Unit Pelajaran 10

UNIT PELAJARAN 10

PARABOLA DAN HIPERBOLA

HASIL PEMBELAJARAN

Di akhir unit ini, anda diharap dapat:

1. Menyatakan persamaan parabola dan persamaan hiperbola dalam ben-

tuk piawai.

2. Menghuraikan ciri-ciri persamaan parabola dan persamaan hiperbola.

3. Membentuk persamaan parabola dan persamaan hiperbola daripada

ciri-ciri yang diberikan.

4. Mengenalpasti bentuk graf persamaan parabola dan persamaan hiper-

bola.

5. Melakar graf bagi persamaan parabola dan persamaan hiperbola dari-

pada ciri-ciri yang diberikan.

PENGENALAN

Dalam Bahagian Kedua topik Keratan Kon ini, kita akan membin-

cangkan dua lagi persamaan penting yang terhasil daripada ker-

atan suatu kon iaitu persamaan parabola dan persamaan hiper-

277

UNIT PELAJARAN 10. Keratan Kon 2: Parabola dan Hiperbola | 278

bola. Di akhir unit ini kita akan melakar graf bagi kedua-dua persamaan

tersebut berdasarkan ciri-ciri yang diberikan.

10.1 Parabola

10.1.1 Mengenali Parabola dan Graf-Grafnya

Takrifan 10.1 (Parabola) Suatu parabola adalah lokus (set) bagi semua

titik (x, y) dalam suatu satah yang sama jarak dari suatu garis yang dipanggil

direktriks, dan suatu titik tetap F yang dipanggil fokus. Titik tengah antara

titik fokus F dan direktriks dipanggil titik bucu V . Garis yang melalui titik

F, V dan D adalah paksi simetri bagi parabola.

Rajah di bawah menunjukkan dua bentuk graf bagi parabola.

F

Direktriks

d1

d1 V

D

P(x, y)

D1

p

p

Paksi Simetri

(a) Paksi simetri mencancang

Paksi Simetri

F

d1

d1

VD

D1 P(x, y)

Direktriks

pp

(b) Paksi simetri mengufuk

Paksi simetri dan direktriks adalah berserenjang dan bersilang pada titik D.

Katakan jarak antara titik fokus F dan titik bucu V ialah p. Maka,

d (FV ) = d (V D) = p

d (FP ) = d (PD1) = d1. Ini merupakan ciri utama bagi suatu parabola.

Rajah (a) di atas menunjukkan bentuk parabola terbuka ke atas, dan Ra-


jah (b) menunjukkan bentuk parabola terbuka ke kanan. Bentuk parabola

boleh juga terbuka ke bawah atau ke kiri. Dalam bahagian seterusnya, kita

akan membincangkan bentuk piawai persamaan parabola dan menentukan

bukaan bagi graf parabola.

10.1.2 Bentuk Piawai Persamaan Parabola

Dalam bahagian ini kita akan membincangkan dua bentuk piawai persamaan

parabola dan melihat hubungan antara kedua-dua bentuk piawai ini.

Takrifan 10.2 (Bentuk Piawai Persamaan Parabola - Titik Bucu V (0, 0))

.

1. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada asalan

V (0, 0) dan paksi simetri mencancang:

(a)

x2 = 4py, p > 0 (10.1)

Titik bucu: V (0, 0)

Titik fokus: F (0, p)

Direktriks: y = −p

Bukaan parabola: Ke atas

F(0, p)P(x, y) p

p

Direktriks: y = p

y

xV(0, 0)

D(0, p)

Paksi Simetri


(b)

x2 = 4py, p < 0 (10.2)


Titik fokus: F (0, p)

Direktriks: y = −p

Bukaan parabola: Ke bawah

F(0, p)P(x, y)

p

p

Direktriks: y = py

xV(0, 0)

D(0, p)

Paksi Simetri

2. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada asalan

V (0, 0) dan paksi simetri mengufuk:

(a)

y2 = 4px, p > 0 (10.3)


Titik fokus: F (p, 0)

Direktriks: x = −p

Bukaan parabola: Ke kanan


P(x, y)

p p

Direktriks: x = p

y

xV(0, 0)

F(p, 0)D(p,0)

Paksi Simetri

(b)

y2 = 4px, p < 0 (10.4)


Titik fokus: F (p, 0)

Direktriks: x = −p

Bukaan parabola: Ke kiri

P(x, y)

p p

Direktriks: x = p

y

xV(0, 0)F(p, 0)

D(p,0)

Paksi Simetri

Takrifan 10.3 (Bentuk Piawai Persamaan Parabola - Titik Bucu V (h, k))

1. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada V (h, k)

dan paksi simetri mencancang:

(a)

(x− h)2 = 4p (y − k) , p > 0 (10.5)


Titik bucu: V (h, k)

Titik fokus: F (h, p+ k)

Direktriks: y = −p+ k

Bukaan parabola: Ke atas

F(h, p + k)P(x, y) p

p

Direktriks: y = p + k

V(h, k)

D(h, p + k)

Paksi Simetri

(b)

(x− h)2 = 4p (y − k) , p < 0 (10.6)


Titik fokus: F (h, p+ k)

Direktriks: y = −p+ k

Bukaan parabola: Ke bawah

F(h, p + k)

P(x, y)

p

p

Direktriks: y = p + k

V(h, k)

D(h, p + k)

Paksi Simetri

2. Bentuk piawai persamaan parabola dengan titik bucu pada V (h, k)

dan paksi simetri mengufuk:


(a)

(y − k)2 = 4p (x− h) , p > 0 (10.7)


Titik fokus: F (p+ h, k)

Direktriks: x = −p+ h

Bukaan parabola: Ke kanan

P(x, y)

p p

Direktriks: x = p + h

V(h, k)F(p + h, k)

D(p + h,k)

Paksi Simetri

(b)

(y − k)2 = 4p (x− h) , p < 0 (10.8)


Titik fokus: F (p+ h, k)

Direktriks: x = −p+ h

Bukaan parabola: Ke kiri


P(x, y)

p p

Direktriks: x = p + h

V(h, k)F(p + h, k)D(p + h,k)

Paksi Simetri

Bentuk piawai pertama persamaan-persamaan parabola di atas disim-

pulkan seperti berikut:

Bukaan Parabola Bucu Pada Asalan, V (0, 0) Bucu pada V (h, k)

Ke Atas, p > 0 x2 = 4py (x− h)2 = 4p (y − k)

Ke Bawah, p < 0 x2 = 4py (x− h)2 = 4p (y − k)

Ke Kanan, p > 0 y2 = 4px (y − k)2 = 4p (x− h)

Ke Kiri, p < 0 y2 = 4px (y − k)2 = 4p (x− h)

Catatan 1 Dalam bentuk piawai persamaan parabola, bukaan parabola di-

tentukan oleh nilai p.

Contoh 10.1 Cari bentuk piawai persamaan parabola dengan bucu di asalan,

fokus pada (2, 0) dan paksi simetri mengufuk.

Selesaian: Diberi V (0, 0) dan F (2, 0) dan paksi simetri mengufuk. Bentuk

persamaan yang sesuai adalah:

y2 = 4px

Di sini, p = 2, direktriks x = −2. Bentuk piawai persamaan parabola

yang dikehendaki ialah y2 = 8x.


Contoh 10.2 Cari persamaan parabola terbuka ke atas, titik bucu pada

V (4, 5) , dan melalui titik P (0, 7) .

