1

Simmilarrities and Congruences

By Group 3 :1. A. Gregory Qo’nitah Michelle2. A. Sitti khadijah Ridwan 3. We Ati Mega Daeng Malebbi

2

TTL : Watansoppeng, 21 Juli 1998

Alamat : Jalan Kemakmuran

No.159

No tlp : 0852420199721

A. Gregory Qo’nitah Michelle

33

TTL : Watansoppeng,31 Agustus

1998

Alamat : Jalan Sunu

No tlp : 081340578731

A. Sitti khadijah Ridwan

444

TTL : Watansoppeng, 24 Juli 1998

Alamat : Jalan Bakti

No tlp : 085756988927

We Ati Mega Daeng Malebbi

5

A. The Similarity Of Plane Shapes( Kesebangunan Bangun Datar )

6

1. Recognizing the Simmilarity Of Plane Shapes and the requirements of two similar

Plane Shapes ( Mengenal Kesebangunan dan Syarat

dua bangun datar yang sebangun )

7

Dari gambar diatas, terdapat dua buah persegi panjang yaitu persegi panjang Hijau dan Persegi Panjang Biru . Ukuran panjang dan lebar

persegi panjang hijau adalah dua kali ukuran panjang dan lebar persegi panjang biru. Oleh karenanya, persegi panjang hijau dan biru

dikatakan sebangun

( From the picture above, there are two rectangles are rectangles Green and Blue Rectangle. The length and

width of the green rectangle is twice the length and width of the blue rectangle. Therefore, green and blue

rectangular say unvarying )

8

Dari uraian sebelumnya, kita dapat

menyimpulkan :

1. Sisi sisi bersesuaian sebanding

2. Sudut – sudut yang bersesuaian sama besar

From the previous description, we can conclude:

1.Comparable to the corresponding side

2.Angle - the angle corresponding to the same

9

Menentukan panjang sisi pada bangun datar yang sebangun

( Determine the length of the side of the flat wake congruent )

Dalam menentukan panjang sisi yang belum diketahui dari dia bangun yang sebangun , kita dapat mengacu pada kedua syarat tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah beberapa contoh berikut ini.

In determining the length of the unknown side of her waking congruent, we can refer to both these conditions. For more details, study the following examples.

10

Example 5/ contoh 5:

Dua bangn di bawah ini sebangun.

Hitunglah nilai a, b, c!

A B

CD

a b

6 cm

10 cmP

Q

RS

c

12 cm

9 cm

18 cm

11

Penyelesaian:

Karena trapesium ABCD sebangun dengan trapesium PQRS, maka haruslah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding

Maka: AB BC CD AD QR PQ PS SR

AD CD SR PS

a x 9 = 6 x 12 9a = 72

a =

a = 8Nilai a = 8 cm

=

= ==

72 9

BC CD PQ PS

b = 6 18 9 b x 9 = 6 x 18 9b = 108 b = 108 9 b = 12Nilai b = 12 cm

=

AB CD QR PS

10 = 6 c 9 6 X c = 9 x 10 6c = 90 c = 90 6 c = 15Nilai c = 15 cm

=

12

Example 6/contoh 6

Gambar dibawah menunjukkan sebuah tempat pensil. Jika panjang dan lebar model berturut-turut adalah 5 cm dan 2 cm, sedangkan panjang tempat pensil sebenarnya adalah 20 cm, tentukanlah lebar tempat pensil yang sebenarnya!

Penyelesaian:

Diketahui:Panjang model : 5 cmLebar model : 2 cmPanjang sebenarnya : 20 cm

Misalkan lebar tempat pensil sebenarnya : l cm

13

Dengan demikian, Panjang model = lebar modelPanjang sebenarnya = lebar sebenarnya

5 2 20 l 5 x l = 2 x 20 5 l = 40 l = 8

Jadi, lebar tempat pensil sebenarnya adalah 8 cm.

14

Sebuah lemari pakaian memiliki tinggi 2m dan panjang 0,8m. Jika lemari pakaian itu dibuat modelnya dengn panjang 2,5cm, tentukalah tinggi lemari pakaian itu pada model!

