Modul Kongruen Mulyati

________________________________________________________________Halaman

MATEMATIKA SMP KELAS IX MULYATI

1

www.airbornecombatenginer.typepad

KONGRUENKONGRUENKONGRUENKONGRUENSI SI SI SI

Di sekitar kita banyak kita jumpai

berbagai macam bentuk bangunan yang

memanfaatkan bentuk-bentuk geometri

yang kongruen, misalnya bangunan

gedung, seperti gambar di samping.

Gambar tersebut merupakan Museum

Pythagoras yang beridiri tahun 1925.

Selain untuk konstruksi teknik bangun geometri juga

banyak dimanfaatkan dalam bidang seni, misalnya

untuk membuat pola produk seni tertentu misalnya pola

karpet atau ubin (www.mathartfun.com)

A. BANGUN-BANGUN YANG KONGRUEN

Kongruensi bentuk-bentuk geometri dapat dijelaskan melalui tiga bentuk

transformasi yaitu refleksi, translasi dan rotasi. Dua buah bangun dikatakan kongruen jika

dan hanya jika tersusun dari refleksi, translasi atau rotasi dari bangun-bangun tersebut

dengan bayangannya.

1. Refleksi

Perhatikan gambar 1 di samping. Jika

bangun ABCDE dicerminkan terhadap garis k,

maka masing-masing titik pada bangun

ABCDE akan berkorespondensi (bersesuaian)

dengan bangun A’B’C’D’E’. Korespondensi

satu-satu tersebut membentuk sebuah

pemetaan yang menggunakan simbol ” →”.

Pada gambar tersebut menunjukkan:

A → A’ dan AB → 'BA'

B → B’ dan BC → 'CB'

C → C’ dan CD → D'C'

D → D’ dan DE → E'D'

E → E’ dan AE → 'EA'

Gambar 3.

Gambar 2.

Gambar 1.

________________________________________________________________Halaman


2

Berdasarkan gambar di atas maka:

a. Jarak titik asal (misal A) terhadap cermin (garis k) sama dengan jarak bayangan

(A’) terhadap cermin itu,

b. Garis yang menghubungkan titik asal dan bayangannya ( AA' ) tegak lurus terhadap

cermin,

Pada pencerminan tersebut segilima ABCDE dipetakan ke A’B’C’D’E’ ditulis

ABCDE → A’B’C’D’E’. Dan sebaliknya A’B’C’D’E’ merupakan peta atau bayangan

ABCDE ditulis A’B’C’D’E’ → ABCDE. Hubungan keduanya ditulis ABCDE ↔

A’B’C’D’E’. Dengan demikian bangun ABCDE dan A’B’C’D’E’ sama bentuk dan

ukurannya.

Sebuah refleksi pada garis m adalah korespondensi satu-satu antara bayangan

titik P dengan P’, berikut:

a. Jika P pada m, maka P = P’

b. Jika P tidak pada m, maka m adalah garis yang membagi dua antara PP' .

2. Translasi

Perhatikan gambar 4 berikut! Pada gambar

tersebut menunjukkan bidang ABCD digeser ke

bidang A’B’C’D’. Setiap titik pada bidang ABCD

dipindahkan ke bidang A’B’C’D’ dengan jarak dan

arah yang sama, sehingga pergeseran bangun

datar tersebut dapat diwakili ruas garis AA’, BB’,

CC’ dan DD’.

Perpindahan semua titik pada bidang ABCD

ke titik pada bidang A’B’C’D’, sehingga

perpindahan tersebut memiliki jarak dan arah yang

sama disebut pergeseran atau translasi.

Pada gambar 4 di atas:

AB → 'BA' dan AB = 'BA'

BC → 'CB' dan BC = 'CB'

CD → D'C' dan CD = D'C'

AD → 'DA' dan AD = 'DA'

Bangun ABCD → Bangun A’B’C’D’, dan bangun A’B’C’D’→ bangun ABCD, sehingga

bangun ABCD dan bangun A’B’C’D’ sama bentuk dan ukurannya.

Gambar 4.