Selesaian: Persamaan yang dikehendaki ialah dalam bentuk:

(x− h)2 = 4p (y − k)

Diberi titik bucu V (4, 5) , maka h = 4, k = 5, dan,

(x− 4)2 = 4p (y − 5) , p > 0

Seterusnya, untuk mendapatkan nilai p, kita gantikan nilai-nilai x dan

y yang diperoleh daripada titik P (0, 7) . Maka,

(0− 4)2 = 4p (7− 5)

16 = 8p

⇒ p = 2

Persamaan yang dicari ialah:

(x− 4)2 = 8 (y − 5)

Contoh 10.3 Tentukan bukaan bagi persamaan parabola

y2 + 8x− 4y − 28 = 0

Seterusnya cari titik bucu, titik fokus, dan direktriksnya.


Selesaian: Pertama sekali, kita perlu menukarkan persamaan yang diberi

kepada bentuk piawai.

y2 + 8x− 4y − 28 = 0(y2 − 4y

)+ 8x = 28(

y2 − 4y + 4)+ 8x = 28 + 4

(y − 2)2 = 32− 8x

(y − 2)2 = −8 (x− 4)

(y − 2)2 = 4 (−2) (x− 4)

Daripada persamaan yang diperoleh, kita dapati nilai p = −2 < 0. Ini

menunjukkan bukaan parabola adalah ke kiri. Titik bucu di V (4, 2) ,

titik fokus di F (2, 2) , direktriks di x = 6.

Contoh 10.4 Cari titik fokus bagi suatu parabola yang persamaannya ialah

y = −2x2.

Selesaian: Diberi persamaan parabola

y = −2x2

⇒ x2 = −12y

= 4

(−18

)y

Daripada persamaan yang diberi, kita dapati p = −18< 0, titik bucu

V (0, 0), paksi simetri menegak, dan parabola terbuka ke bawah (ker-

ana p < 0). Titik fokus yang diperoleh ialah F

(0,−1

8

).


10.1.3 Melakar Graf Persamaan Parabola

Contoh 10.5 Lakarkan graf bagi persamaan-persamaan parabola berikut:

(a) y2 = 8x

(b) y = −2x2

(c) (x− 4)2 = 8 (y − 5)

(d) y2 + 8x− 4y − 28 = 0

Selesaian:

(a) y2 = 8x.

y2 = 8x = 4(2)x

Nilai p = 2 > 0. Bukaan parabola ke kanan. Titik bucu V (0, 0) ; titik

fokus F (2, 0) ; direktriks di x = −2; persamaan paksi simetri y = 0.

2 2

Direktriks: x = 2

y

xV(0, 0)

F(2, 0)D(2,0)

Paksi Simetri: y = 0

y2 = 8x

(b) y = −2x2

y = −2x2

⇒ x2 = −12y

= 4

(−18

)y


Nilai p = −18< 0. Bukaan parabola ke bawah. Titik bucu V (0, 0) ; titik

fokus F

(0,1

8

); direktriks di y = −1

8; persamaan paksi simetri x = 0.

y

V(0, 0)

Paksi Simetri: x = 0

81:Direktriks =y

( )81,0D

81

( )81,0 −F

81 x

y = −2x2

(c) (x− 4)2 = 8 (y − 5)

(x− 4)2 = 8 (y − 5)

= 4 (2) (y − 5)

Nilai p = 2 > 0. Bukaan parabola ke atas. Titik bucu V (4, 5) ; titik fokus

F (4, 7) ; direktriks di y = 3; persamaan paksi simetri x = 4.


2

2

Direktriks: y = 3

y

x

V(4, 5)

F(4, 7)

D(4,3)

Paksi Simetri: x = 4

(x− 4)2 = 8 (y − 5)

(d) y2 + 8x− 4y − 28 = 0

y2 + 8x− 4y − 28 = 0(y2 − 4y

)+ 8x = 28(

y2 − 4y + 4)+ 8x = 28 + 4

(y − 2)2 = 32− 8x

(y − 2)2 = −8 (x− 4)

(y − 2)2 = 4 (−2) (x− 4)

Nilai p = −2 < 0. Bukaan parabola ke kiri. Titik bucu V (4, 2) ; titik

fokus F (2, 2) ; direktriks di x = 6; persamaan paksi simetri y = 2.


