EKMA4413 – Riset Op-erasiProgram Studi Manaje-menOleh: M. Mujiya Ulkhaq

Pantai Senggigi, Lombok Barat, NTB

Modul 3

Seoul, 2nd of March 2014

2

Tinjauan Umum Modul 3

Secara umum, Modul 3 akan membahas mengenai penentuan alokasi sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal dengan menggunakan linear programming: metode grafik.

Modul 3 hanya terdiri dari satu kegiatan belajar: Pemecahan Masalah yang masih dalam Bentuk Standar dengan Metode Grafik.

Setelah mempelajari Modul 3, diharapkan mampu menerapkan cara alokasi sumber daya yang terbatas se-cara optimal untuk melaksanakan beberapa kegiatan, dengan asumsi-asumsi linier.

Secara khusus, setelah mempelajari Modul 3, diharapkan mampu:• Membuat formulasi masalah ke dalam persamaan-persamaan dan menyusunnya ke dalam linear pro-

gramming;• Memecahkan masalah secara sederhana dengan pendekatan grafik;• Menjelaskan dasar pemikiran yang digunakan dalam linear programming;• Menafsirkan arti dari hasil pemecahan optimal berdasarkan metode grafik sebagai dasar dalam mengam-

bil keputusan.

3

Programma LinierProgramma linier merupakan suatu cara mengalokasikan sumber daya yang jumlahnya terbatas secara optimal untuk melaksanakan beberapa macam aktivitas yang semuanya memerlukan sumber daya tersebut.

Oleh karena jumlah sumber daya yang sifatnya terbatas, maka sumber daya tersebut harus dialokasikansedemikian rupa agar diperoleh hasil yang optimal. Yang dimaksud dengan optimal adalah sebaik-baiknya untuk kita:• Memaksimalkan laba, penerimaan, output, kepuasan, kenikmatan, dan lain sebagainya.• Meninimalkan kerugian, biaya, waktu tunggu, ketidakpuasan, dan lain sebagainya.

Asumsi linieritas digunakan dalam menyusun rencana berbasis programma linier. Maksudnya adalah asumsi bahwa segala sesuatu yang dimaksudkan dalam model yang akan dibuat bersifat linier, atau ber-hubungan secara linier (proporsional). Misalnya laba yang diperoleh dalam penjualan satu buah produk adalah Rp 500, maka apabila menjual 100 buah produk akan mendapatkan laba = Rp 50.000.

Selain itu, ada batasan atau konstrain yang melekat pada model. Misalnya konstrain biaya atau modal(jumlah modal yang dimiliki terbatas), konstrain waktu (waktu yang dipunyai terbatas), bahkan konstraintanda (produk yang diproduksi tidak boleh negatif).

4

Formulasi MasalahSebelum memulai pemograman dengan programma linier, maka kita harus merumuskan kasus atau masalah yang akan diselesaikan, tentu saja dalam persamaan-persamaan linier. Ada dua macam model per-samaan:

1. Fungsi tujuan (objektif), yang sifatnya menimimalkan atau memaksimalkan.

2. Fungsi pembatas (konstrain), yang merupakan batasan fungsional terhadap jumlah sumber daya yang terbatas.

Simbol-simbol konvensional yang dipakai:

i : Nomor (indeks) sumber daya;

j : Nomor (indeks) aktivitas;

m : Banyaknya macam sumber daya;

n : Banyaknya macam aktivitas;

aij : Kebutuhan setiap unit aktivitas j akan sumber daya i;

bi : Banyaknya sumber daya i yang tersedia;

cj : Manfaat yang diperoleh untuk setiap unit aktivitas j;

Xj : Ukuran (unit) aktivitas;

Z : Jumlah nilai yang akan dituju (maksimasi atau minimasi).

5

Formulasi MasalahIlustrasi 1:

6

Formulasi Masalah1. Fungsi Tujuan

Fungsi ini menunjukkan tujuan yang akan dioptimalkan: maksimasi atau minimasi.

Simbol yang digunakan adalah Z.

Bentuk umum:

X merupakan variabel keputusan: apa atau siapa yang akan dioptimalkan. Dari ilustrasi 1, yang akan dioptimalkan adalah jumlah produk 1 dan 2 yang akan diproduksi, maka, n = 2.

Untuk ilustrasi 1, fungsi tujuannya adalah:

Maksimasi Z = c1X1 + c2X2

Z = 3X1 + 4X2

nn

n

jjj

XcXcXcZ

XcZ

2211

1

7

Formulasi Masalah2. Fungsi Pembatas

a. Pembatas Fungsional (Sumber Daya)

Fungsi ini menunjukkan alokasi sumber daya yang tersedia. Apabila setiap unit aktivitas j memerlukan a unit sumber daya i, maka bentuk umum pertidaksamaan fungsi pembatas fungsional adalah:

Untuk ilustrasi 1, fungsi pembatas fungsionalnya adalah:

Subject to 2X1 + 1X2 ≤ 6.000

2X1 + 3X2 ≤ 9.000

11

1 bXan

jjj

11212111 bXaXaXa nn

21

2 bXan

jjj

m

n

jjmj bXa

1

22222121 bXaXaXa nn

mnmnmm bXaXaXa 2211

8

Formulasi Masalah2. Fungsi Pembatas

b. Pembatas Tanda

Fungsi ini menunjukkan bahwa variabel keputusan (Xj) tidak boleh bernilai tertentu. Biasanya, dalam kasus programma linier sederhana, variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif (lebih besar atau sama dengan nol).

Bentuk umum:

Untuk ilustrasi 1, fungsi pembatas tandanya adalah:

X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

0;;0;0 21 nXXX

9

Formulasi MasalahFormulasi masalah secara lengkap dari Ilustrasi 1 adalah:

Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

Subject to (1) 2X1 + 1X2 ≤ 6.000

(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000

(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

Bentuk formulasi masalah di atas merupakan bentuk standar, yang merupakan bentuk paling sederhana dan bisa langsung dipecahkan dengan mudah.

Ciri-ciri dari bentuk standar untuk fungsi tujuan maksimasi:

1. Fungsi pembatas fungsional bertanda ≤ (kurang dari sama dengan);

2. Fungsi pembatas tanda nonnegatif atau bertanda ≥ (lebih dari sama dengan).

10

Pemecahan MasalahPemecahan masalah dari programma linier dapat diselesaikan dengan dua metode: metode visual (grafik) dan metode simpleks. Metode grafik akan dibahas dalam Modul 3 sedang metode simpleks pada Modul 4.

Kelebihan metode visual (grafik) adalah dapat dengan mudah diimplementasikan dan tidak memerlukan perhitungan yang rumit karena mudah untuk dibayangkan secara visual.

Kekurangannya adalah terbatas untuk dua dan tiga variabel keputusan. Hal ini dikarenakan secara visual, hanya mungkin menggambar grafik dalam dua dan tiga dimensi. Bahkan, ada yang hanya membatasi metode grafik hanya mungkin dilakukan dalam dua dimensi dikarenakan dibutuhkan bantuan software un-tuk mempermudah menggambar grafik dalam tiga dimensi. Dalam Modul 3 hanya dibahas metode grafik secara dua dimensi.

Meskipun begitu, metode grafik sangat baik sebagai dasar dalam mempelajari metode pemecahan masalah dari programma linier sebelum menginjak ke algoritma yang lebih rumit: metode simpleks.

11

Metode Grafik1. Gambar dua sumbu x dan y. Ibaratkan X1 sebagai sumbu x dan X2 sebagai sumbu y

0 x

y

-1000600050004000300020001000

6000

5000

1000

2000

3000

4000

12

Metode Grafik2. Gambar semua pembatas fungsional

0 x

y

-1000600050004000300020001000

6000

5000

1000

2000

3000

4000

2X1 + 1X2 ≤ 6.000 2X1 + 3X2 ≤ 9.000

Pembatas fungsional:(1) 2X1 + 1X2 ≤ 6.000(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000

13

Metode Grafik3. Gambar semua pembatas tanda

0 x

y

-1000600050004000300020001000

6000

5000

1000

2000

3000

4000

2X1 + 1X2 ≤ 6.000 2X1 + 3X2 ≤ 9.000X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Pembatas tanda:(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

14

Metode Grafik4. Cari daerah Feasible: “daerah” yang mungkin dijadikan calon solusi.

