Jurnal April

Aplikasi Linear Programming (LP) dalam Konsep the Theory of Constraints (TOC)(Vincent Gaspersz)

153

APLIKASI LINEAR PROGRAMMING (LP) DALAM KONSEPTHE THEORY OF CONSTRAINTS (TOC)

Vincent Gaspersz

Abstract The theory of constraints (TOC), initiated by Dr. Eliyahu Goldratt, is a

management philosophy based on the principle of achieving continuous improvement byfocusing on the system constraint. A system constraint will limit the performance ofsystem, thus all efforts should be focused at maximizing the performance of theconstraint. Linear programming can be used as a technique in the TOC process ofcontinuous improvement.

1. Konsep Dasar TOCThe theory of constraints (TOC) yang diperkenalkan oleh Dr. Eliyahu Goldratt,

merupakan suatu filosofi manajemen yang berdasarkan prinsip-prinsip pencapaian peningkatanterus-menerus (continuous improvement) melalui memfokuskan perhatian pada kendala sistem(system constraint). Suatu kendala sistem membatasi performansi dari sistem itu, sehinggasemua upaya seyogianya ditujukan untuk memaksimumkan performansi dari kendala ini.

Setiap sistem produksi membutuhkan beberapa titik kendali (control points) atau titik-titik kunci (key points) untuk mengendalikan aliran dari produk yang melewati sistem itu. Jikasistem produksi itu mengandung kendala (constraint), maka pada kendala itu merupakan tempatterbaik untuk dikendalikan. Titik kendali (control point) ini disebut sebagai “drum”. Suatukendala didefinisikan sebagai suatu sumber daya yang tidak memiliki kapasitas untukmemenuhi permintaan, oleh karena itu salah satu alasan untuk menggunakan kendala sebagaititik kendali (control point) adalah untuk meyakinkan agar operasi sebelumnya tidakmemproduksi lebih atau menghasilkan inventori WIP (work-in-process inventory) yang tidaktertangani. Jika tidak terdapat kendala, maka tempat terbaik berikut untuk menetapkan “drum”adalah CCR (capacity-constrained resource). Suatu CCR didefinisikan sebagai operasi yangmendekati kapasitas tetapi, pada tingkat rata-rata, memiliki kapabilitas yang cukup memadaisepanjang itu tidak dijadualkan secara salah (misalnya: dengan terlalu banyak setups, produksidengan ukuran lot terlalu besar, dll, sehingga menyulitkan operasi sesudahnya). Jika kendalamaupun CCR tidak ada dalam sistem, maka titik kendali dapat ditempatkan di mana saja dalamsistem itu.

Terdapat dua hal yang harus dilakukan terhadap kendala, yaitu: (1) menjaga ataumenyiapkan suatu “buffer inventory” di depan tempat kendala itu, dan (2) mengkomunikasikankepada operasi paling awal untuk membatasi produksi sesuai jumlah kemampuan dari kendalaitu. Proses komunikasi ini disebut sebagai “rope”.

Dengan demikian dalam konsep TOC dikenal istilah “drum-buffer-rope”, yangmerupakan teknik umum yang digunakan untuk mengelola sumber-sumber daya gunamemaksimumkan performansi dari sistem. Drum adalah tingkat produksi yang ditetapkan olehkendala sistem, buffer menetapkan proteksi terhadap ketidakpastian sehingga sistem dapatmemaksimumkan performansi, dan rope adalah suatu proses komunikasi dari kendala ke operasiawal (gating operation) untuk memeriksa atau membatasi material yang diberikan ke dalamsistem. Konsep drum-buffer-rope ini dapat dijelaskan secara lebih mudah melalui Gambar 1.

Jurnal Teknologi Industri Vol. V No. 3 Juli 2001 : 153 - 162

154

Gambar 1. Aliran Linear dari Produk X dengan Sebuah Kendala (Bottleneck)

Dari Gambar 1 dapat dijelaskan sebagai berikut:a. Terdapat sebuah kendala pada pusat kerja C dalam sistem yang membatasi

performansi dari sistem itu. Oleh karena itu harus ditetapkan titik kendali (controlpoint) pada C dan titik kendali ini disebut drum.

b. Menyediakan suatu “buffer” di depan pusat kerja C sebagai inventori pengaman.Karena pusat kerja C merupakan kendala (bottleneck), maka output dari C akanmenentukan performansi sistem.

c. Mengkomunikasikan ke pusat kerja A tentang kendala yang ada pada C, sehingga Ahanya memberikan input sesuai dengan kemampuan C. Proses komunikasi ini disebutrope, yang dapat berbentuk formal seperti jadual atau informal seperti diskusi harian.

