Unit Pelajaran 8

UNIT PELAJARAN 8

GABUNGAN ARITMETIK BAGI FUNGSI

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Melaksanakan operasi asas ke atas fungsi.

2. Melaksanakan operasi komposisi ke atas fungsi.

3. Melaksanakan operasi songsangan ke atas fungsi.

4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan fungsi.

PENGENALAN

Seperti mana dua nombor nyata boleh digabung dengan operasipenambahan, penolakan, pendaraban dan pembahagian untukmenghasilkan nombor nyata yang baru, dua fungsi juga boleh di-gabung dengan operasi-operasi yang sama dan operasi-operasi yang lain

bagi mendapatkan fungsi yang baru. Gabungan ini dinamakan gabungan

aritmetik fungsi. Bila membincangkan tentang gabungan, domain fungsi

yang terlibat mestilah sentiasa dipertimbangkan supaya gabungan tertakrif

di mana julat fungsi gabungan dapat dinyatakan dengan jelas.

217

UNIT PELAJARAN 8. Gabungan Aritmetik Bagi Fungsi | 218

Dalam Unit 8 ini kita akan membincangkan gabungan ke atas fungsi

dengan operasi asas, operasi komposisi dan operasi songsangan.

8.1 Operasi Asas Ke Atas Fungsi

Operasi asas ke atas fungsi melibatkan operasi penambahan, penolakan,

pendaraban dan pembahagian.

Contoh 8.1 Cari hasil tambah, hasil tolak, hasil darab dan hasil bahagi

fungsi f (x) = 2x+ 3 dan g (x) = x2 1:

Selesaian: Kita dapat membentuk hasil tambah, hasil tolak, hasil darab

dan hasil bahagi fungsi f dan g seperti berikut:

f (x) + g (x) = (2x+ 3) +x2 1

= x2 + 2x+ 2

f (x) g (x) = (2x+ 3) x2 1= x2 + 2x+ 4

f (x) g (x) = (2x+ 3) x2 1= 2x3 + 3x2 2x 3

f (x)

g (x)=

2x+ 3

x2 1 ; x 6= 1

Domain bagi suatu gabungan bagi fungsi f dan g dengan operasi-

operasi asas adalah persilangan domain bagi f dan domain bagi

g. Walaubagaimana pun bagi kes f (x)g (x)

; batasan tambahan diberikan

dengan g (x) 6= 0: Julat bagi gabungan tersebut adalah bergantungkepada domainnya.

Secara amnya, kita dapat takrifkan gabungan bagi fungsi dengan operasi-

operasi asas seperti berikut:


Takrifan 8.1 Diberi dua fungsi f dan g, fungsi-fungsi f + g; f g; f g; danf

gditakrifkan seperti berikut:

a. Fungsi hasil tambah: (f + g) (x) = f (x) + g (x) :

b. Fungsi hasil tolak: (f g) (x) = f (x) g (x) :

c. Fungsi hasil darab: (f g) (x) = f (x) g (x) :

d. Fungsi hasil bahagi:f

g

(x) =

f (x)

g (x); dengan syarat g (x) 6= 0:

Catatan 1

(a) Dom(f + g) = Dom(f g) = Dom(f g) = Dom(f) \Dom(g):

(b) Dom(fg) = (Dom(f) \Dom(g)) kecuali nilai x apabila g(x) = 0:

(c) Ran(f + g); Ran(f g); Ran(f g) dan Ranf

g

bergantung kepada

domain masing-masing.

Contoh 8.2 Katakan f (x) = 2x+1 dan g (x) = x2+2x1: Cari (f + g) (x) ;(f g) (x) ; (f g) (x) ; dan

f

g

(x) ; dan tentukan domain dan julat masing-

masing.

Selesaian:

(a)

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

= (2x+ 1) +x2 + 2x 1

= x2 + 4x

Dom (f) = Dom (g) = R: Jadi,Dom (f + g) = R:Oleh keranaDom(f+

g) = R; maka Ran(f + g) adalah [4;1): Berikut adalah gambaran


graf-graf f; g dan f + g:

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f (x) = 2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

g (x) = x2 + 2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

(f + g) (x) = x2 + 4x

(b)

(f g) (x) = f (x) g (x)

= (2x+ 1) x2 + 2x 1= x2 + 2

Dom (f) = Dom (g) = R: Jadi,Dom (f g) = R:Oleh keranaDom(fg) = R; maka Ran(f + g) adalah (1; 2]: Berikut adalah gambarangraf-graf f; g dan f g:

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f (x)= 2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

g (x)= x2+2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

(f g) (x)= x2+2


(c)

(f g) (x) = f (x) g (x)

= (2x+ 1) x2 + 2x 1= 2x3 + 5x2 1

Dom (f) = Dom (g) = R: Jadi, Dom (f g) = R: Oleh kerana Dom(f g) = R; maka Ran(f + g) adalah (1;1): Berikut adalah gambarangraf-graf f; g dan f g:

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f (x) = 2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

g (x) = x2 + 2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

(f g) (x)= 2x3+5x21

(d)f

g

(x) =

f (x)

g (x)

=2x+ 1

x2 + 2x 1

Dom (f) = Dom (g) = R: Perhatikan bahawa Domf

g

diperoleh

dengan syarat g (x) = x2+2x 1 6= 0; iaitu, jika x2+2x 1 = 0; maka,x =p2 1 atau x = p2 1Oleh yang demikian, Dom

f

g

adalah

semua nombor nyata R kecuali pada x =p2 1 atau x = p2 1:

Oleh kerana Domf

g

adalah seperti di atas;maka Ran

f

g

adalah


(1;1): Berikut adalah gambaran graf-graf f; g dan fg:

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f (x)= 2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

g (x)= x2+2x+ 1

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f

g

(x)=

2x+ 1

x2 + 2x 1

Catatan 2 Adalah penting diingatkan bahawa batasan ke atas domain bagi

fungsi f atau g perlu diambilkira apabila membentuk hasil tambah, hasil

tolak, hasil darab dan hasil bahagi bagi f dan g: Umpamanya, domain bagi

f (x) =1

xialah semua nombor nyata kecuali pada x = 0; iaitu, (1; 0) [

(0;1) (atau Rn f0g ), dan domain bagi g (x) = px ialah [0;1) : Oleh itu,domain bagi (f + g) ialah (0;1) :

Contoh 8.3 (Hasil Bahagi Fungsi dan Domain) Katakan f (x) = px dang (x) =

p4 x2: Cari f

gdan g

f:

Selesaian:

(a)f

g

(x) =

pxp

4 x2 ; Dom (f) = [0;1) ; Dom (g) = [2; 2] : Dom(f)\

Dom(g) = [0; 2] : Maka, Domf

g

= [0; 2) :

(b)g

f

(x) =

p4 x2px

; dan Domg

f

= (0; 2]


Latihan Formatif 8.1

1. Diberi f(x) = 4x 12 dan g(x) = x 3. Cari fungsi-fungsi berikutberserta domain dan julat mereka.

(a) (f + g)(x)(b) (f g)(x)(c) (f g) (x)(d)

f

g

(x)

2. Pertimbangkan fungsi f dan g seperti dalam soalan 1. Cari

(a) (f + g)(2)(b) (f g)(5)(c) (f g)(1)(d)

f

g

(4)

3. Diberi g(x) = 2x 1 dan h(x) = 6 x x2. Cari fungsi-fungsi berikutberserta domain dan julat mereka.

(a) (g + h)(x)(b) (g h)(x)(c) (g h)(x)(d)

gh

(x)

8.2 Fungsi Komposisi

Satu lagi cara untuk menggabung dua fungsi ialah dengan membentuk kom-

posisi satu fungsi dengan satu yang lain. Sebagai contoh,

f (x) = x2 dan g (x) = x+ 1


Komposisi bagi fungsi f dengan g ialah

f (g (x)) = f (x+ 1)

= (x+ 1)2

8.2.1 Formula Fungsi Komposisi

Takrifan 8.2 (Komposisi Dua Fungsi) Katakan g : X ! Y 0 dan f : Y !Z di mana Y 0 Y; dan Ran (g) Dom (f) : Komposisi bagi fungsi f danfungsi g; dilambangkan sebagai

f g

dan ditakrifkan sebagai

(f g) (x) = f [g (x)] (8.1)

x z = f(y)= f(g(x))

X Y Z

y = g(x)

g f

f o g

Y

Fungsi g (x) adalah fungsi terkedalam dan fungsi f (x) adalah fungsi terkeluar.

Domain bagi f g ialah set bagi semua elemen x dalam domain bagi gdemikian sehingga g (x) berada dalam domain bagi f; dan julat bagi f gadalah julat bagi f yang mana domain f adalah julat bagi g: Ini dapat diru-muskan seperti berikut:

Dom (f g) = fx 2 Dom (g) j g (x) = Ran(g) 2 Dom (f)g

Ran(f g) = ff(x) j x 2 Ran(g)g


Catatan 3 Sekiranya Ran(g) di luar Dom(f); maka f g tidak boleh di-takrifkan.

