Otro de los libros clásicos usados en bachillerato fue el famosísimo Algebra de Baldor. Este libro con el árabe en la portada es una de las imágenes más vistas en las estanterías de las librerías de Latinoamérica. Todo profesor de bachillerato recomendaba este libro para hacer ejercicios y practicar cualquier tema de matemáticas de secundaria. Incluso este libro era una de las mejores fuentes para estudiar para los exámenes de admisión para las universidades. Cada capítulo del libro comenzaba con la imagen y breve biografía de algún erudito de las matemáticas (Pitagoras, Arquímedes, etc.). Luego venía la parte teórica y finalmente un montón de ejercicios con distintos grados de dificultad. No había rama del Algebra que este libro no explicará con claridad y amplitud. Aurelio Baldor, el autor del libro más famoso de Matemáticas, nació en Cuba en 1906. El creador del Algebra de Baldor era un apacible abogado y matemático que se encerraba durante largas jornadas en su habitación, armado sólo de lápiz y papel, para escribir un texto que desde 1941 es la biblia de las matemáticas de bachillerato. Aurelio Baldor murío en Miami en 1978. El Álgebra de Baldor, en su portada tradicional tiene la imagen del matemático Al Juarismi, razón por la cual algunos pensaban que fue escrito por algun árabe. También existe el libro de Aritmética de Baldor enfocado a las matemáticas para Primaria. El Algebra de Baldor es de esos libros que han pasado de padres a hijos. Muchos lo tenemos tan gastado que ni se vé el Arabe de la portada. Mientras las matemáticas sean importantes, el Algebra de Baldor tendrá un sitio asegurado en la biblioteca de nuestras casas.
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EjerciciosResueltosdelAlgebradeBaldor.
Consultadoenlasiguientedireccinelectrnica
http://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm
.
Definicin:Dosomstrminossonsemejantescuandotienenlasmismasletrasyafectadasporel
mismoexponente. Reduccindedostrminossemejantesdelmismosigno
Procedimiento Para reducir trminos semejantes con el mismo signo se
suman los coeficientes de todos los trminos y se antepone al
coeficiente total el
mismosignoquecomparten,yacontinuacinseescribelaparteliteral.
Reducir: 1.x+2x. Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson1y2.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesx. 1+2=3;x+2x=3x. 2.8a+9a
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson8y9.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesa. 8+9=17;8a+9a=17a. 3.11b+9b
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson11y9.Laparte
literaligualentodoslostrminosesb. 11+9=20;11b+9a=20b. 4.b5b.
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson1y5.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesb. 1+5=6;b5b=6b. 5.8mm
Solucin:
Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson8y1.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesm.
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8+1=9;8mm=9m. 6.9m7m Solucin: Elsignocomnatodoslostrminosesel.
Loscoeficientesdelostrminosson9y7.
Laparteliteraligualentodoslostrminosesm. 9+7=16;9m7m=16m. 3.
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Reduccindedostrminossemejantesdedistintosigno Procedimiento Para
reducir dos trminos semejantes de distinto signo, se halla la
diferencia entreloscoeficientesde los trminos, colocandoantesde
esta
diferenciaelsignodelcoeficientemayor(envalorabsoluto)yacontinuacin
seescribelaparteliteral.
Nota:dostrminossemejantesconigualcoeficienteydistintosignoseanulan.
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Reduccindemsdedostrminossemejantesdesignosdistintos Procedimiento
Para reducir unpolinomio con ms dedos trminossemejantes y con
signos distintos,seprocedeas:
1)Sereducenaunsolotrminotodoslospositivos.
2)Sereducenaunsolotrminotodoslosnegativos.
3)Secalculaladiferenciaentreloscoeficientesdelostrminoshalladosenlosdos
pasosanteriores.
4)Elsignoqueprecederladiferenciahalladaenelpasoanteriorserelquetenga
elcoeficientemayorenvalorabsolutodelostrminoshalladosenlospasos(1)y(2).
5)Porltimo,seescribelaparteliteral. Reducir: 20.
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Reduccindetrminossemejantes
Reduccindeunpolinomioquecontengatrminossemejantesdediversasclases
Procedimiento 1. Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en
un mismo parntesis 2.Sereducenlostrminossemejantes
3.Sedalarespuesta,ordenandoelpolinomioresultante
Nota:recordemosquelostrminossemejantessonaquellosquetienenlas
mismasletrasyafectadasporlosmismosexponentes
Reducirlospolinomiossiguientes: 24.
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Productosnotables a)Cuadradodelasumadedoscantidades Procedimiento
1.Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio
2."Elcuadradodelasumadedoscantidadesesiguala,elcuadradodela primera
cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por la
segunda,mselcuadradodelasegundacantidad"
3.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2 25.
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26. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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b)Cuadradodeladiferenciadedoscantidades Procedimiento
1.Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio
2."Elcuadradodeladiferenciadedoscantidadesesiguala,elcuadradode
laprimeracantidad,menoseldobleproductodelaprimeracantidadporla
segunda,mselcuadradodelasegundacantidad"
3.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2 27.
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c)Productodelasumaporladiferenciadedoscantidades Procedimiento
1."Elproductodelasumaporladiferenciadedoscantidadesesigualal
cuadradodelminuendomenoselcuadradodelsustraendo"
2.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2. 28.
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29. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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d)Cubodeunbinomio Procedimiento
1.Sedesarrollaelparntesis,observandosisetratadelcubo,delasumao
ladiferenciadedoscantidades;enelprimercasoseprocedecomoindicael
paso2,enelsegundocasoseaplicaelenunciadodelpaso3: 2. "El cubo de la
suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad ms
el triplodel cuadrado de la primera por la segunda,ms el triplo de
la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de la segunda"
3."Elcubodeladiferenciadedoscantidadesesigualalcubodelaprimera
cantidadmenoseltriplodelcuadradodelaprimeraporlasegunda,msel triplo
de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la
segunda"
4.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadrado
ysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2. 30.
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31. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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e)Productodedosbinomiosdelaforma(x+a)(x+b) Procedimiento
1.Eldesarrollodelosparntesisdauntrinomio
2.Elprimertrminoserelcuadradodelprimertrminodelosparntesis
(igualenambos) 3. El segundo trmino ser el producto de la suma de
los trminos independientesporelprimertrminocomndelosparntesis
4.Eltercertrminoserelproductodelostrminosindependientes 32.
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Ejerciciosvarios. 33.
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34. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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e)Factorcomn Procedimiento 1.Seidentificaelfactorcomn
2.Sedividecadatrminodelpolinomioporelfactorcomn
3.Seescribeelfactorcomnyacontinuacin,dentrodeunparntesis,los
cocienteshalladosenelpasoanterior(cadaunoprecedidodesurespectivo
signo) 35. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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37. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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f)Factorcomnporagrupacindetrminos Procedimiento
1.Seagrupanlostrminosconvenientemente,utilizandoparntesis
2.Sesacafactorcomndecadaunodelosparntesis
3.Serealizaunasegundafactorizacin(elfactorcomnser,enestecaso,
elparntesis Factorizarodescomponerendosfactores: 38.
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g)Trinomiocuadradoperfecto
Definicin:Unacantidadesuncuadradoperfectocuandoeselresultadodelproductodedos
factoresiguales. Procedimiento 1.Seordenaeltrinomio
2.Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos
3.Sehallaeldobleproductodelasracesobtenidasenelpasoanterior
4.Sielproductohalladoenelpasoanterioresigualalsegundotrminodel
trinomioysielprimeroytercertrminostienenigualsigno,setratadeun
trinomiocuadradoperfectoyseFactorizarcomotal. 5. Se escribe dentro
de un parntesis las races cuadradas del primer y
tercertrmino,separadasporelsignodelsegundotrmino,yelparntesis
elevadoalcuadrado. 39.
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40. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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h)Diferenciadecuadradosperfectos Procedimiento
1.Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo
2.Seabrendosparntesis
3.Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,
delasraceshalladasenelpaso1. 41.
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42. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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i)Diferenciadecuadradosperfectos(casoespecial) Procedimiento
1.Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo
2.Seabrendosparntesis
3.Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,
delasraceshalladasenelpaso1. 4.Sereduce,sieselcaso 43.
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j)Trinomiocuadradoperfectoydiferenciadecuadradosperfectos(combinacindeestosdos
casos) Procedimiento
1.Seidentificaeltrinomiocuadradoperfecto(olos...)
2.Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfecto
3.Sefactorizaladiferenciadecuadradosresultante
4.Sereduce,sieselcaso 45.