________________________________________________________________Halaman


3

Dengan demikian translasi adalah suatu perpindahan semua titik pada bidang

yang bersangkutan dengan jarak dan arah yang sama

3. Rotasi

Suatu bangun dikatakan memiliki simetri putar tingkat n jika bangun tersebut

diputar sejauh 3600 pada pusatnya, bangun tersebut dapat menempati n cara, n > 1

Suatu rotasi (perputaran) pada bidang datar ditentukan oleh:

a. Pusat rotasi

b. Besar sudut (jarak rotasi)

Sudut rotasi dibentuk oleh garis yang

menghubungkan pusat rotasi dengan titik

asal dan garis yang menghubungkan pusat

rotasi dengan titik hasil (bayangan)

c. Arah rotasi (searah atau berlawanan arah

perputaran jarum jam

Rotasi yang arahnya berlawanan dengan

arah jarum jam disebut arah positif.

Sedangkan yang searah dengan arah

perputaran jarum jam disebut negatif.

Pada gambar berikut menunjukkan segitiga ABC dirotasikan dengan sudut

rotasi ∠ AOA’ = ∠ BOB’ = ∠ COC’ searah jarum jam (negatif)

Pada rotasi tersebut menunjukkan:

A → A’

B → B’ dan ∆ ABC → ∆ A’B’C

C → C’

Sehingga ∆ ABC dan ∆ A’B’C’ sama bentuk dan ukurannya.

Berdasarkan ketiga bentuk transformasi di atas menunjukkan bahwa transformasi

(refleksi translasi dan rotasi) menghasilkan bangun yang sama bentuk dan ukurannya

sama dengan benda aslinya. Kedua bangun (asli) dan bayangan (hasil transformasi)

tersebut dinamakan saling kongruen. Jika terdapat dua bangun datar yang kongruen, maka

salah satunya dapat dihasilkan dari bangun lainnya melalaui proses transformasi. Dengan

demikian dua buah bangun dikatakan kongruen jika mempunyai bentuk dan ukuran yang

sama.

Karakteristik dari dua bangun yang kongruen adalah:

1. Dua ruas garis yang kongruen mempunyai ukuran panjang yang sama

2. Sudut yang kongruen mempunyai besar yang sama

Gambar 5.

________________________________________________________________Halaman


4

Sumber:http://blog.lib.umn.edu

3. Pasangan sisi yang bersesuaian dari bangun yang kongruen adalah kongruen

4. Pasangan sudut bersesuaian dari dua bangun adalah kongruen

Dua bangun yang saling kongruen dilambangkan dengan tanda “≅”.

Pada ketiga hasil transformasi di atas

Gambar 3: Bangun ABCDE kongruen dengan A’B’C’D’E’, ditulis ABCDE ≅ A’B’C’D’E’,

Gambar 4: Bangun ABCD kongruen dengan bangun A’B’C’D’ ditulis ABCD ≅ A’B’C’D’

Gambar 5: Segitiga ABC kongruen dengan segitiga A’B’C’ ditulis ∆ ABC ≅ ∆ A’B’C’

B. SEGITIGA-SEGITIGA KONGRUEN

Pada penjelasan sebelumnya sudah

diketahui, bahwa dua bangun dikatakan kongruen

jika mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.

Segitiga adalah bangun datar yang paling

sederhana, karena memiliki 3 buah sisi. Segitiga

kongruen adalah segitiga yang mempunyai

ukuran dan bentuk yang sama. Dalam kehidupan

sehari-hari banyak bangunan-bangunan gedung

yang memanfaatkan pola segitiga kongruen.

Seperti dijelaskan di muka bahwa kongruensi ini dapat ditunjukkan dan model

transformasi geometri (refleksi, translasi dan rotasi). Pada gambar berikut menunjukkan

pasangan-pasangan segitiga kongruen yang dijelaskan menggunakan transformasi.

∆ OPQ ≅ ∆ LMN ∆ ABC ≅ ∆ DEF ∆ GHI ≅ ∆ JKI

Perhatikan gambar 8 di samping!

Segitiga ABC ≅ ∆ DEF. Jika dua segitiga tersebut

dipotong dan diimpitkan satu sama lainnya, maka akan

diperoleh pasangan sudut-sudut yang bersesuian

kongruen dan pasangan sisi-sisi bersesuaian yang

kongruen.

