Unit Pelajaran 3

UNIT PELAJARAN 3. Pengenalan dan opreasi matriks|59

UNIT PELAJARAN 3

PENGENALAN DAN OPERASI MATRIKS

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap akan dapat:

1. Menyatakan takrif dan tatatanda matriks.

2. Menyatakan kesamaan dua matriks.

3. Menyatakan jenis-jenis matriks.

4. Melakukan operasi terhadap matriks.

PENGENALAN

alam kehidupan seharian, kita selalu berhadapan dengan situasi yang memerlukan kita

melakukan susunan. Sebagai contoh, di dalam bilik darjah, murid-murid akan ditempatkan

dengan tatacara susunan berbentuk segiempat tepat. Begitu juga dengan kalendar, tarikh-

tarikh disusun mengikut tatasusunan segi empat tepat. Susunan yang begini, kita kenali sebagai

matriks. Dalam Matematik, matriks boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah yang

melibatkan sistem persamaan linear dua atau lebih anu.

D

Layari: http://www.ualr.edu/lasmoller/matrices.html untuk mengetahui sejarah matriks.


3.1 TAKRIF DAN TATATANDA MATRIKS

Beberapa contoh matriks:

[ ]1352 −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

961

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

81031240431

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−

−

10692

Saiz atau peringkat sesuatu matriks dinyatakan dalam sebutan jumlah baris (melintang) dan lajur

(menegak). Matriks yang mempunyai 𝑚 baris dan 𝑛 lajur dikenali sebagai matriks peringkat 𝑚×𝑛 dan

dibaca sebagai "𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑘𝑠 𝑚 × 𝑛". Cuba kita lihat contoh di bawah ini yang mana matriks ini

mempunyai saiz atau peringkat 2 x 3 iaitu 2 baris dan 3 lajur.

Contoh 3.1

Matriks [ ]1352 − mempunyai satu baris dan empat lajur, maka matriks ini adalah pada peringkat

1 x 4.

Takrif. Suatu matriks adalah tatasusunan nombor-nombor yang disusun dalam baris

dan lajur yang berbentuk segi empat tepat. Nombor-nombor ini dikenali sebagai unsur matriks.

Baris 1

Baris 2

Lajur 1 Lajur 2 Lajur 3

!3 2 21 9 −2!


Contoh 3.2

Matriks ini pula,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

961

mempunyai tiga baris dan satu lajur, maka saiz atau peringkat matriks ini ialah

3 x 1.

Contoh 3.3

Bagaimana pula dengan matriks ini,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

81031240431

? Masih juga mengikut contoh-contoh sebelum ini

iaitu dapatkan bilangan barisnya dahulu diikuti bilangan lajurnya. Maka, ini merupakan matriks yang

bersaiz atau berperingkat 3 x 3.

Secara umumnya, unsur yang terletak pada baris ke-i dan lajur ke-j bagi sesuatu matriks A diwakili oleh

𝑎!" . Perlu diberi perhatian bahawa, tatatanda matriks lazimnya adalah sesuatu matriks diwakili dengan

huruf besar dan unsur dalam matriks diwakili dengan huruf kecil sepeti contoh di bawah ini.

Cuba anda fikirkan contoh-contoh matriks peringkat 2 x 1, 3 x 2 dan 1 x 1.


Contoh 3.3

Jika kita diberi satu matriks, 𝐴 = 2 41 57 9

, kita boleh nyatakan unsurnya seperti berikut:

𝑎!! = 2 , iaitu unsur pada baris 1 dan lajur 1 ialah 2. Seterusnya, kita boleh tulis:

𝑎!" = 4; 𝑎!" = 1; 𝑎!! = 5, ; 𝑎!" = 7;𝑎!" = 9.

1. Bagi setiap matriks berikut, nyatakan peringkatnya.

a) 1 5 68 5 2

b) 0 57 82 0

c) 158

2. Berikan satu contoh untuk setiap matriks peringkat:

a) 1×2 b) 2×3 c) 1×3

3. Diberi 𝐵 = 5 4 10 2 8 , tentukan unsur berikut :

a) 𝑏!! b) 𝑏!" c) 𝑏!!