22

Direktriks: x = 6

y

x

V(4, 2)F(2, 2)

D(6,2)

Paksi Simetri: y = 2

y2 + 8x− 4y − 28 = 0

Latihan Formatif 10.1

1. Cari persamaan parabola dengan titik bucu pada (3, 5) dan titik fokus

pada (3, 2) .

2. Cari persamaan parabola dengan titik bucu pada (6, 8) dan melalui

titik-titik (5, 10) dan (5, 6) .

3. Tulis persamaan parabola x2− 4x− 12y− 32 = 0 dalam bentuk piawai.


4. Tulis persamaan parabola y2 − 8x + 6y − 7 = 0 dalam bentuk piawai.


5. Kenal pasti bukaan parabola, titik bucu V, fokus F, direktriks, dan paksi

simetri bagi persamaan parabola y = x2 + 2x− 3.

6. Kenal pasti bukaan parabola, titik bucu V, fokus F, direktriks, dan paksi

simetri bagi persamaan parabola y = 2x2 − 4x+ 5.

7. Lakarkan graf persamaan parabola y2+2x−2y−5 = 0. Tandakan titik

bucu, titik fokus dan direktriksnya.


8. Lakarkan graf persamaan parabola y2+4x−6y+1 = 0. Tandakan titik

bucu, titik fokus dan direktriksnya.

9. Lakarkan graf persamaan parabola 4x2− 4x+32y− 47 = 0. Tandakan

titik bucu, titik fokus dan direktriksnya.

10. Lakarkan graf persamaan parabola 4y2−16x+17−20y = 0. Tandakan

titik bucu, titik fokus dan direktriksnya.

10.2 Hiperbola

10.2.1 Mengenali Hiperbola dan Grafnya

Takrifan bagi hiperbola serupa dengan takrifan bagi elips. Bezanya adalah

bagi elips, hasiltambah jarak antara dua titik fokusnya dan sebarang titik

pada elips adalah malar, manakala bagi hiperbola pula, hasiltolaknya adalah

malar.

Takrifan 10.4 (Hiperbola) Suatu hiperbola adalah lokus (set) bagi semua

titik dalam suatu satah di mana hasiltolak jarak dari dua titik tetap F1 dan

F2 (dinamakan titik-titik fokus) ke sebarang titik (x, y) pada lokus tersebut

adalah malar.


V1 V2

Paksi MerentasLintang

F2F1C

P(x, y)

d1 d2

(a) Paksi merentas lintang

mengufuk

V1

V2


F2

F1

C

P(x, y)

d1

d2

(b) Paksi merentas lintang

mencancang

Graf bagi suatu hiperbola mempunyai dua bahagian yang tak berhubung

dipanggil cabang. Cabang-cabang kelihatan seperti bentuk parabola, tetapi

bukan parabola; dengan bukaan ke kanan dan kiri (Rajah (a) ), atau bukaan

ke atas dan bawah (Rajah (b) ). Garis yang melalui dua titik fokusnya, F1

dan F2 bersilang dengan hiperbola tersebut pada dua titik bucu, V1 dan V2.

Garis segmen V1V2 yang menghubungkan kedua-dua titik bucu ini dipanggil

paksi merentas lintang. Titik tengah C bagi paksi merentas lintang adalah

pusat bagi hiperbola. Terdapat dua bentuk graf hiperbola dengan paksi

merentas lintang mengufuk dan mencancang.