Penyelesaian:

Diketahui:Tinggi lemari pakian sebenarnya = 2m = 200cmPanjang lemari pakaian sebenarnya= 0.8m = 80cmPanjang model = 2.5cmMisalkan tinggi model = t

Maka :

Lebar model tinggi modelLebar sebenarnya tinggi sebenarnya

2,5 t 80 200

15

( KONGRUENSI BANGUN DATAR )

The congruence of plane shapes

16

pada gambar (a) disediakan segitiga ABC dan segitiga DEF yang sama besar, terlihat

digambar (b) kedua segitiga ABC dan DEF saling berimpit dan saling menutupi,

sehingga

DE menempati AB (DE=AB)EF menempati BC (EF=BC)DF menempati AC (DF=AC)Sudut D menempati sudut A (D=A)Sudut E menempati sudut B (E=A)Sudut F menempati sudut C (F=C)

A B

C

D E

F

(a)A/D B/E

C/F

(b)

17

Dari gambar di atas, bangun-bangun yang tepat saling menutupi atau saling berhimpit disebut bangun-bangun yang kongruen.

kongruen disebut juga sama dan sebangun, yang berarti sama bentuk dan ukurannya. Kongruensi dinotasikan dengan ≡. Misalkan segitiga ABC kongruen dengan seitiga DEF, maka ditulis ∆ABC ≡ ∆DEF.

From the picture above, wake up right overlap or coincide with each other is called a congruent wake up. called congruent congruent, which means the same shape and size. Congruence is denoted by ≡. Suppose triangle ABC is congruent to DEF seitiga, then ΔABC ≡ ΔDEF written

18

2. Syarat Dua Bangun Datar Yang Kongruen

Requirements of two Congruent Planes Shapes

19

Telah kita ketahui bahwa dua bangun datar yang tepat saling menutupi atau saling berimpit disebut dua bangun yang kongruen (sama dan sebangun). Pada gambar sebelumnya segitiga ∆ABC dan segitiga ∆DEF saling menutupi sehingga bangun datar tersebut kongruen. Apabila kita perhatikan, ukuran sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sama panjang. Begitupun sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

• jika dua bangun datar memiliki sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, maka dua bangun tersebut dikatakan kongruen (sama dan sebangun)

• jika dua bangn datar kongruen (sama dan sebangun), maka acuan berikut berlaku:

--sisi-sisi yang bersesuain sama panjang --sudut-sudut yang bersesuaian sama besar

20

3. Menentukan Panjang Sisi pada Dua Bangun Datar yang Kongruen

Untuk menetukan panjang sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang kongruen, kita dapat mengacu pada aturan dua bangun kongruen sebelumnya. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah beberapa contoh berikut ini.

21

Gambar tersebut menunjukkan dua bangun segitiga yang kongruen atau ∆ABC ≡ ∆PQR, jika panjang BC =10 cm, AC=15 cm, QR =12 cm, dan rB = r R, tentukanlah panjang AB, PQ, PR!Penyelesaian:Karena ∆ABC ≡ ∆PQR, maka berlaku hubungan bahwa sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.AB=QR=12 cmPQ=AC=15 cm danPR=BC= 10 cm

A B

C

P

12cm QR

10cm15cm

22

Diketahui trapesium KLMN=trapesium PQRS, panjang KL=16 cm, PQ=8 cm, dan QR=9 cm. tentukanlah anjang sisi-sisi yang lainnya!

Penyelesaiaan:

Karena trapesium KLMN=trapesium PQRS, maka:LM=KN=PS=QR= 9 cm,MN=PQ= 8 cm, danSR=KL= 16 cm

K L

MN

P Q

S R

8cm

9cm

16cm

23

C. KESEBANGUNAN SEGITIGA

Similarity of TRIANGLE

24

1. Pengertian Dua Segitiga Sebangun

Telah dibahas sebelumnya bahwa dua bangun datar disebut sebangun jika memenuh

syarat sebagai berikut.a. sisi-sisi yang bersesuaian sebandingb. Sudut-sudut yang bersesuaian sama

besarKarena segitiga juga merupakan sebuah

bangun datar, maka ua segitiga yang sisi-sisi

bersesuaiannya sebanding dan sudut-sudut bersesuaiannya sama besar juga dikatakan

sebangun.

Definition Two Triangle Unvarying It has been discussed earlier that the two flat wake is called congruent if suit terms as follows. corresponding sides comparable The corners of the corresponding same large Because the triangle is also a flat wake, then ua triangular sides bersesuaiannya comparable and the corners are also said to be as large bersesuaiannya congruent.

25

A B

C

D E

F

Gambar di atas menunjukkan dua bangun segitiga yang memiliki bentuk yang sama

tetapi ukuran berbeda. Coba ukurlah besar sudut-sudut dan panjang sisi-sisi yang

bersesuaian dari kedua segitiga itu. Setelah mengukurnya, kamu akan memperoleh hasil

bahwa sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaiannya

sebanding. Dengan demikian, ∆ABC sebangun dengan ∆DEF.