4. Jika 𝐶 = 2 𝑥 −1𝑦 0 82 4 𝑧

, cari nilai bagi 𝑥,𝑦 dan 𝑧 dengan keadaan :

a) 𝑥 = 𝑐!" b) 𝑦 = 𝑐!" + 𝑐!" − 𝑐!" c) 𝑧 = 2𝑐!! + 𝑐!"

Latihan Formatif 3.1


3.2 KESAMAAN DUA MATRIKS

Contoh 3.4

Mari kita pertimbangkan matriks-matriks berikut:

𝐴 =−5

45

065

; 𝐵 = −5 0.80 1.2 ; 𝐶 =

1 8 15 5 23 2 2

Jika kita perhatikan betul-betul, kita akan dapati bahawa matriks A dan matriks B mempunyai saiz atau

peringkat yang sama dan mempunyai unsur-unsur sepadan yang sama. Oleh itu, kita katakan bahawa

matriks A dan matriks B adalah sama, A = B. Namun demikian, matriks C adalah tidak sama dengan

matriks A mahu pun matriks B kerana saiz atau peringkatnya tidak sama.

Contoh 3.5

Bagaimana pula, jika kita diminta untuk mendapatkan nilai anu agar kedua-dua matriks adalah sama.

Cuba lihat contoh di bawah:

𝐴 = 1 8 𝑥5 5 23 2 1

; 𝐵 = 1 8 25 5 2𝑦 2 1

Apakah nilai x dan nilai y agar matriks A dan B adalah matriks sama? Mudah sahaja, iaitu x = 2

dan y = 3.

Takrif. Dua matriks, A dan B adalah sama jika kedua-dua A dan B mempunyai peringkat yang sama dan setiap pasangan unsur yang sepadan juga adalah sama.


1. Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut adalah sama atau tidak.

a) 45 dan 5 4

b) 2 15 3 dan 1 2

5 3

c) 6 0 05 1 9 dan 6 0 0

5 1 9

d) 5 4 𝑥 dan 5 4 𝑦

e) 2+𝑚 𝑝𝑞 dan 𝑚 + 2

𝑞𝑝

2. Tentukan nilai 𝑥 dan 𝑦 dalam setiap persamaan matriks berikut:

a) 𝑥 + 14+ 2𝑦 = 3𝑦

b) 𝑥 2−4 0 = 𝑦 + 2 𝑦

−4 0

c) 1 3− 𝑥 4−5 8 3 = 1 1 4

−5 𝑦 − 3 3

d) 2𝑥 − 1 61− 𝑦 80 −2

=9 6−4 80 −2

e) 2𝑥 + 𝑦 6 2−9 4 07 3𝑦 − 4 2

=8− 𝑦 6 2−9 4 07 11 2



3.3 JENIS-JENIS MATRIKS

Terdapat pelbagai jenis matriks. Antaranya adalah diberikan di bawah ini.

a) Matriks sifar

Matriks yang mempunyai kesemua unsur sifar dan diwakili oleh simbol, O.

Contoh matriks sifar:

0 00 0

0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0

000

b) Matriks segi empat sama

Matriks yang berbentuk segi empat sama dengan bilangan baris sama dengan bilangan lajur.

Contoh matriks segi empat sama:

1 35 8

−2 5 45 8 86 −6 8

8 2 −8 58 −1 −2 692

42

17

8−3

c) Matriks pepenjuru

Matriks yang berbentuk segi empat sama yang semua unsurnya sifar kecuali pada pepenjuru

utama.

Contoh matriks pepenjuru:

1 00 2

−2 0 00 1 00 0 8

8 0 0 00 2 0 000

00

40

8−6

d) Matriks Identiti

Matriks yang berbentuk segi empat sama yang semua unsurnya sifar kecuali pada pepenjuru

utama mempunyai unsur 1. Matriks identiti ditandakan dengan simbol 𝐼 . Matrik ini juga dikenali


sebagai matriks unit kerana hasil pendaraban dengan matriks identiti akan mendapat semula

matriks asal (𝐴𝐼 = 𝐼𝐴 = 𝐴).

Contoh matriks identiti:

1 00 1

1 0 00 1 00 0 1

1 0 0 00 1 0 000

00

10

01

e) Matriks segi tiga

Matriks segi empat sama yang dikatakan sebagai matriks segi tiga atas jika semua unsur di

bawah pepenjuru utamanya sifar. Matriks segi tiga bawah pula adalah apabila semua unsur di

atas pepenjuru utamanya sifar.

