelabelannya dapat dikonstruksi sebagai berikut

Gambar 4.3. Pelabelan graf dragon ganda 2D3 (2)

4.2. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda

Pada pelabelan graceful graf dragon ganda dalam tesis ini diklasifikasikan

menjadi 2 bagian, yaitu

a. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda ( ) untuk n = 3 dengan

b. Pelabelan graceful pada graf dragon ganda ( ) untuk n= 4 dengan

.

Pada bab sebelumnya telah diberikan definisi pelabelan graceful. Perlu

diingat bahwa pelabelan graceful pada graf G adalah fungsi injektif f dari V (G) ke

{0, 1, 2,…,q} sedemikian hingga jika sisi uv dilabeli dengan |𝑓( ) − 𝑓(𝑣)|

maka label sisinya akan berbeda. Pada Teorema 4.1 diberikan konstruksi dari

pelabelan graceful pada graf dragon ganda ( ) dengan dan pada

Teorema 4.2 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf dragon ganda

( ) dengan .

Page 35: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

18

Teorema 4.1 Graf Dragon Ganda ( ) dengan adalah graf

graceful

Bukti : Misalkan graf dragon ganda ( ) dengan adalah graf

dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut

= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }

Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon ganda

( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.4

Gambar 4.4. Graf dragon ganda 2 ( )

Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut

v3

5

9

0 8 1 7v1

v2

v4 v5 v6

4

5

9

8 7 6

6

4

3 2

1

v7v7

v8v8

Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut

6v3 v9

4

10

0 9 1 8 3

5

v1

v2

v4 v5 v6 v7

v86

4

10

9 8 7 5

2 1

3

Page 36: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

19

Sedangkan untuk dapat dikonstruksikan pelabelan graceful secara

umum. Adapun pengkonstruksiannya sebagai berikut

Pelabelan tiga simpul pertama pada graf dragon ganda, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

𝑓(𝑣 ) =

{

( )

0 ( )

( )

𝑓(𝑣 ) = +

𝑓(𝑣 ) = 0

Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

Untuk ≤ 𝑖 ≤ ⌊ ⌋

𝑓(𝑣 ) = { + −

𝑖 −

𝑖

𝑖 −

𝑖

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) =

{

𝑓 (𝑣

⌊ ⌋) −

+

0 ( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋) +

+

( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋) +

+

( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋) −

+

( )

Page 37: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

20

⌊ +

⌋ + ≤ +

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) =

{

𝑓 (𝑣

⌊ ⌋ ) +

+

0 ( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) −

+

( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) −

+

( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋

) + +

( )

Untuk ⌊ ⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +

𝑓(𝑣 ) = {𝑓(𝑣 ) + 𝑖

𝑓(𝑣 ) − 𝑖

𝑓(𝑣 ) =

{

+

0 ( )

+

( )

+

( )

𝑓(𝑣 ) =

{

+

0 ( )

+

( )

+

( )

Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

{

+

( )

+

0 ( )

+

( )

Page 38: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

21

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

{

+

( )

+

0 ( )

+

( )

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − 𝑖 ≤ 𝑖 ≤ ⌊ +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓 (𝑣⌊ ⌋) − 𝑓 (𝑣

⌊ ⌋ )| 𝑖 = ⌊

+

⌋ +

= {

+

+

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) − 𝑓 (𝑣

⌊ ⌋ )| 𝑖 = ⌊

+

⌋ +

= {

+

+

⌊ +

⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = {

+

+ ⌊ +

⌋ − 𝑖

+

+ ⌊ +

⌋ − 𝑖

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +

= {

Page 39: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

22

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +

= {

( ) ( )

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = {

( ) ( )

Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf dragon

ganda ( ) adalah sebagai berikut

Untuk 0( )

{ +

( − )

+ }

Untuk ( )

{ + ( − )

+

( − )

}

Untuk ( )

{ +

+

( − )

}

Untuk ( )

{ +

+

}

Page 40: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

23

Sebagai contoh untuk graf dragon ganda = dapat dikonstruksi pelabelannya

menurut teorema 4.1. Hasilnya diberikan seperti pada Gambar 4.5

6v3 v9

4

10

0 9 1 8 3

5

v1

v2

v4 v5 v6 v7

v86

4

10

9 8 7 5

2 1

3

Perhatikan Gambar 4.5.dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah

integer dari 0 sampai dengan 10 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada

yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai

yaitu *0 0+ dikarenakan banyak simpul kurang dari banyak sisi.

Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari selisih

kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar 4.5

semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang berbeda.

Teorema 4.2 Graf Dragon Ganda ( ) dengan adalah graf

graceful;

Bukti : Misalkan graf dragon ganda ( ) dengan adalah graf

dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut :

= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }

Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon ganda

( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.6

Gambar 4.5. Graf dragon ganda 2𝐷 ( )

Page 41: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

24

v2

vm+7v1

v3

v4 v5 vm+3

vm+6

vm+4v6

vm+5

Gambar 4.6. Graf dragon ganda 2 ( )

Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut

4

9

10

0 8 1v1

v2

v4

v3v5

5

6

9

108 7 v6

25v8

v9

4

3

1

2

v7v7

3

Untuk = dapat dikonstruksikan pelabelan graceful sebagai berikut

5

10

11

0 9 1v1

v2

v4

v3v5 v6

5

6

10

119 8 7

7

8

4v8 v9

v10

4

3

1

2

v7v7

Sedangkan untuk dapat dikonstruksikan pelabelan graceful secara

umum. Adapun pengkonstruksiannya sebagai berikut

Pelabelan empat simpul pertama pada graf dragon ganda, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣

dapat dikonstruksikan sebagai berikut:

𝑓(𝑣 ) = + .

𝑓(𝑣 ) = ⌊ +

𝑓(𝑣 ) = + .

Page 42: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

25

𝑓(𝑣 ) = 0

Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

Untuk ≤ 𝑖 ≤ ⌊ ⌋ +

𝑓(𝑣 ) = { + −

𝑖 −

𝑖

𝑖 −

𝑖

⌊ +

⌋ + ≤ +

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) =

{

𝑓 (𝑣

⌊ ⌋ ) − ⌊

+

⌋ 0 ( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) + ⌊

+

⌋ − ( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) + ⌊

+

⌋ ( )

𝑓 (𝑣⌊ ⌋ ) − (⌊

+

⌋ − ) ( )

Untuk ⌊ ⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +

𝑓(𝑣 ) = {𝑓(𝑣 ) − 𝑖

𝑓(𝑣 ) + 𝑖

𝑓(𝑣 ) =

{

𝑓(𝑣 ) − 0 ( )

𝑓(𝑣 ) + ( )

𝑓(𝑣 ) − ( )

𝑓(𝑣 ) + ( )

𝑓(𝑣 ) = {𝑓(𝑣 ) +

𝑓(𝑣 ) −

Page 43: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

26

Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − ⌊ +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − ⌊ +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = + − 𝑖 ≤ 𝑖 ≤ ⌊ +

⌋ +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = {⌊ +

⌊ +

⌋ −

𝑖 = ⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ + ≤ 𝑖 ≤ +

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = { ⌊ +

⌋ + − 𝑖

⌊ +

⌋ + − 𝑖

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +

= { 0 ( ) ( )

( ) ( )

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| 𝑖 = +

= 1

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = { 0 ( ) ( )

( ) ( )

Page 44: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

27

Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf dragon

ganda ( ) adalah sebagai berikut

Untuk 0( )

{ +

+

}

Untuk ( )

{ + ( − )

+

( − )

}

Untuk ( )

{ + ( − )

+

( − )

}

Untuk ( )

{ +

+

}

Sebagai contoh untuk graf dragon ganda = dapat dikonstruksi

pelabelannya menurut teorema 4.2. Hasilnya diberikan seperti pada Gambar 4.7

7

5

11

12

0 10 9

6

41

8

v1

v2

v4

v3v5 v6 v7

v8

v9 v10

v11

6

7

11

1210 9 8 5

4

2

1

3

Perhatikan Gambar 4.7 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah

integer dari 0 sampai dengan 12 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada

yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai

Gambar 4.7. Graf dragon ganda 2𝐷 ( )

Page 45: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

28

yaitu *0 0 + dikarenakan banyak simpul kurang dari

dengan banyak sisi.Selanjutnya pada pelabelan sisi pada graf tersebut dapat

diperoleh dari selisih kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga

pada Gambar 4.7 semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer

yang berbeda.