The picture above shows two triangles-up that has the same shape but different sizes. Try large measure the angles and the lengths of the sides are corresponding of the two triangles. After measuring it, you will get results that bersesuaiannya angles and equal sides bersesuaiannya comparable. Thus, ΔABC congruent with ΔDEF.

26

2. Syarat Dua Segitiga Sebanguna. Dua Segitiga Sebangun Jika Sudut-sudut yang Bersesuaiannya Sama

Besar

Perhatikan gambar disamping!

Sudut K = sudut P = 30º (diketahui)Sudut M = sudut R = 90º (diketahui)Sudut L = sudut Q (karena kedua sudut yang lainnya sama)

Jadi, sudut-sudut yang bersesuaian pada ∆KLM dan ∆PQR sama besar. Sekarang

ukurlah panjang sisi-sisi yang bersesuaiannya. Apabila diukur dengan teliti, maka akan

diperoleh hasil bahwa :

Panjang = x PQ atau

Panjang = x QR atau

Panjang KM = x PR atau KM : PR =5 : 8

Jadi, sisi-sisi yang beresuaian pada ∆KLM dan ∆PQR sebanding.

58

5858

K L

M

P Q

R

30º 30

º

27

Simpulan yang dapat diperoleh dari uraian diatas adalah :

Pada dua buah segitiga, jika sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar, maka sisi-sisi yang bersesuaiannya memiliki perbandingan panjang yang sama (sebanding). Jadi, jika sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar maka kedua segitiga itu pasti sebangun.

In two triangles, if bersesuaiannya angles equal, then the sides bersesuaiannya have the same length ratio (comparable). So, if the angles equal bersesuaiannya the two triangles congruent sure.

28

• Example 11/contoh 11• Perhatikan gambar disamping !

a. Buktikan bahwa ∆ABC sebangun dengan ∆DEC!

b. Sebutkan pasangan sisi yang sebanding!

A B

C

D E

29

Penyelesaian :

a. Perhatikan ∆ABC dan ∆DECSdt CAB = sdt CDE (bersesuaian/sehadap)sdt ABC = sdt DEC (bersesuaian/sehadap)sdt ACB = sdt DCE (berimpit)

Jadi, ∆ABC dan ∆DEC sebangun, karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

b. sisi-sisi yang sebandiang menghadap pada sudut-sudut yang sama besar.• Sdt CAB = sdt CDE

BC menghadap sdt CABEC menghadap sdt CDEBC sebanding dengan EC

• Sdt ACB =sdt DCEAB menghadap sdt ABCDE menghadap sdt DCEAB sebanding dengan DE

• Sdt ABC = sdt DECAC menghadap sdt ABCDC menghadap sdt DECAC sebanding dengan DC

Dengan demikian, pasangan sisi yang sebanding adalah BC dan EC, AC dengan DC,danAB dengan DE.

30

b. Dua Segitiga Sebangun Jika Sisi-sisi yang Bersesuaiannya Sebanding

Perhatikan gambar di samping!

A B

C

K L

M

10cm

6cm

8cm

15cm

12cm 9cm

Ukurlah dengan busur derajat besarnya sudut-sudut A, B, C, K, L, dan M, selanjutnya lengkapilah tabel di bawah ini sesuai dengan keterangan gambar dan hasil pengukuran terhadap kedua segitiga itu.

Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian

Sudut yang sama besar

AB = 10 2 KL 15 3 BC = 6 2 LM 9 3 AC = 8 2 KM 12 3

A= K

B =L

C =M

31

Hasil pada tabel diatas memperlihatkan bahwa dua segitiga ABC dan segitiga KLM dengan perbandingan sisi-sisi berseseuaian yang sama (sebanding), ternyata memiliki sudut-sudut bersesuaian sama besar. Hal ini berarti bahwa syarat agar dua segitiga dikatakan sebangun hanya cukup dengan sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding. The results in the table above shows that

the two triangles ABC and triangle KLM ratio berseseuaian sides of the same (comparable), it has a corresponding angles equal. This means that the condition that the two triangles are congruent said just enough side-by-side bersesuaiannya comparable.

32

Simpulan yang dapat diperoleh dari uraian diatas adalah:

Pada dua buah segitiga, jika sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding, maka sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar. jadi, pada dua buah segitiga, jika sisi-sisi yang bersesuaiannya sebanding, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.