Contoh 8.4 Katakan X = f1; 2; 3g ; Y 0 = fa; b; cg ; Y = fa; b; c; d; eg ; danZ = fx; y; zg : g : X ! Y 0 adalah fungsi yang ditakrifkan sebagai

g (1) = c; g (2) = b; g (3) = a

dan f : Y ! Z adalah fungsi yang ditakrifkan sebagai

f (a) = y; f (b) = y; f (c) = z; f (d) = z; f (e) = z

Tentukan Dom(f g) dan Ran(f g): Cari f g sekiranya ianya tertakrif.

Selesaian:

Dom (g) = f1; 2; 3g ; Ran(g) = fa; b; cg;

Dom(f) = fa; b; c; d; e; fg; Ran (f) = fy; zg

Dom (f g) = fx 2 Dom (g) j Ran(g) Dom (f)g

= f1; 2; 3g

Ran (f g) = ff(x) j x 2 Ran(g)g = fy; zg

Maka f g tertakrif dan

(f g) (1) = f [g (1)] = f (c) = z

(f g) (2) = f [g (2)] = f (b) = y

(f g) (3) = f [g (3)] = f (a) = y

Oleh itu f g = f(1; z); (2; y); (3; y)g:


Gambarajah Venn di bawah menjelaskan selesaian di atas.

1

2

3

X Y Z

g f

(f o g)(2) = y

de

x

y

z

abc

Y

(f o g)(3) = y

(f o g)(1) = z

Contoh 8.5 Diberi f (x) = x+ 2 dan g (x) = 4 x2:

(a) TentukanDom (fg) danRan(fg): Seterusnya kirakan fg sekiranyaia tertakrif.

(b) TentukanDom (gf) danRan(gf): Seterusnya kirakan gf sekiranyaia tertakrif.


Selesaian:

(a)

Dom(g) = R; Ran(g) = (1; 4]

Dom(f) = Ran (f) = R

Dom (f g) = fx 2 Dom (g) j Ran(g) 2 Dom (f)g = R

Ran(f g) = ff(x) j x 2 Ran(g)g = (1; 6]:

Oleh itu f g tertakrif dan

(f g) (x) = f (g (x))= f (4 x2)= (4 x2) + 2= x2 + 6

Berikut adalah gambaran graf-graf g; f dan f g:

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

g (x)= 4 x2

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f (x)= x+ 2

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

(f g) (x)= x2+6


(b)

Dom(f) = Ran(f) = R

Dom(g) = R; Ran (g) = (1; 4]

Dom (g f) = fx 2 Dom (f) j Ran(f) 2 Dom (g)g = R

Ran(g f) = fg(x) j x 2 Ran(f)g = (1; 4]

Oleh itu g f tertakrif dan

(g f) (x) = g (f (x))= g (x+ 2)

= 4 (x+ 2)2

= 4 (x2 + 4x+ 4)= x2 4x

Berikut adalah gambaran graf-graf f; g dan g f:

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

f (x)= x+ 2

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

g (x)= 4 x2

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

x

y

(g f) (x)= x24x

Perhatikan bahawa dalam contoh di atas, (f g) (x) 6= (g f) (x) :


Contoh 8.6 Diberi f (x) = ln x dan g (x) = x2:

(a) TentukanDom (fg) danRan(fg): Seterusnya kirakan fg sekiranyaia tertakrif.

(b) TentukanDom (gf) danRan(gf): Seterusnya kirakan gf sekiranyaia tertakrif.

Selesaian:

(a)

Dom(g) = R; Ran(g) = (1; 0]

Dom(f) = (0;1):

Tetapi Ran(g) =2 Dom (f) ; maka, f g tidak tertakrif.

(b)

Dom(f) = (0;1); Ran(f) = R

Dom(g) = R

Dom (g f) = fx 2 Dom (f) j Ran(f) 2 Dom (g)g = (0;1)

Ran(g f) = fg(x) j x 2 Ran(f)g = (1; 0]:

Oleh it g f tertakrif dan

(g f) (x) = g (f(x))= g (lnx)

= (lnx)2

8.2.2 Mencari Nilai Fungsi Komposisi

Katalah kita diberi dua fungsi f dan g dan kita dikehendaki mencari fungsi

komposisi f dan g pada satu nilai, katalah (f g)(3): Untuk tujuan ini, kita


tidak perlu mencari f g terlebih dahulu dan kemudian masukkan nilai 3untuk (f g)(3) walaupun ia tidak salah, tetapi kita perlu cara yang lebihcepat untuk menilai (f g)(3): Kita tahu (f g)(3) = f(g(3)); oleh itu kita carig(3) dahulu dan kemudian baru masukkan nilai g(3) di dalam f:

Contoh 8.7 Katakan f(x) = 3x 2 dan g(x) = x2 + 2x: Cari nilai fungsikomposisi di bawah

(a) (f g)(4)

(b) (g f)(3)

(c) (f g)(2)

(d) (g f)(2)

Selesaian:

(a) Oleh kerana g(4) = (4)2 + 2(4) = 8; maka,

(f g)(4) = f [g(4)] = f(8) = 3(8) 2 = 22

(b) (g f)(3) = g [f(3)] = g(7) = 63:

(c) (f g)(2) = f [g(2)] = f(8) = 22:

(d) (g f)(2) = g [f(2)] = g(4) = 24:

8.2.3 Suatu Fungsi Sebagai Komposisi Fungsi Yang Lebih Mudah

Sesuatu fungsi yang agak rumit selalunya boleh dilihat sebagai komposisi

fungsi-fungsi yang lebih mudah. Sebagai contoh, fungsi h (x) = (x 3)2


mengandungi dua operasi: tolak 3 dan kuasa dua. Fungsi h boleh diungkap-

kan sebagai komposisi fungsi f (x) = x2 dan g (x) = x 3; iaitu:

(f g) (x) = f [g (x)]

= f (x 3)

= (x 3)2 = h (x)

Contoh 8.8 (Mengenalpasti Fungsi Komposit) Ungkapkan fungsi h (x) =1

(x 2)2 sebagai komposisi dua fungsi.

Selesaian 1 Satu cara selesaian ialah dengan memilih fungsi terkedalam

sebagai g (x) = x 2 dan fungsi terkeluar sebagai f (x) = 1x2: Jadi,

(f g) (x) = f [g (x)]

= f (x 2)

=1

(x 2)2 = h (x)


1. Diberi f (x) = x2 9 dan g (x) = p9 x2: Tentukan Dom (f g) danRan(f g): Seterusnya cari f g sekiranya ia tertakrif.

2. Diberi f (x) = 2x1 dan g (x) = 6xx2: Cari (f g)(x) dan (gf)(x)dan juga domainnya.

3. Diberi f (x) = 3x 2 dan g (x) = x2+2x: Cari (f g)(x) dan (g f)(x):

4. Diberi f (x) = 2x 3 dan g (x) = x2 + 3x: Cari (g f)(1); (f g)(1) dan(f f)(4):

5. Ungkapkan fungsi di bawah sebagai komposisi dua fungsi.


(a) h(x) = px 2

(b) F (x) = 3x 6

8.3 Songsangan bagi Fungsi dan Fungsi Songsangan

Dalam bahagian ini kita akan membincangkan songsangan sesuatu fungsi.

8.3.1 Kewujudan Fungsi Songsangan

Mari kita pertimbangkan dua set X = fp; q; rg dan Y = fs; t; ug: Katakan fadalah hubungan seperti di dalam rajah di bawah:

p

q

r

s

t

u

X Y

f

Adakah f

merupakan satu

fungsi?

Sekarang cuba kita

terbalikkan anak panah

iaitu Y menjadi domain.Katalah g adalah

hubunganyang baru

seperti di sebelah.

s

t

u

p

q

r

Y X

g

Adakah g

merupakan satu

fungsi?

Katalah h adalah hubungan lain yang memetakan setX kepada Y seperti

di dalam rajah di bawah.

p

q

r

s

t

u

X Y

h

Adakah h

merupakan satu

fungsi?

Sekarang cuba kita

terbalikkan anak panah

iaitu Y menjadi domain.Katalah k adalah

hubungan yang baru

seperti di sebelah.

s

t

u

p

q

r

Y X

k

Adakah k

merupakan satu

fungsi?


Catatan 4

1. Sekiranya hubungan pembalikan sesuatu fungsi adalah fungsi, maka

fungsi tersebut dikatakan adalah kebolehsongsangan. Dari contoh di

atas, h dikatakan kebolehsongsangan dan f adalah tidak.

2. Fungsi pembalikan tersebut dikatakan sebagai fungsi songsangan ke-

pada fungsi asal. Fungsi songsangan f dilambangkkan sebagai f1

(dibaca sebagai "songsangan f "). Contoh k = h1:

Cuba anda fikirkan adakah f1 = 1f?:

Takrifan 8.3 (Fungsi Injektif) Sekiranya sesuatu fungsi tidak mempunyaidua pasangan tertib yang mengandungi koordinat x yang berbeza tetapi

koordinat y yang sama, maka fungsi tersebut dikatakan sebagai fungsi in-

jektif.

Merujuk kepada gambar rajah di atas, h adalah fungsi injektif tetapi fadalah bukan.