Guna kepentingan peningkatan terus-menerus (continuous improvement), TOC padaumumnya menggunakan lima langkah berikut (Melnyk and Denzler, 1996):

a. Mengidentifikasi kendala atau keterbatasan sistem. Hal ini analogi denganmengidentifikasi titik terlemah dalam rantai operasi, di mana titik itu membatasikemampuan sistem.

b. Memutuskan bagaimana cara mengungkapkan kendala sistem itu, melaluimemaksimumkan performansi sistem berdasarkan kendala yang telah diidentifikasidalam langkah 1.

c. Menangguhkan hal-hal lain yang bukan kendala dari pertimbangan pembuatankeputusan. Alasannya, segala sesuatu yang hilang pada kendala sistem akanmenghilangkan keuntungan, sedangkan kehilangan pada sumber daya yang bukankendala tidak memberikan pengaruh karena sumber-sumber daya itu masih cukuptersedia.

d. Memprioritaskan solusi masalah pada kendala sistem, dalam hal apabila performansisistem tidak memuaskan.

e. Kembali ke langkah 1 untuk peningkatan terus-menerus, jika langkah-langkahsebelumnya memunculkan kendala-kendala baru dalam sistem itu.

A B C E PasarX

Inventory (buffer)

Bottleneck (drum)

Keterangan: produk x mengalir dari pusat kerja A sampai E. Pusat kerja C merupakan kendala, karena memiliki kapasitas paling rendah.

Communication(rope)

D


155

2. Konsep Linear ProgrammingLinear Programming (LP) merupakan teknik riset operasional (operation research

technique) yang telah dipergunakan secara luas dalam berbagai jenis masalah manajemen.Banyak keputusan manajemen produksi dan inventori mencoba membuat agar penggunaansumber-sumber daya manufakturing menjadi lebih efektif dan efisien. Sumber-sumber dayamanufakturing seperti: mesin, tenaga kerja, modal, waktu, dan bahan baku digunakan dalamkombinasi tertentu yang paling optimum untuk menghasilkan produk (barang dan/atau jasa).Dengan demikian linear programming dipergunakan untuk membantu manajer-manajer PPICguna merencanakan dan membuat keputusan tentang pengalokasian sumber-sumber daya yangoptimum. Beberapa contoh penggunaan linear programming dalam bidang produksi daninventori yang telah menunjukkan hasil memuaskan adalah:

a. Menentukan kombinasi (diversifikasi) produk yang terbaik dalam menggunakankapasitas mesin, tenaga kerja, dan modal yang tersedia agar memaksimumkankeuntungan perusahaan (masalah maksimisasi keuntungan).

b. Menentukan pencampuran bahan baku dalam pabrik farmasi atau pengolahanmakanan untuk menghasilkan produk obat atau makanan yang meminimumkan biayaproduksi (masalah minimisasi biaya produksi).

c. Menentukan sistem distribusi yang akan meminimumkan ongkos total transportasidari beberapa gudang ke beberapa lokasi pasar (masalah minimisasi biayatransportasi).

d. Mengembangkan jadual produksi yang akan memenuhi permintaan produk mendatangpada tingkat biaya produksi dan inventori yang minimum (minimisasi biaya produksidan inventori).