Gambar 7.

Gambar 6.

Gambar 8.

________________________________________________________________Halaman


5

a. ∠A ↔ ∠E, dan ∠A ≅ ∠E

∠B ↔ ∠D, dan ∠B ≅ ∠D

∠C ↔ ∠F, dan ∠C ≅ ∠F

Sudut-sudut yang bersesuaian kongruen

b. AB ↔ DE dan AB ≅ DE

BC ↔ DF dan BC ≅ DF

AC ↔ EF dan AC ≅ EF

Sisi-sisi yang bersesuaian kongruen

Jadi ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF atau ∆ ABC ≅ ∆ DEF

Penjelasan tentang segitiga-segitiga kongruen, selain menggunakan transformasi

dapat pula dijelaskan dengan postulat sss (sisi, sisi, sisi), s sd s (sisi, sudut, sisi), sd s sd

(sudut, sisi sudut), s, s, sd (sisi, sisi, sudut) dan s, sd, sd (sisi, sudut, sudut).

Sebuah segitiga sembarang dapat dilukis apabila diketahui:

1. Ketiga sisinya sekaligus (s, s, s)

2. Dua sisi dan sebuah sudut apitnya (s,sd,s)

3. Sebuah sisi dan kedua sudut apitnya (sd,s,sd)

4. Dua sisi dan sebuah sudut (s,s,sd)

5. Sebuah sisi, sebuah sudut pada sisi itu dan sebuah sudut dihadapan sisi yang diketahui

(s,sd,sd)

Sebelum mempelajari postulat kongruensi, berikut ini akan dijelaskan satu per satu

cara melukis masing-masing segitiga tersebut.

1. Ketiga Sisinya Diketahui (s, s, s)

Dua buah segitiga kongruen, jika sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut

kongruen.

Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menggunakan postulat (s,s,s) maka

lakukan kegiatan berikut:

Kegiatan 1.

a. Misalkan diketahui segitiga ABC

b. Lukislah segitiga DEF, di mana panjang DE = AB, panjang EF = BC dan panjang DF

= AC. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah:

1). Buatlah ruas garis sembarang kemudian lukislah sebuah titik D pada garis itu

Dengan busur derajat lukislah garis berarah DE yang sama panjang dengan AB,

2). Dengan pusat E lukislah busur lingkaran dengan panjang jari-jari sama dengan

BC

________________________________________________________________Halaman


6

3). Dengan pusat D lukislah busur lingkaran dengan jari-jari AC, hingga berpotongan

di F

4). Tariklah ruas garis EF

5). Tariklah ruas garis DF

c. Potonglah segitiga DEF kemudian impitkan pada segitiga ABC

d. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen?

Jika kegiatan yang kamu lakukan benar, maka kamu akan mendapatkan

pasangan segitiga berikut:

Berdasarkan gambar yang kamu lukis, akan diperoleh pasangan sisi-sisi

segitiga yang kongruen berikut:

AB ≅ DE , BC ≅ EF , AC ≅ DF , sehingga ∆ ABC ≅ ∆ DEF

Contoh 1:

Perhatikan gambar di samping!

a. Tunjukkan ∆ ABC dan ∆ DEF kongruen.

b. Sebutkan pasangan sudut yang kongruen.

Jawab

a. Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh:

AB ↔ DE dan AB ≅ DE (sisi)

BC ↔ EF dan BC ≅ EF (sisi)

AC ↔ DF dan AC ≅ DF (sisi)

Jadi ∆ ABC kongruen dengan ∆ DEF atau ∆ ABC ≅ ∆ DEF

b. Pasangan sudut yang kongruen adalah:

∠A ↔ ∠ D, dan ∠A ≅ ∠D

∠B ↔ ∠ E, dan ∠B ≅ ∠E

∠C ↔ ∠F, dan ∠C ≅ ∠F

Gambar 9.

Gambar 10.

________________________________________________________________Halaman


7

2. Dua Sisi dan Sudut yang Diapitnya Diketahui (s, sd, s)

Dua buah segitiga kongruen jika dua pasang sisi yang bersesuaian kongruen dan sudut

yang diapit kedua sisi bersesuaian tersebut kongruen.

Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menggunakan postulat (s,sd,s) maka


Kegiatan 2.

a. Misalkan diketahui segitiga sembarang PQR dengan panjang sisi PQ, sisi PR dan

sudut QPR = ao

b. Lukislah sebuah segitiga KLM, di mana panjang KL = PQ, panjang KM = PR dan

sudut LKM = ao

Langkah-langkah melukis segitiga sebagai berikut:

1). Dengan busur derajat, lukislah sisi KL = PQ

2). Dengan pusat K, lukislah sebuah ∠ LKM = ∠ QPR = ao.

3). Lukislah busur lingkaran dengan jari-jari PR berpusat di titik K sehingga

memotong kaki sudut K di titik M.

4). Menarik garis K ke M

c. Tandailah titik sudut-titik sudut bersesuaian dari dua segitiga tersebut.

d. Potonglah segitiga KLM kemudian impitkan pada segitiga PQR

i. Amatilah, apakah segitiga tersebut kongruen?

Jika langkah kalian benar maka maka akan diperoleh pasangan segitiga berikut ini.

Berdasarkan gambar yang kamu lukis akan diperoleh pasangan sisi dan

pasangan sudut yang kongruen berikut:

PQ ≅ KL (sisi)

∠ P ≅ ∠ K (sudut)

PR ≅ KM (sisi)

Gambar 11.

________________________________________________________________Halaman


8

Jadi ∆ PQR ≅ ∆ KLM

Contoh 2:


a. Buktikan bahwa ∆ PQT ≅ ∆ SRT!

b. Sebutkan pasangan sudut yang sama besar!

Jawab:

a. PT ≅ TR (sisi diketahui)

∠ PTQ ≅ ∠ STR (sudut bertolak belakang)

QT ≅ AT (sisi diketahui)

Jadi ∆ PQT ≅ ∆ SRT, karena memenuhi sifat (sisi, sudut, sisi).

b. Pasangan sudut yang sama besar adalah:

∠ P ≅ ∠ R atau ∠ QPT ≅ ∠ SRT, sehingga ∠ P = ∠ R atau ∠ QPT = ∠ SRT

∠ PTQ ≅ ∠ STR, sehingga ∠ PTQ = ∠ STR

∠ Q ≅ ∠ S atau ∠ PQT ≅ ∠ RST sehingga ∠ Q = ∠ S atau ∠ PQT = ∠ RST

3. Dua Sudut dan Sebuah Sisi Diantara Sudut Itu (sd, s, sd)

Dua buah segitiga kongruen, jika terdapat dua pasang sudut yang kongruen dan

sepasang sisi yang memuat sudut-sudut tersebut kongruen.

Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menurut postulat (sd, s, sd) maka


Kegiatan 3.

a. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan ∠ BAC = x0, panjang sisi AB dan ∠ ABC =

y0.

b. Lukislah sebuah segitiga KLM di mana ∠ LKM = x0, panjang sisi KL = AB dan ∠

KLM = y0.

Langkah-langkah melukis sebagai berikut:

1). Dengan busur derajat lukislah ruas garis KL yang panjangnya sama dengan AB,

2). Dengan pusat K, lukislah ∠ BAC = x0 kemudian perpanjang kaki sudutnya.

3). Dengan pusat L, lukislah ∠ ABC = y0

4). Perpanjang kaki sudutnya sehingga berpotongan di M.

c. Potonglah segitiga KLM kemudian impitkan pada segitiga ABC



Gambar 12.

________________________________________________________________Halaman


9

Berdasarkan gambar yang kamu lukis akan diperoleh pasangan sisi dan pasangan

sudut yang kongruen berikut:

∠ A ≅ ∠ K (sudut)

AB ≅ KL (sisi)

∠ B ≅ ∠ L (sudut)

Jadi ∆ ABC ≅ ∆ KLM

Contoh 3:


Jika ∆ PQR diimpitkan pada ∆ KLM, maka:

∠ P↔ ∠ K maka ∠ A ≅ ∠ K (sudut)

PQ ↔ KL maka PQ ≅ KL (sisi)

∠ Q↔ ∠ L maka ∠ Q ≅ ∠ L (sudut)

Jadi ∆ PQR ≅ ∆ KLM

4. Dua Sisi dan Sudut di Hadapan Salah Satu Sisi (sd, s, s atau s, s, sd)

Dua buah segitiga kongruen jika mempunyai dua pasang sisi kongruen dan

sepasang sudut dihadapan salah satu sisinya kongruen.

