Задания государственного

экзамена по математике 15.05.2009

II Вариант

I Часть

1. Упростить выражение

и найти его точное значение при и

2) Из 30 учащихся во время урока математики

отсутствовало 20% учащихся. Известно что от общего

числа отсутствующих были девушки, что составляло 20%

от общего количества девушек класса. Сколько юношей

присутствовало на уроке математики?

3

1

Всего 30 уч. 3

1- от отсут. дев. – 20% общ. кол-ва дев.

30 ∙ 0,2 = 6(ч) - отсутствуют

6 ∙ = 2 (ч) - отсутствующие девушки

6 – 2 = 4 (ч) – отсутствующие юноши3

1

2 ч. – 20%

Х ч. – 100%10

20

1002x (ч) – девочек в классе всего

30 – 10 = 20 (ч) - всего в классе юношей

20 – 4 = 16 (ч) – присутствующих юношей

На том же самом уроке к доске вызываются учащиеся.

Какова вероятность того, что

а) один случайно вызванный учащийся окажется девушкой

всего присутствуют -24 чел.

24 – 16 = 8(ч) - девушек

16(ч) - юношей

А – вызов девушки к доске

n = 24 – всего вариантов

k = 8 – благоприятных исходов

Р(А) = - вероятность вызова девушки к доске 3

1

24

8

n

kAp

Какова вероятность того, что

б) случайно вызванные двое учащихся окажутся девушкой и юношей

I вариант II вариант

всего вариантов выбора двух учеников

из 24 присутствующих

276122321

2423

!22!2

2423!22

!22!2

!24

!224!2

!242

24C

всего вариантов выбора одного юноши

и одной девушки

!7!1

!8

!15!1

!16

!18!1

!8

!116!1

!161

8

1

16CC

128816!1!1

816

!7!1

8!7

!15!1

16!15

В – вызов к доске юноши и девушки

464,069

32

276

128Bp

Возможные варианты: ЮиД или ДиЮ

С – вызов к доске юноши

D – вызов к доске девушки

464,069

32

23

16

24

8

23

8

24

16CDp

Какова вероятность того, что

в) из четырѐх случайно вызванных учащихся будет не менее 3 юношей

всего вариантов выбора четырѐх учеников из 24 присутствующих

10626!204321

24232221!20

!20!4

!24

!424!4

!244

24Cn

возможные варианты: 3ю и 1д или 4ю

Е – из четверых вызванных учащихся будет не менее 3 юношей

4

16

1

8

3

16CCCk

!12!4

!16

!7!1

!8

!13!3

!16

!416!4

!16

!18!1

!8

!316!3

!16

593,0253

150

10626

6300Ep

630045713816574321

16151413

1

8

321

161514

3) Дана функция f(x)=(2x+1)( )

Найдите

1) нули функции

42

x

0xf 04122

xx

012 x 042

x12 x

2

1x

42

x4x

2x

2;2

1;2

0X

Дана функция f(x)=(2x+1)( )

Найдите

2) область положительности

42

x

2;2

1;2

0X

xf(x)

2

1-2 2

I II III IV

I x (-∞; -2) х = -3 (2∙(-3)+1)(9 -4)= − ∙ + = −

−

II x (-2; - ) х = -1 (2∙(-1)+1)(1 -4)= − ∙ −= +2

1

+−+

III x ( ; 2) х = 0 (2∙ 0+1)(0 - 4)= +∙ −= −2

1

IV x (2 ;+∞) х = 3 (2∙ 3+1)(9 -4)= + ∙ + = +

;22

1;2X

Дана функция f(x)=(2x+1)( )

Найдите

3) производную функции

42

x

I вариант II вариант

(u∙v) =u v + uv

412412)(22

xxxxxf

482412)(232

xxxxxxf

xxx 212422

8262482222

xxxxx

482)(23

xxxxf

48223

xxx

8262

xx

Дана функция f(x)=(2x+1)( )

Найдите

4) Координаты точки минимума функции

42

x

826)(2

xxxf

Найдѐм критические точки0826

2xx

D=4 – 4 ∙ 6 ∙ (-8)= 4+192=196

3

11

12

161

12

142x

Определим вид этих точек

212)826()(2

xxxxf

min0142112)1(f

max023

1112)

3

11(f

9)3(341112)1(2

f

min (1;-9)

4) Две машины скорой помощи выезжают одновременно

из больницы к двум местам происшествий и движутся по

шоссе в противоположных направлениях. В первую

минуту каждая машина проезжает путь длиной 1 км. В

каждую следующую минуту первая машина проезжает

путь на 1/12 км, а вторая машина на 1/6 км длиннее, чем за

предыдущую минуту. Определите через сколько минут

машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от

друга и какова скорость (км/ч) машин в этот момент?1 км1 км

6

11

12

11

6

1... 12

1...

1S

2S

23 кмII машина I машина

кмa 11

6

1d

п = t – время движения

n

n

S2

)1(6

112

2

nnda

Sn

2

)1(21

кмa 11

12

1d

п = t – время движения

n

n

S2

)1(12

112

1

4) Определите через сколько минут машины будут находиться на

расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в

этот момент?

12SSS n

n

2

)1(6

112

n

n

2

)1(12

112

2

)12

1

12

12()

6

1

6

12(

23

nnnn

2

12

1

12

12

6

1

6

12

23

22nnnnnn

nn4

33

4

1223

2

40464

33

4

1 2nn

0184152

nn

D=225+4∙184=225+736=961

лож

минn

23

)(8

2

3115

2

961152,1

Через 8 мин рассто-

яние между маши-

нами будет 23 км

4) Определите через сколько минут машины будут находиться на

расстоянии 23 км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в

этот момент?

Скорость – это расстояние, проходящее телом за единицу времени

Расстояние проходящее за 8-мую минуту движения

8a 1

1ndaa

n

чкмминкмv /130606

12/

6

127

6

1118

6

11

II машина

I машина

чкмминкмv /956012

71/

12

717

12

1118

12

11

5) Три хутораK, L и N расположены у прямолинейного участка шоссе. От

каждого хутора прямая дорога ведѐт к магазину N. В целях экономии средств

местное самоуправление решило закрыть дороги КМ и NМ для движения и

сохранить только обслуживание дорог КN и LМ. Известно, что на плане с

масштабом 1:30 000 длина отрезка КN составляет 62 мм, расстояние КL и LN

равны, а также МNК = 53 и NКМ = 25 . Определите, на сколько

километров увеличится путь до магазина М для жителей хуторов К и N в связи

с закрытием дорог. Ответ дайте с точностью до 0,01 км.

31

мм

31

мм

К

N

ML 6

2м

м

25

53

Дано: KLMKN=62ммКL=LN

MNK=53NKM=25

M=1:30 000

Найти: KLM-KM или (KL+LM)-KMKLM- NM (NL+LM)-NM

Решение: KL=LN(по условию) 62:2=31(mm)KMN=180 -53 -25 =102 (как сумма углов треугольника)

KNM

KM

NKM

NM

KMN

KN

sinsinsin(по теореме синусов)

)(788,26102sin

25sin62

sin

sinmm

KMN

NKMKNNM

)(622,50102sin

53sin62

sin

sinmm

KMN

KNMKNKM

NKMKMKLKMKLLM cos2222 (по теореме косинусов)

)(059,2625cos622,5031622,503122

mmLM

KLM=NLM=31+26,059=57,059(mm)

KLM-KM=57,059-50,622=6,437(mm)

NLM-KM=57,059-26,788=30,271(mm)

6,437∙30 000=193110(mm)=0,19011≈0,19(км)

30,271∙30 000=908130(mm)=0,90813≈0,91(км)

II Вариант

II Часть

6) Даны функции f(x) = sin 2x и .