Contoh matriks segi tiga atas:

1 50 1

2 5 30 −5 60 0 1

5 −8 6 10 6 −7 200

00

−80

8−9

Contoh matriks segi tiga bawah:

−6 05 5

9 0 02 1 0−5 −11 −8

1 0 0 05 −7 0 09−2

−86

58

01


3.4 OPERASI MATRIKS

Untuk operasi matriks, kita akan memberi tumpuan kepada penambahan, penolakan dan pendaraban

matriks. Oleh itu, anda di minta untuk memahami bagaimana operasi-operasi ini dilakukan.

3.4.1 PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN MATRIKS

Penambahan matriks

Jika diberi matriks 𝐴 =

𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!! ⋯

𝑎!!𝑎!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!"

dan matrik 𝐵 =

𝑏!! 𝑏!"𝑏!" 𝑏!!

⋯ 𝑏!!𝑏!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑏!! 𝑏!! ⋯ 𝑏!"

Maka, 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 ialah

𝐶 =

𝑎!! + 𝑏!! 𝑎!" + 𝑏!"𝑎!" + 𝑏!" 𝑎!! + 𝑏!!

⋯ 𝑎!! + 𝑏!!𝑎!! + 𝑏!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! + 𝑏!! 𝑎!! + 𝑏!! ⋯ 𝑎!" + 𝑏!"

Contoh 3.6

Katakan 𝐴 = 2 53 08 1

dan 𝐵 = 10 46 79 2

,

Takrif. Dua matriks A dan B hanya boleh ditambah atau ditolak jika kedua-dua matriks mempunyai

peringkat yang sama. Hasil tambah (atau hasil tolak) dua matriks tersebut boleh dilakukan dengan

menambah (atau menolak) unsur-unsur yang sepadan dalam setiap matriks itu. Matriks yang

berlainan peringkat tidak boleh ditambahkan atau ditolakkan.


maka 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 2 + 10 5 + 43 + 6 0 + 78 + 9 1 + 2

= 12 99 717 3

Penolakan matriks

Jika di beri matriks 𝐴 =

𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!! ⋯

𝑎!!𝑎!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!"

dan matrik 𝐵 =

𝑏!! 𝑏!"𝑏!" 𝑏!!

⋯ 𝑏!!𝑏!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑏!! 𝑏!! ⋯ 𝑏!"

Maka, 𝐶 = 𝐴 − 𝐵 ialah

𝐶 =

𝑎!! − 𝑏!! 𝑎!" − 𝑏!"𝑎!" − 𝑏!" 𝑎!! − 𝑏!!

⋯ 𝑎!! − 𝑏!!𝑎!! − 𝑏!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! − 𝑏!! 𝑎!! − 𝑏!! ⋯ 𝑎!" − 𝑏!"

Contoh 3.7

Diberi matriks 𝐴 = 847

dan matriks 𝐵 = 211

. Oleh itu, matriks 𝐴 − 𝐵 ialah:

Katakan matriks C = A - B, maka

C =847−

211 =

8 − 24 − 17 − 1

= 636

Cuba anda fikirkan jika dua matriks yang mempunyai peringkat yang berlainan ditambahkan atau ditolakkan, apakah hasilnya?


Contoh 3.8

Jika anda diminta untuk mencari nilai 𝑥 dan nilai 𝑦 dalam persamaan matriks seperti berikut, apa yang

akan anda lakukan? Sila cuba dahulu sebelum menyemak bagaimana kedua-dua nilai, 𝑥 dan 𝑦

diperoleh.

5 𝑥 59 1 4 + 6 −3 1

−2 4 𝑦 = 11 8 67 5 9

𝑥 + −3 = 8, maka 𝑥 = 11.

4+ 𝑦 = 9, maka 𝑦 = 5.