Salah satu ciri utama suatu hiperbola ialah hasil tolak d (F1P ) = d1 dan

d (F2, P ) = d2 adalah malar, iaitu:

d (F1P )− d (F2, P )

= d1 − d2 adalah malar


10.2.2 Asimptot dan Segiempat Asasi

V1

Asimptot

Segiempat Asasi

V2


F2F1

ac

C

B1

B2

V1

Asimptot

Segiempat Asasi V2


F2

F1

a

c

CB1 B2

Graf-graf di atas menunjukkan dua lagi elemen penting bagi suatu hiperbola

iaitu asimptot dan segiempat asasi. Kedua-dua elemen ini penting bagi

membantu kita melakar graf bagi suatu hiperbola. Setiap hiperbola mem-

punyai dua asimptot. Asimptot-asimptot ini menghampiri cabang-cabang

hiperbola tetapi tidak menyentuhnya. Asimptot-asimptot ini juga melintasi

keempat-empat bucu segiempat asasi, dan bersilang pada pusat C hiper-

bola tersebut. Segmen B1B2 dinamakan paksi konjugat.

10.2.3 Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola

Seperti juga dengan keratan kon yang lain, kita akan membincangkan ben-

tuk piawai persamaan-persamaan hiperbola dengan pusat pada asalan C (0, 0)

dan pusat pada sebarang titik C (h, k) .

Takrifan 10.5 (Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola - Pusat C (0, 0))

1. (Bukaan Kanan dan Kiri) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-

ngan pusat C (0, 0) , dan bukaan ke kanan dan kiri ialah:

x2

a2− y

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.9)


Pusat: C (0, 0) ;

Titik-titik bucu: V1 (−a, 0) , V2 (a, 0) ;

Titik-titik fokus: F1 (−c, 0) , F2 (c, 0) ;

Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (0, b) , B2 (0,−b) ;

Paksi merentas lintang: mengufuk

F2(c, 0)C(0, 0) x

y

F1(c, 0)

V1(a, 0) V2(a, 0)B1(0, b)

B2(0, b)

2. (Bukaan Atas dan Bawah) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-

ngan pusat C (0, 0) , dan bukaan ke atas dan bawah ialah:

y2

a2− x

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.10)

Pusat: C (0, 0) ;

Titik-titik bucu: V1 (0, a) , V2 (0,−a) ;

Titik-titik fokus: F1 (0, c) , F2 (0,−c) ;

Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (−b, 0) , B2 (b, 0) ;

Paksi merentas lintang: mencancang


F2(0, c)

C(0, 0) x

yF1(0, c,)

V1(0, a)

V2(0, a)

B1(b, 0) B1(b, 0)

Takrifan 10.6 (Bentuk Piawai Persamaan Hiperbola - Pusat C (h, k))

1. (Bukaan Kanan dan Kiri) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-

ngan pusat C (h, k) , dan bukaan ke kanan dan kiri ialah:

(x− h)2

a2− (y − k)

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.11)

Pusat: C (h, k) ;

Titik-titik bucu: V1 (−a+ h, k) , V2 (a+ h, k) ;

Titik-titik fokus: F1 (−c+ h, k) , F2 (c+ h, k) ;

Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (h, b+ k) , B2 (h,−b+ k) ;

Paksi merentas lintang: mengufuk

F2(c+h, k)C(h, k)

x

y

F1(c+h, k)

V1(a+h, k) V2(a+h, k)B1(h, b+k)

B2(h, b+k)


2. (Bukaan Atas dan Bawah) Bentuk piawai persamaan hiperbola de-

ngan pusat C (h, k) , dan bukaan ke atas dan bawah ialah:

(y − k)2

a2− (x− h)

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0 (10.12)

Pusat: C (h, k) ;

Titik-titik bucu: V1 (h, a+ k) , V2 (h,−a+ k) ;

Titik-titik fokus: F1 (h, c+ k) , F2 (h,−c+ k) ;

Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (−b+ h, k) , B2 (b+ h, k) ;


F2(h, c+k)

C(h, k)

x

yF1(h, c+k)

V1(h, a+k)

V2(h, a+k)

B1(b+h, k) B1(b+h, k)

Contoh 10.6 Cari bentuk piawai persamaan hiperbola dengan pusat di

C (0, 0) , titik-titik fokus di (±3, 0) dan titik-titik bucu (±2, 0).