Semua masalah linear programming pada dasarnya memiliki lima karakteristik utamaberikut (Anderson, et. al., 1997):

a. Masalah linear programming berkaitan dengan upaya memaksimumkan (padaumumnya keuntungan) atau meminimumkan (pada umumnya biaya). Upaya optimasi(maksimum atau minimum) ini disebut sebagai fungsi tujuan (objective function) darilinear programming. Fungsi tujuan ini terdiri dari variabel-variabel keputusan(decision variables).

b. Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaian tujuan yangdirumuskan dalam linear programming. Kendala-kendala ini dirumuskan dalamfungsi-fungsi kendala (constraint’s functions), terdiri dari variabel-variabel keputusanyang menggunakan sumber-sumber daya yang terbatas itu. Dengan demikian yangakan diselesaikan dalam linear programming adalah mencapai fungsi tujuan(maksimum keuntungan atau minimum biaya) dengan memperhatikan fungsi-fungsikendala (keterbatasan atau kendala) sumber-sumber daya yang ada.

c. Memiliki sifat linearitas. Sifat linearitas ini berlaku untuk semua fungsi tujuan danfungsi-fungsi kendala. Sebagai misal, apabila satu unit produk A dapat menghasilkankeuntungan, katakanlah, $30, maka apabila kita memproduksi dua unit produk A akanmemberikan keuntungan $60 (2 x $30), produksi tiga unit produk A akan memberikankeuntungan $90 (3 x $30), dan seterusnya. Demikian pula untuk penggunaan sumber-sumber daya. Misalkan untuk sumber daya tenaga kerja, katakanlah untukmemproduksi satu unit produk A membutuhkan 2 jam kerja, maka untukmenghasilkan dua unit produk A akan membutuhkan 4 jam kerja (2 unit produk x 2jam kerja per unit produk), dan seterusnya.

d. Memiliki sifat homogenitas. Sifat homogenitas ini berkaitan dengan kehomogenansumber-sumber daya yang digunakan dalam proses produksi, misalnya semua produkA dihasilkan oleh mesin-mesin yang identik, tenaga kerja yang berketerampilan sama,dan lain-lain.


156

e. Memiliki sifat divisibility. Sifat divisibility diperlukan, karena linear programmingmengasumsikan bahwa nilai dari variabel-variabel keputusan maupun penggunaansumber-sumber daya dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan. Jika pembagian initidak mungkin dilakukan terhadap variabel keputusan, misalnya dalam industri mobil,furniture, dan lain-lain, karena nilai kuantitas produksi diukur dalam bilangan bulat,maka modifikasi terhadap linear programming harus dilakukan. Bentuk modifikasidari linear programming ini disebut sebagai integer programming.

Secara matematik, model umum dari linear programming yang terdiri dari sekumpulanvariabel keputusan X1, X2 , …, Xn, dapat dirumuskan sebagai berikut:

Maksimum (atau Minimum) Z = C1X1 + C2X2 + … + CnXn

dengan kendala:

A11X1 + A12X2 + ….. + A1nXn ≤ B1

A21X1 + A22X2 + ….. + A2nXn ≤ B2

.

.Am1X1 + Am2 X2 + ….. + AmnXn ≤ Bm

di mana Cn, Amn , dan Bm adalah konstanta.

Catatan:tergantung pada permasalahan, fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan ( = ),lebih kecil atau sama dengan ( ≤ ), lebih besar atau sama dengan ( ≥ ), atau kombinasi diantaranya (sebagian fungsi kendala bertanda ≤ dan sebagian lainnya bertanda ≥).

Solusi terhadap model linear programming di atas dapat menggunakan paket softwarekomputer, misalnya Microsoft Excel dengan program yang disebut SOLVER.

3. Aplikasi Linear Programming3.1. Aplikasi Linear Programming dalam Diversifikasi Produk

Supersport Footballs, Inc. harus menentukan kombinasi terbaik dari produk bola model-model All-Pro (x1), College (x2), and High School (x3) agar memaksimumkan keuntungan.Kendala-kendala yang dihadapi adalah keterbatasan kapasitas (waktu tersedia dalam menit) daritiga departemen: (1) pemotongan dan pencelupan (cutting and dyeing), (2) penjahitan (sewing),dan (3) inspeksi dan pengepakan (inspection and packaging), juga pembatasan bahwa produksimodel All-Pro (x1) harus minimum 1000 unit sesuai dengan pesanan yang telah diterima. Setiapunit produk bola model All-Pro (x1), College (x2), and High School (x3) yang diproduksi,berturut-turut memberikan keuntungan sebesar $3, $5, dan $4. Kebutuhan sumber daya untukproduksi bola dan kapasitas yang tersedia dari ketiga departemen ditunjukkan dalam Tabel 1.

