第 13 讲 Lusin 定理

第第 1313 讲讲 LusinLusin 定理定理

目的：通过本讲的学习，使学生了解 Lusin 定理的科学意义。懂得如何从熟悉的理论或现象中寻找新的东西，发现一般规律。学会从分析中寻求所要的证明。

重点与难点：从熟悉的理论出发发现 Lusin 定理；寻求 Lusin 定理的证明。


基本内容：一．一般集合上的连续函数（ 1 ）回忆闭区间上连续函数的性质。最大最小值原理、介值定理、 Weirstrass

定理回忆前一章，对任意可测集 E 及任意可以找到闭集，使0 EF )( FEm


（见第二章 §2 定理 3 的证明）。因此，如果函数序列在 E 上几乎处处收敛到

, 且几乎处处有限，则我们可以先利用 Egoroff 定理，找一个集合

使在上一致收敛到，然而再找闭集，使

限制在上当然

)}({ xfn

)(xf )(xf

,EE

)( 2/)( xfEEm n，且 )(xf

E

EF )( 2/)( xfFEm n， F


也是一致收敛到的，并且

这说明， Egoroff 定理（ ii ）中的可以取成闭集。假如我们已经定义了闭集上的连续函数概念，便可以将数学分析中有关闭区间上的边续函数及其序列的许多结论搬到这里来。例如，闭集上一致收敛的连续函数序列的极限应该也是连

)(xf

)()()( FEmEEmFEm

E


续的。为此，我们先来定义一般可测集上连续函数的概念。

（ 2 ）一般可测集上连续函数的定义。

问题 1 ：如何修改区间上连续函数的定义，使其适合一般可测集？


定义 1 设 E 是中的点集，是定义在 E上的函数，，如果对于任意，存在，使得当时，有

则称在点相对于 E 连接。如果对任意点相对于 E 连续，则

称在 E 上处处连续，或说是 E 上的连续

nR )(xf

Ex 00

0 ),( 0 xOEx ,|)()(| 0 xfxf

)(xf 0x

xxfEx 在)(,


函数。这里应该提醒注意，此处所说的连续性是

与某个特定集合 E 有关的，相对于不同的集合，连续性就不一样了。

例如 [0 ， 1] 上的函数。

）（

0

1)(~

Qx

QxxD


处处不连续，这里的连续性是相对于集合[0 ， 1] 而言的。例如取 E=[0 ， 1]-Q ，将D(x) 看作 E 上的函数，则 D(x) 恒等于 0 ，它当然是 E 上的连续函数。这就是说，同一个函数，将其看作定义在某个集 E 上的函数可能是连续的，若将其看作定义在另一个集 E 上的函数，则可能是不连续的。此外，根据定义 1 ，如果是 E 的孤立点，

0x


则一定在相对于 E 连续。正是由于函数的连续性能是一个相对概

念，所以几乎处处连续就可能有多种含义。如果是 E 上的函数，称在 E上几乎处处连续是什么意思呢？按几乎处处的定义，在去掉中一个零测集后是连续的，那么这个连续性是相对于哪个集合而言的呢？显然，相对于 E 而