Selesaian: Katakan titik-titik fokus F1 (−3, 0) dan F2 (3, 0) , dan titik-titik bucu

V1 (−2, 0) dan V2 (2, 0) . Pusat hiperbola pada C (0, 0) . Bentuk piawai

persamaan hiperbola yang dikehendaki adalah

x2

a2− y

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0


d (V1C) = d (C, V2) = a = 2;

d (F1C) = d (CF2) = c = 3;

Kita perlu mencari nilai b2 untuk diganti dalam persamaan di atas.

b2 = c2 − a2

= 9− 4 = 5

Jadi, persamaan yang dikehendaki ialah,

x2

4− y

2

5= 1

Contoh 10.7 Tulis persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (3, 3) dan

(3,−3), dan titik fokus pada (3, 5) .

Selesaian: Perhatikan yang titik bucu (3, 3) berada di atas titik bucu (3,−3) .

Ini menunjukkan paksi perentas lintang adalah mencancang. Oleh

itu kita namakan V1 (3, 3) dan V2 (3,−3) . Titik fokus (3, 5) berada di

atas V1 (3, 3) . Kita namakan titik fokus ini F1 (3, 5) . Bentuk piawai per-

samaan hiperbola yang dikehendaki adalah

(y − k)2

a2− (x− h)

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0

d (V1V2) = 3 + 3 = 6

Titik tengah antara dua titik bucu ini merupakan pusat hiperbola, iaitu

C (3, 0) di mana h = 3, k = 0. Kita tahu daripada maklumat yang ada,

d (V1C) = d (CV2) = 3 = a

d (F1C) = d (CF2) = 5− 0 = 5 = c


Kita perlukan nilai b2 untuk melengkapkan persamaan yang dicari.

a2 + b2 = c2

⇒ b2 = c2 − a2

= 25− 9

= 16

Jadi, persamaan yang dicari ialah

y2

9− (x− 3)

2

16= 1.

10.2.4 Melakar Graf Persamaan Hiperbola

Contoh 10.8 Lakarkan graf bagi hiperbolay2

9− x

2

4= 1.

Selesaian: Perhatikan bahaway2

9− x

2

4= 1 adalah dalam bentuk piawai

am

y2

a2− x

2

b2= 1

a2 = 9⇒ a = 3

b2 = 4⇒ b = 2

Pusat: C (0, 0) ;

Titik-titik bucu: V1 (0, 3) , V2 (0,−3) ;

Titik-titik pada paksi konjugat: B1 (−2, 0) , B2 (2, 0) ;



Titik-titik fokusnya boleh didapati dengan menggunakan hubungan

c2 = a2 + b2

⇒ c =√a2 + b2

= ±√13

iaitu, F1(0,√13)

dan F2(0,−√13). Graf bagi persamaan hiperbola di

atas ialah

F2

C(0, 0) x

y

F1

V1

V2

(3, 2) (3, 2)

(3, 2)(3, 2)

y2

9− x

2

4= 1

Contoh 10.9 Lakarkan graf bagi persamaan hiperbola

(x− 3)2

16− (y + 1)

2

4= 1.

Selesaian 1 Daripada persamaan yang diberi kita dapati,

Pusat: C (3,−1) di mana h = 3, k = −1

a2 = 16⇒ a = 4

b2 = 4⇒ b = 2

Paksi merentas lintang : mengufuk


Titik-titik bucu:

V1 (−4 + 3,−1) = V1 (−1,−1) dan V2 (4 + 3,−1) = V2 (7,−1)

Titik-titik pada paksi konjugat,

B1 (3, 2− 1) = B1 (3, 1) dan B2 (3,−2− 1) = B2 (3,−3)

Untuk mendapatkan titik-titik fokus:

c2 = 16 + 4 = 20⇒ c =√20 = 2

√5

F1

(−2√5 + 3,−1

), F1

(2√5 + 3

)

Graf yang diperoleh ialah:


F2

C(3, 1)x

y

F1 V1 V2

B1

B2


(x− 3)2

16− (y + 1)

2

4= 1



1. Tulis persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (±5, 0) , dan titik fokus

pada (7, 0) .