Tabel 1. Kebutuhan Sumber Daya Per Unit Produk Bola dan Kapasitas (waktu dalam menit) dari Tiga Departemen (Pusat Kerja)

Sumber Daya(Pusat Kerja)

All-Pro(x1)

College(x2)

High School(x3)

Kapasitas Tersedia(Menit)

Potong dan Celup 12 10 8 18000Penjahitan 15 15 12 18000Inspeksi & Pengepakan 3 4 2 9000


157

Masalah linear programming dari perusahaan Supersport dapat dirumuskan sebagaiberikut:

Maksimum Keuntungan Z = 3x1 + 5x2 + 4x3

dengan kendala:

12x1 + 10x2 + 8x3 ≤ 18.000 (waktu potong dan celup)15x1 + 15x2 + 12x3 ≤ 18.000 (waktu jahit)3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 9.000 (waktu inspeksi & pengepakan)1x1 ≥ 1.000 (kuantitas pesanan yang diterima)x1, x2, x3 ≥ 0

Solusi terhadap masalah linear programming di atas dapat menggunakan program Solverdalam Microsoft Excel, mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1.Masukkan informasi berikut ke dalam spreadsheet Microsoft Excel:

A B C D E F G1 X1 X2 X22 Nilai Keputusan 1 1 13 Keuntungan: 3 4 5 12*)4 Kendala: X1 X2 X2 Kebutuhan Notasi Kapasitas5 Potong dan Celup 12 10 8 30*) <= 180006 Jahit 15 15 12 42*) <= 180007 Inspeksi dan Pengepakan 3 4 2 9*) <= 90008 Kuantitas model All-Pro (X1) 1 0 0 1*) >= 1000

Catatan:a. Nilai keputusan awal untuk X1 , X2, dan X3 ditentukan secara sembarang, dalam contoh

ini dipilih: X1 = 1, X2 = 1, dan X3 =1. Nilai-nilai optimum akan dicari oleh komputer.b. Sel E3 merupakan formula: E3 =+B2*B3+C2*C3+D2*D3 . Ketikkan formula ini ke

dalam sel E3. Hasil angka 12 adalah jumlah hasil kali dari: (1 x 3) + (1 x 5) + (1 x 4).c. Sel E5 sampai E8 juga merupakan formula. Angka-angka yang muncul merupakan

jumlah hasil kali dari formula itu. Ketikkan formula-formula berikut ke dalam sel E5sampai E8:

E5 =+B2*B5+C2*C5+D2*D5 E6 =+B2*B6+C2*C6+D2*D6 E7 =+B2*B7+C2*C7+D2*D7 E8 =+B2*B8+C2*C8+D2*D8

Langkah 2. Pilih Tools, Solver

Langkah 3. Isi Solver Parameters, sebagai berikut:Set Target Cell: $E$3 (Definisikan Sel E3 yang mengandung formula targetkeuntungan)Equal To: • maxBy Changing Cells: $B$2:$D$2 (Definisikan sel B2 sampai D2 yang nilai-nilai

optimum dari variabel keputusan itu akan diisi atau diganti oleh komputer)

Subject to the Constraints: Diisi dengan jalan memilih Add, sebagai berikut:


158

Add ConstraintCell Reference: Constraint:$B$2:$D$2 >= 0 (Add)$E$5:$E$7 <= $G$5:$G$7 (Add)$E$8 >= $G$8 (OK)

Langkah 4. Pilih SolveSelanjutnya komputer akan memunculkan Solver Results. Beberapa pilihan berikut dapatdilakukan:Restore Original Values (Nilai awal dari variabel keputusan disimpan)Reports:Pilih Answer (Apabila perlu pembaca juga dapat memilih Sensitivity, Limits)

Hasil solusi masalah linear programming di atas oleh Solver Microsoft Excel ditunjukkansebagai berikut:

Microsoft Excel 8.0 Answer ReportWorksheet: [LP1.xls]Sheet1Report Created: 16/08/2000 11:04:35

Target Cell (Max)

