Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Pengolahan Sinyal DigitalTransformasi Fourier Sinyal Waktu Diskrit

Beny Nugraha, MT, M.Sc

04

FAKULTAS TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Definisi

• Deret Fourier adalah salah satu cara merepresentasikan bentuk sinyal ke domain frekuensi. Deret Fourier hanya berlaku untuk sinyal periodik.

• Transformasi Fourier Diskrit (TFD) adalah cara untuk merepresentasikan sinyal periodik dan non-periodik ke domain frekuensi.

Analisa Domain Frekuensi Sinyal & Sistem• Analisis Fourier ada dua macam, yaitu untuk fungsi periodik

menggunakan Deret Fourier, sedangkan untuk fungsi non periodik menggunakan Transformasi Fourier.

• Pada prinsipnya analisis Fourier untuk sinyal waktu-diskrit dapat dianalogikan dengan sinyal waktu-kontinyu sebab fungsi diskrit dan kontinyu perbedaannya hanya pada pendefinisian pada waktunya saja, fungsi kontinyu terdefinisi untuk semua waktu, sedangkan fungsi diskrit hanya terdefinisi untukwaktu tertentu saja, sehingga notasinya pun diubah, seperti t menjadi n dan bentuk integral ( ∫ ) menjadi sigma ( Σ ).

Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu• Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik

dengan frekuensi ω0 dapat di ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus.

• Fungsi Periodik: • Deret Fourier:

Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu• Koefisien Fourier:

Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu• Contoh: Tentukan deret Fourier dari sinyal di

bawah ini:

Dengan T = 2 dan Bentuk persamaan gelombang:

Deret Fourier Untuk Waktu Kontinyu• Jawab:

Dengan menggunakan rumus deret Fourier!

Deret Fourier Untuk Waktu Diskrit• Deret Fourier untuk sinyal diskrit dengan

perioda N dapat ditulis:

• Dengan Ck adalah:

Deret Fourier Untuk Waktu Diskrit• Contoh: Tentukan konstanta Fourier ck dari

sinyal waktu-diskrit periodik dengan perioda N = 4 dan x(n) = {1, 1, 0, 0)

• Jawab:Dengan rumus:

Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit• Transformasi Fourier dari x(n) didefinisikan

sebagai :

• Secara fisis, X(ω) menyajikan isi frekuensi sinyal x(n). Dengan kata lain, X(ω) adalah dekomposisi x(n) menjadi komponen-komponen frekuensinya.

• Invers dari transformasi Fourier diskrit dapat dinyatakan dengan :

Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit• Perbedaan antara transformasi Fourier waktu

kontinyu dengan transformasi Fourier waktu diskrit:

1. Transformasi Fourier sinyal waktu-kontinyu kisaran frekuensinya (-∞,∞), sedangkan kisaran frekuensi transformasi Fourier sinyal waktu-diskrit kisaran frekuensinya(-π, π) atau ekivalennya adalah (0, 2π).

Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit• Perbedaan antara transformasi Fourier waktu

kontinyu dengan transformasi Fourier waktu diskrit:2. Karena sinyal adalah diskrit dalam waktu, maka

transformasi Fouriernya adalah penjumlahan (sigma) sebagai ganti dari integral. Karena X(ω) adalah fungsi periodik dengan variabel frekuensi ω, ia mempunyai espansi deret Fourier, yang diekspresikan sebelumnya memenuhi. Dari definisi X(ω) terlihat X(ω) mempunyai bentuk deret Fourier dengan koefisien/konstanta Fourier adalah x(n).

Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit• Karena bentuk transformasi Fourier adalah deret tak

berhingga, maka akan ada persoalan konvergensi. Suatu deret tak berhingga dikatakan konvergen jika dan hanya jika deret tersebut nilainya tidak tak berhingga ( < ∞ ).

• Maka dapat dikatakan suatu transformasi Fourier dari suatu sinyal waktu-diskrit ada (dapat ditentukan) jika dan hanya jika deret tak berhingganya konvergen, atau secara matematis ditulis :

Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskrit• Maka:

• Sehingga seharusnya setiap kita akan mencari/menghitung suatu transformasi Fourier dari sebuah sinyal waktu-diskrit, pertama-tama harus diselidiki terlebih dahulu kekonvergenan dari sinyal tersebut.

Transformasi Fourier Untuk Waktu DiskritContoh:1. Tentukan transformasi Fourier dari :

Jawab:Karena |a| < 1, barisan x(n) dapat dijumlahkan secara absolut (konvergen):

Transformasi Fourier Untuk Waktu DiskritKarena itu transformasi Fourier dari x(n) dapat dihitung dan diperoleh dengan definisi transformasi Fourier :

Transformasi Fourier Untuk Waktu DiskritContoh:2. Tentukan transformasi Fourier dari :

Jawab:Selidiki dulu konvergensi barisannya.

Transformasi Fourier Untuk Waktu DiskritKarena itu x(n) dapat dijumlahkan secara absolut (konvergen), maka transformasi Fouriernya ada. Selanjutnya kita hitung transformasi Fourier sinyal tersebut :

Untuk menyederhanakan deret tersebut, terlebih dahulu deret tersebut kita perpanjang sampai n = ∞, seperti dibawah ini :

Transformasi Fourier Untuk Waktu DiskritJumlah keseluruhan untuk deret tersebut dengan menggunakan formula penjumlahan geometri adalah:

dan jumlah untuk deret mulai sampai adalah:

Transformasi Fourier Untuk Waktu Diskritmaka jumlah deret pada persamaan transformasi Fourier diatas adalah:

Transformasi Fourier Untuk Waktu DiskritTabel Transformasi Fourier:

PR!!!

Diketahui terdapat sinyal seperti berikut:

Periode sinyal = T0 = 2π.

Tentukan a0, an, bn, dan deret Fourier-nya!

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc