laberintos e infinitos

¿Matematicas al cubo? O ¿Cubo a las matematicas?

Edgar Sanchez EsquivelEstudiante de Matematicas Aplicadas y Actuarıa del ITAM

El cubo de Rubik fue creado en 1974 por el IngenieroErno Rubik, quien originalmente buscaba construir unmodelo que permitiera a sus alumnos de arquitecturacomprender la geometrıa en 3 dimensiones; sin embargonunca imagino que ese “modelo” revolucionarıa la vida demuchas personas.

El Cubo de Rubik es un rompecabezas de movimientosecuencial; cada una de sus 6 caras esta cubierta por 9calcomanıas de un color de los 6 tradicionales (blanco,amarillo, azul, verde, anaranjado y rojo). Un mecanismointerno le permite al jugador mover cada una de las carasde forma independiente, provocando que se mezclen loscolores. Se considera que el cubo ha sido resuelto si cadauna de las caras forma un color solido.

Adentrandose al misterio

El cubo de Rubik posee 8 piezas-vertice y 12 piezas-arista, lo cual posibilita una infinidad deposiciones diferentes.

Dado que las piezas centrales del cubo no se mueven, el numero de configuraciones posiblesse calcula simplemente multiplicando el numero de arreglos generados por las piezas-verticepor el generado por las piezas-arista.

Tenemos 8 piezas-vertice, ası que el numero de arreglosposibles es 8!. Por otro lado, cada pieza-vertice cuentacon 3 posibles orientaciones, lo que sugiere que debemosmultiplicar el numero anterior por 38; sin embargo cuan-do estamos a punto de resolver el cubo, el numero demovimientos disminuye, por lo que debemos ajustar elcalculo. Una vez que una de las dos piezas-vertice restantespara resolver el cubo ha sido acomodada, la otra piezasolo puede tener una orientacion de forma automatica, portanto necesitamos dividir por tres.

Por otro lado, contamos con 12 piezas-arista, esto implica un numero de arreglos posibles de12!; sin embargo, a diferencia de las pieza-vertice, es imposible intercambiar solamente dos

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Aterrizando ideas

piezas-arista, por tanto una vez que una de las tres piezas-arista restantes para resolver elcubo es colocada en su lugar, las dos restantes solo pueden tener un arreglo, es decir, necesi-tamos dividir por dos.

Continuando con el calculo; cada una de las piezas-arista tiene dos posibles orientaciones,por esto debemos multiplicar por 212; pero nuevamente es necesario ajustar este numero, yaque cuando acomodamos una de tres piezas-arista faltantes, solo una de las dos restantespuede ser reorientada y la otra tendra una orientacion fija en relacion a la anterior; entoncesnecesitamos dividir por dos.

Resumiendo, el numero total de arreglos posibles es:((8!)(38)

3

) (( 12!

2 )( 212

2 ))

= 43, 252, 003, 274, 489, 856, 000

= 227 314 53 7211

¿Cuanto cabe en un cubo de 5.73cm3?

Resulta impresionante que un “cubito” pueda contener tantas matematicas. A continuacionse presenta una pequena “salpicada”.

Algunas definiciones

−Ciclo

Sea σ : X → X un ciclo, y sea S = {s0, s1, ..., sk−1} un conjunto dado.

Definimos σ(si) = σ(si+1) para 0 ≤ i ≤ k que se puede representar por el siguiente diagra-ma : s0 7→ s1 7→ s2 7→ ... 7→ sk−1 7→ sk = s0 y en una notacion mas compacta tenemos:σ = (s0, s1, ..., sk−1)

−Grafo de Cayley

Sea G un grupo, S un conjunto generador de G. El grafo de Cayley Γ = Γ(G,S) es un grafodirigido coloreado construido como sigue:

A cada elemento g ∈ G se le asigna un vertice.

A cada elemento s ∈ S se le asigna un color cs.

Para cualesquiera g ∈ G, s ∈ S, los vertices correspondientes a los elementos g y s seunen por una arista dirigida del color cs.

El objetivo de este grafo es decodificar la estructura de un grupo discreto, y utiliza por logeneral un grupo finito de generadores del grupo en cuestion.

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Una traduccion al lenguaje matematico

El cubo de Rubik cuenta con 6 caras, cada una con 9 casillas, sumando da un total de 54casillas, que etiquetaremos como sigue:

Donde las letras u, l, d, f, r, b hacen referencia a cada una de las caras del cubo (u=up, l=left,d=down, f=front, r=right, b=back).

Entonces los generadores de los movimientos en sentido de las manecillas del reloj son (ennotacion de ciclos):

F = (17 19 24 22)(18 21 23 20)(6 25 43 16)(7 28 42 13)(8 30 41 11)

B = (33 35 40 38)(34 37 39 36)(3 9 46 32)(2 12 47 29)(1 14 48 27)

L = (9 11 16 14)(10 13 15 12)(1 17 41 40)(4 20 44 37)(6 22 46 35)

R = (25 27 32 30)(26 29 31 28)(3 38 43 19)(5 36 45 21)(8 33 48 24)

U = (1 3 8 6)(2 5 7 4)(9 33 25 17)(10 34 26 18)(11 35 27 19)

D = (41 43 48 46)(42 45 47 44)(14 22 30 38)(15 23 31 39)(16 24 32 40)

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El grupo del Cubo de Rubik

Por la estructura del rompecabezas, el cubo de Rubikdefine un grupo de permutaciones. Dado el esquemaanterior tomaremos como fijas las casillas centralesde cada cara, es decir aquellas que etiquetamos conletras. Las operaciones consisten en la rotacion decualquiera de las 6 caras, permutando ası las 48 casillasrestantes. Por tanto el grupo del cubo C se define comoel subgrupo del grupo simetrico S48 generado por las 6diferentes rotaciones de las caras.

Sean dos subgrupos Cp y Co; con Cp el grupo de las permutaciones y Co el de las orientacionesde las mismas.

Dado que Co es un subgrupo normal del grupo C, la interseccion de Cp y Co es la identidad,y su producto es C; de aquı se sigue que C es el producto semi-directo de los dos subgruposdados.Dada la estructura del cubo de Rubik es claro que Co = Z7

2 x Z113

Por otro lado, Cp no es tan simple en su estructura, por lo cual definimos los grupos A8 y A12

de permutaciones pares de las piezas-vertice y piezas-arista respectivamente. Complementan-do estos grupos, tomemos aquel que intercambie dos piezas-vertice y dos piezas-arista.Entonces tenemos que Cp = (A8 x A12) o Z2

Por lo tanto C = (Z72 x Z11

3 ) o ((A8 x A12) o Z2) Cardinalidades de algunos subgrupos de C.

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Aunque no parezca, dos subgrupos con la misma cardinalidad son iguales, salvo en los casos:

{(U), (U2, D2)}, {(U,R2, L2), (U2, R, L2)},{(U,R2, L2, F ), (U2, R, L, F )}, {(U,R2, L2, F ), (U2, R, L, F )}

¿Y la solucion optima?

En internet hay una gran cantidad de recursos para resolver el cubo de Rubik, sin embar-go dan soluciones a secas, que deja abierta la pregunta ¿cual es la solucion optima? No sepretende dar una solucion optima o un metodo para alcanzarla, pero trataremos de mostraralgunas aproximaciones a la respuesta.

Cabe mencionar que cuando hablamos de la longitud de una solucion consideramos el numerode movimientos, tanto de las caras como de los giros del cubo, pensando en movimientos encualquier direccion con una magnitud de 90◦.

No se sabe aun el numero mınimo de movimientos para resolver el cubo, sin embargo se sabeque es el diametro del grafo de Cayley del grupo del cubo de Rubik. Al algoritmo correspon-diente se le conoce como el Algoritmo de Dios, pues todo indica que solo El lo sabe...

Pero no todo el paisaje es negro. Se ha logrado acotar medianteargumentos de conteo el numero de movimientos para ciertasconfiguraciones; dicha cota se situa en 18 movimientos. Unaprueba simple de este hecho es contar primero el numero total deconfiguraciones, posteriormente contar el numero de aquellas quese pueden alcanzar usando a lo mas 17 movimientos. Y resultaque este ultimo numero es menor. Sin embargo esta prueba no esmuy buena pues no exhibe una posicion que necesite tal numerode movimientos.

El camino es largo...

Las matematicas involucradas en el cubo de Rubik son inmensas; claramente podemos verque ese “cubito” no es un juguete. Aun hay muchas preguntas abiertas sobre este curiosorompecabezas y la extensa teorıa de grupos, lo unico que falta es el espıritu aventurero de losmatematicos jovenes que quieran desenmaranar tantos misterios ocultos.

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