Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasan Integral Untuk SMA

Embed Size (px)

Citation preview

SMA - 1

Contoh Integral1. Jawab: pakai rumus :

Soal-soal

dan

Pembahasan

(2x3 + 3x2 + x + 7)d = . x

k k xn dx = 1 x n+ 1 + c n+

2 x4 3x 1x (2x3 + 3x2 + x + 7)d = + 3 3 + 2 2 + 7x + c 4 x = 2 2. sin 3xsin dx = 2x Jawab: ingat rumus trigonometri : -2 sin sin a sin = cos( a + ) cos(a - ) 1 ( cos( a sin = - 2 a + ) cos(a - ) ) 1 ( cos( 1 x4 1x + x 3 + 2 2 + 7x + c

= 2 1 cos(3x - 2x)d 2 x 1 dx cos x 2

a - ) - cos(a + ) )

sin 3xsin 2x dx =

1 cos(3x + 2x)d 2 x 1 dx pakai rumus cos 5x 2 1 sin (ax+b) + c ) cos( a + b dx = a x

= Sehingga menjadi : = 2

1 sin x - 2 1 sin 5x + c 1 5 1 sin x - 10 sin 5x + c 1

=

2

WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 2 3. x22 x3 + 3 dx = .

Jawab : cara subtitusi: misal: u = 2x 3 +3 du = 6x 2 dx = d x Sehingga : x22 x + 3 dx =3

du 6x2

x2 u2

1

du 6x211 2 +

=

1 u1 1 1 2 du = 6 1 6 1+ u

+c

2

= 6

1 2 u3 1 (2x3 2 + c = 9 +3) 2 x3 + 3 + c 3

4.

x2 cos x dx =

Jawab : Pakai rumus integral parsial : misal : u = x dv = cos x dx v = Sehingga : x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2 x sin xd x x sin dx perlu diparsialkan lagi tersendiri : x misal u = x du = dx dv = sinx dx v =2

u dv = uv -

v du

du = 2x dx cos xdx = sinx

sin xdx = - cos x

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 3

sehingga : = - x cos x +

x sin dx = x . (-cos x) x

= -x cos x + sinx +c Maka :

- cos xd x cos xd x

x2 cos x dx = x 2 . sinx - 2 x sin xd x 2 . sinx 2 (-x cos x + sinx) + c =x 2 . sinx + 2x cos x 2 sin x + c = x 2 - 2). sin x + 2x cos x + c = (x

5.

x cos( 2x2 + 3)d = x

jawab: misal : u = 2x sehingga : x cos( 2x2 + 3)d = x = x cos u 1 cos u du 4 1+c sin u 4 1 sin(2x2 + 3 + c 4 du 4x2

+3 du = 4x dx dx =

du 4x

=

= )

6. x (2 + x )3 dx = ..3

4

jawab :

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 4 misal : u = x dv = (2+x) = 4 u dv = uv 4

du = dx3

dx v =

(2 + x)3 dx 1 (2 + x) 4

(a +=b)n dx ) x

1 (ax+b) a(n + 1

n+ 1

+c

v du 1 (2 + x) 44 4

x (2 + x)3 dx = 4

|

-

1 4

(2 + x ) 4 dx

3

3

3

=

4

1 (2 + x) 4

4

1 5 (2 + x)5 4 1 |- 4 |3

3

= 4

1 (1296 625) - 20 (7776 3125) 1

= 4

671 - 20 4651

= 20p

3355 - 4651 = - 20

1296 = -64 5 4

7. sin 2 x cos x dx = .p6

2

Jawab: Cara 1: Pakai rumus :p2

sinn(ax+b) cos(ax+b) dx = )p

1 sin n+ 1 (ax+b) +c a(n + 1

1 sin 2 sin 2 x cos x dx = 3 3 x |p 6

p6

= 3

1 ( 13

1) 1 . 7 = 24 8 7 -(2 3 )= 3

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 5 Cara 2: Cara subtitusi : misal u = sin x du = cos x dxp 2

sin 2 x cos x dx =

1 u u2 du = 3 3p

p 6

= 3 = 3

1 sin3 1 ( 13

x |p

2

1) 1 . 7 = 24 8 7 -(2 3 )= 3

6

8. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :

Jawab : Cari titik potong persamaan y = 3x dan y= x 3x = x 2 - 2x 2 - 5x = 0 x x(x - 5) = 0 didapat titik potong di x = 5 dan x = 02

- 2x :

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 65

L = (3 x - ( x2 - 2 x)) dx0

= = = = 2

5

(5 x - x2 ) dx

0

5 1 5 x2 - x3 | 2 3 0 5 - 1 52 53 2 3 125 - 125 = 675- =250 3 3 6 5 satuan luas

125

= 20 6

9. Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah :

Jawab: cari titik potong kedua persamaan : 8-2x 2 = x + 2 2x 2 +x 6 = 0 (2x - 3)( x + 2) = 0 3 dan x = -2 Didapat titik potong x = 2

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 73

L=

((8 - 2x2 ) - (x + 2))d x -23 2

2

=

(6 - 2x2 - x)d x - 2 2 x3 1x - 2 22 |- 2 3

= 6x - 3

= {6 . 2

3 - 3 ( 2 )3 2 3

1 ( 2 )2 3 2 (-2) 3 1 (-2) 2 - 2 } - {6 . -2 - 3 - 2 }

= {9 - 3

2 . 8 7 - 2 . 4 } {-12 + 36 - 2} 2 1 9 1

= 9 - 24

54 - 8 + 12 - 16 + 2 9 3

= 23 - 24

54 - 8 - 16 9 3 343 = 14 24 satuan luas 7

552 - 54 - 27 128 = 24 = 24

10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x 0 adalah.. mengelilingi sumbu x sebesar 360 Jawab:

2

dan y = x +6. Diputar

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

SMA - 8 Titik potong kurva : x2 = x + 62 - x 6 = 0 x (x- 3)(x+2) = 0

titik potong di x = 3 dan x = -2

V= p

3

(( x + 6)2 - ( x 2 )2 ) dx

- 2

=

p

3

(( x2 + 12 x + 36) - x4 ) dx

- 2

=

p

3

(- x4 + x2 + 12 x + 36 ) dx

- 2 3 1x 1x = p { - 5 5 + 3 3 + 6 x 2 + 36x} | - 2

243 + 9 + 54 + 108) ( 5 - 8 + 24 72)} 32 3 = p {(- 5 243 +171 - 32 + 8 + 48) 5 3 = p (- 5 275 + 3 + 219) 8 = p (- 5 8)= 8) = p (219 55 + 3 p (164 + 3 2 = 166 3 p satuan volume

WWW. BELAJAR-MATEMATIKA.COM Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya