UNIT PELAJARAN 5 PEMBEZAAN.pdf

Kalkulus Asas|126

UNIT PELAJARAN 5

PEMBEZAAN

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menyatakan pembezaan sebagai perubahan suatu kuantiti terhadap kuantiti

yang lain.

2. Mencari pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan Kaedah Prinsip

Pertama.

3. Mencari pembezaan suatu fungsi dengan menggunakan rumus pembezaan.

.

4. Menentukan terbitan pertama untuk fungsi polinomial mudah, trigonometri,

logaritma dan exponential.

Unit 5 Pembezaan |127

PENGENALAN

embezaan atau terbitan adalah satu ukuran bagi perubahan suatu fungsi terhadap

perubahan pembolehubah bebasnya. Dalam erti kata lain, pembezaan boleh takrifkan

sebagai kadar perubahan suatu kuantiti terhadap suatu kuantiti yang lain. Sebagai

contoh, kecerunan satu garis lurus dinyatakan sebagai perubahan nilai menegak, ,

terhadap perubahan nilai mengufuk, , seperti berikut

n n n p

n p

Proses menentukan perubahan berbanding ini adalah proses pembezaan dan ditulis sebagai

Pembezan atau terbitan pertama bagi fungsi bermakna pembezaan peringkat

pertama dan ditulis sebagai

atau . Terbitan bagi fungsi pada satu titik memberikan

kecerunan garis tangen kepada graf fungsi itu pada titik tersebut. Konsep pembezaan ini boleh

diaplikasikan dalam pelbagai bidang dan salah satunya ialah bidang fizik. Misalnya, perubahan

jarak suatu objek, , terhadap masa, , dikenali sebagai halaju, . Proses perubahan ini ditulis

sebagai

.

Di awal bab ini, pelajar akan diperkenalkan dengan konsep had bagi suatu fungsi. Seterusnya,

pelajar akan didedahkan dengan cara untuk mendapatkan terbitan atau pembezaan sesuatu fungsi

dengan menggunakan konsep had dan juga menggunakan rumus. Pengetahuan tentang terbitan

sesuatu fungsi amat penting bagi semua pelajar kerana ia banyak diaplikasikan dalam kehidupan

seharian.

P

Layari Laman Web untuk mengetahui sejarah mengenai Pembezaan:

http://www.math.wpi.edu/IQP/BVCalcHist/calc2.html

Kalkulus Asas|128

5.1 Pembezaan

Terbitan sesuatu fungsi boleh dijana dengan menggunakan kaedah Prinsip Pertama

(Konsep Had) atau Petua Pembezaan. Teknik pembezaan yang menggunakan kaedah

had ini akan dibincangkan di Seksyen 5.2 manakala rumus-rumus terbitan akan dihuraikan

dengan lebih lanjut di Seksyen 5.3.

Untuk membezakan suatu fungsi menggunakan kaedah Prinsip Pertama, pengetahuan

mengenai had perlu diperkukuhkan terlebih dahulu. Oleh itu, mari kita mengimbas kembali

apa yang telah anda pelajari di unit sebelum ini. Had bagi fungsi ketika

menghampiri nilai dari kiri dan kanan ialah suatu nilai . Penyataan ini boleh ditulis

dengan ringkas sebagai

Sebagai contoh, diberi fungsi . Perubahan nilai-nilai apabila

menghampiri 1 boleh dilihat dengan menggantikan beberapa nilai yang berhampiran

dengan 1 (tapi bukan sama dengan 1) ke dalam fungsi tersebut, seperti di dalam

Jadual 5.1.

Jadual 5.1

•

0.9000 0.9900 0.9990 0.9999 1 1.0001 1.0010 1.0100 1.1000

2.52 2.9502 2.9950 2.9995 3 3.0005 3.0050 3.0502 3.52

Daripada jadual tersebut, dapat dilihat bahawa nilai semakin hampir dengan 3

apabila nilai semakin menghampiri 1 dari kiri dan kanan. Tatatanda untuk operasi ini

ialah

Maka, fungsi ini mempunyai had ketika menghampiri 1. Ini terbukti kerana had kiri

dan had kanan fungsi tersebut adalah sama ketika menghampiri nilai tersebut. Dengan


itu, had fungsi apabila menghampiri 1 ialah 3. Pernyataan di atas

boleh ditulis sebagai

Contoh 5.1

Dapatkan

Penyelesaian:

Jadual 5.2

-0.100 -0.050 -0.010 -0.001 0 0.001 0.010 0.050 0.100

100 400 10,000 1,000,000 NaN 1,000,000 10,000 400 100

Rajah 5.1

INGAT! Had suatu fungsi 𝑓 𝑥 pada nilai 𝑥 menghampiri 𝑎

diperolehi dengan mengambil nilai-nilai 𝑥 yang sangat hampir dengan 𝑎

tetapi bukan 𝑥 𝑎.

Kalkulus Asas|130

Daripada Jadual 5.2 dapat dilihat bahawa semakin menghampiri 0, nilai ⁄ menjadi semakin

besar. Ini diperkukuhkan lagi dengan graf fungsi ⁄ yang ditunjukkan dalam gambarajah

5.1. Dalam rajah tersebut, dapat dilihat bahawa ketika mendekati 0 dari kiri, nilai

menghampiri

dan ketika menghampiri 0 dari kanan, nilai semakin mendekati

Oleh yang demikian, fungsi ketika , iaitu

Perhatikan bahawa fungsi ini tidak ditakrif di !

Sebaliknya, terdapat juga keadaan di mana fungsi tidak mempunyai had ketika

menghampiri nilai tertentu. Ini adalah disebabkan had kiri dan kanan fungsi tersebut tidak

sama apabila menghampiri nilai tersebut. Lihat contoh 5.12 untuk lebih memahami

pernyataan di atas.

Contoh 5.2

Dapatkan

8

Penyelesaian:

Jadual 5.3

-2.100 -2.050 -2.010 -2.001 -2 -1.999 -1.990 -1.950 -1.900

-0.793 -1.626 -8.292 -83.292 NaN 83.403 8.375 1.709 0.876


Rajah 5.2

Dari Jadual 5.3 dan Rajah 5.2, didapati ketika menghampiri -2 dari kiri, nilai

menjadi semakin kecil sehingga ke ,

Sedangkan ketika mendekati -2 dari kanan, nilai semakin bertambah menghampiri

,

Oleh itu, fungsi ini tidak mempunyai had ketika menghampiri -2 iaitu

Berikut adalah teorem yang boleh digunakan bagi memudahkan untuk mencari had

sesuatu fungsi.

i. ialah pemalar.

ii.

iii.

Kalkulus Asas|132

iv. [ ]

v. [ ] [ ] [ ]

vi.

vii. √ √

Contoh 5.3

Dapatkan had bagi fungsi-fungsi berikut.

a) 7 b)

c) √

Penyelesaian:

a)

7

7

7

7

b)

9

6

c)

√

9 √

9

√

7

𝑥

𝑥 9

𝑥

9

Jika

Had ini adalah tidak tertakrif.

Kaedah ini SALAH!


5.2 Pembezaan Menggunakan Kaedah Prinsip Pertama

Sekarang, perhatikan Rajah 5.3 di bawah. Jika dan adalah dua titik

berdekatan yang terletak pada lengkung , maka garis lurus yang

menyambungkan kedua-dua titik tersebut (dipanggil perentas) mempunyai kecerunan

manakala garis lurus yang hanya menyentuh titik dikenali sebagai tangen.

Rajah 5.3

Latihan Formatif 5.1

Dapatkan nilai-nilai had berikut.

a) 𝑥 4

𝑥 5 𝑥 e) 𝑥

𝑥 4

𝑥

b) 𝑥

𝑥 𝑥

𝑥

f) 𝑥

𝑥 5𝑥

5𝑥 7𝑥 6

c) 𝑥 ∞

5𝑥

5 𝑥

g) 𝑥 ∞

5𝑥 4

4𝑥

d) 𝑥

𝑥 𝑥

𝑥

h) 𝑥

𝑥

Perentas

Tangen

𝛿𝑥

𝑥 𝑥

Kalkulus Asas|134

Oleh kerana dan , maka

Jika diambil , maka persamaan di atas boleh ditulis sebagai

Apabila titik semakin menghampiri sepanjang lengkung , maka akan

menghampiri dan menyebabkan nilai semakin mengecil sehingga

menghampiri sifar. Keadaan ini akan mengakibatkan garis perentas akan

menghampiri garis tangen pada titik . Oleh itu, kecerunan garis tangen pada ialah

Maka boleh disimpulkan bahawa kecerunan tangen kepada lengkung pada

suatu titik tertentu diwakili oleh

⁄ .

Contoh 5.4

Dapatkan terbitan bagi setiap fungsi berikut dengan menggunakan idea had.

a) b) ⁄

Penyelesaian:

a) n

Maka

Oleh itu,


b)

5.3 Pembezaan Fungsi Piawai

5.3.1 Pembezaan Fungsi Malar


Jika 𝑦 𝑓 𝑥 𝑐 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥

Secara geometri, graf

bagi 𝑦 𝑐 merupakan

satu garis mengufuk.

Maka kecerunan garis

itu ialah sifar.

Dapatkan terbitan bagi fungsi-fungsi berikut menggunakan Prinsip Pertama.

a) 𝑓 𝑥 𝑥 5𝑥 d) 𝑓 𝑥 𝑥

b) 𝑓 𝑥 8 e) 𝑓 𝑥

𝑥

c) 𝑓 𝑥 𝑥 f) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥

Kalkulus Asas|136

Contoh 5.5

Bezakan fungsi-fungsi berikut:

a) b)

c) 7

Penyelesaian:

a)

[ ] b)

*

+ c)

[7 ]

5.3.2 Pembezaan Fungsi Kuasa

Contoh 5.6

Dapatkan terbitan bagi:

a) 4 b)

c) 6

Latihan Formatif 5.3.1

Jika 𝑦 𝑓 𝑥 𝑐𝑥𝑛 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑐𝑛𝑥𝑛

Dapatkan terbitan bagi setiap fungsi berikut.

a) 𝑓 𝑥 5

d) 𝑓 𝑥 4

b) 𝑓 𝑥 8 e) 𝑓 𝑥 𝑘

c) 𝑓 𝑥 log 8 f) 𝑓 𝑥 7

𝑑 p m ol i i

𝑑 p m ol n n

Pembezaan tidak semestinya ditulis dalam bentuk 𝑑𝑦

𝑑𝑥 atau 𝑓 𝑥 . Ia juga boleh ditulis

dalam bentuk huruf-huruf lain seperti 𝑑𝑠

𝑑𝑡. Umumnya, pembezaan diwakili oleh

.


Penyelesaian:

a)

[ 4] 4 b)

*

+

5

c)

*6

+

6(

)

5.3.3 Pembezaan Fungsi Trigonometri

Contoh 5.7 Dapatkan terbitan bagi:

a) 7 o c)

in


Jika 𝑦 𝑓 𝑥 in 𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 o 𝑥

Jika 𝑦 𝑓 𝑥 o 𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 in 𝑥

Jika 𝑦 𝑓 𝑥 t n 𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑥

Bezakan fungsi-fungsi berikut.

a) 𝑓 𝑥 𝑥 d) 𝑓 𝑥 𝑥

b) 𝑓 𝑥 9𝑥 4 e) 𝑓 𝑥 𝑥

c) 𝑓 𝑥 5𝑥 f) 𝑓 𝑥 𝑒𝑥

Kalkulus Asas|138

b) t n

Penyelesaian:

a)

[7 o ] 7 in c)

*

in +

o

b)

5.3.4 Pembezaan Fungsi Logaritma

Sebelum kita pergi lebih lanjut dalam bahagian ini, marilah kita imbas semula beberapa sifat

logaritma khususnya fungsi logaritma asli. Logaritma asli ialah logaritma yang berasaskan e

dan sering ditulis sebagai log atau ln . Antara sifat-sifat logaritma asli ialah:

(i) ln

(ii) ln

(iii) ln ln ln

(iv) ln

ln ln

(v) ln ln


Dapatkan 𝑑𝑦

𝑑𝑥 bagi setiap fungsi berikut.

a) 𝑦 5 8 𝑒 in 𝑥

b) 𝑦 4 o 𝑥

c) 𝑣 5 t n 𝑡


Selanjutnya,

Contoh 5.8

Dapatkan terbitan bagi:

a)

ln c) 7 ln

b) log

Penyelesaian:

a)

b)

log

c) 7 (

) ln

* 4

ln +

4


Jika 𝑦 𝑓 𝑥 ln 𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥

𝑥

Jika 𝑦 𝑓 𝑥 log𝑎 𝑥, maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥

𝑥log𝑎 𝑒

Dapatkan 𝑓 𝑥 jika

a) 𝑓 𝑥 ln 𝑥 c) 𝑓 𝑥 ln𝑒

𝑥

b) 𝑓 𝑥 log 𝑥 d) 𝑓 𝑥 log √

𝑥5

Kalkulus Asas|140

5.3.5 Pembezaan Fungsi Exponential

Contoh 5.9

Bezakan fungsi-fungsi berikut terhadap .

a) b)

Penyelesaian:

a) b)

RUMUSAN

1. Suatu fungsi mempunyai had pada titik tertentu sekiranya nilai had fungsi tersebut pada

titik itu adalah sama dari arah kiri dan kanan.