1. Tentukan sama ada pasangan matriks berikut boleh ditambah atau ditolak.

a) 0−2 ,

925

b) −1 1 1 , 2 4 2

c) 1 03 3 , 3 −1

4 −2

d) 1 212 3 ,

1 −92 52 4

e) 2 −8 63 1 −9 , 0 0 3

1 1 0



2. Permudahkan setiap operasi berikut sebagai satu matriks tunggal.

a) 23 + 0

−2

b) −9 3 + 5 5

c) 1 5−3 0 + −8 10

14 3

d) 4 7 − −2 3

e) 10−3

− −580

f) 3 56 5−7 −3

− 4 0−8 63 3

3. Permudahkan setiap operasi berikut sebagai satu matriks tunggal.

a) 23 + 0

−2 + −105

b) −9 3 + 5 5 − −10 −3

c) 1 5−3 0 − −8 10

14 3 − 5 −7−3 5

d) 4 7 − −2 3 + 0 3

e) 10−3

+ −580

− 102

f) 3 56 5−7 −3

− 4 0−8 63 3

+ 3 −30 6−4 −5


3.4.2 PENDARABAN MATRIKS

Pendaraban matriks dengan skalar

Jika matriks 𝑚×𝑛 dan 𝑘 nombor nyata (skalar), maka hasil darab 𝑘 dengan matriks A , iaitu

𝑘𝐴 diberikan oleh:

𝑘𝐴 = 𝑘

𝑎!!𝑎!"

𝑎!"𝑎!! ⋯

𝑎!!𝑎!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎!! 𝑎!! ⋯ 𝑎!"

=

𝑘𝑎!!𝑘𝑎!"

𝑘𝑎!"𝑘𝑎!!

⋯ 𝑘𝑎!!𝑘𝑎!!

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑘𝑎!! 𝑘𝑎!! ⋯ 𝑘𝑎!"

Hasil darab 𝑘𝐴 diperoleh dengan mendarapkan setiap unsur dalam matriks A dengan 𝑘.

Sifat-sifat pendaraban matriks dengan skalar

Jika matriks A, B dan O , maka untuk sebarang skalar 𝑘!, 𝑘! dan 𝑘!. Sifat-sifat berikut dipenuhi.

(i) 𝑘 𝐴 + 𝐵 = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵

(ii) 𝑘! + 𝑘! 𝐴 = 𝑘!𝐴 + 𝑘!𝐴

(iii) 𝑘! 𝑘!𝐴 = 𝑘!� 𝑘! 𝐴

(iv) 𝑂𝐴 = 𝑂

(v) 𝑘𝑂 = 𝑂

Takrif. Jika A sebarang matriks dan 𝑘 adalah sebarang skalar, maka hasildarab 𝑘 dengan

matriks A , iaitu 𝑘𝐴 adalah matriks yang diperoleh dengan mendarabkan setiap unsur

dalam A dengan k.


Contoh 3.9

Diberi

𝐴 = 2 13 5 , 𝐵 = 4 1

−2 6 , 𝐶 = 1 00 1

Hitungkan,

a) 3𝐴

b) 2𝐵 + 3𝐶

c) 2𝐴 − 𝐵

Penyelesaian

a) 3𝐴 = 3 2 13 5 = (3)2 (3)1

(3)3 (3)5

= 6 39 15

b) 2𝐵 + 3𝐶

= 2 4 1−2 6 + 3 1 0

0 1

= 8 2−4 12 + 3 0

0 3

= 11 2−4 15

c) 2𝐴 − 𝐵

= 2 2 13 5 − 4 1

−2 6

= 4 26 10 − 4 1

−2 6

= 0 18 4


1. Selesaikan setiap operasi berikut.

a) 3 7 86 9 + −4 1

5 0 − 4 5 −22 3

b) 0.5 340 + 2

78−3

− 3 65−2

c) 4 2 1 03 5 6 − 3 2 −4

0 9 7 + !! 2 −4 86 0 10

2. Cari matriks A supaya

a) A − 2 4−5 = 37

b) 2 A + 1 4 = 3 −2

c) 2 1 −4−3 0 + A = 3 0 2

5 −1

d) 108−4

− 2 A = 2 405



Pendaraban Matriks dengan Matriks

Secara amnya,

A =𝑎!! 𝑎!"𝑎!" 𝑎!!𝑎!" 𝑎!"

dan B = b!! b!"b!" b!!