)(xf

)(xf )(xf

)(xf


言和相对于 E 去掉一个零测集后的集合而言，连续性是不一样的。仍以上述函数

为例。记是 [0,1] 去掉一个零测集后得到的集合。如果将

看作上的函数，则在 E 上处处连续；如果将仍看作 [0,1] 上的函数，则对任意，在点不连续。所以，

)(~

xD EQE ， ]1,0[ )(

~

xD

)(~

xD

)(~

xDEx 0 )(

~

xD 0x


如果我们要说函数的几乎处处连续性，一定要指明相对于哪能个集合而言。

（ 3 ）连续函数序列的极限问题 2 ：回忆区间上连续函数序列的一致

收敛极限的性质，这一性质在一般可测集上是否仍成立？


引理 1 假设是闭集，是 F 上的连续函数序列，且一致收敛到则在 F 上连续。

证明：对任意，由下列不等式

nRF )(xfn，)(xf )(xf

Fxx 0，

|)()(|

|)()(|

|)()(||)()(|

00

0

0

xfxf

xfxf

xfxfxfxf

n

nn

n


以及的连续性与一致收敛性易得证明。二． Lusin 定理（第一形式）（ 1 ）定理的建立问题 3 ： Weirstrass 定理及 Fourier 级

数的本质是什么？问题 4 ：一般可测集上哪些函数可以被认

为是比较简单的函数？

)(xfn


问题 5 ：回忆 Egoroff 定理，从中可以发现什么？

问题 6 ：何种简单函数是连续函数？对于一般的简单函数如何用连续函数逼近？按何种方式逼近？


问题 7 ：从以上分析，可以得到什么样的结论？

定义了一般集上的连续函数概念，自然希望弄清楚连续函数与可测函数是什么关系。从连续函数的定义不难看出，可测集上的任一连续函数都可以用简单


函数来逼近，因而连续函数一定是可测函数，反之则不然。但是从前面的分析，我们可以粗略地发现，对任意可测集上的可测函数，类似定理 1 的证明可作简单函数序列，使处处收敛到，由 Egoroff 定理，对任意，可以找到，使

在上一致收敛到

)(xf),,1()( niin kiExcx

)(xn )(xf

0 EE

nEEm ， )(E )(xf


此处可以取成闭集，由引理 1 ，只要能证明在一个测度充分接近的闭子集

上连续，则的一致收敛性便可知在上连续，这正是鲁津（ Lusin ）定

理证明的基本思想。

EEn

)(xn

)(xfF

F


定理 2 （ Lusin ）设 E 是有限测度集，是E 上几乎处处有限的可测函数，则对任意

，存在闭集，使

是上的连续函数。证明：由于可测函数是简单函数的极限，

)(xf

0 EF

)( (i) FEm

)( (ii) xf


所以先考察简单函数。设，任意，（任意），

。对每个，可以找到闭集，使，令

，则仍是闭集，且

icxf )(iEx ji EE

ji n

iiEE

1 iE

ii EF nFEm ii /)(

n

iiFF

1

F

n

iii FEmFEm

1)]([)(


往证是上的连续函数。事实上，设，则存在，使得，由于是互不相交的闭集，所以存在

，使得（任意），取，则当时，必有

，从而在上是常数，因此在每一点连续。

)(xfF

Fx 0 ni 000 iFx

iF

00 00 ),( jFxd 0ij 0 FxOx ),( 0

0i

Fx )(xf FxO ),( 0 )(xf Fx 0


若是可测函数，不妨设在 E 上处处有限，否则可去掉一个零测集，则存在简单函数序列，使

，由 Egoroff 定理知对任意，存在，使

且在上一致收敛到。由上面的证明，对任意及

)(xf )(xf

1)}({ nn x

]E[..)()( eaxfxn )2/(0 EE

2/)( EEm n Ef 0


每个 n ，存在闭集，使得，且是上的连续函数。

记，则是闭集，且在上显然也是一致收敛到的，由

在上的连续性知在上连续，显然

EFn

12/)( nnFEm

n nF

1nnFF

F

)(xn F )(xf

n nFF )(xf F


定理证毕。

1)(

2

)()()(

nnFEm

FEmEEmFEm


问题 7 ：从以上分析，可以得到什么样的结论？

1 证明闭集上的简单函数为连续函数。2 将 Egoroff 定理中的 Eδ取为闭集。


三． Lusin 定理（第二形式）（ 1 ）通常意义下的连续函数与可测集

上连续函数的比较问题 9：第一形式的 Lusin定理有何缺陷？


问题 10 ：回忆闭集的构造，有界闭集上的连续函数如何扩张到全空间？

问题 11 ：无界闭集上的连续函数如何扩张？


值得注意的是，定理 1 指的是限制E 的一个闭子集上可以是连续的，然而我们对一般闭集上的连续函数远不象对区间或区域上的函数那样直观易理解，所以我们总是希望用通常意义下的连续函数来描述可测函数。这就是说，对 E 上任意可测函数，我们能不能找到上的连续函数，使得它们在 E 的一个测度