The conclusions that can be derived from the description above is:

In two triangles, if the sides are bersesuaiannya comparable, then the angles equal bersesuaiannya. so, the two triangles, if the sides are bersesuaiannya comparable, then the two triangles congruent sure.

33

Example 12/ contoh12

Dalam ∆DEF dan ∆PQR diketahui panjang sisi DE = 4cm, EF = 6cm, DF= 7cm,PQ= 12cm,QR= 14 cm, dan PR= 8 cm.

a. Apakah ∆DEF dan ∆PQR sebangun? Jelaskan!b. Sebutkn pasangan sudut yang sama besar!

34

Penyelesaian:a. Pada ∆DEF, DE = 4 cm EF = 6 cm

DF = 7 cmPada ∆PQR, PQ = 12 cm

QR = 14 cm PR = 8 cm

Pasangan sisi yang bersesuaian adalah sisi-sisi yang terpendek dengan yang terpendek, sisi yang sedang dengan yang sedang, dan sisi yang terpanjang dengan yang terpanjang.DE : PR = 4 : 8 = 1:2EF : PQ = 6 : 12 = 1:2DF : QR = 7 :14 = 1: 2Oleh karna perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya sama (sebanding), maka ∆DEF dan ∆PQR sebangun.

b. Pasangan sudut yang bersesuaian menghadap pada pasangan sisi yang bersesuaian.

• DE : PR F = Q• EF : PQ D = R• DF : QR E = P Jadi, pasangan sudut yang sama besar adalah: D = R, E = P dan F = Q

C. Dua Segitiga Sebangun, jika Salah Satu Sudutnya Sama Besar dan Dua Sisi yang Mengapit Sudut itu Sebanding

Perhatikan gambar disamping!

Ukurlah pangjang sisi PQ dan ST serta besar P, Q, S, dan T. Kemudian bandingkan hasil pengukuranmu dengan hasil yang tertera dalam tabel berikut ini.

Perbandingan sis-sisi yang bersesuaian Sudut yang sama besar

PR 2 1SU 4 2QR 1,5 1TU 3 2PQ 2,5 1ST 5 2

Q = T = 54º

P = S = 36º

R = U = 90º

=

= =

=

=

=

P

R

Q

S

T

U

1,5 cm2 cm

4 cm3 cm

Hasil pada tabel di atas memperlihatkan bahwa dua segitiga PQR da STU yang memiliki satu sudut sama besar, yaitu R = U dan dua sisi yang bersesuaian yang mengapit sudut itu sebanding, yaitu PR = QR = 1 , ternyata merupakan dua segitiga yang sebangun.

SU TU 2

Simpulan yang dapat diperoleh dari uraian diatas adalah sebagai berikut:

Pada dua buah segitiga , jika salah satu sudutnya sama besar dan dua sisi yang mengapit sudut itu sebanding, maka kedua segitiga itu pasti sebangun

3. Menentukan Perbandingan Sisi Dua Segitiga Sebangun Dan Menghitung Panjangnya

telah dipelajari bahwa duasegitiga sebangun memiliki perbandingan sisi-sisi yang sama (sebanding), sehingga untuk menentukkan panjang sisi pada dua segitiga sebangun, terlebih dahulu tentukan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya. Untuk lebih jelasnya pelajarilah berapa conto berikut ini!

Example 15/ contoh 15

Perhatikan gambar berikut ini!

Pada gambar tesebut diketahui panjang AD = 4 cm dan BD = 2 cm. garis DE//BC

a. Buktikan bahwa ∆ADE dan ∆ABC sebangun!b. Tentukan perbandingan sisi-sisi perbandingan yang berseesuaiannya!c. Jika BC = 9 cm, maka pajang DE!

A B

C

D E

Penyalasaian:a. Diketahui DE//BC, maka: ADE = ABC (bersesuaian/sehadap)

AED = ACB (bersesuaian/sehadap) DAE = BAC (berimpit)Oeh karena ketiga sudut yang bersesuaian pada ∆ADE dan ∆ABC sama besar, maka terbukti bahwa kedua segitiga itu sebangun.

b. Pasangan sisi yang bersesuaian yang sebanding adalah:AD = DE = AEAB BC ACDiketahui AD = 4cm dan BD = 2cm, maka:AB = AD + DB = 4cm+2cm = 6cmAD = 4cm = 2AB 6cm 3jadi, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya adalah 2 : 3.

c. DE = 2BC 3 DE = 2 x BC

3 DE = 2 x 9

3 DE = 6

Jadi, panjang DE adalah 6 cm.