3×2 2×2

Hasil darab matriks C berperingkat 3×2 diperoleh adalah seperti berikut;

𝐶 = 𝑎!!b!! + 𝑎!"b!" 𝑎!!b!" + 𝑎!"b!!𝑎!"b!! + 𝑎!!b!" 𝑎!"b!" + 𝑎!!b!!𝑎!"b!! + 𝑎!"b!" 𝑎!"b!" + 𝑎!"b!!

Pendaraban matriks tidak bersifat kalis tukar tertib. Pendaraban matriks berbeza dari pendaraban

nombor nyata dalam aspek berikut:

i) Jika 𝐴𝐵 = O, tidak semestinya matriks 𝐴 = O atau 𝐵 = O.

Contoh:

Ambil, 𝐴 = 1 −11 −1 ≠ O dan 𝐵 = 1 1

1 1 ≠ O

𝐴𝐵 = O

Takrif. Jika matriks A berperingkat 𝑚×𝑛 dan matriks B berperingkat 𝑛×𝑟 maka pendaraban

kedua-dua matriks ini akan menghasilkan suatu matriks C berperingkat 𝑚×𝑟. Unsur-unsur dalam

C ditentukan dengan memilih baris i daripada matriks A dan lajur j daripada matriks B, kemudian

darabkan unsur-unsur yang sepadan daripada baris dan lajur, dan jumlahkan hasil darabnya.


ii) Jika 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 , maka tidak semestinya matriks 𝐵 = 𝐶.

Contoh:

Ambil, 𝐴 = 1 11 1 , 𝐵 = 1 1

0 0 , 𝐶 = 0 01 1

Maka 𝐴𝐵 = 1 11 1 dan 𝐴𝐶 = 1 1

1 1 . Perhatikan bahawa 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 tetapi 𝐵 ≠ 𝐶.

Sifat-sifat pendaraban matriks dengan matriks

Jika hasil tambah dan hasil darab matriks A,B dan C tertakrif, maka pendaraban matriks memenuhi

sifat-sifat berikut.

i) 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶

ii) 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶

iii) (A+B)C= AC +BC

iv) k(AB) = A(kB), dengan k adalah pemalar.

Contoh 3.10

Diberi

𝐴 =2 13 41 1

, 𝐵 = 1 32 2 , 𝐶 = 0 1

1 −2

Hitungkan

a) 𝐴𝐵

b) BC

c) CB


Penyelesaian

a) 2 13 41 1

1 32 2 =

2 1 + 1(2) 2 3 + 1(2)3 1 + 4(2) 3 3 + 4(2)1 1 + 1(2) 1 3 + 1(2)

= 4 811 173 5

b) 1 32 2

0 11 −2 = 1 0 + 3(1) 1 1 + 3(−2)

2 0 + 2(1) 2 1 + 2(−2)

= 3 −52 −2

c) 0 11 −2

1 32 2 = 0 1 + 1(2) 0 3 + 1(2)

1 1 − 2(2) 1 3 − 2(2)

= 2 2−3 −1

1. Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut boleh didarabkan. Jika boleh, nyatakan

peringkat matriks yang terhasil itu.

a) 08 , 3 −6 1

b) 3 −85 0 , 2 3 3

−3 4 −1

c) 1 3−5 46 1

,111



2. Diberi 𝐴 = 0 −34 1 , 𝐵 = 2 1 dan 𝐶 = 65 . Tentukan sama ada setiap

operasi berikut wujud atau tidak. Jika wujud, nyatakan peringkat matriks yang terhasil itu.

a) AB b) BA c) AC

d) CA e) BC f) CB

3. Diberi matriks A = 1 −23 0 , matriks B = −1 2 −3

0 4 1 , matriks C = 0−13

dan matriks

D = 0 1 −24 3 0−1 2 −3

. Cari setiap matriks berikut.

a) AB b) BC c) BD

d) DC e) A2 f) A3

MATRIKS ISTIMEWA

a) Matriks transposisi

Jika A sesuatu matriks berperingkat 𝑚×𝑛 , maka matriks transposisi diperoleh dengan

menukar gantikan antara baris dan lajur sepadan dalam matriks A. Matriks ini ditandakan A!.

Cuba kita lihat contoh di bawah.

A = 2 9 53 −1 8 ,matriks peringkat 2×3,

maka A! =2 39 −15 8

,matriks peringkat 3×2.