4.3. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant

Pada pelabelan graceful graf dragon pendant dalam tesis ini diklasifikasikan

menjadi 4 bagian, yaitu

a. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 3 dengan

b. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 4 dengan

.

c. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 5 dengan

.

d. Pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 6 dengan

.

Pada Teorema 4.3 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf

dragon pendant ( ) untuk n = 3 dengan . Selanjutnya pada Teorema

4.4 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf dragon pendant

( ) untuk n = 4 dengan , Teorema 4.5 diberikan konstruksi dari

pelabelan graceful pada graf dragon pendant ( ) untuk n = 5 dengan

dan Teorema 4.6 diberikan konstruksi dari pelabelan graceful pada graf

dragon pendant ( ) untuk n = 6 dengan .

Teorema 4.3 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf graceful.

Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf dengan

himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut

= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }

Page 46: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

29

Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon pendant

( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.8

v2

v1 v3v4

v5

v6 v7 vm+4 vm+5v6 v7 vm+4 vm+5

Pelabelan lima simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu

𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:

𝑓(𝑣 ) = ⌊ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = ⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝐷𝑃 (𝑚)

Page 47: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

30

Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

≤ 𝑖 ≤ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

≤ 𝑖 ≤ +

𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖

Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf

dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut

⌊ +

⌋ − 𝑖

Page 48: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

31

Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi

pelabelannya menurut teorema 4.3. Hasilnya diberikan seperti pada

Gambar 4.9

v2

v1 v3v4

v5

v6 v7v6 v74

3

1

5

6 0 71

2

4

5

6 7

3

Gambar 4.9. Graf Dragon Pendant ( )

Perhatikan gambar 4.9.dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah

integer dari 0 sampai dengan 7 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada

yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai

yaitu *0 + dikarenakan banyak simpul sama dengan banyak sisi.

Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari selisih

kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar 4.9

semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang berbeda.

Teorema 4.4 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf

graceful

Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf

dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut :

= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }

Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon pendant

( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.10

Page 49: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

32

v2

v1

v3

v4

v7

vm+6 vm+7

v5

v6

v8 v9

Gambar 4.10. Graf Dragon Pendant ( )

Pelabelan tujuh simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu

𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

Page 50: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

33

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

≤ 𝑖 ≤ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

≤ 𝑖 ≤ +

𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖

Page 51: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

34

Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf

dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut

⌊ +

⌋ 𝑖

Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi

pelabelannya menurut teorema 4.4. Hasilnya diberikan seperti pada

Gambar 4.11

v7

v2

v1

v3

v4v5

v6

v8 v933

5

22

6 1

8

77

00 9922

33

44

11

55 66

77

88 99

Gambar 4.11. Graf dragon pendant ( )

Perhatikan gambar 4.11 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah

integer dari 0 sampai dengan 9 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada

yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai

yaitu *0 + dikarenakan banyak simpul sama dengan banyak

sisi. Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari selisih

kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar 4.11

semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang berbeda.

Teorema 4.5 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf

graceful

Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf

dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut :

Page 52: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

35

= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }

Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon pendant

( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.12

v2

v1

v3

v4

v6

v7

vm+8 vm+9

v5v5

v8

v9

v10 v11

Gambar 4.12. Graf Dragon Pendant ( )

Pelabelan sembilan simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu

𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:

𝑖 =

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ − 𝑖

⌊ +

⌋ + 𝑖

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

Page 53: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

36

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = ⌊ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

0 ≤ 𝑖 ≤ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ − +

𝑖 + 0

𝑖

⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ + −

𝑖 + 0

𝑖

⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

Page 54: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

37

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

0 ≤ 𝑖 ≤ +

𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖

Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf

dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut

⌊ +

⌋ + 𝑖

⌊ +

⌋ −

Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi

pelabelannya menurut teorema 4.5. Hasilnya diberikan seperti pada

Gambar 4.13

v8

v2

v1

v3

v4

v6

v7

v5v5

v9

v10 v1177

6

55

3

22

899

1

1010 00 1111

11

44

1010 1111

88

99

66

5522

33

77

Page 55: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

38

Gambar 4.13. Graf Dragon Pendant ( )

Perhatikan gambar 4.13 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah

integer dari 0 sampai dengan 11 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada

yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai

yaitu *0 0 + dikarenakan banyak simpul sama dengan

banyak sisi. Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat diperoleh dari

selisih kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga pada Gambar

4.13 semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer yang

berbeda.