Example 16/contoh 16

Diketahui ST//QR. Panjang ST = 6cm, QR = 9cm, PS = 8 cm, dan TR = 5 cm.a. Buktikan bahwa ∆PST dan ∆TUR sebangun!b. Tentukan perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya!c. Hitunglah panjang TU dan PT!Penyelesaian:d. Perhatikan ∆PST dan ∆TUR!

PST = TUR (siku-siku) PTS = TRU (sehadap karena ST//QR) SPT = UTR (karena dua sudut yang lain sama)Oleh karena ketig sudut yang bersesuaiannya sama besar, maka ∆PST dan ∆TUR sebangun.

b. Pasang sisi bersesuaian yang sebading adalah:PS = ST = PTTU UR TRDiketahui ST = 6cm dan QR = 9 cm maka:UR = QR – QU

= QR – ST (ST = QU)= 9cm – 6cm= 3cm

jadi, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian adalah:PS = ST = PT = 2TU UR TR 1.

c. PS = 2TU 1 1 x PS = 2 x TU 1 x 8 = 2TU TU = 8

2 TU = 4Panjang TU adalah 4 cm

PT = 2TR 1 1 x PT = 2 x TR PT = 2 x 5 PT = 10panjang PT adalah 10cm.

41

Kongruensi Segitiga

Triangle congruence

Telah dibahas sebelumnya bahwa dua bangun datar dikatakan kongruen jika:a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang,b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Segitiga merupakan bangun datar. Dengan demikian, jika pada dua segitiga sisi-sisi yang bersesuaiannya sama panjang serta sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar, maka kedua segitiga itu dikatakan kongruen.

Perhatikan gambar berikut ini!

1. Pengertian Dua Segitiga Kongruen

A B

C

A’ B’

C’

Gambar 1.14

N

M

ox o x

Gambar 1.14 menunjukkan rABC yang dicerminkan terhadap garis MN. Bayangan dari rABC tersebut adalah rA’B’C’. Pada rABC dan rA’B’C’, sisi-sisi yang bersesuaiannya sama panjang begitu pun sudut-sudut yang bersesuaiannya juga sama besar. Hal ini berarti rABC kongruen dengan rA’B’C’, ditulis rABC @ rA’B’C’.

Sekarang perhatikan Gambar 1.15 berikut ini!

ox oxA B

C

P Q

R

Gambar 1.15

Misalkan rABC ditranslasikan atau digeser ke kanan sedemikian sehingga rABC tepat menutupi atau berimpit dengan rPQR. Dengan demikian, rABC kongruen dengan rPQR, ditulis rABC @ rPQR.

CONTOH 17 : Gambar berikut menunjukkan dua pasangan segitiga yang kongruen. Sebutkan kedua pasangan segitiga kongruen itu, kemudian sebutkan pasangan-pasangan sisi yang sama panjang dan pasangan-pasangan sudut sama besar! A

A

A

P

QR

M

LK

C

BAPenyelesaian :Pada gambar di atas, dua pasang segitiga yang kongruen adalah sebagai berikut.1. rABC @ rPQR, maka: a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, yaitu AB = PQ, BC =

PR, dan AC = QR.

b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu A = Q, B = P, dan C = R.

2. rKLM @ rXYZ, maka: a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, yaitu KL = YZ, LM = XZ, dan KM = XY b. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar, yaitu K = Y, L = Z, dan M = X

2. Syarat Dua Segitiga Kongruen Telah dijelaskan sebelumnya bahwa dua buah segitiga yang kongruen akan tepat saling menutupi atau saling berhimpit. Lalu bagaimanakah cara menyelidiki (membuktikan) dua buah segitiga yang kongruen? Untuk membuktikan dua segitiga kongruen, dapat dilakukan beberapa cara dibedakan berdasarkan panjang sisi dan besar sudut pada kedua segitiga itu. a. Dua Segitiga Kongruen Jika Ketiga Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (Sisi, Sisi, Sisi, atau S.S.S)

A

C

B D E

F

Gambar 1.16

Jika rABC diimpitkan pada rDEF, maka:AB menempati DE, karena AB = DEBC menempati EF, karena BC = EFAC menempati DF, karena AC = DF Jadi, rABC dan rDEF tepat saling menutupi atau rABC kongruen dengan rDEF , ditulis rABC @ rDEF.

Dengan demikian salah satu cara membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memerlihatkan bahwa ketiga sisi yang bersesuaiannya sama panjang.