1) Докажите справедливость равенства g(x)= - cos x3

cos3

2cos)( xxxg

g(x)= - cos x

3cos

3

2cos xx

sinsincoscos)cos(

xx sin3

2sincos

3

2cos )

3sinsin

3cos(cos xx

xxxx sin2

3cos

2

1sin

2

3cos

2

1

xx coscos1

6) Даны функции f(x) = sin 2x и .

2) Найдите решение уравнения f(x) = - cosx на промежутке [0;2π]3

cos3

2cos)( xxxg

f(x) = - cos x

sin 2x = - cos x sin 2x + cos x = 02sin x cos x + cos x = 0cos x (2sin x + 1) = 0

cos x = 0 2sin x + 1= 0

nx2 на промежутке [0;2π]

20

2xесли п = 0 [0;2π]

если п = 1 2

3

21

2x [0;2π]

если п = 2 2

52

22

2x [0;2π]

Ответ: 2

3;

2

2sin x = - 1

2

1sin x

nxn

61

1

если п = 0 6

06

110

x [0;2π]

если п = 1 6

7

61

61

11x [0;2π]

если п = 2 6

112

62

61

12x [0;2π]

если п = 3 6

193

63

61

13x [0;2π]

6

11;

6

7;

2

3;

2

6) Даны функции f(x) = sin 2x и .

3) В одной системе координат постройте графики функций у =

f(x) и у = g(x). Используя данный чертѐж, решите неравенство

f(x) < g(x) на промежутке [0; 2π].

3cos

3

2cos)( xxxg

у= sin 2x

х 0 π

у 0 1 0 -1 0 0

4 24

3

2

3

х

у

0

1

-1π 2π

24 4

3

у= sin 2x

g(x)= - cos x

х 0 π 2π

у -1 0 1 0 -1

22

3

g(x)= - cos x

на промежутке [0; 2π].

решите неравенство f(x) < g(x)

sin 2x <- cos x

6

11;

2

3

6

7;

2x

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В

расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой

, заданной уравнением х-у+1 =0

1) Вычислите координаты вершины В, С и D прямоугольника АВСD и постройте

прямоугольник АВСD в координатной плоскости.

А(-4; 3) В(0; уВ)

АВ || СDАВ ВС

АВ || СD kAB= kCD

СD : х – у + 1 = 0

СD : у = х+ 1 kCD =1 kАВ =1АВ : kАВ =1 А(-4; 3)

если а||в, то kа= kв

если а в, то kа∙ kв = -1

у – у1= k (х – х1)у – 3 = 1(х + 4)у – 3 = х + 4х – у + 7 = 0

В АВ 0 - уВ+ 7 =0 уВ= 7 В(0; 7)

АВ ВС kAB∙ kВС =-1 1∙ kВС =-1 kВС =-1 и В(0; 7) у – 7 = -1(х -0)у – 7 = - х

ВС : х + у – 7 =0 С ВС хC+ yC – 7= 0

С CD хC – yC + 1= 0

хC = 3 yC + 3 – 7 = 0yC = 4 С(3; 4)

АD || BC kAD= kBC kAD = -1 и А(-4; 3) АD : у - 3 = -1(х + 4)у - 3 = -х - 4х + у + 1 = 0

D AD хD+ yD +1= 0D CD хD – yD + 1= 0

2хD +2 = 0 хD = -1

2хC - 6 = 0

-1 + yD + 1 = 0yD = 0

D(-1; 0)

x

y

0

2

4

6

8

2 4 6 8-2-4-6-8

-2

-4

-6

-8

A

B

C

D

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В

расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой ,

заданной уравнением х-у+1 =0

2) Cоставьте уравнение прямой, на которой лежит диагональ АС прямоугольника.

АС - диагональ

А(-4; 3) С(3; 4)

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

АС

А

АС

А

yy

yy

xx

xxAC :

34

3

43

4:

yxAC

1

3

7

4 yxх+4=7(у - 3)

х+4=7у - 21

7у – х – 25 = 0

АС : 7у – х – 25 = 0 или – х + 7у – 25 = 0 или

7

25xy

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В

расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой

, заданной уравнением х-у+1 =0

3) Вычислите точное значение периметра прямоугольника АВСD.