Contoh 8.9 Manakah di antara gambar rajah anak panah berikut meru-pakan fungsi injektif?

abcd

123

X Y

f

(a)

abcd

123

X Y

f

(b)

abc

1234

X Y

f

(c)

Selesaian:

(a) bukan fungsi.

(b) bukan injektif kerana elemen c dan d berkongsi dengan elemen 3:

(c) adalah fungsi injektif.

Takrifan 8.4 (Fungsi Surjektif) Sekiranya sesuatu fungsi yang mana se-mua y koordinatnya mempunyai x koordinat, maka fungsi tersebut dikatakan

sebagai fungsi surjektif.


Contoh 8.10 Manakah di antara gambar rajah anak panah berikut meru-pakan fungsi surjektif?

abc

1234

X Y

f

(a)

abc

1234

X Y

f

(b)

abcd

123

X Y

f

(c)

Selesaian:

(a) bukan fungsi

(b) bukan injektif dan bukan surjektif kerana ada elemen dalam set Y yangtidak mempunyai koordinat x:

(c) adalah fungsi surjektif.

Takrifan 8.5 (Fungsi Bijektif) Sekiranya sesuatu fungsi adalah fungsi in-jektif dan surjektif, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi bijektif.

abcd

1234

X Y

f


Catatan 5 Sekiranya sesuatu fungsi itu adalah bijektif maka songsangankepada fungsi tersebut wujud.

Contoh 8.11 Tentukan fungsi-fungsi di bawah adalah kebolehsongsangan

atau tidak. Sekiranya ia adalah kebolehsongsangan, carikan fungsi song-

sangannya.

(a) f = f(2; 4); (2; 4); (3; 9)g

(b) g =2;1

2

;

5;1

5

;

7;1

7

Selesaian:

(a) Untuk fungsi f; oleh kerana (2; 4) dan (2; 4) mempunyai y koordinatyang sama, maka f adalah tidak injektif. Setiap koordinat y dalam fmempunyai koordinat x; maka f adalah surjektif. Walau bagaimana-pun f adalah tidak bijektif (sebab bukan injektif), maka f adalah fungsiketidakbolehsongsangan. Dengan itu f tidak ada songsangan.

(b) Fungsi g adalah injektif dan surjektif, maka g adalah bijektif. Oleh itug adalah fungsi kebolehsongsangan. Songsangan bagi g = g1 =

1

2; 2

;

1

5; 5

;

1

7; 7

Sekiranya sesuatu fungsi ditulis dalam bentuk persamaan, bagaimana-

kah caranya kita menentukan fungsi tersebut mempunyai songsangan? Da-

lam bentuk persamaan, Takrifan-takrifan injektif, surjektif, dan bijektif bolehdituliskan seperti berikut:

Takrifan 8.6 Diberi fungsi f : X ! Y; f dikatakan sebagai:

(a) Fungsi injektif sekiranya jika f(x1) = y = f(x2); maka x1 = x2:

(b) Fungsi surjektif sekiranya untuk semua y 2 Y; wujud x 2 X sehinggaf(x) = y:


(c) Fungsi bijektif sekiranya f injektif dan surjektif.

Contoh 8.12 Tentukan fungsi-fungsi di bawah adalah kebolehsongsangan

atau tidak.

(a) f : R ! R di mana f(x) = 4x 1:

(b) f : R ! R di mana f(x) = x2:

Selesaian:

(a) f(x) = 4x 1:

(i) Untuk menguji injektif: Diberi f(x1) = f(x2); adakah x1 = x2?

f(x1) = f(x2)

) 4x1 1 = 4x2 1

) 4x1 = 4x2) x1 = x2:

Maka f adalah fungsi injektif.

(ii) Untuk menguji surjektif: Untuk semua y 2 R;adakah wujud x 2 R;sehingga f(x) = y?

f(x) = y

) y = 4x 1

) 4x = y + 1

) x = y + 14:

Oleh kerana y 2 R; maka x = y + 142 R: Oleh itu x wujud untuk

semua y: Maka f adalah fungsi surjektif.


(iii) Oleh kerana f injektif dan surjektif, maka f adalah bijektif. Olehitu f adalah kebolehsongsangan.

(b) f(x) = x2

(i) Untuk menguji injektif: Diberi f(x1) = f(x2); adakah x1 = x2?

f(x1) = f(x2)

) (x1)2 = (x2)2

x1 boleh jadi tidak sama dengan x2:Contoh, pilih x1 = 1; x2 = 1

f (1) = f (1) = 1

tetapi x1 6= x2

Oleh itu f bukanlah fungsi injektif. Maka f bukan fungsi bijektif.Oleh itu f adalah ketidakbolehsongsangan.