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k)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin Procedimiento
1.Seordenaeltrinomio 2.Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos
3.Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior 4. Se
compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo
trminodeltrinomio 5. Se suma o resta, segn el caso, la cantidad
necesaria para crear el segundotrminodeltrinomiocuadradoperfecto
6.Serestaosesumalamismacantidadquesesumoorestoenelpaso
anterior,paraqueelvalordelaexpresinnosealtere 46.
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48. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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l)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin
Factorizarunasumadedoscuadrados Procedimiento
1.Seextraelarazcuadradadeambostrminos
2.Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior
3.Sesumayserestaelproductohalladoenelpasoanterior
4.Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectoasformado
5.Sefactorizaladiferenciadecuadrados 49.
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50. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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Procedimiento 1.Seordenaeltrinomio 2. Se abren dos parntesis, en
cada uno de los cuales se escribir un binomio
3.Sesacalarazcuadradadelprimertrminodeltrinomio,estarazserel
primertrminodecadaunodelosparntesis 4. El signo que separe al
binomio del primer parntesis ser el segundo signodeltrinomio
5.Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoy
tercertrminosdeltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodel
segundoparntesis
6.Silossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualal
coeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualal
tercertrminodeltrinomio
7.Silossignossondiferentes,sebuscandosnmeroscuyadiferenciasea
igualalcoeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductosea
igualaltercertrminodeltrinomio
8.Elmayordelosnmeroshalladosenunodelospasosanterioresserel segundo
trmino del primer parntesis, el menor de los nmeros ser el
segundotrminodelsegundoparntesis 9. Si eltercer trmino es unnmero
muygrande se descompone en sus
factoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlos
pasos7y8 51. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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53. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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Casosespeciales 54.
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Procedimiento ParaFactorizarestaclasedetrinomiossellevaalaforma
ysefactoriza
1.Semultiplicaydivideeltrinomioporelcoeficientedelprimertrmino,estoespora
2.Seescribeeltrinomiodeunaformaadecuada(delaformax2+bx+c)
3.Seabrendosparntesis,encadaunodeloscualesseescribirunbinomio 4. Se
saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser
el primer trminodecadaunodelosparntesis
5.Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparntesisserelsegundosignodeltrinomio
6.Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoytercertrminos
deltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodelsegundoparntesis
7Silossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualalcoeficientedel
segundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrminodeltrinomio
8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya
diferencia sea igual al
coeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrmino
deltrinomio 9. El mayor de los nmeros hallados en uno de los pasos
anteriores ser el segundo trmino del primer parntesis, el menor de
los nmeros ser el segundo trmino del segundoparntesis
10.Sieltercertrminoesunnmeromuygrandesedescomponeensusfactoresprimos
parafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y8
11.Sefactorizanlosparntesisquetenganfactorcomn 12.Sesimplifica 58.
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Factorizarunaexpresinqueeselcubodeunbinomio Procedimiento
Eldesarrollodelcubodeunbinomioes:
Enestaclasedeejerciciossenosdaunaexpresincomoelmiembroderechodelas
identidadesanteriores,esdeciruncuadrinomio;ydebemosconstatarsisetratadeun
cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las
expresiones anteriores);paralocualdebemosproceder:
1.Seordenaelcuadrinomioenformadescendenteoascendenterespectoaunaletra
2.Seextraelarazcbicadelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomio 3. Se
observa si todos los signos son positivos o si se alternan
positivonegativo positivonegativo
4.Setriplicaelcuadradodelarazcbicadelprimertrminoporlarazcbicadel
cuartotrminoysecomparaconelsegundotrminodelcuadrinomiodado
5.Setriplicalarazcbicadelprimertrminoporelcuadradodelarazcbicadel
cuartotrminoysecomparaconeltercertrminodelcuadrinomiodado 6. Si las
dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata
del
desarrollodelcubodeunbinomioysefactorizacomotal:dentrodeunparntesisse
escribenlasracescbicasdelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomioyseparadas
porelsignomsoporelsignomenos,segnelcaso;yseelevaalcuboelparntesis
7.Silasdoscomparacioneshechasenlospasos4y5sonnegativas,nosetratadel
desarrollodelcubodeunbinomioynosepuedefactorizarcomotal 64.
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Sumaodiferenciadecubosperfectos Procedimiento 1.Seabrendosparntesis
2.Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia,segnelcaso,
delasracescbicasdelosdostrminos
3.Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos
(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproducto
delaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz
Descomponerendosfactores: 67.