Р = 2 (АВ + ВС) Р = 2 (а + в)2

12

2

12)()( yyxxdА(-4; 3) С(3; 4) В(0; 7)

22)()(

ABAByyxxAB 22

)37()40(22

44 2432

22)()(

BCBCyyxxBC

22)74()03(

22)3(3 2318

)2324(2P 214272 (ед.)

7) Точка А(-4; 3) является одной из вершин прямоугольника АВСD , вершина В

расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой

, заданной уравнением х-у+1 =0

4) Составьте уравнение окружности, описанного около прямоугольника АВСD.

А В

СD

Оr

(x-x0)2 +(y – y0)

2 = r2

2;

2

21

0

21

0

yyy

xxx

В(0; 7) D(-1; 0)

2;

200

DВDBуу

уxx

x

2

1

2

100

x2

13

2

070

y

2

BDr

2

)70()01(22

2

)7()1(22

2

49125,2

2

25

2

50

222)25,2()

2

13()

2

1( yx

5,12)2

13()

2

1(

22yx

8) Ведѐтся строительство здания, имеющего форму прямоугольного

параллелепипеда, Объѐм которого равен V м2 . Крыша здания является

прямоугольником, одна сторона которого в 2 раза короче другой. Стоимость

одного квадратного метра крыши стоит 1250 кроны. Стоимость одного

квадратного метра одной из двух больших боковых стен здания равна 1000 крон, а

стоимость одного квадратного метра остальных трѐх боковых стен равна 2000

кроны.

1) Определите при каких значениях длины, ширины и высота, выраженных через

объѐм здания V, стоимость данных строительных работ будет минимальной?

B1

А1

D

СВ

А

C1

D1

Дано: АВСD D1 А1 B1 C1

AB<BC в 2 разаV м2 - объёмстоимость 1 м2 крыши = 1250 еекстоимость 1 м2 большей бок. стор. = 1000 еекстоимость 1 м2 ост. бок. стор. = 2000 еекV = 1728 м3

Найти: 1) минимальную стоимость2) стоимость строительства

Решение: пусть АВ = хВС = 2х

B1

А1

D

СВ

А

C1

D1

22 х

V

S

VH

крыши

Sкрыши = х ∙ 2х = 2 х2 (м2) Стоим. = 2 х2 ∙ 1250 = 2500х2(еек)

2.2

2x

VхS

бокболx

V

Стоимость строительства всего здания:

x

V

x

V 20002000Стоим.

x

V

x

V 10001000Стоим.

2..2 x

VхS

бокменьш

x

V

2x

V

x

V 20002000

22Стоим.

fx

V

x

V

x

Vx

2000200010002500

2

x

Vx

50002500

2

Найдём минимальную стоимость строительства всего здания:

f )5000

2500(2

x

Vx )50002500(

12xVx

2

50005000

x

Vx

Найдём критические точки:

05000

50002

x

Vx 0

50005000

2

3

x

Vx 5000 х3 – 5000V = 0

5000 х3 = 5000Vх3 = V

3Vx

f )5000

5000(2

x

Vx )50005000(

2xVx min0

100005000

4x

V

ширинамVxAB )(3

длинамVxBС )(223

высотамV

V

V

x

VН )(

222

3

3 22

2) Вычислите наименьшую стоимость строительных работ, если объѐм здания 1728 м3?

3 217282500f

31728

17285000

= 360000

x

Vxf

50002500

2

+ 720000 = 1 080 000 (еек)

9) Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1 D1 является ромбом

АВСD, тупой угол АВС которого равен и диагональ АС равна d . Диагональ

прямого параллелепипеда DВ1 составляет с основанием угол .