Teorem 8.1 Jika f : X ! Y adalah suatu fungsi bijektif, maka wujud suatufungsi songsangan kepada f; iaitu f1 : Y ! X ditakrifkan seperti berikut:

f1 (y) = x jika dan hanya jika y = f (x) (8.2)

Untuk mencari fungsi songsangan bagi sesuatu fungsi yang kebolehsong-

sangan dan berbentuk persamaan, kita bolehlah menggunakan strategi

tukar dan selesai seperti di bawah:

Strategi Tukar Dan Selesai

1. Gantikan f(x) dengan y:

2. Tukar ganti x dan y:

3. Selesaikan persamaan untuk y:


4. Gantikan y dengan f1(x):

Contoh 8.13 (Mencari Fungsi Songsangan) Cari fungsi songsangan bagifungsi-fungsi di bawah:

(a) f(x) = 4x 1

(b) f(x) = x+ 1x 3

Selesaian:

(a) Katakan y = f(x) = 4x 1:

Ganti f(x) dengan y : y = 4x 1Tukar ganti x dan y : x = 4y 1Selesaikan untuk y : 4y = x+ 1

) y = x+ 14

Ganti y dengan f1(x) : f1(x) = x+ 14:

(b) Katakan y = f(x) = x+ 1x 3 :

Ganti f(x) dengan y : y = x+ 1x 3

Tukar ganti x dan y : x = y + 1y 3

Selesaikan untuk y : x(y 3) = y + 1) xy 3x = y + 1) xy y = 3x+ 1) y(x 1) = 3x+ 1) y = 3x+ 1

(x 1)Ganti y dengan f1(x) : f1(x) = 3x+ 1

(x 1) :


8.3.2 Mentahkikkan Fungsi Songsangan

Pertimbangkan contoh di bawah.

Contoh 8.14 Diberi f (x) = 2x+ 3 dan g (x) = x 32: Maka,

(f g) (x) = f [g (x)]

= f

x 32

= 2

x 32

+ 3

= x

dan,

(g f) (x) = g (f (x))

= g (2x+ 3)

=(2x+ 3) 3

2

= x

(f g) (x) = (g f) (x) = x untuk setiap x dalam domain g dan setiap xdalam domain f: Dalam keadaan ini, fungsi g dikatakan sebagai songsan-

gan kepada fungsi f:

Takrifan 8.7 Katakan f dan g adalah dua fungsi demikian sehingga

(f g) (x) = x untuk setiap x dalam domain g

dan

(g f) (x) = x untuk setiap x dalam domain f:

Maka, fungsi g adalah songsangan kepada fungsi f dan dilambangkan


sebagai f1, iaitu:

f f1 (x) = f f1 (x) = x

dan f1 f (x) = f1 (f (x)) = x

Dom (f) = Dom (f1) dan Ran (f) = Ran (f1) :

Contoh 8.15 (Mentahkikkan Fungsi Songsangan) Tunjukkan bahawa fungsi-fungsi ini adalah songsangan satu sama lain.

f (x) = 2x3 1 g (x) = 3rx+ 1

2

Selesaian: Perlu tunjukkan f g = x = g f:

(f g) (x) = f (g (x))

= f

3

rx+ 1

2

!

= 2

3

rx+ 1

2

!3 1

= x

dan

(g f) (x) = g (f (x))

= g2x3 1

=3

r(2x3 1) + 1

2

= x


Contoh 8.16 (Mentahkikkan Fungsi Songsangan) Manakah antara fungsi-fungsi berikut adalah songsangan bagi f (x) = 5

x 2 ?

g (x) =x 25

h (x) =5

x+ 2

Selesaian:

f (g (x)) = f

x 25

=

5x 25

2

=25

x 12 6= x

Oleh kerana komposisi ini tidak memberikan fungsi identiti x; maka g

bukan songsangan bagi fungsi f:

f (h (x)) = f

5

x+ 2

=

55

x+ 2

2

= x

Ini menunjukkan bahawa h adalah songsangan bagi fungsi f: Ini dapatdibuktikan lagi dengan menunjukkan komposisi h dengan f :

h (f (x)) = h

5

x 2

=55

x 2 + 2 = x

8.3.3 Graf bagi Suatu Fungsi Songsangan

Graf-graf bagi suatu fungsi f dan fungsi songsangannya f1 berkait antara

satu sama lain. Jika titik (a; b) berada pada graf f; maka titik (b; a) pula


berada pada graf f1; dan sebaliknya. Ini bermakna graf bagi f1 adalah

pantulan kepada graf f pada garis y = x: Ini ditunjukkan dalam rajah dibawah.

y

x

(a, b)

(b, a)y = f--1(x)

y = f-(x)

y = x

8.3.4 Ujian Garis Mengufuk

Sesuatu fungsi dikatakan mempunyai songsangan sekiranya tiada garisan

mengufuk bersilang pada graf lebih dari sekali. Kaedah bagi menentukan

suatu fungsi mempunyai songsangan dengan melukis garis mengufuk dina-

makan kaedah Ujian Garis Mengufuk.