CONTOH 18 : Perhatikan gambar di bawah ini!

D

B

C

A

Bangun di samping menunjukkan persegi panjang ABCD dengan BD merupakan salah satu diagonalnya. Buktikan bahwa rABD kongruen dengan rCDB!

Penyelesaian :Suatu persegi panjang memiliki sepasang sisi berhadapan yang sama panjang.Pada persegi panjang ABCD, AB berhadapan dengan DC dan BC berhadapan dengan AD, maka: AB = DC, BC = AD.Perhatikan rABD dan rCDB!Sisi BD pada rABD berimpit dengan sisi BD pada rCDB, maka BD = BD. Oleh karena ketiga sisi yang bersesuaian pada rABD dan rCDB sama panjang, maka kedua sisi itu kongruen.Jadi, terbukti bahwa rABD kongruen dengan rCDB (S.S.S).

CONTOH 19 : Perhatikan gambar berikut ini!

QP S

R

rPQR merupakan segitiga sama kaki dengan alas PQ. Jika PS = QS, maka:a. Buktikan bahwa rPRS @

rQSR.b. b.Sebutkan pasangan sudut

yang sama besar!

Penyelesaian :a. Diketahui PS = QS rPQR merupakan segitiga sama kaki, maka PR = QR. Kemudian RS = RS (berimpit). Oleh karena ketiga sisi yang bersesuaian pada rPRS dan rQSR

sama panjang, maka terbukti bahwa rPSR @ rQSR.

b. Sudut-sudut yang sama besar menghadap pada sisi yang sama panjang. PS = QS PRS menghadap PS QRS menghadap QS Jadi, PRS = QRS PR = QR PRS menghadap PR QSR menghadap QR Jadi, PSR = QSR P menghadap RS Q menghadap RS Jadi, P = Q. b. Dua Segitiga Kongruen Jika Ketiga Sisi yang Penyesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapitnya Sma Besar (Sisi, Sudut, Sisi, atau S.Sd.S)

K QPL

M R

Gambar 1.17

Jika rKLM diimpitkan pada rPQR, maka:KM menempati PR, karena KM = PRM menempati R, karena M = RLM menempati QR, karena LM = QRLalu apakah KL menempati PQ?Diketahui bahwa:KM menempati PR, sehingga K menempati P.LM menempati QR, sehingga K menempati Q.

Dengan demikian, KL menempati PQ dan KL = PQ Jadi rKLM tepat saling menutupi dengan rPQR, sehingga dapat dikatakan rKLM kongruen dengan rPQR, ditulis rKLM @ rPQR. Dengan demikian, cara lain untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar.

CONTOH 20 : Perhatikan gambar kedua segitiga di bawah ini!

A C

B D

F

E

Buktikan bahwa rABC @ rDEF!

Penyelesaian :Perhatikan rABC dan rDEF.Diketahui:AB = EF (sisi sama panjang)A = E (sudut sama besar)AC = ED (sisi sama panjang) Oleh karena rABC dan rDEF memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang, yaitu AB = EF dan AC = ED, serta satu sudut diapit sama besar, yaitu A = E, maka terbukti bahwa rABC @ rDEF.

CONTOH 21 :

Perhatikan gambar di samping!Diketahui LN = MN,a. Buktikan bahwa rKLN @

rKMNb. Sebutkan pasangan sudut

yang sama besar!K L

M

Penyelesaian :a. Perhatikan rKLN dan rKMN! Diketahui LN = MN. Pada gambar, KNL = KNM = 90 (siku-siku). KN = KN (berimpit).

Oleh karena kedua segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit sama besar, maka terbukti bahwa kedua segitiga itu kongruen, atau rKLN @ rKMN.

b. Pasangan sudut yangsama besar adalah: KNL = KNM = 90 LKN = MKN, dan KLN = KMN.

N

c. Dua Segitiga Kongruen Jika Satu Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Dua Sudut yang Terletak pada Sisi itu Sama Besar (Sudut, Sisi, Sudut, atau Sd.S.Sd)

SQ

R P

U

T

Jika rPQR diimpitkan pada rSTU, maka :P menempati S, karena P = S.PQ menempati ST, karena PQ = ST.Q menempati T, karena Q = T.Perhatikan, perpotongan garis PR dan QR dalah titik R.