)(xf

nR


充分接近mE 的闭子集上相等？由定理1 ，这等价于说，闭集上的连续函数可不可以连续地延拓到上？下面我们对情形来讨论这个问题。

（ 2 ） Lusin 定理（第二形式）的叙述*定理 3 设 E 是中的有界可测集，是 E 上几乎处处有限的可测函数，则对

FnR

1n

1R )(xf


任意，存在闭集及上连续函数，使

，即任意，有此外，若（任意） , 则还可以要求，（任意）。（ 3 ） Lusin 定理（第二形式）的证明

0 EF )(xg

1R

FF gf || (i) Fx ；)()( xgxf 。 )( (ii) FEm

Mxf |)(|

ExMxg |)(|

1Rx


证明：由定理 2 ，对任意，存在闭集，使限制在上连续，且

，下面的问题是如何将连续延拓到上。记

则，由闭集的构造知是从中挖去至多可数个互不相交的开区

0EF )(xf F

)( FEm Ff |

1R

}|sup{},|inf{ FxxFxxa ),(],[ baaF

],[ a


间后剩下的集合，记挖去的开区间为，则对任意，由于，所以，有定义，我们首先作上的函

数如下

,2,1),,( iba ii

1),(],[

iii baaF

),( ii ba Fba ii ,

)( iaf )( ibf ],[ a

)(xg


显然对任意及任意，在点连续，而当时，对任意，存在使得只要，就有

),()(

)()()(

)()(

iiiii

iii baxax

ab

afbfaf

Fxxfxg

i ),(0 ii bax )(xg0x

Fx 0 00 FxOx ),( 0

|)()(||)()(| 00 xfxfxgxg


若是的孤立点，则是某两个区间与的公共端点，即，或，无论何种情形，在的左、右附近均是线性函数，它当然是连续的。

若不是的孤立点，则含中无穷多个点，因此不是任何两个开区间，的公共端点。若

0x F 0x

),( ii ba ),( jj ba ji ba

ji ab )(xg 0x

0x F FxO ),( 0

F 0x

),( ii ba ),( jj ba


在某个区间中，则，如果，则，故在点右连续，若，即，则

。于是对任意开区间，或者，或者，而当

时，由在上是线性函数及

0x ),( ii ba 0xai 0xai ),(, 00 ii baxx g

0x 0xai 0xai

],(),(, 000 iii axbaxx ),( jj ba ],(),( 0 ijj axba

],(),( 0 ijj axba ],(),( 0 ijj axba

)(xg ),( jj ba


立知（任意），进而任意，有。如果

，则对任意，或者 , 或者类似可证（任

， |)()(| 0 jagxg |)()(| 0 jagxg |)()(| jagxg ),( jj bax

],( 0 iaxx |)()(| jagxg

Fx 0 ),( ii ba

),(),( 00 ii baxx ),(),( 00 xxba ii

|)()(| jagxg ),( 00 xxx


总之在点是右连续的。同理可证在点是左连续。于是在点连续。

这样，我们将连续地延拓到了上，接下来的事情就简单了，取，并令

)(xg 0x )(xg

0x )(xg 0x

Fxf |)(

],[ a ，ac

d


显然在上连续，且从而当时，有证毕。

],[)()(

],[)()(

),(),(0

],[)(

)(~

dxxdg

acxcxcaag

dcx

axxg

xg

~

g 1R ，|)(|sup|)(|~

xfxgFx

Mxf |)(| 。Mxg |)(|~


作业： P78 16， 19， 20

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