Contoh 8.17 Fungsi yang grafnya di bawah tidak mempunyai songsangan

kerana garisan mengufuk yang dilukiskan bersilang pada graf dua kali seperti

dalam rajah di bawah.



1. Tentukan sama ada fungsi yang diberi sebagai pasangan tertib berikut

adalah kebolehsongsangan. Jika ianya adalah kebolehsongsangan,

carikan fungsi songsangannya dan nyatakan domain dan julat bagifungsi songsangan tersebut.

(a) f = f(1; 1); (0; 3); (1; 5); (2; 7)g:

(b) g = f(3; 3); (2; 2); (0; 0); (2; 2)g:

(c) h = f(16; 4); (9; 3); (0; 0)g:

(d) f = f(0; 5); (5; 0); (6; 0)g:

2. Tentukan sama ada fungsi berikut adalah kebolehsongsangan. Jika

ianya adalah kebolehsongsangan, carikan fungsi songsangannya.

(a) f(x) = 4x+ 1

(b) g(x) = 2x2 1

(c) f(x) = x4; x 0

3. Cari fungsi songsangan bagi fungsi-fungsi berikut:

(a) f(x) = 5x 9

(b) f(x) = x+ 1x 3

(c) g(x) = 3x 4

4. Tentukan sama ada fungsi f dan g adalah songsangan antara satu

sama lain.

(a) f(x) = 3x dan g(x) = x3:

(b) f(x) = 2x 1 dan g(x) = 12x+ 1:


RUMUSAN

Dalam Unit 8 ini kita telah lihat bagaimana kita boleh menggabungkan fungsi

dengan operasi asas (tambah, tolak, darab dan bahagi) dan komposisi.Unit ini juga membincangkan tentang bila sesuatu fungsi itu adalah ke-bolehsongsangan dan bagaimana mencari songsangan sesuatu fungsi.

KATA KUNCI

Operasi asas, fungsi komposisi, kebolehsongsangan, songsangan.

LATIHAN SUMATIF 8

1. Nyatakan Betul(B) atau Salah(S) bagi pernyataan di bawah. Jelaskanjawapan anda

(a) Fungsi f g dan g f adalah sentiasa sama.

(b) Fungsi f g dan f g adalah sentiasa sama.

(c) Fungsi F (x) = px 5 adalah komposisi dua fungsi.

(d) Fungsi f(x) = 3 adalah fungsi bijektif.

(e) Hanya fungsi bijektif adalah kebolehsongsangan.

(f) Domain g adalah sama dengan julat g1:

2. Diberi f(x) = 4x 3 dan g(x) = x2 2x: Cari yang berikut

(a) (f + g)(x)

(b) (f g)(x)

(c) (f + g)(3)

(d) (f g)(3)


(e) (f g)(1)

(f)f

g

(4)

3. Diberi f(x) = px dan g(x) = x2 1: Cari fungsi komposisi berikut dantentukan domainnya.

(a) f f

(b) g g

(c) f g

(d) g f:

4. Diberi g(x) = x2 + 3x dan h(x) = x+ 32: Cari fungsi komposisi berikut:

(a) (g h)(1)

(b) (h h)(x):

5. Biarkan f(x) =px; g(x) = x2 dan h(x) = x 1: Tuliskan setiap fungsi

berikut sebagai komposisi fungsi-fungsi f; g atau h:

(a) F (x) = px 3

(b) G(x) = x2 6x+ 9

(c) H(x) = x2 3

(d) J(x) = x 6

6. Cari fungsi songsangan bagi fungsi-fungsi berikut:

(a) m(x) = 2x

(b) f(x) = 3px 4

(c) f(x) = 3p3x+ 7

(d) f(x) = x+ 1x 2


(e) g(x) = x+ 13x 4

7. Tentukan sama ada fungsi f dan g adalah songsangan antara satu

sama lain.

(a) f(x) = 3x+ 5; g(x) = x 53

(b) f(x) = x3 9; g(x) = 3px+ 9

(c) f(x) = x 1x+ 1

; g(x) =x+ 1

1 x(d) f(x) = 1

x; g(x) =

1

x

RUJUKAN

1. Aufmann, R.N., Barker, V.C., Lockwood, J.S. (2000). Intermediate Al-gebra with Application, 5th Ed. Boston, MA: Houghton Mifflin Com-

pany.

