Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)

www.siap-osn.blogspot.com @ Juli 2014

SD.A 2 SMPN 1 Tambelangan

Soal dan Pembahasan OMVN 2013 SMP Babak Penyisihan / Page 1

Download Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika SMP Lainnya di “ www.siap-osn.blogspot.com ”

SOAL DAN PEMBAHASAN

OLIMPIADE MATEMATIKA VEKTOR NASIONAL 2013 SMP (OMVN 2013)

BABAK PENYISIHAN ( BAGIAN 1 )

BAGIAN 1

Berikan jawaban akhir!

1. Terdapat tiga lingkaran berjari-jari 𝑟 yang disusun sedemikian hingga setiap lingkaran melalui dua titik pusat

lingkaran yang lain. Berapakah luas daerah perpotongan ketiga lingkaran tersebut?

Pembahasan :

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑚𝑏𝑎𝑟 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶

𝐵𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖𝑕𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶

𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 , 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶

∠𝐴 = ∠𝐵 = ∠𝐶 = 60𝑜

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 𝑟

𝑂𝐵 = 𝑂𝐶 =1

2 .𝐵𝐶 =

1

2 . 𝑟 =

𝑟

2

𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐵 = 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐴𝐶 = 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝐽𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 ∶

𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 =60

360 .𝜋 . 𝑟2

=𝜋𝑟2

6

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝑂𝐵 ∶

𝑂𝐴 = 𝐴𝐵2 −𝑂𝐵2

= 𝑟2 − 𝑟

2

2

= 𝑟2 −𝑟2

4

= 3𝑟2

4

= 3 𝑟

2

http://www.siap-osn.blogspot.com/






𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝐴𝐵𝐶 ∶

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 =1

2 .𝐵𝐶 .𝑂𝐴

=1

2 . 𝑟 .

3 𝑟

2

= 3 𝑟2

4

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶 ∶

𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐴𝐵𝐶 − 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶

=𝜋𝑟2

6− 3 𝑟2

4

𝐿𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 = 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵𝐶 + 𝟑 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐶

= 3 𝑟2

4+ 𝟑 .

𝜋𝑟2

6− 3 𝑟2

4

= 3 𝑟2

4+𝜋𝑟2

2−

3 3 𝑟2

4

=𝜋𝑟2

2−

2 3 𝑟2

4

=𝜋𝑟2

2− 3 𝑟2

2

= 𝜋− 3 𝑟2

2

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑜𝑡𝑜𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝜋− 3 𝑟2

2

2. 1 +1

2+

2

2+

1

2+

1

3+

2

3+

3

3+

2

3+

1

3+⋯+

1

2013+

2

2013+⋯+

2013

2013+⋯+

2

2013+

1

2013= ⋯

Pembahasan :

1 +1

2+

2

2+

1

2+

1

3+

2

3+

3

3+

2

3+

1

3+⋯+

1

2013+

2

2013+⋯+

2013

2013+⋯+

2

2013+

1

2013

= 1 +1+2+1

2+

1+2+3+2+1

3+⋯+

1+2+⋯+2013+⋯+2+1

2013

= 1 +4

2+

9

3+⋯+

1+2+⋯+2013+⋯+2+1

2013

= 1 + 2 + 3 +⋯+ 2013

=2013 . 2013+1

2

=2013 .2014

2

= 2013 .1007

= 2027091

3. Untuk suatu bilangan tak negatif, 2013𝑥 bersisa 7 ketika dibagi 10 . Berapakah sisa pembagian dari 2013𝑥

dibagi 1342 ?







Pembahasan :

31 = 3

32 = 9

33 = ⋯7 → 33 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 7 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 10

20133 = ⋯7 → 20133 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑖𝑠𝑎 7 𝑘𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 10

𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑑𝑒𝑚𝑖𝑘𝑖𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥 = 3

2013𝑥 = 2013 . 3

= 6039 → 6039 = 4 .1342 + 671

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑚𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 2013𝑥 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 1342 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 671

4. Persegi ABCD mempunyai luas 256 𝑐𝑚2 . Titik E adalah titik tengah sisi AD dan F adalah titik tengah EC.

Misalkan I adalah bisektor tegak lurus (garis sumbu) dari EC, dan I memotong AB di G. Berapa luas daerah

segitiga CEG ?