2. Terbitan suatu fungsi adalah diwakili oleh tatatanda

⁄ atau


Bezakan setiap persamaan berikut.

a) 𝑦 𝑒 4𝑥 c) 𝑦 𝑒6𝑥

b) 𝑝 8𝑒 𝑞 d) 𝑦

7𝑒 𝑥

𝑒5𝑥

Jika 𝑦 𝑓 𝑥 𝑒𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑒𝑥

Jika 𝑦 𝑓 𝑥 𝑒 𝑥 maka 𝑑𝑦

𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑒 𝑥


3. Kecerunan garis tangen pada lengkung pada satu titik tertentu boleh diperolehi

dengan menggunakan kaedah prinsip pertama di mana

⁄

dengan ialah tokokan kecil dalam .

4. Terbitan suatu fungsi juga boleh didapati dengan menggunakan rumus terbitan. Sebagai

contoh, jika maka

⁄ .

KATA KUNCI

Terbitan, Pembezaan, Prinsip pertama, Had, Fungsi malar, Fungsi exponential, Fungsi kuasa,

Fungsi trigonometri, Fungsi logaritma.

Latihan Sumatif

1. Cari nilai had bagi fungsi-fungsi berikut.

a) 𝑥 4

𝑥 𝑥

𝑥 𝑥 d)

𝑥

𝑥

sin𝑥

b) 𝑥

𝑥

cos𝑥 e)

𝑥 𝑥

𝑥

c) 𝑥 ∞

7 𝑥

𝑥 f)

𝑥

𝑥

𝑥

2. Bezakan fungsi-fungsi berikut dengan menggunakan kaedah prinsip pertama.

a) 𝑓 𝑥 8𝑥 e) 𝑓 𝑥

𝑥

b) 𝑓 𝑥

𝑥 7 f) 𝑓 𝑥 𝑥

c) 𝑓 𝑥 𝑥 g) 𝑓 𝑥 𝑥 9𝑥

d) 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 h) 𝑓 𝑥 𝑥

𝑥

Kalkulus Asas|142

RUJUKAN

Steward, J. (2003). Calculus (5th Ed.). Brooks/Cole: Belmont.

Md.Raji, A.W., Rahmat, H., Kamis, I., Mohamad, M.N. & Ong, C.T. (2000). Kalkulus. UTM.

Pek Wei, W., Sin Mong, W. (2005). Sukses Matematik Tambahan SPM. Penerbit Fajar Bakti Sdn.

Bhd.: Selangor.

Layari Laman Web http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html

3. Dengan menggunakan rumus pembezaan, dapatkan terbitan pertama bagi

a) 𝑦 𝑥 in𝜋 e) 𝑦 o (𝜃

)

b) 𝑓 𝑥 𝑥 f) 𝑦 4

𝑒𝑥

c) 𝑔 𝑥 𝑎 g) 𝑦 𝑥7

d) 𝑠

𝑡5 h) 𝑦 𝑥

4. Bezakan fungsi-fungsi berikut

a) 𝑓 𝑥

𝑥 f) 𝑠 𝑡 𝑎 ln 𝑡

b) ℎ 𝜃 𝑒t n 𝜃 g) ℎ 𝑥 𝑒𝑥

c) 𝑣 𝑡 ln 𝑡 h) 𝑓 𝑥

𝑝 𝑥

d) 𝑓 𝑥

𝑥 i) 𝑔 𝑥 𝜋𝑥

e) 𝑔 𝑥 4 o 𝑥 j) 𝑓 𝑡 𝑐 𝑡


JAWAPAN LATIHAN FORMATIF


a) 13.732 b) 1 c) 5/2 d) 3

e) 4 f) 3/13 g) 5/3 h) Tiada


a) 5 b) 0 c) 9

d)

e)

f) 4


a) 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0


a) 4 b) 9 c)

d) 10 e)

f)


a) 5 8 o b) 4 in c) 5


a) b)

log c)

d)

log


a) 4 4 b) 48 c) d) 4

Kalkulus Asas|144

JAWAPAN LATIHAN SUMATIF

1. a)

b) 0 c)

4

d) 1 e) -12 f) 1

2. a) 6 b)

c) d) 8 4

e)

f)

g) 9 h) 3

3. a) in b)

c) 0 d)

6

e)

in (

) f)

4

g) 6

h)

4. a) 15 b) t n c)

d)

e) 4 in f)

g) 6 h)

i) 6 j)

Documents

UNIT PELAJARAN 5 PEMBEZAAN.pdf