Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 1GRUP & SIFAT-SIFATNYA

Definisi:Suatu monoid (G,*) dengan unsur kesatuan e disebut grup jika xG, x-1G, sedemikian sehingga x-1 * x = x * x-1 = e. Unsur x-1 disebut invers dari x. Atau dengan perkataan lain: “Suatu monoid disebut grup, jika setiap unsurnya regulir (mempunyai invers)”.

Jadi grup memenuhi sifat tertutup, asosiatif, mempunyai unsur kesatuan, dan tiap elemennya mempunyai invers yang merupakan anggota grup itu sendiri.

Grup ada yang komutatif, ada yang tidak komutatif. Grup yang komutatif disebut grup Abelian.

Order grup adalah banyaknya elemen grup tersebut.

Contoh-contoh: (Z,+) adalah grup komutatif tak hingga. Berapakah

ordernya? E=himpunan bilangan bulat genap dengan operasi

penjumlahan biasa juga merupakan grup komutatif tak hingga.

Himpunan matriks bilangan bulat berorde mxn dengan operasi penjumlahan matriks juga merupakan grup komutatif tak hingga.

Himpunan matriks bilangan bulat 2x2 dengan operasi perkalian matriks bukan grup. Mengapa?

Himpunan matriks bilangan riil 2x2 dengan operasi perkalian matriks bukan grup. Mengapa?

Himpunan matriks riil 2x2 dengan determinan tak nol dengan operasi perkalian matriks merupakan grup tak komutatif yang tak hingga.

Pertemuan 13

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 2 Himpunan matriks bilangan bulat 2x2 yang tidak singulir

dengan operasi perkalian matriks bukan grup. Mengapa? {zC / z4 = 1} dengan operasi perkalian biasa merupakan

grup komutatif berhingga. Periksalah dan carilah order grupnya

Himpunan {a+bi / a,b Z, i=-1} dengan operasi penjumlahan merupakan grup komutatif tak hingga.

Himpunan {a+bi / a,b Z, i=-1} dengan operasi perkalian bukan grup. Mengapa?

Himpunan {p+q2 / p,q Q, p dan q tidak dua-duanya nol} dengan operasi perkalian merupakan grup komutatif tak hingga. Periksalah.

Sifat-sifat GrupTeorema-teorema: Dalam sebuah grup, berlaku hukum pencoretan kiri dan

kanan. Dalam sebuah grup, setiap persamaan kiri dan setiap

persamaan kanan dapat dipecahkan dan jawabnya tunggal.

Jika G sebuah grup, maka a G berlaku: (a-1)-1 = a. (ab)-1 = b-1 a-1

(a1 a2 a3....an)-1 = an-1.an-1

-1 an-2-1 ....a3

-1 a2-1 a1

-1.Buktikanlah teorema-teorema di atas.

Catatan: Grup merupakan sebuah loop. Mengapa ? Suatu loop yang asosiatif adalah grup. Mengapa? Suatu kuasigrup yang asosiatif adalah grup. Mengapa?

Pertemuan 13

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 3Definisi lain tentang grup:Suatu semigrup adalah grup jika setiap persamaan kiri dan persamaan kanan dapat dipecahkan. (Hati-hati: tidak disebut solusi tunggal).

Akibat:Suatu kuasigrup yang asosiatif adalah grup.

Teorema:Suatu semigrup terhingga yang memenuhi hukum pencoretan adalah grup. Buktikan.

PANGKAT DAN TINGKAT (ORDER)Definisi:a1 = a, dan an+1 = an.a, n N.

Teorema:G sebuah grup dan a suatu unsur dari G. Maka untuk setiap bilangan asli m dan n, berlaku:I) am.an = am+n

ii) (am)n = amn

Buktikan.

Definisi:Untuk setiap bilangan asli n, a-n = (a-1)n dan a0 = e (e adalah unsur kesatuan dari grup tersebut).

Teorema:(an)-1 = a-n, bilangan asli n. Buktikan.Untuk setiap bilangan bulat p dan q berlaku:(i) ap.aq = ap+q

(ii) (ap)q = apq

(iii) (ap)-1 = a-p

Pertemuan 13

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 4Definisi:G sebuah grup, a G. Order elemen a = o(a) = minimum {x / x N, ax = e} jika himpunan tersebut tidak kosong, dan o(a) = 0 atau o(a) = jika himpunan tersebut himpunan kosong.

Jadi: Jika G grup dan a G, maka order dari a adalah bilangan

bulat positif terkecil n, sedemikian rupa sehingga an = e. (e=unsur kesatuan).

Jika bilangan bulat positif seperti itu tidak ada, dikatakan a berorder 0 atau berorder tak hingga.

Notasi order dari a adalah o(a). Order dari e = o(e) = 1.

Contoh-contoh:1. Grup (R - {0}, x) adalah grup dengan unsur kesatuan 1.

o(1)=1, o(-1)=2, dan o(x)=0 untuk x1 dan x-1.2. Grup dengan unsur kesatuan e, o(e) = 1.3. Grup dengan n unsur, o(x) n. Jadi tingkat setiap unsur

dari suatu grup terhingga selalu terhingga.4. Grup I4 = {x / x C, x4 = 1} dengan operasi perkalian

biasa. Unsur kesatuan=1, o(1)=1, o(-1)=2, o(i)=4, o(-i)=4.5. Grup (R,+) adalah grup dengan unsur kesatuan 0. Untuk

setiap x R, x0, o(x)=0, sedangkan o(0)=1.6. Grup In = {x / x C, xn = 1} dengan operasi perkalian

biasa merupakan grup komutatif berhingga. Bentuk G Inn

1

. Jelas G grup komutatif dengan tak hingga banyaknya unsur, tetapi setiap anggota G bertingkat hingga.

7. A={0,1,2,3,4,5} dengan operasi penjumlahan modulo 6. Carilah order tiap elemen.

8. Grup bilangan bulat dengan operasi penjumlahan biasa. Carilah order tiap elemen.

REVISI UTS

Pertemuan 13

Kuliah Aljabar Modern, oleh: Don Tasman 5

Pertemuan 13