Pembahasan :


𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 ∶

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 = 256 = 16

𝐴𝐸 = 𝐷𝐸 =1

2 .𝐴𝐷 =

1

2 .16 = 8

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐸𝐴𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝐼𝐺 ∶

𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐸𝐴𝐺 𝑑𝑎𝑛 𝐸𝐼𝐺 𝑚𝑒𝑚𝑖𝑙𝑖𝑘𝑖 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑖𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑦𝑎𝑖𝑡𝑢 𝐸𝐺 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘

𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔 𝐺𝐴𝐸𝐼 , 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶

𝐸𝐼 = 𝐴𝐸

𝐺𝐼 = 𝐴𝐺

𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶

𝐺𝐼 = 𝐴𝐺 = 𝑥

𝐵𝐺 = 𝐴𝐵 − 𝐴𝐺 = 16− 𝑥

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐶𝐷𝐸 ∶

𝐶𝐸 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐸2

= 162 + 82







= 256 + 64

= 320

= 64 .5

= 8 5

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐸𝐴𝐺 + 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐵𝐺 + 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 + 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐷𝐸 = 𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷

1

2 .𝐴𝐸 .𝐴𝐺 +

1

2 .𝐶𝐵 .𝐵𝐺 +

1

2 .𝐶𝐸 .𝐺𝐼 +

1

2 .𝐶𝐷 .𝐷𝐸 = 256

1

2 .8 .𝑥 +

1

2 .16 . 16− 𝑥 +

1

2 .8 5 . 𝑥 +

1

2 .16 .8 = 256

4𝑥 + 8 . 16− 𝑥 + 4 5 𝑥 + 64 = 256

4𝑥 + 128− 8𝑥 + 4 5 𝑥 + 64 = 256

4 5 𝑥 − 4𝑥 + 192 = 256

4 5 𝑥 − 4𝑥 = 256− 192

4 5 − 4 𝑥 = 64

𝑥 =64

4 5 −4

𝑥 =64

4 5 −1

𝑥 =16

5 −1 . 5+1

5+1

𝑥 =16 . 5+1

5 2

−12

𝑥 =16 . 5+1

5 −1

𝑥 =16 . 5+1

4

𝑥 = 4 . 5 + 1

𝑥 = 4 5 + 4

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 =1

2 .𝐶𝐸 .𝐺𝐼

=1

2 .8 5 . 𝑥

=1

2 .8 5 . 4 5 + 4

= 4 5 . 4 5 + 4

= 16 .5 + 16 5

= 80 + 16 5

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐸𝐺 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 80 + 16 5 𝑐𝑚2

5. Tom, Rian, Yaya, Dzeko, dan Paijo akan melakukan suatu permainan dan membutuhkan 15 bola. Yaya membawa

bola sejumlah kelipatan tiga. Jika masing-masing dari mereka paling sedikit membawa satu bola, banyak cara

mereka membawa bola adalah …







Pembahasan :

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶

𝐵𝑜𝑙𝑎 𝑘𝑒𝑙𝑜𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3 𝑆𝑖𝑠𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑌𝑎𝑦𝑎 𝑇𝑜𝑚 𝑅𝑖𝑎𝑛 𝐷𝑧𝑒𝑘𝑜 𝑃𝑎𝑖𝑗𝑜

3

9 1 1 1 4!

3!= 4

8 2 1 1 4!

2!= 12

7 3 1 1 4!

2!= 12

7 2 2 1 4!

2!= 12

6 4 1 1 4!

2!= 12

6 3 2 1 4! = 24

6 2 2 2 4!

3!= 4

5 5 1 1 4!

2! .2!= 6

5 4 2 1 4! = 24

5 3 3 1 4!

2!= 12

5 3 2 2 4!

2!= 12

4 4 3 1 4!

2!= 12

4 4 2 2 4!