Teorema 4.6 Graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf

graceful

Bukti : Misalkan graf dragon pendant ( ) dengan adalah graf

dengan himpunan simpul dan himpunan sisi sebagai berikut

= *𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 } dan = * }

Dalam hal ini | | = + dan ‖ ‖ = + . Sehingga graf dragon

pendant ( ) dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.14

v2

v1

v3

v4

v6

v7

vm+10 vm+11

v5v5

v8

v9

v10

v11

v12v12 v13

Pelabelan sebelas simpul pertama pada graf dragon pendant, yaitu

𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 𝑣 dapat dikonstruksikan sebagai berikut:

𝐷𝑃 (𝑚)

Page 56: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

39

𝑓(𝑣 ) = ⌊ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

Page 57: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

40

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ +

⌊ +

⌋ −

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ −

⌊ +

⌋ +

Sedangkan untuk simpul selanjutnya, yaitu 𝑣 𝑣 𝑣 dapat

dikonstruksikan sebagai berikut:

≤ 𝑖 ≤ +

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

𝑓(𝑣 ) = {⌊ +

⌋ + −

𝑖 +

𝑖

⌊ +

⌋ − +

𝑖 +

𝑖

Untuk , konstruksi pelabelan sisi dengan cara sebagai berikut:

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 0

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

Page 58: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

41

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

|𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| =

≤ 𝑖 ≤ +

𝑓( ) = |𝑓(𝑣 ) − 𝑓(𝑣 )| = 𝑖

Adapun label simpul yang tidak digunakan pada pelabelan graceful graf

dragon pendant ( ) adalah sebagai berikut

⌊ +

⌋ + 𝑖

⌊ +

⌋ −

Sebagai contoh untuk graf dragon pendant = dapat dikonstruksi

pelabelannya menurut teorema 4.6. Hasilnya diberikan seperti pada

Gambar 4.15

8

6

411

12

7

11

5

9

3

10

00 1333

11

12 13

9

11

622

44

55

8

77

11

10

v1

v7v7

v2

v8v8

v3

v9v9

v4

v10v10v11v11

v5v5

v6v6v12v12 v13v13

Gambar 4.15. Graf Dragon Pendant ( )

Perhatikan gambar 4.15 dapat dilihat bahwa simpul dilabeli sejumlah

integer dari 0 sampai dengan 13 (sesuai dengan ukuran graf) dan tidak ada

Page 59: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

42

yang sama. Dapat dilihat bahwa label simpul yang digunakan hanya sebagai

yaitu *0 0 + dikarenakan banyak simpul sama

dengan banyak sisi.Selanjutnya pelabelan sisi pada graf tersebut dapat

diperoleh dari selisih kedua simpul ujung sisi tersebut dan dapat dilihat juga

pada Gambar 4.15 semua sisi terlabeli (warna merah) dengan bilangan integer

yang berbeda.

Page 60: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

43

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

Pada bab ini disampaikan kesimpulan dan saran yang diperoleh dari

pembahasan konstruksi pelabelan graceful pada graf dragon ganda dan graf dragon

pendant pada bab sebelumnya.

5.1 Kesimpulan

Dari hasil penelitian pada bab sebelumnya, diperoleh hasil sebagai berikut:

1. Graf dragon ganda dengan adalah graf graceful

(Teorema 4.1).

2. Graf dragon ganda dengan adalah graf graceful

(Teorema 4.2) .

3. Graf dragon pendant untuk n = 3 dengan adalah

graf graceful (Teorema 4.3).

4. Graf dragon pendant untuk n = 4 dengan adalah

graf graceful (Teorema 4.4) .

