MODUL XII

UJI HIPOTESIS

Dalam kehidupan, sering kita ingin menguji kebenaran suatu pernyataan/ anggapan. Misal,

benarkah pernyataan iklan obat di televisi yang sebagai ‘penambah tenaga’. Untuk menguji

kebenarannya, sulit untuk menanyakan semua orang yang minum obat tersebut (populasi yang

minum obat). Kesulitan tersebut karena biaya yang besar, memakan waktu yang lama, serta

kemungkinan bisa/ tidaknya suatu percobaan dilaksanakan. Kegiatan ini disebut hipotesis

statistik.

Pengujian hipotesis statistik merupakan bagian terpenting dari teori keputusan. Suatu

anggapan/ pernyataan yang mungkin benar/ tidak mengenai satu populasi atau lebih disebut

hipotesis statistik.

Kebenaran atau ketidakbenaran suatu hipotesis statistik tidak pernah diketahui dengan pasti

kecuali bila seluruh populasi diamati. Namun hal ini sangat sulit, karena itu diambil sampel

acak dari populasi yang ingin diselidiki dan dengan menggnakan informasi yang terkandung

dalam sampel itu diputuskan apakah hipotesis tersebut wajarnya benar atau salah.

Petunjuk dari sampel yang tidak sesuai dengan hipotesis menjurus kepada penolakan hipotesis,

sedangkan petunjuk yang mendukung menjurus kepada penerimaannya. (ditegaskan bahwa

penerimaan suatu hipotesis statistik diakibatkan oleh tidak cukupnya petunjuk untuk

menolaknya dan tidaklah menunjukkan bahwa hipotesis itu benar).

Istilah diterima / ditolak penting dipahami, bahwa penolakan suatu hipotesis berarti

menyimpulkan bahwa hipotesis tersebut tidak benar, sedangkan penerimaan suatu hipotesis

hanyalah menunjukkan bahwa tidak cukup petunjuk untuk mempercayai sebaliknya. Biasanya

hipotesis yang dirumuskan dengan harapan untuk ditolak disebut hipotesis nol (H0). Penolakan

H0 menjurus kepada penerimaan suatu hipotesis tandingannya (H1). Bentuk uji hipotesis

statistik untuk 1 populasi adalah sbb:

1. Uji satu arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingannya yang berarah satu,

seperti:

atau

Seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan terletak diujung kanan distribusi,

sedangkan seluruh daerah kritis untuk hipotesis tandingan terletak diujung kiri.

86

2. Uji dua arah, yaitu setiap uji hipotesis statistik dengan tandingan berarah dua, seperti:

Hipotesis tandingan menyatakan salah satu dari ataupun . Nilai pada kedua

ujung distribusi membentuk daerah kritisnya. Sebagai contoh: Misalkan umur rata-rata

mahasiswa yang mengambil statistika dasar adalah 20 tahun dan jumlah mahasiswa

(populasi) yang mengam,bil mata kuliah tersebut 400 org. Ingin diuji apakah rata-rata

umur mhs tsb benar/ salah, jika diambil sampel sebanyak 15 mhs. Penulisan hipotesis

statistiknya adalah

atau atau

A. UJI-Z : UJI RATAAN 1 SAMPEL DENGAN DIKETAHUI

Pandanglah masalah pengujian hipotesis bahwa rataan populasi dengan variansi

diketahui, sama dengan nilai tertentu lawan tandingan bahwa rataan tersebut tidak

sama dengan , yaitu akan diuji:

Statistik yang sesuai sebagai dasar patokan keputusan ialah peubah acak karena x

adalah penaksir tak bias untuk . Tidak diketahui bahwa distribusi sampel dari rataan

adalah hampir normal dengan rataan dan variansi , bila suatu populasi dengan

mean dan variansi diambil sampelnya secara acak sebanyak n. Bila digunakan taraf

keberartian , maka dapat dicari 2 nilai kritis sedemikian sehingga

menyatakan daerah penerimaan dan yang lainnya menyatakan daerah kritis.

Daerah kritis dapat dinyatakan dalam nilai z yang diberikan oleh:

Jadi, untuk taraf keberartian , nilai kritis peubah acak z yang berpadanan dengan ,

adalah:

atau

87

Dari populasi diambil sampel acak berukuran n dan kemudian rataan sampel dihitung.

Bila jatuh dalam daerah penerimaan , maka z akan jatuh dalam daerah

dan disimpulkan bahwa . Daerah kritis biasanya dinyatakan dalam

z bukan dalam .

Contoh 1

Suatu perusahaan pembuat perlengkapan olah raga membuat tali pancing sintetik yang

baru dan yang menurut pembuatnya rata-rata dapat menahan beban 8 kg dengan

simpangan baku 0.5 kg (tali pancing tersebut diasumsikan berdistribusi normal). Ujilah

hipotesis bahwa = 8 kg lawan tandingan bahwa 8 kg, bila sampel acak 50 tali diuji

dan ternyata rata-rata daya tahannya 7.8 kg. Gunakan taraf keberartian 0.05.

Jawab:

Pengujiannya masalahnya adalah:

kg

kg

Langkah-langkah yang dilkaukan didalam minitab

1. Bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan banayak data 50 simpan di C1.

2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample Z.