0 x

y

-1000600050004000300020001000

6000

5000

1000

2000

3000

4000

2X1 + 1X2 ≤ 6.000 2X1 + 3X2 ≤ 9.000X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Daerah Feasible

15

Metode Grafik5. Cari calon solusi dengan melihat titik-titik ujung pada daerah feasible.

Calon solusi:

O. Titik (0,0);

A. Titik (3000,0);

B. Titik (2250,1500);

C. Titik (0,3000).

Cara mencari titik B:

0 x

y

-1000600050004000300020001000

6000

5000

1000

2000

3000

4000

2X1 + 1X2 ≤ 6.000 2X1 + 3X2 ≤ 9.000X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Daerah Feasible

O

C

A

B

2X1 + 1X2 = 6.0002X1 + 3X2 = 9.000

-2X2 = -3.000X2 = 1.500

2X1 + 1X2 = 6.0002X1 + 1.500 = 6.0002X1 = 4.500X1 = 2.250

16

Metode Grafik6. Uji semua calon solusi dengan memasukkan fungsi tujuan dan cari yang paling optimal.

Fungsi tujuan: Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

O. Titik (0,0);

Z = 3(0) + 4(0) = 0

A. Titik (3000,0);

Z = 3(3000) + 4(0) = 9000

B. Titik (2250,1500);

Z = 3(2250) + 4(1500) = 12.750

C. Titik (0,3000);

Z = 3(0) + 4(3000) = 12.000

0 x

y

-1000600050004000300020001000

6000

5000

1000

2000

3000

4000

2X1 + 1X2 ≤ 6.000 2X1 + 3X2 ≤ 9.000X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Daerah Feasible

O

C

A

B

Paling Optimal(Paling Maksimal)

17

Metode Grafik7. Penyelesaian.

Variabel keputusan yang paling optimal:

X1 = 2.250;

X2 = 1.500.

Hal ini berarti produk 1 seharusnya diproduksi sebanyak 2.250 dan produk 2 sebanyak 1.500.

Laba yang diperoleh:

Z = 3X1 + 4X2

Z = 3(2250) + 4(1500)

Z = 12.750.

Try to verify this optimal solution!

18

“Penyimpangan”1. Pembatas fungsional bertanda “≥”

Ketika suatu permasalahan ada pembatas fungsional yang bertanda ≥ (lebih besar atau sama dengan), maka dalam penggambaran di grafik adalah sebagai berikut.

Misal pembatas fungsional adalah 2X1 + X2 ≥ 6.000.

*Perhatikan daerah yang diarsir!

19

“Penyimpangan”2. Pembatas fungsional bertanda “=”

Ketika suatu permasalahan ada pembatas fungsional yang bertanda = (sama dengan), maka dalam penggambaran di grafik adalah sebagai berikut.

Misal pembatas fungsional adalah 2X1 + X2 = 6.000.

*Perhatikan bahwa bila pembatas bertanda =, maka tidak ada yang darsir!

20

“Penyimpangan”3. Fungsi Tujuan Minimasi

Ketika fungsi tujuan dari programma linier adalah minimasi, maka cara penyelesaiannya sama dengan apabila fungsi tujuan maksimasi, hanya saja dalam mencari calon solusi, cari nilai Z yang minimal.

Contoh:

Minimasi Z = 3X1 + 4X2

Subject to (1) 2X1 + X2 ≥ 6.000

(2) 2X1 + 3X2 = 9.000

(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

Fungsi tujuan: Minimasi Z = 3X1 + 4X2

A. Titik (4500,0);

Z = 3(4500) + 4(0) = 13500

B. Titik (2250,1500);

Z = 3(2250) + 4(1500) = 12.750

C. Titik (0,6000);

Z = 3(0) + 4(6000) = 24.000

Paling Optimal(Paling Minimal)

X2 ≥ 0

X1 ≥ 0

21

“Penyimpangan”4. Perubahan dalam pembatas tanda

Ketika suatu permasalahan pembatas tanda tidak nonnegatif, maka dalam penggambaran di grafik adalah sebagai berikut.

Misal pembatas tanda adalah X1 ≤ – 5.000.