Perpotongan garis SU dan TU adalah titik U, sehingga PR berimpit dengan SU dan QR berimpit dengan TU. Akibatnya titik R juga berimpit dengan titik U atau R = U.\ Jadi, rPQR tepat saling menutupi dengan rSTU, sehingga dapat dikatakan bahwa rPQR kongruen dengan rSTU, ditulis rPQR @ rSTU. Dapat dikatakan bahwa, cara lain untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki satu sisi yang bersesuaian sama panjang dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar.

Gambar 1.18

CONTOH 22 : Perhatikan gambar di bawah ini!

K N L

MDiketahui KMN = LMN dan KNM = LNM = 90.Buktikan bahwa rKMN @ rLMN!

Penyelesaian :Diketahui: KMN = LMN

KNM = LNMPada rKMN dan rLMN, MN = MN (berimpit).

Oleh karena rKMN dan rLMN memiliki satu sisi yang bersesuaian sama panjang, yaitu MN = MN dan dua sudut yang terletak pada sisi itu sama besar, yaitu KMN = LMN dan KNM = LNM, maka terbukti bahwa rKMN @ rLMN.

d. Dua Segitiga Kongruen Jika Dua Sudut yang Bersesuaian Sama Besar dan Satu sisi di Hadapan Salah Satu Sudut Sama Panjang (Sudut, Sudut, Sisi atau Sd.Sd.S)FC

A B D E

Jika rABC diimpitkan pada rDEF, maka:AB menempati DE, karena AB = DEA menempati D, karena A = DC menempati F, karena C = F

Oleh karena B titk potong AB dan CB, E titik potong DE dan FE, dan AB menempati DE (diketahui), maka CB berimpit dengan FE dan titik B juga berimpit dengan titik E atau B = E. Jadi, rABC tepat saling menutupi dengan rDEF, sehingga dapat dikatakan bahwa rABC kongruen dengan rDEF, ditulis rABC @ rDEF. Dengan demikian, cara lain untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi di hadapan salah satu sudut sama panjang.

Gambar 1.19

CONTOH 23 :

A

C

B

D

E

Diketahui AB = BE dan ACB = EDB.a. Buktikan bahwa rABC @ rEBD!b. Sebutkan pasangan sisi yang

sama panjang!

Penyelesaian :a. Perhatikan rABC dan rEBD! AB = BE ACB = EDB ABC = EBD (bertolak belakang) Jadi, rABC @ rEBD (sudut, sudut, sisi atau Sd.Sd.S).b. Pasangan sisi yang sama panjang adalah: AB = BE AC = ED BC = BD

e. Dua Segitiga Kongruen Jika Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Satu Sudut di Hadapan Salah Satu Sisi Sama Besar (Sisi, Sisi, Sudut atau S.S.Sd)

R

P Q

U

S T

Jika rPQR diimpitkan pada rSTU, makaPR menempati SU, sebab PR = SU R menempati U atauQR menempati TU, sebab QR = TU R = UP menempati S, sebab P = S Oleh karena Q titik potong PQ dan RQ, T titik potong ST dan UT, dan RQ berimpit dengan UT, maka PQ berimpit dengan ST dan titik Q juga berimpit dengan titik T atau Q = T. Jadi, rPQR tepat saling menutupi dengan rSTU sehingga dapat dikatakan bahwa rPQR kongruen dengan rSTU, ditulis rPQR @ rSTU. Dapat dikatakan bahwa cara lain untuk membuktikan dua segitiga kongruen adalah dengan memperlihatkan bahwa kedua segitiga memiliki dua sisi yang bersesuaian sama panjangdan satu sudut di hadapan salah satu sudut sama besar.

Gambar 1.20

3. Perbandingan Sisi Dua Segitiga Kongruen

C

BAF

D E

Gambar 1.21

Pada gambar di samping, rABC @ rDEF, karena ketiga sisi yang bersesuaiannya sama panjang.Misalkan panjang AB = x cm, maka DE = x cm.Panjang AC = y cm, maka DF = y cm.Panjang BC = z cm, maka EF = z cm.Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya adalah:AB = x = 1 AC = y = 1

BC = z = 1DE x DF y EF z

Jadi, perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga kongruen menghasilkan nilai yang sama, yaitu 1.

4. Menentukan Panjang Sisi dan Besar Sudut pada Dua Segitiga Kongruen Misalkan diketahui dua segitiga yang kongruen. Untuk menentukan panjang sisi atau besar sudut dari dua segitiga itu, terlebih dahulu tentukan sisi-sisi yang sama panjang atau sudut-sudut yang sama besarnya. Agar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini

R S

QP

T

U

9 cm 8 cm

10 cm

8 cm

10 cm

Diketahui rPQR @ rSTU.Tentukan panjang SU!