1) Выразите площади диагональных сечений через углы и и диагональ dA1

C1B1

D1

A

B O

D

C

d

Дано: АВСD D1 А1 B1 C1 - прямой параллелепипедАВС = - тупой

АС = dB1 DB =

Найти: SBBDD и SAACC

Решение: ABCD – ромб АВС = АDC = - как противолежащие углы ромба

0

0

1802

2360DCB - как углы ромба

АС – биссектриса BCD – как диагональ ромба 2

902

180 0

0

BCA

Рассм. АВСBCA

ABAC

sinsin- по теореме синусов

)2

90sin(sin 0

ABd

2cos

sin

ABd

sin

2cosd

AB АВ = ВС – как стороны ромба

Рассм. ВОС – прямоугольный, т.к. диагонали ромба перпендикулярны22

COBCBO - по теореме ПифагораСО = АС : 2 (точкой пересечения диагонали делятся пополам)

2

2

2sin

2cos

dd

BO

2

2

2

2cos

2sin2

2cos

dd 2

2

2

2sin2

dd

4

2sin4

2

2

2dd

2sin4

2sin

2

222dd

2sin4

2sin

2

222dd

2sin4

)2

sin1(

2

22d

2sin4

2cos

2

22d

2sin2

2cosd

2tan2

d = ВО

BD = 2∙ВО

2tan

dA1

C1B1

D1

A

B O

D

C

d

Рассм. ВB1D – прямоугольный, т.к. ВB1 ВD (боковая поверхность основанию)

BD

BB1

tan BDBB tan1

2tan

tand

2tan

tand

BDBBSDDBB 111

= Н

2tan

2tan

tan dd

ACBBSCCAA 111

dd

2tan

tan

2tan

tan

2

2d

2tan

tan2

d

2) В данный прямой параллелепипед вписана пирамида OB1KL, вершины K и L которой

являются соответственно серединами рѐбер А1D1 и D1C1 прямого параллелепипеда, а точка

О является точкой пересечения диагоналей ромба АВСD. Найдите отношение объѐмов

пирамиды OB1KL и прямого параллелепипеда

A1

C1B1

D1

A

B O

D

C

d

K

L пирамиды

ипедапараллелеп

V

V

1

1

3

1BBS

BBBCAB

ococ

S

BCAB3

ocS

AB2

3

A1 D1

C1B1

K

L

Рассмотрим ромб А1D1С1В1

LKDLDBKBADCBAоснSSSSS

111111111

22

1111

1111

BDACDBCAS

DCBA

2

2tan

dd

2tan2

dd

2tan2

2d

sin2

1abS

1111sin

2

1

11

AKABASKBA

sinsin2

2cos

sin

2cos

2

1dd

2

22

sin4

sin2

cosd

sin4

2cos

22d

LBCKBASSLBCKBA

11111111

А1В1=В1С1-как стороны ромба

А1K1=C1L- по условию

А1= С1- как противоположные углы ромба

111sin

2

1

1

DLDKDSLKD sin

222

1 ABAB

)180sin(22

1 0ABAB

sin8

2AB

sinsin8

2cos

2

22d

sin8

2cos

22d

sin8

2cos

sin4

2cos

2

2tan2

22222 dd

dSосн

sin8

2

cos1

sin2

2

cos1

cos1

sin2

222 dd

d

sin16

)cos1(

sin4

)cos1(

sin2

)cos1(222

ddd

sin16

coscos44cos88222222

dddddd

sin16

cos3322

dd

sin16

)cos1(32

d

sin

cos1

16

32

d

2cot

16

32

d

2tan16

32

d

cossin22sin

cos

sintan

tan

1cot

sin

cos1

2cot

2

cos1

2cos

cos1

sin

2tan

пирамиды

ипедапараллелеп

V

V

ocS

AB2

3

2tan16

3:

sin

2cos3 2

2

22

dd

22

22

sin3

2tan16

2cos3

d

d

2

2

sin

2cos

2sin

2cos16

2sin

2sin

2cos16

2sin

sin8

sin

8

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной

3) Докажите, что C1О перпендикулярна ВD.

A1

C1B1

D1

A

B

O D

C

C1С СО , т.к. боковая поверхность основанию

CО BD , т.к. диагонали ромба

CО BD по теореме о 3-х перпендикулярах