Bagaimana pula dengan contoh di bawah ini. Cuba perhatikan pertukaran baris dan lajur ketika

matriks B ditransposisikan.

B = −2 54 73 9

, maka B! = −2 4 35 7 9 ,matriks peringkat 2×3

Perlu diberi perhatian bahawa sifat-sifat matriks transposisi adalah seperti berikut:

i) (A+ B)! = A! + B!

ii) AB ! = A!B!

b) Matriks simetri

Satu matriks segi empat sama A dikatakan simetri jika dan hanya jika matriks A adalah sama

dengan mariks transposisi 𝐴! . Cuba kita lihat contoh di bawah ini.

𝐴 = 1 3 43 −2 54 5 0

dan 𝐵 = 1 3 43 −1 54 −5 0

Apabila A ditransposisikan,

𝐴! = 1 3 43 −2 54 5 0

= 𝐴

maka matriks A adalah simetri.

Berlainan pula dengan matriks

𝐵! = 1 3 43 −1 −54 5 0

≠ 𝐵

maka matriks B adalah bukan matriks simetri.

Cuba anda buktikan i) dan ii) di atas.


c) Matriks simetri pencong

Satu matriks segi empat sama A dikatakan simetri pencong jika dan hanya jika matriks A

adalah sama negatif matriks transposisi, iaitu 𝐴 = −𝐴!. Suatu matriks segi empat sama

adalah simetri pencong jika 𝑎!" = −𝑎!" , 𝑖, 𝑗 = 1,2,… ,𝑛 dan semua unsur di pepenjuru

utama adalah sifar.

Contoh 3.11

Diberi

𝐴 = 0 3 23 0 42 4 0

dan 𝐵 = 0 2 3−2 0 −4−3 4 0

Tentukan sama ada matriks A dan B matriks simetri pencong atau bukan.

Penyelesaian

Negatif matriks transposisi bagi A ialah

−𝐴! = 0 −3 −2−3 0 −4−2 −4 0

≠ 𝐴

Oleh itu, matriks A bukan matriks simetri pencong.

Negatif matriks transposisi bagi B ialah

−𝐵! = 0 2 3−2 0 −4−3 4 0

= 𝐵

Maka, matriks B adalah matriks simetri pencong.


RUMUSAN

Secara keseluruhannya, kita telah didedahkan dengan apa itu matriks. Apa yang lebih penting, kita

sudah pun mengenali dengan lebih mendalam tentang jenis-jenis matriks dan operasi matriks.

Diharapkan penerangan dan contoh-contoh dalam unit ini telah dapat membantu kita untuk memahami

dengan lebih mendalam bagaimana penambahan, penolakan dan pendaraban matriks dijalankan.

Penting untuk kita ingat ialah dalam menjalankan operasi matriks ada perkara yang boleh dilakukan dan

ada yang tidak. Pastikan anda benar-benar faham matriks jenis apa yang boleh ditambah mahu pun

ditolak. Juga untuk pendaraban, ada peraturan yang perlu diikuti.

KATA KUNCI

tatatanda matriks, baris, lajur, kesamaan dua matriks, jenis-jenis matriks, penambahan matriks,

penolakan matriks, pendaraban matriks, matriks istimewa


1. Untuk setiap matriks berikut, tentukan bilangan baris, bilangan lajur dan peringkatnya.

a) 130

b) 4 3 56 −6 6−9 0 2

c) −4 5 04 −9 4

d) 3 23 1−5 10

e) −10 37 3 f) 9 0 9

2. Diberi matriks A = 8 3 3𝑥

𝑦 + 4 1 0−2 −3 −5

dan matriks B = 8 3 1812 1 0−2 −3 𝑧 − 5

. Jika A = B,

cari nilai bagi 𝑥,𝑦 dan 𝑧.

3. Cari nilai bagi 𝑝, 𝑞, 𝑟 dan 𝑠 dalam persamaan matriks berikut.

2 0 𝑝 − 1

𝑞 + 3 1 𝑝 − 𝑟 + 𝑠 − 1 0 7−2𝑞 3 4 = 7 0 5

3 4 −2

4. Cari nilai bagi 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 supaya 3 𝑎−2 2𝑎0 𝑐 + 1

− 4 3𝑎 + 45 𝑏−3 −𝑎

= −1 2−7 −73 10

.