Cell Name Original Value Final Value

$E$3 Keuntungan: 12 4000

Adjustable Cells

Cell Name Original Value Final Value

$B$2 Nilai Keputusan: X1 1 1000$C$2 Nilai Keputusan: X2 1 198,4799194$D$2 Nilai Keputusan: X3 1 1,900100866

Constraints

Cell Name Cell Value Formula Status Slack

$E$5 Potong dan Celup 14000 $E$5<=$G$5 Not Binding 3999,999999$E$6 Jahit 18000 $E$6<=$G$6 Binding 0$E$7 Inspeksi dan Pengepakan 3797,719879 $E$7<=$G$7 Not Binding 5202,280121$E$8 Kuantitas model All-Pro (X1) 1000 $E$8>=$G$8 Binding 0$B$2 Nilai Keputusan: X1 1000 $B$2>=0 Not Binding 1000$C$2 Nilai Keputusan: X2 198,4799194 $C$2>=0 Not Binding 198,4799194$D$2 Nilai Keputusan: X3 1,900100866 $D$2>=0 Not Binding 1,900100866

Keterangan:a. Final value dari keuntungan adalah 4000, berarti perusahaan akan memperoleh

keuntungan sebesar $4000 apabila melaksanakan keputusan X1 = 1000 unit, X2 =198,4799194 unit, dan X3 = 1,900100866 unit. Catatan: Z = 3X1 + 5X2 + 4X3 =3(1000) + 5(198,4799194) + 4(1,900100866) = 4000.

b. Nilai slack dapat diinterpretasikan sebagai berikut. Misalkan untuk waktu potong dancelup sebesar 3999,9999 berarti apabila kita melaksanakan keputusan di atas, makawaktu potong dan celup yang masih tersisa adalah 4000 menit. Nilai ini diperolehdari: kebutuhan sumber daya waktu potong dan celup = 12X1 + 10X2 + 8X3 =


159

12(1000) + 10(198,4799194) + 8(1,900100866) = 14000 menit. Kapasitas waktupotong dan celup yang tersedia adalah 18000 menit, sehingga tersisa: 18000 – 14000 =4000 menit. Nilai slack nol berarti semua sumber daya yang tersedia terpakai habis.

c. Mengingat bahwa unit produksi bola harus dalam bilangan bulat dan tidak mungkinmerencanakan produksi bola model high school (X3) hanya dua unit, maka manajerPPIC dapat memutuskan untuk merencanakan produksi bola model All-Pro (X1) =1000 unit dan College (X2) = 200 unit. Untuk rencana produksi ini, perusahaan akanmemperoleh keuntungan: Z = 3X1 + 5X2 + 4X3 = 3(1000) + 5(200) + 4(0) = 4000.Rencana produksi X1 = 1000 unit dan X2 = 200 unit akan menyisakan sumber dayawaktu potong dan celup sebanyak 4000 menit dari kapasitas waktu 18000 menit danjuga menyisakan sumber daya waktu inspeksi dan pengepakan sebanyak 5200 menitdari kapasitas 9000 menit. Sedangkan kapasitas sumber daya waktu penjahitansebanyak 18000 menit akan terpakai habis. Berdasarkan solusi linear programming,kita mengetahui bahwa yang menjadi kendala utama adalah sumber daya waktupenjahitan. Dengan demikian titik kendali (control point) dapat ditempatkan padapusat kerja penjahitan.

3.2. Aplikasi Linear Programming dalam Perencanaan Produksi dan InventoriMisalkan data kapasitas produksi, permintaan, ongkos produksi, dan ongkos

penyimpanan dalam inventori dari suatu industri benang selama 4 kuartal mendatang adalahsebagai berikut:

Kuartal Kapasitas Produksi(Square Yards)

Permintaan(Square Yards)

Ongkos Produksi($/Sq. Yards)

Ongkos Inventori($/Sq.Yards)

1234

600300500400

400500400400

2533

0.250.250.250.25

Untuk memudahkan pemodelan linear programming, kita akan menggunakan gambarberikut:

Kapasitas Node Produksi Ongkos Produksi Node Permintaan

1 52

600 400

2 65

300 500

0.25

3 73

500 400

0.25

4 83

400 400

0.25


160

Selanjutnya kita mendefinisikan variabel-variabel keputusan berikut:X15 = unit produksi pada kuartal 1 untuk memenuhi permintaan kuartal 1X26 = unit produksi pada kuartal 2 guna memenuhi permintaan kuartal 2X37 = unit produksi pada kuartal 3 guna memenuhi permintaan kuartal 3X48 = unit produksi pada kuartal 4 guna memenuhi permintaan kuartal 4X56 = unit inventori yang tersimpan selama kuartal 1X67 = unit inventori yang tersimpan selama kuartal 2X78 = unit inventori yang tersimpan selama kuartal 3

Selanjutnya kita akan mengembangkan fungsi tujuan (objective function) yangmeminimumkan ongkos produksi dan inventori, sebagai berikut:Minimum Biaya Produksi dan Inventori:

C = 2X15 + 5X26 + 3X37 + 3X48 + 0.25X56 + 0.25X67 + 0.25X78

Selanjutnya kita mengembangkan empat kendala kapasitas produksi, sebagai berikut:

X15 ≤ 600 ; X26 ≤ 300; X37 ≤ 500; dan X48 ≤ 400

Selanjutnya kita mengembangkan empat kendala permintaan mengikuti aturan berikut:

Permintaan = inventori awal + produksi – inventori akhir

Keempat kendala permintaan itu adalah sebagai berikut:

X15 – X56 ≥ 400 (permintaan kuartal 1)X56 + X26 – X67 ≥ 500 (permintaan kuartal 2)X67 + X37 – X78 ≥ 400 (permintaan kuartal 3)X78 + X48 ≥ 400 (permintaan kuartal 4)

Model lengkap linear programming di atas adalah sebagai berikut:Minimum Biaya Produksi dan Inventori:

C = 2X15 + 5X26 + 3X37 + 3X48 + 0.25X56 + 0.25X67 + 0.25X78

dengan kendala:

X15 ≤ 600 (kapasitas kuartal 1) X26 ≤ 300 (kapasitas kuartal 2) X37 ≤ 500 (kapasitas kuartal 3) X48 ≤ 400 (kapasitas kuartal 4)

X15 – X56 ≥ 400 (permintaan kuartal 1) X26 + X56 – X67 ≥ 500 (permintaan kuartal 2) X37 + X67 – X78 ≥ 400 (permintaan kuartal 3) X48 + X78 ≥ 400 (permintaan kuartal 4) Semua variabel keputusan ≥ 0

Selanjutnya masalah linear programming di atas diselesaikan menggunakan SolverMicrosoft Excel, dan ringkasan hasilnya ditunjukkan dalam Tabel berikut.


161

Nilai Fungsi Tujuan = 5150.00

Variable ValueX15

X26

X37

X48

X56

X67

X78

600300400400200

00

Dengan demikian manajer PPIC dapat merencanakan produksi pada kuartal 1, 2, 3, dan 4,berturut-turut sebanyak: 600, 300, 400, dan 400 unit. Untuk itu akan terdapat inventori yangtersimpan selama kuartal 1 sebanyak 200 unit. Ongkos total produksi dan inventori akanmenjadi minimum, yaitu: $5150.


162

Daftar Pustaka

Anderson, D. R., Dennis J. Sweeney, and Thomas A. Williams, 1997, An Introduction toManagement Science-Quantitative Approaches to Decision Making., 8th edition, WestPublishing Company, St. Paul, Minnesota.

Chase, R. B., Nicholas J. Aquilano, and F. Robert Jacobs, 1998, Production and OperationsManagement-Manufacturing and Services., 8th edition., McGraw-Hill, Boston.

Gaspersz, Vincent, 2000, Production Planning and Inventory Control-Berdasarkan PendekatanSistem Terintegrasi MRP dan JIT Menuju Manufakturing 21. Edisi ke-2. Gramedia,Jakarta.

Lapin, L. L., 1994, Quantitative Methods for Business Decisions-With Cases. 6th edition.,Duxbury Press, Belmont.

Melnyk, Steven A. and David R. Denzler, 1996, Operations Management-A Value-DrivenApproach. Irwin, Chicago.

Documents

Jurnal April