2. Tulis persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (±3, 1), dan titik fokus

pada (5, 1) .

3. Cari persamaan hiperbola dengan pusat C (5, 3) , titik bucu (5, 6) dan

melalui titik (1, 8) .

4. Cari persamaan hiperbola dengan pusat C (1,−3) ; a2 = 4; b2 = 16.

5. Tulis persamaan am kuadratik bagi hiperbola 25x2−9y2−100x−72y−

269 = 0 dalam bentuk piawai.

6. Tulis persamaan am kuadratik bagi hiperbola 4x2 − 9y2 − 24x− 90y −

153 = 0 dalam bentuk piawai.

7. Lakarkan graf persamaan hiperbola(x− 2)2

4− (y + 1)2 = 1.

8. Lakarkan graf persamaan hiperbola (x+ 3)2 − (y − 1)2

4= 1.

9. Lakarkan graf persamaan hiperbola bagi soalan (5) .

10. Lakarkan graf persamaan hiperbola bagi soalan (6) .

RUMUSAN

Dalam Unit 10 kita telah mempelajari persamaan dan bentuk graf bagi parabola

dan hiperbola. Ini merupakan kesinambungan daripada Unit 9, di mana per-

samaan dan bentuk graf bagi bulatan dan elips dibincangkan. Anda diharap

dapat membezakan persamaan dan bentuk graf bagi setiap keratan kon

yang telah dibincangkan. Antara isi-isi penting dalam Unit 10 ini ialah:


1. Bentuk piawai persamaan parabola:

(a) x2 = 4py, p > 0 atau p < 0

(b) y2 = 4px, p > 0 atau p < 0

(c) (x− h)2 = 4p (y − k) , p > 0 atau p < 0

(d) (y − k)2 = 4p (x− h) , p > 0 atau p < 0

2. Bentuk piawai persamaan hiperbola:

(a)x2

a2− y

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0

(b)y2

a2− x

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0

(c)(x− h)2

a2− (y − k)

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0

(d)(y − k)2

a2− (x− h)

2

b2= 1, a2 + b2 = c2; a > 0 dan b > 0

KATA KUNCI

Direktriks, pusat, titik fokus, titik bucu, paksi simetri, mencancang, mengu-

fuk, bukaan parabola, cabang, paksi merentas lintang, asimptot, segiempat

asasi, dan paksi konjugat.

LATIHAN SUMATIF 10

1. Cari titik bucu dan titik fokus bagi persamaan parabola x2−2x+4y = 3.

2. Tulis persamaan parabola 5x2 + 20x− 9y = −47 dalam bentuk piawai

dan tentukan titik bucu, titik fokus, direktriks, dan paksi simetrinya.

3. Cari titik bucu, fokus, dan direktriks bagi persamaan parabola(x+

1

2

)2= 4 (y − 3) . Lakarkan grafnya.


4. Cari persamaan parabola dengan titik bucu (−2, 1), dan direktriks pada

x = 1.

5. Cari persamaan parabola dengan titik fokus (0, 0) dan direktriks pada

y = 4.

6. Cari titik pusat, titik-titik bucu, titik-titik fokus bagi persamaan hiperbola

9x2 − y2 + 54x+ 10y + 55 = 0.

7. Cari persamaan hiperbola dengan titik-titik bucu (±2, 1) , dan titik-titik

fokus (±3, 1) .

8. Lakarkan graf persamaan hiperbola xy = −4.

9. Lakarkan graf graf bagi persamaan y2 − 4x2 + 4y + 24x = 41.

10. Tentukan sama ada persamaan-persamaan berikut bulatan, elips, para-

bola atau hiperbola. Berikan justifikasi kepada jawapan anda.