3. Pada kotak dialog seperti pada gambar pilih samples in columns input C1

4. Input 0.5 sebagai Standar Deviation dan 8 sebagai test mean

5. Kemudian klik OK

Gambar 12.1 Kotak dialog 1- sample Z

Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

88

One-Sample Z: C1

Test of mu = 8 vs not = 8The assumed standard deviation = 0.5

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI Z PC1 50 7.75760 0.51324 0.07071 (7.61901, 7.89619) -3.43 0.001

Analisa : Dari Minitab diperoleh nilai z hitung = -3.44. Untuk taraf keberartian ,

z mempunyai nilai kritis : z < -2.575 dan z > 2.575. Jadi, z = -3.43 terletak dalam daerah

penolakan maka kesimpulannya adalah H0 ditolak, artinya rata-rata daya tahan tidak smaa

dengan 8. Cara lain yang lebih mudah untuk mengujinya adalah dengan membandingkan

dengan nilai p-nya. Jika < nilai p , maka H0 diterima. Untuk sebaliknya, H0 ditolak.

B. UJI-T 1 SAMPEL : UJI RATAAN DG 2 TDK DIKETAHUI

Selain uji-z ada pada uji-t, yaitu untuk menguji rataan bila variansi populasi tidak

diketahui. Langkah-langkah pengerjaan sama dengan uji-z, dengan rumusuntuk T adalah :

T= dengan daerah kritis

s menyatakan simpangan baku dari sampel damn n adalah banyaknya data. Nilai dari t

dapat dilihat dari tabel t.

Contoh 2

Ujilah hipotesis bahwa rat-rat isi kaleng sejenis minyak pelumas adalah 10 liter, bila isi

sampel acak 10 kaleng adalah 10.2, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3, dan 9.8 liter.

Gunakan taraf keberartian 0.10 dan anggap bahwa distribusi isi kalaeng normal.

Jawab :

Pengujian : H0 : = 10

H1 : 10

Langkah-langkah pengerjaan pada Minitab:

1. Input data pada kolom C2 10.2 9.7 10.1 10.3 10.1 9.8 .9.9 10.4 10.3 9.8

2. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t

3. Pada kotak dialog, pilih sample in column input C2, test mean input 10 selanjutnya

OK

89

Gambar 12.2 Kotak dialog 1-sample t

One-Sample T: C2

Test of mu = 10 vs not = 10

Variable N Mean StDev SE Mean 95% CI T PC2 10 10.0600 0.2459 0.0777 (9.8841, 10.2359) 0.77 0.460

Analisa: nilai kritis dari t untuk taraf keberartian 0.10 dan derajat kebebasan 9 :

dan . Maka T hasil perhitungan = 0.77 terletak

dalam daerah penerimaan. Jadi, H0 diterima, artinya rata-rata- isi kaleng minyak

adalah benar 10 liter. Cara lain : = 0.10 < nilai p = 0.46, jadi H0 diterima.

Contoh 3

Misalkan untuk masalah diatas, pengujiananya dilakukan satu arah, misalkan pengujian

menjadi :

H0 : =10 lawan

H1 : < 10

Maka digunakan uji t 1 sampel untuk masalah satu arah :

1. Pilih Stat > Basic Statistics > 1-sample t

2. Pada kotak dialog klik option, pilih less than pada kolom alternative, lalu OK > OK

Gambar 12.3 Kotak dialog 1-sample t - options

Hasil outputnya sebagai berikut:

One-Sample T: C2

90

Test of mu = 10 vs < 10 95% UpperVariable N Mean StDev SE Mean Bound T PC2 10 10.0600 0.2459 0.0777 10.2025 0.77 0.770

Analisa : Dengan nilai kritis T < -1.833 maka kesimpulan adalah H0 diterima.

C. UJI-T 2 SAMPEL : UJI SELISIH RATAAN

Pengertian uji t 2 sampel sama dengan uji t 1 sampel, hanya saja terdapat 2 sampel yang

kemudian diuji selisih rataannya, dengan rumus

untuk dan tidak diketahui

Contoh 4

Diberikan 2 sampel acak berukuran , dari dua populasi normal yang bebas

satu sama lain. Dari sampel diperoleh . Ujilah

hipotesis pada taraf keberartian 0.05 bahwa , lawan tandingan . Anggap

bahwa kedua populasi mempunyai variansi yang sama.

Jawab:

Pengujian : atau lawan

atau

Langkah-langkah yang dilakukan pada Minitab :

1. Bangkitkan 11 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C1

dengan n = 75 dan p = 6.1

2. Bangkitkan 14 bilangan pubah acak berdistribusi normal simpan pada kolom C2

dengan n = 60 dan p = 5.3

3. Pilih Stat > Basic Statistics > 2-sample t

4. Pada kotak dialog pilih samples in different columns, input C1 sebagai first dan C2

sebagai second

5. Ceklist Assume equal variances. Selanjutnya OK

91

Gambar 12.4 2-samples t

Output yang dihasilkan adalah sebagai berikut:

Two-Sample T-Test and CI: C1, C2

Two-sample T for C1 vs C2

N Mean StDev SE MeanC1 11 77.99 4.30 1.3C2 11 64.13 4.02 1.2

Difference = mu (C1) - mu (C2)Estimate for difference: 13.864295% CI for difference: (10.1594, 17.5690)T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 7.81 P-Value = 0.000 DF = 20Both use Pooled StDev = 4.1652

Analisa : Diketahui untuk taraf keberartian 5% daerah kritis adalah dan

. Maka T = 8.16 terletak dalam daerah penolakan, artinya

keputusan adalah H1 diterima atau selisih mean tidak sama dengan nol, atau

terdapat beda mean kedua populasi.

92