*Perhatikan daerah yang diarsir!

X1 ≤ – 5.000

22

“Penyimpangan”5. Masalah tanpa Daerah Feasible

Adakah permasalahan yang tidak mempunyai daerah feasible? Jawabannya adalah ada.

Hal ini terjadi karena batasan yang ada tidak bisa mengakomodir adanya solusi yang optimal

Contoh:

Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

Subject to (1) 2X1 + X2 ≥ 6.000

(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000

(3) 4X1 + 5X2 ≥ 20.000

(4) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

X2 ≥ 0

X1 ≥ 0

23

“Penyimpangan”6. Masalah dengan lebih dari satu solusi optimal

Adakah permasalahan yang mempunyai lebih dari satu solusi optimal? Jawabannya adalah ada.

Hal ini biasanya terjadi kalau fungsi maksimasi mempunyai slope yang sama (sejajar) dengan salah satu pembatas fungsional.

Contoh:

Maksimasi Z = 2X1 + 3X2

Subject to (1) 2X1 + X2 ≤ 6.000

(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000

(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

Fungsi tujuan: Minimasi Z = 2X1 + 3X2

O. Titik (0,0);

Z = 2(0) + 3(0) = 0

A. Titik (3000,0);

Z = 2(3000) + 3(0) = 6000

B. Titik (2250,1500);

Z = 2(2250) + 3(1500) = 9000

C. Titik (0,3000);

Z = 0(0) + 3(3000) = 9000

Paling Optimal(Paling Maksimal)X2 ≥ 0

X1 ≥ 0

24

“Penyimpangan”7. Masalah tanpa solusi optimal

Ada dua kemungkinan suatu permasalahan tidak mempunyai solusi optimal:• Tidak memiliki daerah feasible (sudah dijelaskan pada poin 5);• Ada aktivitas yang tidak memiliki pembatas fungsional. Hal ini berarti aktivitas tersebut tidak

mempunyai batasan, misalnya jumlah uang dianggap tidak menjadi masalah (tidak terbatas).

8. Hubungan antara titik sudut feasible (calon solusi)

Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

Subject to (1) 2X1 + X2 ≤ 6.000(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000(3) X1 ≤ 2.000(4) X2 ≤ 2.800(5) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

Fungsi tujuan: Minimasi Z = 3X1 + 4X2

O. Titik (0,0);

Z = 3(0) + 4(0) = 0

A. Titik (2800,0);

Z = 3(2800) + 4(0) = 8400

B. Titik (2800,400);

Z = 3(2800) + 4(400) = 10000

C. Titik (2250,1500);

Z = 3(2250) + 4(1500) = 12750

D. Titik (1500,2000);

Z = 3(1500) + 4(2000) = 12500

E. Titik (0,2000);

Z = 3(0) + 4(2000) = 8000

25

Analisis SensitivitasAnalisis sensitivitas bertujuan untuk menghitung akibat dari perubahan fungsi pembatas dan fungsi tujuan.

Contoh:

Maksimasi Z = 3X1 + 4X2

Subject to (1) 2X1 + X2 ≤ 6.000

(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000

(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0

Misalkan fungsi pembatas pertama menjadi 2X1 + X2 ≤ 6.500

O. Titik (0,0); Z = 3(0) + 4(0) = 0

A. Titik (3000,0);Z = 3(3000) + 4(0) = 9000

B. Titik (2250,1500);Z = 3(2250) + 4(1500) = 12.750

C. Titik (0,3000);Z = 3(0) + 4(3000) = 12.000

O. Titik (0,0); Z = 3(0) + 4(0) = 0

A. Titik (3250,0);Z = 3(3250) + 4(0) = 9750

B. Titik (2625,1250);Z = 3(2625) + 4(1250) = 12.875

C. Titik (0,3000);Z = 3(0) + 4(3000) = 12.000

EKMA4413 – Riset Op-erasiProgram Studi Manaje-menOleh: M. Mujiya Ulkhaq

Pantai Senggigi, Lombok Barat, NTB

Modul 3

Terima Kasih

감사합니다

Sampai Bertemu Lagi di Pertemuan Selanjutnya

Seoul, 2nd of March 2014