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Casosespeciales Procedimiento 1.Seabrendosparntesis
2.Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia,segnelcaso,delas
racescbicasdelosdostrminos
3.Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(sies
unasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimera
razporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz 69.
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Combinacindecasosdefactores
Descomposicindeunaexpresinalgebraicaentresfactores Procedimiento
1.Sesacaelfactorcomn
2.Sefactorizalaexpresinresultante,aplicandoelmtododefactorizacin
requerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos
de factorizacin:Ejercicios89a110) 70.
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Descomponerentresfactores: 71.
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Descomposicindeunaexpresinalgebraicaencuatrofactores 72.
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Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin
P r o c e d i m i e n t o Recordemos que "un polinomio entero y
racional en x, que se anula para x = a, es divisible por x - a"
(Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del
trmino independiente 2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para
cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos
como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da
cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor
es, x - a 4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de
la "Divisin sinttica" 73.
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Ejerciciosvariossobreladescomposicinenfactores 75.
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ParacualquierpolinomioquetengaracesenterassepuedeaplicarlaregladeRuffini:Decirque
unpolinomiotienesracesenterasesencontrarvaloresdexnmerosenterosquealsustituirlos
enelpolinomionosdacero. Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto
grado , tiene cuatro races enteras, , , , ,sefactoriza
Perocmoseobtienenlasraces?,porlaregladeRuffini Ejemplo:Factorizar 4
16 12
SeaplicalaregladeRuffini,probandolosdivisoresdeltrminoindependiente,enestecasode12.
Oseaquesepruebacon1,1,2,2,3,3,4,4,6,6,12y12 Probemosconuno
Secopianloscoeficientesdelpolinomio: 1 4 1 16 12
Yseescribeenunasegundalneaelnmerouno 1 4 1 16 12 1
Elprimercoeficientesecopiaabajoenunaterceralnea 1 4 1 16 12 1 1
Semultiplicaesecoeficiente,uno(1),porelnmeroqueestamosprobando,enestecasotambin
uno(1),oseaunoporuno=uno(1).Esteunoseescribedebajodelsiguientecoeficiente,oseadel
4 1 4 1 16 12 1 1 1 Sesuma4+1=3 1 4 1 16 12 1 1 1 3 83.
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Semultiplica3por1=3yseescribedebajodelsiguientecoeficiente,1 1 4 1
16 12 1 1 3 1 3 Sesuma31=4yassucesivamente 1 4 1 16 12 1 1 3 4 12 1
3 4 12 0
Comovemoslaltimasumahadadocero.Esoquieredecirqueunoesunarazdelpolinomioy
quenossirveparaFactorizar.
Sihubieradadodistintodecerohabraqueseguirprobandolosdemsdivisoresde12.
Loscoeficientesquehanquedadoenlaltimafila,enrealidadsonloscoeficientesdelcocientede
dividirelpolinomioentrex1,ylaltimasumaeselrestodedichadivisin.
Siescribimoslarelacinfundamentaldeunadivisinentera,oseaque
Dividendo=DivisorxCociente+Resto 4 16 12 1 3 4 12 De hecho ya hemos
factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado
hay que intentarseguirfactorizando,denuevoporlaregladeRuffini.
Aplicandosucesivasvecesestareglaqueda: 1 4 1 16 12 1 1 3 4 12 1 3 4
12 0 2 2 2 12 1 1 6 0 2 2 6 1 3 0
Comolasracesson,1,2y2yelltimococienteesx3 Lafactorizacinfinales: 4
16 12 1 2 2 3
Sienlassucesivaspruebasnoencontramosningnrestocero,quieredecirqueelpolinomionose
puedefactorizardentrodelosnmerosreales. 84.
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Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumaoladiferenciadelas
cantidades Procedimiento
1.Factorizamosladiferenciadecuadradosenelnumerador 2.Simplificamos.
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Cocientedelasumaodiferenciadeloscubosdedoscantidadesentrelasumaodiferenciade
lascantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia o la
suma, segn el caso, de cubos en el numerador 2.Simplificamos. 86.
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87. Recopilador:DmasoRojas.www.galeon.com/damasorojas/
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DmasoRojas Noviembre2007
![17289638 ejercicios-resueltos-del-algebra-de-baldor[1]](https://img.dokumen.tips/doc/110x75/557931e9d8b42ad6678b48d0/17289638-ejercicios-resueltos-del-algebra-de-baldor1.jpg)