5. Cari nilai 𝑝, 𝑞, dan 𝑟 bagi setiap persamaan matriks berikut.

a) 2 6 𝑝 −8 − 𝑞 4 2 = 3 0 10 −𝑟

b) !! −2 𝑝 − 20 𝑞 + 4 + 2 𝑟 − 1 3

−1 0 = 5 8−2 7

c) 2𝑝 − 1 03 𝑞 + 24 1

− 2 3 −60 1−1 𝑟 + 1

= 3 −1 41 72 −5

Latihan Sumatif


6. Cari matriks Z dalam setiap persamaan matriks berikut.

a) 3 Z − −6 83 20 = 12 7

0 −8

b) 2 Z − 3 3 21 5 = 1 −4

5 −7

7. Diberi matriks A = 2−1 , matriks B = 0 3

−2 4 , matriks C = 1 −1 23 −2 1 , matriks

D = −102

dan matriks E = 2 −1−2 03 4

. Cari setiap operasi berikut.

a) BA b) BC c) CD

d) CE e) EB


RUJUKAN

Dugopolski, M. (2009). Algebra for College Students (5th. ed.). New York: McGraw-Hill.

Larson, R., & Hostetler, R. P. (2004). Algebra and Trigonometry (6th. ed.). Boston: Houghton Mifflin.

Larson, R., & Hostetler, R. P. (2004). College Algebra (6th.ed.). Boston: Houghton Mifflin.

Stewart, J., Redlin, L., & Watson, S. (2009). College Algebra (5th. ed.). Belmont, CA:

Brooks/Cole, Cengage Learning.

Swokowski, E.W. & Cole, J.A. (2003). Algebra and trigonometry with analytic geometry (I0th. ed.).

Brooks Cole: Pacific Grove.


JAWAPAN


1. a) 2 x 3 b) 3 x 2 c) 3 x 1

2. Apa-apa contoh pun boleh asalkan menepati peringkatnya.

3. a) 5 b) 1 c) 2

4. a) 8 b) −7 c) 8


1. a) Tidak b) Tidak c) Sama d) Tidak e) Sama

2. a) 𝑥 = 2; 𝑦 = −4 b) 𝑥 = 4; 𝑦 = 2

c) 𝑥 = 2; 𝑦 = 11 d) 𝑥 = 5; 𝑦 = 5

e) 𝑥 = −1; 𝑦 = 5


1. a) Tidak b) Ya c) Ya d) Tidak e) Ya

2. a) 21 b) −4 8 c) −7 1511 3 d) 6 4 e)

6−8−3

f) −1 514 −1−10 −6

3. a) −86 b) 6 11 c) 4 2−14 −8 d) 6 7 e)

−58−1

f) 2 214 5−14 −11


1. a) −3 3315 15 b)

−2.530

c) 6 0 815 11 22


2. a) 11−3 b) 1 −3 c) −2 1421 −3 d)

14−7


1. a) 2 x 3 b) 2 x 3 c) Tidak

2. a) Tidak b) 1 x 2 c) 2 x 1 d) Tidak e) 1 x 1 f) 2 x 2

3. a) −1 −6 −5−3 6 −9 b) −11−1 c) 11 −1 11

15 14 −3 d) −7−3−11

e) −5 −23 −6 f) −11 10

−15 −6

Latihan Sumatif

1. a) 3 x 1 b) 3 x 3 c) 2 x 3 d) 3 x 2 e) 2 x 2 f) 1 x 3

2. 𝑥 = 6; 𝑦 = 8; 𝑧 = 0

3. 𝑝 = −1; 𝑞 = 0; 𝑟 = 5; 𝑠 = 6

4. 𝑎 = −3; 𝑏 = 1; 𝑐 = 12

5. a) 𝑝 = 17; 𝑞 = 12; 𝑟 = 6

b) 𝑝 = 6; 𝑞 = 10; 𝑟 = 4

c) 𝑝 = 2; 𝑞 = 21; 𝑟 = 7

6. a) 2 51 4 b) 5 1

4 4

7. a) −3−8 b) 9 −6 3−10 −6 0 c) 3

−1 d) 10 713 1 e)

2 20 −6−8 25

Documents

Unit Pelajaran 3