2! .2!= 6

4 3 3 2 4!

2!= 12

3 3 3 3 1

6

6 1 1 1 4!

3!= 4

5 2 1 1 4!

2!= 12

4 3 1 1 4!

2!= 12

4 2 2 1 4!

2!= 12

3 3 2 1 4!

2!= 12

3 2 2 2 4!

3!= 4

9

3 1 1 1 4!

3!= 4

2 2 1 1 4!

2! .2!= 6

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 231

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑒𝑘𝑎 𝑚𝑒𝑚𝑏𝑎𝑤𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 231







6. 12 − 22 + 32 − 42 +⋯+ 20112 − 20122 + 20132 = ⋯

Pembahasan :

12 − 22 + 32 − 42 +⋯+ 20112 − 20122 + 20132

= 12 −22 + 32 − 42 + 52 −⋯− 20122 + 20132 2012 𝑠𝑢𝑘𝑢

= 12 +32 − 22 + 52 − 42 +⋯+ 20132 − 20122 2012 𝑠𝑢𝑘𝑢

= 1 + 3− 2 . 3 + 2 + 5− 4 . 5 + 4 +⋯+ 2013− 2012 . 2013 + 2012 2012

2 = 1006 𝑠𝑢𝑘𝑢

= 1 + 1 . 5 + 1 . 9 +⋯+ 1 . 4025 1006 𝑠𝑢𝑘𝑢

= 1+ 5 + 9 +⋯+ 4025 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎

= 1 + 1006

2 . 5 + 4025

= 1 + 503 . 4030

= 1 + 2027090

= 2027091

7. Dari gambar dibawah ini, berapakah luas daerah yang diarsir?

Pembahasan :


𝐵𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑙𝑖𝑕𝑎𝑡 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 ∶

𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐺 = 7

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 = 72 + 72 = 49 + 49 = 49 .2 = 7 2







𝑀𝑖𝑠𝑎𝑙𝑘𝑎𝑛 ∶

𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐺𝐸 = 𝑟

𝐴𝐸 = 𝐴𝐶 − 𝐶𝐺 − 𝐺𝐸 = 7 2− 7− 𝑟

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑢𝑎 𝑏𝑢𝑎𝑕 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐴𝐹𝐸 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ∶

𝐴𝐹

𝐴𝐵=

𝐴𝐸

𝐴𝐶

𝑟

7=

7 2−7−𝑟

7 2

7 2 . 𝑟 = 7 . 7 2− 7− 𝑟

7 2 𝑟 = 49 2− 49− 7𝑟

7 2 𝑟 + 7𝑟 = 49 2− 49

7 2 + 7 𝑟 = 49 2− 49

𝑟 =49 2−49

7 2+7

𝑟 =7 7 2−7

7 2+1

𝑟 =7 2−7

2+1 . 2−1

2−1

𝑟 = 7 2−7 . 2−1

2 2−12

𝑟 =7 .2−7 2−7 2+7

2−1

𝑟 =14−14 2+7

1

𝑟 = 21− 14 2 → 𝐴𝐹 = 𝐸𝐹 = 𝐺𝐸 = 𝑟 = 21− 14 2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 ∶

𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐴𝐵 .𝐵𝐶

= 7 .7

= 49

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 ∶

𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 =90

360 .𝜋 .𝑅2

=1

4 .𝜋 .𝐶𝐺2

=1

4 .

22

7 . 72

=77

2







𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐵𝐶𝐷 ∶

𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶𝐷 =1

2 .𝐵𝐶 .𝐶𝐷

=1

2 . 7 .7

=49

2

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 ∶

𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 = 𝐿𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝐵𝐶𝐷 − 𝐿𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶𝐷

=77

2−

49

2

=28

2

= 14

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 ∶

𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙 = 𝜋 . 𝑟2

= 𝜋 .𝐸𝐹2

=22

7 . 21− 14 2

2

=22

7 . 441− 588 2 + 196 .2

=22

7 . 441− 588 2 + 392

=22

7 . 833− 588 2

= 2618− 1848 2

𝐿𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎 𝑕 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 𝐿𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 2 . 𝐿𝑡𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑒𝑛𝑔 𝐵𝐷 − 2 . 𝐿𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙

= 49− 2 . 14− 2 . 2618− 1848 2

= 49− 28− 5236 + 3696 2

= −5215 + 3696 2

= 3696 2− 5215

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑒𝑟𝑎𝑕 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 3696 2− 5215 𝑐𝑚2

8. Suatu bilangan disebut torec apabila :

a. Memiliki 8 digit

b. Terdiri dari digit digit 2, 0, 1, dan 3 masing-masing tepat dua.

Contoh : Bilangan 20132013 adalah torec.

Banyak bilangan torec yang habis dibagi 11 adalah …

Pembahasan :

𝑇𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡,𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘

𝑏𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑛𝑜𝑙

𝑆𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 8 𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡 "𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓𝑔𝑕" 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11 𝑗𝑖𝑘𝑎 ∶

𝑕𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑑𝑎𝑟𝑖 ∶ 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑 + 𝑒 − 𝑓 + 𝑔 − 𝑕 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11







𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑘𝑢𝑡 ∶

𝐵𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝐾𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

𝐴𝑛𝑔𝑘𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓

𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑐𝑎𝑟𝑎

𝑝𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘

𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑦𝑢𝑠𝑢𝑛𝑎𝑛

20132013 2− 0 + 1 − 3 + 2 − 0 + 1 − 3 = 0 0 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠

𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11

2, 1, 2, 1 4!

2! .2!= 6

6 .6 = 36

0, 3, 0, 3 4!

2! .2!= 6

32013201 3− 2 + 0 − 1 + 3 − 2 + 0 − 1 = 0 0 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠


3, 0, 3, 0 3!

2!= 3

3 .6 = 18

2, 1, 2, 1 4!

2! .2!= 6

33221100 3− 3 + 2 − 2 + 1 − 1 + 0 − 0 = 0 0 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠


3, 2, 1, 0 3 .3! = 18

18 .24 = 432

3, 2, 1, 0 4! = 24

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑖𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 = 36 + 18 + 432 = 486

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡𝑜𝑟𝑒𝑐 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 11 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 486

9. Bola 𝐴 dan bola 𝐵 digantung pada suatu kawat lurus seperti pada gambar berikut.

Diameter lingkaran pertama dan kedua berturut-turut adalah 8 dan 18. Jika jarak ujung tali 𝑙 dan 𝑛 pada kawat

adalah 5 dan panjang tali 𝑙 adalah 10, maka panjang minimum tali 𝑛 agar kedua tali bisa sejajar dan bola tidak

saling menekan adalah …

Pembahasan :








𝐷𝑖𝑘𝑒𝑡𝑎𝑕𝑢𝑖 ∶

𝐴𝐹 = 𝐷𝐸 =1

2 .8 = 4

𝐵𝐶 =1

2 .18 = 9

𝐴𝐵 = 𝐴𝐹 + 𝐵𝐶 = 4 + 9 = 13

𝐸𝐹 = 𝐴𝐷 = 5

𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑙 = 10

𝑃𝑒𝑟𝑕𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝑠𝑖𝑘𝑢 𝐴𝐷𝐵 ∶

𝐵𝐷 = 𝐴𝐵2 − 𝐴𝐷2

= 132 − 52

= 169− 25

= 144

= 12

𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 − 𝐵𝐶

= 12− 9

= 3

𝑃𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑛 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑙 + 𝐷𝐸 + 𝐶𝐷

= 10 + 4 + 3

= 17

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑢𝑚 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑛 𝑎𝑔𝑎𝑟 𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑡𝑎𝑙𝑖 𝑏𝑖𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑑𝑎𝑛 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑛𝑒𝑘𝑎𝑛

𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 17

10. Barisan 1, 2,−3, 4, 5,−6, 7, 8,−9,… ,𝑘 memiliki rata-rata 2013. Nilai 𝑘 yang merupakan suku terakhir dari

barisan tersebut jika 𝑘 habis dibagi 27 adalah …

Pembahasan :

