Pertemuan 10

Pengantar struktur Aljabar

46

ISOMORFISMA DAN SIFAT-SIFATNYA

A. Pendahuluan

Modul ini membahas uraian tentang isomorfisma, mahasiswa akan

mudah mempelajari materi ini, jika telah menguasai materi

homomorfisma dan memahami pemetaan injektif, surjektif dan bijektif

(Dalam matakuliah Logika Matematika dan Himpunan), selain itu juga

harus dikuasai konsep grup, grup simetri, grup siklik, subgrup, subgrup

normal dan grup faktor.

Pembahasan dalam modul ini dimulai dari mengingatkan kembali

fungsi 1-1 dan fungsi pada, selanjutnya didefinisikan monomorfisma,

epimorfisma dan isomorfisma. Diharapkan para mahasiswa setelah

mempelajari modul ini, mampu :

- menjelaskan monomorfisma

- menjelaskan epimorfisma

- menganalisa suatu homomorfisma monomorfisma, epimorfisma,

isomorfisma atau bukan

- membuktikan teorema yang terkait dengan kernel dan monomorfisma

B. Monomorfisma, Epimorfisma dan Isomorfisma

Sebelum membahas tentang isomorfisma, perlu diingatkan kembali

beberapa hal yang berkaitan dengan pemetaan (fungsi), yaitu:

Definisi 1. :

a. fungsi f dari G ke G’ didefinisikan (∀a, b ∈ G) a = b ⇒ f(a) = f(b)

b. fungsi f disebut onto/pada/surjektif jika f(G) = G’ atau dengan kata

lain : (∀a’∈ G’)(∃a ∈ G) sehingga a’ = f(a).

c. fungsi f disebut injektif (1 – 1) jika (∀a, b ∈ G) f(a) = f(b) ⇒ a = b

Pertemuan 10

Pengantar struktur Aljabar

47

d. fungsi f disebut bijektif (korespondensi 1–1) jika f injektif dan

surjektif

mahasiswa akan kesulitan memahami materi isomorfismam tanpa faham

definisi 1. di atas. Oleh karenanya mahasiswa harus banyak berlatih

untuk menganalisa fungsi-fungsi apakah 1-1, pada ataua tidak, barulah

mengikuti definisi berikut :

Definisi 2.:

1. suatu homomorfisma dari G ke G’ yang injektif (1-1) disebut

monomorfisma.

2. suatu homomorfisma dari G ke G’ yang surjektif (pada/onto) disebut

epimorfisma.

3. suatu homomorfisma dari G ke G’ yang bijektif (injektif dan

surjektif) disebut isomorfisma.

4. suatu homomorfisma dari G ke G’ dan G = G’ disebut endomorfisma

(suatu homomorfisma dari suatu grup G ke grup G itu sendiri)

5. endomorfisma yang bijektif disebut automorfisma.

6. Jika terdapat suatu homomorfisma dari G ke G’ maka dikatakan G

dan G’ homomorfik

7. Jika terdapat suatu isomorfisma dari G ke G’ maka dikatakan G dan

G’ isomorfik, dinotasikan G ~ G’

Coba perhatikan kembali 3 contoh homomorfisma pada pertemuan

sebelumnya (pertemuan 9) :

Contoh 1.:

Misalkan G = R – {0} adalah grup dari bilangan-bilangan real tak nol

terhadap perkalian, G‘ = {1, -1} juga grup terhadap perkalian. Telah

ditunjukka suatu homomorfisma f dari G ke G’ yang didefinisikan, ∀x ∈

G = R – {0} berlaku :

Pertemuan 10

Pengantar struktur Aljabar

48

−=

negatifrealbilanganxjika

positifrealbilanganxjikaxf

1

1)(

Selanjutnya, karena bayangan f atau f(G) = {1, -1} = G’ maka f suatu

fungsi surjektif (pada/onto)maka homomorfisma f adalah epimorfisma.

Mudah untuk ditunjukkan bahwa f tidak 1-1, karena terdapat π dan π/2

adalah bilangan real positif berbeda, tetapi f(π) = 1 = f(π/2). Jadi f tidak

monomorfisma.

Contoh 2.:

Homomorfisma g dari Z ke Q – {0} yang didefinisikan g(x) = 2x, ∀x ∈ Z

maka g adalah monomorfisma, sebab :

∀x, y ∈ Z jika f(x) = f(y) maka 2x = 2y berarti x = y, sehingga g fungsi

injektif (1-1).

Akan tetapi g tidak surjektif, karena terdapat 2/3 adalah bilangan rasional

tetapi 2/3 ≠ 2x = g(x), ∀x ∈ Z

Contoh 3.

Homomorfisma h dari Z ke 2Z didefinisikan : h(a) = 2a untuk ∀a ∈ Z.

maka h merupakan isomorfisma, sebab:

i. h injektif : ∀a, b ∈ Z, jika h(a) = h(b) maka 2a = 2b atau a = b

ii. h surjektif : ∀x ∈ 2Z maka x = 2n = h(n), untuk suatu n ∈ Z

Teorema 1. :

Jika f homomorfisma dari G ke G’ maka :

f monomorfisma jika dan hanya jika ker f = {e}, dengan e elemen

identitas dari G

Bukti : sebagai latihan mahasiswa

Pertemuan 10

Pengantar struktur Aljabar

49

TUGAS MANDIRI : setiap mahasiswa menganalisa homomorfisma

yang dimiliki dalam kelompoknya, apakah monomorfisma, epimorfisma,

isomorfisma atau bukan, silakan setiap mahasiswa melengkapi contoh

yang belum dimiliki.

Soal-soal Latihan :

1. Misalkan G adalah grup dari semua bilangan real positif terhadap

perkalian dan G’ grup dari semua bilangan real terhadap penjumlahan

dan pengaitan f dari g ke G’ didefinisikan, f(a) = log a untuk ∀a ∈ G.

Tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma.

2. Misalkan Z adalah grup dari bilangan-bilangan bulat, maka pengaitan

di bawah ini mana yang merupakan homomorfisma dan mana yang

bukan : ∀a ∈ Z

a. g(a) = |a| b. h(a) = 2a, c. k(a) = 2a, d. l(a) = 0, e. p(a) = -a

selanjutnya, selidiki homomorfisma tersebut monomorfisma,

epimorfisma atau isomorfisma atau bukan

3. Misalkan G = {a7 =e, a, a2, a3, a4, a5, a6 } adalah grup siklik dan G* =

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} suatu grup bilangan bulat modulo 7. Tunjukkan

bahwa G ~ G*

4. Jika diberikan homomorfisma 7: ZZ →θ yang memenuhi sifat 4)1( =θ ,

maka tentukan : A. nilai )25(θ ; B. Kernel θ

5. Diberikan grup G dan Gg ∈ , didefinisikan pengaitan GGg →φ :

sebagai : 1)( −=φ gxgxg , Gx ∈∀ maka tunjukkan apakah gφ suatu

isomorfisma?

6. Diberikan grup G dan didefinisikan pemetaan GG →:φ sebagai :

1)( −= xxφ , Gx ∈∀ maka : i. Tunjukkan bahwa φ bukan homomorfisma

ii. Jika G grup komutatif tunjukkan bahwa φ isomorfisma