5. Graf dragon pendant untuk n = 5 dengan adalah

graf graceful (Teorema 4.5) .

6. Graf dragon pendant untuk n = 6 dengan adalah

graf graceful (Teorema 4.6).

5.2 Saran

Pembahasan mengenai pelabelan graceful ini masih terbuka bagi

peneliti lain untuk melanjutkan penelitian ini pada aplikasinya dan bisa juga

mengadakan penelitian yang sejenis dengan jenis graf yang sama dengan

jumlah simpul yang berbeda atau dengan jenis-jenis graf yang berbeda.

Page 61: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

44

Page 62: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

45

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad,Muzayyin, (2012), Pelabelan Graceful dan pelabelan ̂ pada graf pot bunga dan graf pohon palem, Universitas Indonesia.

Alessandra, (2014), “A new graceful labeling for pendant graphs”, Aequat. Math. Hal 135–145.

Ardiyansah, Ridwan dan Darmaji, (2013),” Bilangan Kromatik Graf Hasil

Amalgamasi Dua Buah Graf ”. Jurnal Sains dan SENI POMITS Vol. 2, No.1, Institut Teknologi Sepuluh Nopember.

Budayasa, Ketut, (2007), Teori Graph dan Aplikasinya, Unesa University

Press.

Cavalier, (2006),Graceful Labelings, Bachelor of Science Louisiana State University

Eshghi. Kourosh,(2013), Introduction To graceful graphs, Sharif University of Technology

Gallian J. A.,(2013), A dynamic survey of graph labeling, Department of

Mathematics and Statistics University of Minnesota Duluth. Gross, L. Jonathan dan Yellen, Jay,(2006), Graph Theory and Its

Applications, Chapman& Hall/CRC, New York. Lekha, Bijukumar, (2012), Some interesting results in the theory of Graphs,

thesis PhD, Saurashtra University. Narindra, dkk.(2011), pelabelan graceful pada graf duplikasi simpul dan

graf duplikasi sisi dari graf sikel Cn, Universitas Diponegoro.

Riadi. Bambang,(2009), Menentukan Pelabelan Graceful pada Graf Lintasan (Pn ) dengan panjang n menggunakan program php dan javascript, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri (UIN) Maulana Malik Ibrahim Malang

Tri,Lusia,(2008), “Pelabelan graceful digraph lintasan dan digraph

bipartite”, Jurnal MIPA, Nomer 1, hal 1-5. Universitas Jember

Zulfi.Amir, dkk,(2011), “pelabelan graceful, skolem graceful dan pelabelan ̂ pada graf ( )”, Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta.

Page 63: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

46

Page 64: THESISrepository.its.ac.id/51708/1/1213201030-Master_Thesis.pdf · 2018-04-06 · Gambar 2.7 Contoh operasi amalgamasi C3 dan C4…………………………… ... Himpunan sisi

BIODATA PENULIS

Oktober 2011 dengan mendapat gelar Sarjana Pendidikan. Sebelum mendapat

gelar Sarjana, penulis mendapat pekerjaan sebagai guru matematika di SMPK

Angelus Custos II Surabaya pada tahun 2010 hingga 2012. Penulis melanjutkan

studi S2 di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Surabaya melalui program pra s2 pada tahun 2012 hingga tahun 2013 kemudian

meneruskan program s2 tahun 2013 sampai 2015. Selama kuliah S2 di jurusan

matematika, penulis mengambil bidang graf. Kritik dan saran ataupun pertanyaan

yang berhubungan dengan tesis ini dapat menghubungi penulis melalui email

[email protected].

Penulis memiliki nama lengkap Restu Ria

Wantika lahir di Surabaya, 22 November 1989.

Penulis telah menempuh pendidikan formal

mulai dari SDN Kebraon II, SMPN 16

Surabaya, dan SMAN 1 Surabaya. Setelah

lulus dari SMA, penulis melanjutkan studi S1

di Jurusan Matematika Universitas Negeri

Surabaya dan diterima sebagai mahasiswa

angkatan 2007. Penulis lulus sarjana dengan

delapan semester dan wisuda pada bulan