Penyelesaian :Diketahui rPQR @ rSTU, maka sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang yaitu SU = PR = 9 cm. Jadi, panjang SU adalah 9 cm.

Contoh

CONTOH 25 :

A

B F

D

C E

Pada gambar di samping, diketahui rABC @rDEF.Panjang AC = DF = 5 cm, ABC = DEF = 90, dan BAC = 52.Tentukanlah besar DFE!

Penyelesaian :rABC @ rDEF, maka sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar.EDF = BAC = 52.Dalam rDEF, DEF + EDF + DFE = 180 90 + 52 + DFE= 180 142 + DFE = 180 DFE = 180 - 142 DFE = 38Jadi, besar DFE adalah 38.

52

5 cm 5 cm

5. Akibat dari Dua Segitiga KongruenC

BAF

D E

Telah diketahui sebelumnya bahwa syarat dua segitiga kongruen adalah jika kedua segitiga itu memiliki sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Lalu bagaimana jika telah diketahui bahwa dua segitiga kongruen? Apa akibatnya terhadap panjang sisi dan besar sudut kedua segitiga?

Apabila telah diketahui bahwa dua segitiga kongruen, maka akibatnya sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaiannya juga sama besar. Misalkan diketahui rABC @ rDEF, seperti terlihat pada gambar di atas. Oleh karena ABC @ rDEF, maka akibatnya:a. Sisi-sisi yang bersesuaiannya sama panjang, yaitu: AB = DE, BC =

EF, dan AC = DF.b. Sudut-sudut yang bersesuaiannya sama besar, yaitu: A = D, B =

E, dan C = F.

E. TRIANGLE THE DIFFERENCE congruent and congruent

E. PERBEDAAN SEGITIGA YANG SEBANGUN DAN KONGRUEN

Pada bagian sebelumnya yaitu mengenai pengertian dua segitiga sebangun, telah sedikit dibahas tentang hubungan segitiga sebangun dan segitiga kongruen. Pada bagian sekarang hubungan kedua segitiga kedua segitiga itu akan lebih diperjelas dengan memperlihatkan perbedaan dan persamaannya.

Apabila terdapat dua buah segitiga dengan ukuran-ukuran tertentu, maka hubungan yang mungkin antara kedua segitiga itu adalah sebagai berikut.a. Dua segitiga kongruen.b. Dua segitiga sebangun.c. Dua segitiga sembarang atau tidak kongruen dan tidak sebangun. Lalu bagaimana cara membedakan apakah dua segitiga kongruen

atau sebangun? Perhatikan tabel berikut ini.Dua Segitiga Kongruen Dua Segitiga sebangun

Persamaan

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Perbedaan

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang

2. Besar bangunnya sama

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sebanding

2. Besar bangunnya berbeda

Dengan melihat tabel di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua segitiga kongruen, maka pasti keduanya sebangun. Tetapi jika dua segitiga sebangun, maka belum tentu keduanya kongruen.

F. APPLICATION OF THE CONCEPT similarity

PENERAPAN KONSEP KESEBANGUNAN

Dalam kehidupan sehari-hari, terdapat masalah yang dapat diselesaikan dengan konsep kesebangunan. Dalam menyelesaikan masalah-masalah itu, terlebih dahulu buatlah sketsa gambarnya, kemudian selesaikan dengan menggunakan konsep kesebangunan. Agar lebih jelas, pelajarilah beberapa contoh soal berikut!

CONTOH 26 : Seorang anak yang tingginya 150 cm mempunyai panjang 2,5 m di atas tanah mendatar. Sementara itu, sebuah tiang bendera mempunyai bayangan sepanjang 4,5 m. Hitunglah tinggi tiang bendera sebenarnya!

Penyelesaian :Misalkan DE = tinggi anakAE = panjang bayangan anak.AC = panjang bayangan tiang bendera.BC = tinggi tiang bendera.

Perhatikan rADE dan rABC!rADE sebangun dengan rABC.Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaiannya adalah:

AE = DE = ADAC BC AB

AE = DE AC BCÛ 2,5 meter = 150 cm 4,5 meter = BCÛ 5 = 150

9 BC

5 x BC = 9 x 150 5 BC = 1.350

BC = 1.350 5

BC = 270

Jadi, tinggi tiang bendera sebenarnya adalah 270 cm atau 2,7 m.

67

Terima Kasih