(a) x2 + 4y2 − 6x+ 16y + 21 = 0

(b) y2 − 4y − 4x = 0

(c) 4y2 − 2x2 − 4y − 8x− 15 = 0

(d) 4x2 + 4y2 − 16y + 15 = 0

RUJUKAN

1. Aufmann, R.N., Barker, V.C., Lockwood, J.S. (2000). Intermediate Al-

gebra with Application, 5th Ed. Boston, MA: Houghton Mifflin Com-

pany.

2. Dugopolski, M. (2009). Elementary and Intermediate Algebra, 3rd ed.

IL: McGraw-Hill.


3. Gustafson, R.D., Frisk, P.D., (1999). Algebra for College Students, 5th

Ed. CA: Brooks/Cole Publishing Company.

4. Larson, R.E., Hostetler, R.P., Edwards, B.H., Heyd, D.E. (1997). Col-

lege Algebra: A Graphing Approach, 2nd Ed. Boston, MA: Houghton

Mifflin Company.

5. Spiegel, M.R. & Moyer, R.E. (2006). Schaum’s Outlines: College Al-

gebra, 3rd ed. NY: McGraw-Hill.

JAWAPAN


(Jawapan kepada nombor ganjil)

1. (x− 3)2 = −12 (y − 5)

3. (x− 2)2 = 12 (y + 3) ; V (2,−3) ;F (5, 3) ; direktriks y = −6.

5. (x+ 1)2 = 4

(1

4

)(y + 4) ; p =

1

4> 0; Bukaan ke atas; titik bucu V =

(−1,−4) ; titik fokus F

(−1,−15

4

); direktriks di y = −17

4; paksi simetri

pada x = −1.

7. (y − 1)2 = 4

(−12

)(x+ 3) ; p = −1

2< 0. Bukaan ke kiri; titik bucu

V (3, 1) ; titik fokus F

(5

2, 1

); direktriks di x =

7

2; paksi simetri pada

y = 1. Lakar grafnya.

9.

(x− 1

2

)2= 4 (−2)

(y − 3

2

); p = −2 < 0. Bukaan ke bawah; titik bucu

V

(1

2,3

2

); titik fokus F

(1

2,−12

); direktriks di y =

7

2; paksi simetri

pada x =1

2. Lakar grafnya.



(Jawapan kepada nombor ganjil)

1.x2

25− y

2

24= 1

3.(y − 3)2

9− (x− 5)

2

9= 1

5.(x− 2)2

9− (y + 4)

2

25

7. Pusat pada C (2,−1) ; nilai-nilai a = 2; b = 1; c =√5; titik-titik bucu

V1 (0,−1) , V2 (4,−1) ; titik-titik pada paksi konjugatB1 (2, 0) , B2 (2,−2) ;

dan titik-titik fokus F(±√5 + 2,

)LATIHAN SUMATIF 10

1. (x− 1)2 = 4 (−1) (y − 1) ; titik bucu (1, 1) ; titik fokus (1, 0)

2. (x+ 2)2 =9

5(y − 3) ; titik bucu (−2, 3) ; titik fokus

(−2, 69

20

); direktriks

y =51

20; paksi simetri x = −2

3. Titik bucu

(−12, 3

); titik fokus

(−12, 4

); direktriks y = 2

4. (y − 1)2 = −12 (x+ 2)

5. x2 = −8 (y − 2)

6. Pusat (−3, 5) ; titik-titik bucu

(−103, 5

),

(−83, 5

); titik-titik fokus(

−3±√10

3, 5

)

7.x2

4− (y − 1)

2

5= 1

8. Lakar grafnya.

9.(y + 2)2

9− (x− 3)

2

9

4

= 1. Lakar grafnya.

Documents

Unit Pelajaran 10