Untuk membuktikan dua buah segitiga kongruen menurut postulat (s, s, sd) maka


Kegiatan 4.

a. Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi AB = a cm, panjang sisi BC = b

cm dan ∠ BAC = x0,

b. Lukislah sebuah segitiga XYZ di mana ∠ YXZ = x0, panjang sisi XY = AB dan

panjang sisi YZ = BC.

Langkah-langkahnya sebagai berikut:

1). Lukislah ruas garis berarah dengan pusat X

Gambar 13.

Gambar 14.

________________________________________________________________Halaman


10

2). Lukislah sudut dengan pusat X yang sama besar dengan ∠ BAC = x0, dan salah

satu kaki sudutnya ruas garis bearah dari x tadi, kemudian perpanjang kaki sudut

yang laiinya.

3). Lukislah busur lingkaran dengan pusat X dengan jari-jari sama dengan AB

sehingga memotong kaki sudut X di titik Y.

4). Dengan pusat Y buatlah bususr lingkaran dengan jari-jari sama dengan BC

sehingga memotong ruas garis mendatar dari X di titik Z.

c. Potonglah segitiga XYZ kemudian impitkan pada segitiga ABC





∠ A ≅ ∠ X (sudut)

AB ≅ XY (sisi)

BC ≅ YZ (sisi)

Jadi ∆ ABC ≅ ∆ XYZ

Contoh 4:

Perhatikan gambar berikut!

Tunjukkan bahwa: ∆ ABC ≅ ∆ XYZ

AB ↔ XZ maka AB ≅ XZ (sisi)

CB ↔ ZY maka CB ≅ ZY (sisi)

∠ B ↔ ∠ Y maka ∠ B ≅ ∠ Y (sudut)

Jadi ∆ ABC ≅ ∆ XYZ

Gambar 15.

Gambar 16.

________________________________________________________________Halaman


11

5. Dua Sudut dan Satu Sisi di Hadapan Salah Satu Sudut (s, sd, sd atau sd, sd, s)

Dua segitiga kongruen, jika terdapat dua pasang sudut yang kongruen dan

sepasang sisi di hadapan salah satu sudut tersebut kongruen.

Untuk membuktikan postulat tersebut lakukan kegiatan berikut ini.

Kegiatan 5.

a. Misalkan diketahui segitiga AB = a cm dengan besar ∠ BAC = p0, ∠ ACB = q0

b. Lukislah sebuah segitiga RST dengan panjang RS = panjang AB, ∠ SRT = ∠ BAC=

po, ∠ SRT = ∠ BAC dan ∠ RTS = ∠ ACB = qo . Langkah-langkah melukis adalah:

1). Lukislah ruas garis RS yang panjangnya sama dengan AB = a cm

2). Lukislah sudut berpusat di pusat R yang besarnya = p0 dengan salah satu kaki

sudutnya RS,

3). Lukislah sudut di titk S yang besarnya x0 yaitu (1800 – p0 – q0 ) yang salah satu

kaki sudutnya SR.

4). Perpanjang kaki sudut R selain RS dan kaki sudut S selain SR sehingga

berpotongan di titik T

d. Potonglah segitiga RST kemudian impitkan pada segitiga ABC

e. Amatilah, apakah dua segitiga tersebut kongruen?




AB ≅ RS (sisi)

∠ A ≅ ∠ R (sudut)

∠ C ≅ ∠ T (sudut)

Jadi ∆ ABC ≅ ∆ RST

Gambar 17.

________________________________________________________________Halaman


12

Contoh 5:

Perhatikan gambar berikut!

a. Buktikan bahwa ∆ ABC ≅ ∆ ABD!

b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang!