𝐾𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑘 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 27, 𝑖𝑛𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑢𝑛𝑗𝑢𝑘𝑘𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑕𝑤𝑎 𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 3, 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶

1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −𝑘

𝑘= 2013

1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ 𝑘−1 + −𝑘

𝑘= 2013

1+2+4+5+7+8+⋯+ 𝑘−1 + −3 + −6 + −9 + −𝑘

𝑘= 2013

1+2+4+5+7+8+⋯+ 𝑘−1 −3−6−9−⋯−𝑘

𝑘= 2013

1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+ 𝑘−1 +𝑘−3−6−9−⋯−𝑘−3−6−9−⋯−𝑘

𝑘= 2013

1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+𝑘− 3+6+9+⋯+𝑘+3+6+9+⋯+𝑘

𝑘= 2013







1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+𝑘−2 . 3+6+9+⋯+𝑘

𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎

𝑘= 2013

𝑘 . 𝑘+1

2−2 .

𝑘32

. 3+𝑘

𝑘= 2013

𝑘2+𝑘

2−

𝑘

3 . 3+𝑘

𝑘= 2013

𝑘2+𝑘

2−𝑘−

𝑘2

3

𝑘= 2013

3 . 𝑘2+𝑘

6−

6𝑘

6−

2𝑘2

6

𝑘= 2013

3𝑘2+3𝑘

6−

6𝑘

6−

2𝑘2

6

𝑘= 2013

3𝑘2+3𝑘−6𝑘−2𝑘2

6

𝑘= 2013

𝑘2−3𝑘

6𝑘= 2013

𝑘 𝑘−3

6𝑘= 2013

𝑘−3

6= 2013

𝑘 − 3 = 6 . 2013

𝑘 − 3 = 12078

𝑘 = 12078 + 3

𝑘 = 12081

𝐽𝑎𝑑𝑖 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑟𝑢𝑝𝑎𝑘𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑡𝑒𝑟𝑎𝑘𝑕𝑖𝑟 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎𝑕 12081

PENGECEKAN SOAL NO. 10

𝐷𝑖𝑝𝑒𝑟𝑜𝑙𝑒𝑕 𝑘 = 12081 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 ∶

1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −𝑘

𝑘=

1+2+ −3 +4+5+ −6 +7+8+ −9 +⋯+ −12081

12081

=1+2+4+5+7+8+⋯+12080 + −3 + −6 + −9 +⋯+ −12081

12081

=1+2+4+5+7+8+⋯+12080−3−6−9−⋯−12081

12081

=1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+12080 +12081−3−6−9−⋯−12081−3−6−9−⋯−12081

12081

=1+2+3+4+5+6+7+8+9+⋯+12080 +12081−2. 3+6+9+⋯+12081

𝑑𝑒𝑟𝑒𝑡 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎

12081

=

12081 . 12081 +1

2−2.

1208132

. 3+12081

12081







=12081 .12082

2−

12081

3 .12084

12081

=12081 .6041−12081 .4028

12081

=12081 . 6041−4028

12081

=12081 .2013

12081

= 2013 (𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟)

𝑇𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 𝑘 = 12081 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 27 ,𝑚𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑘𝑎𝑛 𝑘 = 12081 𝑕𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 3 𝑠𝑒𝑕𝑖𝑛𝑔𝑔𝑎 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛

𝑠𝑜𝑎𝑙 𝑕𝑎𝑟𝑢𝑠 𝑑𝑖𝑟𝑎𝑙𝑎𝑡 ∶

Barisan 1, 2,−3, 4, 5,−6, 7, 8,−9,… ,𝑘 memiliki rata-rata 2013. Nilai 𝑘 yang merupakan suku terakhir dari

barisan tersebut jika 𝑘 habis dibagi 3 adalah …

11. Pada posting berikutnya di : www.siap-osn.blogspot.com



Education

Soal dan pembahasan olimpiade matematika vektor nasional 2013 smp (omvn 2013) babak penyisihan (bagian 1 1 10 2)