2. Dugopolski, M. (2009). Elementary and Intermediate Algebra, 3rd ed.IL: McGraw-Hill.

3. Gustafson, R.D., Frisk, P.D., (1999). Algebra for College Students, 5th

Ed. CA: Brooks/Cole Publishing Company.

4. Larson, R.E., Hostetler, R.P., Edwards, B.H., Heyd, D.E. (1997). Col-lege Algebra: A Graphing Approach, 2nd Ed. Boston, MA: Houghton

Mifflin Company.

5. Spiegel, M.R. & Moyer, R.E. (2006). Schaums Outlines: College Al-gebra, 3rd ed. NY: McGraw-Hill.


JAWAPAN


1. (a) (f + g)(x) = 5x 15; Dom(f + g) = R; Ran(f + g) = R:

(b) (f g)(x) = 3x 9; Dom(f g) = R; Ran(f g) = R:

(c) (f g)(x) = 4x2 24x + 36; Dom(f g) = R; Ran(f g) =[0;1):

(d)f

g

(x) = 4; Dom

f

g

= Rnf3g; Ran(f

g) = f4g:

2. (a) (f + g)(2) = 5

(b) (f g)(5) = 6

(c) (f g)(1) = 64

(d)f

g

(4) = 4

3. (a) (g + h)(x) = 5 + x x2; Dom(g + h) = R; Ran(g + h) =(1; 21=4]:

(b) (g h)(x) = x2 + 3x 7; Dom(g h) = R; Ran(g h) =[37=4;1):

(c) (g h)(x) = 2x3x2+13x6; Dom(g h) = R; Ran(g h) =R:

(d)gh

(x) =

2x 16 x x2 ; Dom

gh

= Rnf3; 2g; Ran

gh

=

R:


1. Dom(f g) = [3; 3]; Ran(f g) = [9; 0]; (f g)(x) = x2:

2. (f g)(x) = 112x2x2; Dom(f g) = R:(g f)(x) = 6+2x4x2;Dom(g f) = R:


3. (f g)(x) = 3x2 + 6x 2; (g f)(x) = 9x2 6x:

4. (g f)(1) = 2; (f g)(1) = 5; (f f)(4) = 7:

5. (a) h(x) = px 2 = f g; di mana f(x) = px dan g(x) = x 2:

(b) F (x) = 3x 6 = 3(x 2) = f g; di mana f(x) = 3x dan g(x) =x 2:


1. (a) f adalah kebolehsongsangan. f1 = f(1;1); (3; 0); (5; 1); (7; 2)g:Dom(f1) = f1; 3; 5; 7g; Ran(f1) = f1; 0; 1; 2g:

(b) g adalah ketidakbolehsongsangan.

(c) h adalah kebolehsongsangan. h1 = f(4; 16); (3; 9); (0; 0)g:Dom(h1) = f4; 3; 0g; Ran(h1) = f16; 9g:

(d) f adalah ketidakbolehsongsangan.

2. (a) f adalah kebolehsongsangan. f1(x) = 1 x4:

(b) g adalah ketidakbolehsongsangan.

(c) f adalah kebolehsongsangan. f1(x) = x1=4:

3. (a) f1(x) = x+ 95:

(b) f1(x) = 3x+ 1x 1 :

(c) g1(x) = 3x+ 4:

4. (a) Ya (b) Bukan.

LATIHAN SUMATIF 8

1. (a) S (b) S (c) B d) S (e) B (f) B

2. (a) (f + g)(x) = x2 + 2x 3


(b) (f g)(x) = 4x3 11x2 + 6x

(c) (f + g)(3) = 12

(d) (f g)(3) = 30

(e) (f g)(1) = 21

(f)f

g

(4) =

13

8

3. (a) (f f) (x) = 4px, Dom(f f ) = [0;1)

(b) (g g) (x) = x4 2x2; Dom(g g) = R

(c) (f g) (x) =px2 1; Dom(f g) = (1; 1] [ [1;1)(d) (g f) (x) = x 1; Dom(g f) = [0;1)

4. (a) (g h)(1) = 4

(b) (h h)(x) = x+ 94

5. (a) F (x) = f h

(b) G(x) = g h

(c) H(x) = h g

(d) J(x) = h h

6. (a) m1(x) = 2x

(b) f1(x) = x3 + 4

(c) f1(x) = x3 73

(d) f1(x) = 2x+ 1x 1

(e) g1(x) = 1 + 4x3x 1

7. (a) Ya (b) Ya (c) Ya (d) Ya

Documents

Unit Pelajaran 8