Jawab:

a. AB ≅ AB (sisi, berimpit)

∠ ABC ≅ ∠ BAD (sudut, diketahui)

∠ ACB ≅ ∠ BDA (sudut, diketahui)

Jadi ∆ ABC ≅ ∆ ABD

b. Pasangan sisi yang sama panjang:

AB = AB, AC = BD, dan AD = BC

C. PENGGUNAAN SEGITIGA-SEGITIGA KONGRUEN

Segitiga-segitiga kongruen banyak diguakan

dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada model

sebuah bangunan rumah atau pada kegiatan

perkemahan seperti gambar 19 di samping. Pada

gambar tersebut dua orang anak mendirikan sebuah

tenda, di mana permukaan tenda terbentuk dari dua

buah segitiga siku-siku yang kongruen. Dengan

mengetahui lebar alas tenda dan tinggi tenda, maka

dapat dihitung panjang kemiringan tenda dengan

memanfaatkan sifat-sifat segitiga kongruen.

Untuk menghitung panjang garis dan besar sudut segitiga-segitiga kongruen, maka

harus menentukan apakah kedua segitiga kongruen atau tidak.

Contoh 6:

Perhatikan gambar di samping, ∆ KLM ≅ ∆ PQR!

Tentukan:

a. Panjang PQ,

b. ∠ R,

c. ∠ K!

Jawab:

a. PQ ≅ KM = 9 cm

b. ∠ R ≅ ∠ L = 350

c. ∠ K ≅ ∠ Q = 1100

Gambar 18.

www.pearsonsuccessnet.com

Gambar 19.

________________________________________________________________Halaman


13

Contoh 7:


a. Tentukan panjang DF, AB dan AC!

b. Tentukan besar ∠ EDF dan ∠ DFE!

Jawab:

a. DF ≅ BC = 10 cm

AB ≅ DE = 6 cm

AC = 22 610 − = 63100 − = 64 = 8 cm

b. ∠ EDF = 550 dan ∠ DFE = 1800 – (900 + 550) = 350

TUGAS 1

A. Nyatakan benar (B) atau salah (S) dari pernyataan-pernyatan berikut.

Perhatikan gambar berikut:

1. Panjang QR = 6 cm

2. Panjang AB = 8 cm

3. Besar ∠ PQR = ∠ ACB

4. Besar ∠ PQR = 600

5. Besar ∠ PRQ = 750

B. Pasangkan pernyataan di bawah ini yang sesuai dengan gambar berikut!

1. Besar ∠ ACB adalah … a. 10 cm

2. Besar ∠ ABC adalah … b. 6 cm

3. Besar ∠ ABC adalah … c. 380

4. Panjang DE adalah … d. 520

5. Panjang BC adalah … e. 900

C. Jawablah pertanyaan berikut dengan benar!

1. Perhatikan gambar berikut!

a. Buktikan bahwa ∆ PQR ≅ ∆ KLM!

b. Sebutkan pasangan sudut yang sama

besar!

________________________________________________________________Halaman


14

2. Diketahui ∆ ABC dan ∆ PQR, ∠ A = ∠ P = 600, ∠ C = 850, ∠ Q = 350 dan AB = PQ

= 6 cm.

a. Tunjukkan ∆ ABC ≅ ∆ PQR!

b. Sebutkan pasangan sisi yang sama panjang!

3. Perhatikan gambar layang-layang di samping!

Buktikan ∆ DEC ≅ ∆ BEC!

4. Perhatikan gambar dua segitiga berikut:

Diketahui ∆ KLM dan ∆ DEF dengan ∠ LKM = 550, ∠

EFD = 350, Panjang LM = 12 cm, DE = 9 cm dan DF =

15 cm.

a. Tunjukkan ∆ KLM ≅ ∆ DEF!

b. Tentukan panjang KM

c.. Tentukan besar ∠ EDF!

5. Diketahui gambar di samping!

Panjang SR = TR = 6 cm, PT = 8 cm , PR = 12 cm

a. Sebutkan dua buah segitiga yang kongruen

b. Hitunglah panjang QT!

c. Hitunglah ∠ SUT!

Documents

Modul Kongruen Mulyati